Common fixed point theorems for weakly compatible mappings satisfying contractive conditions of integral type

Liu, Zeqing; Han, Yan; Kang, Shin Min; Ume, Jeong Sheok

doi:10.1186/1687-1812-2014-132

研究
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出版：2014年6月2日

满足积分型压缩条件的弱相容映射的公共不动点定理

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：132(2014)引用这篇文章

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三引文
韵律学细节

摘要

证明了度量空间中满足积分型一般压缩条件的弱相容映射的两个常见不动点定理，并给出了一个示例。本文得到的结果大大扩展和改进了先前的几个结果，特别是Brancari的定理2.1（Int.J.Math.Math.Sci.29（9）：531-5362002）、Rhoades的定理2（Int.J Math.Meth.Sci.2003（63）：4007-40132003）和Vijayaraju的定理2等。（《国际数学杂志数学科学》2005（15）：2359-23642005）。还提供了一个具有无数个点的非平凡示例来支持本文的结果。

MSC公司：54H25。

1简介和前言

2002年，Brancari[1]引入度量空间中积分型压缩映射的概念，证明了积分型压缩映象的以下不动点定理，这是Banach压缩原理的一个很好的推广。

定理1.1([1])

让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间, $c \in (0, 1)$ ,然后让 $（f） : X（X） \to X（X）$ 是这样的映射

\int_{0}^{d日 (（f） x个, （f） 年)} φ (秒) d日 秒 \leq c \int^{d日 (x个, 年)} φ (秒) d日 秒, \forall x个, 年 \in X（X）,

哪里 $φ : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ 是一个勒贝格可积映射，可在 $[0, + \infty)$ 如此一来 $ε > 0$ ,

\int_{0}^{ε} φ (秒) d日 秒 > 0 .

然后 （f） 具有唯一的固定点 $一 \in X（X）$ 这样，对于每个 $x个 \in X（X）$ , $林_{n个 \to \infty} {（f）}^{n个} x个 = 一$ .

之后，研究人员[2–17]其他人将结果推广到更一般的积分型压缩条件。特别是Rhoades[13]证明了定理1.1的以下扩展。

定理1.2([13])

让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间, $k个 \in [0, 1)$ , $（f） : X（X） \to X（X）$ 是这样的映射

\int_{0}^{d日 (（f） x个, （f） 年)} φ (秒) d日 秒 \leq k个 \int^{米 (x个, 年)} φ (秒) d日 秒, \forall x个, 年 \in X（X）,

哪里

米 (x个, 年) = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, （f） x个), d日 (年, （f） 年), \frac{d日 (x个, （f） 年) + d日 (年, （f） x个)}{2}},

$φ : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ 是一个勒贝格可积映射，可在 $[0, + \infty)$ 如此一来 $ε > 0$ ,

\int_{0}^{ε} φ (秒) d日 秒 > 0 .

然后 （f） 具有唯一的固定点 $一 \in X（X）$ 和,对于每个 $x个 \in X（X）$ , $林_{n个 \to \infty} {（f）}^{n个} x个 = 一$ .

维贾亚拉朱等。[17]将定理1.1和1.2从一个映射进一步扩展到一对映射。使用积分型压缩条件的有理表达式Vetro[16]还推广了定理1.1，并证明了以下弱相容映射的公共不动点定理。

定理1.3([16])

让 $(X（X）, d日)$ 是一个度量空间，并让 A类,B类,S公司 和吨 做自己-的映射 X（X） 具有 $S公司 (X（X）) \subseteq B类 (X（X）)$ 和 $吨 (X（X）) \subseteq A类 (X（X）)$ 这样的话

\int_{0}^{d日 (S公司 x个, 吨 年)} φ (秒) d日 秒 \leq α \int_{0}^{米 (x个, 年)} φ (秒) d日 秒 + β \int_{0}^{M（M） (x个, 年)} φ (秒) d日 秒, \forall x个, 年 \in X（X）,

哪里

\begin{matrix} 米 (x个, 年) = d日 (B类 年, 吨 年) \frac{1 + d日 (A类 x个, S公司 x个)}{1 + d日 (A类 x个, B类 年)}, \\ M（M） (x个, 年) = 最大值 {d日 (A类 x个, B类 年), d日 (A类 x个, S公司 x个), d日 (B类 年, 吨 年)}, \end{matrix}

$α > 0$ , $β > 0$ , $α + β < 1$ 和 $φ : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ 是每个紧子集上的Lebesgue可积映射 $[0, + \infty)$ 如此一来 $ε > 0$ ,

\int_{0}^{ε} φ (秒) d日 秒 > 0 .

假设其中一个 $A类 (X（X）)$ , $B类 (X（X）)$ , $S公司 (X（X）)$ 和 $吨 (X（X）)$ 是的完整子集 X（X） 和这对 ${A类, S公司}$ 和 ${B类, 吨}$ 是弱相容的.然后 A类,B类,S公司 和吨 在中具有唯一的公共固定点 X（X）.

在[1–17]，本文引入了更一般的积分型压缩映射，其中包括[1,4,13,16,17]作为特殊情况，我们建立了这些弱相容积分型压缩映射公共不动点的存在唯一性。我们的结果扩展、改进和统一了[1,4,13,16,17]. 还提供了一个具有无数个点的非平凡示例来支持本文的结果。

在本文中，我们假设 ${R（右）}^{+} = [0, + \infty)$ , $R（右） = (- \infty, + \infty)$ , ${N个}_{0} = {0} \cup N个$ ，其中ℕ表示所有正整数的集合

Φ = { $φ : φ : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 满足这一点φ勒贝格是可积的，在每个紧子集上是可和的 ${R（右）}^{+}$ 和 $\int_{0}^{ε} φ (t吨) d日 t吨 > 0$ 对于每个 $ε > 0$ },

Ψ = { $ψ : ψ : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 上部半连续开启 ${R（右）}^{+} ∖ {0}$ , $ψ (0) = 0$ 和 $ψ (t吨) < t吨$ 对于每个 $t吨 > 0$ },

$Ψ_{1}$ = { $ψ : ψ : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 不会减少 ${R（右）}^{+}$ , $ψ (t吨) < t吨$ 和 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} ψ^{n个} (t吨) < + \infty$ 对于每个 $t吨 > 0$ }.

回想一下，一对自映射（f）和克在度量空间中 $(X（X）, d日)$ 被称为弱相容 $t吨 \in X（X）$ 平等 $（f） t吨 = 克 t吨$ 暗示 $（f）克 t吨 = 克（f） t吨$ .

引理1.4([9])

让 $φ \in Φ$ 和 ${{第页}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 是非负序列.然后

\underset{n个 \to \infty}{林} \int_{0}^{{第页}_{n个}} φ (t吨) d日 t吨 = 0

当且仅当 $林_{n个 \to \infty} {第页}_{n个} = 0$ .

