Some new results on fixed and best proximity points in preordered metric spaces

Amini-Harandi, Alireza; Fakhar, Majid; Hajisharifi, Hamid Reza; Hussain, Nawab

doi:10.1186/1687-1812-2013-263

研究
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出版：2013年11月7日

预序度量空间中关于固定和最佳邻近点的一些新结果

不动点理论及其应用 体积 2013，物品编号：263(2013)引用这篇文章

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11引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们首先介绍两类新的 $(ω, δ)$ -第一类和第二类压缩，并在序度量空间中建立了一些相关的新不动点和最佳邻近点定理。我们的定理包含了Samet（J.Optim.Theory Appl.（2013），doi:10.1007/s10957-013-0269-9）的相应最新结果，并扩展和推广了文献中的许多著名结果。还提供了一个示例来支持我们的主要结果。

MSC公司：47H10、41A65。

1简介和准备

给定一个度量空间 $(X（X）, d日)$ 和自映射T型在X（X）形式方程解的存在性理论 $T型 x个 = x个$ 由于其适用于解决许多可以表述为常微分方程、矩阵方程的有趣问题，因此获得了推动等。有关最近的一些定点结果，请参见[1–6]以及其中的参考。让A类和B类是的非空子集X（X），并让 $T型以下为： A类 \to B类$ 成为一个非自我映射。方程式 $T型 x个 = x个$ 不太可能有解，因为前面方程的解需要非空的 $A类 \cap B类$ 最终，寻求一个近似的解决方案是很自然的x个这是最佳的距离 $d日 (x个, T型 x个)$ 为最小值。著名的最佳逼近定理，由于Fan[7]，声明如果A类是赋范线性空间的非空紧凸子集X（X）和T型是来自的连续函数A类到X（X），那么就存在一个点x个在里面A类使得 $∥ x个 - T型 x个 ∥ = d日 (T型 x个, A类) = inf公司 {∥ T型 x个 - u个 ∥ 以下为： u个 \in A类}$ .这样的点x称为T型在里面A类文献中出现了该定理的许多推广和扩展（参见[8–11]以及其中的参考）。

对的最佳接近问题 $(A类, B类)$ 就是找到一个元素 $x个 \in A类$ 使得 $d日 (x个, T型 x个) = d日 (A类, B类)$ ，其中 $d日 (A类, B类) = inf公司 {d日 (x个, 年) 以下为： x个 \in A类, 年 \in B类}$ .自 $d日 (A类, B类)$ 是函数的下限 $x个 \to d日 (x个, T型 x个)$ 在A类，则最佳逼近问题的解是函数的最小点 $x个 \to d日 (x个, T型 x个)$ 在A类。最佳接近问题的每一个解决方案都被认为是T型在里面A类此外，如果 $A类 = B类$ 然后每个最佳接近点T型是一个固定点。根据这个事实，许多作者通过对著名不动点结果的激励，获得了求解最佳逼近问题的充分条件；有关更多详细信息，请参阅[12–27]以及其中的参考文献。

最近许多作者考虑了偏序度量空间中最佳邻近点和不动点的存在性（参见[6,13,20,28]). 最近的Samet[29]研究了一类非自我近似的最佳邻近点的存在性 $(φ, θ)$ -压缩映射。在这项工作中，我们定义了两类新的收缩，称为 $(ω, δ)$ -第一类和第二类压缩以及建立一些相关的新不动点导致了预序度量空间的设置，然后我们导出了这类新的非自压缩映射的一些新的最佳邻近点定理。这些定理扩展和推广了许多著名的不动点和最佳邻近点结果。

2不动点理论

定义2.1让 $(X（X）, d日)$ 是一个度量空间，让 ${R（右）}_{+} = [0, \infty)$ .

（a）
用Ω表示函数族 $ω 以下为： {R（右）}_{+} \to {R（右）}_{+}$ 使得 $ω (0) = 0$ , $ω (t吨) < t吨$ 对于每个 $t吨 > 0$ 以及每个序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面X（X）使用，
$d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq ω (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个})) \forall n个 \in N个 \Rightarrow {{x个}_{n个}} 是Cauchy序列;$
（b）
用Δ表示函数族 $δ 以下为： {R（右）}_{+}^{4} \to R（右）$ 使得δ是连续的，如果 ${t吨}_{我} = 0$ 对一些人来说 $我 \in {1, 2, 三, 4}$ ，然后 $δ ({t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}) = 0$ ;
（c）
用Φ表示非递减函数族 $ϕ 以下为： {R（右）}_{+} \to {R（右）}_{+}$ 使得 $Σ_{n个 = 1}^{\infty} ϕ^{n个} (t吨) < \infty$ 对于每个 $t吨 > 0$ ;
（d）
用∑表示函数族 $σ 以下为： {R（右）}_{+} \to {R（右）}_{+}$ 使得 $σ (t吨) = α (t吨) t吨$ 对于每个 $t吨 > 0$ 和 $α 以下为： {R（右）}_{+} \to [0, 1)$ 满足
$\underset{秒 \to t吨}{林啜饮} α (秒) < 1 对于每个 t吨 > 0;$
(1)
（e）
用Ψ表示非递减函数族 $ψ 以下为： {R（右）}_{+} \to {R（右）}_{+}$ 使得 $林_{n个 \to \infty} ψ^{n个} (t吨) = 0$ 对于每个 $t吨 > 0$ ;
（f）
用∧表示右函数的非递减上半连续族 $λ 以下为： {R（右）}_{+} \to {R（右）}_{+}$ 使得 $λ (t吨) < t吨$ 对于每个 $t吨 > 0$ ;
（g）
设θ是以下函数的集合：

$θ ({t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}) = τ 最小值 {{t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}}$ , $τ > 0$ ;

$θ ({t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}) = τ 自然对数 (1 + {t吨}_{1} {t吨}_{2} {t吨}_{三} {t吨}_{4})$ , $τ > 0$ ;

$θ ({t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}) = τ {t吨}_{1} {t吨}_{2} {t吨}_{三} {t吨}_{4}$ , $τ > 0$ .

