跳到主要内容
科学与工程不动点理论与算法
下载PDF

双曲空间中修正SP-迭代格式的一些收敛结果

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：133(2014)引用这篇文章

摘要

本文利用Khan的最新技术结果证明了双曲空间中全渐近非扩张映象的一个改进的SP-迭代格式的一些强收敛定理和Δ-收敛定理等。（不动点理论应用，2012:54，2012）。本文的结果扩展和改进了当前文献中的一些著名结果。

MSC公司：47H09、47H10。

1简介和前言

迭代格式在逼近非线性映射的不动点方面起着关键作用。基础空间的结构性质，如严格凸性和一致凸性，对于其迭代不动点理论的发展是非常必要的。双曲空间本质上是一般的，并且继承了丰富的几何结构，适合在拓扑、图论、，多值分析和度量不动点理论。

科伦巴赫[1]介绍了双曲空间，定义如下，它在数学的许多分支中发挥着重要作用。

双曲线空间(X（X）,d日,W公司)是度量空间(X（X）,d日)与映射一起使用W公司:X（X）×X（X）×[0,1]→X（X）令人满意的

（第1页）d日(z（z）,W公司(x个,年,λ))≤(1−λ)d日(z（z）,x个)+λd日(z（z）,年),

（第2周）d日(W公司(x个,年, λ 1 ),W公司(x个,年, λ 2 ))=| λ 1 − λ 2 |d日(x个,年),

（第3周）W公司(x个,年,λ)=W公司(年,x个,(1−λ)),

（第4周）d日(W公司(x个,z（z）,λ),W公司(年,w个,λ))≤(1−λ)d日(x个,年)+λd日(z（z）,w个)

为所有人x个,年,z（z）,w个∈X（X）和λ, λ 1 , λ 2 ∈[0,1].

一个子集K（K）双曲空间的X（X）是凸的，如果W公司(x个,年,λ)∈K（K）为所有人x个,年∈K（K）和λ∈[0,1]如果一个空间只满足（W1），则它与高桥引入的凸度量空间一致[2]. 中双曲空间的概念[1]比Goebel引入的双曲线类型更具限制性等。[三]因为（W1）-（W3）一起等于(X（X）,d日,W公司)是中的双曲型空间[三]. 而且它比Reich定义的双曲线空间更一般等。[4]. 中的双曲空间类[1]包含所有赋范线性空间及其凸子集，ℝ-树，带有双曲线度量的希尔伯特球（请参见[5])Hilbert球、Hadamard流形和CAT（0）空间的笛卡尔积（参见[6])作为特殊情况。最近第页-一致凸性由Naor定义等。[7]及其非线性版本第页=2Khan研究了双曲空间中的[8]. 任何CAT（0）空间都是2-一致凸的（请参见[9]).

以下示例强调了双曲线空间的重要性。

让 B类 H（H） 成为复杂希尔伯特空间中的开放单位球(H（H）,〈⋅〉)w.r.t.公制（也称为小林距离）

k个 B类 H（H） (x个,年)=参数坦纳 ( 1 − σ ( x个 , 年 ) ) 1 2 ,

哪里

σ(x个,年)= ( 1 − ∥ x个 ∥ 2 ) ( 1 − ∥ 年 ∥ 2 ) | 1 − 〈 x个 , 年 〉 | 2 为所有人x个,年∈ B类 H（H） .

然后( B类 H（H） , k个 B类 H（H） ,W公司)是双曲线空间，其中W公司(x个,年,λ)定义唯一点z（z）在一个独特的测地线段中[x个,年]为所有人x个,年∈ B类 H（H） 。有关双曲空间的更多信息和示例的详细处理，我们请读者参阅[1].

双曲线空间(X（X）,d日,W公司)据说是

  1. （i）

    严格凸的[2]如果有x个,年∈X（X）和λ∈[0,1]，存在唯一的元素z（z）∈X（X）这样的话d日(z（z）,x个)=λd日(x个,年)和d日(z（z）,年)=(1−λ)d日(x个,年);

  2. （ii）

    一致凸的[10]如果是所有人u个,x个,年∈X（X）,第页>0和ε∈(0,2]，存在δ∈(0,1]这样的话d日(W公司(x个,年, 1 2 ),u个)≤(1−δ)第页无论何时d日(x个,u个)≤第页,d日(年,u个)≤第页和d日(x个,年)≥ε第页.

地图η:(0,∞)×(0,2]→(0,1]提供这样的δ=η(第页,ε)对于给定的第页>0和ε∈(0,2]被称为均匀凸模。我们打电话给η 单调的如果它随第页（对于固定ε). 一致凸双曲空间是严格凸的（参见[11]).

