Common coupled fixed point theorems for weakly compatible mappings in fuzzy metric spaces

Hu, Xin-Qi; Zheng, Ming-Xue; Damjanović, Boško; Shao, Xiao-Feng

doi:10.1186/1687-1812-2013-220

研究
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出版：2013年8月19日

模糊度量空间中弱相容映射的公共耦合不动点定理

不动点理论及其应用 体积 2013，物品编号：220(2013)引用这篇文章

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11引文
韵律学细节

摘要

本文证明了弱相容映射的一个公共不动点定理ϕ-模糊度量空间中的压缩条件。我们还举了一个例子来说明这个定理。该结果是Hu（不动点理论应用2011:363716，2011，doi:10.1155/2011/363716）相应结果的真正推广。我们还指出了Hu中的一个小错误（不动点理论应用2011:363716，2011，doi:10.1155/2011/363716）。

1引言

1965年，扎德[1]介绍了模糊集的概念。随后，许多作者对模糊集理论和应用的发展做出了重要贡献。乔治和维拉马尼[2,三]给出了模糊度量空间的概念，并在此模糊度量空间上定义了Hausdorff拓扑，它在量子粒子物理中有着非常重要的应用，特别是在弦和E-无穷大理论方面。

Bhaskar和Lakshmikantham[4]Lakshmikantham和Chi irić[5]讨论了混合单调映射，给出了一些耦合不动点定理，可以用来讨论周期边值问题解的存在唯一性。塞奇等。[6]给出了模糊度量空间中收缩的耦合不动点定理[7]给出了相容与弱相容的几个常见不动点定理ϕ-Menger概率度量空间中的压缩映射。新奇湖[8]证明了映射的一个公共不动点定理φ-模糊度量空间中的压缩条件。许多作者[9–26]证明了（直觉）模糊度量空间或概率度量空间中的不动点定理。

本文在较弱的条件下给出了一个新的耦合不动点定理[8]并给出一个例子，表明该结果是对中相应结果的真正推广[8].

2准备工作

首先，我们给出了一些定义。

定义2.1（请参见[2])

二进制运算 $* : [0, 1] \times [0, 1] \to [0, 1]$ 是连续的t吨-范数如果∗满足以下条件：

(1)
∗是交换和结合的，
(2)
∗是连续的，
(3)
$一 * 1 = 一$ 为所有人 $一 \in [0, 1]$ ,
(4)
$一 * b条 \leq c * d日$ 无论何时 $一 \leq c$ 和 $b条 \leq d日$ 为所有人 $一, b条, c, d日 \in [0, 1]$ .

定义2.2（请参见[27])

让 ${啜饮}_{0 < t吨 < 1} Δ (t吨, t吨) = 1$ .A型t吨-如果函数族为H型，则称范数Δ为H型 ${Δ^{米} (t吨)}_{米 = 1}^{\infty}$ 在等连续 $t吨 = 1$ ，其中

Δ^{1} (t吨) = t吨 Δ t吨, Δ^{米 + 1} (t吨) = t吨 Δ (Δ^{米} (t吨)), 米 = 1, 2, \dots, t吨 \in [0, 1] .

(2.1)

这个t吨-规范 $Δ_{M（M）} = 最小值$ 是一个例子t吨-H型规范，但还有一些其他规范t吨-H型规范Δ[27].

显然，Δ是一个t吨-H型范数当且仅当用于任何 $λ \in (0, 1)$ ，存在 $δ (λ) \in (0, 1)$ 这样的话 $Δ^{米} (t吨) > 1 - λ$ 为所有人 $米 \in N个$ ，何时 $t吨 > 1 - δ$ .

定义2.3（请参见[2])

三元组 $(X（X）, M（M）, *)$ 称为模糊度量空间，如果X（X）是一个任意的非空集，∗是连续的t吨-规范和M（M）是上的模糊集 ${X（X）}^{2} \times (0, + \infty)$ 每个都满足以下条件 $x个, 年, z（z） \in X（X）$ 和 $t吨, 秒 > 0$ ,

（FM-1） $M（M） (x个, 年, t吨) > 0$ ,

（FM-2） $M（M） (x个, 年, t吨) = 1$ 当且仅当 $x个 = 年$ ,

（FM-3） $M（M） (x个, 年, t吨) = M（M） (年, x个, t吨)$ ,

（FM-4） $M（M） (x个, 年, t吨) * M（M） (年, z（z）, 秒) \leq M（M） (x个, z（z）, t吨 + 秒)$ ,

（FM-5） $M（M） (x个, 年, \cdot) : (0, \infty) \to [0, 1]$ 是连续的。

我们将考虑一个模糊度量空间 $(X（X）, M（M）, *)$ ，满足以下条件：

\underset{t吨 \to + \infty}{林} M（M） (x个, 年, t吨) = 1, \forall x个, 年 \in X（X） .

