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科学与工程不动点理论与算法
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广义多值映射的Suzuki型不动点定理及其应用

不动点理论及其应用 体积 2011，物品编号：40(2011)引用这篇文章

摘要

在本文中，我们获得了Chi-irić（Matematićki Vesnik，9(24), 265-272, 1972). 所得结果进一步扩展了最近发展的Kikkawa-Suzuki型收缩。还考虑了动态规划中某些函数方程的应用。

1简介和前言

2008年铃木[1]引入了一类新的映射，它推广了著名的巴拿赫压缩原理[2]。其他一些[三]广义Kannan映射[4].

定理1.1.（Kikkawa和Suzuki[三])设T是完备度量空间上的映射(X（X），d日)然后让 φ 是非增量函数[0, 1)进入之内(1/2，1]由定义

φ 第页 = 1 ， 我 （f） 0 ≤ 第页 ≤ 1 2 ， 1 1 + 第页 ， 我 （f） 1 2 ≤ 第页 < 1 .

让α ∈[0, 1/2）和r=α/(1 -α)∈[0, 1).假设

φ ( 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， 年 ) 我 米 第页 我 我 e（电子） 秒 d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ α d日 ( x个 ， T型 x个 ) + α d日 ( 年 ， T型 年 )
（1）

对于所有x，年 ∈ X。那么，T有一个唯一的不动点z，并且林 n个 T型n个x个=z代表每x ∈ X（X）.

定理1.2.（Kikkawa和Suzuki[三])设T是完备度量空间上的映射(X（X），d日)θ为非递增函数[0, 1)到上面(1/2, 1]由定义

θ ( 第页 ) = 1 我 （f） 0 ≤ 第页 ≤ 1 2 ( 5 - 1 ) ， 1 - 第页 第页 2 我 （f） 1 2 ( 5 - 1 ) ≤ 第页 ≤ 1 2 ， 1 1 + 第页 我 （f） 1 2 ≤ 第页 < 1 .

假设存在r ∈[0, 1)这样的话

θ ( 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， 年 ) 我 米 第页 我 我 e（电子） 秒 d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 第页 最大值 d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， d日 ( 年 ， T型 年 )
（2）

对于所有x，年 ∈ X。那么，T有一个唯一的不动点z，并且林 n个 T型n个x个=z代表每x ∈ X（X）.

另一方面，纳德勒[5]证明了Banach压缩定理的多值推广。

定理1.3.（纳德勒[5])让(X（X），d日)是一个完备的度量空间，设T是从X到CB的映射(X（X）).假设存在r ∈[0, 1)这样的话

H（H） ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 第页 d日 ( x个 ， 年 )

对于所有x，年 ∈ X。那么，存在z ∈ X使z ∈ Tz公司.

许多不动点定理已经被不同的作者证明为Nadler定理的推广（见[6——9]). 广义多值映射的一般不动点定理之一出现在[10].

以下结果是Nadler的概括[5].

定理1.4.（Kikkawa和Suzuki[11])让(X（X），d日)是一个完备的度量空间，设T是从X到CB的映射(X（X）)定义严格递减函数η[0, 1)到上面(1/2, 1]通过

η ( 第页 ) = 1 1 + 第页

假设存在r ∈[0, 1)这样的话

η ( 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， 年 ) 我 米 第页 我 我 e（电子） 秒 H（H） ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 第页 d日 ( x个 ， 年 )

对于所有x，年 ∈ X。然后，存在z ∈ X使z ∈ Tz公司.

本文获得了一个Kikkawa-Suzuki型广义多值映射不动点定理[10]。本文的结果补充和推广了以前关于多值压缩的一些定理。此外，利用我们的结果，我们证明了动态规划中出现的一类函数方程解的存在唯一性。

2主要成果

让(X（X），d日)是度量空间。我们表示为CB（断路器）(X（X）)所有非空、闭、有界子集的族X（X）.让H（H）（·，·）是Hausdorff度量，即，

H（H） ( 一个 ， B类 ) = 最大值 { 啜饮 一 ∈ 一个 d日 ( 一 ， B类 ) ， 啜饮 b条 ∈ B类 d日 ( 一个 ， b条 ) }

对于一个，B类 ∈ CB（断路器）(X（X）)，其中d日(x个，B类)=基础设施 年 ∈ B类 d日(x个，年).

