Best proximity points for Geraghty’s proximal contraction mappings

Mongkolkeha, Chirasak; Cho, Yeol Je; Kumam, Poom

doi:10.1186/1687-1812-2013-180

研究
开放式访问
出版：2013年7月8日

Geraghty近端压缩映射的最佳逼近点

不动点理论及其应用 体积 2013，物品编号：180(2013)引用这篇文章

48引文
韵律学细节

摘要

本文利用Geraghty定理推广了第一类和第二类近端收缩的概念，并建立了近端收缩的最佳邻近点定理。我们的结果改进并扩展了Sadiq Basha和其他人最近的结果。

理学硕士：47H09、47H10。

1引言

几个问题可以建模为以下形式的方程 $T型 x个 = x个$ ，其中T型是定义在度量空间、赋范线性空间、拓扑向量空间或某些合适空间的子集上的给定自映射。然而，如果T型是来自的非自映射A类到B类则上述方程不一定会有解。在这种情况下，可以考虑找到一个近似的解决方案x个在里面A类这样的错误 $d日 (x个, T型 x个)$ 是最小值，其中d日是距离函数。鉴于以下事实 $d日 (x个, T型 x个)$ 至少是 $d日 (A类, B类)$ ，最佳邻近点定理保证了 $d日 (x个, T型 x个)$ 根据近似解的要求x个满足条件 $d日 (x个, T型 x个) = d日 (A类, B类)$ 这种最佳近似解称为映射的最佳邻近点T型有趣的是，最佳邻近定理也可以作为不动点定理的自然推广，因为如果考虑的映射是自映射，则最佳邻近点将成为不动点。

Fan介绍了一个经典的最佳逼近定理[1]，也就是说，如果A类是Hausdorff局部凸拓扑向量空间的非空紧凸子集B类和 $T型 : A类 \to B类$ 是连续映射，则存在一个元素 $x个 \in A类$ 这样的话 $d日 (x个, T型 x个) = d日 (T型 x个, A类)$ 之后，几位作者，包括Prolla[2]，帝国[三]、塞格尔和辛格[4,5]，导出了范定理在多个方向上的推广。关于收缩最佳接近点存在性的其他研究可参见[6–14].

1922年，巴拿赫证明了完备度量空间中的每一个压缩映射都有一个唯一的不动点，这就是巴拿赫不动点定理或巴拿赫压缩原理。自巴拿赫不动点定理以来，许多作者以多种方式对该定理进行了推广、改进和推广。巴拿赫不动点定理的一些应用可以在[15–18]. 其中一个概括是由于杰拉蒂[19]如下所示。

定理1.1[19]

让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 （f） 做一个自我-映射于 X（X） 这样，对于每个 $x个, 年 \in X（X）$ 令人满意的

d日 (（f） x个, （f） 年) \leq α (d日 (x个, 年)) d日 (x个, 年),

(1.1)

哪里 $α \in S公司$ , 是来自的函数族 $[0, \infty)$ 进入之内 $[0, 1)$ 满足条件的

α ({t吨}_{n个}) \to 1 \Rightarrow {t吨}_{n个} \to 0 .

然后是序列 ${{（f）}_{n个}}$ 收敛到的唯一不动点 （f） 在里面 X（X）.

2005年，埃尔德雷德等。[20]得到了相对非扩张映射的最佳邻近点定理。几类收缩的最佳邻近点定理在[21–25].

最近，萨迪克·巴沙[26]给出了第一类和第二类邻近压缩存在最佳邻近点的充要条件，它们是压缩自映射的非自映射类似物，并建立了一些最佳邻近点和收敛定理。

本文的目的是通过给出具有最佳邻近点的必要条件，引入比第一类和第二类邻近收缩更一般的新的邻近收缩类，并给出一些主要结果的示例。本文的结果是Sadiq Basha在[26]以及文献中的一些结果。

2准备工作

给定的非空子集A类和B类度量空间的 $(X（X）, d日)$ ，我们回顾以下将在下文中使用的符号和概念。

\begin{matrix} d日 (A类, B类) : = inf公司 {d日 (x个, 年) : x个 \in A类 和 年 \in B类}, \\ {A类}_{0} : = {x个 \in A类 : d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) 对一些人来说 年 \in B类}, \\ {B类}_{0} : = {年 \in B类 : d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) 对一些人来说 x个 \in A类} . \end{matrix}

如果 $A类 \cap B类 \neq \emptyset$ ，然后 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 是非空的。此外，值得注意的是 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 包含在A类和B类分别提供A类和B类是赋范线性空间的闭子集 $d日 (A类, B类) > 0$ （请参见[27]).

定义2.1[26]

地图 $T型 : A类 \to B类$ 称为第一类近端收缩如果存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话

\begin{array}{l} d日 (u个, T型 x个) = d日 (A类, B类) \\ d日 (v（v）, T型 年) = d日 (A类, B类) \end{array}} ⟹ d日 (u个, v（v）) \leq k个 d日 (x个, 年)

为所有人 $u个, v（v）, x个, 年 \in A类$ .

很容易看出，第一种近端收缩的自映射恰恰是一种收缩。然而，非自身近端收缩不一定是收缩。

定义2.2[26]

地图 $T型 : A类 \to B类$ 称为第二类近端收缩如果存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话

\begin{array}{l} d日 (u个, T型 x个) = d日 (A类, B类) \\ d日 (v（v）, T型 年) = d日 (A类, B类) \end{array}} ⟹ d日 (T型 u个, T型 v（v）) \leq k个 d日 (T型 x个, T型 年)

为所有人 $一, b条, x个, 年 \in A类$ .

