The modification of system of variational inequalities for fixed point theory in Banach spaces

Kangtunyakarn, Atid

doi:10.1186/1687-1812-2014-123

研究
开放式访问
出版：2014年5月19日

Banach空间中不动点理论变分不等式组的修正

Atid Kangtunyakarn公司¹

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：123(2014)引用这篇文章

995访问
2引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们使用不同于外梯度方法的方法证明了一致凸2-一致光滑Banach空间中两个非扩张严格伪压缩映象有限族的不动点集和变分不等式组问题的修正解集的强收敛性定理。应用主要结果，我们得到了一个包含Aoyama提出的变分不等式问题的两组解的强收敛定理等。（不动点理论应用2006:353902006，doi:10.115/FPTA/2006/35390）在一致凸和2-一致光滑Banach空间中。我们还给出了一个数值例子来支持我们的结果。

1引言

让E类是一个具有对偶空间的实Banach空间 ${E类}^{*}$ 然后让C类是的非空闭凸子集E类在本文中，我们表示E类和 ${E类}^{*}$ 用相同的符号 $∥ \cdot ∥$ 。我们使用符号“→”和“⇀'分别表示强收敛和弱收敛。回忆一下以下定义。

定义1.1巴纳赫空间E类据说是一致凸的iff用于任何ϵ, $0 < ϵ \leq 2$ ，不平等 $∥ x个 ∥ \leq 1$ , $∥ 年 ∥ \leq 1$ 和 $∥ x个 - 年 ∥ \geq ϵ$ 暗示存在 $δ > 0$ 这样的话 $∥ \frac{x个 + 年}{2} ∥ \leq 1 - δ$ .

定义1.2让E类是Banach空间。然后是一个函数 $ρ_{E类} : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 据说是的平滑模量 E类如果

ρ_{E类} (t吨) = 啜饮 {\frac{∥ x个 + 年 ∥ + ∥ x个 - 年 ∥}{2} - 1 : ∥ x个 ∥ = 1, ∥ 年 ∥ = t吨} .

巴纳赫空间E类据说是均匀光滑如果

\underset{t吨 \to 0}{林} \frac{ρ_{E类} (t吨)}{t吨} = 0 .

让 $q个 > 1$ .A巴纳赫空间E类据说是q个-如果存在固定常数，则一致光滑 $c（c） > 0$ 这样的话 $ρ_{E类} (t吨) \leq c（c） {t吨}^{q个}$ 。很容易看出，如果E类是q个-均匀平滑，然后 $q个 \leq 2$ 和E类均匀光滑。希尔伯特空间， ${L（左）}_{P（P）}$ （或 $我_{第页}$ )空格， $0 < 第页 < \infty$ Sobolev空间， ${W公司}_{米}^{第页}$ , $0 < 第页 < \infty$ 是q个-均匀光滑。希尔伯特空间是2-一致光滑的，而

{L（左）}_{第页} (或 我_{第页}) 或 {W公司}_{米}^{第页} 是 {\begin{cases} 第页 -均匀光滑 & 如果 1 < 第页 < \infty, \\ 2 -均匀光滑 & 如果 第页 \geq 2 . \end{cases}

定义1.3地图J型从E类到上面 ${E类}^{*}$ 满足条件

J型 (x个) = {（f） \in {E类}^{*} : 〈 x个, （f） 〉 = {∥ x个 ∥}^{2} 和 ∥ （f） ∥ = ∥ x个 ∥}

称为标准化对偶映射E类二元对 $〈 x个, （f）〉$ 代表 $（f） (x个)$ 对于 $（f） \in {E类}^{*}$ 和 $x个 \in E类$ .

众所周知，如果E类那么是光滑的J型是单个值，我们用表示j个.

定义1.4让C类是Banach空间的非空子集E类和 $T型 : C类 \to C类$ 成为一个自我映射者。T型称为非扩展映射，如果

∥ T型 x个 - T型 年 ∥ \leq ∥ x个 - 年 ∥

为所有人 $x个, 年 \in C类$ .

T型被称为η-存在常数时的严格伪压缩映射 $η \in (0, 1)$ 这样的话

〈 T型 x个 - T型 年, j个 (x个 - 年) 〉 \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} - η {∥ (我 - T型) x个 - (我 - T型) 年 ∥}^{2}

(1.1)

对于每个 $x个, 年 \in C类$ 还有一些 $j个 (x个 - 年) \in J型 (x个 - 年)$ 显然，（1.1）等同于以下内容：

〈 (我 - T型) x个 - (我 - T型) 年, j个 (x个 - 年) 〉 \geq η {∥ (我 - T型) x个 - (我 - T型) 年 ∥}^{2}

(1.2)

对于每个 $x个, 年 \in C类$ 还有一些 $j个 (x个 - 年) \in J型 (x个 - 年)$ .

示例1.1让ℝ是赋有欧几里德范数的实线，并让映射 $T型 : (0, \frac{1}{2}) \to (0, \frac{1}{2})$ 由定义

T型 x个 : = \frac{{x个}^{三}}{1 + {x个}^{2}}

为所有人 $x个 \in (0, \frac{1}{2})$ .然后T型是 $\frac{三}{4}$ -严格伪压缩映射。

例1.2让E类是2-一致光滑的Banach空间 $T型 : E类 \to E类$ 是λ-严格伪压缩映射。让K（K）是的2一致光滑常数E类和 $0 \leq d日 \leq \frac{λ}{{K（K）}^{2}}$ ，然后 $(我 - d日 (我 - T型))$ 是非扩展映射。

定义1.5让 $C类 \subseteq E类$ 闭凸且 $问_{C类}$ 是的映射E类到上面C类.映射 $问_{C类}$ 据说是晴朗的如果 $问_{C类} (问_{C类} x个 + t吨 (x个 - 问_{C类} x个)) = 问_{C类} x个$ 为所有人 $x个 \in E类$ 和 $t吨 \geq 0$ .A映射 $问_{C类}$ 被称为回缩如果 $问_{C类}^{2} = 问_{C类}$ .一个子集C类属于E类被称为阳光非膨胀收缩E类如果存在晴朗的非膨胀收缩E类到上面C类.

操作员A类属于C类进入之内E类据说是增生的如果存在 $j个 (x个 - 年) \in J型 (x个 - 年)$ 这样的话

〈 A类 x个 - A类 年, j个 (x个 - 年) 〉 \geq 0, \forall x个, 年 \in C类 .

地图 $A类 : C类 \to E类$ 据说是α-逆强增生的如果存在 $j个 (x个 - 年) \in J型 (x个 - 年)$ 和 $α > 0$ 这样的话

〈 A类 x个 - A类 年, j个 (x个 - 年) 〉 \geq α {∥ A类 x个 - A类 年 ∥}^{2}, \forall x个, 年 \in C类 .

(1.3)

备注1.1根据（1.2）和（1.3），如果T型是一个η-严格的伪压缩映射 $我 - T型$ 是一个η-逆强增生。

2000年，安萨里和姚明[1]引入广义隐式变分不等式组并证明其解的存在性。他们导出了广义变分不等式组解的存在性结果，并将其结果用作工具来建立优化问题组解的生存性。

安萨里等。[2]介绍了向量平衡问题的系统，并证明了其解的存在性。此外，他们还将其结果应用于向量变分不等式系统。的结果[1]和[2]作为求解向量值函数和（非）凸向量值函数Nash问题的工具。

让 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是两个非线性映射。2010年姚明等。[三]引入广义变分不等式组问题 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in C类 \times C类$ 这样的话

{\begin{cases} 〈 A类 年^{*} + {x个}^{*} - 年^{*}, j个 (x个 - {x个}^{*}) 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \\ 〈 B类 {x个}^{*} + 年^{*} - {x个}^{*}, j个 (x个 - 年^{*}) 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类 . \end{cases}

(1.4)