让K（K）是度量空间的非空子集(X（X）,d日)和T型自我映射K（K）。表示方式F类(T型)={x个∈K（K）:T型(x个)=x个}的不动点集T型和d日(x个,F类(T型))=inf公司{d日(x个,第页):第页∈F类(T型)}.自我映射T型据说是

  1. (1)

    非扩展条件d日(T型x个,T型年)≤d日(x个,年)为所有人x个,年∈K（K）;

  2. (2)

    存在序列时渐近非扩张{ k个 n个 }⊂[1,∞)具有 k个 n个 →1这样的话d日( T型 n个 x个, T型 n个 年)≤ k个 n个 d日(x个,年)为所有人x个,年∈K（K）和n个≥1;

  3. (3)

    均匀地L（左）-Lipschitzian，如果存在常数L（左）>0这样的话d日( T型 n个 x个, T型 n个 年)≤L（左）d日(x个,年)为所有人x个,年∈K（K）和n个≥1;

  4. (4)

    存在非负实数序列时的完全渐近非扩张{ μ n个 },{ v（v） n个 }具有 μ n个 →0, v（v） n个 →0和一个严格递增的连续函数ζ:[0,∞)→[0,∞)具有ζ(0)=0这样的话

    d日 ( T型 n个 x个 , T型 n个 年 ) ≤d日(x个,年)+ v（v） n个 ζ ( d日 ( x个 , 年 ) ) + μ n个

为所有人x个,年∈K（K）和n个≥1（请参见[[12]，定义2.1]）。

根据上述定义，每个非扩张映射都是一个渐近非扩张映射 k个 n个 =1,∀n个≥1并且每个渐近非扩张映射都是一个具有 v（v） n个 = k个 n个 −1, μ n个 =0,∀n个≥1,ζ(t吨)=t吨,∀t吨≥0此外，每个渐近非扩张映射都是一致的L（左）-Lipschitzian映射L（左）= 啜饮 n个 ∈ N个 { k个 n个 }然而，总的来说，这些陈述的反面是不正确的。

证明了定义在完全一致凸双曲空间的非空有界闭凸子集上的所有渐近非扩张映射总是有一个不动点（参见[[13]，定理3.1]）。

以下迭代过程是中引入的SP-迭代方案的翻译[14]从Banach空间到双曲空间。SP-迭代等价于Mann、Ishikawa和Noor迭代，对于连续和非递减函数类，其收敛速度比其他迭代快（参见[14]).

{ x个 1 ∈ K（K） , z（z） n个 = W公司 ( x个 n个 , T型 n个 x个 n个 , γ n个 ) , 年 n个 = W公司 ( z（z） n个 , T型 n个 z（z） n个 , β n个 ) , x个 n个 + 1 = W公司 ( 年 n个 , T型 n个 年 n个 , α n个 ) , n个 ≥ 1 ,
(1.1)

哪里K（K）是完全一致凸双曲空间的非空闭凸子集X（X）具有一致凸性的单调模T型:K（K）→K（K）是一致的L（左）-Lipschitzian和全渐近非扩张映射。

灵感来源于汗等。[15]，可汗[16]、福哈尔乌丁和汗[17]，万[18]，赵等。[19]和赵等。[20]，我们证明了一些强大和△-双曲空间中逼近全渐近非扩张映象不动点的修正SP-迭代过程的收敛定理。本文中的结果扩展和改进了[14,21].

概念△-Lim引入了度量空间中的收敛性[22]Dhompongsa和Panyanak研究了它在CAT（0）空间中的类似物[23]. 为了定义△-在双曲空间的一般集合中，我们首先收集了一些基本概念。

让{ x个 n个 }是双曲空间中的有界序列X（X）。对于x个∈X（X），我们定义了一个连续函数第页(⋅,{ x个 n个 }):X（X）→[0,∞)通过

第页 ( x个 , { x个 n个 } ) = 酸橙酱 n个 → ∞ d日(x个, x个 n个 ).

这个渐近半径 ρ=第页({ x个 n个 })属于{ x个 n个 }由提供

ρ=inf公司 { 第页 ( x个 , { x个 n个 } ) : x个 ∈ X（X） } .

这个渐近中心属于{ x个 n个 }关于子集K（K）属于X（X）定义如下：

A类 K（K） ( { x个 n个 } ) = { x个 ∈ X（X） : 第页 ( x个 , { x个 n个 } ) ≤ 第页 ( 年 , { x个 n个 } ) , ∀ 年 ∈ K（K） } .

这是函数的最小值集第页(⋅,{ x个 n个 })。如果渐近中心相对于X（X），那么它简单地表示为A类({ x个 n个 }).

回忆一下序列{ x个 n个 }在里面X（X）据说是△-汇聚到x个∈X（X）如果x个是的唯一渐近中心{ u个 n个 }对于每个子序列{ u个 n个 }属于{ x个 n个 }在这种情况下，我们写△- 林 n个 → ∞ x个 n个 =x个然后打电话x个作为△-的限制{ x个 n个 }.

众所周知，一致凸Banach空间甚至CAT（0）空间都具有“有界序列对于闭凸子集具有唯一的渐近中心”的性质以下引理是由于Leustean[24]并确保该性质在完全一致凸双曲空间中也成立。

引理1[[24]，提议3.3]

让 (X（X）,d日,W公司) 是具有单调一致凸模的完全一致凸双曲空间 η.那么每个有界序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 对于任何非空闭凸子集具有唯一的渐近中心 K（K） 属于 X（X）.