引理2.2 让 $(X（X）, d日)$ 是度量空间.然后以下陈述成立以下为：

（i）
$Φ \subseteq Ω$ ,
（ii）
$Σ \subseteq Ω$ ,
（iii）
$Ψ \subseteq Ω$ ,
（iv）
$Λ \subseteq Ψ \subseteq Ω$ ,
（v）
$Θ \subseteq Δ$ .

证明让 ${{x个}_{n个}}$ 成为一个序列X（X）为了证明（i），假设 $d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq ϕ (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}))$ 对于每个 $n个 \in N个$ ，其中 $ϕ \in Φ$ .自ϕ是非递减的，那么通过归纳我们得到

d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq ϕ^{n个} (d日 ({x个}_{0}, {x个}_{1})) 对于每个 n个 \in N个 .

然后，对于每个足够大的 $米 < n个$ ，我们有

d日 ({x个}_{米}, {x个}_{n个}) \leq \sum_{j = 米}^{n个 - 1} d日 ({x个}_{j}, {x个}_{j + 1}) \leq \sum_{j = 米}^{n个 - 1} ϕ^{n个} (d日 ({x个}_{0}, {x个}_{1})) < ϵ,

等等 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。

（ii）让我们假设 $d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq σ (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}))$ 对于每个 $n个 \in N个$ ，其中 $σ (t吨) = α (t吨) t吨$ 对于每个 $t吨 > 0$ 和α令人满意（1）。然后

d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq α (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个})) d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个})

(2)

对于每个 $n个 \in N个$ .自 $α (t吨) < 1$ 对于每个 $t吨 \in {R（右）}_{+}$ ，然后 ${d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})}$ 是非负数的非递增序列，因此收敛到实数 ${第页}_{0}$ 。我们将展示这一点 ${第页}_{0} = 0$ 相反，假设 ${第页}_{0} > 0$ 然后从（2）中我们得到

1 = \underset{n个 \to \infty}{林} \frac{d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})}{d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个})} \leq \underset{n个 \to \infty}{林啜饮} α (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个})) \leq \underset{秒 \to {第页}_{0}}{林啜饮} α (秒),

矛盾等等 ${第页}_{0} = 0$ 。为了证明这一点 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列，相反，假设 ${林啜饮}_{米, n个 \to \infty} d日 ({x个}_{米}, {x个}_{n个}) = \infty$ 因此存在子序列 ${{x个}_{米_{k个}}}$ 和 ${{x个}_{{n个}_{k个}}}$ 使得 $林_{k个 \to \infty} d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) > 0$ 然后，通过三角不等式，我们得到

\begin{aligned} d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) & \leq d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{米_{k个} + 1}) + d日 ({x个}_{米_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个} + 1}) + d日 ({x个}_{{n个}_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个}}) \\ \leq d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{米_{k个} + 1}) + α (d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}})) d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) + d日 ({x个}_{{n个}_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个}}) . \end{aligned}

然后

(1 - α (d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}))) d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) \leq d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{米_{k个} + 1}) + d日 ({x个}_{{n个}_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个}})

对于每个 $k个 \in N个$ 从上面我们得到 $林_{k个 \to \infty} α (d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}})) = 1$ 然后从（1）中我们得到 $林_{k个 \to \infty} d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) = 0$ ，一个矛盾。因此， ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。

（iii）首先通知 $ψ (t吨) < t吨$ 对于每个 $t吨 > 0$ 。要看到这一点，假设存在 ${t吨}_{0} > 0$ 具有 $ψ ({t吨}_{0}) > {t吨}_{0}$ ，之后ψ是非递减的，我们可以看到 ${t吨}_{0} \leq ψ^{n个} ({t吨}_{0})$ 为所有人 $n个 \in N个$ 这与 $林_{n个 \to \infty} ψ^{n个} (t吨) = 0$ 对于每个 $t吨 > 0$ 。还要注意 $ψ (0) = 0$ .

现在假设 $d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}))$ 对于每个 $n个 \in N个$ ，其中 $ψ \in Ψ$ .自ψ是非递减的，那么通过归纳我们得到

d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ^{n个} (d日 ({x个}_{0}, {x个}_{1})) 对于每个 n个 \in N个 .

让 $ϵ > 0$ 固定。选择 $n个 \in N个$ 使得

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) < ϵ - ψ (ϵ) .

现在我们有了

\begin{aligned} d日 ({x个}_{n个 + 2}, {x个}_{n个}) & \leq d日 ({x个}_{n个 + 2}, {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \\ \leq ψ (d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个})) + (ϵ - ψ (ϵ)) \\ \leq ψ (ϵ - ψ (ϵ)) + (ϵ - ψ (ϵ)) \\ \leq ψ (ϵ) + (ϵ - ψ (ϵ)) = ϵ . \end{aligned}

我们还有

\begin{aligned} d日 ({x个}_{n个 + 三}, {x个}_{n个}) & \leq d日 ({x个}_{n个 + 三}, {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \\ \leq ψ (d日 ({x个}_{n个 + 2}, {x个}_{n个})) + (ϵ - ψ (ϵ)) \\ \leq ψ (ϵ) + (ϵ - ψ (ϵ)) = ϵ . \end{aligned}

因此，通过归纳 $k个 \in N个$ ，我们有

d日 ({x个}_{n个 + k个}, {x个}_{n个}) \leq ϵ .

这意味着 $({x个}_{n个})$ 是Cauchy，并且（iii）的证明是完整的。

（iv）对于每个 $λ \in Λ$ ，我们有 $林_{n个 \to \infty} λ^{n个} (t吨) = 0$ 对于每个 $t吨 > 0$ （参见中的备注2.2[30]). 然后得出结论（iii）。

（v）显然是这样。 □

让X（X）做一个非空的集合。预购单⪯在X（X）是一个自反和传递的二元关系。让 $(X（X）, ⪯)$ 是一个预先排序的集合，并且让 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 成为一个映射。我们这么说T型如果每个值都是非递减的 $x个, 年 \in X（X）$ , $x个 ⪯ 年 \Rightarrow T型 x个 ⪯ T型年$ .