现在，我们将证明我们的主要结果。

定理2.1.定义非递增函数 φ 从[0, 1)进入之内(0, 1]通过

φ 第页 = 1 ， 我 （f） 0 ≤ 第页 < 1 2 ， 1 - 第页 ， 我 （f） 1 2 ≤ 第页 < 1 .

让(X（X），d日)是一个完备的度量空间，T是从X到CB的映射(X（X）).假设存在r ∈[0, 1)这样φ(第页)d日(x个，发送) ≤d日(x个，年)暗示

H（H） ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 第页 · 最大值 d日 ( x个 ， 年 ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， d日 ( 年 ， T型 年 ) ， d日 ( x个 ， T型 年 ) + d日 ( 年 ， T型 x个 ) 2
(3)

对于所有x，年 ∈ X（X）.那么，存在z ∈ X使z ∈ Tz公司.

证明.

  1. 1

    让第页 1是一个0≤的实数r<r 1 <1，和u个 1 ∈ X（X）和u个 2∈图 1随心所欲。自u个 2∈图 1，然后d日(u个 2，图 2) ≤H（H）(图 1，图 2)和，作为φ(第页)<1,

    φ ( 第页 ) d日 ( u个 1 ， T型 u个 1 ) ≤ d日 ( u个 1 ， T型 u个 1 ) ≤ d日 ( u个 1 ， u个 2 ) .

因此，根据假设（3），我们有

d日 ( u个 2 ， T型 u个 2 ) ≤ H（H） ( T型 u个 1 ， T型 u个 2 ) (1)  ≤ 第页 · 最大值 d日 ( u个 1 ， u个 2 ) ， d日 ( u个 1 ， T型 u个 1 ) ， d日 ( u个 2 ， T型 u个 2 ) ， d日 ( u个 1 ， T型 u个 2 ) + 0 2 (2)  ≤ 第页 · 最大值 d日 ( u个 1 ， u个 2 ) ， d日 ( u个 2 ， T型 u个 2 ) ， d日 ( u个 1 ， u个 2 ) + d日 ( u个 2 ， T型 u个 2 ) 2 . (3)  (4) 

因此，作为第页<1，我们有d日(u个2，图2) ≤第个(u个1，u个2). 因此，存在u个三 ∈ 图2这样的话d日(u个2，u个三) ≤第页1d日(u个1，u个2). 因此，我们可以构造这样的序列{u个 n个 }英寸X（X）那个

u个 n个 + 1 ∈ T型 u个 n个 和 d日 ( u个 n个 + 1 ， u个 n个 + 2 ) ≤ 第页 1 d日 ( u个 n个 ， u个 n个 + 1 ) .

那么，我们有

∑ n个 = 1 ∞ d日 ( u个 n个 ， u个 n个 + 1 ) ≤ ∑ n个 = 1 ∞ 第页 1 n个 - 1 d日 ( u个 1 ， u个 2 ) < ∞ .

因此，我们得出结论：{u个 n个 }是一个柯西序列。自X（X）是完整的，这是有意义的z（z） ∈ X（X）这样的话

林 n个 → ∞ u个 n个 = z（z） .
  1. 2

    现在，我们将展示

    d日 ( z（z） ， T型 x个 ) ≤ 第页 · 最大值 { d日 z（z） ， x个 ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) } 对于 全部的 x个 ∈ X（X） \ { z（z） } .
    (4)

自u个 n个 →z（z），存在n个0 ∈ N个这样的话d日(z（z），u个 n个 ) ≤ (1/3）d日(z（z），x个)为所有人n个≥n个0。那么，我们有

φ 第页 d日 ( u个 n个 ， T型 u个 n个 ) ≤ d日 ( u个 n个 ， T型 u个 n个 ) （1） ≤ d日 ( u个 n个 ， u个 n个 + 1 ) （2） ≤ d日 ( u个 n个 ， z（z） ) + d日 ( u个 n个 + 1 ， z（z） ) (3) ≤ 2 三 d日 ( x个 ， z（z） ) . (4) (5)

因此，

φ 第页 d日 ( u个 n个 ， T型 u个 n个 ) ≤ 2 三 d日 ( x个 ， z（z） ) .
(5)

