G-β-ψ contractive-type mappings and related fixed point theorems

Alghamdi, Maryam A; Karapınar, Erdal

doi:10.1186/1029-242X-2013-70

研究
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发布时间：2013年2月27日

G公司-β-ψ压缩型映射及其不动点定理

不等式与应用杂志 体积 2013，物品编号：70(2013)引用这篇文章

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27引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们引入了广义G公司-β-ψ受概念启发的压缩映射α-ψ压缩映射。我们证明了这种映射在完备集上不动点的存在唯一性G公司-公制空间。本文的主要结果扩展、推广和改进了文献中关于该主题的一些著名结果。我们举例说明我们的结果。我们还考虑了一些应用，以证明我们结果的有效性。

1简介和前言

在非线性泛函分析中，不动点理论作为一个有趣的研究领域，其重要性迅速增加。这种发展的最重要原因之一是不动点理论不仅在应用数学和纯数学的各个分支中，而且在化学、生物、物理、经济学、计算机科学、工程等许多其他学科中的应用潜力等我们还强调了巴纳赫著名成果的关键作用[1]在这个理论的发展中，被称为巴拿赫压缩映射原理或巴拿赫不动点定理。1922年，巴纳赫证明了完备度量空间中的每一个收缩都有一个唯一的不动点。在这篇引人注目的论文之后，许多作者在不同的抽象空间中以不同的方式扩展/推广/改进了Banach压缩映射原理（参见，例如[2——22]). Samet给出了这方面的一个有趣的最新结果等。[23]。他们定义了α-ψ压缩映射并证明了包括Banach不动点定理在内的一些著名不动点结果转化为其结果的推论。2004年穆斯塔法和西姆斯给出了另一个有趣的结果[24]通过引入a的概念G公司-度量空间是度量空间概念的推广。作者在一个G公司-公制空间。在这个结果之后，许多作者关注了这个空间，并证明了不动点在G公司-公制空间（请参见，例如[11，17——20，24——48]). 在本文中，我们通过引入G公司-β-ψ压缩映射是一个特征α-ψ上下文中的压缩映射G公司-公制空间。我们的主要结果推广、推广和改进了文献中关于该主题的现有结果。

设Ψ是函数族 $ψ : [0 ， \infty) \to [0 ， \infty)$ 满足以下条件：

（i）
ψ不会减少；
（ii）
存在 ${k个}_{0} \in N个$ 和 $一 \in (0 ， 1)$ 和一系列收敛的非负项 $\sum_{k个 = 1}^{\infty} {v（v）}_{k个}$ 这样的话
$ψ^{k个 + 1} (t吨) \leq 一 ψ^{k个} (t吨) + {v（v）}_{k个}$

对于 $k个 \geq {k个}_{0}$ 以及任何 $t吨 \in {R（右）}^{+}$ ，其中 ${R（右）}^{+} = [0 ， \infty)$ .

在一些资料中，这些函数被称为Bianchini-Grandolfi规范函数（参见，例如[21，22，49])和作为 $(c（c）)$ -一些其他来源中的比较函数（参见，例如[50]).

引理1（请参见[50])

如果 $ψ \in Ψ$ ，然后保持以下状态:

（i）
${(ψ^{n个} (t吨))}_{n个 \in N个}$ 收敛到0作为 $n个 \to \infty$ 为所有人 $t吨 \in {R（右）}^{+}$ ;
（ii）
$ψ (t吨) < t吨$ 对于任何 $t吨 \in {R（右）}^{+}$ ;
（iii）
ψ 持续时间为0;
（iv）
系列 $\sum_{k个 = 1}^{\infty} ψ^{k个} (t吨)$ 收敛于任何 $t吨 \in {R（右）}^{+}$ .

最近，卡拉普纳尔和萨米特[32]介绍了以下概念。

定义2让 $(X（X）， d日)$ 是一个度量空间，并且 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一个给定的映射。我们这么说T型是广义的α-ψ存在两个函数时的压缩映射 $α : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 和 $ψ \in Ψ$ 这样的话

α (x个 ， 年) d日 (T型 x个 ， T型 年) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年))

为所有人 $x个，年 \in X（X）$ ，其中

M（M） (x个 ， 年) = 最大值 {d日 (x个 ， 年) ， (d日 (x个 ， T型 x个) + d日 (年 ， T型 年)) / 2 ， (d日 (x个 ， T型 年) + d日 (年 ， T型 x个)) / 2} .

