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科学与工程不动点理论与算法
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多值严格伪压缩映射不动点的Krasnoselskii型算法

不动点理论及其应用 体积 2013，物品编号：58(2013)引用这篇文章

摘要

让q个>1然后让K（K）是q个-一致光滑实Banach空间E类.让T型:K（K）→C类B类(K（K）)是一个具有非空不动点集的多值严格伪压缩映射。Krasnoselskii型迭代序列{ x个 n个 }构造并证明是一个近似的不动点序列T型,即, 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.然后将此结果用于证明不动点的强收敛定理T型在其他适当条件下。我们的定理改进了几个著名的重要结果。

MSC公司：47H04、47H06、47H15、47H17、47J25。

1引言

几十年来，不动点理论的研究多值非线性映射已经并将继续吸引一些著名数学家的兴趣（例如，请参阅Brouwer[1]，卡库塔尼[2]，纳什[三,4]，吉纳科普洛斯[5]、纳德拉[6]唐宁和柯克[7]).

人们对研究多值映射的不动点理论的兴趣可能主要源于以下事实：博弈论与市场经济和中非光滑微分方程可以写成多值映射的不动点问题。我们简要描述了多值映射不动点理论的联系及其应用。

博弈论与市场经济

在博弈论和市场经济中，均衡的存在性是通过应用不动点定理得到的。事实上，纳什[三,4]证明了非合作静态博弈均衡的存在性，这是Brouwer的直接结果[1]或Kakutani[2]不动点定理。更准确地说，在某些规则性条件下，给定一个博弈，总是存在一个多值映射其不动点与博弈的平衡点重合。此类应用程序的一个模型示例是纳什均衡定理（请参见，例如, [三]).

考虑一个游戏G公司=( u个 n个 , K（K） n个 )具有N个玩家表示为n个,n个=1,…,N个，其中 K（K） n个 ⊂ R（右） 米 n个 是n个第个player，假设它是非空的、紧的和凸的，并且 u个 n个 :K（K）:= K（K） 1 × K（K） 2 ⋯× K（K） N个 →R（右）是玩家的收益函数n个并且假设是连续的。玩家n个可以接受个人行动，由向量表示 σ n个 ∈ K（K） n个 。所有玩家一起可以集体行动，这是一个组合向量σ=( σ 1 , σ 2 ,…, σ N个 )对于每个n个,σ∈K（K）和 z（z） n个 ∈ K（K） n个 ，我们将使用以下标准符号：

K（K） − n个 : = K（K） 1 × ⋯ × K（K） n个 − 1 × K（K） n个 + 1 × ⋯ × K（K） N个 , σ − n个 : = ( σ 1 , … , σ n个 − 1 , σ n个 + 1 , … , σ N个 ) , ( z（z） n个 , σ − n个 ) : = ( σ 1 , … , σ n个 − 1 , z（z） n个 , σ n个 + 1 , … , σ N个 ) .

战略 σ ¯ n个 ∈ K（K） n个 允许n个第个球员最大化他的收益在这种情况下那个剩余的玩家已经选择了他们的策略 σ − n个 当且仅当

u个 n个 ( σ ¯ n个 , σ − n个 )= 最大值 z（z） n个 ∈ K（K） n个 u个 n个 ( z（z） n个 , σ − n个 ).

现在，让我们 T型 n个 : K（K） − n个 → 2 K（K） n个 是由定义的多值映射

T型 n个 ( σ − n个 ):= 精氨酸 最大值 z（z） n个 ∈ K（K） n个 u个 n个 ( z（z） n个 , σ − n个 )∀ σ − n个 ∈ K（K） − n个 .

定义集体行动 σ ¯ =( σ ¯ 1 ,…, σ ¯ N个 )∈K（K）称为纳什均衡点如果，对于每个n个, σ ¯ n个 是对n个动作的第个玩家 σ ¯ − n个 由剩下的球员制造。也就是说，对于每个n个,

u个 n个 ( σ ¯ )= 最大值 z（z） n个 ∈ K（K） n个 u个 n个 ( z（z） n个 , σ ¯ − n个 )
(1.1)

或者，同等地，

σ ¯ n个 ∈ T型 n个 ( σ ¯ − n个 ).
(1.2)

这相当于 σ ¯ 是多值映射的不动点T型:K（K）→ 2 K（K） 由定义

T型(σ):= [ T型 1 ( σ − 1 ) , T型 2 ( σ − 2 ) , … , T型 N个 ( σ − N个 ) ] .