他们用修正的外梯度法证明了不动点定理如下。

定理1.2 让 C类 是一致凸的非空闭凸子集2-一致光滑Banach空间 E类 它允许弱序列连续对偶映射.让 $问_{C类}$ 是阳光下非扩张的退缩 X（X） 进入之内 C类.让映射 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是 α-逆强增生 $α \geq {K（K）}^{2}$ 和 β-逆强增生 $β \geq {K（K）}^{2}$ ,分别地.通过定义映射 $G公司 x个 = 问_{C类} (问_{C类} (x个 - B类 x个) - λ A类问_{C类} (x个 - B类 x个))$ 为所有人 $x个 \in C类$ 和不动点集 G公司 记为 $Ω \neq \emptyset$ .对于给定的 ${x个}_{0} \in C类$ ,让序列 ${{x个}_{n个}}$ 由生成

{\begin{cases} 年_{n个} = 问_{C类} ({x个}_{n个} - B类 {x个}_{n个}), \\ {x个}_{n个 + 1} = α_{n个} u个 + β_{n个} {x个}_{n个} + γ_{n个} 问_{C类} (年_{n个} - A类 年_{n个}), n个 \geq 0, \end{cases}

哪里 ${α_{n个}}$ , ${β_{n个}}$ ,和 ${γ_{n个}}$ 有三个序列 $(0, 1)$ .假设序列 ${α_{n个}}$ , ${β_{n个}}$ ,和 ${γ_{n个}}$ 满足以下条件:

\begin{aligned} (我) & α_{n个} + β_{n个} + γ_{n个} = 1, \forall n个 \geq 0; \\ (ii（ii）) & \underset{n个 \to \infty}{林} α_{n个} = 0, \sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty; \\ (三) & 0 < \underset{n个 \to \infty}{lim信息} β_{n个} \leq \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} β_{n个} < 1 . \end{aligned}

然后 ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 $问^{'} u个$ ,哪里 $问^{'}$ 是阳光下的非膨胀收缩 C类 到上面Ω.

2013年，蔡和布[4]引入一个广义变分不等式组问题 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in C类 \times C类$ 这样的话

{\begin{cases} 〈 λ A类 年^{*} + {x个}^{*} - 年^{*}, j个 (x个 - {x个}^{*}) 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \\ 〈 μ B类 {x个}^{*} + 年^{*} - {x个}^{*}, j个 (x个 - 年^{*}) 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \end{cases}

(1.5)

哪里 $λ, μ > 0$ .（1.5）的解集，我们表示为 $Ω^{'}$ .如果 $λ = μ = 1$ ，则问题（1.5）降为（1.4）。在希尔伯特空间（1.5）中，减小为

{\begin{cases} 〈 λ A类 年^{*} + {x个}^{*} - 年^{*}, x个 - {x个}^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \\ 〈 μ B类 {x个}^{*} + 年^{*} - {x个}^{*}, x个 - 年^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \end{cases}

(1.6)

由曾先生介绍等。[5]. 如果 $A类 = B类$ ，则（1.6）简化为查找问题 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in C类 \times C类$ 这样的话

{\begin{cases} 〈 λ A类 年^{*} + {x个}^{*} - 年^{*}, x个 - {x个}^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \\ 〈 μ A类 {x个}^{*} + 年^{*} - {x个}^{*}, x个 - 年^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类, \end{cases}

(1.7)

由Verma介绍[6]. 如果 ${x个}^{*} = 年^{*}$ ，则问题（1.7）简化为变分不等式 ${x个}^{*} \in C类$ 这样的话

〈 A类 {x个}^{*}, 年 - {x个}^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类 .

变分不等式理论是解决经济、工程、物理、纯科学和应用科学中许多问题的重要数学工具之一等。

许多作者研究了求变分不等式问题解的迭代格式；参见示例[7–10].

通过使用超梯度方法，Cai和Bu[4]证明了求（1.5）解的一个强收敛定理如下。

定理1.3 让 C类 是的非空闭凸子集2-一致光滑一致凸Banach空间 E类 这样的话 $C类 \pm C类 \subset C类$ .让 ${P（P）}_{C类}$ 是阳光下非扩张的退缩 E类到 C类.让映射 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是 α-逆强增生和 β-逆强增生的,分别地.让 ${{T型}_{我} : C类 \to C类}_{我 = 0}^{\infty}$ 是非扩张映射的无穷族 $F类 = ⋂_{我 = 0}^{\infty} \cap Ω^{'} \neq \emptyset$ .让 $S公司 : C类 \to C类$ 是非扩张映射，并且 $D类 : C类 \to C类$ 是系数为的强正线性有界算子 $\bar{γ}$ 这样的话 $0 < γ < \bar{γ}$ .对于任意给定 ${x个}_{0} \in C类$ ,让序列 ${{x个}_{n个}}$ 由迭代生成

{\begin{cases} {z（z）}_{n个} = {P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - μ B类 {x个}_{n个}), \\ k_{n个} = {P（P）}_{C类} ({z（z）}_{n个} - λ A类 {z（z）}_{n个}), \\ 年_{n个} = (1 - β_{n个}) {x个}_{n个} + β_{n个} k_{n个}, \\ {x个}_{n个 + 1} = α_{n个} γ S公司 年_{n个} + γ_{n个} {x个}_{n个} + ((1 - γ_{n个} 我 - α_{n个} D类)) {T型}_{n个} 年_{n个}, \end{cases}

哪里 $0 < λ < \frac{α}{{K（K）}^{2}}$ 和 $0 < μ < \frac{β}{{K（K）}^{2}}$ .假设 ${α_{n个}}$ , ${β_{n个}}$ ,和 ${γ_{n个}}$ 有三个序列 $[0, 1]$ 满足以下条件:

\begin{aligned} (我) & \underset{n个 \to \infty}{林} α_{n个} = 0, \sum_{n个 = 0}^{\infty} α_{n个} = \infty; \\ (ii（ii）) & 0 < \underset{n个 \to \infty}{lim信息} γ_{n个} \leq \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} γ_{n个} < 1; \\ (三) & \underset{n个 \to \infty}{林} | β_{n个 + 1} - β_{n个} | = 0, \underset{n个 \to \infty}{lim信息} β_{n个} > 0 . \end{aligned}

假设对于任何有界子集 ${D类}^{'}$ 属于 C类 存在增加,连续的,和凸函数 ${小时}_{{D类}^{'}}$ 从 ${R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}$ 这样的话 ${小时}_{{D类}^{'}} (0) = 0$ 和 $林_{k, 我 \to \infty} 啜饮 {{小时}_{{D类}^{'}} (∥ {T型}_{k} z（z） - {T型}_{我} z（z） ∥) : z（z） \in {D类}^{'}} = 0$ .让 T型 是来自的映射 C类 进入之内 C类 由定义 $T型 x个 = 林_{n个 \to \infty} {T型}_{n个} x个$ 为所有人 $x个 \in C类$ 假设是这样 $F类 (T型) = ⋂_{我 = 0}^{\infty} F类 ({T型}_{我})$ .然后 ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 $z（z） \in F类$ ,它还解决了以下变分不等式:

〈 γ S公司 z（z） - D类 z（z）, j个 (第页 - z（z）) 〉 \leq 0, \forall 第页 \in F类 .

对于与外梯度方法相关的研究，一些附加参考文献如下[11–13].