定义2.3让 $S公司 : A类 \to B类$ 和 $T型 : B类 \to A类$ 是映射。这对 $(S公司, T型)$ 称为近端循环收缩对如果存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话

\begin{array}{l} d日 (一, S公司 x个) = d日 (A类, B类) \\ d日 (b条, T型 年) = d日 (A类, B类) \end{array}} ⟹ d日 (一, b条) \leq k个 d日 (x个, 年) + (1 - k个) d日 (A类, B类)

为所有人 $一, x个 \in A类$ 和 $b条, 年 \in B类$ .

定义2.4让 $S公司 : A类 \to B类$ 和 $克 : A类 \to A类$ 是等距的。映射S公司据说可以保护等距距离关于克如果

d日 (S公司 克 x个, S公司 克 年) = d日 (S公司 x个, S公司 年)

为所有人 $x个, 年 \in A类$ .

定义2.5A分 $x个 \in A类$ 称为最佳接近点映射的 $S公司 : A类 \to B类$ 如果满足以下条件

d日 (x个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

可以观察到，如果底层映射是自映射，则最佳接近度会减少到一个固定点。

3主要结果

在这一节中，我们引入了一类新的近端压缩，即所谓的Geraghty近端压缩映射，并证明了这类映射的最佳逼近定理。

定义3.1地图 $T型 : A类 \to B类$ 被称为杰拉蒂第一类近端收缩如果，则存在 $β \in S公司$ 这样的话

\begin{array}{l} d日 (u个, T型 x个) = d日 (A类, B类) \\ d日 (v（v）, T型 年) = d日 (A类, B类) \end{array}} ⟹ d日 (u个, v（v）) \leq β (d日 (x个, 年)) d日 (x个, 年)

为所有人 $u个, v（v）, x个, 年 \in A类$ .

定义3.2地图 $T型 : A类 \to B类$ 被称为杰拉蒂第二类近端收缩如果，则存在 $β \in S公司$ 这样的话

\begin{array}{l} d日 (u个, T型 x个) = d日 (A类, B类) \\ d日 (v（v）, T型 年) = d日 (A类, B类) \end{array}} ⟹ d日 (T型 u个, T型 v（v）) \leq β (d日 (T型 x个, T型 年)) d日 (T型 x个, T型 年)

为所有人 $u个, v（v）, x个, 年 \in A类$ .

很容易看出，如果我们采取 $β (t吨) = k个$ ，其中 $k个 \in [0, 1)$ 然后，第一类杰拉蒂近端收缩和第二类杰拉蒂近端收缩分别减少为第一类近端收缩（定义2.1）和第二种近端收缩。

接下来，我们扩展了Sadiq Basha的结果[26]Banach的不动点定理适用于满足Geraghty的近端收缩条件的非自映射的情况。

定理3.3 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X） 这样的话 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ , $T型 : B类 \to A类$ 和 $克 : A类 \cup B类 \to A类 \cup B类$ 满足以下条件:

（a）
S公司 和 T型 杰拉蒂的近端收缩是第一种;
（b）
克 是等距;
（c）
这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩;
（d）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ , $T型 ({B类}_{0}) \subseteq {A类}_{0}$ ;
（e）
${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ 和 ${B类}_{0} \subseteq 克 ({B类}_{0})$ .

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 而且有一个独特的点 $年 \in B类$ 这样的话

d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (克 年, T型 年) = d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) .

此外,对于任何固定 ${x个}_{0} \in {A类}_{0}$ ,顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由定义

d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到元素 x个.对于任何固定 $年_{0} \in {B类}_{0}$ ,顺序 ${年_{n个}}$ 由定义

d日 (克 年_{n个 + 1}, T型 年_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到元素 年.

另一方面,一个序列 ${{u个}_{n个}}$ 在里面 A类 收敛到 x个 如果存在一个正数序列 ${ϵ_{n个}}$ 这样的话

\underset{n个 \to \infty}{林} ϵ_{n个} = 0, d日 ({u个}_{n个 + 1}, {z（z）}_{n个 + 1}) \leq ϵ_{n个},

哪里 ${z（z）}_{n个 + 1} \in A类$ 满足以下条件 $d日 (克 {z（z）}_{n个 + 1}, S公司 {u个}_{n个}) = d日 (A类, B类)$ .

证明让 ${x个}_{0}$ 在中是一个固定元素 ${A类}_{0}$ .鉴于以下事实 $S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ 和 ${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ ，因此存在一个元素 ${x个}_{1} \in {A类}_{0}$ 这样的话

d日 (克 {x个}_{1}, S公司 {x个}_{0}) = d日 (A类, B类) .

再一次，因为 $S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ 和 ${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ ，存在一个元素 ${x个}_{2} \in {A类}_{0}$ 这样的话

d日 (克 {x个}_{2}, S公司 {x个}_{1}) = d日 (A类, B类) .

通过同样的方法，我们可以发现 ${x个}_{n个}$ 在里面 ${A类}_{0}$ 这样的话

d日 (克 {x个}_{n个}, S公司 {x个}_{n个 - 1}) = d日 (A类, B类) .

因此，归纳起来，我们可以确定一个元素 ${x个}_{n个 + 1} \in {A类}_{0}$ 这样的话

d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类) .