从社会认知的角度来看，博弈论可能是多值映射不动点理论最成功的应用领域。然而，有人指出，这一理论在平衡中的应用大多是静态的：它们加强了对实现平衡的条件的理解，但并没有说明如何构建一个从非平衡点开始并收敛到平衡解的过程。这是用迭代方法解决多值映射不动点问题的一部分。

非光滑微分方程

多值映射不动点理论应用的主流最初是由具有不连续右侧的微分方程（DE）问题引发的，该问题产生了微分包含（DI）的存在性理论。下面是这种应用程序的一个简单模型。

考虑初值问题

d日 u个 d日 t吨 =如果(t吨,u个),即t吨∈我:=[−一,一],u个(0)= u个 0 .
(1.3)

如果如果:我×R（右）→R（右）是不连续的，有界跳跃，在t吨，一个寻找解决在菲利波夫的意义上[8]这是微分包含的解

d日 u个 d日 t吨 ∈F类(t吨,u个),即t吨∈我,u个(0)= u个 0 ,
(1.4)

哪里

F类(t吨,x个)= [ lim信息 年 → x个 如果 ( t吨 , 年 ) , 酸橙酱 年 → x个 如果 ( t吨 , 年 ) ] .
(1.5)

现在，设置H（H）:= L（左） 2 (我)然后让 N个 F类 :H（H）→ 2 H（H） 成为多值Nemystkii算子由定义

N个 F类 (u个):= { 五 ∈ H（H） : 五 ( t吨 ) ∈ F类 ( t吨 , u个 ( t吨 ) ) 即 t吨 ∈ 我 } .

最后，让我们T型:H（H）→ 2 H（H） 是由定义的多值映射T型:= N个 F类 ∘ L（左） − 1 ，其中 L（左） − 1 是导数运算符的逆L（左）u个= u个 ′ 由提供

L（左） − 1 五(t吨):= u个 0 + ∫ 0 t吨 五(秒)d日秒.

可以看出，问题（1.4）归结为不动点问题：u个∈T型u个.

最后，对于具有非空值和凸值的多值映射，可以利用各种不动点定理来证明解的存在性。为了简化表示，我们使用了一阶微分方程作为模型，但这种方法最常用于常微分方程或偏微分方程的二阶边值问题。有关这些主题的更多详细信息，可以查阅[9–12]以及其中的参考文献作为示例。让E类是维数≥2的实赋范线性空间。这个平滑模数属于E类, ρ E类 ，由定义

ρ E类 (τ):=啜饮 { ∥ x个 + 年 ∥ + ∥ x个 − 年 ∥ 2 − 1 : ∥ x个 ∥ = 1 , ∥ 年 ∥ = τ } ,τ>0.

赋范线性空间E类被称为均匀光滑如果

林 τ → 0 ρ E类 ( τ ) τ =0.

这是众所周知的（参见，例如, [13]，第16页[14])那个 ρ E类 不会减少。如果存在常量c（c）>0和一个实数q个>1这样的话 ρ E类 (τ)≤c（c） τ q个 ，然后E类据说是q个-均匀光滑此类空间的典型示例是 L（左） 第页 , ℓ 第页 和 W公司 第页 米 空间用于1<第页<∞，其中

L（左） 第页 (或 我 第页 )或 W公司 第页 米 是 { 2 -均匀光滑 如果 2 ≤ 第页 < ∞ ; 第页 -均匀光滑 如果 1 < 第页 < 2 .

让 J型 q个 表示广义对偶映射从E类到 2 E类 ∗ 由定义

J型 q个 (x个):= { 如果 ∈ E类 ∗ : 〈 x个 , 如果 〉 = ∥ x个 ∥ q个 和 ∥ 如果 ∥ = ∥ x个 ∥ q个 − 1 } ,

哪里〈⋅,⋅〉表示广义对偶对。 J型 2 被称为归一化对偶映射并表示为J型众所周知，如果E类平滑， J型 q个 是单值的。

每个一致光滑空间都有一个一致G¨teaux可微范数（参见，例如, [13]，第17页）。

让K（K）是的非空子集E类.套装K（K）被称为近端的（请参见，例如, [15–17])如果每个x个∈E类，存在u个∈K（K）这样的话

d日(x个,u个)=inf公司 { ∥ x个 − 年 ∥ : 年 ∈ K（K） } =d日(x个,K（K）),

哪里d日(x个,年)=∥x个−年∥对所有人来说x个,年∈E类.实Hilbert空间的每个非空、闭和凸子集都是近似的。让C类B类(K（K）)和P（P）(K（K）)表示K（K）分别为。这个豪斯道夫公制在C类B类(K（K）)由定义

D类(A类,B类)=最大值 { 啜饮 一 ∈ A类 d日 ( 一 , B类 ) , 啜饮 b条 ∈ B类 d日 ( b条 , A类 ) }

对所有人来说A类,B类∈C类B类(K（K）).让T型:D类(T型)⊆E类→C类B类(E类)成为多值映射在E类.A分x个∈D类(T型)称为不动点 T型如果x个∈T型x个.的不动点集T型表示为F类(T型):={x个∈D类(T型):x个∈T型x个}.

多值映射T型:D类(T型)⊆E类→C类B类(E类)被称为L（左）-利普希茨（Lipschitzian）如果存在L（左）>0这样的话

D类(T型x个,T型年)≤L（左）∥x个−年∥∀x个,年∈D类(T型).
(1.6)

什么时候？L（左）∈(0,1)在（1.6）中，我们说T型是一个收缩、和T型被称为非扩张如果L（左）=1.

