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科学与工程不动点理论与算法
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完备度量空间中一类新型压缩映射的不动点

不动点理论及其应用 体积 2012，物品编号：94(2012)引用本文

摘要

在本文中，我们引入了收缩的新概念，并证明了一个不动点定理，该定理以不同于文献中已知结果的方式推广了巴拿赫收缩原理。本文包括一个示例，该示例表明了我们的结果的有效性，此外，还提供了数值数据来说明所提供的示例。

理学硕士：47H10；第54页第50页

1引言

贯穿本文，由ℝ是所有实数的集合，由ℝ+是所有正实数的集合，由ℕ是所有自然数的集合。(X（X），d日), (X（X）简而言之），是一个具有度量的度量空间d日.

在文献中，著名的巴拿赫收缩原理有很多扩展[1]，它表示每个自映射T型定义在完备度量空间上(X（X），d日)令人满意的

∀ x个 ， 年 ∈ X（X） d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ λ d日 ( x个 ， 年 ) ， 其中 λ ∈ ( 0 ， 1 ) ，
(1)

有一个唯一的固定点x个0 ∈ X（X）一个序列{T型n个x个0}n个∈ℕ收敛到不动点。一些扩展通过替换削弱了条件（1）中不等式的右侧λ使用映射，参见例如[2，三]. 在其他结果中，底层空间更一般，参见例如[4–7]. 纳德勒的论文[8]开始了关于集值压缩不动点理论的研究，参见例如[9–20]. 有许多关于渐近压缩的定理，如[21–23]，Meir-Keeler型缩写[24]，参见示例[19，23，25]和微弱收缩，参见例如[26–28]. 还有许多不同类型的不动点定理没有提到以上扩展了巴拿赫的结果。

在本文中，使用映射F类:ℝ+→ℝ我们引入了一种新型的收缩F类-压缩并证明一个新的不动点定理F类-收缩。对于具体映射F类，我们得到了文献中已知的收缩类型，即巴拿赫收缩。本文包括以下示例F类-收缩和一个例子表明得到的扩展是显著的。我们通过计算数据支持的理论考虑说明了F类-收缩。

2结果

定义2.1让F类:ℝ+→ℝ成为满足以下条件的映射：

（一层）F类正在严格增加，即所有α，β ∈ ℝ+这样的话α < β，F类(α)<F(β);

（F2）对于每个序列{α n个 }n个∈ℕ正数limn个→∞α n个 =0当且仅当limn个→∞F类(α n个 ) = -∞;

（F3）存在k个 ∈（0，1）这样limα→0+αk个F类(α) = 0.

地图T型:X（X）→X（X）据说是一个F类-如果存在收缩τ >0，这样

∀ x个 ， 年 ∈ X（X） ( d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) > 0 ⇒ τ + F类 ( d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ) ≤ F类 ( d日 ( x个 ， 年 ) ) ) .
(2)

当我们在（2）中考虑不同类型的映射时F类然后我们得到了各种缩略语，其中一些是文献中已知的类型。请参见以下示例：

例子 2.1让F类:ℝ+→ℝ由公式给出F类(α)=英寸α很明显F类满足（F1）-（F3）（（F3）k个 ∈(0, 1)). 每个映射T型:X（X）→X（X）满足（2）是F类-收缩，从而

d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ e（电子） - τ d日 ( x个 ， 年 ) ， 为所有人 x个 ， 年 ∈ X（X） ， T型 x个 ≠ T型 年 .
(3)

很明显，对于x个，年 ∈ X（X）这样的话Tx（发送）=泰伊不等式d(Tx（发送），泰伊) ≤e（电子）-τd日(x个，年)也适用，即。T型是巴拿赫语的缩写[1].