受（1.4）和（1.5）的启发，我们引入了查找问题 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in C类 \times C类$ 这样的话

{\begin{cases} 〈 {x个}^{*} - (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) 年^{*}), j个 (x个 - {x个}^{*}) 〉 \geq 0, \\ 〈 年^{*} - (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}, j个 (x个 - 年^{*}) 〉 \geq 0 \end{cases}

(1.8)

为所有人 $x个 \in C类$ , $λ_{A类}, λ_{B类} > 0$ 和 $一 \in [0, 1]$ 。此问题称为变分不等式组问题的修正在巴纳赫空间。如果 $一 = 0$ ，则（1.8）降至（1.5）。

受定理1.2和1.3的启发，我们使用不同于外梯度方法的方法证明了一致凸和2-一致光滑Banach空间中两个有限族非扩张严格伪压缩映射的（1.8）解和不动点集元素的强收敛性定理。应用主要结果，我们得到了一个包含Aoyama提出的变分不等式问题的两组解的强收敛定理等. [14]在一致凸且2-一致光滑的Banach空间中。此外，我们还给出了一个数值例子来支持我们在最后一节中的主要结果。

2准备工作

以下引理和定义是证明下一节结果的重要工具。

定义2.1([15])

让C类是Banach空间的非空凸子集。让 ${{S公司}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 和 ${{T型}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 是的两个有限映射族C类融入自身。对于每个 $j个 = 1, 2, \dots, N个$ ，让 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个}) \in 我 \times 我 \times 我$ ，其中 $我 \in [0, 1]$ 和 $α_{1}^{j个} + α_{2}^{j个} + α_{三}^{j个} = 1$ .定义映射 ${S公司}^{A类} : C类 \to C类$ 如下：

\begin{matrix} {U型}_{0} = {T型}_{1} = 我, \\ {U型}_{1} = {T型}_{1} (α_{1}^{1} {S公司}_{1} {U型}_{0} + α_{2}^{1} {U型}_{0} + α_{三}^{1} 我), \\ {U型}_{2} = {T型}_{2} (α_{1}^{2} {S公司}_{2} {U型}_{1} + α_{2}^{2} {U型}_{1} + α_{三}^{2} 我), \\ {U型}_{三} = {T型}_{三} (α_{1}^{三} {S公司}_{三} {U型}_{2} + α_{2}^{三} {U型}_{2} + α_{三}^{三} 我), \\ ⋮ \\ {U型}_{N个 - 1} = {T型}_{N个 - 1} (α_{1}^{N个 - 1} {S公司}_{N个 - 1} {U型}_{N个 - 2} + α_{2}^{N个 - 1} {U型}_{N个 - 2} + α_{三}^{N个 - 1} 我), \\ {S公司}^{A类} = {U型}_{N个} = {T型}_{N个} (α_{1}^{N个} {S公司}_{N个} {U型}_{N个 - 1} + α_{2}^{N个} {U型}_{N个 - 1} + α_{三}^{N个} 我) . \end{matrix}

(2.1)

此映射称为 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{N个}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{N个}$ 、和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{N个}$ .

引理2.1([15])

让 C类 是一致凸的非空闭凸子集2-一致光滑Banach空间.让 ${{S公司}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 成为有限的家族 $κ_{我}$ -严格伪-的收缩 C类 融入自身，让 ${{T型}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 是的非扩张映射的有限族 C类 融入自身 $⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \neq \emptyset$ 和 $κ = 最小值 {κ_{我} : 我 = 1, 2, \dots, N个}$ 具有 ${K（K）}^{2} \leq κ$ ,哪里 K（K） 是2-均匀光滑常数 E类.让 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个}) \in 我 \times 我 \times 我$ ,哪里 $我 = [0, 1]$ , $α_{1}^{j个} + α_{2}^{j个} + α_{三}^{j个} = 1$ , $α_{1}^{j个} \in (0, 1]$ , $α_{2}^{j个} \in [0, 1]$ 和 $α_{三}^{j个} \in (0, 1)$ 为所有人 $j个 = 1, 2, \dots, N个$ .让 ${S公司}^{A类}$ 成为 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{N个}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{N个}$ ,和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{N个}$ .然后 $F类 ({S公司}^{A类}) = ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我})$ 和 ${S公司}^{A类}$ 是一个非扩张映射.

引理2.2([16])

让 ${秒_{n个}}$ 是满足条件的非负实数序列

秒_{n个 + 1} \leq (1 - α_{n个}) 秒_{n个} + δ_{n个}, \forall n个 \geq 0,

哪里 ${α_{n个}}$ 是中的序列 $(0, 1)$ 和 ${δ_{n个}}$ 是这样一个序列

\begin{aligned} (1) & \sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty, \\ (2) & \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \frac{δ_{n个}}{α_{n个}} \leq 0 或 \sum_{n个 = 1}^{\infty} | δ_{n个} | < \infty . \end{aligned}

然后 $林_{n个 \to \infty} 秒_{n个} = 0$ .

引理2.3([17])

让 E类 成为一个真正的2-具有最佳光滑常数的一致光滑Banach空间 K（K）.那么下面的不等式成立:

{∥ x个 + 年 ∥}^{2} \leq {∥ x个 ∥}^{2} + 2 〈 年, J型 (x个) 〉 + 2 {∥ K（K） 年 ∥}^{2}

对于任何 $x个, 年 \in E类$ .

引理2.4([18])

让 C类 是一致凸一致光滑Banach空间的非空闭凸子集 E类 然后让 T型 是的非扩张映射 C类 融入自身 $F类 (T型) \neq \emptyset$ .然后 $F类 (T型)$ 是一个阳光非扩张的收缩 C类.

引理2.5([19])

让 C类 是光滑Banach空间的非空闭凸子集 $问_{C类}$ 退出 E类 到上面 C类.那么以下是等效的:

（i）
$问_{C类}$ 既阳光明媚又不张扬;
（ii）
$〈 x个 - 问_{C类} x个, J型 (年 - 问_{C类} x个) 〉 \leq 0$ 为所有人 $x个 \in E类$ 和 $年 \in C类$ .

很明显，如果E类是一个希尔伯特空间，我们发现一个晴朗的非膨胀收缩 $问_{C类}$ 与公制投影一致E类到上面C类.从引理2.5，让 $x个 \in E类$ 和 ${x个}_{0} \in C类$ .那么我们有 ${x个}_{0} = 问_{C类} x个$ 当且仅当 $〈 x个 - {x个}_{0}, J型 (年 - {x个}_{0}) 〉 \leq 0$ ，对于所有人 $年 \in C类$ ，其中 $问_{C类}$ 是一个晴朗而非扩张的退缩E类到上面C类.

引理2.6([20])

让 E类 是一致凸的Banach空间 ${B类}_{第页} = {x个 \in E类 : ∥ x个 ∥ \leq 第页}$ , $第页 > 0$ .然后存在一个连续的,严格增加,和凸函数 $克 : [0, \infty] \to [0, \infty]$ , $克 (0) = 0$ 这样的话

{∥ α x个 + β 年 + γ z（z） ∥}^{2} \leq α {∥ x个 ∥}^{2} + β {∥ 年 ∥}^{2} + γ {∥ z（z） ∥}^{2} - α β 克 (∥ x个 - 年 ∥)

为所有人 $x个, 年, z（z） \in {B类}_{第页}$ 以及所有 $α, β, γ \in [0, 1]$ 具有 $α + β + γ = 1$ .

引理2.7([21])

让 C类 是实一致光滑Banach空间的闭凸子集 E类 然后让 $T型 : C类 \to C类$ 是具有非空不动点的非扩张映射 $F类 (T型)$ .如果 ${{x个}_{n个}} \subset C类$ 是一个有界序列，因此 $林_{n个 \to \infty} ∥ {x个}_{n个} - T型 {x个}_{n个} ∥ = 0$ .然后存在一个独特的阳光非膨胀收缩 $问_{F类 (T型)} : C类 \to F类 (T型)$ 这样的话

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 〈 u个 - 问_{F类 (T型)} u个, J型 ({x个}_{n个} - 问_{F类 (T型)} u个) 〉 \leq 0

对于任何给定的 $u个 \in C类$ .

引理2.8([17])

让 $第页 > 0$ .如果 E类 一致凸,然后存在一个连续的,严格增加,和凸函数 $克 : [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $克 (0) = 0$ 这样对所有人来说 $x个, 年 \in {B类}_{第页} (0) = {x个 \in E类 : ∥ x个 ∥ \leq 第页}$ 以及任何 $α \in [0, 1]$ ,我们有 ${∥ α x个 + (1 - α) 年 ∥}^{2} \leq α {∥ x个 ∥}^{2} + (1 - α) {∥ 年 ∥}^{2} - α (1 - α) 克 (∥ x个 - 年 ∥)$ .