定义1.1让K（K）是实希尔伯特空间的非空子集H（H）.地图T型:K（K）→H（H）被称为k个-严格伪压缩的如果存在k个∈(0,1)这样的话

∥ T型 x个 − T型 年 ∥ 2 ≤ ∥ x个 − 年 ∥ 2 +k个 ∥ x个 − 年 − ( T型 x个 − T型 年 ) ∥ 2 ∀x个,年∈K（K）.
(1.7)

Browder和Petryshyn[18]引入并研究了严格伪压缩映射类，作为非扩张映射类的一个重要推广T型:K（K）→K（K）令人满意的∥T型x个−T型年∥≤∥x个−年∥∀x个,年∈K（K）). 很容易看出，每个非扩张映射都是严格伪压缩的。

为此，奇杜姆等。[19]介绍了多值严格伪压缩实希尔伯特空间上定义的映射H（H）如下所示。

定义1.2多值映射T型:D类(T型)⊂H（H）→C类B类(H（H）)被称为k个-严格伪压缩的如果存在k个∈(0,1)这样所有人x个,年∈D类(T型),

( D类 ( T型 x个 , T型 年 ) ) 2 ≤ ∥ x个 − 年 ∥ 2 +k个 ∥ x个 − 年 − ( u个 − 五 ) ∥ 2 ∀u个∈T型x个,五∈T型年.
(1.8)

然后，他们证明了逼近多值严格伪压缩映射不动点的收敛定理（参见[19])它扩展了多值类的最近结果非扩张映射到更一般和更重要的多值类严格伪压缩映射.

还定义并研究了单值严格伪压缩映射在实际的Banach空间中，它比Hilbert空间更一般.

定义1.3让K（K）是实赋范空间的非空子集E类.一张地图T型:K（K）→E类被称为k个-严格伪压缩的（请参见，例如, [13]，第145页[18])如果存在k个∈(0,1)这样所有人x个,年∈K（K），存在j个(x个−年)∈J型(x个−年)这样的话

〈 T型 x个 − T型 年 , j个 ( x个 − 年 ) 〉 ≤ ∥ x个 − 年 ∥ 2 −k个 ∥ x个 − 年 − ( T型 x个 − T型 年 ) ∥ 2 .
(1.9)

本文定义了多值严格伪压缩映射任意赋范空间 E类如下所示。

定义1.4多值映射T型:D类(T型)⊂E类→C类B类(E类)被称为k个-严格伪压缩的如果存在k个∈(0,1)这样所有人x个,年∈D类(T型),

k个 ( D类 ( A类 x个 , A类 年 ) ) 2 ≤ 〈 u个 − 五 , j个 ( x个 − 年 ) 〉 ∀u个∈A类x个,五∈A类年,
(1.10)

哪里A类:=我−T型和我身份图在上面吗E类.

我们观察到，如果T型是单值的，则不等式（1.10）减少到（1.9）。

几篇论文讨论了近似不动点的问题希尔伯特空间上定义的多值非扩张映射（例如，见萨斯特里和巴布[15]，帕尼亚纳克[16]宋和王[17]，可汗等。[20]，阿巴斯等。[21]以及其中包含的参考文献）及其概括（参见，例如、奇杜姆等。[19]以及其中包含的参考）。

奇杜姆等。[19]证明了以下多值定理k个-严格伪压缩映射的定义实希尔伯特空间.

定理CCDM（定理3.2[19])

让 K（K） 做一个不空虚的人,实Hilbert空间的闭凸子集 H（H）.假设T型:K（K）→C类B类(K（K）)是多重的-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射，以便F类(T型)≠∅.假设T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).让{ x个 n个 }是从中迭代定义的序列 x个 0 ∈K（K）通过

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(1.11)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,1−k个).然后 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.

使用定理CCDM，Chidume等。在算子上证明了严格伪压缩映射在各种附加温和紧性条件下不动点逼近的几个收敛定理T型或在T型.中证明的定理[19]是Hilbert空间中几个重要结果的重要推广（参见，例如, [19]).

我们在本文中的目的是将定理CCDM和其他相关结果推广到[19]，使用定义1.4，从Hilbert空间到更一般的类q个-一致光滑实Banach空间如我们所述，这些空格包括 L（左） 第页 , 我 第页 和 W公司 米 , 第页 空格，1<第页<∞和米≥1最后，我们给出了满足定理条件的多值映射的重要例子。

2准备工作

在续集中，我们需要以下定义和结果。

定义2.1让E类成为一个真正的巴拿赫空间T型是一个多值映射。多值映射(我−T型)据说是强除雾在0（参见，例如, [22])如果是任何序列{ x个 n个 }⊆D类(T型)这样的话{ x个 n个 }强烈收敛于 x个 ∗ 和d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )收敛到0，然后d日( x个 ∗ ,T型 x个 ∗ )=0.