例子 2.2如果F类(α)=英寸α+α，α >然后是0F类满足（F1）-（F3）且条件（2）的形式为

d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) d日 ( x个 ， 年 ) e（电子） d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) - d日 ( x个 ， 年 ) ≤ e（电子） - τ ， 为所有人 x个 ， 年 ∈ X（X） ， T型 x个 ≠ T型 年 .
(4)

例子 2.3考虑F类 ( α ) =-1/ α ，α> 0.F类满足（F1）-（F3）（（F3k个 ∈(1/2, 1)). 在这种情况下，每个F类-收缩，收缩T型满足

d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 1 ( 1 + τ d日 ( x个 ， 年 ) ) 2 d日 ( x个 ， 年 ) ， 为所有人 x个，年∈X（X），T型x个≠T型年.

这里，我们得到了d型非线性收缩的一个特例(Tx（发送），泰伊) ≤α（d）(x个，年))d日(x个，年). 有关详细信息，请参阅[2，三].

例子 2.4让F类(α)=英寸(α2+α),α >0。显然F类满足（F1）-（F3）和F类-收缩，收缩T型，则以下条件成立：

d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ( d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) + 1 ) d日 ( x个 ， 年 ) ( d日 ( x个 ， 年 ) + 1 ) ≤ e（电子） - τ ， 为所有人 x个，年∈X（X），T型x个≠T型年.

让我们观察一下，在实施例2.1-2.4中，收缩条件满足x个，年 ∈ X（X），因此Tx（发送）=泰伊.

备注2.1从（F1）和（2）可以很容易得出以下结论：F类-收缩T型是一个压缩映射，即。

d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) < d日( x个 ,  年 ), 为所有人 x个 ,  年∈X（X），T型x个≠T型年.

因此F类-收缩是一个连续映射。

备注2.2让F类1，F类2是满足（F1）-（F3）的映射。如果F类1(α) ≤F类2(α)为所有人α >0和映射G公司=F类2-F类1那么每一次都不会减少F类1-收缩，收缩T型是F类2-收缩。

事实上，从备注2.1中我们有G公司（d）(Tx（发送），泰伊)) ≤G公司（d）(x个，年))为所有人x个，年 ∈ X（X），Tx（发送）≠泰伊因此，对于所有人来说x个，年 ∈ X（X），Tx（发送）≠泰伊我们获得

τ + F类 2 ( d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ) = τ + F类 1 ( d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ) + G公司 ( d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ) ≤ F类 1 ( d日 ( x个 ， 年 ) ) + G公司 ( d日 ( x个 ， 年 ) ) = F类 2 ( d日 ( x个 ， 年 ) ) .

现在我们陈述文章的主要结果。

定理2.1 让(X（X），d日)是一个完备的度量空间，让T:X（X）→X是F收缩。那么T有一个唯一的不动点x*∈ X和每X0 ∈ X a序列{T型n个x个0}n个∈ℕ收敛于x*.

证明首先，让我们观察一下T型最多有一个固定点。的确，如果 x个 1 * ， x个 2 * ∈X（X），T型 x个 1 * = x个 1 * ≠ x个 2 * =T型 x个 2 * ，然后我们得到

τ≤F类 ( d日 ( x个 1 * ， x个 2 * ) ) -F类 ( d日 ( T型 x个 1 * ， T型 x个 2 * ) ) =0，

这是一个矛盾。

为了证明这一点T型有一个不动点letx个0 ∈ X（X）任意且固定。我们定义一个序列{x个 n个 }n个∈ℕ⊂ X（X），x个n个+1=Tx（发送） n个 ，n个= 0, 1, .... 表示γ n个 =天(x个n个+1，x个 n个 ),n个= 0, 1, ....

