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科学与工程的不动点理论与算法
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部分度量空间中多值映射的一些不动点结果

不动点理论及其应用 体积 2013，物品编号：175(2013)引用这篇文章

摘要

本文得到了部分度量空间中多值映射的一些不动点结果。我们的结果统一、推广和补充了现有文献中的各种已知可比结果。文中还举例说明了本文的主要结果。

理学硕士：46S40、47H10、54H25。

1简介和前言

不动点理论是非线性分析中最强大、最富有成效的工具之一。它的核心主题是关于映射的一个或多个不动点存在的条件T型从拓扑空间X（X）也就是说，我们可以发现x∈X（X）这样的话T型x=xBanach收缩原理[1]是不动点理论中最简单、最通用的初等结果之一。此外，基于迭代过程，它可以在计算机上实现，以找到压缩映射的不动点。它可以产生任何所需精度的近似值，而且，甚至可以确定获得指定精度所需的迭代次数。最近，萨米特等。[2]引入了一个新概念α-压缩型映射并建立了完备度量空间中此类映射的各种不动点定理。这些定理扩展、推广和改进了文献中关于不动点存在性的几个结果。

1994年，马修斯[三]引入部分度量空间的概念，得到了完备部分度量空间上的Banach型不动点定理。稍后，一些作者（例如，请参见[4–31])证明了部分度量空间中的不动点定理。在定义了部分Hausdorff度量之后，Aydi等。[28]证明了完备部分度量空间中集值映射的Banach型不动点结果。

本文的目的是推广Nadler证明的各种已知结果[32]、Kikkawa和铃木[33]、莫特和佩特鲁塞尔[34]、Dhompongsa和Yingtaweesittikul[35]对于部分度量空间的情况，给出一个例子来说明我们的主要结果。

我们首先回顾部分度量空间上的一些基本定义和引理。部分度量空间的定义由Matthews给出[三]（另请参见[7,29,30])如下所示。

定义1非空集上的部分度量X（X）是一个函数第页:X（X）×X（X）→[0,+∞)使得以下条件成立：对于所有x,年,z（z）∈X（X）,

（P1)第页(x,x)=第页(年,年)=第页(x,年)当且仅当x=年,

（P2)第页(x,x)≤第页(x,年),

（P三)第页(x,年)=第页(年,x),

（P4)第页(x,z（z）)≤第页(x,年)+第页(年,z（z）)−第页(年,年).

这对(X（X）,第页)然后称为部分度量空间.

如果(X（X）,第页)是部分度量空间，则函数 第页 秒 :X（X）×X（X）→[0,+∞)由提供 第页 秒 (x,年)=2第页(x,年)−第页(x,x)−第页(年,年)为所有人x,年∈X（X）是上的度量X（X）.

部分度量空间的一个基本示例是对([0,+∞),第页)，其中第页(x,年)=最大值{x,年}为所有人x,年∈[0,+∞).

引理1 让 (X（X）,第页) 是部分度量空间,那么我们有以下几种:

  1. (1)

    A序列 { x n个 } 在部分度量空间中 (X（X）,第页) 收敛到一点 x∈X（X） 当且仅当 林 n个 → + ∞ 第页(x, x n个 )=第页(x,x).

  2. (2)

    A序列 { x n个 } 在部分度量空间中 (X（X）,第页) 称为Cauchy序列，如果 林 n个 , 米 → + ∞ 第页( x n个 , x 米 ) 存在且有限.

  3. (3)

    部分度量空间 (X（X）,第页) 如果每个Cauchy序列都是完整的 { x n个 } 在里面 X（X） 收敛到一点 x∈X（X）,那就是,第页(x,x)= 林 n个 , 米 → + ∞ 第页( x n个 , x 米 ).

  4. (4)

    { x n个 } 是中的Cauchy序列 (X（X）,第页) 当且仅当它是度量空间中的柯西序列 (X（X）, 第页 秒 ).