引理2.2[19]

让 E类 成为一个自反的实Banach空间，并让A类,B类∈C类B类(X（X）).假设 B类 弱封闭.然后,对于每个一∈A类,存在b条∈B类这样的话

∥一−b条∥≤D类(A类,B类).
(2.1)

提议2.3 让 K（K） 是实Banach空间的非空子集 E类 然后让T型:K（K）→C类B类(K（K）)成为多重身份-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射.假设每个x个∈K（K）,Tx（发送） 是弱闭合的.然后 T型 是Lipschitzian.

证明我们首先观察到x个∈D类(T型)，集合Tx（发送）弱闭当且仅当集阿克斯弱封闭。现在，让我们x个,年∈D类(T型)和u个∈A类x个.根据引理2.2，存在五∈A类年这样的话

∥u个−五∥≤D类(A类x个,A类年).
(2.2)

利用以下事实T型是k个-严格的伪压缩和不等式（2.2），我们有

k个 ( D类 ( A类 x个 , A类 年 ) ) 2 ≤ 〈 u个 − 五 , j个 ( x个 − 年 ) 〉 ≤ ∥ u个 − 五 ∥ ∥ x个 − 年 ∥ ≤ D类 ( A类 x个 , A类 年 ) ∥ x个 − 年 ∥ .

所以，

D类(A类x个,A类年)≤ 1 k个 ∥x个−年∥∀x个,年∈D类(T型).
(2.3)

根据Hausdorff距离的定义，我们得到

D类(T型x个,T型年)≤D类(A类x个,A类年)+∥x个−年∥∀x个,年∈D类(T型).
(2.4)

使用（2.3）和（2.4），我们得到

D类(T型x个,T型年)≤ L（左） k个 ∥x个−年∥∀x个,年∈D类(T型),其中 L（左） k个 := 1 + k个 k个 .

因此，T型是 L（左） k个 -利普希茨。□

备注1我们注意到对于单值映射 T型，每个x个∈D类(T型)，集合Tx（发送）总是弱闭的。

引理2.4 让q个>1,E类 成为 q个-一致光滑实Banach空间,k个∈(0,1).假设T型:D类(T型)⊂E类→C类B类(E类)是多重的-有值映射F类(T型)≠∅,以及所有人x个∈D类(T型), x个 ∗ ∈F类(T型),

k个 ( D类 ( A类 x个 , A类 x个 ∗ ) ) 2 ≤ 〈 u个 − 五 ∗ , j个 ( x个 − x个 ∗ ) 〉 ∀u个∈A类x个, 五 ∗ ∈A类 x个 ∗ ,
(2.5)

哪里A类:=我−T型,我 身份地图在吗 E类.如果T型 x个 ∗ ={ x个 ∗ }对所有人来说 x个 ∗ ∈F类(T型),那么下面的不等式成立:

〈 x个 − 年 , j个 q个 ( x个 − x个 ∗ ) 〉 ≥ k个 q个 − 1 ∥ x个 − 年 ∥ q个 ,∀x个∈D类(T型),∀年∈T型x个.

证明让x个∈D类(T型),u个∈A类x个, x个 ∗ ∈F类(T型)然后，从不等式（2.5），Hausdorff度量的定义和假设T型 x个 ∗ ={ x个 ∗ }，我们有

k个 ( D类 ( A类 x个 , A类 x个 ∗ ) ) 2 ≤∥u个∥ ∥ x个 − x个 ∗ ∥ ≤D类 ( A类 x个 , A类 x个 ∗ ) ∥ x个 − x个 ∗ ∥ .

所以，

k个D类 ( A类 x个 , A类 x个 ∗ ) ≤ ∥ x个 − x个 ∗ ∥ ∀x个∈D类(T型), x个 ∗ ∈F类(T型).
(2.6)

因此，对于所有人来说x个∈D类(T型),年∈T型x个, x个 ∗ ∈F类(T型)这样的话x个≠ x个 ∗ 使用不等式（2.5）和（2.6）以及以下事实 j个 q个 (x个− x个 ∗ )= ∥ x个 − x个 ∗ ∥ q个 − 2 j个(x个− x个 ∗ )，我们获得

〈 x个 − 年 , j个 q个 ( x个 − x个 ∗ ) 〉 = ∥ x个 − x个 ∗ ∥ q个 − 2 〈 x个 − 年 , j个 ( x个 − x个 ∗ ) 〉 ≥ k个 q个 − 1 ( D类 ( A类 x个 , A类 x个 ∗ ) ) q个 ≥ k个 q个 − 1 ∥ x个 − 年 ∥ q个 .

D类(A类x个,A类 x个 ∗ )≥∥x个− x个 ∗ ∥自从T型 x个 ∗ ={ x个 ∗ }。这就完成了证明。□

引理2.5 让 K（K） 是实Banach空间的非空闭子集 E类 然后让T型:K（K）→P（P）(K（K）)成为 k个-严格伪-收缩映射.假设每个x个∈K（K）,发送 弱封闭.然后(我−T型)在零度时强烈除雾.