2公共不动点定理

现在我们给出了度量空间中四个积分型压缩映射的两个公共不动点定理。

定理2.1 让 A类,B类,S公司 和吨 做自己-度量空间的映射 $(X（X）, d日)$ 这样的话

（C1） $S公司 (X（X）) \subseteq B类 (X（X）)$ 和 $吨 (X（X）) \subseteq A类 (X（X）)$ ;

（C2）这两对 ${A类, S公司}$ 和 ${B类, 吨}$ 是弱相容的;

（C3）什么之中的一个 $A类 (X（X）)$ , $B类 (X（X）)$ , $S公司 (X（X）)$ 和 $吨 (X（X）)$ 是的完整子集 X（X） 和

\int_{0}^{d日 (S公司 x个, 吨 年)} φ (t吨) d日 t吨 \leq ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}), \forall x个, 年 \in X（X）,

(2.1)

哪里 $(ψ, φ)$ 在中 $Ψ \times Φ$ 和

\begin{aligned} 米_{1} (x个, 年) = d日 (B类 年, 吨 年) \frac{1 + d日 (A类 x个, S公司 x个)}{1 + d日 (A类 x个, B类 年)}, \\ 米_{2} (x个, 年) = d日 (A类 x个, S公司 x个) \frac{1 + d日 (B类 年, 吨 年)}{1 + d日 (A类 x个, B类 年)}, \\ 米_{三} (x个, 年) = \frac{d日 (S公司 x个, B类 年) d日 (吨 年, A类 x个)}{1 + d日 (A类 x个, B类 年)}, \\ 米_{4} (x个, 年) = 最大值 {d日 (A类 x个, B类 年), d日 (A类 x个, S公司 x个), d日 (B类 年, 吨 年), \\ \frac{1}{2} [d日 (S公司 x个, B类 年) + d日 (吨 年, A类 x个)]} . \end{aligned}

（2.2）

然后 A类,B类,S公司 和吨 在中具有唯一的公共固定点 X（X）.

证明让 ${x个}_{0} \in X（X）$ 根据（C1），存在两个序列 ${年_{n个}}_{n个 \in N个}$ 和 ${{x个}_{n个}}_{n个 \in {N个}_{0}}$ 在里面X（X）令人满意的

年_{2 n个 + 1} = S公司 {x个}_{2 n个} = B类 {x个}_{2 n个 + 1} 和 年_{2 n个 + 2} = 吨 {x个}_{2 n个 + 1} = A类 {x个}_{2 n个 + 2}, \forall n个 \in {N个}_{0} .

(2.3)

放置 ${d日}_{n个} = d日 (年_{n个}, 年_{n个 + 1})$ 对于每个 $n个 \in N个$ .

首先，我们表明A类,B类,S公司和吨最多有一个共同的固定点X（X）。假设u个和v（v）是两个不同的公共固定点A类,B类,S公司和吨在里面X（X）根据（2.1）、（2.2）和 $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ 那个

\begin{matrix} 米_{1} (u个, v（v）) = d日 (B类 v（v）, 吨 v（v）) \frac{1 + d日 (A类 u个, S公司 u个)}{1 + d日 (A类 u个, B类 v（v）)} = 0, \\ 米_{2} (u个, v（v）) = d日 (A类 u个, S公司 u个) \frac{1 + d日 (B类 v（v）, 吨 v（v）)}{1 + d日 (A类 u个, B类 v（v）)} = 0, \\ 米_{三} (u个, v（v）) = \frac{d日 (S公司 u个, B类 v（v）) d日 (吨 v（v）, A类 u个)}{1 + d日 (A类 u个, B类 v（v）)} = \frac{{d日}^{2} (u个, v（v）)}{1 + d日 (u个, v（v）)}, \\ 米_{4} (u个, v（v）) = 最大值 {d日 (A类 u个, B类 v（v）), d日 (A类 u个, S公司 u个), d日 (B类 v（v）, 吨 v（v）), \frac{1}{2} [d日 (S公司 u个, B类 v（v）) + d日 (吨 v（v）, A类 u个)]} = d日 (u个, v（v）) \end{matrix}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (u个, v（v）)} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 u个, 吨 v（v）)} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} (u个, v（v）)} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {0, 0, \int_{0}^{\frac{{d日}^{2} (u个, v（v）)}{1 + d日 (u个, v（v）)}} φ (t吨) d日 t吨, \int_{0}^{d日 (u个, v（v）)} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = ψ (\int_{0}^{d日 (u个, v（v）)} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{d日 (u个, v（v）)} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。因此A类,B类,S公司和吨最多有一个共同的固定点X（X）.

其次，我们证明了这一点A类,B类,S公司和吨有一个共同的固定点 $A类一 \in X（X）$ 如果存在 $一, b条 \in X（X）$ 令人满意的

A类 一 = S公司 一 = B类 b条 = 吨 b条 .

(2.4)

假设（2.4）适用于一些 $一, b条 \in X（X）$ .放置 $c = A类一$ 注意，（C2）表示

S公司 c = S公司 A类 一 = A类 S公司 一 = A类 c 和 B类 c = B类 吨 b条 = 吨 B类 b条 = 吨 c .

(2.5)

假设 $c \neq 吨 c$ 鉴于（2.1）、（2.2）、（2.4）、（2.5）和 $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ ，我们推断

\begin{matrix} 米_{1} (一, c) = d日 (B类 c, 吨 c) \frac{1 + d日 (A类 一, S公司 一)}{1 + d日 (A类 一, B类 c)} = 0, \\ 米_{2} (一, c) = d日 (A类 一, S公司 一) \frac{1 + d日 (B类 c, 吨 c)}{1 + d日 (A类 一, B类 c)} = 0, \\ 米_{三} (一, c) = \frac{d日 (S公司 一, B类 c) d日 (吨 c, A类 一)}{1 + d日 (A类 一, B类 c)} = \frac{d日 (c, B类 c) d日 (吨 c, c)}{1 + d日 (c, B类 c)} = \frac{{d日}^{2} (c, 吨 c)}{1 + d日 (c, 吨 c)}, \\ \begin{aligned} 米_{4} (一, c) & = 最大值 {d日 (A类 一, B类 c), d日 (A类 一, S公司 一), d日 (B类 c, 吨 c), \frac{1}{2} [d日 (S公司 一, B类 c) + d日 (吨 c, A类 一)]} \\ = 最大值 {d日 (c, B类 c), 0, 0, \frac{1}{2} [d日 (c, B类 c) + d日 (吨 c, c)]} = d日 (c, 吨 c) \end{aligned} \end{matrix}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (c, 吨 c)} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 一, 吨 c)} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} (一, c)} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {0, 0, \int_{0}^{\frac{{d日}^{2} (c, 吨 c)}{1 + d日 (c, 吨 c)}} φ (t吨) d日 t吨, \int_{0}^{d日 (c, 吨 c)} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = ψ (\int_{0}^{d日 (c, 吨 c)} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{d日 (c, 吨 c)} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是不可能的。因此， $c = 吨 c = B类 c$ 。同样，我们得出的结论是 $c = A类 c = S公司 c$ 也就是说，c是的公共不动点A类,B类,S公司和吨.