  5. (5)

    部分度量空间 (X（X）,第页) 是完全的当且仅当度量空间 (X（X）, 第页 秒 ) 已完成.此外, 林 n个 → + ∞ 第页 秒 ( x n个 ,z（z）)=0 当且仅当

    第页(z（z）,z（z）)= 林 n个 → + ∞ 第页( x n个 ,z（z）)= 林 n个 , 米 → + ∞ 第页( x n个 , x 米 ).

备注1([7]，引理1）

让(X（X）,第页)是部分度量空间，且设A类成为一个非空客(X（X）,第页)，然后一∈ A类 ¯ 当且仅当

第页(一,A类)=第页(一,一),

哪里 A类 ¯ 表示结束A类关于部分度量第页.注意A类在中关闭(X（X）,第页)当且仅当 A类 ¯ =A类.

现在，我们陈述Aydi最近一篇论文的以下定义和命题等。[28].

让C类 B类 第页 (X（X）)是的所有非空闭有界子集的集合X（X）关于部分度量第页。对于任何A类∈C类 B类 第页 (X（X）)，我们定义

第页(一,A类)=inf公司 { 第页 ( 一 , x ) : x ∈ A类 } .

另一方面，对于任何A类,B类∈C类 B类 第页 (X（X）)，我们定义

δ 第页 ( A类 , B类 ) = 啜饮 { 第页 ( 一 , B类 ) : 一 ∈ A类 } , δ 第页 ( B类 , A类 ) = 啜饮 { 第页 ( b条 , A类 ) : b条 ∈ B类 }

和

H（H） 第页 (A类,B类)=最大值 { δ 第页 ( A类 , B类 ) , δ 第页 ( B类 , A类 ) } .

提议1[28]

让 (X（X）,第页) 是部分度量空间.对于任何 A类,B类,C类∈C类 B类 第页 (X（X）),我们有

  1. (1)

    δ 第页 (A类,A类)=啜饮{第页(一,一):一∈A类}.

  2. (2)

    δ 第页 (A类,A类)≤ δ 第页 (A类,B类).

  3. (3)

    δ 第页 (A类,B类)=0 意味着 A类⊆B类.

  4. (4)

    δ 第页 (A类,B类)≤ δ 第页 (A类,C类)+ δ 第页 (C类,B类)− inf公司 c ∈ C类 第页(c,c).

提议2[28]

让 (X（X）,第页) 是部分度量空间.对于任何 A类,B类,C类∈C类 B类 第页 (X（X）),我们有

  1. (1)

    H（H） 第页 (A类,A类)≤ H（H） 第页 (A类,B类).

  2. (2)

    H（H） 第页 (A类,B类)= H（H） 第页 (B类,A类).

  3. (3)

    H（H） 第页 (A类,B类)≤ H（H） 第页 (A类,C类)+ H（H） 第页 (C类,B类)− inf公司 c ∈ C类 第页(c,c).

引理2[28]

让 A类 和 B类 是部分度量空间的非空闭有界子集 (X（X）,第页) 和 小时>1.然后,为所有人 一∈A类,存在 b条∈B类 这样的话 第页(一,b条)≤小时 H（H） 第页 (A类,B类).

Aydi证明了以下结果等。在[28].

定理1 让 (X（X）,第页) 是部分度量空间.如果 T型:X（X）→C类 B类 第页 (X（X）) 是多重的-值映射，以便,为所有人 x,年∈X（X）,

H（H） 第页 (T型x,T型年)≤k个第页(x,年),

哪里 k个∈(0,1).然后 T型 有一个固定点.

2主要结果

现在，我们描述Kikkawa和Suzuki的著名定理[33]在部分度量空间的框架中。

定理2 定义严格递减函数Θ从 [0,1) 到上面 ( 1 2 ,1] 通过 Θ(第页)= 1 1 + 第页 .让 (X（X）,第页) 是一个完全部分度量空间 F类:X（X）→C类 B类 第页 (X（X）) 成为多重身份-值映射.假设存在 第页∈[0,1) 这样的话

Θ(第页)第页(x,F类x)≤第页(x,年)⟹ H（H） 第页 (F类x,F类年)≤第页第页(x,年)
(2.1)

为所有人 x,年∈X（X）.然后就有了 u个∈X（X） 这样的话 u个∈F类u个.