显然，因为ψ每一次都不会减少α-ψ收缩映射，显示在[23]，是广义的α-ψ收缩映射。

定义3让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 和 $α : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 我们这么说T型是α-如果所有人都可以接受 $x个，年 \in X（X）$ ，我们有

α (x个 ， 年) \geq 1 ⟹ α (T型 x个 ， T型 年) \geq 1 .

此类映射的各种示例在[23]。主要结果如下[32]以下是不动点定理。

定理4 让 $(X（X）， d日)$ 是一个完整的度量空间，并且 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是广义的 α-ψ 收缩映射.假设

（i）
T型是 α-可接受的;
（ii）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
（iii）
T型 是连续的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

定理5 让 $(X（X）， d日)$ 是一个完整的度量空间，并且 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是广义的 α-ψ 收缩映射.假设

（i）
T型是 α-可接受的;
（ii）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 X（X） 这样的话 $α ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 n个和 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to \infty$ ，然后 $α ({x个}_{n个} ， x个) \geq 1$ 为所有人 n个.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

定理6 增加定理的假设4 (resp（响应）.定理5)条件:对于所有人 $x个，年 \in 修复 (T型)$ ，存在 $z（z） \in X（X）$ 这样的话 $α (x个， z（z）) \geq 1$ 和 $α (年， z（z）) \geq 1$ ，我们得到了不动点的唯一性 T型.

穆斯塔法和西姆斯[24]引入了G公司-度量空间如下。

定义7[24]

让X（X）是一个非空集合并且 $G公司 : X（X） \times X（X） \times X（X） \to {R（右）}^{+}$ 是满足以下属性的函数：

（G1） $G公司 (x个，年， z（z）) = 0$ 如果 $x个 = 年 = z（z）$ ;

（G2） $0 < G公司 (x个， x个，年)$ 为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 具有 $x个 \neq 年$ ;

（G3） $G公司 (x个， x个，年) \leq G公司 (x个，年， z（z）)$ 为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ 具有 $年 \neq z（z）$ ;

（G4） $G公司 (x个，年， z（z）) = G公司 (x个， z（z），年) = G公司 (年， z（z）， x个) = \dots$ （三个变量对称）；

（G5） $G公司 (x个，年， z（z）) \leq G公司 (x个，一，一) + G公司 (一，年， z（z）)$ 为所有人 $x个，年， z（z），一 \in X（X）$ （矩形不等式）。

然后是函数G公司称为广义度量，或者更具体地说，称为G公司-上的公制X（X）和这对 $(X（X）， G公司)$ 称为G公司-公制空间。

每G公司-上的公制X（X）定义指标 ${d日}_{G公司}$ 在X（X）通过

{d日}_{G公司} (x个 ， 年) = G公司 (x个 ， 年 ， 年) + G公司 (年 ， x个 ， x个) 为所有人 x个 ， 年 \in X（X） .

例8让 $(X（X）， d日)$ 是一个度量空间。功能 $G公司 : X（X） \times X（X） \times X（X） \to {R（右）}^{+}$ ，定义为

G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) = 最大值 {d日 (x个 ， 年) ， d日 (年 ， z（z）) ， d日 (z（z） ， x个)}

或

G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) = d日 (x个 ， 年) + d日 (年 ， z（z）) + d日 (z（z） ， x个)

为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ ，是一个G公司-上的公制X（X）.

定义9[24]

让 $(X（X）， G公司)$ 成为G公司-公制空间，并让 ${{x个}_{n个}}$ 是一系列的点X（X）我们这么说 ${{x个}_{n个}}$ 是G公司-收敛于 $x个 \in X（X）$ 如果

\underset{n个 ， 米 \to \infty}{林} G公司 (x个 ， {x个}_{n个} ， {x个}_{米}) = 0 ，

也就是说，对任何人来说 $ε > 0$ ，存在 $N个 \in N个$ 这样的话 $G公司 (x个， {x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < ε$ 为所有人 $n个，米 \geq N个$ 。我们打电话给x个序列和写入的极限 ${x个}_{n个} \to x个$ 或 $林_{n个 \to \infty} {x个}_{n个} = x个$ .