引理2.9([22])

让 C类 是严格凸Banach空间的闭凸子集 E类.让 ${T型}_{1}$ 和 ${T型}_{2}$ 是两个非扩张映射 C类 融入自身 $F类 ({T型}_{1}) \cap F类 ({T型}_{2}) \neq \emptyset$ .定义映射 S公司 通过

S公司 x个 = λ {T型}_{1} x个 + (1 - λ) {T型}_{2} x个, \forall x个 \in C类,

哪里 λ 是中的常量 $(0, 1)$ .然后 S公司 是非扩展的，并且 $F类 (S公司) = F类 ({T型}_{1}) \cap F类 ({T型}_{2})$ .

引理2.10 让 C类 是光滑Banach空间的非空闭凸子集 E类 然后让 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是映射.让 $问_{C类}$ 是一个阳光非扩张的收缩 E类 到上面 C类.对于每个 $λ_{A类}, λ_{B类} > 0$ 和 $一 \in [0, 1]$ .以下是等效的:

（a）
$({x个}^{*}, {z（z）}^{*})$ 是的解决方案(1.8);
（b）
${x个}^{*}$ 是映射的固定点 $G公司 : C类 \to C类$ ,我.e（电子）., ${x个}^{*} \in F类 (G公司)$ ,由定义
$G公司 x个 = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一我 + (1 - 一) 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)) x个, \forall x个 \in C类,$

哪里 ${z（z）}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}$ .

证明首先我们证明（a）⇒（b） ●●●●。让 $({x个}^{*}, {z（z）}^{*})$ 是（1.8）的解，我们有

{\begin{cases} 〈 {x个}^{*} - (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) {z（z）}^{*}), j个 (x个 - {x个}^{*}) 〉 \geq 0, \\ 〈 {z（z）}^{*} - (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}, j个 (x个 - {z（z）}^{*}) 〉 \geq 0 \end{cases}

为所有人 $x个 \in C类$ .根据引理2.5，我们有

{x个}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) {z（z）}^{*})

和 ${z（z）}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}$ .

由此可见

{x个}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}) = G公司 {x个}^{*} .

然后 ${x个}^{*} \in F类 (G公司)$ ，其中 ${z（z）}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}$ .

接下来我们声明（b）⇒（a） ●●●●。让 ${x个}^{*} \in F类 (G公司)$ 和 ${z（z）}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}$ .然后

{x个}^{*} = G公司 {x个}^{*} = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}) = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) {z（z）}^{*}) .

根据引理2.5，我们有

{\begin{cases} 〈 {x个}^{*} - (我 - λ_{A类} A类) (一 {x个}^{*} + (1 - 一) {z（z）}^{*}), j个 (x个 - {x个}^{*}) 〉 \geq 0, \\ 〈 {z（z）}^{*} - (我 - λ_{B类} B类) {x个}^{*}, j个 (x个 - {z（z）}^{*}) 〉 \geq 0 \end{cases}

为所有人 $x个 \in C类$ .然后我们发现 $({x个}^{*}, {z（z）}^{*})$ 是（1.8）的解。□

示例2.1让ℝ成为欧几里德规范的实线，并让 $A类, B类 : R（右） \to R（右）$ 由定义 $A类 x个 = \frac{x个 - 1}{4}$ 和 $B类 x个 = \frac{x个 - 1}{2}$ 为所有人 $x个 \in R（右）$ .映射 $G公司 : R（右） \to R（右）$ 由定义

G公司 x个 = (我 - 2 A类) (\frac{1}{2} 我 + \frac{1}{2} (我 - 三 B类)) x个

为所有人 $x个 \in R（右）$ .然后 $1 \in F类 (G公司)$ 和 $(1, 1)$ 是（1.8）的解。

3主要成果

定理3.1 让 C类 是一致凸的非空闭凸子集2-一致光滑Banach空间 E类 然后让 $问_{C类}$ 是一个阳光非扩张的收缩 E类 在C上.让 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是 α-和 β-逆强增生算子,分别地.定义映射 $G公司 : C类 \to C类$ 通过 $G公司 x个 = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一我 + (1 - 一) 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)) x个$ 为所有人 $x个 \in C类$ , $λ_{A类} \in (0, \frac{α}{{K（K）}^{2}})$ , $λ_{B类} \in (0, \frac{β}{{K（K）}^{2}})$ 和 $一 \in [0, 1]$ ,哪里 K（K） 是2-均匀光滑常数 E类.让 ${{S公司}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 是一个有限的家族 $κ_{我}$ -严格伪-的收缩 C类 融入自身，让 ${{T型}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 是的非扩张映射的有限族 C类 融入自身 $κ = 最小值 {κ_{我} : 我 = 1, 2, \dots, N个}$ 具有 ${K（K）}^{2} \leq κ$ .让 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个}) \in 我 \times 我 \times 我$ ,哪里 $我 = [0, 1]$ , $α_{1}^{j个} + α_{2}^{j个} + α_{三}^{j个} = 1$ , $α_{1}^{j个} \in (0, 1]$ , $α_{2}^{j个} \in [0, 1]$ ,和 $α_{三}^{j个} \in (0, 1)$ 为所有人 $j个 = 1, 2, \dots, N个$ .让 ${S公司}^{A类}$ 成为 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{N个}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{N个}$ ,和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{N个}$ .假设 $F类 = F类 (G公司) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \neq \emptyset$ .让序列 ${{x个}_{n个}}$ 由生成 $u个, {x个}_{1} \in C类$ 和

{x个}_{n个 + 1} = G公司 (α_{n个} u个 + β_{n个} {x个}_{n个} + γ_{n个} {S公司}^{A类} {x个}_{n个}), \forall n个 \geq 1,

(3.1)

哪里 ${α_{n个}}, {β_{n个}}, {γ_{n个}} \subseteq [0, 1]$ 具有 $α_{n个} + β_{n个} + γ_{n个} = 1$ .假设满足以下条件:

\begin{aligned} (我) & \underset{n个 \to \infty}{林} α_{n个} = 0, \sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty; \\ (ii（ii）) & 0 < c（c） \leq β_{n个} \leq d日 < 1 对一些人来说 c（c）, d日 > 0 以及所有人 n个 \geq 1; \\ (三) & \sum_{n个 = 1}^{\infty} | β_{n个 + 1} - β_{n个} |, \sum_{n个 = 1}^{\infty} | α_{n个 + 1} - α_{n个} | < \infty . \end{aligned}

然后是序列 ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 ${x个}_{0} = 问_{F类} u个$ 和 $({x个}_{0}, {z（z）}_{0})$ 是的解决方案(1.8),哪里 ${z（z）}_{0} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}_{0}$ .

证明首先，我们展示 $问_{C类} (我 - λ_{A类} A类)$ 和 $问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)$ 是非扩张映射。让 $x个, 年 \in C类$ ; 我们有

\begin{matrix} {∥ 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) x个 - 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) 年 ∥}^{2} \\ \leq {∥ x个 - 年 - λ_{A类} (A类 x个 - A类 年) ∥}^{2} \\ \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} - 2 λ_{A类} 〈 A类 x个 - A类 年, j个 (x个 - 年) 〉 + 2 {K（K）}^{2} λ_{A类}^{2} {∥ A类 x个 - A类 年 ∥}^{2} \\ \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} - 2 λ_{A类} α {∥ A类 x个 - A类 年 ∥}^{2} + 2 {K（K）}^{2} λ_{A类}^{2} {∥ A类 x个 - A类 年 ∥}^{2} \\ \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} - 2 λ_{A类} (α - {K（K）}^{2} λ_{A类}) {∥ A类 x个 - A类 年 ∥}^{2} \\ \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} . \end{matrix}

然后 $问_{C类} (我 - λ_{A类} A类)$ 是非扩展映射。通过使用相同的方法，我们发现 $问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)$ 是非扩展映射。从定义G公司，我们看到了G公司是非扩展映射。让 ${x个}^{*} \in F类$ .放置 $年_{n个} = α_{n个} u个 + β_{n个} {x个}_{n个} + γ_{n个} {S公司}^{A类} {x个}_{n个}$ 为所有人 $n个 \geq 1$ 从定义 ${x个}_{n个}$ 和引理2.10，我们有

\begin{aligned} ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥ & = ∥ G公司 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ \\ \leq ∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ \\ = ∥ α_{n个} (u个 - {x个}^{*}) + β_{n个} ({x个}_{n个} - {x个}^{*}) + γ_{n个} ({S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}^{*}) ∥ \\ \leq α_{n个} ∥ u个 - {x个}^{*} ∥ + β_{n个} ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ + γ_{n个} ∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ \\ \leq α_{n个} ∥ u个 - {x个}^{*} ∥ + (1 - α_{n个}) ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ \\ \leq 最大值 {∥ u个 - {x个}^{*} ∥, ∥ {x个}_{1} - {x个}^{*} ∥} . \end{aligned}

应用数学归纳法，我们可以得出以下结论： ${{x个}_{n个}}$ 是有界的，也是有界的 ${年_{n个}}$ .