证明让{ x个 n个 }⊆K（K）是这样的 x个 n个 →x个和d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )→0作为n个→∞.自K（K）关门了，我们有x个∈K（K）自起，每n个,T型 x个 n个 是近似的，让 年 n个 ∈T型 x个 n个 这样的话∥ x个 n个 − 年 n个 ∥=d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 ).对于每个n个，存在 z（z） n个 ∈T型x个这样的话

∥ 年 n个 − z（z） n个 ∥≤D类(T型 x个 n个 ,T型x个).

然后我们有

∥ x个 − z（z） n个 ∥ ≤ ∥ x个 − x个 n个 ∥ + ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ + ∥ 年 n个 − z（z） n个 ∥ ≤ ∥ x个 − x个 n个 ∥ + ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ + D类 ( T型 x个 n个 , T型 x个 ) ≤ ∥ x个 − x个 n个 ∥ + ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ + L（左） k个 ∥ x个 n个 − x个 ∥ .

观察到这一点d日(x个,T型x个)≤∥x个− z（z） n个 ∥，接下来是

d日(x个,T型x个)≤∥x个− x个 n个 ∥+∥ x个 n个 − 年 n个 ∥+ L（左） k个 ∥ x个 n个 −x个∥.

将限额视为n个→∞，我们有d日(x个,T型x个)=0.因此x个∈T型x个.证明已完成。□

引理2.6[23]

让q个>1和 E类 是光滑的实Banach空间.那么以下是等效的:

  1. （i）

    E类 是 q个-均匀光滑.

  2. （ii）

    存在一个常量 d日 q个 >0 这样所有人 x个,年∈E类,

    ∥ x个 + 年 ∥ q个 ≤ ∥ x个 ∥ q个 +q个 〈 年 , j个 q个 ( x个 ) 〉 + d日 q个 ∥ 年 ∥ q个 .
  3. （iii）

    存在一个常量 c（c） q个 >0 这样所有人 x个,年∈E类 和 λ∈[0,1],

    ∥ ( 1 − λ ) x个 + λ 年 ∥ q个 ≥(1−λ) ∥ x个 ∥ q个 +λ ∥ 年 ∥ q个 − w个 q个 (λ) c（c） q个 ∥ x个 − 年 ∥ q个 ,

哪里 w个 q个 (λ):= λ q个 (1−λ)+λ ( 1 − λ ) q个 .

从现在开始， d日 q个 表示引理2.6中出现的常数。让μ:=最小值{1, ( q个 k个 q个 − 1 d日 q个 ) 1 q个 − 1 }.

3主要成果

我们证明了以下定理。

定理3.1 让q个>1是一个实数 K（K） 做一个不空虚的人,闭凸子集 q个-一致光滑实Banach空间 E类.假设T型:K（K）→C类B类(K（K）)是多重的-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射，以便F类(T型)≠∅这样的话T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).对于任意 x个 1 ∈K（K）和λ∈(0,μ),让{ x个 n个 }是由迭代定义的序列

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.1)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 .然后 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.

证明让 x个 ∗ ∈F类(T型)然后，使用递归公式（3.1）、引理2.6和2.4，我们得到

∥ x个 n个 + 1 − x个 ∗ ∥ q个 = ∥ x个 n个 − x个 ∗ − λ ( x个 n个 − 年 n个 ) ∥ q个 ≤ ∥ x个 n个 − x个 ∗ ∥ q个 − λ q个 〈 x个 n个 − 年 n个 , j个 q个 ( x个 n个 − x个 ∗ ) 〉 + λ q个 d日 q个 ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ q个 ≤ ∥ x个 n个 − x个 ∗ ∥ q个 − q个 λ k个 q个 − 1 ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ q个 + λ q个 d日 q个 ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ q个 = ∥ x个 n个 − x个 ∗ ∥ q个 − λ ( q个 k个 q个 − 1 − d日 q个 λ q个 − 1 ) ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ q个 .
(3.2)

由此可见

∑ n个 = 1 ∞ ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ q个 <∞.

因此， 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥=0.自 年 n个 ∈T型 x个 n个 ，我们有 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0. □

地图T型:K（K）→C类B类(K（K）)被称为半紧致的如果，对于任何序列{ x个 n个 }在里面K（K）这样的话d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )→0作为n个→∞，存在子序列{ x个 n个 j个 }属于{ x个 n个 }这样的话 x个 n个 j个 →第页∈K（K）。我们注意到，如果K（K）是紧的，那么每个多值映射T型:K（K）→C类B类(K（K）)是半紧致的。

我们现在证明定理3.1的以下推论。

推论3.2 让q个>1是一个实数 K（K） 做一个不空虚的人,闭凸子集 q个-一致光滑实Banach空间 E类.让T型:K（K）→C类B类(K（K）)成为多重身份-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射F类(T型)≠∅这样的话T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).假设 T型 是连续的和半紧密的.让{ x个 n个 }是从中迭代定义的序列 x个 1 ∈K（K）通过

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.3)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,μ).然后是序列{ x个 n个 }强收敛到T的不动点.