10号提案[24]

让 $(X（X）， G公司)$ 成为 G公司-度量空间.以下是等效的:

（1）
${{x个}_{n个}}$ 是 G公司-收敛于 x个;
（2）
$G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个} ， x个) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ;
(3)
$G公司 ({x个}_{n个} ， x个， x个) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ;
(4)
$G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{米} ， x个) \to 0$ 作为 $n个，米 \to \infty$ .

定义11[24]

让 $(X（X）， G公司)$ 成为G公司-公制空间。A序列 ${{x个}_{n个}}$ 称为G公司-柯西序列（如果有） $ε > 0$ ，有 $N个 \in N个$ 这样的话 $G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{米} ， {x个}_{我}) < ε$ 为所有人 $n个，米，我 \geq N个$ 也就是说， $G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{米} ， {x个}_{我}) \to 0$ 作为 $n个，米，我 \to \infty$ .

提议12[24]

让 $(X（X）， G公司)$ 成为 G公司-度量空间.那么以下是等效的:

（1）
顺序 ${{x个}_{n个}}$ 是 G公司-柯西;
（2）
对于任何 $ε > 0$ ，存在 $N个 \in N个$ 这样的话 $G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{米} ， {x个}_{米}) < ε$ 为所有人 $n个，米 \geq N个$ .

定义13[24]

一个G公司-度量空间 $(X（X）， G公司)$ 被称为G公司-如果每G公司-柯西序列为G公司-收敛于 $(X（X）， G公司)$ .

引理14[24]

让 $(X（X）， G公司)$ 成为 G公司-度量空间.然后，对于任何 $x个，年， z（z），一 \in X（X）$ ，由此可见

（i）
如果 $G公司 (x个，年， z（z）) = 0$ ，然后 $x个 = 年 = z（z）$ ;
（ii）
$G公司 (x个，年， z（z）) \leq G公司 (x个， x个，年) + G公司 (x个， x个， z（z）)$ ;
（iii）
$G公司 (x个，年，年) \leq 2 G公司 (年， x个， x个)$ ;
（iv）
$G公司 (x个，年， z（z）) \leq G公司 (x个，一， z（z）) + G公司 (一，年， z（z）)$ ;
（v）
$G公司 (x个，年， z（z）) \leq \frac{2}{三} [G公司 (x个，年，一) + G公司 (x个，一， z（z）) + G公司 (一，年， z（z）)]$ ;
（vi）
$G公司 (x个，年， z（z）) \leq G公司 (x个，一，一) + G公司 (年，一，一) + G公司 (z（z），一，一)$ .

定义15（请参见[24])

让 $(X（X）， G公司)$ 成为G公司-公制空间。地图 $T型 : X（X） \to X（X）$ 据说是G公司-如果是连续的 ${T型 ({x个}_{n个})}$ 是G公司-收敛于 $T型 (x个)$ ，其中 ${{x个}_{n个}}$ 是任何G公司-收敛序列收敛到x个.

在[36]，穆斯塔法在G公司-度量空间的方式如下。

定理16（请参见[36])

让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间和 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是满足以下所有条件的映射 $x个，年， z（z） \in X（X）$ :

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq k个 G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) ，

（1）

哪里 $k个 \in [0 ， 1)$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

定理17（请参见[36])

让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间和 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是满足以下所有条件的映射 $x个，年 \in X（X）$ :

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq k个 G公司 (x个 ， 年 ， 年) ，

（2）

哪里 $k个 \in [0 ， 1)$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

备注18条件（1）意味着条件（2）。只有当 $k个 \in [0 ， \frac{1}{2})$ 。有关详细信息，请参阅[36].