定义2.3让 $(X（X）, ⪯)$ 是一个预先排序的集合，并且d日是上的度量X（X）我们这么说 $(X（X）, ⪯, d日)$ 只有当且仅当以下条件成立时，才是正常的：

{{x个}_{n个}} 非递减且 {x个}_{n个} \to x个 对一些人来说 x个 \in X（X） \Rightarrow {x个}_{n个} ⪯ x个 对于每个 n个 \in N个 .

定义2.4让 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是一个预序度量空间，并且让 $ω 以下为： {R（右）}_{+} \to {R（右）}_{+}$ 和 $δ 以下为： {R（右）}_{+}^{4} \to {R（右）}_{+}$ 是任意映射。

（a）
地图 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 据说是 $(ω, δ, ⪯)$ -第一类收缩 $x个, 年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ ,
$d日 (T型 x个, T型年) \leq ω (d日 (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型年), d日 (x个, T型年), d日 (年, T型 x个));$
（b）
映射 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 据说是 $(ω, δ, ⪯)$ -第二类收缩 $x个, 年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ ,
$d日 (T型 x个, T型年) \leq ω (M（M） (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型年), d日 (x个, T型年), d日 (年, T型 x个)),$

哪里 $M（M） (x个, 年) = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型年), \frac{d日 (x个, T型年) + d日 (年, T型 x个)}{2}}$ .

备注2.5如果 $⪯ = X（X） \times X（X）$ 也就是说， $x个 ⪯ 年$ 对于每个 $x个, 年 \in X（X）$ ，然后 $(ω, δ, ⪯)$ -第一种和第二种收缩称为 $(ω, δ)$ -第一类和第二类缩略语。的类别 $(ω, δ)$ -第一类和第二类压缩映射包括具有条件（B）的映射[三]和几乎广义收缩[6]分别是。

定理2.6 让 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是一个完备的预定度量空间,然后让 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 成为映射.假设以下条件成立以下为：

（i）
T型 是连续的或 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是常规的,
（ii）
T型不是-减少,
（iii）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 使得 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ,
（iv）
T型 是一个 $(ω, δ, ⪯)$ -第一类压缩映射,哪里 $ω \in Ω$ 和 $δ \in Δ$ .

然后 T型 有一个固定点.此外,顺序 ${{T型}^{n个} {x个}_{0}}$ 收敛到不动点 T型.

证明让 ${x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}$ 对于任何 $n个 \in N个$ .自 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ 和T型是非递减的，那么我们有

{x个}_{0} ⪯ {x个}_{1} ⪯ {x个}_{2} ⪯ \dots ⪯ {x个}_{n个} ⪯ {x个}_{n个 + 1} ⪯ \dots .

从现在起T型是一个 $(ω, δ, ⪯)$ -第一类收缩映射，我们得到

\begin{aligned} d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) = & d日 (T型 {x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}) \leq ω (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})) \\ + δ (d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个})) \end{aligned}

(3)

为所有人 $n个 \in N个$ .自 $d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}) = d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个}) = 0$ 和 $δ \in Δ$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ ,

δ (d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个})) = 0 .

(4)

现在，从（3）和（4），我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \leq ω (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}))

为所有人 $n个 \in N个$ .自 $ω \in Ω$ ，所以 ${{x个}_{n个}}$ 是柯西序列，因此存在 ${x个}^{*} \in X（X）$ 使得 ${{x个}_{n个}}$ 收敛到 ${x个}^{*}$ 现在我们展示一下 ${x个}^{*}$ 是的固定点T型.如果T型是连续的，那么从等式 ${x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}$ ，我们得到 ${x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ 现在假设 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是常规的。然后，对于每个 $n个 \in N个$ ，我们有 ${x个}_{n个} ⪯ {x个}^{*}$ 相反，假设 $d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}) > 0$ 。对于任何 $n个 \in N个$ ,

\begin{aligned} d日 (T型 {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1}) & = d日 (T型 {x个}^{*}, T型 {x个}_{n个}) \\ \leq ω (d日 ({x个}_{n个}, {x个}^{*})) + δ (d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}_{n个})) \\ \leq d日 ({x个}_{n个}, {x个}^{*}) + δ (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1})) . \end{aligned}

(5)

自 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1}) = 林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 0$ 和 $δ \in Δ$ ，然后

\underset{n个 \to \infty}{林} δ (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1})) = 0,

(6)

所以从（5）中我们得到 ${x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ . □

推论2.7 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间,然后让 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 成为 $(ω, δ)$ -第一类压缩映射,哪里 $ω \in Ω$ 和 $δ \in Δ$ .然后

（i）
T型 具有唯一的固定点.此外,为所有人 ${x个}_{0} \in X（X）$ ,顺序 ${{T型}^{n个} {x个}_{0}}$ 收敛到不动点 T型,那就是,T型 是Picard接线员.
（ii）
T型 持续时间为 $修复 (T型) = {{x个}^{*}}$ .

证明（i）让 $⪯ = X（X） \times X（X）$ 然后根据定理2.6，我们得出T型有一个固定点。相反，为了证明唯一性，假设 $x个, 年 \in X（X）$ 是的不同固定点T型所以，

\begin{aligned} d日 (x个, 年) & = d日 (T型 x个, T型 年) \leq ω (d日 (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型 年), d日 (x个, T型 年), d日 (年, T型 x个)) \\ = ω (d日 (x个, 年)) < d日 (x个, 年), \end{aligned}

(7)

矛盾。通过不动点的唯一性和定理2.6，我们得到序列 ${{T型}^{n个} {x个}_{0}}$ 收敛到不动点T型为所有人 ${x个}_{0} \in X（X）$ .

（ii）出租 $修复 (T型) = {{x个}^{*}}$ 和 ${年_{n个}}$ 成为一个序列X（X）使得 $年_{n个} \to {x个}^{*}$ .自T型是一个 $(ω, δ)$ -第一种收缩映射，所以对所有人来说 $n个 \in N个$ 我们有

d日 (T型 {x个}^{*}, T型 年_{n个}) \leq ω (d日 ({x个}^{*}, 年_{n个})) + δ (d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 (年_{n个}, T型 年_{n个}), d日 ({x个}^{*}, T型 年_{n个}), d日 (年_{n个}, T型 {x个}^{*})) .