（2.2）

让 $(X（X）, M（M）, *)$ 是一个模糊度量空间。对于 $t吨 > 0$ ，开球 $B类 (x个, 第页, t吨)$ 有一个中心 $x个 \in X（X）$ 和半径 $0 < 第页 < 1$ 由定义

B类 (x个, 第页, t吨) = {年 \in X（X） : M（M） (x个, 年, t吨) > 1 - 第页} .

(2.3)

一个子集 $A类 \subset X（X）$ 如果为每个 $x个 \in A类$ ，存在 $t吨 > 0$ 和 $0 < 第页 < 1$ 这样的话 $B类 (x个, 第页, t吨) \subset A类$ .让τ表示所有开放子集的族X（X）.然后τ称为上的拓扑X（X），由模糊度量导出M（M）此拓扑为Hausdorff和第一可数拓扑。

例2.4让 $(X（X）, d日)$ 是一个度量空间。定义t吨-规范 $一 * b条 = 一 b条$ 或 $一 * b条 = 最小值 {一, b条}$ 对所有人来说 $x个, 年 \in X（X）$ 和 $t吨 > 0$ , $M（M） (x个, 年, t吨) = \frac{t吨}{t吨 + d日 (x个, 年)}$ .然后 $(X（X）, M（M）, *)$ 是一个模糊度量空间。

定义2.5（请参见[2])

让 $(X（X）, M（M）, *)$ 是一个模糊度量空间。然后

(1)
一个序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面X（X）据说收敛于x个（表示为 $林_{n个 \to \infty} {x个}_{n个} = x个$ )如果
$\underset{n个 \to \infty}{林} M（M） ({x个}_{n个}, x个, t吨) = 1$

为所有人 $t吨 > 0$ .
(2)
A序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面X（X）如果有，则称为柯西序列 $ε > 0$ ，存在 ${n个}_{0} \in N个$ ，因此
$M（M） ({x个}_{n个}, {x个}_{米}, t吨) > 1 - ε$

为所有人 $t吨 > 0$ 和 $n个, 米 \geq {n个}_{0}$ .
(3)
模糊度量空间 $(X（X）, M（M）, *)$ 当且仅当X（X）是收敛的。

备注2.6（请参见[9])

让 $(X（X）, M（M）, *)$ 是一个模糊度量空间。然后

(1)
为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ , $M（M） (x个, 年, \cdot)$ 非递减；
(2)
如果 ${x个}_{n个} \to x个$ , $年_{n个} \to 年$ , ${t吨}_{n个} \to t吨$ ，然后
$\underset{n个 \to \infty}{林} M（M） ({x个}_{n个}, 年_{n个}, {t吨}_{n个}) = M（M） (x个, 年, t吨);$
(3)
如果 $M（M） (x个, 年, t吨) > 1 - 第页$ 对于x个,年在里面X（X）, $t吨 > 0$ , $0 < 第页 < 1$ ，然后我们可以找到一个 ${t吨}_{0}$ , $0 < {t吨}_{0} < t吨$ 这样的话 $M（M） (x个, 年, {t吨}_{0}) > 1 - 第页$ ;
(4)
对于任何 ${第页}_{1} > {第页}_{2}$ ，我们可以找到一个 ${第页}_{三}$ 这样的话 ${第页}_{1} * {第页}_{三} \geq {第页}_{2}$ ，对于任何 ${第页}_{4}$ ，我们可以找到一个 ${第页}_{5}$ 这样的话 ${第页}_{5} * {第页}_{5} \geq {第页}_{4}$ ( ${第页}_{1}, {第页}_{2}, {第页}_{三}, {第页}_{4}, {第页}_{5} \in (0, 1)$ ).