证明根据定理3.1，我们得到 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.自T型是半紧致的，存在子序列{ x个 n个 j个 }属于{ x个 n个 }这样的话 x个 n个 j个 →第页对一些人来说第页∈K（K）.自T型是连续的，我们有d日( x个 n个 j个 ,T型 x个 n个 j个 )→d日(第页,T型第页)因此，d日(第页,T型第页)=0等等第页∈F类(T型).设置 x个 ∗ =第页在定理3.1的证明中，由不等式（3.2）可知 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −第页∥存在。所以，{ x个 n个 }强烈收敛于第页。这就完成了证明。□

推论3.3 让q个>1是一个实数 K（K） 做一个不空虚的人,紧凸子集 q个-一致光滑实Banach空间 E类.让T型:K（K）→C类B类(K（K）)成为一个多人-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射F类(T型)≠∅这样的话T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).假设 T型 是连续的.让{ x个 n个 }是从中迭代定义的序列 x个 1 ∈K（K）通过

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.4)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,μ).然后是序列{ x个 n个 }强收敛到T的不动点.

证明观察到如果K（K）每一张地图都很紧凑T型:K（K）→C类B类(K（K）)是半紧致的，证据来自推论3.2。□

备注2在推论3.2中T型如果我们假设每个x个∈K（K），集合发送近似且弱封闭。事实上，我们得到了以下结果。

推论3.4 让q个>1是一个实数 K（K） 做一个不空虚的人,闭凸子集 q个-一致光滑实Banach空间 E类.让T型:K（K）→C类B类(K（K）)成为多重身份-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射F类(T型)≠∅这样，对于每一个x个∈K（K）,Tx（发送） 弱封闭且T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).假设 T型 是半紧致的.让{ x个 n个 }是从迭代定义的序列 x个 1 ∈K（K）通过

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.5)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,μ).然后是序列{ x个 n个 }强收敛到T的不动点.

证明根据与推论3.2的证明相同的论点，我们有 x个 n个 j个 →第页和 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 j个 ,T型 x个 n个 j个 )=0此外，从引理2.5，(我−T型)在零度时强烈除雾。接下来是这样的第页∈T型第页.设置 x个 ∗ =第页根据与定理3.1的证明相同的计算，我们从不等式（3.2）中得出林∥ x个 n个 −第页∥存在。自{ x个 n个 j个 }强烈收敛于第页，因此{ x个 n个 }强烈收敛于第页∈F类(T型).证明已完成。□

地图T型:K（K）→C类B类(K（K）)如果存在严格递增函数，则称满足条件（I）如果:[0,∞)→[0,∞)具有如果(0)=0,如果(第页)>0对所有人来说第页∈(0,∞)这样的话

d日 ( x个 , T型 ( x个 ) ) ≥如果 ( d日 ( x个 , F类 ( T型 ) ) ) ∀x个∈D类.

在实Hilbert空间中证明了多值非扩张映射的收敛定理T型假设T型满足条件（I）（参见，例如, [16,24]). 下面的推论将这些定理推广到多值严格伪压缩映射和q个-一致光滑的实Banach空间。

推论3.5 让q个>1是一个实数 K（K） 做一个不空虚的人,闭凸子集 q个-一致光滑实Banach空间 E类.让T型:K（K）→P（P）(K（K）)成为多重身份-宝贵的 k个-严格伪的-压缩映射F类(T型)≠∅这样，对于每一个x个∈K（K）,Tx（发送） 弱封闭且T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).假设 T型 满足条件（一） ●●●●。让{ x个 n个 }是从中迭代定义的序列 x个 1 ∈K（K）通过

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.6)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,μ).然后是序列{ x个 n个 }强收敛到T的不动点.

证明根据定理3.1，我们有 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.利用以下事实T型满足条件（I），如下所示 林 n个 → ∞ 如果(d日( x个 n个 ,F类(T型)))=0因此存在子序列{ x个 n个 j个 }属于{ x个 n个 }和一个序列{ 第页 j个 }⊂F类(T型)这样的话

∥ x个 n个 j个 − 第页 j个 ∥< 1 2 j个 ∀j个∈N个.

通过设置 x个 ∗ = 第页 j个 遵循与定理3.1的证明相同的论点，我们从不等式（3.2）中得出

∥ x个 n个 j个 + 1 − 第页 j个 ∥≤∥ x个 n个 j个 − 第页 j个 ∥< 1 2 j个 .

我们现在展示一下{ 第页 j个 }是中的Cauchy序列K（K）。注意

∥ 第页 j个 + 1 − 第页 j个 ∥ ≤ ∥ 第页 j个 + 1 − x个 n个 j个 + 1 ∥ + ∥ x个 n个 j个 + 1 − 第页 j个 ∥ < 1 2 j个 + 1 + 1 2 j个 < 1 2 j个 − 1 .