发件人[24，36]，每个G公司-公制G公司在X（X）生成拓扑 $τ_{G公司}$ 在X（X）其基础是开放家庭G公司-球 ${{B类}_{G公司} (x个， ε) : x个 \in X（X）， ε > 0}$ ，其中 ${B类}_{G公司} (x个， ε) = {年 \in X（X） : G公司 (x个，年，年) < ε}$ 为所有人 $x个 \in X（X）$ 和 $ε > 0$ 此外，

x个 \in \bar{一个} \Leftrightarrow {B类}_{G公司} (x个 ， ε) \cap 一个 \neq \emptyset ， 为所有人 ε > 0 .

提案19 让 $(X（X）， G公司)$ 成为 G公司-度量空间和 一个 是的非空子集 X（X）.然后一个是 G公司-关闭（如果有） G公司-收敛序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 一个 有限制 x个，一个有 $x个 \in 一个$ .

2主要成果

我们引入广义的概念α-ψ压缩映射如下。

定义20让 $(X（X）， G公司)$ 成为G公司-度量空间和 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一个给定的映射。我们这么说T型是广义的G公司-β-ψ如果存在两个函数，则为I型压缩映射 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 和 $ψ \in Ψ$ 这样所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ ，我们有

β (x个 ， 年 ， z（z）) G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， z（z）)) ，

(3)

哪里

M（M） (x个 ， 年 ， z（z）) = 最大值 {\begin{array}{c} G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) ， G公司 (x个 ， T型 x个 ， T型 x个) ， G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) ， G公司 (z（z） ， T型 z（z） ， T型 z（z）) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 (x个 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 z（z） ， T型 z（z）) + G公司 (z（z） ， T型 x个 ， T型 x个)) \end{array}} .

定义21让 $(X（X）， G公司)$ 成为G公司-度量空间和 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一个给定的映射。我们这么说T型是广义的G公司-β-ψ存在两个函数时类型II的压缩映射 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 和 $ψ \in Ψ$ 这样所有人 $x个，年 \in X（X）$ ，我们有

β (x个 ， 年 ， 年) G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， 年)) ，

(4)

哪里

M（M） (x个 ， 年 ， 年) = 最大值 {\begin{array}{c} G公司 (x个 ， 年 ， 年) ， G公司 (x个 ， T型 x个 ， T型 x个) ， G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 (x个 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 x个 ， T型 x个)) \end{array}} .

备注22显然，任何压缩映射，即满足（1）的映射，都是广义的G公司-β-ψ类型I的压缩映射 $β (x个，年， z（z）) = 1$ 为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ 和 $ψ (t吨) = k个 t吨$ ， $k个 \in (0 ， 1)$ 类似地，满足（2）的映射是广义的G公司-β-ψ类型II的压缩映射 $β (x个，年，年) = 1$ 为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 和 $ψ (t吨) = k个 t吨$ ，其中 $k个 \in (0 ， 1)$ .

定义23让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 和 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 我们这么说T型是β-如果所有人都可以接受 $x个，年， z（z） \in X（X）$ ，我们有

β (x个 ， 年 ， z（z）) \geq 1 ⟹ β (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \geq 1 .

例24让 $X（X） = [0 ， \infty)$ 和 $T型 : X（X） \to X（X）$ .定义 $β (x个，年， z（z）) : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 通过 $T型 x个 = 自然对数 (1 + x个)$ 和

β (x个 ， 年 ， z（z）) = {\begin{matrix} e（电子） & 如果 x个 \geq 年 \geq z（z） ， \\ 0 & 如果不是这样 . \end{matrix}

然后T型是β-可接受。

我们的第一个结果如下。

定理25 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.假设 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是广义的 G公司-β-ψ I型压缩映射并满足以下条件:

（i）_一 T型是 β-可接受的;

（ii）_一存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;

（iii）_b条 T型是 G公司-连续的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

证明让 ${x个}_{0} \in X（X）$ 是这样的 $β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ （该点存在于条件（ii）中）_一). 定义顺序 ${{x个}_{n个}}$ 在里面X（X）通过 ${x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个}$ 为所有人 $n个 \geq 0$ .如果 ${x个}_{{n个}_{0}} = {x个}_{{n个}_{0} + 1}$ 对一些人来说 ${n个}_{0}$ ，然后 $u个 = {x个}_{{n个}_{0}}$ 是的固定点T型因此，我们可以假设 ${x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 + 1}$ 为所有人n个.自T型是β-可受理，我们有

β ({x个}_{0} ， {x个}_{1} ， {x个}_{1}) = β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1 ⟹ β (T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{1} ， T型 {x个}_{1}) = β ({x个}_{1} ， {x个}_{2} ， {x个}_{2}) \geq 1 .