在续集中，我们需要以下结果。

引理2[[15]，引理2.5]

让 (X（X）,d日,W公司) 是具有单调一致凸模的一致凸双曲空间 η.让 x个∈X（X） 和 { α n个 } 成为一个序列 [一,b条] 对一些人来说 一,b条∈(0,1).如果 { x个 n个 } 和 { 年 n个 } 序列在中吗 X（X） 这样的话

酸橙酱 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,x个)≤第页, 酸橙酱 n个 → ∞ d日( 年 n个 ,x个)≤第页, 林 n个 → ∞ d日 ( W公司 ( x个 n个 , 年 n个 , α n个 ) , x个 ) =第页

对一些人来说 第页≥0,然后

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 , 年 n个 )=0.

引理3[[15]，引理2.6]

让 K（K） 是一致凸双曲空间的非空闭凸子集 { x个 n个 } 是中的有界序列 K（K） 这样的话 A类({ x个 n个 })={年} 和 第页({ x个 n个 })=ρ.如果 { 年 米 } 是中的另一个序列 K（K） 这样的话 林 米 → ∞ 第页( 年 米 ,{ x个 n个 })=ρ,然后 林 米 → ∞ 年 米 =年.

引理4[[25]，引理2]

让 { 一 n个 },{ b条 n个 } 和 { δ n个 } 是非序列-负实数，这样

一 n个 + 1 ≤(1+ δ n个 ) 一 n个 + b条 n个 ,∀n个≥1.

如果 ∑ n个 = 1 ∞ δ n个 <∞ 和 ∑ n个 = 1 ∞ b条 n个 <∞,然后 林 n个 → ∞ 一 n个 存在.

2主要成果

我们从修改的SP-迭代序列的Δ-收敛开始{ x个 n个 }由（1.1）定义的双曲空间中的全渐近非扩张映射。

定理1 让 K（K） 做一个不空虚的人,完备一致凸双曲空间的闭凸子集 X（X） 具有一致凸性的单调模 η.让 T型:K（K）→K（K） 是一致的 L（左）-Lipschitzian和具有 F类(T型)≠∅.如果满足以下条件:

  1. （i）

    ∑ n个 = 1 ∞ v（v） n个 <∞ 和 ∑ n个 = 1 ∞ μ n个 <∞;

  2. （ii）

    存在常量 一,b条∈(0,1) 这样的话 { α n个 },{ β n个 },{ γ n个 }⊂ [一,b条];

  3. （iii）

    存在一个常数 M（M）>0 这样的话 ζ(第页)≤M（M）第页,∀第页≥0,

然后是序列 { x个 n个 } 由定义(1.1), Δ-收敛到 T型.

证明我们把证明分为三个步骤。

步骤1。首先，我们证明存在以下限制：

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)对于每个第页∈F类(T型)和 林 n个 → ∞ d日 ( x个 n个 , F类 ( T型 ) ) .
(2.1)

自T型是一个完全渐近非扩张映射，根据条件（iii），我们得到

d日 ( z（z） n个 , 第页 ) = d日 ( W公司 ( x个 n个 , T型 n个 x个 n个 , γ n个 ) , 第页 ) ≤ ( 1 − γ n个 ) d日 ( x个 n个 , 第页 ) + γ n个 d日 ( T型 n个 x个 n个 , 第页 ) ≤ ( 1 − γ n个 ) d日 ( x个 n个 , 第页 ) + γ n个 { d日 ( x个 n个 , 第页 ) + v（v） n个 ζ ( d日 ( x个 n个 , 第页 ) ) + μ n个 } = d日 ( x个 n个 , 第页 ) + γ n个 v（v） n个 ζ ( d日 ( x个 n个 , 第页 ) ) + γ n个 μ n个 ≤ ( 1 + γ n个 v（v） n个 M（M） ) d日 ( x个 n个 , 第页 ) + γ n个 μ n个
(2.2)

和

d日 ( 年 n个 , 第页 ) = d日 ( W公司 ( z（z） n个 , T型 n个 z（z） n个 , β n个 ) , 第页 ) ≤ ( 1 − β n个 ) d日 ( z（z） n个 , 第页 ) + β n个 d日 ( T型 n个 z（z） n个 , 第页 ) ≤ ( 1 − β n个 ) d日 ( z（z） n个 , 第页 ) + β n个 { d日 ( z（z） n个 , 第页 ) + v（v） n个 ζ ( d日 ( z（z） n个 , 第页 ) ) + μ n个 } ≤ ( 1 + β n个 v（v） n个 M（M） ) d日 ( z（z） n个 , 第页 ) + β n个 μ n个 .
(2.3)