(3.1)

自 $S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ 和 ${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ ,S公司是Geraghty的第一种近端收缩，克是一个等距和的属性β，对于每个 $n个 \geq 1$

\begin{array}{rcl} d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) & = & d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, 克 {x个}_{n个}) \\ \leq & β (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})) d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}) \\ \leq & d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1}), \end{array}

这意味着序列 ${d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个})}$ 是非增量的，在下面有界。因此存在 $第页 \geq 0$ 这样的话 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个}) = 第页$ 。假设 $第页 > 0$ .请注意

\frac{d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个})}{d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})} \leq β (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})),

这意味着 $林_{n个 \to \infty} β (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})) = 1$ .自 $β \in S公司$ ，我们有 $第页 = 0$ 这是一个矛盾，因此

\underset{n个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}) = 0 .

(3.2)

现在，我们声称 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。假设 ${{x个}_{n个}}$ 不是Cauchy序列。然后就有了 $ε > 0$ 和子序列 ${{x个}_{米_{k个}}}$ , ${{x个}_{{n个}_{k个}}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 这样，对于任何 ${n个}_{k个} > 米_{k个} \geq k个$

{第页}_{k个} : = d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) \geq ε, d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个} - 1}) < ε

对于任何 $k个 \in {1, 2, 三, \dots}$ 对于每个 $n个 \geq 1$ ，让 $α_{n个} : = d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个})$ .那么我们有

\begin{array}{rcl} ε & \leq & {第页}_{k个} \leq d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个} - 1}) + d日 ({x个}_{{n个}_{k个} - 1}, {x个}_{{n个}_{k个}}) \\ < & ε + α_{{n个}_{k个} - 1} \end{array}

(3.3)

因此，从（3.2）和（3.3）可以得出

\underset{k个 \to \infty}{林} {第页}_{k个} = ε .

(3.4)

还请注意

\begin{array}{rcl} ε & \leq & {第页}_{k个} \\ \leq & d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{米_{k个} + 1}) + d日 ({x个}_{{n个}_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个}}) + d日 ({x个}_{米_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个} + 1}) \\ = & α_{米_{k个}} + α_{{n个}_{k个}} + d日 ({x个}_{米_{k个} + 1}, {x个}_{{n个}_{k个} + 1}) \\ \leq & α_{米_{k个}} + α_{{n个}_{k个}} + β (d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}})) d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}}) \end{array}

等等

\frac{{第页}_{k个} - α_{米_{k个}} - α_{{n个}_{k个}}}{d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}})} \leq β (d日 ({x个}_{米_{k个}}, {x个}_{{n个}_{k个}})) .

拿 $k个 \to \infty$ 在上述不等式中，通过（3.2）、（3.4）和 $β \in S公司$ ，我们得到 $ε = 0$ ，这是一个矛盾。所以我们知道序列 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。因此 ${{x个}_{n个}}$ 收敛到某个元素 $x个 \in A类$ .

同样，鉴于以下事实 $T型 ({B类}_{0}) \subseteq {A类}_{0}$ 和 ${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ ，我们可以得出结论，存在一个序列 ${年_{n个}}$ 使得它收敛到某个元素 $年 \in B类$ .因为这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩克是等距的，我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, 年_{n个 + 1}) = d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, 克 年_{n个 + 1}) \leq k个 d日 ({x个}_{n个}, 年_{n个}) + (1 - k个) d日 (A类, B类) .

(3.5)

拿 $n个 \to \infty$ 在（3.5）中，如下所示

d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类)

(3.6)

等等 $x个 \in {A类}_{0}$ 和 $年 \in {B类}_{0}$ .自 $S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ 和 $T型 ({B类}_{0}) \subseteq {A类}_{0}$ ，存在 $u个 \in A类$ 和 $v（v） \in B类$ 这样的话

d日 (u个, S公司 x个) = d日 (A类, B类), d日 (v（v）, T型 年) = d日 (A类, B类) .

(3.7)

从（3.1）和（3.7）开始，自S公司是Geraghty的第一种近端收缩S公司，我们得到

d日 (u个, 克 {x个}_{n个 + 1}) \leq β (d日 (x个, {x个}_{n个})) d日 (x个, {x个}_{n个}) .

(3.8)

出租 $n个 \to \infty$ 在上述不等式中，我们得到 $d日 (u个, 克 x个) \leq 0$ 等等 $u个 = 克 x个$ 因此，我们有

d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

（3.9）

同样，我们可以证明 $v（v） = 克年$ 等等

d日 (克 年, T型 年) = d日 (A类, B类) .

(3.10)

从（3.6）、（3.9）和（3.10），我们得到

d日 (x个, 年) = d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (克 年, T型 年) = d日 (A类, B类) .

接下来，为了证明唯一性，假设存在 ${x个}^{*} \in A类$ 和 $年^{*} \in B类$ 具有 $x个 \neq {x个}^{*}$ 和 $年 \neq 年^{*}$ 这样的话

d日 (克 {x个}^{*}, S公司 {x个}^{*}) = d日 (A类, B类), d日 (克 年^{*}, T型 年^{*}) = d日 (A类, B类) .

自克是等距的，并且S公司是杰拉蒂的第一种近端收缩

d日 (x个, {x个}^{*}) = d日 (克 x个, 克 {x个}^{*}) \leq β (d日 (x个, {x个}^{*})) d日 (x个, {x个}^{*})

因此

1 = \frac{d日 (x个, {x个}^{*})}{d日 (x个, {x个}^{*})} \leq β (d日 (x个, {x个}^{*})) < 1,

这是一个矛盾。因此，我们有 $x个 = {x个}^{*}$ 同样，我们可以证明 $年 = 年^{*}$ .