证明让 x 0 ∈X（X）被任意选择。对于所有人 x 1 ∈F类 x 0 ，我们有

Θ(第页)第页( x 0 ,F类 x 0 )≤Θ(第页)第页( x 0 , x 1 )≤第页( x 0 , x 1 )

根据条件（2.1），我们得到

H（H） 第页 (F类 x 0 ,F类 x 1 )≤第页第页( x 0 , x 1 ).

让小时∈(1, 1 第页 )，根据引理2，存在 x 2 ∈F类 x 1 这样的话第页( x 1 , x 2 )≤小时 H（H） 第页 (F类 x 0 ,F类 x 1 ).使用前面的不等式，我们得到

第页( x 1 , x 2 )≤小时 H（H） 第页 (F类 x 0 ,F类 x 1 )≤小时第页第页( x 0 , x 1 ).

现在，我们有了

Θ(第页)第页( x 1 ,F类 x 1 )≤Θ(第页)第页( x 1 , x 2 )≤第页( x 1 , x 2 )

根据条件（2.1），我们得到

H（H） 第页 (F类 x 1 ,F类 x 2 )≤第页第页( x 1 , x 2 ).

根据引理2，存在 x 三 ∈F类 x 2 这样的话

第页( x 2 , x 三 )≤小时 H（H） 第页 (F类 x 1 ,F类 x 2 )≤小时第页第页( x 1 , x 2 )≤ ( 小时 第页 ) 2 第页( x 0 , x 1 ).

继续这样，我们可以生成一个序列{ x n个 }在里面X（X）这样的话 x n个 + 1 ∈F类 x n个 和

第页( x n个 , x n个 + 1 )≤ k个 n个 第页( x 0 , x 1 )
(2.2)

为所有人n个∈N个，其中k个=小时第页<1.

现在，我们展示一下{ x n个 }是一个柯西序列。对部分度量使用（2.2）和三角形不等式( 第页 4 )，对于所有人n个,米∈N个，我们有

第页 ( x n个 , x n个 + 米 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , x n个 + 米 ) − 第页 ( x n个 + 1 , x n个 + 1 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , x n个 + 米 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , x n个 + 2 ) + 第页 ( x n个 + 2 , x n个 + 米 ) − 第页 ( x n个 + 2 , x n个 + 2 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , x n个 + 2 ) + 第页 ( x n个 + 2 , x n个 + 米 ) .

归纳起来，我们有

第页 ( x n个 , x n个 + 米 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , x n个 + 2 ) + ⋯ + 第页 ( x n个 + 米 − 1 , x n个 + 米 ) ≤ k个 n个 第页 ( x 0 , x 1 ) + k个 n个 + 1 第页 ( x 0 , x 1 ) + ⋯ + k个 n个 + 米 − 1 第页 ( x 0 , x 1 ) ≤ ( k个 n个 + k个 n个 + 1 + ⋯ + k个 n个 + 米 − 1 ) 第页 ( x 0 , x 1 ) ≤ k个 n个 1 − k个 第页 ( x 0 , x 1 ) → 0

作为n个→+∞自从0≤k个<1根据的定义 第页 秒 ，我们得到

第页 秒 ( x n个 , x n个 + 米 )≤2第页( x n个 , x n个 + 米 )→0

作为n个→+∞，这意味着{ x n个 }是中的Cauchy序列(X（X）, 第页 秒 )。自(X（X）,第页)由引理1完成相应的度量空间(X（X）, 第页 秒 )也是完整的。因此，序列{ x n个 }收敛到某些u个∈X（X）关于公制 第页 秒 也就是说， 林 n个 → + ∞ 第页 秒 ( x n个 ,u个)=0再一次，根据引理1，我们有

第页(u个,u个)= 林 n个 → + ∞ 第页( x n个 ,u个)= 林 n个 , 米 → + ∞ 第页( x n个 , x 米 )=0.
(2.3)

接下来，我们展示一下

第页(u个,F类x)≤第页第页(u个,x)

为所有人x∈X（X）∖{u个}。自第页( x n个 ,u个)→0作为n个→+∞，存在 n个 0 ∈N个这样的话

第页( x n个 ,u个)≤ 1 三 第页(u个,x)