将（2.2）替换为（2.3）并进行简化，我们得到

d日 ( 年 n个 , 第页 ) ≤ ( 1 + β n个 v（v） n个 M（M） ) { ( 1 + γ n个 v（v） n个 M（M） ) d日 ( x个 n个 , 第页 ) + γ n个 μ n个 } + β n个 μ n个 ≤ ( 1 + v（v） n个 M（M） ( β n个 + γ n个 + β n个 γ n个 v（v） n个 M（M） ) ) d日 ( x个 n个 , 第页 ) + μ n个 ( β n个 + γ n个 + β n个 γ n个 v（v） n个 M（M） ) .
(2.4)

同样，我们获得

d日( x个 n个 + 1 ,第页)≤(1+ α n个 v（v） n个 M（M）)d日( 年 n个 ,第页)+ α n个 μ n个 .
(2.5)

结合（2.4）和（2.5），我们得到

d日( x个 n个 + 1 ,第页)≤(1+ σ n个 )d日( x个 n个 ,第页)+ ξ n个 ,∀n个≥1和第页∈F类(T型),
(2.6)

等等

d日 ( x个 n个 + 1 , F类 ( T型 ) ) ≤(1+ σ n个 )d日 ( x个 n个 , F类 ( T型 ) ) + ξ n个 ,∀n个≥1,

哪里 σ n个 = v（v） n个 M（M）( α n个 + β n个 + γ n个 + v（v） n个 M（M）( α n个 β n个 + β n个 γ n个 + α n个 γ n个 + α n个 β n个 γ n个 v（v） n个 M（M）))和 ξ n个 = α n个 + β n个 + γ n个 + v（v） n个 M（M）( α n个 β n个 + β n个 γ n个 + α n个 γ n个 + α n个 β n个 γ n个 v（v） n个 M（M）)根据条件（i），

∑ n个 = 1 ∞ σ n个 <∞和 ∑ n个 = 1 ∞ ξ n个 <∞.

根据引理4， 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))和 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)每个都存在第页∈F类(T型).

第2步。接下来我们证明 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.

事实上，从（2.1）可以看出 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)存在于每个给定的第页∈F类(T型)。我们可以假设 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)=第页.案例第页=0是微不足道的。接下来，我们处理这个案子第页>0取不等式（2.4）中两边的lim-sup，我们得到

酸橙酱 n个 → ∞ d日( 年 n个 ,第页)≤第页.
(2.7)

自

d日 ( T型 n个 年 n个 , 第页 ) ≤ d日 ( 年 n个 , 第页 ) + v（v） n个 ζ ( d日 ( 年 n个 , 第页 ) ) + μ n个 ≤ ( 1 + v（v） n个 M（M） ) d日 ( 年 n个 , 第页 ) + μ n个 , ∀ n个 ≥ 1 ,

我们有

酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( T型 n个 年 n个 , 第页 ) ≤第页.
(2.8)

此外，

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 + 1 ,第页)= 林 n个 → ∞ d日 ( W公司 ( 年 n个 , T型 n个 年 n个 , α n个 ) , 第页 ) =第页.
(2.9)

借助于（2.7）-（2.9）和引理2，我们得到了

林 n个 → ∞ d日 ( 年 n个 , T型 n个 年 n个 ) =0.
(2.10)

另一方面，因为

d日 ( x个 n个 + 1 , 第页 ) ≤ d日 ( x个 n个 + 1 , T型 n个 年 n个 ) + d日 ( T型 n个 年 n个 , 第页 ) ≤ ( 1 − α n个 ) d日 ( 年 n个 , T型 n个 年 n个 ) + ( 1 + v（v） n个 M（M） ) d日 ( 年 n个 , 第页 ) + μ n个 ,

我们有 lim信息 n个 → ∞ d日( 年 n个 ,第页)≥第页结合（2.7），得出 林 n个 → ∞ d日( 年 n个 ,第页)=第页。这意味着

林 n个 → ∞ d日 ( W公司 ( z（z） n个 , T型 n个 z（z） n个 , β n个 ) , 第页 ) =第页.
(2.11)

取不等式（2.2）中两边的lim-sup，我们得到

酸橙酱 n个 → ∞ d日( z（z） n个 ,第页)≤第页.
(2.12)

自

d日 ( T型 n个 z（z） n个 , 第页 ) ≤ d日 ( z（z） n个 , 第页 ) + v（v） n个 ζ ( d日 ( z（z） n个 , 第页 ) ) + μ n个 ≤ ( 1 + v（v） n个 M（M） ) d日 ( z（z） n个 , 第页 ) + μ n个 , ∀ n个 ≥ 1 ,

我们有

酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( T型 n个 z（z） n个 , 第页 ) ≤第页.
(2.13)

借助于（2.11）-（2.13）和引理2，我们得到

林 n个 → ∞ d日 ( z（z） n个 , T型 n个 z（z） n个 ) =0.
(2.14)

通过同样的方法，我们还可以证明

林 n个 → ∞ d日 ( x个 n个 , T型 n个 x个 n个 ) =0.
(2.15)

通过（2.10），我们得到

d日( x个 n个 + 1 , 年 n个 )≤d日 ( W公司 ( 年 n个 , T型 n个 年 n个 , α n个 ) , 年 n个 ) ≤ α n个 d日 ( 年 n个 , T型 n个 年 n个 ) →0作为n个→∞.