自

2 三 d日 ( x个 ， z（z） ) = d日 ( x个 ， z（z） ) - 1 三 d日 ( x个 ， z（z） ) （1） ≤ d日 ( x个 ， z（z） ) - d日 ( u个 n个 ， z（z） ) （2） ≤ d日 ( u个 n个 ， x个 ) ， (3) (4)

从（5）开始，我们有φ(第页)d日(u个 n个 ，图 n个 )≤d日(u个 n个 ，x个). 然后，从（3）开始，

H（H） ( T型 u个 n个 ， T型 x个 ) ≤ 第页 · 最大值 d日 ( u个 n个 ， x个 ) ， d日 ( u个 n个 ， T型 u个 n个 ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， （1） d日 ( u个 n个 ， T型 x个 ) + d日 ( x个 ， T型 u个 n个 ) 2 . （2） (3)
(6)

自u个 n个 +1 ∈ 图 n个 ，然后

d日 ( u个 n个 + 1 ， T型 x个 ) ≤ H（H） ( T型 u个 n个 ， T型 x个 ) 和 d日 ( u个 n个 ， T型 u个 n个 ) ≤ d日 ( u个 n个 ， u个 n个 + 1 ) .

因此，从（6）中，我们得到

d日 ( u个 n个 + 1 ， T型 x个 ) ≤ 第页 · 最大值 d日 ( u个 n个 ， x个 ) ， d日 ( u个 n个 ， u个 n个 + 1 ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， d日 ( u个 n个 ， T型 x个 ) + d日 ( x个 ， u个 n个 + 1 ) 2

为所有人n个 ∈ N个具有n个≥n个0.出租n个趋向于∞，我们得到（4）。

  1. 三。

    现在，我们来展示一下z（z） ∈ Tz公司.

3.1. 首先，我们考虑这个案例0≤第页< 1 2 相反，假设z（z） ∉ Tz公司.让一 ∈ Tz公司是这样的2第个(一，z（z）)<天(z（z），Tz公司). 自一 ∈ Tz公司暗示一≠z（z），然后从（4）开始

d日 ( z（z） ， T型 一 ) ≤ 第页 最大值 { d日 ( z（z） ， 一 ) ， d日 ( 一 ， T型 一 ) } .

另一方面，因为φ(第页)d日(z（z），Tz公司) ≤d日(z（z），Tz公司) ≤d日(z（z），一)，然后从（3）开始

H（H） ( T型 z（z） ， T型 一 ) ≤ 第页 · 最大值 d日 ( z（z） ， 一 ) ， d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) ， d日 ( 一 ， T型 一 ) ， d日 ( z（z） ， T型 一 ) + 0 2 （1） ≤ 第页 最大值 d日 ( z（z） ， 一 ) ， d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) ， d日 ( 一 ， T型 一 ) （2） ≤ 第页 最大值 d日 ( z（z） ， 一 ) ， d日 ( 一 ， T型 一 ) . (3) (4)

因此，

d日 ( 一 ， T型 一 ) ≤ H（H） ( T型 z（z） ， T型 一 ) ≤ 第页 最大值 d日 ( z（z） ， 一 ) ， d日 ( 一 ， T型 一 ) .

因此，d日(一，助教) ≤第个(z（z），一)<天(z（z），一)，从（7）开始，我们有d日(z（z），助教) ≤第个(z（z），一). 因此，我们获得

d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) ≤ d日 ( z（z） ， T型 一 ) + H（H） ( T型 一 ， T型 z（z） ) （1） ≤ d日 ( z（z） ， T型 一 ) + 第页 最大值 d日 ( z（z） ， 一 ) ， d日 ( 一 ， T型 一 ) （2） ≤ 2 第页 d日 ( z（z） ， 一 ) (3) < d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) . (4) (5)

这是一个矛盾。因此，我们z（z） ∈ Tz公司.