从定义 ${x个}_{n个}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ & = & ∥ G公司 年_{n个} - G公司 年_{n个 - 1} ∥ \\ \leq & ∥ α_{n个} u个 + β_{n个} {x个}_{n个} + γ_{n个} {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - α_{n个 - 1} u个 - β_{n个 - 1} {x个}_{n个 - 1} - γ_{n个 - 1} {S公司}^{A类} {x个}_{n个 - 1} ∥ \\ \leq & | α_{n个} - α_{n个 - 1} | ∥ u个 ∥ + β_{n个} ∥ {x个}_{n个} - {x个}_{n个 - 1} ∥ + | β_{n个} - β_{n个 - 1} | ∥ {x个}_{n个 - 1} ∥ \\ + γ_{n个} ∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {S公司}^{A类} {x个}_{n个 - 1} ∥ + | γ_{n个} - γ_{n个 - 1} | ∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个 - 1} ∥ \\ \leq & (1 - α_{n个}) ∥ {x个}_{n个} - {x个}_{n个 - 1} ∥ + | α_{n个} - α_{n个 - 1} | ∥ u个 ∥ + | β_{n个} - β_{n个 - 1} | ∥ {x个}_{n个 - 1} ∥ \\ + | γ_{n个} - γ_{n个 - 1} | ∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个 - 1} ∥ . \end{array}

(3.2)

应用（3.2）、条件（iii）和引理2.2，我们得到

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ = 0 .

(3.3)

从定义 ${x个}_{n个}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} {∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥}^{2} & \leq & {∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq & α_{n个} {∥ u个 - {x个}^{*} ∥}^{2} + β_{n个} {∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥}^{2} + γ_{n个} {∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥}^{2} \\ - β_{n个} γ_{n个} 克 (∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥) \\ \leq & α_{n个} {∥ u个 - {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥}^{2} - β_{n个} γ_{n个} 克 (∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥) . \end{array}

由此可见

\begin{array}{rcl} β_{n个} γ_{n个} 克 (∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥) & \leq & α_{n个} {∥ u个 - {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥}^{2} - {∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq & α_{n个} {∥ u个 - {x个}^{*} ∥}^{2} + (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ + ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ . \end{array}

根据（3.3）和条件（i）和（ii），我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} 克 (∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥) = 0 .

来自的财产克，我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = 0 .

(3.4)

从定义 $年_{n个}$ ，我们有

年_{n个} - {x个}_{n个} = α_{n个} (u个 - {x个}_{n个}) + γ_{n个} ({S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{n个}) .

根据条件（i）和（3.4），我们得到

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = 0 .

(3.5)

从定义 $年_{n个}$ ，我们有

年_{n个} - {S公司}^{A类} {x个}_{n个} = α_{n个} (u个 - {S公司}^{A类} {x个}_{n个}) + β_{n个} ({x个}_{n个} - {S公司}^{A类} {x个}_{n个}) .

根据条件（i）和（3.4），我们得到

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ 年_{n个} - {S公司}^{A类} {x个}_{n个} ∥ = 0 .

(3.6)

从非扩展性 ${S公司}^{A类}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} ∥ {S公司}^{A类} 年_{n个} - 年_{n个} ∥ & \leq & ∥ {S公司}^{A类} 年_{n个} - {S公司}^{A类} {x个}_{n个} ∥ + ∥ {S公司}^{A类} {x个}_{n个} - 年_{n个} ∥ \\ \leq & ∥ 年_{n个} - {S公司}^{A类} {x个}_{n个} ∥ + ∥ {x个}_{n个} - 年_{n个} ∥ . \end{array}

根据（3.5）和（3.6），我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {S公司}^{A类} 年_{n个} - 年_{n个} ∥ = 0 .

(3.7)

从定义 ${x个}_{n个}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} ∥ G公司 年_{n个} - 年_{n个} ∥ & \leq & ∥ G公司 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥ + ∥ {x个}_{n个} - 年_{n个} ∥ \\ = & ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ + ∥ {x个}_{n个} - 年_{n个} ∥ . \end{array}

根据（3.3）和（3.5），我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ G公司 年_{n个} - 年_{n个} ∥ = 0 .

(3.8)

定义映射 $B类 : C类 \to C类$ 通过 $B类 x个 = ϵ G公司 x个 + (1 - ϵ) {S公司}^{A类} x个$ 为所有人 $x个 \in C类$ 和 $ϵ \in (0, 1)$ .根据引理2.1和2.9，我们有 $F类 (B类) = F类 (G公司) \cap F类 ({S公司}^{A类}) = F类 (G公司) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) = F类$ 从定义B类（3.7）和（3.8），我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ 年_{n个} - B类 年_{n个} ∥ = 0 .

(3.9)

自G公司和 ${S公司}^{A类}$ 是非扩张映射，我们有B类是非扩展映射。根据引理2.7，我们有

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 〈 u个 - {x个}_{0}, j个 (年_{n个} - {x个}_{0}) 〉 \leq 0,

(3.10)

哪里 ${x个}_{0} = 问_{F类} u个$ .

最后，我们展示了序列 ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 ${x个}_{0} = 问_{F类} u个$ 从定义 ${x个}_{n个}$ ，我们有

\begin{aligned} {∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{0} ∥}^{2} & \leq {∥ 年_{n个} - {x个}_{0} ∥}^{2} \\ = {∥ α_{n个} (u个 - {x个}_{0}) + β_{n个} ({x个}_{n个} - {x个}_{0}) + γ_{n个} ({S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{0}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ β_{n个} ({x个}_{n个} - {x个}_{0}) + γ_{n个} ({S公司}^{A类} {x个}_{n个} - {x个}_{0}) ∥}^{2} + 2 α_{n个} 〈 u个 - {x个}_{0}, j个 (年_{n个} - {x个}_{0}) 〉 \\ \leq (1 - α_{n个}) {∥ {x个}_{n个} - {x个}_{0} ∥}^{2} + 2 α_{n个} 〈 u个 - {x个}_{0}, j个 (年_{n个} - {x个}_{0}) 〉 . \end{aligned}

应用引理2.2、条件（i）和（3.10），我们可以得出如下结论： ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 ${x个}_{0} = 问_{F类} u个$ 和 $({x个}_{0}, {z（z）}_{0})$ 是（1.8）的解，其中 ${z（z）}_{0} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}_{0}$ 。这就完成了证明。□