以类似的方式，我们

d日( 年 n个 , z（z） n个 )≤ β n个 d日 ( z（z） n个 , T型 n个 z（z） n个 ) →0作为n个→∞

和

d日( z（z） n个 , x个 n个 )≤ α n个 d日 ( x个 n个 , T型 n个 x个 n个 ) →0作为n个→∞.

由此可见

d日( x个 n个 + 1 , x个 n个 )≤d日( x个 n个 + 1 , 年 n个 )+d日( 年 n个 , z（z） n个 )+d日( z（z） n个 , x个 n个 )→0作为n个→∞.
(2.16)

自T型是一致的L（左）-Lipschitzian，因此我们得到

d日 ( x个 n个 , T型 x个 n个 ) ≤ d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) + d日 ( x个 n个 + 1 , T型 n个 + 1 x个 n个 + 1 ) + d日 ( T型 n个 + 1 x个 n个 + 1 , T型 n个 + 1 x个 n个 ) + d日 ( T型 n个 + 1 x个 n个 , T型 x个 n个 ) ≤ ( 1 + L（左） ) d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 ) + d日 ( x个 n个 + 1 , T型 n个 + 1 x个 n个 + 1 ) + L（左） d日 ( T型 n个 x个 n个 , x个 n个 ) .

因此，（2.15）和（2.16）意味着

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.
(2.17)

步骤3。现在我们证明序列{ x个 n个 } △-收敛到T型.

事实上，对于每个第页∈F类(T型), 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)存在。这意味着序列{ x个 n个 }有界。因此，借助引理1，{ x个 n个 }具有唯一的渐近中心 A类 K（K） ({ x个 n个 })={x个}.让{ u个 n个 }是的任何子序列{ x个 n个 }这样的话 A类 K（K） ({ u个 n个 })={u个}然后，在（2.17）之前，我们有

林 n个 → ∞ d日( u个 n个 ,T型 u个 n个 )=0.
(2.18)

我们声称u个∈F类(T型)事实上，我们定义了一个序列{ z（z） 米 }在里面K（K）通过 z（z） 米 = T型 米 u个因此，我们计算

d日 ( z（z） 米 , u个 n个 ) ≤ d日 ( T型 米 u个 , T型 米 u个 n个 ) + d日 ( T型 米 u个 n个 , T型 米 − 1 u个 n个 ) + ⋯ + d日 ( T型 u个 n个 , u个 n个 ) ≤ d日 ( u个 , u个 n个 ) + v（v） n个 ζ ( d日 ( u个 , u个 n个 ) ) + μ n个 + ∑ 我 = 1 米 d日 ( T型 我 u个 n个 , T型 我 − 1 u个 n个 ) ≤ ( 1 + v（v） n个 M（M） ) d日 ( u个 , u个 n个 ) + μ n个 + ∑ 我 = 1 米 d日 ( T型 我 u个 n个 , T型 我 − 1 u个 n个 ) .
(2.19)

自T型是一致的L（左）-Lipschitzian，从（2.19）开始，我们有

d日( z（z） 米 , u个 n个 )≤(1+ v（v） n个 M（M）)d日(u个, u个 n个 )+ μ n个 +米L（左）d日(T型 u个 n个 , u个 n个 ).

在上述估计的两边取lim-sup，并使用（2.18），我们得到

第页 ( z（z） 米 , { u个 n个 } ) = 酸橙酱 n个 → ∞ d日( z（z） 米 , u个 n个 )≤ 酸橙酱 n个 → ∞ d日(u个, u个 n个 )=第页 ( u个 , { u个 n个 } ) .

这意味着|第页( z（z） 米 ,{ u个 n个 })−第页(u个,{ u个 n个 })|→0作为米→∞从引理3可以得出 林 米 → ∞ T型 米 u个=u个.利用T型，我们有

T型u个=T型 ( 林 米 → ∞ T型 米 u个 ) = 林 米 → ∞ T型 米 + 1 u个=u个.

因此u个∈F类(T型)此外， 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,u个)存在于（2.1）。假设x个≠u个.通过渐近中心的唯一性，我们得到

酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( u个 n个 , u个 ) < 酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( u个 n个 , x个 ) ≤ 酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( x个 n个 , x个 ) < 酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( x个 n个 , u个 ) = 酸橙酱 n个 → ∞ d日 ( u个 n个 , u个 )

矛盾。因此x个=u个.自{ u个 n个 }是的任意子序列{ x个 n个 }，因此A类({ u个 n个 })={u个}对于所有子序列{ u个 n个 }属于{ x个 n个 }也就是说，{ x个 n个 } △-收敛到x个∈F类(T型).证明已完成。□

我们现在讨论双曲空间中全渐近非扩张映射的修正SP-迭代的强收敛性。

定理2 让 K（K）,X（X）,T型 和 { x个 n个 } 与定理中的相同1.假设条件（i） -（iii）在定理中1都很满意.然后 { x个 n个 } 强收敛于某些 第页∈F类(T型) 当且仅当 lim信息 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0.