自 $T型 {x个}^{*} = {x个}^{*}$ 和 $δ \in Δ$ ，我们有

δ (d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 (年_{n个}, T型 年_{n个}), d日 ({x个}^{*}, T型 年_{n个}), d日 (年_{n个}, T型 {x个}^{*})) = 0 .

因此，对于任何 $n个 \in N个$ ,

d日 (T型 {x个}^{*}, T型 年_{n个}) \leq ω (d日 ({x个}^{*}, 年_{n个})) < d日 ({x个}^{*}, 年_{n个}) .

因此 $T型年_{n个} \to T型 {x个}^{*}$ 等等T型在连续 ${x个}^{*}$ . □

备注2.8定理2.6扩展了Babu的主要结果等。[三]，Berinde的推论1等。[4]，Samet的推论3.1[29]和阿加瓦尔定理2.1等。[30].

定理2.9 让 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是一个完备的预定度量空间,然后让 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 成为映射.假设以下条件成立以下为：

（i）
T型 是连续的或 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是常规的,
（ii）
T型不是-减少,
（iii）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 使得 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ,
（iv）
T型 是一个 $(ω, δ, ⪯)$ -第二类压缩映射,哪里 $ω \in Ω$ 和 $δ \in Δ$ .

然后 T型 有一个固定点.此外,顺序 ${{T型}^{n个} {x个}_{0}}$ 收敛到不动点 T型.

证明让 ${x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}$ 对于任何 $n个 \in N个$ .如果 ${x个}_{n个 - 1} = {x个}_{n个}$ 对一些人来说 $n个 \in N个$ ，然后 ${x个}_{n个 - 1} = {x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}$ 等等 ${x个}_{n个 - 1}$ 是的固定点T型，我们完成了。因此，我们可以假设 $d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}) > 0$ 为所有人 $n个 \in N个$ 现在，从 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ 和T型是非递减的，所以

{x个}_{0} ⪯ {x个}_{1} ⪯ {x个}_{2} ⪯ \dots ⪯ {x个}_{n个} ⪯ {x个}_{n个 + 1} ⪯ \dots .

自T型是一个 $(ω, δ, ⪯)$ -第二种收缩 $n个 \in N个$ 我们有

\begin{aligned} d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) = & d日 (T型 {x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}) \leq ω (M（M） ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})) \\ + δ (d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个})) . \end{aligned}

(8)

自 $d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}) = d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个}) = 0$ 和 $δ \in Δ$ ，对于所有人 $n个 \in N个$ ,

δ (d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个 - 1}, T型 {x个}_{n个})) = 0 .

(9)

对于所有人 $n个 \in N个$ ，我们有

M（M） ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}) = 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), \frac{d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个 + 1})}{2}} .

(10)

根据三角形不等式，我们有

\begin{aligned} \frac{d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个 + 1})}{2} & \leq \frac{d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}) + d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})}{2} \\ \leq 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})} . \end{aligned}

因此，通过（8）、（9）和（10），

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \leq ω (最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})}) .

(11)

现在，如果 $最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})} = d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个})$ 到（11）时，我们已经

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \leq ω (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) < d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}),

矛盾。所以，对所有人来说 $n个 \in N个$ ，我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \leq ω (d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个})) .

作为 $ω \in Ω$ ，所以 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列，因此，通过 $(X（X）, d日)$ ，存在 ${x个}^{*} \in X（X）$ 使得 ${{x个}_{n个}}$ 收敛到 ${x个}^{*}$ 现在我们展示一下 ${x个}^{*}$ 是的固定点T型.如果T型是连续的，那么从等式 ${x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}$ ，我们得到 ${x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ 现在，假设 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是常规的。然后，对于每个 $n个 \in N个$ ，我们有 ${x个}_{n个} ⪯ {x个}^{*}$ 相反，现在假设 $d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}) > 0$ 所以，对于任何人 $n个 \in N个$ ,

\begin{aligned} d日 (T型 {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1}) & = d日 (T型 {x个}^{*}, T型 {x个}_{n个}) \\ \leq ω (M（M） ({x个}_{n个}, {x个}^{*})) + δ (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1})) . \end{aligned}

(12)

自 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1}) = 林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 0$ 和 $δ \in Δ$ ，我们有

\underset{n个 \to \infty}{林} δ (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}), d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1})) = 0 .

(13)

现在让我们 $一 = d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*})$ 然后选择 $n个 \in N个$ 这样，对于 $n个 \geq N个$ ，我们有 $d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个}) < \frac{一}{2}$ ，然后

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) \leq d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个}) < \frac{一}{2} + \frac{一}{2} = 一,

和

\frac{d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}^{*})}{2} < \frac{1}{2} (\frac{一}{2} + d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}) + d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个})) < \frac{1}{2} (\frac{一}{2} + 一 + \frac{一}{2}) = 一 .

所以，对于 $n个 \geq N个$ ，我们有

ω (最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), \frac{d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}) + d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1})}{2}}) \leq ω (d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*})) .

然后，从（12）和（13）中，我们得到

\begin{aligned} d日 (T型 {x个}^{*}, {x个}^{*}) = & \underset{n个 \to \infty}{林} d日 (T型 {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1}) \leq \underset{n个 \to \infty}{林啜饮} ω (M（M） ({x个}_{n个}, {x个}^{*})) \\ = & \underset{n个 \to \infty}{林啜饮} ω (最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}^{*}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), \\ \frac{d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}^{*}) + d日 ({x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1})}{2}}) \\ \leq & ω (d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*})) < d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}), \end{aligned}

(14)

矛盾。 □

推论2.10 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完全度量空间,然后让 $T型以下为： X（X） \to X（X）$ 成为 $(ω, δ)$ -第二类压缩映射,哪里 $ω \in Ω$ 和 $δ \in Δ$ .然后 T型 具有唯一的固定点.此外,为所有人 ${x个}_{0} \in X（X）$ ,顺序 ${{T型}^{n个} {x个}_{0}}$ 收敛到不动点 T型,那就是,T型 是Picard接线员.