为所有人n个∈N个具有n个≥ n个 0 .那么我们有

Θ ( 第页 ) 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) ≤ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) ≤ 第页 ( x n个 , u个 ) + 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) − 第页 ( u个 , u个 ) = 第页 ( x n个 , u个 ) + 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) ≤ 2 三 第页 ( u个 , x ) ≤ 第页 ( u个 , x ) − 第页 ( x n个 , u个 ) ≤ 第页 ( x n个 , x )

因此 H（H） 第页 (F类 x n个 ,F类x)≤第页第页( x n个 ,x)。自

第页 ( u个 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 第页 ( x n个 , x ) ,

出租n个→+∞，我们获得

第页(u个,F类x)≤第页第页(u个,x)
(2.4)

为所有人x∈X（X）∖{u个}.

接下来，我们证明

H（H） 第页 (F类x,F类u个)≤第页第页(x,u个)

为所有人x∈X（X）具有x≠u个.面向所有人n个∈N个，我们选择 v（v） n个 ∈F类x这样的话

第页(u个, v（v） n个 )≤第页(u个,F类x)+ 1 n个 第页(x,u个).

然后，使用（2.4）和前面的不等式，我们得到

第页 ( x , F类 x ) ≤ 第页 ( x , v（v） n个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , v（v） n个 ) − 第页 ( u个 , u个 ) = 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , v（v） n个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , F类 x ) + 1 n个 第页 ( x , u个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 第页 ( u个 , x ) + 1 n个 第页 ( x , u个 ) = ( 1 + 第页 + 1 n个 ) 第页 ( x , u个 )

为所有人n个∈N个.作为n个→+∞，我们获得 1 1 + 第页 第页(x,F类x)≤第页(x,u个).根据假设，我们有

H（H） 第页 (F类x,F类u个)≤第页第页(x,u个).

最后，如果，对一些人来说n个∈N个，我们有 x n个 = x n个 + 1 ，然后 x n个 是的固定点F类.假设 x n个 ≠ x n个 + 1 为所有人n个∈N个。这意味着存在无限子集J属于ℕ这样的话 x n个 ≠u个为所有人n个∈J.来自

第页 ( u个 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 第页 ( x n个 , u个 ) ,

出租n个→+∞具有n个∈J，我们得到

第页(u个,F类u个)=0=第页(u个,u个).

根据备注1，我们推断u个∈F类u个因此u个是的固定点F类。这就完成了证明。□

显而易见，Aydi的定理1等。直接遵循定理2。

以下定理是Reich类型的结果[36]以及部分度量空间框架中Kikkawa和Suzuki类型的推广。

定理3 让 (X（X）,第页) 是一个完备的部分度量空间 F类:X（X）→C类 B类 第页 (X（X）) 成为多重身份-满足以下条件的值映射:

θ第页(x,F类x)≤第页(x,年)⟹ H（H） 第页 (F类x,F类年)≤一第页(x,年)+b条第页(x,F类x)+c第页(年,F类年)
(2.5)

为所有人 x,年∈X（X）,非负数 一,b条,c 具有 一+b条+c∈[0,1) 和 θ= 1 − b条 − c 1 + 一 .然后 F类 有一个固定点.

证明让小时∈(1, 1 一 + b条 + c )和 x 0 ∈X（X）随心所欲。让 x 1 ∈T型 x 0 .根据引理2，存在 x 2 ∈F类 x 1 这样的话

第页( x 1 , x 2 )≤小时 H（H） 第页 (F类 x 0 ,F类 x 1 ).

自θ第页( x 0 ,F类 x 0 )≤θ第页( x 0 , x 1 )≤第页( x 0 , x 1 )，我们有

第页 ( x 1 , x 2 ) ≤ 小时 H（H） 第页 ( F类 x 0 , F类 x 1 ) ≤ 小时 ( 一 第页 ( x 0 , x 1 ) + b条 第页 ( x 0 , F类 x 0 ) + c 第页 ( x 1 , F类 x 1 ) ) ≤ 小时 ( 一 + b条 ) 第页 ( x 0 , x 1 ) + 小时 c 第页 ( x 1 , x 2 ) ≤ 小时 ( 一 + b条 ) 1 − 小时 c 第页 ( x 0 , x 1 ) .