第三，我们证明（2.4）适用于一些 $一, b条 \in X（X）$ 为了证明（2.4），我们必须考虑以下三种可能的情况。

案例1。存在 ${n个}_{0} \in N个$ 令人满意的 ${d日}_{2 {n个}_{0}} = 0$ 。我们声称 ${d日}_{2 {n个}_{0} + 1} = 0$ 。否则 ${d日}_{2 {n个}_{0} + 1} > 0$ 使用（2.1）-（2.3）和 $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ ，我们推断

\begin{aligned} 米_{1} ({x个}_{2 {n个}_{0}}, {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) = d日 (B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}, 吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) \frac{1 + d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1})} \\ = d日 (年_{2 {n个}_{0} + 1}, 年_{2 {n个}_{0} + 2}) \frac{1 + d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1})}{1 + d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1})} = {d日}_{2 {n个}_{0} + 1}, \\ 米_{2} ({x个}_{2 {n个}_{0}}, {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) = d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}}) \frac{1 + d日 (B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}, 吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1})} \\ = d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1}) \frac{1 + d日 (年_{2 {n个}_{0} + 1}, 年_{2 {n个}_{0} + 2})}{1 + d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1})} = 0, \\ 米_{三} ({x个}_{2 {n个}_{0}}, {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) = \frac{d日 (S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}}, B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) d日 (吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}, A类 {x个}_{2 {n个}_{0}})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1})} \\ = \frac{d日 (年_{2 {n个}_{0} + 1}, 年_{2 {n个}_{0} + 1}) d日 (年_{2 {n个}_{0} + 2}, 年_{2 {n个}_{0}})}{1 + d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1})} = 0, \\ 米_{4} ({x个}_{2 {n个}_{0}}, {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) = 最大值 {d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}), d日 (A类 {x个}_{2 {n个}_{0}}, S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}}), d日 (B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}, 吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}), \\ \frac{1}{2} [d日 (S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}}, B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}) + d日 (吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}, A类 {x个}_{2 {n个}_{0}})]} \\ = 最大值 {d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1}), d日 (年_{2 {n个}_{0}}, 年_{2 {n个}_{0} + 1}), d日 (年_{2 {n个}_{0} + 1}, 年_{2 {n个}_{0} + 2}), \\ \frac{1}{2} [d日 (年_{2 {n个}_{0} + 1}, 年_{2 {n个}_{0} + 1}) + d日 (年_{2 {n个}_{0} + 2}, 年_{2 {n个}_{0}})]} = 最大值 {{d日}_{2 {n个}_{0}}, {d日}_{2 {n个}_{0} + 1}} = {d日}_{2 {n个}_{0} + 1} \end{aligned}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{{d日}_{2 {n个}_{0} + 1}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (年_{2 {n个}_{0} + 1}, 年_{2 {n个}_{0} + 2})} φ (t吨) d日 t吨 = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}}, 吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} ({x个}_{2 {n个}_{0}}, {x个}_{2 {n个}_{0} + 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {\int_{0}^{{d日}_{2 {n个}_{0} + 1}} φ (t吨) d日 t吨, 0, 0, \int_{0}^{{d日}_{2 {n个}_{0} + 1}} φ (t吨) d日 t吨}) \\ < \int_{0}^{{d日}_{2 {n个}_{0} + 1}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。因此 ${d日}_{2 {n个}_{0} + 1} = 0$ 。由此可见

A类 {x个}_{2 {n个}_{0}} = 年_{2 {n个}_{0}} = 年_{2 {n个}_{0} + 1} = S公司 {x个}_{2 {n个}_{0}} 和 B类 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1} = 年_{2 {n个}_{0} + 1} = 年_{2 {n个}_{0} + 2} = 吨 {x个}_{2 {n个}_{0} + 1} .

放置 $一 = {x个}_{2 {n个}_{0}}$ 和 $b条 = {x个}_{2 {n个}_{0} + 1}$ 很容易看出（2.4）支持和 $年_{2 {n个}_{0}}$ 是的公共不动点A类,B类,S公司和吨.

案例2。存在 ${n个}_{0} \in N个$ 令人满意的 ${d日}_{2 {n个}_{0} - 1} = 0$ 和案例1的证明一样，我们同样推断（2.4）适用于 $一 = {x个}_{2 {n个}_{0}}$ 和 $b条 = {x个}_{2 {n个}_{0} - 1}$ ，以及 $年_{2 {n个}_{0} - 1}$ 是的公共不动点A类,B类,S公司和吨.

案例3。 $年_{n个} \neq 年_{n个 + 1}$ 为所有人 $n个 \in N个$ 现在我们声称 ${d日}_{2 n个} \leq {d日}_{2 n个 - 1}$ 为所有人 $n个 \in N个$ 。假设 ${d日}_{2 n个} > {d日}_{2 n个 - 1}$ 对一些人来说 $n个 \in N个$ 根据（2.1）、（2.2）和 $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ ，我们到达

\begin{aligned} 米_{1} ({x个}_{2 n个}, {x个}_{2 n个 - 1}) = d日 (B类 {x个}_{2 n个 - 1}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1}) \frac{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个}, S公司 {x个}_{2 n个})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个}, B类 {x个}_{2 n个 - 1})} \\ = d日 (年_{2 n个 - 1}, 年_{2 n个}) \frac{1 + d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 + 1})}{1 + d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 - 1})} = {d日}_{2 n个 - 1} \frac{1 + {d日}_{2 n个}}{1 + {d日}_{2 n个 - 1}} < {d日}_{2 n个}, \\ 米_{2} ({x个}_{2 n个}, {x个}_{2 n个 - 1}) = d日 (A类 {x个}_{2 n个}, S公司 {x个}_{2 n个}) \frac{1 + d日 (B类 {x个}_{2 n个 - 1}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个}, B类 {x个}_{2 n个 - 1})} \\ = d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 + 1}) \frac{1 + d日 (年_{2 n个 - 1}, 年_{2 n个})}{1 + d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 - 1})} = {d日}_{2 n个}, \\ 米_{三} ({x个}_{2 n个}, {x个}_{2 n个 - 1}) = \frac{d日 (S公司 {x个}_{2 n个}, B类 {x个}_{2 n个 - 1}) d日 (吨 {x个}_{2 n个 - 1}, A类 {x个}_{2 n个})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个}, B类 {x个}_{2 n个 - 1})} \\ = \frac{d日 (年_{2 n个 + 1}, 年_{2 n个 - 1}) d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个})}{1 + d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 - 1})} = 0, \\ 米_{4} ({x个}_{2 n个}, {x个}_{2 n个 - 1}) = 最大值 {d日 (A类 {x个}_{2 n个}, B类 {x个}_{2 n个 - 1}), d日 (A类 {x个}_{2 n个}, S公司 {x个}_{2 n个}), d日 (B类 {x个}_{2 n个 - 1}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1}), \\ \frac{1}{2} [d日 (S公司 {x个}_{2 n个}, B类 {x个}_{2 n个 - 1}) + d日 (吨 {x个}_{2 n个 - 1}, A类 {x个}_{2 n个})]} \\ = 最大值 {d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 - 1}), d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个 + 1}), d日 (年_{2 n个 - 1}, 年_{2 n个}), \\ \frac{1}{2} [d日 (年_{2 n个 + 1}, 年_{2 n个 - 1}) + d日 (年_{2 n个}, 年_{2 n个})]} \\ = 最大值 {{d日}_{2 n个 - 1}, {d日}_{2 n个}} = {d日}_{2 n个} \end{aligned}