证明通过定理2.9，足以证明不动点的唯一性。相反，假设 $x个, 年 \in X（X）$ 是不同的固定点T型.然后

\begin{aligned} d日 (x个, 年) & = d日 (T型 x个, T型 年) \leq ω (M（M） (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型 年), d日 (x个, T型 年), d日 (年, T型 x个)) \\ = ω (d日 (x个, 年)) < d日 (x个, 年), \end{aligned}

(15)

矛盾。□

备注2.11定理2.9是阿加瓦尔定理2.2和定理2.3的推广等。[30].

备注2.12什么时候适合所有人 $t吨 \in [0, \infty)$ 我们设置了 $ω (t吨) = α t吨$ 哪里 $α \in (0, 1)$ 和 $δ ({t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}) = L（左）最小值 {{t吨}_{1}, {t吨}_{2}, {t吨}_{三}, {t吨}_{4}}$ 哪里 $L（左） \geq 0$ ，在推论2.10中，我们得到了Berinde的定理2.4[5].

3最佳接近点理论

让A类和B类是度量空间的两个非空子集 $(X（X）, d日)$ 。我们表示为 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 以下集合：

\begin{aligned} {A类}_{0} = {x个 \in A类 以下为： d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) 对一些人来说 年 \in B类}, \\ {B类}_{0} = {年 \in B类 以下为： d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) 对一些人来说 x个 \in A类}, \end{aligned}

(16)

哪里 $d日 (A类, B类) = inf公司 {d日 (x个, 年) 以下为： x个 \in A类, 年 \in B类}$ .

定义3.1让 $(A类, B类)$ 是度量空间的一对非空子集 $(X（X）, d日)$ 具有 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ 然后是这对 $(A类, B类)$ 据说具有P属性[31]当且仅当

{\begin{cases} d日 ({x个}_{1}, 年_{1}) = d日 (A类, B类), \\ d日 ({x个}_{2}, 年_{2}) = d日 (A类, B类), \end{cases} ⟹ d日 ({x个}_{1}, {x个}_{2}) = d日 (年_{1}, 年_{2}),

哪里 ${x个}_{1}, {x个}_{2} \in A类$ 和 $年_{1}, 年_{2} \in B类$ .

以下引理对于证明最佳邻近点结果至关重要。

引理3.2 让 $(A类, B类)$ 是完备度量空间的一对非空闭子集 $(X（X）, d日)$ 使得 ${B类}_{0} \neq \emptyset$ 还有那个 $(A类, B类)$ 满足 P（P）-财产.然后存在映射 $问以下为： {B类}_{0} \to {A类}_{0}$ 令人满意的

d日 (x个, 问 x个) = d日 (A类, B类) 和 d日 (问 x个, 问 年) = d日 (x个, 年) \forall x个, 年 \in {B类}_{0} .

(17)

此外, ${B类}_{0}$ 已关闭.

证明让 $x个 \in {B类}_{0}$ ，然后我们证明存在一个独特的 $年 \in {A类}_{0}$ 使得 $d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类)$ .为了证明唯一性，我们假设存在 $z（z） \in {A类}_{0}$ 使得 $d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) = d日 (x个, z（z）)$ .自 $(A类, B类)$ 有P（P）-财产，我们有 $d日 (年, z（z）) = d日 (x个, x个) = 0$ 等等 $年 = z（z）$ .让 $年 = 问 x个$ ，然后 $d日 (x个, 问 x个) = d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类)$ 。现在，假设 $d日 (x个, 问 x个) = d日 (A类, B类) = d日 (年, 问年)$ ，其中 $x个, 年 \in {B类}_{0}$ 然后，通过P（P）-的属性 $(A类, B类)$ ，我们得到 $d日 (x个, 年) = d日 (问 x个, 问年)$ 。因此，存在映射 $问以下为： {B类}_{0} \to {A类}_{0}$ 使得

d日 (x个, 问 x个) = d日 (A类, B类) 和 d日 (问 x个, 问 年) = d日 (x个, 年) 对于每个 x个, 年 \in {B类}_{0} .

现在，我们展示一下 ${B类}_{0}$ 已关闭。为了证明这一说法，让 ${{x个}_{n个}}$ 成为一个序列 ${B类}_{0}$ 具有 ${x个}_{n个} \to x个 \in B类$ （请注意B类关闭）。自A类是完整度量空间的闭子集， $d日 (问 {x个}_{米}, 问 {x个}_{n个}) = d日 ({x个}_{米}, {x个}_{n个})$ 对于每个 $米, n个 \in N个$ 和 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列，我们推断 $问 {x个}_{n个} \to 年 \in A类$ .自 $d日 ({x个}_{n个}, 问 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)$ 对于每个 $n个 \in N个$ ，我们有

d日 (x个, 年) = \underset{n个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{n个}, 问 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

等等 $x个 \in {B类}_{0}$ 因此， ${B类}_{0}$ 已关闭。 □

备注3.3很明显，映射问在引理3.2中是一个双射 $x个 \in {A类}_{0}$ ，我们有 $d日 (x个, 问^{- 1} x个) = d日 (问 (问^{- 1} x个), 问^{- 1} x个) = d日 (A类, B类)$ .

定义3.4让 $(X（X）, ⪯)$ 是一个预先排序的集合。非自我映射 $T型以下为： M（M） \subseteq A类 \to B类$ 当且仅当

{\begin{cases} d日 ({x个}_{1}, T型 年_{1}) = d日 (A类, B类), \\ d日 ({x个}_{2}, T型 年_{2}) = d日 (A类, B类), \\ 年_{1} ⪯ 年_{2}, \end{cases} ⟹ {x个}_{1} ⪯ {x个}_{2},

哪里 ${x个}_{1}, {x个}_{2} \in A类$ , $年_{1}, 年_{2} \in M（M）$ .