3.2. 现在，我们考虑一下这个案例 1 2 ≤第页<1.我们将首先证明

H（H） ( T型 x个 ， T型 z（z） ) ≤ 第页 最大值 d日 ( x个 ， z（z） ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) ， d日 ( ， T型 x个 ) + d日 ( z（z） ， T型 x个 ) 2
(8)

为所有人x个 ∈ X（X）.如果x个=z（z）然后前面的明显成立。因此，让我们假设x个≠z（z）然后，对于每个n个 ∈ N个，存在一个序列年 n个 ∈ 发送这样的话d日(z（z），年 n个 )≤d日(z（z），发送) + (1/n个)d日(x个，z（z）). 使用（4），我们为所有人n个 ∈ N个

d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， 年 n个 ) （1） ≤ d日 ( x个 ， z（z） ) + d日 ( z（z） ， 年 n个 ) （2） ≤ d日 ( x个 ， z（z） ) + d日 ( z（z） ， T型 x个 ) + 1 n个 d日 ( x个 ， z（z） ) (3) ≤ d日 ( x个 ， z（z） ) + 第页 最大值 { d日 ( x个 ， z（z） ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) } + 1 n个 d日 ( x个 ， z（z） ) . (4) (5)

如果d日(x个，z（z）) ≥d日(x个，发送)，然后

d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， z（z） ) + 第页 d日 ( x个 ， z（z） ) + 1 n个 d日 ( x个 ， z（z） ) = 1 + 第页 + 1 n个 d日 ( x个 ， z（z） ) .

出租n个趋向∞，我们有d日(x个，发送) ≤ (第页+ 1)d日(x个，z（z）). 因此，

φ ( 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) = ( 1 - 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ 1 第页 + 1 d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， z（z） )

从（3）开始，我们有（8）。

如果d日(x个，z（z）)<天(x个，发送)，然后

d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， z（z） ) + 第页 d日 ( x个 ， T型 x个 ) + 1 n个 d日 ( x个 ， z（z） )

因此，

( 1 - 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ 1 + 1 n个 d日 ( x个 ， z（z） ) .

出租n个趋向∞，我们有φ(第页)d日(x个，T型) ≤d日(x个，z（z）)因此，从（3）开始，我们又有（8）。

最后，从（8）中，我们得到

d日 z（z） ， T型 z（z） = 林 n个 → ∞ d日 ( u个 n个 + 1 ， T型 z（z） ) （1） ≤ 林 n个 → ∞ 第页 最大值 d日 ( u个 n个 ， z（z） ) ， d日 ( u个 n个 ， T型 u个 n个 ) ， d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) ， d日 ( u个 n个 ， T型 z（z） ) + d日 ( z（z） ， T型 u个 n个 ) 2 （2） ≤ 林 n个 → ∞ 第页 最大值 d日 ( u个 n个 ， z（z） ) ， d日 ( u个 n个 ， u个 n个 + 1 ) ， d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) ， d日 ( u个 n个 ， T型 z（z） ) + d日 ( z（z） ， u个 n个 + 1 ) 2 (3) = 第页 d日 ( z（z） ， T型 z（z） ) . (4) (5) 

因此，作为第页<1，我们得到d日(z（z），Tz公司) = 0. 自Tz公司已关闭，z（z） ∈ Tz公司.

因此，我们已经表明z（z） ∈ Tz公司在所有情况下，这就完成了证明。□

备注。定理2.1为中提出的问题1提供了答案[12].

推论2.1.让(X（X），d日)是一个完备的度量空间，T是从X到CB的映射(X（X）).

假设存在r ∈[0, 1)使得φ(第页)d日(x个，发送) ≤d日(x个，年)暗示

H（H） ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 第页 最大值 d日 ( x个 ， 年 ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， d日 ( 年 ， T型 年 )
(9)

对于所有x，年 ∈ X（X），其中函数 φ 定义见定理2.1。那么，存在z ∈ X使z ∈ Tz公司.

证明它来自定理2.1，因为（9）暗示（3）。□

推论2.1是Kikkawa和Suzuki定理2.2的多值映射推广[三]因此，Kannan不动点定理[4]对于广义Kannan映射。此外，它是Damjanović和Đorić定理2.1的推广[13].

从推论2.1中，我们得到了另一个推论：

推论2.2.让(十、 d日)是一个完备的度量空间，T是从X到CB的映射(X（X）).

让α ∈[0, 1/3）和r= 3α.假设存在r ∈[0, 1)这样的话

φ ( 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， 年 ) 我 米 第页 我 我 e（电子） 秒 H（H） ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ α d日 ( x个 ， 年 ) + α d日 ( x个 ， T型 x个 ) + α d日 ( 年 ， T型 年 )

对于所有x，年 ∈ 十、 其中函数 φ 定义见定理2.1。那么，存在z ∈ X使z ∈ Tz公司.