(2.6)

和

\begin{aligned} \int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (年_{2 n个 + 1}, 年_{2 n个})} φ (t吨) d日 t吨 = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{2 n个}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} ({x个}_{2 n个}, {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {\int_{0}^{{d日}_{2 n个 - 1} \frac{1 + {d日}_{2 n个}}{1 + {d日}_{2 n个 - 1}}} φ (t吨) d日 t吨, \int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨, 0, \int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = ψ (\int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

(2.7)

这太荒谬了。因此 ${d日}_{2 n个} \leq {d日}_{2 n个 - 1}$ 对于每个 $n个 \in N个$ 和（2.6）和（2.7）的证明一样，我们同样推断 ${d日}_{2 n个 + 1} \leq {d日}_{2 n个}$ 为所有人 $n个 \in N个$ 。因此， ${{d日}_{n个}}_{n个 \in N个}$ 是一个非递增的正序列，这意味着存在一个常数 $第页 \geq 0$ 具有

\underset{n个 \to \infty}{林} {d日}_{n个} = 第页 .

(2.8)

假设 $第页 > 0$ 利用（2.1）、（2.2）、（2.6）、（2.8）和 $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ 和引理1.4，我们得到了

\begin{aligned} \int_{0}^{第页} φ (t吨) d日 t吨 = & \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨 = \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{d日 (年_{2 n个 + 1}, 年_{2 n个})} φ (t吨) d日 t吨 \\ = & \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{2 n个}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq & \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} ({x个}_{2 n个}, {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ \leq & ψ (\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 最大值 {\int_{0}^{{d日}_{2 n个 - 1} \frac{1 + {d日}_{2 n个}}{1 + {d日}_{2 n个 - 1}}} φ (t吨) d日 t吨, \int_{0}^{{d日}_{2 n个}} φ (t吨) d日 t吨, 0, \\ \int_{0}^{最大值 {{d日}_{2 n个 - 1}, {d日}_{2 n个}}} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = & ψ (最大值 {\int_{0}^{第页} φ (t吨) d日 t吨, \int_{0}^{第页} φ (t吨) d日 t吨, 0, \int_{0}^{第页} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = & ψ (\int_{0}^{第页} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{第页} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。因此 $第页 = 0$ 也就是说，

\underset{n个 \to \infty}{林} {d日}_{n个} = 0 .

(2.9)

为了证明这一点 ${年_{n个}}_{n个 \in N个}$ 是柯西序列，通过（2.9）我们只需要证明 ${年_{2 n个}}_{n个 \in N个}$ 是一个柯西序列。假设 ${年_{2 n个}}_{n个 \in N个}$ 不是Cauchy序列。因此，存在 $ε > 0$ 这样，对于每个偶数2k个有偶数个整数 $2 米 (k个)$ , $2 n个 (k个)$ 具有 $2 米 (k个) > 2 n个 (k个) > 2 k个$ 和

d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个)}) \geq ε .

(2.10)

对于每个偶数整数2k个，让 $2 米 (k个)$ 是超出的最小偶数整数 $2 n个 (k个)$ 令人满意（2.10）。由此可见

d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 2}) < ε, \forall k个 \in N个 .

(2.11)

请注意

\begin{aligned} d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个)}) \leq d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 2}) + {d日}_{2 米 (k个) - 2} + {d日}_{2 米 (k个) - 1}, \forall k个 \in N个; \\ | d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个)}) - d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个)}) | \leq {d日}_{2 n个 (k个)}, \forall k个 \in N个; \\ | d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 1}) - d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个)}) | \leq {d日}_{2 米 (k个) - 1}, \forall k个 \in N个; \\ | d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个) - 1}) - d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个)}) | \leq {d日}_{2 米 (k个) - 1}, \forall k个 \in N个 . \end{aligned}

(2.12)

关于（2.9）-（2.12），我们知道

\begin{aligned} ε & = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个)}) = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个)}) \\ = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 1}) = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个) - 1}) . \end{aligned}

(2.13)

根据（2.1）、（2.2）、（2.9）、（2.13）， $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ 和引理1.4，我们推断