定义 $Φ = {ϕ : {R（右）}^{+} \to {R（右）}^{+}}$ ，其中 ${R（右）}^{+} = [0, + \infty)$ 和每个 $ϕ \in Φ$ 满足以下条件：

(ϕ-1)ϕ非递减，

(ϕ-2)ϕ从右边看是上部半连续的，

(ϕ-3) $\sum_{n个 = 0}^{\infty} ϕ^{n个} (t吨) < + \infty$ 为所有人 $t吨 > 0$ ，其中 $ϕ^{n个 + 1} (t吨) = ϕ (ϕ^{n个} (t吨))$ , $n个 \in N个$ .

很容易证明，如果 $ϕ \in Φ$ ，然后 $ϕ (t吨) < t吨$ 为所有人 $t吨 > 0$ .

引理2.7（请参见[7])

让 $(X（X）, M（M）, *)$ 是模糊度量空间,哪里 ∗ 是连续的 t吨-H的范数-类型.如果存在 $ϕ \in Φ$ 这样的话

M（M） (x个, 年, ϕ (t吨)) \geq M（M） (x个, 年, t吨)

(2.4)

为所有人 $t吨 > 0$ ,然后 $x个 = 年$ .

定义2.8（请参见[4])

一个元素 $(x个, 年) \in X（X） \times X（X）$ 称为映射的耦合不动点 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 如果

F类 (x个, 年) = x个, F类 (年, x个) = 年 .

(2.5)

定义2.9（请参见[5])

一个元素 $(x个, 年) \in X（X） \times X（X）$ 称为映射的耦合重合点 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 如果

F类 (x个, 年) = 克 (x个), F类 (年, x个) = 克 (年) .

(2.6)

定义2.10（请参见[5])

一个元素 $(x个, 年) \in X（X） \times X（X）$ 称为映射的公共耦合不动点 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 如果

x个 = F类 (x个, 年) = 克 (x个), 年 = F类 (年, x个) = 克 (年) .

(2.7)

定义2.11（请参见[5])

一个元素 $x个 \in X（X）$ 称为映射的公共不动点 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 如果

x个 = 克 (x个) = F类 (x个, x个) .

(2.8)

定义2.12（请参见[8])

映射 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 如果

\underset{n个 \to \infty}{林} M（M） (克 F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}), F类 (克 ({x个}_{n个}), 克 (年_{n个})), t吨) = 1

(2.9)

和

\underset{n个 \to \infty}{林} M（M） (克 F类 (年_{n个}, {x个}_{n个}), F类 (克 (年_{n个}), 克 ({x个}_{n个})), t吨) = 1

(2.10)

为所有人 $t吨 > 0$ 无论何时 ${{x个}_{n个}}$ 和 ${年_{n个}}$ 序列在中吗X（X），因此

\underset{n个 \to \infty}{林} F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}) = \underset{n个 \to \infty}{林} 克 ({x个}_{n个}) = x个, \underset{n个 \to \infty}{林} F类 (年_{n个}, {x个}_{n个}) = \underset{n个 \to \infty}{林} 克 (年_{n个}) = 年,

(2.11)

为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ 都很满意。

定义2.13（请参见[20])

映射 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 称为弱兼容映射，如果 $F类 (x个, 年) = 克 (x个)$ , $F类 (年, x个) = 克 (年)$ 意味着 $克 F类 (x个, 年) = F类 (克 x个, 克年)$ , $克 F类 (年, x个) = F类 (克年, 克 x个)$ 为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ .

备注2.14很容易证明，如果F类和克是兼容的，那么它们是弱兼容的，但反过来不一定是真的。请参阅下一节中的示例。

3主要成果

为简单起见，表示

为所有人 $n个 \in N个$ .

新奇湖[8]证明了以下结果。

定理3.1（请参见[8])

让 $(X（X）, M（M）, *)$ 成为一名完整的FM-空间,哪里 ∗ 是连续的 t吨-H的范数-满足类型(2.2).让 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 是两个映射,并且存在 $ϕ \in Φ$ 这样的话

M（M） (F类 (x个, 年), F类 (u个, v（v）), ϕ (t吨)) \geq M（M） (克 (x个), 克 (u个), t吨) * M（M） (克 (年), 克 (v（v）), t吨)

（3.1）

为所有人 $x个, 年, u个, v（v） \in X（X）$ , $t吨 > 0$ .

假设 $F类 (X（X） \times X（X）) \subseteq 克 (X（X）)$ ,克 是连续的,F类和克 是兼容的.然后就有了 $x个, 年 \in X（X）$ 这样的话 $x个 = 克 (x个) = F类 (x个, x个)$ ;那就是,F类和克 在X中有唯一的公共不动点.