考虑到T型作为单值映射，我们得到了以下结果：

推论2.3.让(X（X），d日)是一个完全度量空间，T是从X到X的映射.假设存在r ∈[0, 1)这样的话

φ ( 第页 ) d日 ( x个 ， T型 x个 ) ≤ d日 ( x个 ， 年 )

暗示

d日 ( T型 x个 ， T型 年 ) ≤ 第页 · 最大值 d日 ( x个 ， 年 ) ， d日 ( x个 ， T型 x个 ) ， d日 ( 年 ， T型 年 ) ， d日 ( x个 ， T型 年 ) + d日 ( 年 ， T型 x个 ) 2

对于所有x，年 ∈ 十、 其中函数 φ 如定理2.1所定义。那么，存在z ∈ X使z=Tz公司.

推论2.3是推广的不动点定理[4]。推论2.3也是Enjouji等人定理3.1的推广[14]，因为通过对称性[14]暗示了定理1.1中的不等式（1）。考虑定理1.2的推广，Popescu[15]用不同的函数得到了相同的结果φ.

3申请

利用各种不动点定理（参见[12，16，17]以及其中的参考）。在本文中，我们将使用推论2.3证明一类函数方程解的存在唯一性。

在本节中，我们假设U型和V（V）是Banach空间，W公司 ⊂ U型，D类 ⊂ V（V）和ℝ是实数字段。让B类(W公司)表示上所有有界实值函数的集合W公司众所周知B类(W公司)被赋予了度量标准

d日 B类 ( 小时 ， k个 ) = 啜饮 x个 ∈ W公司 | 小时 ( x个 ) - k个 ( x个 ) | ， 小时 ， k个 ∈ B类 ( W公司 )
(10)

是一个完整的度量空间。

据贝尔曼和李介绍[18]，动态规划函数方程的基本形式如下

第页 ( x个 ) = 啜饮 年 H（H） ( x个 ， 年 ， 第页 ( τ ( x个 ， 年 ) ) ) ，

哪里x个和年分别表示状态向量和决策向量，τ:W公司×D类→W公司表示流程的转换第页(x个)表示具有初始状态的最优回归函数x个在本节中，我们将研究以下函数方程解的存在性和唯一性：

第页 ( x个 ) = 啜饮 年 [ 克 ( x个 ， 年 ) + G公司 ( x个 ， 年 ， 第页 ( τ ( x个 ， 年 ) ) ) ， x个 ∈ W公司
(11)

哪里克:W公司×D类→ℝ和G公司:W公司×D类→ℝ→ℝ是有界函数。

让一个函数φ定义见定理2.1和映射T型由定义

T型 ( 小时 ( x个 ) ) = 啜饮 年 ∈ D类 { 克 ( x个 ， 年 ) + G公司 ( x个 ， 年 ， 小时 ( τ ( x个 ， 年 ) ) } ， 小时 ∈ B类 ( W公司 ) ， x个 ∈ W公司 .
(12)

定理3.1.假设存在r ∈[0, 1)这样，对于每一个(x个，年)∈ W公司×D、 小时，k个 ∈ B类(W公司)和t ∈ W、 不平等

φ ( 第页 ) d日 B类 ( T型 ( 小时 ) ， 小时 ) ≤ d日 B类 ( 小时 ， k个 )
(13)

暗示

| G公司 ( x个 ， 年 ， 小时 ( t吨 ) ) - G公司 ( x个 ， 年 ， k个 ( t吨 ) ) | ≤ 第页 · M（M） ( 小时 ( t吨 ) ， k个 ( t吨 ) ) ，

哪里

M（M） ( 小时 ( t吨 ) ， k个 ( t吨 ) ) = 最大值 | 小时 ( t吨 ) - k个 ( t吨 ) | ， | 小时 ( t吨 ) - T型 ( 小时 ( t吨 ) ) | ， | k个 ( t吨 ) - T型 ( k个 ( t吨 ) ) | ， （1） | 小时 ( t吨 ) - T型 ( k个 ( t吨 ) ) | + | k个 ( t吨 ) - T型 ( 小时 ( t吨 ) ) | 2 . （2） (3)

然后，函数方程(11)在B中有唯一的有界解(W公司).