如果存在n个0 ∈ ℕ对于其中 x个 n个 0 + 1 = x个 n个 0 ，然后T型 x个 n个 0 = x个 n个 0 证明就完成了。

假设现在x个n个+1≠x个 n个 ，每n个 ∈ ℕ.然后γ n个 >0代表全部n个 ∈ ℕ并且，使用（2），对于每个n个 ∈ ℕ:

F类 ( γ n个 ) ≤F类 ( γ n个 - 1 ) -τ≤F类 ( γ n个 - 2 ) -2τ≤…≤F类 ( γ 0 ) -n个τ.
(5)

从（5）中，我们得到limn个→∞F类(γ n个 )=-∞，与（F2）一起给出

林 n个 → ∞ γ n个 =0.
(6)

从（F3）存在k个 ∈（0，1）这样

林 n个 → ∞ γ n个 k个 F类 ( γ n个 ) =0.
(7)

根据（5），以下内容适用于所有人n个 ∈ ℕ:

γ n个 k个 F类 ( γ n个 ) - γ n个 k个 F类 ( γ 0 ) ≤ γ n个 k个 ( F类 ( γ 0 ) - n个 τ ) - γ n个 k个 F类 ( γ 0 ) =- γ n个 k个 n个τ≤0.
(8)

出租n个→ ∞ 在（8）中，使用（6）和（7），我们得到

林 n个 → ∞ n个 γ n个 k个 =0.
(9)

现在，让我们从（9）中观察到n个1 ∈ ℕ这样的话n个 γ n个 k个 ≤1为所有人n个≥n个1.因此，我们

γ n个 ≤ 1 n个 1 / k个 ， 为所有人 n个≥ n个 1 .
(10)

为了证明这一点{x个 n个 }n个∈ℕ是Cauchy序列考虑米，n个 ∈ ℕ这样的话m>n≥n个1从度量的定义和（10）中，我们得到

d日 ( x个 米 ， x个 n个 ) ≤ γ 米 - 1 + γ 米 - 2 +·+ γ n个 < ∑ 我 = n个 ∞ γ 我 ≤ ∑ 我 = n个 ∞ 1 我 1 / k个 .

从上面和级数的收敛 ∑ 我 = 1 ∞ 1/ 我 1 k个 我们收到了{x个 n个 }n个∈ℕ是柯西序列。

从完整性X（X）存在x个*∈ X（X）这样limn个→∞x个 n个 =x个*. 最后T型产量

d日 ( T型 x个 * ， x个 * ) = 林 n个 → ∞ d日 ( T型 x个 n个 ， x个 n个 ) = 林 n个 → ∞ d日 ( x个 n个 + 1 ， x个 n个 ) =0，

这就完成了证明。□

请注意，对于映射F类1(α)=英寸(α),α >0,F类2(α)=英寸(α) +α，α >0,F类1小于F2和映射F类2-F类1正在严格增加。因此，通过备注2.2，我们得到了每个Banach收缩（3）满足收缩条件（4）。在例2.5的另一面，我们给出了一个度量空间和一个映射T型哪一个不是F类1-收缩（巴拿赫收缩），但仍然是F类2-收缩。因此，定理2.1给出了通常不等价的收缩族。

例子 2.5考虑一下顺序{S公司 n个 }n个∈ℕ如下所示：

S公司 1 = 1 ， S公司 2 = 1 + 2 ， … S公司 n个 = 1 + 2 + · + n个 = n个 ( n个 + 1 ) 2 ， n个 ∈ ℕ ， …

让X（X）= {S公司 n个 :n个 ∈ ℕ}和d(x个，年) = |x个-年|,x个，年 ∈ X（X）.然后(X（X），d日)是一个完整的度量空间。定义映射T型:X（X）→X（X）根据公式：

T型 ( S公司 n个 ) = S公司 n个 - 1 对于 n个 > 1 ， T型 ( S公司 1 ) = S公司 1 .

首先，让我们考虑映射F类1定义见示例2.1。映射T型不是F类1-这种情况下的收缩（实际上意味着T型不是巴纳赫收缩）。事实上，我们得到

林 n个 → ∞ d日 ( T型 ( S公司 n个 ) ， T型 ( S公司 1 ) ) d日 ( S公司 n个 ， S公司 1 ) = 林 n个 → ∞ S公司 n个 - 1 - 1 S公司 n个 - 1 =1.