现在我们给出主要结果。

定理3.2 让 $(X（X）, M（M）, *)$ 成为FM-空间,哪里 ∗ 是连续的 t吨-H的范数-满足类型(2.2).让 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 和 $克 : X（X） \to X（X）$ 是两个弱相容映射,并且存在 $ϕ \in Φ$ 令人满意的(3.1).

假设 $F类 (X（X） \times X（X）) \subseteq 克 (X（X）)$ 和 $F类 (X（X） \times X（X）)$ 或 $克 (X（X）)$ 已完成.然后 F类和克 在中具有唯一的公共固定点 X（X）.

证明让 ${x个}_{0}, 年_{0} \in X（X）$ 是两个任意点X（X）.自 $F类 (X（X） \times X（X）) \subseteq 克 (X（X）)$ ，我们可以选择 ${x个}_{1}, 年_{1} \in X（X）$ 这样的话 $克 ({x个}_{1}) = F类 ({x个}_{0}, 年_{0})$ 和 $克 (年_{1}) = F类 (年_{0}, {x个}_{0})$ 继续这个过程，我们可以构造两个序列 ${{x个}_{n个}}$ 和 ${年_{n个}}$ 在里面X（X）这样的话

克 ({x个}_{n个 + 1}) = F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}), 克 (年_{n个 + 1}) = F类 (年_{n个}, {x个}_{n个}), 为所有人 n个 \geq 0 .

(3.2)

证明分为四个步骤。

第一步：我们将证明 ${克 {x个}_{n个}}$ 和 ${克年_{n个}}$ 是柯西序列。

自∗是一个t吨-H型规范，适用于任何 $λ > 0$ ，存在一个 $μ > 0$ 这样的话

为所有人 $k个 \in N个$ .

自 $M（M） (x个, 年, \cdot)$ 是连续的，并且 $林_{t吨 \to + \infty} M（M） (x个, 年, t吨) = 1$ 为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ ，存在 ${t吨}_{0} > 0$ 这样的话

M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0}) \geq 1 - μ, M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0}) \geq 1 - μ .

(3.3)

另一方面，因为 $ϕ \in Φ$ ，按条件(ϕ-3），我们有 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} ϕ^{n个} ({t吨}_{0}) < \infty$ 。那么对于任何 $t吨 > 0$ ，存在 ${n个}_{0} \in N个$ 这样的话

t吨 > \sum_{k个 = {n个}_{0}}^{\infty} ϕ^{k个} ({t吨}_{0}) .

(3.4)

根据条件（3.1），我们有

\begin{matrix} \begin{aligned} M（M） (克 {x个}_{1}, 克 {x个}_{2}, ϕ ({t吨}_{0})) & = M（M） (F类 ({x个}_{0}, 年_{0}), F类 ({x个}_{1}, 年_{1}), ϕ ({t吨}_{0})) \\ \geq M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0}) * M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0}), \end{aligned} \\ \begin{aligned} M（M） (克 年_{1}, 克 年_{2}, ϕ ({t吨}_{0})) & = M（M） (F类 (年_{0}, {x个}_{0}), F类 (年_{1}, {x个}_{1}), ϕ ({t吨}_{0})) \\ \geq M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0}) * M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0}) . \end{aligned} \end{matrix}

同样，我们有

\begin{matrix} \begin{aligned} M（M） (克 {x个}_{2}, 克 {x个}_{三}, ϕ^{2} ({t吨}_{0})) & = M（M） (F类 ({x个}_{1}, 年_{1}), F类 ({x个}_{2}, 年_{2}), ϕ^{2} ({t吨}_{0})) \\ \geq M（M） (克 {x个}_{1}, 克 {x个}_{2}, ϕ ({t吨}_{0})) * M（M） (克 年_{1}, 克 年_{2}, ϕ ({t吨}_{0})) \\ \geq {[M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0})]}^{2} * {[M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0})]}^{2}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} M（M） (克 年_{2}, 克 年_{三}, ϕ^{2} ({t吨}_{0})) & = M（M） (F类 (年_{1}, {x个}_{1}), F类 (年_{2}, {x个}_{2}), ϕ^{2} ({t吨}_{0})) \\ \geq {[M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0})]}^{2} * {[M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0})]}^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