以类似的方式继续，我们可以得到一个序列{ x n个 }的连续近似F类，从开始 x 0 ，满足以下条件：

  1. （a）

    x n个 + 1 ∈F类 x n个 为所有人n个∈N个;

  2. （b）

    第页( x n个 , x n个 + 1 )≤ k个 n个 第页( x 0 , x 1 )为所有人n个∈N个,

哪里k个= 小时 ( 一 + b条 ) 1 − 小时 c <1现在，按照定理2的证明进行，我们推导出序列{ x n个 }收敛到某些u个∈X（X）关于公制 第页 秒 也就是说， 林 n个 → + ∞ 第页 秒 ( x n个 ,u个)=0此外，（2.3）由引理2成立。

首先，我们展示

第页(u个,F类x)≤ ( 一 + b条 θ ) 第页(u个,x)+c第页(x,F类x)

为所有人x∈X（X）∖{u个}。自第页( x n个 ,u个)→0作为n个→+∞低于公制第页，存在 n个 0 ∈N个这样的话

第页( x n个 ,u个)≤ 1 三 第页(u个,x)

对于每个n个≥ n个 0 .那么我们有

θ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) ≤ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) ≤ 第页 ( x n个 , u个 ) + 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) − 第页 ( u个 , u个 ) = 第页 ( x n个 , u个 ) + 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) ≤ 2 三 第页 ( u个 , x ) ≤ 第页 ( u个 , x ) − 第页 ( x n个 , u个 ) ≤ 第页 ( x n个 , x ) ,

这意味着

H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 x ) ≤ 一 第页 ( x n个 , x ) + b条 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) + c 第页 ( x , F类 x ) ≤ 一 第页 ( x n个 , x ) + b条 θ 第页 ( x n个 , x ) + c 第页 ( x , F类 x ) = ( 一 + b条 θ ) 第页 ( x n个 , x ) + c 第页 ( x , F类 x )

为所有人n个≥ n个 0 因此，我们有

第页 ( u个 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + ( 一 + b条 θ ) 第页 ( x n个 , x ) + c 第页 ( x , F类 x )

为所有人n个≥ n个 0 .出租n个→+∞，我们得到

第页(u个,F类x)≤ ( 一 + b条 θ ) 第页(u个,x)+c第页(x,F类x)

为所有人x∈X（X）∖{u个}.

接下来，我们展示一下

H（H） 第页 (F类x,F类u个)≤ ( 一 + b条 θ ) 第页(x,u个)+c第页(u个,F类u个)

为所有人x∈X（X）具有x≠u个现在，所有人n个∈N个，存在 年 n个 ∈F类x这样的话

第页(u个, 年 n个 )≤第页(u个,F类x)+ 1 n个 第页(x,u个).

发件人

第页 ( x , F类 x ) ≤ 第页 ( x , 年 n个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , 年 n个 ) − 第页 ( u个 , u个 ) = 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , 年 n个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , F类 x ) + 1 n个 第页 ( x , u个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + ( 一 + b条 θ ) 第页 ( u个 , x ) + c 第页 ( x , F类 x ) + 1 n个 第页 ( x , u个 ) = ( 1 + 一 + b条 θ + 1 n个 ) 第页 ( x , u个 ) + c 第页 ( x , F类 x )

为所有人n个∈N个，因此n个→+∞,

(1−c)第页(x,F类x)≤ ( 1 + 一 + b条 θ ) 第页(x,u个)

等等θ第页(x,F类x)≤第页(x,u个)因此，我们有

H（H） 第页 ( F类 x , F类 u个 ) ≤ 一 第页 ( x , u个 ) + b条 第页 ( x , F类 x ) + c 第页 ( u个 , F类 u个 ) ≤ ( 一 + b条 θ ) 第页 ( x , u个 ) + c 第页 ( u个 , F类 u个 )

为所有人x∈X（X）∖{u个}.