证明如果{ x个 n个 }收敛到第页∈F类(T型)，那么 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)=0.自0≤d日( x个 n个 ,F类(T型))≤d日( x个 n个 ,第页)，我们有 lim信息 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0.

相反，假设 lim信息 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0根据（2.1） 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))存在。因此通过假设 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0.

接下来，我们展示一下{ x个 n个 }是一个柯西序列。事实上，根据（2.6），对于任何第页∈F类(T型),

d日( x个 n个 + 1 ,第页)≤(1+ σ n个 )d日( x个 n个 ,第页)+ ξ n个 ,∀n个≥1,

哪里 ∑ n个 = 1 ∞ σ n个 <∞和 ∑ n个 = 1 ∞ ξ n个 <∞。因此，对于任何正整数n个,米，我们有

d日( x个 n个 + 米 , x个 n个 )≤d日( x个 n个 + 米 ,第页)+d日(第页, x个 n个 )≤(1+ σ n个 + 米 − 1 )d日( x个 n个 + 米 − 1 ,第页)+ ξ n个 + 米 − 1 +d日( x个 n个 ,第页).

因为每个x个≥0,1+x个≤ e（电子） x个 ，我们有

d日 ( x个 n个 + 米 , x个 n个 ) ≤ e（电子） σ n个 + 米 − 1 d日 ( x个 n个 + 米 − 1 , 第页 ) + ξ n个 + 米 − 1 + d日 ( x个 n个 , 第页 ) ≤ e（电子） σ n个 + 米 − 1 + σ n个 + 米 − 2 d日 ( x个 n个 + 米 − 2 , 第页 ) + e（电子） σ n个 + 米 − 1 ξ n个 + 米 − 2 + ξ n个 + 米 − 1 + d日 ( x个 n个 , 第页 ) ≤ ⋯ ≤ e（电子） ∑ 我 = n个 n个 + 米 − 1 σ 我 d日 ( x个 n个 , 第页 ) + e（电子） ∑ 我 = n个 + 1 n个 + 米 − 1 σ 我 ξ n个 + e（电子） ∑ 我 = n个 + 2 n个 + 米 − 2 σ 我 ξ n个 + 1 + ⋯ + e（电子） σ n个 + 米 − 1 ξ n个 + 米 − 2 + ξ n个 + 米 − 1 + d日 ( x个 n个 , 第页 ) ≤ ( 1 + N个 ) d日 ( x个 n个 , 第页 ) + N个 ∑ 我 = n个 n个 + 米 − 1 ξ 我 ,

哪里N个= e（电子） ∑ 我 = 1 ∞ σ 我 <∞。因此，我们有

d日( x个 n个 + 米 , x个 n个 )≤(1+N个)d日 ( x个 n个 , F类 ( T型 ) ) +N个 ∑ 我 = n个 n个 + 米 − 1 ξ 我 →0作为n个,米→∞.

这表明{ x个 n个 }是中的Cauchy序列K（K）.自K（K）是完全双曲空间中的闭子集X（X），它是完整的。我们可以假设{ x个 n个 }强收敛到某一点 第页 ⋆ ∈K（K）。很容易证明F类(T型)是中的闭子集K（K），也是F类(T型).自 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0，我们获得 第页 ⋆ ∈F类(T型)。这就完成了证明。□

备注1在定理2中，条件 lim信息 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0可以替换为 酸橙酱 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0.

示例1让ℝ与通常的标准保持一致|⋅|然后让K（K）=[−1,1].定义两个映射 T型 1 , T型 2 :K（K）→K（K）通过

T型 1 (x个)={ − 2 罪 x个 2 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , 2 罪 x个 2 如果 x个 ∈ [ − 1 , 0 ) ,

和

T型 2 (x个)={ x个 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , − x个 如果 x个 ∈ [ − 1 , 0 ) .

它在中得到了证明[[26]，示例3.1] T型 1 和 T型 2 是渐近非扩张映射 k个 n个 =1,∀n个≥1因此，它们是具有 v（v） n个 = μ n个 =0,∀n个≥1,ζ(t吨)=t吨,∀t吨≥0此外，它们是一致的L（左）-Lipschitzian映射L（左）=1显然，F类( T型 1 )={0}和F类( T型 2 )={x个∈K（K）;0≤x个≤1}.设置

α n个 = n个 2 n个 + 1 , β n个 = n个 三 n个 + 1 和 γ n个 = n个 4 n个 + 1 为所有人n个≥1.
(2.20)

