A note on recent fixed point results involving g-quasicontractive type mappings in partially ordered metric spaces

Karapınar, Erdal; Samet, Bessem

doi:10.1186/1687-1812-2014-126

研究
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出版：2014年5月23日

关于最近不动点结果的注记克-偏序度量空间中的拟压缩型映射

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：126(2014)引用这篇文章

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1引文
韵律学细节

摘要

在这个注记中，我们在具有偏序的度量空间中建立了最近涉及拟压缩型映射的不动点定理之间的等价性。

MSC公司：47H10。

1引言

让 $(X（X）, d日)$ 是一个度量空间，让 $（f）, 克 : X（X） \to X（X）$ 打开两个自映射X（X）.让

M（M） (（f）, 克, x个, 年) : = 最大值 {d日 (克 x个, 克 年), d日 (克 x个, （f） x个), d日 (克 年, （f） 年), d日 (克 x个, （f） 年), d日 (克 年, （f） x个)} 为所有人 x个, 年 \in X（X） .

假设X（X）被赋予部分顺序⪯我们这么说（f）是订购的克-准收缩（参见[1,2])如果

d日 (（f） x个, （f） 年) \leq λ M（M） (（f）, 克, x个, 年) 为所有人 x个, 年 \in X（X） 这样的话 克 年 ⪯ 克 x个

对于一些常量 $λ \in (0, 1)$ .如果 $克 = 我 {d日}_{X（X）}$ （上的身份图X（X）)，然后（f）被称为有序准收缩。

在[1]，作者得出了以下结果。

定理1.1 让 $(X（X）, d日)$ 是具有一定偏序的度量空间 ⪯.让 $（f）, 克 : X（X） \to X（X）$ 成为两个自己-上的地图 X（X） 满足以下条件:

（i）
$（f） X（X） \subseteq 克 X（X）$ ;
（ii）
gX公司 已完成;
（iii）
（f） 是克-无衰减,我.e（电子）., $克 x个 ⪯ 克年 ⟹ （f） x个 ⪯ （f）年$ ;
（iv）
（f） 是订购的 克-准收缩;
（v）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $克 {x个}_{0} ⪯ （f） {x个}_{0}$ ;
（vi）
如果 ${克 {x个}_{n个}}$ 是一个不变的序列(w个.第页.t吨.⪯)收敛到一些 $克 z（z） \in 克 X（X）$ ,然后 $克 {x个}_{n个} ⪯ 克 z（z）$ 对于每个 $n个 \in N个$ .

然后 （f） 和克 有一个巧合点,我.e（电子）.,存在 $z（z） \in X（X）$ 这样的话 $（f） z（z） = 克 z（z）$ .

拿 $克 = 我 {d日}_{X（X）}$ 在定理1.1中，我们立即得到以下结果。

定理1.2 让 $(X（X）, d日)$ 是具有一定偏序的完备度量空间⪯.让 $（f） : X（X） \to X（X）$ 做一个自我-映射于 X（X） 满足以下条件:

（iii）
（f） 没有减少,我.e（电子）., $x个 ⪯ 年 ⟹ （f） x个 ⪯ （f）年$ ;
（iv）
（f） 是有序拟压缩;
（v）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ （f） {x个}_{0}$ ;
（vi）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是一个不变的序列(w个.第页.t吨.⪯)收敛到一些 $z（z） \in X（X）$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ z（z）$ 对于每个 $n个 \in N个$ .

然后 （f） 有一个固定点.

让我们用Ψ表示函数集 $ψ : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 满足以下条件：

( $Ψ_{1}$ )ψ不会减少；

( $Ψ_{2}$ )ψ是次可加的，即, $ψ (秒 + t吨) \leq ψ (秒) + ψ (t吨)$ ，每 $秒, t吨 \geq 0$ ;

( $Ψ_{三}$ )ψ是连续的；

( $Ψ_{4}$ ) $ψ (t吨) = 0 ⟺ t吨 = 0$ .