下面的引理来自引理14[32].

引理3.5 让 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是一个预定的度量空间,然后让 $T型以下为： A类 \to B类$ 成为非-自映射，以便 $T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ .让 $(A类, B类)$ 和问 如引理的陈述3.2.假设 $T型以下为： {A类}_{0} \to {B类}_{0}$ 几乎没有-减少.然后是映射 $S公司以下为： {A类}_{0} \to {A类}_{0}$ 由定义 $S公司 x个 = 问 T型 x个$ 对于每个 $x个 \in {A类}_{0}$ 不是-减少.

下面的引理来自引理15[32].

引理3.6 让 $(X（X）, d日, ⪯)$ 是一个预定的度量空间 $(A类, B类)$ ,和问 如引理所示3.2和 $T型以下为： A类 \to B类$ 成为非-自映射，使得 $T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ .假设存在 ${x个}_{0}, {x个}_{1} \in {A类}_{0}$ 使得 $d日 ({x个}_{1}, T型 {x个}_{0}) = d日 (A类, B类)$ 和 ${x个}_{0} ⪯ {x个}_{1}$ .让映射 $S公司以下为： {A类}_{0} \to {A类}_{0}$ 由定义 $S公司 x个 = 问 T型 x个$ 对于每个 $x个 \in {A类}_{0}$ .然后 ${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ .

现在，我们准备建立我们的最佳邻近点定理。

定理3.7 让 $(A类, B类)$ 是完备预序度量空间的一对非空闭子集 $(X（X）, ⪯, d日)$ 使得 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ .让 $T型以下为： A类 \to B类$ 成为非-自映射.假设以下条件成立以下为：

（i）
$T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ 和 $(A类, B类)$ 满足 P（P）-财产,
（ii）
T型 是连续的或 $({A类}_{0}, ⪯, d日)$ 是常规的,
（iii）
T型 几乎没有-减少,
（iv）
存在 ${x个}_{0}, {x个}_{1} \in {A类}_{0}$ 使得
$d日 ({x个}_{1}, T型 {x个}_{0}) = d日 (A类, B类), {x个}_{0} ⪯ {x个}_{1},$
（v）
对于所有人 $x个, 年 \in A类$ 使得 $x个 ⪯ 年$ ,我们有
$\begin{aligned} d日 (T型 x个, T型年) \leq & ω (d日 (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型年) - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)), \end{aligned}$
(18)

哪里 $ω \in Ω$ , $δ \in Δ$ 和 δ 不是-每个变量都在减少.

然后 T型 在中具有最佳接近点 A类.

证明自 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ ，所以 ${B类}_{0} \neq \emptyset$ .根据引理3.2， ${B类}_{0}$ 是闭合的，并且存在等距 $问以下为： {B类}_{0} \to {A类}_{0}$ 满足（17）。让 $S公司以下为： {A类}_{0} \to {A类}_{0}$ 由定义 $S公司 x个 = 问 T型 x个$ 对于每个 $x个 \in {A类}_{0}$ .让 $x个, 年 \in {A类}_{0}$ 和 $x个 ⪯ 年$ ，然后从（18）开始

\begin{aligned} d日 (S公司 x个, S公司 年) = & d日 (问 T型 x个, 问 T型 年) = d日 (T型 x个, T型 年) \leq ω (d日 (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型 年) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)) \end{aligned}

(19)

但是

\begin{aligned} d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类) & \leq d日 (x个, S公司 x个) + d日 (S公司 x个, T型 x个) - d日 (A类, B类) = d日 (x个, S公司 x个) + d日 (问 T型 x个, T型 x个) - d日 (A类, B类) \\ = d日 (x个, S公司 x个) + d日 (A类, B类) - d日 (A类, B类) = d日 (x个, S公司 x个) \end{aligned}

和

\begin{aligned} d日 (x个, T型 年) - d日 (A类, B类) & \leq d日 (x个, S公司 年) + d日 (S公司 年, T型 年) - d日 (A类, B类) = d日 (x个, S公司 年) + d日 (问 T型 年, T型 年) - d日 (A类, B类) \\ = d日 (x个, S公司 年) + d日 (A类, B类) - d日 (A类, B类) = d日 (x个, S公司 年) . \end{aligned}

所以，从（19）开始，我们有

d日 (S公司 x个, S公司 年) \leq ω (d日 (x个, 年)) + δ (d日 (x个, S公司 x个), d日 (年, S公司 年), d日 (x个, S公司 年), d日 (年, S公司 x个)) .

因此S公司是订购的 $(ω, δ, ⪯)$ -第一类压缩映射。现在，引理3.5和引理3.6的条件（ii）、（iii）和（iv）意味着S公司满足定理2.6的条件（i）、（ii）和（iii）。因此，S公司有一个固定点 ${x个}^{*} \in {A类}_{0}$ 使得 ${x个}^{*} = S公司 {x个}^{*} = 问 T型 {x个}^{*}$ 和 $问^{- 1} {x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ 也就是说， $d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}) = d日 ({x个}^{*}, 问^{- 1} {x个}^{*}) = d日 (问 (问^{- 1} {x个}^{*}), 问^{- 1} {x个}^{*}) = d日 (A类, B类)$ .因此 ${x个}^{*} \in {A类}_{0}$ 是所需的最佳接近点T型. □

推论3.8 让 $(A类, B类)$ 是完备度量空间的一对非空闭子集 $(X（X）, d日)$ 使得 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ 和 $(A类, B类)$ 满足 P（P）-财产.让 $T型以下为： A类 \to B类$ 这样所有人 $x个, 年 \in A类$ ,

\begin{aligned} d日 (T型 x个, T型 年) \leq & ω (d日 (x个, 年)) + δ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型 年) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)), \end{aligned}

(20)

哪里 $ω \in Ω$ , $δ \in Δ$ 和 δ 不是-每个变量都在减少.此外,假设 $T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ .然后 T型 在中具有最佳接近点 A类.