从上述不等式和归纳法中，很容易证明

\begin{matrix} M（M） (克 {x个}_{n个}, 克 {x个}_{n个 + 1}, ϕ^{n个} ({t吨}_{0})) \geq {[M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0})]}^{2^{n个 - 1}} * {[M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0})]}^{2^{n个 - 1}}, \\ M（M） (克 年_{n个}, 克 年_{n个 + 1}, ϕ^{n个} ({t吨}_{0})) \geq {[M（M） (克 年_{0}, 克 年_{1}, {t吨}_{0})]}^{2^{n个 - 1}} * {[M（M） (克 {x个}_{0}, 克 {x个}_{1}, {t吨}_{0})]}^{2^{n个 - 1}} . \end{matrix}

因此，根据（3.3）和（3.4） $米 > n个 \geq {n个}_{0}$ ，我们有

这意味着

M（M） (克 {x个}_{n个}, 克 {x个}_{米}, t吨) > 1 - λ

(3.5)

为所有人 $米, n个 \in N个$ 具有 $米 > n个 \geq {n个}_{0}$ 和 $t吨 > 0$ .所以 ${克 ({x个}_{n个})}$ 是一个柯西序列。

同样，我们可以证明 ${克 (年_{n个})}$ 也是一个柯西序列。

第二步：现在，我们证明克和F类有一个耦合的巧合点。

在不失一般性的情况下，我们可以假设 $克 (X（X）)$ 完成，则存在 $x个, 年 \in 克 (X（X）)$ 、和存在 $一, b条 \in X（X）$ 这样的话

\begin{aligned} \underset{n个 \to \infty}{林} 克 ({x个}_{n个}) = \underset{n个 \to \infty}{林} F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}) = 克 (一) = x个, \\ \underset{n个 \to \infty}{林} 克 (年_{n个}) = \underset{n个 \to \infty}{林} F类 (年_{n个}, {x个}_{n个}) = 克 (b条) = 年 . \end{aligned}

(3.6)

从（3.1）中，我们得到

M（M） (F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}), F类 (一, b条), ϕ (t吨)) \geq M（M） (克 {x个}_{n个}, 克 (一), t吨) * M（M） (克 年_{n个}, 克 (b条), t吨) .

自M（M）是连续的，以极限为 $n个 \to \infty$ ，我们有

M（M） (克 (一), F类 (一, b条), ϕ (t吨)) = 1,

这意味着 $F类 (一, b条) = 克 (一) = x个$ .

同样，我们可以证明 $F类 (b条, 一) = 克 (b条) = 年$ .

自F类和克弱兼容，我们知道 $克 F类 (一, b条) = F类 (克 (一), 克 (b条))$ 和 $克 F类 (b条, 一) = F类 (克 (b条), 克 (一))$ ，这意味着 $克 (x个) = F类 (x个, 年)$ 和 $克 (年) = F类 (年, x个)$ .

第三步：我们证明 $克 (x个) = 年$ 和 $克 (年) = x个$ .

自∗是一个t吨-H型规范，适用于任何 $λ > 0$ ，存在 $μ > 0$ 这样的话

为所有人 $k个 \in N个$ .

自 $M（M） (x个, 年, \cdot)$ 是连续的，并且 $林_{t吨 \to + \infty} M（M） (x个, 年, t吨) = 1$ 为所有人 $x个, 年 \in X（X）$ ，存在 ${t吨}_{0} > 0$ 这样的话 $M（M） (克 x个, 年, {t吨}_{0}) \geq 1 - μ$ 和 $M（M） (克年, x个, {t吨}_{0}) \geq 1 - μ$ .

另一方面，因为 $ϕ \in Φ$ ，按条件(ϕ-3），我们有 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} ϕ^{n个} ({t吨}_{0}) < \infty$ 因此，对于任何 $t吨 > 0$ ，存在 ${n个}_{0} \in N个$ 这样的话 $t吨 > \sum_{k个 = {n个}_{0}}^{\infty} ϕ^{k个} ({t吨}_{0})$ .自

\begin{aligned} M（M） (克 x个, 克 年_{n个 + 1}, ϕ ({t吨}_{0})) & = M（M） (F类 (x个, 年), F类 (年_{n个}, {x个}_{n个}), ϕ ({t吨}_{0})) \\ \geq M（M） (克 x个, 克 年_{n个}, {t吨}_{0}) * M（M） (克 年, 克 {x个}_{n个}, {t吨}_{0}), \end{aligned}

出租 $n个 \to \infty$ ，我们得到

M（M） (克 x个, 年, ϕ ({t吨}_{0})) \geq M（M） (克 x个, 年, {t吨}_{0}) * M（M） (克 年, x个, {t吨}_{0}) .