另一方面，让 ${{u个}_{n个}}$ 成为一个序列A类和 ${ϵ_{n个}}$ 是一个正实数序列，这样

\underset{n个 \to \infty}{林} ϵ_{n个} = 0, d日 ({u个}_{n个 + 1}, {z（z）}_{n个 + 1}) \leq ϵ_{n个},

（3.11）

哪里 ${z（z）}_{n个 + 1} \in A类$ 满足以下条件

d日 (克 {z（z）}_{n个 + 1}, S公司 {u个}_{n个}) = d日 (A类, B类) .

(3.12)

根据（3.1）和（3.12），自S公司是Geraghty的第一种近端收缩克是等距的，我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {z（z）}_{n个 + 1}) = d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, 克 {z（z）}_{n个 + 1}) \leq β (d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})) d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个}) .

对于任何 $ϵ > 0$ ，选择一个正整数N个这样的话 $ϵ_{n个} \leq ϵ$ 为所有人 $n个 \geq N个$ .请注意

\begin{array}{rcl} d日 ({x个}_{n个 + 1}, {u个}_{n个 + 1}) & \leq & d日 ({x个}_{n个 + 1}, {z（z）}_{n个 + 1}) + d日 ({z（z）}_{n个 + 1}, {u个}_{n个 + 1}) \\ \leq & β (d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})) d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个}) + ϵ_{n个} \\ \leq & d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个}) + ϵ . \end{array}

自 $ϵ > 0$ 是武断的，我们可以得出结论 $n个 \geq N个$ 顺序 ${d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})}$ 是非递增的，并且在下面有界，因此收敛到一些非负实数 ${第页}^{'}$ .由于序列 ${{x个}_{n个}}$ 收敛到x个，我们得到

\underset{n个 \to \infty}{林} d日 ({u个}_{n个}, x个) = \underset{n个 \to \infty}{林} d日 ({u个}_{n个}, {x个}_{n个}) = {第页}^{'} .

（3.13）

假设 ${第页}^{'} > 0$ .自

\begin{array}{rcl} d日 ({u个}_{n个 + 1}, x个) & \leq & d日 ({u个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, x个) \\ \leq & β (d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})) d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个}) + ϵ_{n个} + d日 ({x个}_{n个 + 1}, x个), \end{array}

(3.14)

由不等式（3.11）、（3.13）和（3.14）可知

\frac{d日 ({u个}_{n个 + 1}, x个) - ϵ_{n个} - d日 ({x个}_{n个 + 1}, x个)}{d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})} \leq β (d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})) < 1,

(3.15)

这意味着 $β (d日 ({x个}_{n个}, {u个}_{n个})) \to 1$ 等等 $d日 ({u个}_{n个}, {x个}_{n个}) \to 0$ 也就是说，

\underset{n个 \to \infty}{林} d日 ({u个}_{n个}, x个) = \underset{n个 \to \infty}{林} d日 ({u个}_{n个}, {x个}_{n个}) = 0,

这是一个矛盾。因此 ${第页}^{'} = 0$ 因此 ${{u个}_{n个}}$ 收敛到该点x个这就完成了证明。 □

如果克是定理3.3中的恒等映射，然后我们得到以下结果。

推论3.4 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ , $T型 : B类 \to A类$ 和 $克 : A类 \cup B类 \to A类 \cup B类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 和 T型 杰拉蒂的近端收缩是第一种;
（b）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ , $T型 ({B类}_{0}) \subseteq {A类}_{0}$ ;
（c）
这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩.

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 而且有一个独特的点 $年 \in B类$ 这样的话

d日 (x个, S公司 x个) = d日 (年, T型 年) = d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) .

如果我们采取 $β (t吨) = k个$ ，其中 $0 \leq k个 < 1$ ，我们得到以下推论。

推论3.5[26]

让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ , $T型 : B类 \to A类$ 和 $克 : A类 \cup B类 \to A类 \cup B类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 和 T型 是第一种近端收缩;
（b）
克 是等距的;
（c）
这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩;
（d）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ , $T型 ({B类}_{0}) \subseteq {A类}_{0}$ ;
（e）
${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ 和 ${B类}_{0} \subseteq 克 ({B类}_{0})$ .

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 而且有一个独特的点 $年 \in B类$ 这样的话

d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (克 年, T型 年) = d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) .

此外,对于任何固定 ${x个}_{0} \in {A类}_{0}$ ,顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由定义

d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到元素 x个.对于任何固定 $年_{0} \in {B类}_{0}$ ,顺序 ${年_{n个}}$ 由定义

d日 (克 年_{n个 + 1}, T型 年_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到元素 年.

如果克是推论3.5中的恒等映射，我们得到以下推论。

推论3.6 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ , $T型 : B类 \to A类$ 和 $克 : A类 \cup B类 \to A类 \cup B类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 和 T型 是第一种近端收缩;
（b）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ , $T型 ({B类}_{0}) \subseteq {A类}_{0}$ ;
（c）
这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩.

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 并且存在一个独特的点 $年 \in B类$ 这样的话

d日 (x个, S公司 x个) = d日 (年, T型 年) = d日 (x个, 年) = d日 (A类, B类) .