定理3.9 让 $(A类, B类)$ 是完备预序度量空间的一对非空闭子集 $(X（X）, ⪯, d日)$ 使得 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ .让 $T型以下为： A类 \to B类$ 成为非-自映射.假设以下条件成立以下为：

（i）
$T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ 和 $(A类, B类)$ 满足 P（P）-财产,
（ii）
T型 是连续的或 $({A类}_{0}, ⪯, d日)$ 是常规的,
（iii）
T型 几乎没有-减少,
（iv）
存在 ${x个}_{0}, {x个}_{1} \in {A类}_{0}$ 使得
$d日 ({x个}_{1}, T型 {x个}_{0}) = d日 (A类, B类), {x个}_{0} ⪯ {x个}_{1},$
（v）
对于所有人 $x个, 年 \in A类$ 使得 $年 ⪯ x个$ ,我们有
$\begin{aligned} d日 (T型 x个, T型年) \leq & ω (最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型年) - d日 (A类, B类), \\ \frac{d日 (x个, T型年) + d日 (年, T型 x个)}{2} - d日 (A类, B类)}) \\ + δ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型年) - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)), \end{aligned}$
(21)

哪里 $ω \in Ω$ 不是-减少, $δ \in Δ$ 和 δ 不是-每个变量都在减少.

然后 T型 在中具有最佳接近点 A类.

证明自 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ ，所以 ${B类}_{0} \neq \emptyset$ .根据引理3.2， ${B类}_{0}$ 是闭合的，并且存在等距 $问以下为： {B类}_{0} \to {A类}_{0}$ 满足（17）。让 $S公司以下为： {A类}_{0} \to {A类}_{0}$ 由定义 $S公司 x个 = 问 T型 x个$ 对于每个 $x个 \in {A类}_{0}$ .让 $x个, 年 \in {A类}_{0}$ 和 $年 ⪯ x个$ ，然后从（21）开始

\begin{aligned} d日 (S公司 x个, S公司 年) = & d日 (问 T型 x个, 问 T型 年) = d日 (T型 x个, T型 年) \\ \leq & ω (最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) - d日 (A类, B类), \\ \frac{d日 (x个, T型 年) + d日 (年, T型 x个)}{2} - d日 (A类, B类)}) \\ + δ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型 年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)) . \end{aligned}

(22)

自ω非递减且δ它的每个变量都是非递减的，鉴于定理3.7的证明，我们得到

d日 (S公司 x个, S公司 年) \leq ω (M（M） (x个, 年)) + δ (d日 (x个, S公司 x个), d日 (年, S公司 年), d日 (x个, S公司 年), d日 (年, S公司 x个)),

对于每个 $x个, 年 \in {A类}_{0}$ ，其中 $M（M） (x个, 年) = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, S公司 x个), d日 (年, S公司年), \frac{d日 (x个, S公司年) + d日 (年, S公司 x个)}{2}}$ .因此S公司是订购的 $(ω, δ, ⪯)$ -第二类压缩映射。现在，引理3.5和引理3.6的条件（ii）、（iii）和（iv）意味着S公司满足定理2.9的条件（i）、（ii）和（iii），因此根据定理2.9S公司有一个固定点 ${x个}^{*} \in {A类}_{0}$ 使得 ${x个}^{*} = S公司 {x个}^{*} = 问 T型 {x个}^{*}$ 和 $问^{- 1} {x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ .因此 $d日 ({x个}^{*}, T型 {x个}^{*}) = d日 ({x个}^{*}, 问^{- 1} {x个}^{*}) = d日 (问 (问^{- 1} {x个}^{*}), 问^{- 1} {x个}^{*}) = d日 (A类, B类)$ ，根据需要。 □

推论3.10 让 $(A类, B类)$ 是完备度量空间的一对非空闭子集 $(X（X）, d日)$ 使得 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ 和 $(A类, B类)$ 满足 P（P）-财产.让 $T型以下为： A类 \to B类$ 成为这样的人 $x个, 年 \in A类$ ,

\begin{aligned} d日 (T型 x个, T型 年) \leq & ω (最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) - d日 (A类, B类), \\ \frac{d日 (x个, T型 年) + d日 (年, T型 x个)}{2} - d日 (A类, B类)}) \\ + δ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型 年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)), \end{aligned}

(23)

哪里 $ω \in Ω$ 不是-减少, $δ \in Δ$ 和 δ 是非-每个变量都在减少.此外,假设 $T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ .然后 T型 在中具有最佳接近点 A类.

备注3.11

（a）
定理3.9是Jleli定理20的推广等。[32].
（b）
从引理2.2和定理3.7，我们推导出定理3.1的有序版本[29].

根据引理2.2和推论3.8，我们根据Samet推导出以下结果[29].

定理3.12 让 $(A类, B类)$ 是完备度量空间的一对非空闭子集 $(X（X）, d日)$ 使得 ${A类}_{0} \neq \emptyset$ , $(A类, B类)$ 满足 P（P）-财产.让 $T型以下为： A类 \to B类$ 这样所有人 $x个, 年 \in A类$ ,

\begin{aligned} d日 (T型 x个, T型 年) \leq & φ (d日 (x个, 年)) + θ (d日 (x个, T型 x个) - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 年) - d日 (A类, B类), d日 (x个, T型 年) \\ - d日 (A类, B类), d日 (年, T型 x个) - d日 (A类, B类)), \end{aligned}

哪里 $φ \in Φ$ , $θ \in Θ$ .此外,假设 $T型 {A类}_{0} \subseteq {B类}_{0}$ .然后 T型 在中具有最佳接近点 A类.

现在，我们提供以下示例，以表明推论3.8是上述Samet定理的一个基本扩展。

示例3.13考虑完整的度量空间 $X（X） = [0, 2] \times [0, \infty)$ 使用欧几里得公制。让 $A类 = {(0, x个) 以下为： 0 \leq x个}$ 和 $B类 = {(2, 年) 以下为： 0 \leq 年}$ .然后 $d日 (A类, B类) = 2$ , ${A类}_{0} = A类$ , ${B类}_{0} = B类$ 和 $(A类, B类)$ 有P（P）-属性。

让 $T型以下为： A类 \to B类$ 由定义

T型 (0, x个) = (2, 自然对数 (1 + x个)) 对于每个 x个 \geq 0 .