(3.7)

同样，我们可以得到

M（M） (克 年, x个, ϕ ({t吨}_{0})) \geq M（M） (克 x个, 年, {t吨}_{0}) * M（M） (克 年, x个, {t吨}_{0}) .

(3.8)

根据（3.7）和（3.8），我们有

M（M） (克 x个, 年, ϕ ({t吨}_{0})) * M（M） (克 年, x个, ϕ ({t吨}_{0})) \geq {[M（M） (克 x个, 年, {t吨}_{0})]}^{2} * {[M（M） (克 年, x个, {t吨}_{0})]}^{2} .

从这个不等式中，我们可以得到

\begin{aligned} M（M） (克 x个, 年, ϕ^{n个} ({t吨}_{0})) * M（M） (克 年, x个, ϕ^{n个} ({t吨}_{0})) & \geq {[M（M） (克 x个, 年, ϕ^{n个 - 1} ({t吨}_{0}))]}^{2} * {[M（M） (克 年, x个, ϕ^{n个 - 1} ({t吨}_{0}))]}^{2} \\ \geq {[M（M） (克 x个, 年, {t吨}_{0})]}^{2^{n个}} * {[M（M） (克 年, x个, {t吨}_{0})]}^{2^{n个}} \end{aligned}

为所有人 $n个 \in N个$ .自 $t吨 > \sum_{k个 = {n个}_{0}}^{\infty} ϕ^{k个} ({t吨}_{0})$ 那么，我们有

因此，对于任何 $λ > 0$ ，我们有

M（M） (克 x个, 年, t吨) * M（M） (克 年, x个, t吨) \geq 1 - λ

(3.9)

为所有人 $t吨 > 0$ 因此得出结论： $克 x个 = 年$ 和 $克年 = x个$ .

第四步：现在，我们证明 $x个 = 年$ .

自∗是一个t吨-H型规范，适用于任何 $λ > 0$ ，存在一个 $μ > 0$ 这样的话

为所有人 $k个 \in N个$ .

自 $M（M） (x个, 年, \cdot)$ 是连续的，并且 $林_{t吨 \to + \infty} M（M） (x个, 年, t吨) = 1$ ，存在 ${t吨}_{0} > 0$ 这样的话 $M（M） (x个, 年, {t吨}_{0}) \geq 1 - μ$ .

另一方面，因为 $ϕ \in Φ$ ，按条件(ϕ-3），我们有 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} ϕ^{n个} ({t吨}_{0}) < \infty$ 。那么，对于任何 $t吨 > 0$ ，存在 ${n个}_{0} \in N个$ 这样的话 $t吨 > \sum_{k个 = {n个}_{0}}^{\infty} ϕ^{k个} ({t吨}_{0})$ .

从（3.1）开始，我们有

\begin{aligned} M（M） (克 {x个}_{n个 + 1}, 克 年_{n个 + 1}, ϕ ({t吨}_{0})) & = M（M） (F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}), F类 (年_{n个}, {x个}_{n个}), ϕ ({t吨}_{0})) \\ \geq M（M） (克 {x个}_{n个}, 克 年_{n个}, {t吨}_{0}) * M（M） (克 年_{n个}, 克 {x个}_{n个}, {t吨}_{0}) . \end{aligned}

出租 $n个 \to \infty$ 产量

M（M） (x个, 年, ϕ ({t吨}_{0})) \geq M（M） (x个, 年, {t吨}_{0}) * M（M） (年, x个, {t吨}_{0}) .

因此，我们有

这意味着 $x个 = 年$ .

因此，我们证明了F类和克有一个共同的固定点X（X）.

不动点的唯一性可以用上述同样的方法很容易地证明。这就完成了定理3.2的证明。□

拿 $克 = 我$ 在定理3.2中，我们得到了以下结果。

推论3.3 让 $(X（X）, M（M）, *)$ 成为FM-空间,哪里 ∗ 是连续的 t吨-H的范数-满足类型（2.2）。让 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ ,并且存在 $ϕ \in Φ$ 这样的话

M（M） (F类 (x个, 年), F类 (u个, v（v）), ϕ (t吨)) \geq M（M） (x个, u个, t吨) * M（M） (年, v（v）, t吨)

(3.10)

为所有人 $x个, 年, u个, v（v） \in X（X）$ , $t吨 > 0$ . $F类 (X（X）)$ 已完成.