归纳起来，我们有

β ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \geq 1 ， 为所有人 n个 = 0 ， 1 ， \dots .

(5)

从（3）和（5）可以看出 $n个 \geq 1$ ，我们有

\begin{array}{rcl} G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) & = & G公司 (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个}) \\ \leq & β ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个}) G公司 (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个}) \\ \leq & ψ (M（M） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个})) . \end{array}

另一方面，我们有

因此，我们有

G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ (最大值 {G公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个}) ， G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1})}) .

我们考虑以下两种情况：

情况1：如果 $最大值 {G公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个}) ， G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1})} = G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1})$ 对一些人来说n个，然后

G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ (G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1})) < G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) ，

这是一个矛盾。

案例2：如果 $最大值 {G公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个}) ， G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1})} = G公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个})$ ，然后

G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ (G公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个} ， {x个}_{n个}))

为所有人 $n个 \geq 1$ .自ψ没有减少，通过归纳，我们得到

G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ^{n个} (G公司 ({x个}_{0} ， {x个}_{1} ， {x个}_{1})) 为所有人 n个 \geq 1 .

(6)

使用（G5）和（6），我们有

\begin{array}{rcl} G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{米} ， {x个}_{米}) & \leq & G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) + G公司 ({x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 2} ， {x个}_{n个 + 2}) \\ + G公司 ({x个}_{n个 + 2} ， {x个}_{n个 + 三} ， {x个}_{n个 + 三}) + \dots + G公司 ({x个}_{米 - 1} ， {x个}_{米} ， {x个}_{米}) \\ = & \sum_{k个 = n个}^{米 - 1} G公司 ({x个}_{k个} ， {x个}_{k个 + 1} ， {x个}_{k个 + 1}) \\ \leq & \sum_{k个 = n个}^{米 - 1} ψ^{k个} (G公司 ({x个}_{0} ， {x个}_{1} ， {x个}_{1})) . \end{array}

自 $ψ \in Ψ$ 和 $G公司 ({x个}_{0} ， {x个}_{1} ， {x个}_{1}) > 0$ ，根据引理1，我们得到了

\sum_{k个 = 0}^{\infty} ψ^{k个} (G公司 ({x个}_{0} ， {x个}_{1} ， {x个}_{1})) < \infty .

因此，我们有

\underset{n个 ， 米 \to 0}{林} G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{米} ， {x个}_{米}) = 0 .

根据提议12，这意味着 ${{x个}_{n个}}$ 是一个G公司-中的柯西序列G公司-度量空间 $(X（X）， G公司)$ .自 $(X（X）， G公司)$ 已完成，存在 $u个 \in X（X）$ 这样的话 ${{x个}_{n个}}$ 是G公司-收敛于u个.自T型是G公司-连续的，如下所示 ${T型 {x个}_{n个}}$ 是G公司-收敛于图.通过极限的唯一性，我们得到 $u个 = T型 u个$ 也就是说，u个是的固定点T型. □

定义26（请参见[51])

让 $(X（X）， G公司)$ 成为G公司-度量空间和 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一个给定的映射。我们这么说T型是一个G公司-β-ψ如果存在两个函数，则为I型压缩映射 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 和 $ψ \in Ψ$ 这样所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ ，我们有

β (x个 ， 年 ， z（z）) G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq ψ (G公司 (x个 ， 年 ， z（z）))

（7）

遵循定理25的证明。

推论27 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.假设 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一个 G公司-β-ψ 类型I的压缩映射，并且满足以下条件:

（i）_一 T型是 β-可接受的;

（ii）_一存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;

（iii）_b条 T型是 G公司-连续的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

例28让 $X（X） = [0 ， \infty)$ 被赋予G公司-公制

G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) = | x个 - 年 | + | 年 - z（z） | + | z（z） - x个 | 为所有人 x个 ， 年 ， z（z） \in X（X） .