让 $α (t吨) = \frac{自然对数 (1 + t吨)}{t吨}$ 对于每个 $t吨 > 0$ ，让 $α (0) = 0$ 然后让 $ω (t吨) = α (t吨) t吨$ 对于每个 $t吨 \in [0, \infty)$ 那么，对于所有人来说 $x个, 年 \in [0, \infty)$ ，我们有

\begin{aligned} d日 (T型 (0, x个), T型 (0, 年)) & = | 自然对数 (1 + x个) - 自然对数 (1 + 年) | \\ \leq 自然对数 (1 + | x个 - 年 |) = ω (| x个 - 年 |) = ω (d日 ((0, x个), (0, 年))), \end{aligned}

因此满足了推论3.8的条件。因此T型具有最佳接近点（实际上， $P（P） = (0, 0)$ 是的最佳接近点T型). 但我们不能调用上面提到的Samet定理来证明映射T型在中具有最佳接近点A类因为T型不是几乎 $(φ, θ)$ 收缩。相反，假设存在 $φ \in Φ$ 和 $θ \in Θ$ 这样所有人 $x个, 年 \in A类$ ,

\begin{aligned} d日 (T型 (0, x个), T型 (0, 年)) \leq & φ (d日 ((0, x个), (0, 年))) + θ (d日 ((0, 年), T型 (0, x个)) \\ - d日 (A类, B类), d日 ((0, x个), T型 (0, 年)) - d日 (A类, B类), d日 ((0, x个), T型 (0, x个)) \\ - d日 (A类, B类), d日 ((0, 年), T型 (0, 年)) - d日 (A类, B类)) . \end{aligned}

出租 $年 = 0$ ，我们得到

自然对数 (1 + x个) \leq φ (x个) 对于每个 x个 \geq 0 .

让 $如果 (x个) = 自然对数 (1 + x个)$ 对于每个 $x个 \in [0, \infty)$ 那么很容易看出如果在 $(0, \infty)$ 是一个不断增加的正函数。所以，我们有

如果 (x个) \leq φ (x个) 对于每个 x个 \geq 0 .

让 ${x个}_{0} > 0$ ，并让 ${x个}_{n个 + 1} = 如果 ({x个}_{n个})$ 对于每个 $n个 \in N个$ ，然后 ${{x个}_{n个}}$ 是正数的递减序列。从上面来看，我们有 ${x个}_{1} = 如果 ({x个}_{0}) \leq φ ({x个}_{0})$ .自φ是非递减的，那么从上面我们得到

{x个}_{2} = 如果 ({x个}_{1}) \leq φ ({x个}_{1}) \leq φ^{2} ({x个}_{0}) .

以这种方式进行，我们得到 ${x个}_{n个} \leq φ^{n个} ({x个}_{0})$ 对于每个 $n个 \in N个$ 等等 $\sum {x个}_{n个}$ 收敛（注意 $\sum φ^{n个} ({x个}_{0})$ 收敛）。让 $0 < c（c） < 最小值 {{x个}_{1}, 1}$ 成为一个常量。现在我们展示一下

{x个}_{n个} > \frac{c（c）}{n个} 对于每个 n个 \in N个 .

(24)

显然，这种不平等适用于 $n个 = 1$ 现在我们进行归纳。假设（24）适用于 $n个 \in N个$ .那么我们有

{x个}_{n个 + 1} = 如果 ({x个}_{n个}) \geq 如果 (\frac{c（c）}{n个}) = 自然对数 (1 + \frac{c（c）}{n个}) .

然后，从上面我们得到（注意 $自然对数 (1 + x个) \geq x个 - \frac{{x个}^{2}}{2}$ )

\begin{aligned} {x个}_{n个 + 1} \geq & 自然对数 (1 + \frac{c（c）}{n个}) \geq \frac{c（c）}{n个} - \frac{{c（c）}^{2}}{2 {n个}^{2}} \\ = \frac{c（c）}{n个 + 1} + \frac{c（c）}{n个 (n个 + 1)} - \frac{{c（c）}^{2}}{2 {n个}^{2}} \geq \frac{c（c）}{n个 + 1}, \end{aligned}

因此（24）适用于每个 $n个 \in N个$ .自 ${x个}_{n个} > \frac{c（c）}{n个}$ 对于每个 $n个 \in N个$ 和 $\sum \frac{c（c）}{n个} = \infty$ ，然后我们得到 $\sum {x个}_{n个} = \infty$ ，一个矛盾。

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鸣谢

第一作者得到了IPM（编号92470412）的部分资助。第二位作者得到了IPM（编号92550414）的部分资助。第一位和第二位作者也得到了伊朗沙赫里科德大学数学卓越中心的部分支持。本文由吉达阿卜杜拉齐兹国王大学科学研究院长（DSR）资助。因此，第四作者感谢DSR、KAU的财政支持。

作者信息

作者和附属机构

伊朗沙赫勒科尔德沙赫勒库尔德大学纯粹数学系，88186-34141
阿里雷扎·阿米尼·哈兰迪
伊朗德黑兰基础科学研究所数学学院（IPM），邮政信箱19395-5746
Alireza Amini-Harandi和Majid Fakhar
伊斯法罕大学数学系，伊斯法罕，81745-163，伊朗
Majid Fakhar和Hamid Reza Hajisharifi
沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学数学系，邮政信箱80203，21589
纳瓦布·侯赛因

作者

阿里雷扎·阿米尼·哈兰迪
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纳瓦布·侯赛因
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与的通信纳瓦布·侯赛因.

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关于本文

引用这篇文章

Amini-Harandi，A.，Fakhar，M.，Hajisharifi，H.R。等。关于预定度量空间中固定和最佳邻近点的一些新结果。不动点理论应用 2013, 263 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-263

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收到以下为：2013年7月15日
认可的以下为：2013年10月9日
出版以下为：2013年11月7日
内政部以下为：https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-263