在另一边采取F类2如示例2.2所示，我们得到T型是F类2-收缩τ= 1. 为了看到这一点，让我们考虑以下计算：

首先，观察一下

∀ 米 ， n个 ∈ ℕ [ T型 ( S公司 米 ) ≠ T型 ( S公司 n个 ) ⇔ ( ( 米 > 2 ∧ n个 = 1 ) ∨ ( 米 > n个 > 1 ) ) ] .

对于每个米 ∈ ℕ，米>我们有2个

d日 ( T型 ( S公司 米 ) ， T型 ( S公司 1 ) ) d日 ( S公司 米 ， S公司 1 ) e（电子） d日 ( T型 ( S公司 米 ) ， T型 ( S公司 1 ) ) - d日 ( S公司 米 ， S公司 1 ) = S公司 米 - 1 - 1 S公司 米 - 1 e（电子） S公司 米 - 1 - S公司 米 = 米 2 - 米 - 2 米 2 + 米 - 2 e（电子） - 米 < e（电子） - 米 < e（电子） - 1 .

对于每个米，n个 ∈ ℕ，m>n>1以下保持不变

d日 ( T型 ( S公司 米 ) ， T型 ( S公司 n个 ) ) d日 ( S公司 米 ， S公司 n个 ) e（电子） d日 ( T型 ( S公司 米 ) ， T型 ( S公司 n个 ) ) - d日 ( S公司 米 ， S公司 n个 ) = S公司 米 - 1 - S公司 n个 - 1 S公司 米 - S公司 n个 e（电子） S公司 n个 - S公司 n个 - 1 + S公司 米 - 1 - S公司 米 = 米 + n个 - 1 米 + n个 + 1 e（电子） n个 - 米 < e（电子） n个 - 米 ≤ e（电子） - 1 .

很明显S公司1是的固定点T型。要查看确认上述计算的计算数据，请参阅表1.

表1巴拿赫收缩条件与F收缩条件的比较
全尺寸桌子

参考文献

  1. 巴纳赫S：《综合集成与抽象应用》（Sur les opeérations dans les ensemblies abstraits et leur applications auxéqualions integrales）。基金数学1922, 3: 133–181.

    谷歌学者 

  2. Boyd DW，Wong JSW：关于非线性收缩。Proc Am数学Soc1969, 20: 458–464. 10.1090/S0002-9939-1969-0239559-9

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  3. Rakotch E:关于压缩映射的注释。Proc Am数学Soc1962, 13: 459–465. 10.1090/S0002-9939-1962-0148046-1

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  4. ArandjelovićI，Kadelburg Z，RadenovićS:锥度量空间中的Boyd-Wong型公共不动点结果。应用数学计算2011, 217: 7167–7171. 2016年10月10日/j.amc.2011.01.113

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  5. 黄乐光，张X：锥度量空间与压缩映射的不动点定理。数学分析应用杂志2007, 332: 1467–1475.

    第条 谷歌学者 

  6. Kadelburg Z，RadenovićS，RakoćevićV：关于“锥度量空间上的拟压缩”的评论。应用数学Lett2009, 22: 1674–1679. 2016年10月10日/j.aml.2009.06.003

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  7. Tarafdar E:一致空间上不动点定理的一种方法。跨大西洋数学学会1974, 191: 209–225.

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  8. Nadler SB Jr：多值压缩映射。Pac J数学1969, 30: 475–488.