证明。请注意T型是的自映射B类(W公司)还有那个(B类(W公司),d日 B类 )是一个完整的度量空间，其中d日 B类 是由（10）定义的度量。让λ是任意正实数，并且小时1，小时2 ∈ B类(W公司). 对于x个 ∈ W公司，我们选择年1，年2 ∈ D类以便

T型 ( 小时 1 ( x个 ) ) < 克 ( x个 ， 年 1 ) + G公司 ( x个 ， 年 1 ， 小时 1 ( τ 1 ) ) + λ ，
(14)
T型 ( 小时 2 ( x个 ) ) < 克 ( x个 ， 年 2 ) + G公司 ( x个 ， 年 2 ， 小时 2 ( τ 2 ) ) + λ ，
(15)

哪里τ1=τ(x个，年1)和τ2=τ(x个，年2).

从映射的定义T型和方程式(12)，我们有

T型 ( 小时 1 ( x个 ) ) ≥ 克 ( x个 ， 年 2 ) + G公司 ( x个 ， 年 2 ， 小时 1 ( τ 2 ) ) ，
(16)
T型 ( 小时 2 ( x个 ) ) ≥ 克 ( x个 ， 年 1 ) + G公司 ( x个 ， 年 1 ， 小时 2 ( τ 1 ) ) .
(17)

如果不等式（13）成立，那么从（14）和（17）可以得到

T型 ( 小时 1 ( x个 ) ) - T型 ( 小时 2 ( x个 ) ) < G公司 ( x个 ， 年 1 ， 小时 1 ( τ 1 ) ) - G公司 ( x个 ， 年 1 ， 小时 2 ( τ 1 ) ) + λ （1） ≤ | G公司 ( x个 ， 年 1 ， 小时 1 ( τ 1 ) ) - G公司 ( x个 ， 年 1 ， 小时 2 ( τ 1 ) ) | + λ （2） ≤ 第页 · M（M） ( 小时 1 ( x个 ) ， 小时 2 ( x个 ) ) + λ . (3) (4)
(18)

类似地，（15）和（16）暗示

T型 ( 小时 2 ( x个 ) ) - T型 ( 小时 1 ( x个 ) ) ≤ 第页 · M（M） ( 小时 1 ( x个 ) ， 小时 2 ( x个 ) ) + λ .
（19）

因此，从（18）和（19），我们有

| T型 ( 小时 1 ( x个 ) ) - T型 ( 小时 2 ( x个 ) ) | ≤ 第页 · M（M） ( 小时 1 ( x个 ) ， 小时 2 ( x个 ) ) + λ .
（20）

由于不等式（20）适用于任何情况x个 ∈ W公司而且武断λ >0，然后

φ ( 第页 ) d日 B类 ( T型 ( 小时 1 ) ， 小时 1 ) ≤ d日 B类 ( 小时 1 ， 小时 2 )

暗示

d日 B类 ( T型 ( 小时 1 ) ， T型 ( 小时 2 ) ) ≤ 第页 · 最大值 d日 B类 ( 小时 1 ， 小时 2 ) ， d日 B类 ( 小时 1 ， T型 ( 小时 1 ) ) ， d日 B类 ( 小时 2 ， T型 ( 小时 2 ) ) ， （1） d日 B类 ( 小时 1 ， T型 ( 小时 2 ) ) + d日 B类 ( 小时 2 ， T型 ( 小时 1 ) ) 2 . （2） (3)

因此，映射满足推论2.3的所有条件T型，因此函数方程(11)具有唯一的有界解。□

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作者信息

作者和附属机构

  1. 贝尔格莱德大学组织科学学院数学系，11000，Beograd，Jove Ilića，154，塞尔维亚

    DraganĐorić和Rade Lazović

作者
  1. 德拉甘·德约里奇
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  2. 雷德·拉佐维奇
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通讯作者

与的通信DraganĐorić.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

两位作者公平地贡献了案文草案和主要成果部分。DĐ贡献了应用程序部分。两位作者都阅读并批准了最终的手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Đorić，D.，Lazović，R.广义多值映射的一些Suzuki型不动点定理及其应用。不动点理论应用 2011, 40 (2011). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2011-40

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