\begin{aligned} 米_{1} ({x个}_{2 n个 (k个)}, {x个}_{2 米 (k个) - 1}) \\ = d日 (B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1}, 吨 {x个}_{2 米 (k个) - 1}) \frac{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, S公司 {x个}_{2 n个 (k个)})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1})} \\ = d日 (年_{2 米 (k个) - 1}, 年_{2 米 (k个)}) \frac{1 + d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 n个 (k个) + 1})}{1 + d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 1})} \to 0 作为 k个 \to \infty, \\ 米_{2} ({x个}_{2 n个 (k个)}, {x个}_{2 米 (k个) - 1}) \\ = d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, S公司 {x个}_{2 n个 (k个)}) \frac{1 + d日 (B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1}, 吨 {x个}_{2 米 (k个) - 1})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1})} \\ = d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 n个 (k个) + 1}) \frac{1 + d日 (年_{2 米 (k个) - 1}, 年_{2 米 (k个)})}{1 + d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 1})} \to 0 作为 k个 \to \infty, \\ 米_{三} ({x个}_{2 n个 (k个)}, {x个}_{2 米 (k个) - 1}) \\ = \frac{d日 (S公司 {x个}_{2 n个 (k个)}, B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1}) d日 (吨 {x个}_{2 米 (k个) - 1}, A类 {x个}_{2 n个 (k个)})}{1 + d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1})} \\ = \frac{d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个) - 1}) d日 (年_{2 米 (k个)}, 年_{2 n个 (k个)})}{1 + d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 1})} \to \frac{ε^{2}}{1 + ε} 作为 k个 \to \infty, \\ 米_{4} ({x个}_{2 n个 (k个)}, {x个}_{2 米 (k个) - 1}) \\ = 最大值 {d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1}), d日 (A类 {x个}_{2 n个 (k个)}, S公司 {x个}_{2 n个 (k个)}), d日 (B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1}, 吨 {x个}_{2 米 (k个) - 1}), \\ \frac{1}{2} [d日 (S公司 {x个}_{2 n个 (k个)}, B类 {x个}_{2 米 (k个) - 1}) + d日 (吨 {x个}_{2 米 (k个) - 1}, A类 {x个}_{2 n个 (k个)})]} \\ = 最大值 {d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 米 (k个) - 1}), d日 (年_{2 n个 (k个)}, 年_{2 n个 (k个) + 1}), d日 (年_{2 米 (k个) - 1}, 年_{2 米 (k个)}), \\ \frac{1}{2} [d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个) - 1}) + d日 (年_{2 米 (k个)}, 年_{2 n个 (k个)})]} \to ε 作为 k个 \to \infty \end{aligned}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{ε} φ (t吨) d日 t吨 & = \underset{k个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{d日 (年_{2 n个 (k个) + 1}, 年_{2 米 (k个)})} φ (t吨) d日 t吨 = \underset{k个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{2 n个 (k个)}, 吨 {x个}_{2 米 (k个) - 1})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq \underset{k个 \to \infty}{酸橙酱} ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} ({x个}_{2 n个 (k个)}, {x个}_{2 米 (k个) - 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ \leq ψ (\underset{k个 \to \infty}{酸橙酱} 最大值 {\int_{0}^{米_{我} ({x个}_{2 n个 (k个)}, {x个}_{2 米 (k个) - 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {0, 0, \int_{0}^{\frac{ε^{2}}{1 + ε}} φ (t吨) d日 t吨, \int_{0}^{ε} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = ψ (\int_{0}^{ε} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{ε} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。因此 ${年_{n个}}_{n个 \in N个}$ 是一个柯西序列。

假设 $A类 (X（X）)$ 已完成。请注意 ${年_{2 n个}}_{n个 \in N个} \subseteq A类 (X（X）)$ ，这意味着 ${年_{2 n个}}_{n个 \in N个}$ 收敛到一点 $c \in A类 (X（X）)$ .显然 $林_{n个 \to \infty} 年_{n个} = c$ .放置 $一 \in {A类}^{- 1} c$ 。由此可见 $A类一 = c$ 。假设 $S公司一 \neq c$ .鉴于（2.1）-（2.3）， $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ ，引理1.4和 $林_{n个 \to \infty} 年_{n个} = c$ ，我们推断

\begin{matrix} \begin{aligned} 米_{1} (一, {x个}_{2 n个 - 1}) & = d日 (B类 {x个}_{2 n个 - 1}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1}) \frac{1 + d日 (A类 一, S公司 一)}{1 + d日 (A类 一, B类 {x个}_{2 n个 - 1})} \\ = d日 (年_{2 n个 - 1}, 年_{2 n个}) \frac{1 + d日 (c, S公司 一)}{1 + d日 (c, 年_{2 n个 - 1})} \to 0 作为 n个 \to \infty, \end{aligned} \\ \begin{aligned} 米_{2} (一, {x个}_{2 n个 - 1}) & = d日 (A类 一, S公司 一) \frac{1 + d日 (B类 {x个}_{2 n个 - 1}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1})}{1 + d日 (A类 一, B类 {x个}_{2 n个 - 1})} \\ = d日 (c, S公司 一) \frac{1 + d日 (年_{2 n个 - 1}, 年_{2 n个})}{1 + d日 (c, 年_{2 n个 - 1})} \to d日 (c, S公司 一) 作为 n个 \to \infty, \end{aligned} \\ \begin{aligned} 米_{三} (一, {x个}_{2 n个 - 1}) & = \frac{d日 (S公司 一, B类 {x个}_{2 n个 - 1}) d日 (吨 {x个}_{2 n个 - 1}, A类 一)}{1 + d日 (A类 一, B类 {x个}_{2 n个 - 1})} \\ = \frac{d日 (S公司 一, 年_{2 n个 - 1}) d日 (年_{2 n个}, c)}{1 + d日 (c, 年_{2 n个 - 1})} \to 0 作为 n个 \to \infty, \end{aligned} \\ \begin{aligned} 米_{4} (一, {x个}_{2 n个 - 1}) = & 最大值 {d日 (A类 一, B类 {x个}_{2 n个 - 1}), d日 (A类 一, S公司 一), d日 (B类 {x个}_{2 n个 - 1}, 吨 {x个}_{2 n个 - 1}), \\ \frac{1}{2} [d日 (S公司 一, B类 {x个}_{2 n个 - 1}) + d日 (吨 {x个}_{2 n个 - 1}, A类 一)]} \\ = & 最大值 {d日 (c, 年_{2 n个 - 1}), d日 (c, S公司 一), d日 (年_{2 n个 - 1}, 年_{2 n个}), \\ \frac{1}{2} [d日 (S公司 一, 年_{2 n个 - 1}) + d日 (年_{2 n个}, c)]} \to d日 (c, S公司 一) 作为 n个 \to \infty \end{aligned} \end{matrix}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (S公司 一, c)} φ (t吨) d日 t吨 & = \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{d日 (S公司 一, 年_{2 n个})} φ (t吨) d日 t吨 = \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \int_{0}^{d日 (S公司 一, 吨 {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} (一, {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ \leq ψ (\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 最大值 {\int_{0}^{米_{我} (一, {x个}_{2 n个 - 1})} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {0, \int_{0}^{d日 (c, S公司 一)} φ (t吨) d日 t吨, 0, \int_{0}^{d日 (c, S公司 一)} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = ψ (\int_{0}^{d日 (c, S公司 一)} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{d日 (c, S公司 一)} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。因此， $S公司一 = c$ ，与（C1）一起表示 $c \in B类 (X（X）)$ .放置 $b条 \in {B类}^{- 1} c$ 也就是说， $B类 b条 = c$ 。假设 $c \neq 吨 b条$ 通过（2.1）、（2.2）和 $(ψ, φ) \in Ψ \times Φ$ ，我们明白了