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  9. ch-irićL：多值非线性压缩映射。非线性分析2009, 71: 2716–2723. 10.1016/j.na.2009.01.116

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  10. Feng Y，Liu S:多值压缩映射和多值Caristi型映射的不动点定理。数学分析应用杂志2006年，317:103-112。2016年10月10日/j.jmaa.2005.12.004

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  11. Klim D，Wardowski D：完备度量空间中集值压缩的不动点定理。数学分析应用杂志2007, 334: 132–139. 2016年10月10日/j.jmaa.2006年12月12日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  12. Mizoguchi N，Takahashi W：完备度量空间上多值映射的不动点定理。数学分析应用杂志1989, 141: 177–188. 10.1016/0022-247X（89）90214-X

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  13. Reich S：压缩函数的不动点。Boll Unione Mat意大利1972, 5: 26–42.

    谷歌学者 

  14. Reich S：近似选择、最佳近似、不动点和不变集。数学分析应用杂志1978, 62: 104–113. 10.1016/0022-247X（78）90222-6

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  15. Türkoglu D：Fisher B：一致空间中多值映射的不动点。Proc Indian Acad Sci（数学科学）2003, 113: 183–187. 2007年10月10日/BF02829768

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  16. Wardowski D：锥度量空间中集值压缩的端点和不动点。非线性分析2009, 71: 512–516. 10.1016/j.na.2008.10.089

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  17. Wardowski D：锥度量空间中Nadler型的集值压缩。应用数学Lett2011年，24:275–278。2016年10月10日/j.aml.2010.10.003

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  18. Włodarczyk K，Obczyñski C，Wardowski D:集值动力系统与一致空间中集值弱压缩的随机迭代。数学分析应用杂志2006, 318: 772–780. 2016年10月10日/j.jmaa.2005年5月47日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  19. Włodarczyk K，Plebaniak R，Obczynski C:一致空间中Meir-Keeler型压缩集值动力系统端点的唯一性。非线性分析2007, 67: 3373–3383. 10.1016/j.na.2006.10.019

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  20. Zhong CK，Zhu J，Zhao PH:多值压缩映射和不动点的推广。美国数学学会1999, 128: 2439–2444.

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  21. Jachymski J，Jóźwik I：关于Kirk的渐近收缩。数学分析应用杂志2004, 300: 147–159. 2016年10月10日/j.jmaa.2004年6月37日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  22. Kirk WA：渐近收缩的不动点。数学分析应用杂志2003, 277: 645–650. 10.1016/S0022-247X（02）00612-1

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  23. 铃木T:完备度量空间中Meir-Keeler型渐近压缩的不动点定理。非线性分析2006, 64: 971–978.

    第条 谷歌学者 

  24. Meir A，Keeler E:关于压缩映射的定理。数学分析应用杂志1969, 28: 326–329. 10.1016/0022-247X（69）90031-6

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  25. Agarwal RP，O’Regan D，Shahzad N：Meir-Keeler型广义压缩映射的不动点理论。数学Nachr2004, 276: 3–22. 10.1002/人.200310208

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  26. Abdeljawad T：部分度量空间中广义弱压缩映射的不动点。数学计算建模2011, 54: 2923–2927. 2016年10月10日/j.mcm.2011.07.013

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  27. Abdeljawad T，Karapinar E，TašK:部分度量空间上公共不动点的存在唯一性。应用数学Lett2011年，24:1900–1904年。2016年10月10日/2011年5月21日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  28. Choudhury，Binayak S，Konar P，Rhoades BE，Metiya N:广义弱压缩映射的不动点定理。非线性分析2011, 74: 2116–2126. 10.1016/j.na.2010.11.017

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致谢

作者非常感谢审稿人对手稿的深刻阅读和宝贵评论。这篇文章得到了德国科隆大学的资助，作为对旨在培养年轻科学家的研究活动捐款的一部分。

作者信息

作者和附属机构

  1. 波兰巴纳查大学数学与计算机科学学院非线性分析系22，90-238

    达鲁什·沃多夫斯基

作者
  1. 达鲁什·沃多夫斯基
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完备度量空间中一类新型压缩映射的不动点。不动点理论应用 2012, 94 (2012). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2012-94

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