因此，满足了定理1的条件。因此，定理1和定理2的结果显而易见。

示例2让ℝ与通常的标准保持一致|⋅|然后让K（K）=[0,∞).定义两个映射 S公司 1 , S公司 2 :K（K）→K（K）通过 S公司 1 (x个)=罪x个和 S公司 2 (x个)=x个.已在中证明[[27]，示例1] S公司 1 和 S公司 2 是总渐近非扩张映射 v（v） n个 = 1 n个 2 , μ n个 = 1 n个 三 ,∀n个≥1此外，它们是一致的L（左）-Lipschitzian映射L（左）=1显然，F类( S公司 1 )={0}和F类( S公司 2 )={x个∈K（K）;0≤x个<∞}.让{ α n个 },{ β n个 }和{ γ n个 }与（2.20）中的相同。同样，满足定理1的条件。因此，也可以得到定理1和定理2的结果。

回想一下，映射T型从子集K（K）度量空间的(X（X）,d日)into本身是半紧的，如果每个有界序列{ x个 n个 }⊂K（K）令人满意的d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )→0作为n个→∞具有强收敛的子序列。

Senter和Dotson[[28]，第375页]介绍了条件（I）的概念如下。

地图T型:K（K）→K（K）具有F类(T型)≠∅如果存在非递减函数，则称满足条件（I）（f）:[0,∞)→[0,∞)具有（f）(0)=0和（f）(第页)>0为所有人第页∈(0,∞)这样的话

d日(x个,T型x个)≥（f） ( d日 ( x个 , F类 ( T型 ) ) ) 为所有人x个∈K（K）.

通过使用上述定义，我们得到了以下强收敛定理。

定理3 在定理的假设下1,如果 T型 是半成品-契约,然后 { x个 n个 } 强收敛到 T型.

证明由（2.1）可知{ x个 n个 }是一个有界序列。此外，通过（2.17），我们已经 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0然后，通过半压实度T型，存在子序列{ x个 n个 k个 }⊂{ x个 n个 }这样的话{ x个 n个 k个 }强收敛到某一点第页∈K（K）此外，通过T型，我们有

d日(第页,T型第页)= 林 k个 → ∞ d日( x个 n个 k个 ,T型 x个 n个 k个 )=0.

这意味着第页∈F类(T型)再次，通过（2.1）， 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,第页)存在。因此第页是序列的强极限{ x个 n个 }。因此，{ x个 n个 }强收敛到不动点第页属于T型. □

定理4 在定理的假设下1,如果 T型 满足条件（一） ，然后 { x个 n个 } 强收敛到 T型.

证明根据（2.1）， 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))存在。此外，根据条件（I）和（2.17），我们得到

林 n个 → ∞ （f） ( d日 ( x个 n个 , F类 ( T型 ) ) ) ≤ 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.

那就是， 林 n个 → ∞ （f）(d日( x个 n个 ,F类(T型)))=0.自（f）非递减函数是否满足（f）(0)=0和（f）(第页)>0为所有人第页∈(0,∞)，因此 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,F类(T型))=0现在定理2意味着{ x个 n个 }强收敛到一点第页在里面F类(T型). □

备注2定理1-4包含渐近非扩张映射的相应定理，当 v（v） n个 = k个 n个 −1, μ n个 =0,∀n个≥1,ζ(t吨)=t吨,∀t吨≥0.

工具书类

  1. 科伦巴赫：一些逻辑元定理及其在函数分析中的应用。事务处理。美国数学。Soc公司。2004, 357(1):89–128.

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  2. 高桥W：度量空间和非扩张映射中的凸性。Kodai数学。塞明。代表。1970, 22: 142–149. 10.2996/kmj/1138846111

    第条 谷歌学者 

  3. Goebel K，Kirk WA:非扩张映射的迭代过程。康斯坦普。数学。21.英寸非线性泛函分析中的拓扑方法编辑：Singh SP、Thomeier S、Watson B.Am.Math。普罗维登斯州；1983:115–123.

    第章 谷歌学者 

  4. Reich S，Shafrir I：双曲空间中的非扩张迭代。非线性分析。，理论方法应用。1990, 15: 537–558. 10.1016/0362-546X（90）90058-O

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  5. Goebel K、Reich S：一致凸性、双曲几何和非扩张映射纽约德克尔；1984

    谷歌学者 

  6. Bridson M，Haefliger A：非正曲率度量空间施普林格，柏林；1999

    书 谷歌学者 

  7. Naor，A，Silberman，L:Poincaré不等式，嵌入和野生群体（2010）arXiv:1005.4084v1版[数学GR]

    谷歌学者 

  8. Khan AR：非线性函数方程的公共不动点和解。不动点理论应用。2013年、2013年：文章ID 290 10.1186/1687-1812-2013-290

    谷歌学者 

  9. Khamsi MA，Khan A：度量空间中的不等式及其应用。非线性分析。2011, 74: 4036–4045. 10.1016/j.na.2011.03.034

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  10. Shimizu T，Takahashi W：某些凸度量空间中多值映射的不动点。白杨。方法非线性分析。1996, 8: 197–203.