这表明{ 第页 j个 }是中的Cauchy序列K（K）因此强收敛于第页∈K（K）.利用以下事实T型是L（左）-利普希茨和 第页 j个 →第页，我们有

d日 ( 第页 j个 , T型 第页 ) ≤ D类 ( T型 第页 j个 , T型 第页 ) ≤ L（左） ∥ 第页 j个 − 第页 ∥ ,

以便d日(第页,T型第页)=0因此第页∈T型第页因此，第页∈F类(T型)和{ x个 n个 j个 }强烈收敛于第页.设置 x个 ∗ =第页在定理3.1的证明中，由不等式（3.2）可知 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −第页∥存在。所以，{ x个 n个 }强烈收敛于第页。这就完成了证明。□

推论3.6 让q个>1是一个实数，并且 K（K） 做一个不空虚的人,紧凸子集 q个 一致光滑实Banach空间 E类.让T型:K（K）→P（P）(K（K）)成为多重身份-宝贵的 k个-严格伪-压缩映射F类(T型)≠∅这样，对于每一个x个∈K（K）,成套设备 Tx（发送） 弱封闭且T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).让{ x个 n个 }是从中迭代定义的序列 x个 1 ∈K（K）通过

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.7)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,μ).然后是序列{ x个 n个 }强收敛到T的不动点.

证明根据定理3.1，我们有 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.自{ x个 n个 }⊆K（K）和K（K）是紧凑的，{ x个 n个 }具有子序列{ x个 n个 j个 }强烈收敛于某些第页∈K（K）此外根据引理2.5，(我−T型)在零度时强烈除雾。接下来是这样的第页∈T型第页.设置 x个 ∗ =第页根据定理3.1的证明中的相同论点，我们从不等式（3.2）中得出林∥ x个 n个 −第页∥存在。自{ x个 n个 j个 }强烈收敛于q个，因此{ x个 n个 }强烈收敛于第页∈F类(T型)。这就完成了证明。□

推论3.7 让q个>1是一个实数 K（K） 是的非空紧凸子集 q个 一致光滑实Banach空间 E类.让T型:K（K）→P（P）(K（K）)成为一个多人-值非扩张映射.假设T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型).让{ x个 n个 }是从中迭代定义的序列 x个 1 ∈K（K）,

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,
(3.8)

哪里 年 n个 ∈T型 x个 n个 和λ∈(0,μ).然后是序列{ x个 n个 }强收敛到T的不动点.

备注3定理3.1的递推公式（3.1）为Krasnoselkii型（参见，例如, [25])已知优于Mann算法的递归公式（参见，例如，曼恩[26])从以下意义上说：（i）递归公式（3.1）需要的计算时间比Mann算法公式少，因为参数λ公式（3.1）中的固定值(0,1−k个)而在Mann算法中，λ被序列替换{ c（c） n个 }在里面(0,1)满足以下条件： ∑ n个 = 1 ∞ c（c） n个 =∞,林 c（c） n个 =0. The c（c） n个 必须在迭代过程的每个步骤中计算。（ii）Krasnoselskii型算法的收敛速度通常与几何级数的收敛速度一样快，而Mann算法的收敛阶通常为o（o）(1/n个).

备注4在[24]，作者替换了条件T型第页={第页}∀第页∈F类(T型)对序列有以下限制 年 n个 : 年 n个 ∈ P（P） T型 x个 n个 ,即, 年 n个 ∈T型 x个 n个 和∥ 年 n个 − x个 n个 ∥=d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )我们观察到，例如，如果集合T型 x个 n个 是真实希尔伯特空间的闭凸子集，那么 年 n个 是独特的其特征在于

〈 x个 n个 − 年 n个 , 年 n个 − u个 n个 〉≥0∀ u个 n个 ∈T型 x个 n个 .

从那以后 年 n个 必须在迭代过程的每一步进行计算，这使得递归公式在任何可能的应用中都很难使用。

备注5添加有界的递归公式（3.1）中的错误项不会导致泛化。

备注6本文中的定理是以下几个重要近期结果的重要推广：（i）我们的定理推广了多值证明的结果非扩张中的映射实希尔伯特空间（请参见，例如, [15–17,20,21])到更大的多值类严格伪压缩映射在一个更大的类别中q个-一致光滑实Banach空间（ii）我们的定理是用高级Krasnoselskii型算法证明的。

我们给出了多值映射的示例，其中，对于每个x个∈K（K），集合Tx（发送）近似且弱封闭。

示例1让如果:R（右）→R（右）是一个递增函数。定义T型:R（右）→ 2 R（右） 通过

T型x个= [ 如果 ( x个 − ) , 如果 ( x个 + ) ] ∀x个∈R（右）,

哪里如果(x个−):= 林 年 → x个 − 如果(年)和如果(x个+):= 林 年 → x个 + 如果(年)。对于每个x个∈R（右）,Tx（发送）要么是单例区间，要么是闭有界区间。因此，Tx（发送）总是弱闭和凸的。因此，对于每个x个∈R（右），集合Tx（发送）近似且弱封闭。

示例2让H（H）成为一个真正的希尔伯特空间如果:H（H）→R（右）是一个凸连续函数。让T型:H（H）→ 2 H（H） 是由定义的多值映射

T型x个=∂如果(x个)∀x个∈H（H）,

哪里∂如果(x个)是次微分的属于如果在x个并由定义

∂如果(x个)= { z（z） ∈ H（H） : 〈 z（z） , 年 − x个 〉 ≤ 如果 ( 年 ) − 如果 ( x个 ) ∀ 年 ∈ H（H） } .