最后，如果，对于一些n个∈N个，我们有 x n个 = x n个 + 1 ，然后 x n个 是的固定点F类.假设 x n个 ≠ x n个 + 1 为所有人n个∈N个。这意味着存在无限子集J属于ℕ这样的话 x n个 ≠u个为所有人n个∈J现在，所有人n个∈J，我们有

第页 ( u个 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + ( 一 + b条 θ ) 第页 ( x n个 , u个 ) + c 第页 ( u个 , F类 u个 ) .

出租n个→+∞具有n个∈J，我们得到

第页(u个,F类u个)=0=第页(u个,u个).

根据备注1，我们推断u个∈F类u个因此u个是的固定点F类。这就完成了证明。□

以下定理是Dhompongsa和Yingtaweesittikul结果的推广[35]部分度量空间的设置。

定理4 让 (X（X）,第页) 是一个完备的部分度量空间 F类:X（X）→C类 B类 第页 (X（X）) 成为多重身份-值映射，以便

θ第页(x,F类x)≤第页(x,年)⟹ H（H） 第页 (F类x,F类年)≤λ ( 第页 ( x , F类 x ) + 第页 ( 年 , F类 年 ) ) +μ第页(x,年)
(2.6)

为所有人 x,年∈X（X）,哪里 θ= 1 2 λ + μ + 1 具有 λ,μ 非负实数和 0≤2λ+μ<1.然后 F类 有一个固定点.

证明让小时∈(1, 1 2 λ + μ )和 x 0 ∈X（X）随心所欲。遵循定理3的相同证明，通过替换θ= 1 − b条 − c 1 + 一 在证明中θ= 1 2 λ + μ + 1 ，我们可以得到一个序列{ x n个 }这样的话

  1. （a）

    x n个 + 1 ∈F类 x n个 为所有人n个∈N个;

  2. （b）

    第页( x n个 , x n个 + 1 )≤ k个 n个 第页( x 0 , x 1 )为所有人n个∈N个,

哪里k个= 小时 ( λ + μ ) 1 − 小时 λ <1.

现在，按照定理2的证明，我们推导出序列{ x n个 }收敛到某些u个∈X（X）关于公制 第页 秒 也就是说， 林 n个 → + ∞ 第页 秒 ( x n个 ,u个)=0。同样，从引理2中，我们有

第页(u个,u个)= 林 n个 → + ∞ 第页( x n个 ,u个)= 林 n个 → + ∞ 第页( x n个 , x 米 )=0.
(2.7)

接下来，我们展示一下

第页(u个,F类x)≤μ第页(u个,x)+λ第页(x,F类x)

为所有人x∈X（X）∖{u个}。自第页( x n个 ,u个)→0作为n个→+∞，存在 n个 0 ∈N个这样的话第页( x n个 ,u个)≤ 1 三 第页(u个,x)为所有人n个≥ n个 0 .我们有

θ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) ≤ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) ≤ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) ≤ 第页 ( x n个 , u个 ) + 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) − 第页 ( u个 , u个 ) = 第页 ( x n个 , u个 ) + 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) ≤ 2 三 第页 ( u个 , x ) ≤ 第页 ( u个 , x ) − 第页 ( x n个 , u个 ) ≤ 第页 ( x n个 , x ) .

现在，使用条件（2.6）和（2.7），我们得到

第页 ( u个 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + λ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) + λ 第页 ( x , F类 x ) + μ 第页 ( x n个 , x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + λ 第页 ( x n个 , x n个 + 1 ) + λ 第页 ( x , F类 x ) + μ 第页 ( x n个 , x )

为所有人n个≥ n个 0 .出租n个→+∞，我们得到

第页(u个,F类x)≤λ第页(x,F类x)+μ第页(u个,x),

根据需要。

接下来，我们展示一下

H（H） 第页 (F类x,F类u个)≤λ第页(x,F类x)+λ第页(u个,F类u个)+μ第页(x,u个)

为所有人x∈X（X）∖{u个}.根据引理2n个∈N个，存在 年 n个 ∈F类x这样的话

第页(u个, 年 n个 )≤第页(u个,F类x)+ 1 n个 第页(u个,x).