    数学科学网 谷歌学者 

  11. Leustean L:CAT（0）-空间渐近正则性的二次速率。数学杂志。分析。申请。2007, 325: 386–399. 2016年10月10日/j.jmaa.2006年1月81日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  12. Chang SS，Wang L，Joesph Lee HW，Chan CK，Yang L:CAT（0）空间中总渐近非扩张映射的半闭原理和Δ-收敛定理。申请。数学。计算。2012, 219: 2611–2617. 2016年10月10日/j.amc.2012.08.095

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  13. Fukhar ud din，H，Kalsoom，A，Khan，MAA：一致凸双曲空间中全渐近非扩张映射的存在性和更高arity迭代（2013）arXiv：1312.2418v2版本[数学.FA]

    谷歌学者 

  14. Phuengrattana W，Suantai S：关于任意区间上连续函数的Mann，Ishikawa，Noor和SP-迭代的收敛速度。J.计算。申请。数学。2011, 235: 3006–3014. 2016年10月10日/j.cam.2010.12.022

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  15. Khan AR，Fukhar-ud-din H，Khan MAA:双曲空间中两个有限族非扩张映射的隐式算法。不动点理论应用。2012年：文章ID 54 10.1186/1687-1812-2012-54

    谷歌学者 

  16. Khan MAA:有限族渐近拟单扩张映射的多步迭代的收敛性分析。J.不平等。申请。2013年、2013年：文章ID 423 10.1186/1029-242X-2013-423

    谷歌学者 

  17. Fukhar-ud-din H，Khan MAA:双曲空间中非线性映射的一般迭代模式的收敛性分析。不动点理论应用。2013年、2013年：文章ID 238 10.1186/1687-1812-2013-238

    谷歌学者 

  18. Wan LL公司：△-双曲空间中混合型全渐近非扩张映射的收敛性。J.不平等。申请。2013年、2013年：文章ID 553 10.1186/1029-242X-2013-553

    谷歌学者 

  19. Zhao LC，Chang SS，Kim JK:双曲空间中总渐近非扩张映射的混合型迭代。不动点理论应用。2013年、2013年：文章ID 353 10.1186/1687-1812-2013-353

    谷歌学者 

  20. Zhao LC，Chang SS，Wang XR：双曲空间中全渐近非扩张映射的收敛定理。J.应用。数学。2013年、2013年：文章ID 689765

    谷歌学者 

  21. Şahin A，Başarır M：关于强者和△-CAT（0）空间上SP-迭代的收敛性。J.不平等。申请。2013年、2013年：文章ID 311 10.1186/1029-242X-2013-311

    谷歌学者 

  22. Lim TC：关于一些不动点定理的备注。程序。美国数学。Soc公司。1976, 60: 179–182. 10.1090/S0002-9939-1976-0423139-X

    第条 谷歌学者 

  23. Dhompongsa S，Panyanak B：开△-CAT（0）空间中的收敛定理。计算。数学。申请。2008, 56(10):2572–2579. 2016年10月10日/j.camwa.2008.05.036

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  24. Leustean L:一致凸上的非扩张迭代W公司-双曲线空间。康斯坦普。数学。513.英寸非线性分析与优化I：非线性分析编辑：Leizarowitz A，Mordukhovich BS，Shafrir I，Zaslavski A.Am.Math。普罗维登斯州；2010:193–209.

    第章 谷歌学者 

  25. Qihou L：带误差元的渐近拟单扩张映射的迭代序列。数学杂志。分析。申请。2001, 259: 18–24. 2006年10月10日/jmaa.2000.7353

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  26. Guo W，Cho YJ，Guo W：混合型渐近非扩张映射的收敛定理。不动点理论应用。2012年、2012年：文章ID 224 10.1186/1687-1812-2012-224

    谷歌学者 

  27. KzáltunçH，Yolaçan E:Banach空间中两个完全渐近非扩张非自映射的强收敛定理。不动点理论应用。2013年：文章ID 90 10.1186/1687-1812-2013-90

    谷歌学者 

  28. Senter HF，Dotson WG:非扩张映射的不动点逼近。程序。美国数学。Soc公司。1974, 44: 375–380. 10.1090/S0002-9939-1974-0346608-8

    第条 数学科学网 谷歌学者 

下载参考资料

致谢

作者要感谢编辑和审稿人的仔细阅读和宝贵的意见和建议，这些意见和建议促成了本文的当前形式。本论文得到了Sakarya大学科学研究基金会（项目编号：2013-02-00-003）的支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 土耳其萨卡里亚萨卡里亚大学科学与艺术学院数学系，54187

    艾努尔·阿欣和梅汀·巴沙尔

作者
  1. 艾努尔·阿欣
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  2. 梅丁·巴沙尔
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

通讯作者

与的通信艾努尔·阿欣.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

两位作者在写这篇文章时贡献均等，意义重大。两位作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于这篇文章

检查更新。通过CrossMark验证货币和真实性

引用这篇文章

∧ahin，A.，Bašarñr，M.双曲空间中修正SP-迭代格式的一些收敛结果。不动点理论应用 2014, 133 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-133

下载引文

  • 收到:

  • 认可的:

  • 出版:

  • 内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-133

关键词