然后就有了 $x个 \in X（X）$ 这样的话 $x个 = F类 (x个, x个)$ ;那就是,F类 承认一个唯一的固定点 X（X）.

备注3.4比较中的定理3.2和定理3.1[8]，我们可以看到定理3.2是定理3.2的真正推广。

(1)
我们只需要 $克 (X（X）)$ 或 $F类 (X（X） \times X（X）)$ .
(2)
连续性克很放松。
(3)
兼容的概念已被弱兼容取代。

备注3.5中的示例3[8]是错误的，因为t吨-规范 $一 * b条 = 一 b条$ 不是t吨-H型规范。

接下来，我们给出一个例子来支持定理3.2。

示例3.6让 $X（X） = {0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{三}, \dots, \frac{1}{n个}, \dots}$ , $* = 最小值$ , $M（M） (x个, 年, t吨) = \frac{t吨}{| x个 - 年 | + t吨}$ ，对于所有人 $x个, 年 \in X（X）$ , $t吨 > 0$ .然后 $(X（X）, M（M）, *)$ 是一个模糊度量空间。

让 $ϕ (t吨) = \frac{t吨}{2}$ .让 $克 : X（X） \to X（X）$ 和 $F类 : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 定义为

克 (x个) = {\begin{matrix} 0, & x个 = 0, \\ 1, & x个 = \frac{1}{2 n个 + 1}, \\ \frac{1}{2 n个 + 1}, & x个 = \frac{1}{2 n个}, \end{matrix} F类 (x个, 年) = {\begin{matrix} \frac{1}{{(2 n个 + 1)}^{4}}, & (x个, 年) = (\frac{1}{2 n个}, \frac{1}{2 n个}), \\ 0, & 其他 . \end{matrix}

让 ${x个}_{n个} = 年_{n个} = \frac{1}{2 n个}$ .我们有 $克 {x个}_{n个} = \frac{1}{2 n个 + 1} \to 0$ , $F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}) = \frac{1}{{(2 n个 + 1)}^{4}} \to 0$ ，但是

M（M） (F类 (克 {x个}_{n个}, 克 年_{n个}), 克 F类 ({x个}_{n个}, 年_{n个}), t吨) = M（M） (0, 1, t吨) ↛ 0,

所以克和F类不兼容。发件人 $F类 (x个, 年) = 克 (x个)$ , $F类 (年, x个) = 克 (年)$ ，我们可以 $(x个, 年) = (0, 0)$ ，我们有 $克 F类 (0, 0) = F类 (克 0, 克 0)$ ，这意味着F类和克是弱相容的。

以下结果易于验证

\frac{t吨}{X（X） + t吨} \geq 最小值 {\frac{t吨}{Y（Y） + t吨}, \frac{t吨}{Z轴 + t吨}} \Leftrightarrow X（X） \leq 最大值 {Y（Y）, Z轴}, \forall X（X）, Y（Y）, Z轴 \geq 0, t吨 > 0 .

根据的定义M（M）和ϕ和上面的结果，我们可以得到不等式（3.1）

M（M） (F类 (x个, 年), F类 (u个, v（v）), ϕ (t吨)) \geq M（M） (克 (x个), 克 (u个), t吨) * M（M） (克 (年), 克 (v（v）), t吨)

相当于以下内容

2 | F类 (x个, 年) - F类 (u个, v（v）) | \leq 最大值 {| 克 (x个) - 克 (u个) |, | 克 (年) - 克 (v（v）) |} .

(3.11)

现在，我们验证不等式（3.11）。让 $A类 = {\frac{1}{2 n个}, n个 \in N个}$ , $B类 = X（X） - A类$ .通过对称性，在不丧失通用性的情况下， $(x个, 年)$ , $(u个, v（v）)$ 有6种可能性。

案例1： $(x个, 年) \in B类 \times B类$ , $(u个, v（v）) \in B类 \times B类$ 很明显，（3.11）适用。

案例2： $(x个, 年) \in B类 \times B类$ , $(u个, v（v）) \in B类 \times A类$ 很明显，（3.11）适用。

案例3： $(x个, 年) \in B类 \times B类$ , $(u个, v（v）) \in A类 \times A类$ .如果 $u个 \neq v（v）$ ，（3.11）保持不变。如果 $u个 = v（v）$ ，让 $u个 = v（v） = \frac{1}{2 n个}$ ，然后