接下来，我们建立了第一类和第二类Geraghty近似压缩的非自映射的最佳邻近点定理。

定理3.7 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ 和 $克 : A类 \to A类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 是杰拉蒂的第一种和第二种近端收缩;
（b）
克 是等距;
（c）
S公司 保留相对于以下对象的等轴测距离 克;
（d）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ ;
（e）
${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ .

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 这样的话

d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

此外,对于任何固定 ${x个}_{0} \in {A类}_{0}$ ,顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由定义

d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到元素 x个.

另一方面,一个序列 ${{u个}_{n个}}$ 在里面 A类 收敛到 x个 如果存在序列 ${ϵ_{n个}}$ 正数，使得

\underset{n个 \to \infty}{林} ϵ_{n个} = 0, d日 ({u个}_{n个 + 1}, {z（z）}_{n个 + 1}) \leq ϵ_{n个},

哪里 ${z（z）}_{n个 + 1} \in A类$ 满足以下条件 $d日 (克 {z（z）}_{n个 + 1}, S公司 {u个}_{n个}) = d日 (A类, B类)$ .

证明自 $S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ 和 ${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ ，如定理3.3的证明，我们可以构造序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 ${A类}_{0}$ 这样的话

d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

(3.16)

对于每个 $n个 \geq 1$ .自克是等距的，并且S公司我们看到的是杰拉蒂的第一种近端收缩

d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = d日 (克 {x个}_{n个}, 克 {x个}_{n个 + 1}) \leq β (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})) d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 - 1})

为所有人 $n个 \geq 1$ 同样，我们可以证明 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列，因此它收敛于 $x个 \in A类$ .自S公司是Geraghty的第二种近端收缩，并保持相对于克，我们有

\begin{array}{rcl} d日 (S公司 {x个}_{n个}, S公司 {x个}_{n个 + 1}) & = & d日 (S公司 克 {x个}_{n个}, S公司 克 {x个}_{n个 + 1}) \\ \leq & β (d日 (S公司 {x个}_{n个 - 1}, S公司 {x个}_{n个})) d日 (S公司 {x个}_{n个 - 1}, S公司 {x个}_{n个}) \\ \leq & d日 (S公司 {x个}_{n个 - 1}, S公司 {x个}_{n个}), \end{array}

这意味着序列 ${d日 (S公司 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个})}$ 是非增量的，在下面有界。因此存在 $第页 \geq 0$ 这样的话

\underset{n个 \to \infty}{林} d日 (S公司 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = 第页 .

假设 $第页 > 0$ .请注意

\frac{d日 (S公司 {x个}_{n个}, S公司 {x个}_{n个 + 1})}{d日 (S公司 {x个}_{n个 - 1}, S公司 {x个}_{n个})} \leq β (d日 (S公司 {x个}_{n个 - 1}, S公司 {x个}_{n个})) .

拿 $k个 \to \infty$ 在上述不等式中，我们得到 $β (d日 (S公司 {x个}_{n个 - 1}, S公司 {x个}_{n个})) \to 1$ .自 $β \in S公司$ ，我们有 $第页 = 0$ 这是一个矛盾，因此

\underset{n个 \to \infty}{林} d日 (S公司 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = 0 .

（3.17）

现在，我们声称 ${S公司 {x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。假设 ${S公司 {x个}_{n个}}$ 不是Cauchy序列。然后就有了 $ε > 0$ 和子序列 ${S公司 {x个}_{米_{k个}}}$ , ${S公司 {x个}_{{n个}_{k个}}}$ 属于 ${S公司 {x个}_{n个}}$ 这样，对于任何 ${n个}_{k个} > 米_{k个} \geq k个$ ,

{第页}_{k个} : = d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}}) \geq ε, d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个} - 1}) < ε

对于任何 $k个 \in {1, 2, 三, \dots}$ 对于每个 $n个 \geq 1$ ，让 $γ_{n个} : = d日 (S公司 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个})$ .那么我们有

\begin{array}{rcl} ε & \leq & {第页}_{k个} \leq d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个} - 1}) + d日 (S公司 {x个}_{{n个}_{k个} - 1}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}}) \\ < & ε + γ_{{n个}_{k个} - 1} \end{array}

(3.18)

从（3.17）和（3.18）可以得出

\underset{k个 \to \infty}{林} {第页}_{k个} = ε .

还请注意

\begin{array}{rcl} ε & \leq & {第页}_{k个} \\ \leq & d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{米_{k个} + 1}) + d日 (S公司 {x个}_{{n个}_{k个} + 1}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}}) + d日 (S公司 {x个}_{米_{k个} + 1}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个} + 1}) \\ = & γ_{米_{k个}} + γ_{{n个}_{k个}} + d日 (S公司 {x个}_{米_{k个} + 1}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个} + 1}) \\ \leq & γ_{米_{k个}} + γ_{{n个}_{k个}} + β (d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}})) d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}}) . \end{array}

因此，它遵循

1 = \underset{k个 \to \infty}{林} \frac{{第页}_{k个} - γ_{米_{k个}} - γ_{{n个}_{k个}}}{d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}})} \leq \underset{k个 \to \infty}{林} β (d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}})) < 1

等等 $林_{k个 \to \infty} β (d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}})) = 1$ .自 $β \in S公司$ ，我们有 $林_{k个 \to \infty} d日 (S公司 {x个}_{米_{k个}}, S公司 {x个}_{{n个}_{k个}}) = 0$ 也就是说， $ε = 0$ ，这是一个矛盾。因此，我们得到了索赔，然后它收敛到 $年 \in B类$ 因此，我们可以得出以下结论

d日 (克 x个, 年) = \underset{n个 \to \infty}{林} d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类),