在[三]，作者得出了以下结果。

定理1.3 让 $(X（X）, d日)$ 是具有一定偏序的度量空间 ⪯.让 $（f）, 克 : X（X） \to X（X）$ 两全其美-上的地图 X（X） 满足以下条件:

（i）
$（f） X（X） \subseteq 克 X（X）$ ;
（ii）
gX公司 已完成;
（iii）
（f） 是克-无衰减;
（iv）
存在 $ψ \in Ψ$ 这样的话
$\begin{aligned} ψ (d日 (（f） x个, （f）年)) \leq & λ 最大值 {ψ (d日 (克 x个, 克年)), ψ (d日 (克 x个, （f） x个)), ψ (d日 (克年, （f）年)), \\ ψ (d日 (克 x个, （f）年)), ψ (d日 (克年, （f） x个))} \end{aligned}$

为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ 这样的话 $克年 ⪯ 克 x个$ ;

（v）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $克 {x个}_{0} ⪯ （f） {x个}_{0}$ ;
（vi）
如果 ${克 {x个}_{n个}}$ 是一个收敛于 $克 z（z） \in 克 X（X）$ ,然后 $克 {x个}_{n个} ⪯ 克 z（z）$ 对于每个 $n个 \in N个$ .

然后 （f） 和克 有一个巧合点.

本注释的目的是证明定理1.1、1.2和1.3是等价的。

2主要结果

我们在本说明中的主要结果如下。

定理2.1 我们有以下等价性:

定理 1.2 ⟺ 定理 1.1 ⟺ 定理 1.3 .

证明我们考虑证明的三个步骤。

⋄步骤1。定理1.2⟹定理1.1。

假设满足定理1.1的所有假设。回想一下，如果 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 是一个给定的映射，则存在一个子集E类属于X（X）这样的话 $S公司 E类 = S公司 X（X）$ 和 $S公司 : E类 \to X（X）$ 是一对一的。为了证明这个结果，我们参考[4]. 由于这句话 $E类 \subseteq X（X）$ 这样的话 $克 E类 = 克 X（X）$ 和 $克 : E类 \to X（X）$ 是一对一的。让我们定义地图 $T型 : 克 E类 \to 克 E类$ 通过

T型 (克 x个) = （f） x个, x个 \in E类 .

请注意，映射T型定义明确，因为克是一对一的E类根据定理1.1的条件（ii），度量空间 $(克 E类, d日)$ 已完成。根据定理1.1的条件（iii），映射T型不会减少。还要注意T型是一个有序的拟压缩。的确，如果 $u个, v（v） \in 克 E类$ 这样的话 $v（v） ⪯ u个$ ，根据定理1.1的条件（iv）和通用电气设备，存在 $x个, 年 \in E类$ 具有 $v（v） = 克年 ⪯ 克 x个 = u个$ 这样的话

\begin{array}{rcl} d日 (T型 u个, T型 v（v）) & = & d日 (（f） x个, （f） 年) \\ \leq & λ M（M） (（f）, 克, x个, 年) \\ = & λ 最大值 {d日 (克 x个, 克 年), d日 (克 x个, （f） x个), d日 (克 年, （f） 年), d日 (克 x个, （f） 年), d日 (克 年, （f） x个)} \\ = & λ 最大值 {d日 (u个, v（v）), d日 (u个, T型 u个), d日 (v（v）, T型 v（v）), d日 (u个, T型 v（v）), d日 (v（v）, T型 u个)} . \end{array}