众所周知x个∈H（H）,∂如果(x个)非空，弱闭，凸。因此，自H（H）是一个真实的希尔伯特空间，然后它对每一个x个∈H（H），集合Tx（发送）近似且弱封闭。次微分与凸优化问题有着密切的联系。

条件T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型)，这是强加在我们本文所有定理中的，实际上可以被另一个条件取代（例如，参见Shahzad和Zegeye[24]). 这在定理3.9中完成。

让K（K）是真实希尔伯特空间的非空闭凸子集，T型:K（K）→P（P）(K（K）)是一个多值映射，并且 P（P） T型 :K（K）→C类B类(K（K）)由定义

P（P） T型 (x个):= { 年 ∈ T型 x个 : ∥ x个 − 年 ∥ = d日 ( x个 , T型 x个 ) } .

我们需要以下结果。

引理3.8（宋和秋[27])

让 K（K） 是真实Banach空间的非空子集，并且T型:K（K）→P（P）(K（K）)成为多重身份-有值映射.那么以下内容是等效的:

  1. （i）

    x个 ∗ ∈F类(T型);

  2. （ii）

    P（P） T型 ( x个 ∗ )={ x个 ∗ };

  3. （iii）

    x个 ∗ ∈F类( P（P） T型 ).此外,F类(T型)=F类( P（P） T型 ).

备注7我们从引理3.8中观察到，如果T型:K（K）→P（P）(K（K）)是任意多值映射具有F类(T型)≠∅，然后是对应的多值映射 P（P） T型 满足 P（P） T型 (第页)={第页}对所有人来说第页∈F类( P（P） T型 )，我们所有的定理和推论中的条件。因此，多值映射的示例T型:K（K）→C类B类(K（K）)满足条件T型第页={第页}对所有人来说第页∈F类(T型)比比皆是。

定理3.9 让q个>1是一个实数 K（K） 做一个不空虚的人,闭凸子集 q个-一致光滑实Banach空间 E类.假设T型:K（K）→C类B类(K（K）)是多重的-值映射，以便F类(T型)≠∅.假设 P（P） T型 是 k个-严格伪-收缩的.对于任意 x个 1 ∈K（K）和λ∈(0,μ),让{ x个 n个 }是由迭代定义的序列

x个 n个 + 1 =(1−λ) x个 n个 +λ 年 n个 ,

哪里 年 n个 ∈ P（P） T型 ( x个 n个 ).然后 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 ,T型 x个 n个 )=0.

我们用一个多值映射的例子来结束本文T型对于其中 P（P） T型 是k个-严格伪压缩，定理3.9中假设的条件。无关紧要的是，每个非扩张地图都是严格的伪压缩地图。

示例3让E类=R（右）使用通常的度量和T型:R（右）→C类B类(R（右）)是由定义的多值映射

T型x个= { [ 0 , x个 2 ] , x个 ∈ ( 0 , ∞ ) , [ x个 2 , 0 ] , x个 ∈ ( − ∞ , 0 ] .

然后 P（P） T型 是严格的伪压缩。事实上， P（P） T型 (x个)={ x个 2 }对所有人来说x个∈R（右）.

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致谢

作者感谢裁判的评论和评论，这些评论和评论有助于改进本文的表述。

作者信息

作者和附属机构

  1. 尼日利亚阿布贾非洲科技大学

    Charles E Chidume、Ngalla Djitte和Maaruf S Minjibir

  2. 美国亚利桑那州奥本市奥本大学数学与统计系

    Chu-Chu O奇杜姆

  3. 塞恩加尔圣路易斯加斯顿·伯杰大学

    Ngalla Djitte公司

  4. 尼日利亚卡诺拜耳大学数学科学系

    马鲁夫·明吉布尔

作者
  1. 查尔斯·齐杜姆
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  2. Chu-Chu O奇杜姆
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  3. Ngalla Djitte公司
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  4. 马鲁夫·明吉布尔
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通讯作者

与的通信查尔斯·齐杜姆.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者在写这篇论文时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

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关于本文

引用这篇文章

奇杜姆，C.E.，奇杜姆（Chidume），CC.O.，Djitte，N。等。多值严格伪压缩映射不动点的Krasnoselskii型算法。不动点理论应用 2013, 58 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-11812-2013-58

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