\begin{matrix} 米_{1} (一, b条) = d日 (B类 b条, 吨 b条) \frac{1 + d日 (A类 一, S公司 一)}{1 + d日 (A类 一, B类 b条)} = d日 (c, 吨 b条), \\ 米_{2} (一, b条) = d日 (A类 一, S公司 一) \frac{1 + d日 (B类 b条, 吨 b条)}{1 + d日 (A类 一, B类 b条)} = 0, \\ 米_{三} (一, b条) = \frac{d日 (S公司 一, B类 b条) d日 (吨 b条, A类 一)}{1 + d日 (A类 一, B类 b条)} = 0, \\ \begin{aligned} 米_{4} (一, b条) & = 最大值 {d日 (A类 一, B类 b条), d日 (A类 一, S公司 一), d日 (B类 b条, 吨 b条), \frac{1}{2} [d日 (S公司 一, B类 b条) + d日 (吨 b条, A类 一)]} \\ = 最大值 {0, 0, d日 (c, 吨 b条), \frac{1}{2} [0 + d日 (吨 b条, c)]} \\ = d日 (c, 吨 b条) \end{aligned} \end{matrix}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (c, 吨 b条)} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 一, 吨 b条)} φ (t吨) d日 t吨 \leq ψ (最大值 {\int_{0}^{米_{我} (一, b条)} φ (t吨) d日 t吨 : 1 \leq 我 \leq 4}) \\ = ψ (最大值 {\int_{0}^{d日 (c, 吨 b条)} φ (t吨) d日 t吨, 0, 0, \int_{0}^{d日 (c, 吨 b条)} φ (t吨) d日 t吨}) \\ = ψ (\int_{0}^{d日 (c, 吨 b条)} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{d日 (c, 吨 b条)} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是不可能的。那就是， $c = 吨 b条$ 因此（2.4）成立。

假设 $吨 (X（X）)$ 已完成。请注意 ${年_{2 n个}}_{n个 \in N个} \subseteq 吨 (X（X）)$ ，这意味着 ${年_{2 n个}}_{n个 \in N个}$ 收敛到一点 $c \in 吨 (X（X）)$ .显然 $林_{n个 \to \infty} 年_{n个} = c$ .放置 ${b条}_{1} \in 吨^{- 1} c$ 。由此可见 $吨 {b条}_{1} = c$ .请注意 $吨 (X（X）) \subseteq A类 (X（X）)$ ，这意味着存在 $一 \in X（X）$ 具有 $A类一 = 吨 {b条}_{1} = c$ .如完整性证明 $A类 (X（X）)$ ，我们推断（2.4）成立。类似地，我们得出结论：（2.4）适用于 $B类 (X（X）)$ 和 $S公司 (X（X）)$ 已完成。这就完成了证明。□

与定理2.1的证明一样，我们得到了以下结果，并省略了它的证明。

定理2.2 让 A类,B类,S公司 和吨 做自己-度量空间的映射 $(X（X）, d日)$ 令人满意的（C1）-（C3）和

\int_{0}^{d日 (S公司 x个, 吨 年)} φ (t吨) d日 t吨 \leq ψ (\int_{0}^{米_{4} (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨), \forall x个, 年 \in X（X）,

(2.14)

哪里 $(ψ, φ)$ 在中 $Ψ \times Φ$ 和 $米_{4}$ 由定义(2.2).然后 A类,B类,S公司 和吨 在中具有唯一的公共固定点 X（X）.

备注2.3定理2.1和2.2扩展、改进和统一了[1,4]，中的定理2[13,16,17]和推论3英寸[17]. 下面的例子表明，定理2.2实际上是定理2.1的推广[1]，中的定理2[13,17]和推论3英寸[17]，与中的定理3.1-3.3不同[9].

例2.4让 $X（X） = R（右）$ 被赋予欧几里德度量 $d日 (x个, 年) = | x个 - 年 |$ 为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ .让 $S公司, 吨 : X（X） \to X（X）$ 由定义

S公司 x个 = {\begin{matrix} 2, & \forall x个 \in X（X） - {1}, \\ \frac{三}{2}, & x个 = 1, \end{matrix} 吨 x个 = 2, \forall x个 \in X（X） .

现在我们认为定理2和推论3[17]不能用来证明映射的公共不动点的存在性S公司和吨在里面X（X）和中的定理2[13]，中的定理2.1[1]和定理3.1-3.3 in[9]在证明映射不动点的存在性方面是无用的S公司在里面X（X）.

假设存在 $(φ, ψ) \in Φ \times Ψ_{1}$ 满足中定理2的条件[17]也就是说，

\int_{0}^{d日 (S公司 x个, 吨 年)} φ (t吨) d日 t吨 \leq ψ (\int_{0}^{M（M） (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨), \forall x个, 年 \in X（X）,

(2.15)

哪里

\begin{aligned} M（M） (x个, 年) & = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, S公司 x个), d日 (年, 吨 年), \frac{1}{2} [d日 (年, S公司 x个) + d日 (x个, 吨 年)]} . \end{aligned}

（2.16）

放置 ${x个}_{0} = 1$ 和 $年_{0} = \frac{三}{2}$ 它由（2.15）、（2.16）和 $(φ, ψ) \in Φ \times Ψ_{1}$ 那个

\begin{aligned} M（M） ({x个}_{0}, 年_{0}) & = 最大值 {d日 ({x个}_{0}, 年_{0}), d日 ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}), d日 (年_{0}, 吨 年_{0}), \frac{1}{2} [d日 (年_{0}, S公司 {x个}_{0}) + d日 ({x个}_{0}, 吨 年_{0})]} \\ = 最大值 {d日 (1, \frac{三}{2}), d日 (1, \frac{三}{2}), d日 (\frac{三}{2}, 2), \frac{1}{2} [d日 (\frac{三}{2}, \frac{三}{2}) + d日 (1, 2)]} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{0}, 吨 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \leq ψ (\int_{0}^{M（M） ({x个}_{0}, 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨) \\ = ψ (\int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨) < \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是不可能的。

假设存在 $φ \in Φ$ 和 $k个 \in [0, 1)$ 满足推论3中的条件[17]也就是说，

\int_{0}^{d日 (S公司 x个, 吨 年)} φ (t吨) d日 t吨 \leq k个 \int_{0}^{n个 (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨 对于每个不同的 x个, 年 \in X（X）,

（2.17）

哪里

n个 (x个, 年) = 最大值 {d日 (x个, 年), \frac{d日 (年, 吨 年) [1 + d日 (x个, S公司 x个)]}{1 + d日 (x个, 年)}} .