定义 $T型 : X（X） \to X（X）$ 通过 $T型 x个 = 三 x个$ 为所有人 $x个 \in X（X）$ 。我们定义 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 按以下方式：

β (x个 ， 年 ， z（z）) = {\begin{matrix} \frac{1}{9} & 如果 (x个 ， 年 ， z（z）) \neq (0 ， 0 ， 0) ， \\ 1 & 否则 . \end{matrix}

人们可以很容易地证明这一点

β (x个 ， 年 ， z（z）) G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq \frac{1}{9} G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) 为所有人 x个 ， 年 ， z（z） \in X（X） .

然后T型是一个G公司-β-ψ类型I的压缩映射 $ψ (t吨) = \frac{1}{9} t吨$ 为所有人 $t吨 \in [0 ， \infty)$ .接受 $x个，年， z（z） \in X（X）$ 这样的话 $β (x个，年， z（z）) \geq 1$ 根据的定义T型，这意味着 $x个 = 年 = z（z） = 0$ .那么我们有 $β (T型 x个， T型年， T型 z（z）) = β (0 ， 0 ， 0) = 1$ 等等T型是β-可接受。结果27的所有条件均已满足。这里，0是T型另请注意，巴拿赫收缩映射原理不适用。的确， $d日 (x个，年) = | x个 - 年 |$ 为所有人 $x个，年 \in X（X）$ .那么我们有 $x个 \neq 年$ $d日 (T型 x个， T型年) = 三 | x个 - 年 | > k个 | x个 - 年 |$ 为所有人 $k个 \in [0 ， 1)$ .

很明显，定理16不适用。

从定理25可以很容易地得出以下结果。

推论29 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.假设 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是广义的 G公司-β-ψ 类型II的压缩映射，并满足以下条件:

（i）_一 T型是 β-可接受的;

（ii）_一存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;

（iii）_b条 T型是 G公司-连续的.

然后存在 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

下一个定理不需要T型.

定理30 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.假设 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是广义的 G公司-β-ψ 类型I的压缩映射 ψ 是连续的并且满足以下条件:

（i）_b条 T型是 β-可接受的;

（ii）_b条存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;

（iii）_b条如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 X（X） 这样的话 $β ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 n个和 ${{x个}_{n个}}$ 是一个 G公司-收敛于 $x个 \in X（X）$ ，然后 $β ({x个}_{n个} ， x个， x个) \geq 1$ 为所有人 n个.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

证明根据定理25的证明，我们知道序列 ${{x个}_{n个}}$ 由定义 ${x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个}$ 为所有人 $n个 \geq 0$ ，是一个G公司-完整的柯西序列G公司-度量空间 $(X（X）， G公司)$ 也就是说，G公司-收敛于 $u个 \in X（X）$ 从（5）和（iii）_b条，我们有

β ({x个}_{n个} ， u个 ， u个) \geq 1 为所有人 n个 \geq 0 .

(8)

使用（8），我们有

\begin{array}{rcl} G公司 ({x个}_{n个 + 1} ， T型 u个 ， T型 u个) & = & G公司 (T型 {x个}_{n个} ， T型 u个 ， T型 u个) \\ \leq & β ({x个}_{n个} ， u个 ， u个) G公司 (T型 {x个}_{n个} ， T型 u个 ， T型 u个) \\ \leq & ψ (M（M） ({x个}_{n个} ， u个 ， u个)) ， \end{array}

哪里

\begin{array}{rcl} M（M） ({x个}_{n个} ， u个 ， u个) & = & 最大值 {\begin{array}{c} G公司 ({x个}_{n个} ， u个 ， u个) ， G公司 ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个}) ， G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 ({x个}_{n个} ， T型 u个 ， T型 u个) + G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个) + G公司 (u个 ， T型 {x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})) \end{array}} \\ = & 最大值 {\begin{array}{c} G公司 ({x个}_{n个} ， u个 ， u个) ， G公司 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) ， G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 ({x个}_{n个} ， T型 u个 ， T型 u个) + G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个) + G公司 (u个 ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1})) \end{array}} . \end{array}