2 | F类 (x个, 年) - F类 (u个, v（v）) | = \frac{2}{{(2 n个 + 1)}^{4}}, 最大值 {| 克 (x个) - 克 (u个) |, | 克 (年) - 克 (v（v）) |} = \frac{2 n个}{2 n个 + 1},

这意味着（3.11）成立。

案例4： $(x个, 年) \in B类 \times A类$ , $(u个, v（v）) \in B类 \times A类$ 很明显，（3.11）成立。

案例5： $(x个, 年) \in B类 \times A类$ , $(u个, v（v）) \in A类 \times A类$ .如果 $u个 \neq v（v）$ ，（3.11）保持不变。如果 $u个 = v（v）$ ，让 $x个 \in B类$ , $年 = \frac{1}{2 j个}$ , $u个 = v（v） = \frac{1}{2 n个}$ ，然后

\begin{matrix} 2 | F类 (x个, 年) - F类 (u个, v（v）) | = \frac{2}{{(2 n个 + 1)}^{4}}, \\ 最大值 {| 克 (x个) - 克 (u个) |, | 克 (年) - 克 (v（v）) |} = 最大值 {\frac{1}{2 n个 + 1}, | \frac{1}{2 j个 + 1} - \frac{1}{2 n个 + 1} |}, \end{matrix}

或

最大值 {| 克 (x个) - 克 (u个) |, | 克 (年) - 克 (v（v）) |} = 最大值 {\frac{2 n个}{2 n个 + 1}, | \frac{1}{2 j个 + 1} - \frac{1}{2 n个 + 1} |},

（3.11）保持。

案例6： $(x个, 年) \in A类 \times A类$ , $(u个, v（v）) \in A类 \times A类$ .

如果 $x个 \neq 年$ , $u个 \neq v（v）$ ，（3.11）保持不变。

如果 $x个 \neq 年$ , $u个 = v（v）$ ，让 $x个 = \frac{1}{2 我}$ , $年 = \frac{1}{2 j个}$ , $我 \neq j个$ , $u个 = v（v） = \frac{1}{2 n个}$ .然后

\begin{matrix} 2 | F类 (x个, 年) - F类 (u个, v（v）) | = \frac{2}{{(2 n个 + 1)}^{4}}, \\ 最大值 {| 克 (x个) - 克 (u个) |, | 克 (年) - 克 (v（v）) |} = 最大值 {| \frac{1}{2 我 + 1} - \frac{1}{2 n个 + 1} |, | \frac{1}{2 j个 + 1} - \frac{1}{2 n个 + 1} |}, \end{matrix}

（3.11）保持。

如果 $x个 = 年$ , $u个 = v（v）$ ，让 $x个 = 年 = \frac{1}{2 我}$ , $u个 = v（v） = \frac{1}{2 n个}$ .然后

\begin{matrix} 2 | F类 (x个, 年) - F类 (u个, v（v）) | = 2 | \frac{1}{{(2 我 + 1)}^{4}} - \frac{1}{{(2 n个 + 1)}^{4}} |, \\ 最大值 {| 克 (x个) - 克 (u个) |, | 克 (年) - 克 (v（v）) |} = | \frac{1}{2 我 + 1} - \frac{1}{2 n个 + 1} |, \end{matrix}

（3.11）成立。

然后满足定理3.2中的所有条件，并且0是克和F类.

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下载参考资料

致谢

胡新奇的这项工作得到了国家自然科学基金（批准号71171150）的资助。B.Damjanović的研究得到了塞尔维亚共和国教育、科学和技术发展部第174025号拨款的支持。

作者信息

作者和附属机构

武汉大学数学与统计学院，中国武汉，430072
胡新奇、郑明雪
塞尔维亚贝尔格莱德Nemanjina 6号贝尔格莱德大学农业学院
博什科·达姆亚诺维奇
中国湖北省黄冈市黄冈职业技术学院综合课程部，邮编：438002
肖凤韶

作者

新奇湖
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胡，XQ。，Zheng，MX.，Damjanović，B。等。模糊度量空间中弱相容映射的公共耦合不动点定理。不动点理论应用 2013, 220 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-220

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收到:2013年3月1日
认可的:2013年8月1日
出版:2013年8月19日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-220

模糊度量空间中弱相容映射的公共耦合不动点定理

摘要

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2准备工作

3主要成果

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