这意味着 $克 x个 \in {A类}_{0}$ .自 ${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ ，我们有 $克 x个 = 克 z（z）$ 对一些人来说 $z（z） \in {A类}_{0}$ 然后 $d日 (克 x个, 克 z（z）) = 0$ .事实上克是等距的，我们有 $d日 (x个, z（z）) = d日 (克 x个, 克 z（z）) = 0$ .因此 $x个 = z（z）$ 等等 $x个 \in {A类}_{0}$ .自 $S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ ，存在 $u个 \in A类$ 这样的话

d日 (u个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

(3.19)

自S公司是Geraghty的第一类近端收缩，由（3.16）和（3.19）得出

d日 (u个, 克 {x个}_{n个 + 1}) \leq β (d日 (x个, {x个}_{n个})) d日 (x个, {x个}_{n个})

(3.20)

为所有人 $n个 \geq 1$ .采取 $n个 \to \infty$ 在（3.20）中，顺序如下 ${克 {x个}_{n个}}$ 收敛到一点u个.自克是连续的，并且 $林_{n个 \to \infty} {x个}_{n个} = x个$ ，我们有 $克 {x个}_{n个} \to 克 x个$ 作为 $n个 \to \infty$ .通过极限的唯一性，我们得出如下结论 $u个 = 克 x个$ 因此，可以这样说 $d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (u个, S公司 x个) = d日 (A类, B类)$ .

证明的唯一性和剩余部分来自定理3.3的证明。这就完成了证明。 □

如果克是定理3.7中的恒等式映射，然后我们得到以下结果。

推论3.8 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 是杰拉蒂的第一种和第二种近端收缩;
（b）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ .

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 这样的话

d日 (x个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

此外,对于任何固定 ${x个}_{0} \in {A类}_{0}$ ,顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由定义

d日 ({x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到最佳接近点 x个属于 S公司.

如果我们采取 $β (t吨) = k个$ 在定理3.7中，其中 $0 \leq k个 < 1$ ，我们得到以下结果。

推论3.9[26]

让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ 和 $克 : A类 \to A类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 是第一种和第二种近端收缩;
（b）
克 是等距;
（c）
S公司 保留相对于的等轴测距离 克;
（d）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ ;
（e）
${A类}_{0} \subseteq 克 ({A类}_{0})$ .

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 这样的话

d日 (克 x个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

此外,对于任何固定 ${x个}_{0} \in {A类}_{0}$ ,顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由定义

d日 (克 {x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到元素 x个.

如果克是推论3.9中的恒等式映射，然后我们得到以下结果。

推论3.10 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 A类,B类 是的非空闭子集 X（X）.进一步,假设是这样 ${A类}_{0}$ 和 ${B类}_{0}$ 不是空的.让 $S公司 : A类 \to B类$ 是满足以下条件的映射:

（a）
S公司 是第一种和第二种近端收缩;
（b）
$S公司 ({A类}_{0}) \subseteq {B类}_{0}$ .

然后存在一个独特的点 $x个 \in A类$ 这样的话

d日 (x个, S公司 x个) = d日 (A类, B类) .

此外,对于任何固定 ${x个}_{0} \in {A类}_{0}$ ,顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由定义

d日 ({x个}_{n个 + 1}, S公司 {x个}_{n个}) = d日 (A类, B类)

收敛到最佳接近点 x个属于 S公司.

4个示例

接下来，我们举例说明定义3.1与定义2.1不同；此外，我们给出了一个支持定理3.3的例子。首先，我们为我们的示例给出了一些命题，如下所示。

提议4.1 让 $（f） : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 是由定义的函数 $（f） (t吨) = 自然对数 (1 + t吨)$ .然后我们有以下不等式:

（f） (一) - （f） (b条) \leq （f） (| 一 - b条 |)

(4.1)

为所有人 $一, b条 \in [0, \infty)$ .

证明如果 $x个 = 年$ ，我们已经完成了。假设 $x个 > 年$ .既然我们已经

\frac{1 + x个}{1 + 年} = \frac{1 + x个 + 年 - 年}{1 + 年} = 1 + \frac{x个 - 年}{1 + 年} < 1 + | x个 - 年 |,

因此 $自然对数 (1 + x个) - 自然对数 (1 + 年) < 自然对数 (1 + | x个 - 年 |)$ .在这种情况下 $x个 < 年$ 通过类似的论证，我们可以证明不等式（4.1）成立。 □

提议4.2 对于每个 $x个, 年 \in R（右）$ ,我们得到以下不等式成立:

\frac{1}{(1 + | x个 |) (1 + | 年 |)} \leq \frac{1}{1 + | x个 - 年 |} .

证明自

\begin{array}{rcl} 1 + | x个 - 年 | & \leq & 1 + | x个 | + | 年 | \\ \leq & 1 + | x个 | + | 年 | + | x个 | | 年 | \\ = & (1 + | x个 |) (1 + | 年 |), \end{array}

以便

\frac{1}{(1 + | x个 |) (1 + | 年 |)} \leq \frac{1}{1 + | x个 - 年 |} .

□

示例4.3考虑完整的度量空间 ${R（右）}^{2}$ 使用欧几里得公制。让

A类 = {(0, x个) : x个 \in R（右）}, B类 = {(2, 年) : 年 \in R（右）} .