(2.18)

Take（获取） ${x个}_{0} = 1$ 和 $年_{0} = \frac{三}{2}$ 它由（2.17）、（2.18）、， $k个 \in [0, 1)$ 和 $φ \in Φ$ 那个

\begin{aligned} n个 ({x个}_{0}, 年_{0}) & = 最大值 {d日 ({x个}_{0}, 年_{0}), \frac{d日 (年_{0}, 吨 年_{0}) [1 + d日 ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})]}{1 + d日 ({x个}_{0}, 年_{0})}} \\ = 最大值 {d日 (1, \frac{三}{2}), \frac{d日 (\frac{三}{2}, 2) [1 + d日 (1, \frac{三}{2})]}{1 + d日 (1, \frac{三}{2})}} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{0}, 吨 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \leq k个 \int_{0}^{n个 ({x个}_{0}, 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \\ = k个 \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 < \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。

假设存在 $φ \in Φ$ 和 $k个 \in [0, 1)$ 满足中定理2的条件[13]也就是说，

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (S公司 x个, S公司 年)} φ (t吨) d日 t吨 & \leq k个 \int_{0}^{米 (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨, \forall x个, 年 \in X（X）, \end{aligned}

(2.19)

哪里

\begin{aligned} 米 (x个, 年) & = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, S公司 x个), d日 (年, S公司 年), \frac{1}{2} [d日 (年, S公司 x个) + d日 (x个, S公司 年)]} . \end{aligned}

(2.20)

放置 ${x个}_{0} = 1$ 和 $年_{0} = \frac{三}{2}$ 它由（2.19）、（2.20）、， $k个 \in [0, 1)$ 和 $φ \in Φ$ 那个

\begin{aligned} 米 ({x个}_{0}, 年_{0}) & = 最大值 {d日 ({x个}_{0}, 年_{0}), d日 ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}), d日 (年_{0}, S公司 年_{0}), \frac{1}{2} [d日 (年_{0}, S公司 {x个}_{0}) + d日 ({x个}_{0}, S公司 年_{0})]} \\ = 最大值 {d日 (1, \frac{三}{2}), d日 (1, S公司 1), d日 (\frac{三}{2}, S公司 \frac{三}{2}), \frac{1}{2} [d日 (\frac{三}{2}, S公司 1) + d日 (1, S公司 \frac{三}{2})]} \\ = 最大值 {\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

和

\int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{0}, S公司 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \leq k个 \int_{0}^{米 ({x个}_{0}, 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 = k个 \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 < \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨,

这太荒谬了。观察中的定理2[13]将定理2.1推广到[1]，因此中的定理2.1[1]不能用于证明不动点的存在性S公司在里面X（X）.

假设存在 $φ \in Φ$ 满足中定理3.1的条件[9]也就是说，

\int_{0}^{d日 (S公司 x个, S公司 年)} φ (t吨) d日 t吨 \leq α (d日 (x个, 年)) \int_{0}^{d日 (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨, \forall x个, 年 \in X（X）,

(2.21)

哪里

α : {R（右）}^{+} \to [0, 1) 和 \underset{秒 \to t吨}{酸橙酱} α (秒) < 1, \forall t吨 > 0 .

(2.22)

放置 ${x个}_{0} = 1$ 和 $年_{0} = \frac{三}{2}$ 它由（2.21）、（2.22）和 $φ \in Φ$ 那个

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{0}, S公司 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \leq α (d日 ({x个}_{0}, 年_{0})) \int_{0}^{d日 ({x个}_{0}, 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \\ = α (\frac{1}{2}) \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 < \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是不可能的。

假设存在 $φ \in Φ$ 满足中定理3.2的条件[9]也就是说，

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (S公司 x个, S公司 年)} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq α (d日 (x个, 年)) \int_{0}^{d日 (x个, S公司 x个)} φ (t吨) d日 t吨 + β (d日 (x个, 年)) \int_{0}^{d日 (年, S公司 年)} φ (t吨) d日 t吨, \forall x个, 年 \in X（X）, \end{aligned}

(2.23)

哪里

\begin{aligned} α, β : {R（右）}^{+} \to [0, 1) 满足这一点 α (t吨) + β (t吨) < 1, \forall t吨 \in {R（右）}^{+}, \\ \underset{秒 \to 0^{+}}{酸橙酱} β (秒) < 1 和 \underset{秒 \to {t吨}^{+}}{酸橙酱} \frac{α (秒)}{1 - β (秒)} < 1, \forall t吨 > 0 . \end{aligned}

(2.24)

放置 ${x个}_{0} = 1$ 和 $年_{0} = \frac{三}{2}$ 它由（2.23）、（2.24）和 $φ \in Φ$ 那个

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{0}, S公司 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq α (d日 ({x个}_{0}, 年_{0})) \int_{0}^{d日 ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})} φ (t吨) d日 t吨 + β (d日 ({x个}_{0}, 年_{0})) \int_{0}^{d日 (年_{0}, S公司 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \\ = [α (\frac{1}{2}) + β (\frac{1}{2})] \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 < \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是一个矛盾。

假设存在 $φ \in Φ$ 满足中定理3.3的条件[9]也就是说，

\begin{array}{r} \int_{0}^{d日 (S公司 x个, S公司 年)} φ (t吨) d日 t吨 \leq γ (d日 (x个, 年)) (\int_{0}^{d日 (x个, S公司 x个)} φ (t吨) d日 t吨 + \int_{0}^{d日 (年, S公司 年)} φ (t吨) d日 t吨), \forall x个, 年 \in X（X）, \end{array}

（2.25）

哪里

\begin{array}{r} γ : {R（右）}^{+} \to [0, \frac{1}{2}) 和 \underset{秒 \to {t吨}^{+}}{酸橙酱} \frac{γ (秒)}{1 - γ (秒)} < 1, \forall t吨 > 0 . \end{array}

(2.26)

放置 ${x个}_{0} = 1$ 和 $年_{0} = \frac{三}{2}$ 它由（2.25）、（2.26）和 $φ \in Φ$ 那个

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{d日 (S公司 {x个}_{0}, S公司 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨 \\ \leq γ (d日 ({x个}_{0}, 年_{0})) (\int_{0}^{d日 ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})} φ (t吨) d日 t吨 + \int_{0}^{d日 (年_{0}, S公司 年_{0})} φ (t吨) d日 t吨) \\ = 2 γ (\frac{1}{2}) \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨 < \int_{0}^{\frac{1}{2}} φ (t吨) d日 t吨, \end{aligned}

这是不可能的。

接下来，我们使用定理2.2证明映射A类,B类,S公司和吨在中具有唯一的公共固定点X（X），其中 $A类, B类 : X（X） \to X（X）$ 由定义

A类 x个 = \frac{1}{2} {x个}^{2} 和 B类 x个 = \frac{1}{4} {x个}^{三}, \forall x个 \in X（X） .