根据定理1.1的条件（v），存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $克 {x个}_{0} ⪯ （f） {x个}_{0}$ .让 ${u个}_{0} = 克 {x个}_{0} \in 克 E类$ ，我们有 ${u个}_{0} ⪯ T型 {u个}_{0}$ 最后，根据定理1.1的条件（iv），如果 ${{u个}_{n个}} \subset 克 E类$ 是一个收敛于 $u个 \in 克 E类$ ，然后 ${u个}_{n个} ⪯ u个$ 对于每个 $n个 \in N个$ 因此，我们证明了T型满足定理1.2的所有条件。然后我们推断T型有一个固定点 ${u个}^{*} \in 克 E类$ 这意味着存在一些 ${x个}^{*} \in X（X）$ 这样的话 $（f） {x个}^{*} = T型 (克 {x个}^{*}) = 克 {x个}^{*}$ 也就是说， ${x个}^{*} \in X（X）$ 是一个巧合点（f）和克.

⋄第2步。定理1.1⟹定理1.3。

假设满足定理1.3的所有假设。定义函数 ${d日}_{ψ} : X（X） \times X（X） \to [0, \infty)$ 通过

{d日}_{ψ} (x个, 年) : = ψ (d日 (x个, 年)) 为所有人 x个, 年 \in X（X） .

在[5]，我们证明了 ${d日}_{ψ}$ 是一个度量X（X）此外， $(X（X）, d日)$ 是完整的当且仅当 $(X（X）, {d日}_{ψ})$ 已完成。然后，根据定理1.3的条件（iv），我们推导出（f）是订购的克-关于新度量的拟压缩 ${d日}_{ψ}$ 更准确地说，我们有

{d日}_{ψ} (（f） x个, （f） 年) \leq λ 最大值 {{d日}_{ψ} (克 x个, 克 年), {d日}_{ψ} (克 x个, （f） x个), {d日}_{ψ} (克 年, （f） 年), {d日}_{ψ} (克 x个, （f） 年), {d日}_{ψ} (克 年, （f） x个)}

为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ 这样的话 $克年 ⪯ 克 x个$ 现在，在度量空间中应用定理1.1 $(X（X）, {d日}_{ψ})$ ，我们得到了定理1.3的结果。

⋄步骤3。定理1.3⟹定理1.2。

拿 $克 = 我 {d日}_{X（X）}$ 和 $ψ (t吨) = t吨$ 在定理1.3中，我们立即得到定理1.2的结果。□

工具书类

GolubovićZ，Kadelburg Z，RadenovićS：有序的公共不动点克-序度量空间中的拟压缩和弱压缩。不动点理论应用。2012年、2012年：文章ID 20
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刘X：有序的公共不动点G公司-偏序度量空间中的收缩。不动点理论应用。2014年、2014年：文章ID 28
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Liu X，JešićS:广义序的公共不动点克-偏序度量空间中的拟压缩。不动点理论应用。2013年、2013年：文章ID 53
谷歌学者
Haghi RH，Rezapour S，Shahzad N：一些不动点推广不是真正的推广。非线性分析。2011, 74: 1799–1803. 10.1016/j.na.2010.10.052
第条数学科学网谷歌学者
卡拉普奈尔E，萨梅特B：关于ψ-Geraghty型宫缩。不动点理论应用。2014.，2014:文章ID 26
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致谢

作者感谢沙特国王大学（King Saud University）编程客座教授（Visiting Professor Programming）对这项工作的资助。作者感谢匿名审稿人（anonymous References）的卓越评论、建议和想法，这些都有助于改进本文。

作者信息

作者和附属机构

土耳其安卡拉伊斯克阿提林大学数学系，06836
埃尔达尔卡拉普讷尔
沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学非线性分析和应用数学研究小组（NAAM）
埃尔达尔卡拉普讷尔
沙特阿拉伯利雅得沙特国王大学数学系
贝西姆·萨梅特

作者

埃尔达尔卡拉普讷尔
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Karapñnar，E.，Samet，B.关于最近不动点结果的注释，涉及克-偏序度量空间中的拟压缩型映射。不动点理论应用 2014, 126 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-126

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收到:2014年3月5日
认可的:2014年5月13日
出版:2014年5月23日
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