然后 $d日 (A类, B类) = 2$ .定义映射 $S公司 : A类 \to B类$ 如下：

S公司 ((0, x个)) = (2, 自然对数 (1 + | x个 |)) .

首先，我们展示S公司是Geraghty的第一种近端收缩 $β \in S公司$ 由定义

β (t吨) = {\begin{matrix} 1, & t吨 = 0, \\ \frac{自然对数 (1 + t吨)}{t吨}, & t吨 > 0 . \end{matrix}

让 $(0, {x个}_{1})$ , $(0, {x个}_{2})$ , $(0, 一_{1})$ 和 $(0, 一_{2})$ 成为元素A类令人满意的

d日 ((0, 一_{1}), S公司 (0, {x个}_{1})) = d日 (A类, B类) = 2, d日 ((0, 一_{2}), S公司 (0, {x个}_{2})) = d日 (A类, B类) = 2 .

那么我们有 $一_{我} = 自然对数 (1 + | {x个}_{我} |)$ 对于 $我 = 1, 2$ .如果 ${x个}_{1} = {x个}_{2}$ ，我们已经完成了。假设 ${x个}_{1} \neq {x个}_{2}$ 然后，根据命题4.1和函数 $（f） (x个) = 自然对数 (1 + t吨)$ 正在增加，我们有

\begin{array}{rcl} d日 ((0, 一_{1}), (0, 一_{2})) & = & d日 ((0, 自然对数 (1 + | {x个}_{1} |)), (0, 自然对数 (1 + | {x个}_{2} |))) \\ = & | 自然对数 (1 + | {x个}_{1} |) - 自然对数 (1 + | {x个}_{2} |) | \\ \leq & | 自然对数 (1 + | | {x个}_{1} | - | {x个}_{2} | |) | \\ \leq & | 自然对数 (1 + | {x个}_{1} - {x个}_{2} |) | \\ = & \frac{| 自然对数 (1 + | {x个}_{1} - {x个}_{2} |) |}{| {x个}_{1} - {x个}_{2} |} | {x个}_{1} - {x个}_{2} | \\ = & β (d日 ((0, {x个}_{1}), (0, {x个}_{2}))) d日 ((0, {x个}_{1}), (0, {x个}_{2})) . \end{array}

因此S公司是Geraghty的第一种近端收缩。

接下来，我们证明S公司不是第一种近端收缩。假设S公司是第一种近端收缩 $(0, {x个}^{*}), (0, 年^{*}), (0, 一^{*}), (0, {b条}^{*}) \in A类$ 令人满意的

d日 ((0, {x个}^{*}), S公司 (0, 一^{*})) = d日 (A类, B类) = 2 和 d日 ((0, 年^{*}), S公司 (0, {b条}^{*})) = d日 (A类, B类) = 2,

(4.2)

存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话

d日 ((0, {x个}^{*}), (0, 年^{*})) \leq k个 d日 ((0, 一^{*}), (0, {b条}^{*})) .

从（4.2）中，我们得到 ${x个}^{*} = 自然对数 (1 + | 一^{*} |)$ 和 $年^{*} = 自然对数 (1 + | {b条}^{*} |)$ 等等

\begin{array}{rcl} | 自然对数 (1 + | 一^{*} |) - 自然对数 (1 + | {b条}^{*} |) | & = & d日 ((0, {x个}^{*}), (0, 年^{*})) \\ \leq & k个 d日 ((0, 一^{*}), (0, {b条}^{*})) \\ = & k个 | 一^{*} - {b条}^{*} | . \end{array}

出租 ${b条}^{*} = 0$ ，我们得到

1 = \underset{| 一^{*} | \to 0^{+}}{林} \frac{| 自然对数 (1 + | 一^{*} |) |}{| 一^{*} |} \leq k个 < 1,

这是一个矛盾。因此S公司不是第一种近端收缩。

示例4.4考虑完整的度量空间 ${R（右）}^{2}$ 度量由定义

d日 (({x个}_{1}, {x个}_{2}), (年_{1}, 年_{2})) = | {x个}_{1} - 年_{1} | + | {x个}_{2} - 年_{2} |

为所有人 $({x个}_{1}, {x个}_{2}), (年_{1}, 年_{2}) \in {R（右）}^{2}$ .让

A类 = {(0, x个) : x个 \in R（右）}, B类 = {(2, 年) : 年 \in R（右）} .

定义两个映射 $S公司 : A类 \to B类$ , $T型 : B类 \to A类$ 和 $克 : A类 \cup B类 \to A类 \cup B类$ 如下：

S公司 ((0, x个)) = (2, \frac{| x个 |}{2 (1 + | x个 |)}), T型 ((2, 年)) = (0, \frac{| 年 |}{2 (1 + | 年 |)}), 克 ((x个, 年)) = (x个, - 年) .

然后 $d日 (A类, B类) = 2$ , ${A类}_{0} = A类$ , ${B类}_{0} = B类$ 和映射克是等距的。

接下来，我们展示一下S公司和T型杰拉蒂的第一类近端收缩 $β \in S公司$ 由定义

β (t吨) = \frac{1}{1 + t吨} 为所有人 t吨 \geq 0 .

让 $(0, {x个}_{1})$ , $(0, {x个}_{2})$ , $(0, 一_{1})$ 和 $(0, 一_{2})$ 是中的元素A类令人满意的

d日 ((0, 一_{1}), S公司 (0, {x个}_{1})) = d日 (A类, B类) = 2, d日 ((0, 一_{2}), S公司 (0, {x个}_{2})) = d日 (A类, B类) = 2 .