以下推论是涉及问题（1.5）的强收敛定理。这个结果是定理3.1的直接证明。因此，我们省略了证据。

推论3.2 让 C类 是一致凸的非空闭凸子集2-一致光滑Banach空间 E类 然后让 $问_{C类}$ 是一个阳光非扩张的收缩 E类 到上面 C类.让 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是 α-和 β-逆强增生算子,分别地.定义映射 $G公司 : C类 \to C类$ 通过 $G公司 x个 = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)) x个$ 为所有人 $x个 \in C类$ , $λ_{A类} \in (0, \frac{α}{{K（K）}^{2}})$ , $λ_{B类} \in (0, \frac{β}{{K（K）}^{2}})$ ,哪里 K（K） 是2-均匀光滑常数 E类.让 ${{S公司}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 成为有限的家族 $κ_{我}$ -严格伪-的收缩 C类 融入自身，让 ${{T型}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 是的非扩张映射的有限族 C类 进入自身和 $κ = 最小值 {κ_{我} : 我 = 1, 2, \dots, N个}$ 具有 ${K（K）}^{2} \leq κ$ .让 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个}) \in 我 \times 我 \times 我$ ,哪里 $我 = [0, 1]$ , $α_{1}^{j个} + α_{2}^{j个} + α_{三}^{j个} = 1$ , $α_{1}^{j个} \in (0, 1]$ , $α_{2}^{j个} \in [0, 1]$ ,和 $α_{三}^{j个} \in (0, 1)$ 为所有人 $j个 = 1, 2, \dots, N个$ .让 ${S公司}^{A类}$ 成为 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{N个}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{N个}$ ,和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{N个}$ .假设 $F类 = F类 (G公司) ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \neq \emptyset$ .让序列 ${{x个}_{n个}}$ 由生成 $u个, {x个}_{1} \in C类$ 和

{x个}_{n个 + 1} = G公司 (α_{n个} u个 + β_{n个} {x个}_{n个} + γ_{n个} {S公司}^{A类} {x个}_{n个}), \forall n个 \geq 1,

哪里 ${α_{n个}}, {β_{n个}}, {γ_{n个}} \subseteq [0, 1]$ 具有 $α_{n个} + β_{n个} + γ_{n个} = 1$ .假设满足以下条件:

\begin{aligned} (我) & \underset{n个 \to \infty}{林} α_{n个} = 0, \sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty; \\ (ii（ii）) & 0 < c（c） \leq β_{n个} \leq d日 < 1 对一些人来说 c（c）, d日 > 0 以及所有人 n个 \geq 1; \\ (三) & \sum_{n个 = 1}^{\infty} | β_{n个 + 1} - β_{n个} |, \sum_{n个 = 1}^{\infty} | α_{n个 + 1} - α_{n个} | < \infty . \end{aligned}

然后是序列 ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 ${x个}_{0} = 问_{F类} u个$ 和 $({x个}_{0}, {z（z）}_{0})$ 是的解决方案(1.5),哪里 ${z（z）}_{0} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}_{0}$ .

4应用

在本节中，我们证明了Banach空间中涉及变分不等式两组解的强收敛定理。我们给出了一些有用的引理和定义来证明定理4.4。

让 $A类 : C类 \to E类$ 成为一个映射。Banach空间中的变分不等式问题是找到一个点 ${x个}^{*} \in C类$ 对一些人来说 $j个 (x个 - {x个}^{*}) \in J型 (x个 - {x个}^{*})$ ,

〈 A类 {x个}^{*}, j个 (x个 - {x个}^{*}) 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类 .

(4.1)

青山考虑了这个问题等. [14]. Banach空间中变分不等式的解集表示为 $S公司 (C类, A类)$ 也就是说，

S公司 (C类, A类) = {u个 \in C类 : 〈 A类 u个, J型 (v（v） - u个) 〉 \geq 0, \forall v（v） \in C类} .

(4.2)

变分不等式问题已经被许多作者研究过；例如，请参见[11,23].

引理4.1([14])

让 C类 是光滑Banach空间的非空闭凸子集 E类.让 $问_{C类}$ 是一个阳光灿烂的非扩张性退缩 E类 到上面 C类 然后让 A类 是的增生算子 C类 进入之内 E类.然后,为所有人 $λ > 0$ ,

S公司 (C类, A类) = F类 (问_{C类} (我 - λ A类)) .

引理4.2 让 C类 是一致凸Banach空间E的非空闭凸子集.让 $T型, S公司 : C类 \to C类$ 是非扩张映射 $F类 (T型) \cap F类 (S公司) \neq \emptyset$ .定义映射 ${T型}_{一} : C类 \to C类$ 通过 ${T型}_{一} x个 = S公司 (一 x个 + (1 - 一) T型 x个)$ 为所有人 $x个 \in C类$ 和 $一 \in (0, 1)$ .然后 $F类 ({T型}_{一}) = F类 (T型) \cap F类 (S公司)$ 和 ${T型}_{一}$ 是一个非扩张映射.

证明很容易看出 $F类 (T型) \cap F类 (S公司) \subseteq F类 ({T型}_{一})$ .让 ${x个}_{0} \in F类 ({T型}_{一})$ 和 ${x个}^{*} \in F类 (S公司) \cap F类 (T型)$ 从定义 ${T型}_{一}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} {∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥}^{2} & \leq & {∥ 一 ({x个}_{0} - {x个}^{*}) + (1 - 一) (T型 {x个}_{0} - {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq & 一 {∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥}^{2} + (1 - 一) {∥ T型 {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥}^{2} - 一 (1 - 一) 克 (∥ {x个}_{0} - T型 {x个}_{0} ∥) \\ \leq & {∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥}^{2} - 一 (1 - 一) 克 (∥ {x个}_{0} - T型 {x个}_{0} ∥) . \end{array}

(4.3)

由此可见

克 (∥ {x个}_{0} - T型 {x个}_{0} ∥) = 0 .

应用的属性克，我们有 ${x个}_{0} = T型 {x个}_{0}$ 也就是说， ${x个}_{0} \in F类 (T型)$ .自 ${x个}_{0} \in F类 ({T型}_{一})$ 和 ${x个}_{0} \in F类 (T型)$ ，我们有

{x个}_{0} = S公司 (一 {x个}_{0} + (1 - 一) T型 {x个}_{0}) = S公司 {x个}_{0} .

由此可见 ${x个}_{0} \in F类 (S公司)$ .因此 $F类 ({T型}_{一}) \subseteq F类 (T型) \cap F类 (S公司)$ 应用（4.3），我们有 ${T型}_{一}$ 是非扩张映射。□

引理4.3 让 C类 是一致凸的非空闭凸子集2-一致光滑Banach空间 E类 然后让 $问_{C类}$ 是一个阳光灿烂的非扩张性退缩 E类 到上面 C类.让 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是 α-和 β-逆强增生算子,分别地.定义映射 G公司 如引理所示2.10并且对于每个 $λ_{A类} \in (0, \frac{α}{{K（K）}^{2}})$ , $λ_{B类} \in (0, \frac{β}{{K（K）}^{2}})$ 和 $一 \in (0, 1)$ 哪里 K（K） 是2-均匀光滑常数.如果 $S公司 (C类, A类) \cap S公司 (C类, B类) \neq \emptyset$ ,然后 $F类 (G公司) = S公司 (C类, A类) \cap S公司 (C类, B类)$ .

证明根据引理4.1，我们有

S公司 (C类, A类) = F类 (问_{C类} (我 - λ_{A类} A类)) 和 S公司 (C类, B类) = F类 (问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)) .

使用与定理3.1相同的方法，我们发现 $问_{C类} (我 - λ_{A类} A类)$ 和 $问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)$ 是非扩张映射。

从定义G公司和引理4.2，我们有

F类 (G公司) = F类 (问_{C类} (我 - λ_{A类} A类)) \cap F类 (问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)) = S公司 (C类, A类) \cap S公司 (C类, B类) .