显然，我们已经

第页 ( x , F类 x ) ≤ 第页 ( x , 年 n个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , 年 n个 ) − 第页 ( u个 , u个 ) = 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , 年 n个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + 第页 ( u个 , F类 x ) + 1 n个 第页 ( x , u个 ) ≤ 第页 ( x , u个 ) + λ 第页 ( x , F类 x ) + μ 第页 ( u个 , x ) + 1 n个 第页 ( x , u个 ) ≤ ( 1 + μ + 1 n个 ) 第页 ( x , u个 ) + λ 第页 ( x , F类 x )

为所有人n个∈N个因此，作为n个→+∞，我们得到

(1−λ)第页(x,F类x)≤(1+μ)第页(x,u个)

等等Θ第页(x,F类x)≤第页(x,u个)自从Θ≤ 1 − λ 1 + μ 现在，使用条件（2.6），我们得到

H（H） 第页 (F类x,F类u个)≤λ第页(x,F类x)+λ第页(u个,F类u个)+μ第页(x,u个)

为所有人x∈X（X）∖{u个}.

最后，如果，对于一些n个∈N个，我们有 x n个 = x n个 + 1 ，然后 x n个 是的固定点F类.假设 x n个 ≠ x n个 + 1 为所有人n个∈N个。这意味着存在无限子集J属于ℕ这样的话 x n个 ≠u个为所有人n个∈J.来自

第页 ( u个 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + 第页 ( x n个 + 1 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + H（H） 第页 ( F类 x n个 , F类 u个 ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + λ 第页 ( x n个 , F类 x n个 ) + λ 第页 ( u个 , F类 u个 ) + μ 第页 ( x n个 , x ) ≤ 第页 ( u个 , x n个 + 1 ) + λ 1 + μ 1 − λ 第页 ( x n个 , x ) + λ 第页 ( u个 , F类 z（z） ) + μ 第页 ( x n个 , x ) ,

出租n个→+∞具有n个∈J，我们得到

第页(u个,F类u个)=0=第页(u个,u个).

根据备注1，我们推断u个∈F类u个因此u个是的固定点F类。这就完成了证明。□

现在，我们举一个例子来说明定理3。

示例1让X（X）={2,三,4}和第页:X（X）×X（X）→[0,+∞)是上的部分度量X（X）由定义

第页 ( 2 , 2 ) = 第页 ( 三 , 三 ) = 0 , 第页 ( 4 , 4 ) = 9 20 , 第页 ( 2 , 三 ) = 第页 ( 三 , 2 ) = 2 5 , 第页 ( 2 , 4 ) = 第页 ( 4 , 2 ) = 1 2 , 第页 ( 三 , 4 ) = 第页 ( 4 , 三 ) = 9 19 .

让F类:X（X）→C类 B类 第页 (X（X）)由定义

F类x= { { 2 } 如果 x ∈ { 2 , 三 } , { 2 , 三 } 否则 .

很容易看出这一点{2}和{2,三}被封闭在X（X）关于部分度量第页.现在，我们有了

H（H） 第页 ( F类 2 , F类 2 ) = H（H） 第页 ( F类 三 , F类 三 ) = H（H） 第页 ( F类 2 , F类 三 ) = H（H） 第页 ( { 2 } , { 2 } ) = 0 ; H（H） 第页 ( F类 4 , F类 4 ) = H（H） 第页 ( { 2 , 三 } , { 2 , 三 } ) = 0 ; H（H） 第页 ( F类 2 , F类 4 ) = H（H） 第页 ( F类 三 , F类 4 ) = H（H） 第页 ( { 2 } , { 2 , 三 } ) = 2 5 ; 第页 ( 2 , F类 2 ) = 第页 ( 2 , { 2 } ) = 0 ; 第页 ( 三 , F类 三 ) = 第页 ( 三 , { 2 } ) = 2 5 ; 第页 ( 4 , F类 4 ) = 第页 ( 4 , { 2 , 三 } ) = 9 19 .