那么我们有

一_{我} = \frac{| {x个}_{我} |}{2 (1 + | {x个}_{我} |)} 的 我 = 1, 2 .

如果 ${x个}_{1} = {x个}_{2}$ ，我们已经完成了。假设 ${x个}_{1} \neq {x个}_{2}$ 然后，根据命题4.2，我们得到

\begin{array}{rcl} d日 ((0, 一_{1}), (0, 一_{2})) & = & d日 ((0, \frac{| {x个}_{1} |}{2 (1 + | {x个}_{1} |)}), (0, \frac{| {x个}_{2} |}{2 (1 + | {x个}_{2} |)})) \\ = & | \frac{| {x个}_{1} |}{2 (1 + | {x个}_{1} |)} - \frac{| {x个}_{2} |}{2 (1 + | {x个}_{2} |)} | \\ = & | \frac{| {x个}_{1} | - | {x个}_{2} |}{2 (1 + | {x个}_{1} |) (1 + | {x个}_{2} |)} | \\ \leq & | \frac{{x个}_{1} - {x个}_{2}}{(1 + | {x个}_{1} |) (1 + | {x个}_{2} |)} | \\ \leq & \frac{1}{1 + | {x个}_{1} - {x个}_{2} |} | {x个}_{1} - {x个}_{2} | \\ = & β (d日 ((0, {x个}_{1}), (0, {x个}_{2}))) d日 ((0, {x个}_{1}), (0, {x个}_{2})) . \end{array}

因此S公司是Geraghty的第一种近端收缩。同样，我们可以看到T型是Geraghty的第一种近端收缩。接下来，我们展示这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩。让 $(0, u个), (0, x个) \in A类$ 和 $(2, v（v）), (2, 年) \in B类$ 是这样的

d日 ((0, u个), S公司 (0, x个)) = d日 (A类, B类) = 2, d日 ((2, v（v）), T型 (2, 年)) = d日 (A类, B类) = 2 .

然后我们得到

u个 = \frac{| x个 |}{2 (1 + | x个 |)}, v（v） = \frac{| 年 |}{2 (1 + | 年 |)} .

在这种情况下 $x个 = 年$ ，清除。假设 $x个 \neq 年$ ，那么我们有

\begin{array}{rcl} d日 ((0, u个), (2, v（v）)) & = & | u个 - v（v） | + 2 \\ = & | \frac{| x个 |}{2 (1 + | x个 |)} - \frac{| 年 |}{2 (1 + | 年 |)} | + 2 \\ = & | \frac{| x个 | - | 年 |}{2 (1 + | x个 |) (1 + | 年 |)} | + 2 \\ \leq & \frac{| x个 - 年 |}{2 (1 + | x个 |) (1 + | 年 |)} + 2 \\ \leq & \frac{1}{2} | x个 - 年 | + 2 \\ \leq & k个 (| x个 - 年 | + 2) + (1 - k个) 2 \\ = & k个 d日 ((0, x个), (2, 年)) + (1 - k个) d日 (A类, B类), \end{array}

哪里 $k个 = [\frac{1}{2}, 1)$ 因此，这对 $(S公司, T型)$ 是近端周期性收缩。因此，满足定理3.3的所有假设。此外，很容易看出 $(0, 0) \in A类$ 和 $(2, 0) \in B类$ 是独特的元素

d日 (克 (0, 0), S公司 (0, 0)) = d日 (克 (2, 0), T型 (2, 0)) = d日 ((0, 0), (2, 0)) = d日 (A类, B类) .

5结论

本文研究了Sadiq Basha在[26]. 此外，还提出了一种计算这种最优近似解的算法和例子，该算法和例子支持了我们的主要结果。

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致谢

Chirasak Mongkolkeha先生获得了泰国研究基金的支持，该基金通过泰国国民党博士项目的皇家金禧纪念计划（Grant PHD/0029/2553）提供支持。这项研究在韩国庆生国立大学数学教育系完成。此外，第二位作者还通过韩国教育、科学和技术部资助的国家研究基金会（NRF）获得了基础科学研究计划的支持（批准号：2012-0008170）。第三位作者得到了高等教育委员会、泰国研究基金和通武里国王科技大学（批准号：MRG5580213）的支持。

作者信息

作者和附属机构

泰国曼谷Bang Mod Mongkut科技大学通布里分校（KMUTT）科学院数学系，邮编：10140
Chirasak Mongkolkeha和Poom Kumam
韩国庆尚国立大学数学教育与RINS系，钦州，660-701
Yeol Je Cho先生
泰国Nakhon Pathom Kassetsart大学Kamphaeng-Saen校区文理学院数学系，邮编73140
Chirasak Mongkolkeha公司

作者

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蓬库姆
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通讯作者

与的通信Yeol Je Cho先生或蓬库姆.

其他信息

相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者在这项研究中都做出了同样重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)，允许在任何媒体上不受限制地使用、分发和复制，前提是正确引用了原作。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Mongkolkeha，C.，Cho，Y.J.&Kumam，P.杰拉蒂近端收缩映射的最佳邻近点。不动点理论应用 2013, 180 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-180

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收到:2013年2月20日
认可的:2013年6月15日
已发布:2013年7月8日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-180

Geraghty近端压缩映射的最佳逼近点

摘要

1引言

2准备工作

3主要结果

4个示例

5结论

工具书类

致谢

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通讯作者

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