□

根据定理3.1和引理4.3，我们有以下定理。

定理4.4 让 C类 是一致凸的非空闭凸子集2-一致光滑Banach空间 E类 然后让 $问_{C类}$ 是一个阳光明媚的非扩张性的收缩 E类 到上面 C类.让 $A类, B类 : C类 \to E类$ 是 α-和 β-逆强增生算子,分别地.让 ${{S公司}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 成为有限的家族 $κ_{我}$ -严格伪-的收缩 C类 融入自身，让 ${{T型}_{我}}_{我 = 1}^{N个}$ 是的非扩张映射的有限族 C类 融入自身 $κ = 最小值 {κ_{我} : 我 = 1, 2, \dots, N个}$ 具有 ${K（K）}^{2} \leq κ$ ,哪里 K（K） 是2-均匀光滑常数 E类.让 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个}) \in 我 \times 我 \times 我$ ,哪里 $我 = [0, 1]$ , $α_{1}^{j个} + α_{2}^{j个} + α_{三}^{j个} = 1$ , $α_{1}^{j个} \in (0, 1]$ , $α_{2}^{j个} \in [0, 1]$ ,和 $α_{三}^{j个} \in (0, 1)$ 为所有人 $j个 = 1, 2, \dots, N个$ .让 ${S公司}^{A类}$ 成为 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{N个}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{N个}$ ,和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{N个}$ .假设 $F类 = S公司 (C类, A类) \cap S公司 (C类, B类) ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \neq \emptyset$ .让序列 ${{x个}_{n个}}$ 由生成 $u个, {x个}_{1} \in C类$ ,和

{\begin{cases} 年_{n个} = α_{n个} u个 + β_{n个} {x个}_{n个} + γ_{n个} {S公司}^{A类} {x个}_{n个}, \\ {x个}_{n个 + 1} = 问_{C类} (我 - λ_{A类} A类) (一 我 + (1 - 一) 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类)) 年_{n个}, \forall n个 \geq 1, \end{cases}

(4.4)

哪里 ${α_{n个}}, {β_{n个}}, {γ_{n个}} \subseteq [0, 1]$ 和 $一 \in (0, 1)$ 具有 $α_{n个} + β_{n个} + γ_{n个} = 1$ , $λ_{A类} \in (0, \frac{α}{{K（K）}^{2}})$ , $λ_{B类} \in (0, \frac{β}{{K（K）}^{2}})$ .假设满足以下条件:

\begin{aligned} (我) & \underset{n个 \to \infty}{林} α_{n个} = 0, \sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty; \\ (ii（ii）) & 0 < c（c） \leq β_{n个} \leq d日 < 1 对一些人来说 c（c）, d日 > 0 以及所有人 n个 \geq 1; \\ (三) & \sum_{n个 = 1}^{\infty} | β_{n个 + 1} - β_{n个} |, \sum_{n个 = 1}^{\infty} | α_{n个 + 1} - α_{n个} | < \infty . \end{aligned}

然后是序列 ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛于 ${x个}_{0} = 问_{F类} u个$ 和 $({x个}_{0}, {z（z）}_{0})$ 是的解决方案(1.8),哪里 ${z（z）}_{0} = 问_{C类} (我 - λ_{B类} B类) {x个}_{0}$ .

根据定理4.4，我们得到以下结果。

示例4.1让 $我^{2} = {x个 = {({x个}_{我})}_{我 = 1}^{\infty} : \sum_{我 = 1}^{\infty} {| {x个}_{我} |}^{2} < \infty}$ 规范定义为 $∥ x个 ∥ = {(\sum_{我 = 1}^{\infty} | {x个}_{我} |)}^{\frac{1}{2}}$ .定义映射 $A类, B类 : 我^{2} \to 我^{2}$ 通过 $A类 x个 = 2 x个$ 和 $B类 x个 = 三 x个$ 为所有人 $x个 = {({x个}_{我})}_{我 = 1}^{\infty} \in 我^{2}$ .

对于每个 $我 = 1, 2, \dots, 5$ ，定义映射 ${S公司}_{我}, {T型}_{我} : 我^{2} \to 我^{2}$ 通过 ${S公司}_{我} x个 = \frac{x个}{2^{我}}$ 和 ${T型}_{我} x个 = \frac{x个}{三^{我}}$ $x个 = {({x个}_{我})}_{我 = 1}^{\infty} \in 我^{2}$ .让 ${S公司}^{A类}$ 是 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{5}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{5}$ 、和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{5}$ 哪里 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个})$ 为所有人 $j个 = 1, 2, \dots, 5$ 和 $α_{1}^{j个} = α_{2}^{j个} = α_{三}^{j个} = \frac{1}{三}$ .让序列 ${{x个}_{n个}} \subseteq 我^{2}$ 由生成 $u个, {x个}_{1} = {({x个}_{我}^{1})}_{我 = 1}^{\infty} \in 我^{2}$ 和

{\begin{cases} 年_{n个} = \frac{1}{9 n个} u个 + \frac{10 n个 - 1}{18 n个} {x个}_{n个} + \frac{8 n个 - 1}{18 n个} {S公司}^{A类} {x个}_{n个}, \\ {x个}_{n个 + 1} = 问_{我^{2}} (我 - 4 A类) (\frac{1}{4} 我 + \frac{三}{4} 问_{我^{2}} (我 - 三 B类)) 年_{n个}, \forall n个 \geq 1, \end{cases}

哪里 $问_{我^{2}}$ 是一个阳光非扩张的收缩 $我^{2}$ 到上面 $我^{2}$ 然后是序列 ${{x个}_{n个}}$ 强收敛到0并且 $(0, 0)$ 是（1.8）的解。

备注4.5如果 $E类 = 我_{第页}$ ( $第页 \geq 2$ )，则定理4.4也成立。

5示例和数值结果

在本节中，我们给出了一个数值示例来支持主要结果。

例5.1让ℝ成为欧几里德范数的实线，并让 $C类 = [0, \frac{π}{2}]$ 和 $A类, B类 : C类 \to R（右）$ be映射由定义 $A类 x个 = \frac{x个}{2}$ 和 $B类 x个 = \frac{x个}{4}$ 为所有人 $x个 \in C类$ 。对于每个 $我 = 1, 2, \dots, N个$ ，定义映射 ${S公司}_{我}, {T型}_{我} : C类 \to C类$ 通过 ${T型}_{我} x个 = \frac{罪 x个}{我}$ 和 ${S公司}_{我} x个 = \frac{{x个}^{2}}{x个 + 我}$ 为所有人 $x个 \in C类$ 和 $\frac{1}{{(N个 + 1)}^{2}} \leq \frac{1}{{N个}^{2}}$ .

假设 ${S公司}^{A类}$ 是 ${S公司}^{A类}$ -映射由生成 ${S公司}_{1}, {S公司}_{2}, \dots, {S公司}_{N个}$ , ${T型}_{1}, {T型}_{2}, \dots, {T型}_{N个}$ 、和 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{N个}$ 哪里 $α_{j个} = (α_{1}^{j个}, α_{2}^{j个}, α_{三}^{j个})$ 和 $α_{1}^{j个} = α_{2}^{j个} = α_{三}^{j个} = \frac{1}{三}$ 为所有人 $j个 = 1, 2, \dots, N个$ .定义映射 $G公司 : C类 \to C类$ 通过 $G公司 x个 = 问_{C类} (我 - \frac{1}{5} A类) (\frac{1}{2} 我 + \frac{1}{2} 问_{C类} (我 - \frac{1}{17} B类)) x个$ 为所有人 $x个 \in C类$ .让序列 ${{x个}_{n个}}$ 由（3.1）生成，其中 $α_{n个} = \frac{1}{7 n个}$ , $β_{n个} = \frac{6 n个 - 1}{14 n个}$ 、和 $γ_{n个} = \frac{8 n个 - 1}{14 n个}$ 为所有人 $n个 \geq 1$ .然后 ${{x个}_{n个}}$ 强收敛到0并且 $(0, 0)$ 是（1.8）的解。

解决方案。对于每个 $我 = 1, 2, \dots, N个$ ，很容易看出 ${T型}_{我}$ 是非扩展映射，并且 ${S公司}_{我}$ 是 $\frac{1}{我^{2}}$ -严格伪压缩映射 $⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) = {0}$ .然后A类是 $\frac{1}{4}$ -逆强增生和B类是 $\frac{1}{16}$ -逆强增生。从定义G公司，我们有 $F类 (G公司) = {0}$ 和 $(0, 0)$ 是（1.8）的解。然后 $F类 = ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \cap F类 (G公司) = {0}$ .