定义两个函数 $ψ, φ : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 通过

φ (t吨) = 6 {t吨}^{5} + 三 {t吨}^{2} + t吨, \forall t吨 \in [0, + \infty) 和 ψ (t吨) = {\begin{matrix} {t吨}^{2}, & \forall t吨 \in [0, \frac{1}{2}], \\ \frac{t吨}{4 + t吨}, & \forall t吨 \in (\frac{1}{2}, + \infty) . \end{matrix}

很容易看出（C1）、（C2）和（C3）是成立的。让 $x个, 年 \in X（X）$ 为了验证（2.14），我们必须考虑以下两种可能的情况。

案例1。 $x个 \in X（X） ∖ {1}$ 。很明显

\begin{array}{r} \int_{0}^{d日 (S公司 x个, 吨 年)} φ (t吨) d日 t吨 = 0 \leq ψ (\int_{0}^{米_{4} (x个, 年)} φ (t吨) d日 t吨) . \end{array}

案例2。 $x个 = 1$ 。请注意ψ不会减少 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ ,

\begin{aligned} 米_{4} (1, 年) & = 最大值 {d日 (A类 1, B类 年), d日 (A类 1, S公司 1), d日 (B类 年, 吨 年), \frac{1}{2} [d日 (S公司 1, B类 年) + d日 (吨 年, A类 1)]} \\ = 最大值 {| \frac{1}{2} - \frac{年^{三}}{4} |, | \frac{1}{2} - \frac{三}{2} |, | \frac{年^{三}}{4} - 2 |, \frac{1}{2} (| \frac{三}{2} - \frac{年^{三}}{4} | + | 2 - \frac{1}{2} |)} \\ \geq 1 \end{aligned}

和

\begin{aligned} \int_{0}^{d日 (S公司 1, 吨 年)} φ (t吨) d日 t吨 & = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (6 {t吨}^{5} + 三 {t吨}^{2} + t吨) d日 t吨 = \frac{17}{64} \\ < \frac{5}{13} = \frac{\frac{5}{2}}{4 + \frac{5}{2}} = ψ (\frac{5}{2}) \\ = ψ (\int_{0}^{1} (6 {t吨}^{5} + 三 {t吨}^{2} + t吨) d日 t吨) \\ \leq ψ (\int_{0}^{米_{4} (1, 年)} φ (t吨) d日 t吨) . \end{aligned}

因此（2.14）成立。即满足定理2.2的条件。因此，定理2.2意味着A类,B类,S公司和吨有唯一的公共不动点 $2 \in X（X）$ .

工具书类

Brancari A:满足积分型一般压缩条件的映射的不动点定理。国际数学杂志。数学。科学。2002, 29(9):531–536. 10.1155/S0161171202007524
第条数学科学网谷歌学者
Aliouche A:满足积分型压缩条件的对称空间中弱相容映射的公共不动点定理。数学杂志。分析。申请。2006, 322(2):796–802. 2016年10月10日/j.jmaa.2005.09.068
第条数学科学网谷歌学者
Altun I，Türkoǧlu D:满足隐式关系的弱相容映射的一些不动点定理。台湾。数学杂志。2009, 13(4):1291–1304.
谷歌学者
Altun I，Türkoǧlu D，Rhoades BE：满足积分型一般压缩映射的弱相容映射的不动点。不动点理论应用。2007年：文章ID 17301 10.1155/2007/17301
谷歌学者
Beygmohammadi M，Razani A:模空间中满足积分型一般压缩条件的映射的两个不动点定理。国际数学杂志。数学。科学。2010年、2010年：文章ID 317107 10.1155/2010/317107
谷歌学者
Djoudi A，Aliouche A：满足积分型压缩条件的弱相容映射的Greguš型公共不动点定理。数学杂志。分析。申请。2007, 329(1):31–45. 2016年10月10日/j.jmaa.2006.06.037
第条数学科学网谷歌学者
Djoudi A，Merghadi F：积分型压缩条件下映射的公共不动点定理。数学杂志。分析。申请。2008, 341(2):953–960. 2016年10月10日/j.jmaa.2007年10月64日
第条数学科学网谷歌学者
Jachymski J：关于积分型压缩条件的注记。非线性分析。2009, 71(3–4):1073–1081. 10.1016/j.na.2008.11.046
第条数学科学网谷歌学者
Liu Z，Li X，Kang SM，Cho SY:满足积分型压缩条件的映射的不动点定理及其应用。不动点理论应用。2011年、2011年：文章ID 64 10.1186/1687-1812-2011-64
谷歌学者
Liu Z，Li ZL，Kang SM:积分型压缩映射的不动点定理。不动点理论应用。2013年、2013年：文章ID 300 10.1186/1687-1812-2013-300
谷歌学者
Liu Z，Lu Y，Kang SM:满足积分型压缩条件的映射的不动点定理。不动点理论应用。2013年，2013年：文章ID 267 10.1186/1687-1812-2013-267
谷歌学者
Mongkolkeha C，Kumam P：模空间中积分型广义弱收缩映射的不动点和公共不动点定理。国际数学杂志。数学。科学。2011.，2011:文章ID 705943 10.1155/2011/705943
谷歌学者
Rhoades BE:满足积分型一般压缩条件的映射的两个不动点定理。国际数学杂志。数学。科学。2003, 2003(63):4007–4013. 10.1155/S0161171203208024
第条数学科学网谷歌学者
Sintunavarat W，Kumam P:度量空间中积分型切多值映射的Gregus型公共不动点定理。国际数学杂志。数学。科学。2011.，2011:文章ID 923458 10.1155/2011/923458
谷歌学者
Sintunavarat W，Kumam P:满足积分型压缩条件的切向多值映射的Gregus型不动点。J.不平等。申请。2011.，2011:文章ID 3 10.1186/1029-242X-2011-3
谷歌学者
Vetro C：关于弱相容映射的Brancari-shi定理。申请。数学。莱特。2010, 23(6):700–705. 10.1016/j.na.2008.11.046
第条数学科学网谷歌学者
Vijayaraju P，Rhoades BE，Mohanraj R：满足积分型一般压缩条件的一对映射的不动点定理。国际数学杂志。数学。科学。2005, 2005(15):2359–2364. 10.1155/IJMMS.2005.2359
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致谢

本研究得到了辽宁省教育厅科学研究基金（L2012380）和韩国国家研究基金（NRF）基础科学研究计划（2013R1A1A2057665）的支持。

作者信息

作者和附属机构

辽宁师范大学数学系，辽宁大连，116029，中华人民共和国
刘泽青、韩彦
韩国金州庆生国立大学数学与RINS系，660-701
申敏康
韩国昌原641-773，昌原国立大学应用数学系
郑秀梅（Jeong Sheok Ume）

作者

刘泽青
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申敏康
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Liu，Z.、Han，Y.、Kang，S.M。等。满足积分型压缩条件的弱相容映射的公共不动点定理。不动点理论应用 2014, 132 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-132

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收到:2014年3月7日
认可的:2014年5月21日
出版:2014年6月2日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-132

满足积分型压缩条件的弱相容映射的公共不动点定理

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