如果我们选择一= 三 4 ,b条= 1 8 和c= 1 10 ，多值映射F类满足定理3的假设，因此具有不动点。为此，足以证明（2.5）在以下情况下是满足的。

案例1。x=2和年=4.现在，θ第页(2, F类 2 )≤第页(2,4)，其中θ= 31 70 和

H（H） 第页 (F类2,F类4)= 2 5 ≤ 21 50 ≤ 三 4 第页(2,4)+ 1 8 第页(2,F类2)+ 1 10 第页(4,F类4).

案例2。x=三和年=4.现在，θ第页(三,F类三)≤第页(三,4)和

H（H） 第页 (F类三,F类4)= 2 5 ≤ 9 20 ≤ 三 4 第页(三,4)+ 1 8 第页(三,F类三)+ 1 10 第页(4,F类4).

案例3。x=4和年=三.现在，θ第页(4,F类4)≤第页(4,三)和

H（H） 第页 (F类4,F类三)= 2 5 ≤ 9 20 ≤ 三 4 第页(4,三)+ 1 8 第页(4,F类4)+ 1 10 第页(三,F类三).

案例4。x=4和年=2。现在，θ第页(4,F类4)≤第页(4,2)和

H（H） 第页 (F类4,F类2)= 2 5 ≤ 43 100 ≤ 三 4 第页(4,2)+ 1 8 第页(4,F类4)+ 1 10 第页(2,F类2).

从而满足定理3的所有条件。在这里x=2是的固定点F类.

另一方面，公制 第页 秒 由部分度量导出第页由提供

第页 秒 ( 1 , 1 ) = 第页 秒 ( 2 , 2 ) = 第页 秒 ( 三 , 三 ) = 0 , 第页 秒 ( 2 , 三 ) = 第页 秒 ( 三 , 2 ) = 4 5 , 第页 秒 ( 4 , 三 ) = 第页 秒 ( 三 , 4 ) = 189 380 , 第页 秒 ( 4 , 2 ) = 第页 秒 ( 2 , 4 ) = 11 20 .

注意，在普通Hausdorff度量的情况下，给定的映射不满足条件（2.5）。的确，因为x=2和年=4，条件θ 第页 秒 (2,F类2)≤ 第页 秒 (2,4)感到满意。但条件H（H）(F类2,F类4)≤一 第页 秒 (2,4)+b条 第页 秒 (2,F类2)+c 第页 秒 (4,F类4)不满意。

事实上，我们已经

H（H） ( F类 2 , F类 4 ) = H（H） ( { 2 } , { 2 , 三 } ) = 4 5 , 第页 秒 ( 4 , F类 4 ) = 第页 秒 ( 4 , { 2 , 三 } ) = 11 20

和

4 5 ≥ 三 4 ( 11 20 ) + 1 8 (0)+ 1 10 ( 11 20 ) = 187 400 .

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致谢

第二位作者获得巴勒莫大学地方大学项目R.S.（60%）的支持，第三位作者通过教育、科学和技术部资助的韩国国家研究基金会（NRF-2012-0008170）获得基础科学研究计划的支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 巴基斯坦伊斯兰堡查克·沙哈扎德信息技术学院数学系COMSATS，44000

    贾姆沙伊德·艾哈迈德

  2. 意大利巴勒莫Archirafi 34街巴勒莫研究大学信息学院，邮编90123

    克里斯蒂娜·迪巴里

  3. 韩国金州庆生国立大学数学教育与RINS系，660-701

    Yeol Je Cho先生

  4. 巴基斯坦伊斯兰堡国际伊斯兰大学数学系

    穆罕默德·阿萨德

作者
  1. 贾姆沙伊德·艾哈迈德
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  2. 克里斯蒂娜·迪巴里
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  3. Yeol Je Cho先生
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  4. 穆罕默德·阿萨德
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通讯作者

与的通信Yeol Je Cho先生.

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竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者阅读并批准了最终手稿。

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关于本文

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Ahmad，J.、Di Bari，C.、Cho，Y.J.、。等。部分度量空间中多值映射的一些不动点结果。不动点理论应用 2013, 175 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-18112-2013-175

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