对于每个 $n个 \geq 1$ 和 $我 = 1, 2, \dots, N个$ ，映射 ${T型}_{我}$ , ${S公司}_{我}$ ,G公司,A类,B类和序列 ${α_{n个}}$ , ${β_{n个}}$ 满足定理3.1中的所有条件。因为序列 ${{x个}_{n个}}$ 由（3.1）生成，根据定理3.1，我们发现序列 ${{x个}_{n个}}$ 强收敛到0并且 $(0, 0)$ 是（1.8）中的解。

接下来，我们将把迭代分为两种情况，如下所示：

（i）
${x个}_{1} = \frac{π}{2}$ , $u个 = \frac{π}{4}$ 和 $n个 = N个 = 20$ ,
（ii）
${x个}_{1} = \frac{π}{4}$ , $u个 = \frac{π}{6}$ 和 $n个 = N个 = 20$ .

表1和图1显示序列值 ${{x个}_{n个}}$ 对于这两种情况。

表1的值 ${{x个}_{n个}}$ 具有 ${x个}_{1} = \frac{π}{2}$ , $u个 = \frac{π}{4}$ 、和 ${x个}_{1} = \frac{π}{4}$ , $u个 = \frac{π}{6}$

全尺寸桌子

结论

（i）
表1和图1显示序列 ${{x个}_{n个}}$ 收敛到0，其中 ${0} = ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我}) \cap F类 (G公司)$ .
（ii）
定理3.1保证了 ${{x个}_{n个}}$ 例5.1中。
（iii）
如果序列 ${{x个}_{n个}}$ 由（4.4）生成，根据定理4.4和示例5.1，我们还可以看到序列 ${{x个}_{n个}}$ 收敛到0，其中 ${0} = S公司 (C类, A类) \cap (C类, B类) ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({S公司}_{我}) \cap ⋂_{我 = 1}^{N个} F类 ({T型}_{我})$ .

工具书类

Ansari QH，Yao JC:广义变分不等式系统及其应用。申请。分析。2000, 76: 203–217. 10.1080/00036810008840877
第条数学科学网数学谷歌学者
Ansari QH，Schaible S，Yao JC:广义向量平衡问题系统及其应用。J.全球。最佳方案。2002, 22: 3–16. 10月23日/A：1013857924393
第条数学科学网数学谷歌学者
Yao Y，Noor MA，Noor KI，Liou Y-C，Yaqoob H：Banach空间中变分不等式系统的修正外梯度方法。《应用学报》。数学。2010, 110: 1211–1224. 2007年10月10日/10440-009-9502-9
第条数学科学网数学谷歌学者
Cai G，Bu S:Banach空间中无限族非扩张映射的变分不等式问题和不动点问题的修正外梯度方法。J.全球。最佳方案。2013, 55: 437–457. 2007年10月10日/10898-012-9883-6
第条数学科学网数学谷歌学者
Ceng LC，Wang C，Yao JC:一般变分不等式组的松弛外梯度法的强收敛定理。数学。方法操作。物件。2008, 67: 375–390. 2007年10月10日/00186-007-0207-4
第条数学科学网数学谷歌学者
Verma RU：关于一个新的非线性变分不等式系统及其相关迭代算法。数学。科学。Res.热线1999, 3: 65–68.
数学科学网数学谷歌学者
Ceng LC，Schaible S：广义混合平衡问题、广义平衡系统和优化问题的混合类梯度外方法。J.全球。最佳方案。2012, 53(1):69–96. 2007年10月10日/10898-011-9703-4
第条数学科学网数学谷歌学者
Latif A，Ceng LC，Ansari QH：平衡问题和不动点问题解集上定义的变分不等式系统的多步混合粘性方法。不动点理论应用。2012年、2012年：文章ID 186
谷歌学者
Ceng LC，Mezel SA，Ansari QH：变分不等式系统和增生算子零点的隐式和显式迭代方法。文章摘要。申请。分析。2013年、2013年：文章ID 631382
谷歌学者
Ceng，LC，Gupta，H，Ansari，QH：Banach空间中非线性变分不等式组的隐式和显式算法。J.非线性凸分析。（出现）
Cai G，Bu S:Banach空间中变分不等式问题和不动点问题基于新的修正外梯度方法的强收敛定理。计算。数学。申请。2011, 62: 2567–2579. 2016年10月10日/j.camwa.2011.07.056
第条数学科学网数学谷歌学者
Bnouhachem A，Xu MH，Fu X-L，Zhaohan S:求解变分不等式的改进外梯度方法。计算。数学。申请。2009, 57: 230–239. 2016年10月10日/j.camwa.2008.10.065
第条数学科学网数学谷歌学者
彭J-W，姚J-C：混合平衡问题和不动点问题基于外梯度方法的迭代格式的强收敛定理。数学。计算。模型。2009, 49: 1816–1828. 2016年10月10日/j.mcm.2008.11.014
第条数学科学网数学谷歌学者
Aoyama K，Iiduka H，Takahashi W:Banach空间中增生算子迭代序列的弱收敛性。不动点理论应用。2006年、2006年：文章ID 35390 10.1155/FPTA/2006/35390
谷歌学者
Kangtunyakarn A:一种新的映射，用于寻找非扩张严格伪压缩映射的两个有限族的不动点集的公共元素，以及一致凸和严格伪压缩中的两组变分不等式（f）-平滑的巴纳赫空间。不动点理论应用。2013年、2013年：文章ID 157
谷歌学者
Xu HK：二次优化的迭代方法。J.优化。理论应用。2003, 116: 659–678. 10月23日/A：1023073621589
第条数学科学网数学谷歌学者
Xu HK：Banach空间中的不等式及其应用。非线性分析。1991, 16: 1127–1138. 10.1016/0362-546X（91）90200-K
第条数学科学网数学谷歌学者
北原S，高桥W：通过阳光非膨胀收缩的凸面组合进行图像恢复。白杨。方法非线性分析。1993, 2: 333–342.
数学科学网数学谷歌学者
Reich S:Banach空间中收缩的渐近行为。数学杂志。分析。申请。1973, 44(1):57–70. 10.1016/0022-247X（73）90024-3
第条数学科学网数学谷歌学者
Cho YJ，Zhou HY，Guo G:渐近非扩张映射带误差三步迭代的弱收敛和强收敛定理。计算。数学。申请。2004, 47: 707–717. 10.1016/S0898-1221（04）90058-2
第条数学科学网数学谷歌学者
周H：收敛定理κ-2-一致光滑Banach空间中的严格伪压缩。非线性分析。2008, 69: 3160–3173. 10.1016/j.na.2007.09.009
第条数学科学网数学谷歌学者
Bruck RE：Banach空间中非扩张映射的不动点集的性质。事务处理。美国数学。Soc公司。1973, 179: 251–262.
第条数学科学网数学谷歌学者
Qin X，Kang SM:变分不等式问题和不动点问题迭代方法的收敛定理。牛市。马来人。数学。科学。Soc公司。2010, 33: 155–167.
数学科学网数学谷歌学者

下载参考资料

致谢

本研究得到了蒙古特国王理工学院拉德克拉邦研究管理部的支持。

作者信息

作者和附属机构

泰国曼谷Ladkrabang，10520，Mongkut国王理工学院数学系
Atid Kangtunyakarn公司

作者

Atid Kangtunyakarn公司
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信Atid Kangtunyakarn公司.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者提交的原始图像文件

下面是作者提交的原始图像文件的链接。

图1的作者原始文件

图2的作者原始文件

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Kangtunyakarn，A.Banach空间中不动点理论变分不等式组的修正。不动点理论应用 2014, 123 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-123

下载引文

收到:2014年2月2日
认可的:2014年5月5日
出版:2014年5月19日
DOI程序:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-123

Banach空间中不动点理论变分不等式组的修正

摘要

1引言

2准备工作

3主要成果

4应用

5示例和数值结果

结论

工具书类

致谢

作者信息

作者和附属机构

通讯作者

其他信息

竞争性利益

作者提交的原始图像文件

图1的作者原始文件

图2的作者原始文件

权利和权限

关于本文

引用这篇文章

分享这篇文章

关键词