出租 $n个 \to \infty$ 在以下不等式中：

G公司 ({x个}_{n个 + 1} ， T型 u个 ， T型 u个) \leq ψ (M（M） ({x个}_{n个} ， u个 ， u个)) ，

由此可见

G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个) \leq ψ (G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个)) ，

这是一个矛盾。因此，我们得到 $G公司 (u个， T型 u个， T型 u个) = 0$ 也就是说，根据引理14， $u个 = T型 u个$ . □

以下推论可以很容易地从定理30中导出。

推论31 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.假设 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是广义的 G公司-β-ψ 类型II的压缩映射 ψ 是连续的，并且满足以下条件:

（i）_b条 T型是 β-可接受的;

（ii）_b条存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;

（iii）_b条如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 X（X） 这样的话 $β ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 n个和 ${{x个}_{n个}}$ 是一个 G公司-收敛于 $x个 \in X（X）$ ，然后 $β ({x个}_{n个} ， x个， x个) \geq 1$ 为所有人 n个.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .

通过下面的例子，我们将证明定理25和30中的假设并不保证唯一性。

例32让 $X（X） = {(1 ， 0) ， (0 ， 1)} \subset {R（右）}^{2}$ 被赋予以下权利G公司-公制：

G公司 ((x个 ， 年) ， (u个 ， v（v）) ， (z（z） ， w个)) = | x个 - u个 | + | u个 - z（z） | + | z（z） - x个 | + | 年 - v（v） | + | v（v） - w个 | + | w个 - 年 |

为所有人 $(x个，年) ， (u个， v（v）) ， (z（z）， w个) \in X（X）$ 显然， $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的度量空间。映射 $T型 (x个，年) = (x个，年)$ 对于任何一个 $ψ \in Ψ$ ，

β ((x个 ， 年) ， (u个 ， v（v）) ， (z（z） ， w个)) G公司 (T型 (x个 ， 年) ， T型 (u个 ， v（v）) ， T型 (z（z） ， w个)) \leq ψ (M（M） ((x个 ， 年) ， (u个 ， v（v）) ， (z（z） ， w个)))

为所有人 $(x个，年) ， (u个， v（v）) ， (z（z）， w个) \in X（X）$ ，其中

β ((x个 ， 年) ， (u个 ， v（v）) ， (z（z） ， w个)) = {\begin{matrix} 1 & 如果 (x个 ， 年) = (u个 ， v（v）) = (z（z） ， w个) ， \\ 0 & 否则 . \end{matrix}

因此T型是广义的G公司-β-ψ收缩映射。另一方面，对于所有人来说 $(x个，年) ， (u个， v（v）) ， (z（z）， w个) \in X（X）$ ，我们有

β ((x个 ， 年) ， (u个 ， v（v）) ， (z（z） ， w个)) \geq 1 \to (x个 ， 年) = (u个 ， v（v）) = (z（z） ， w个) ，

这就产生了

T型 (x个 ， 年) = T型 (u个 ， v（v）) = T型 (z（z） ， w个) \to β (T型 (x个 ， 年) ， T型 (u个 ， v（v）) ， T型 (z（z） ， w个)) \geq 1 .

因此T型是β-可接受。此外，对所有人来说 $(x个，年) \in X（X）$ ，我们有 $β ((x个，年) ， T型 (x个，年) ， T型 (x个，年)) \geq 1$ 因此，满足定理25的假设。注意，如果 ${({x个}_{n个} ，年_{n个})}$ 是中的序列X（X）收敛到某个点 $(x个，年) \in X（X）$ 具有 $β (({x个}_{n个} ，年_{n个}) ， ({x个}_{n个 + 1} ，年_{n个 + 1}) ， ({x个}_{n个 + 1} ，年_{n个 + 1})) \geq 1$ 为所有人n个，然后从定义β，我们有 $({x个}_{n个} ，年_{n个}) = (x个，年)$ 为所有人n个，这意味着 $β (({x个}_{n个} ，年_{n个}) ， (x个，年) ， (x个，年)) = 1$ 为所有人n个然而，在这种情况下，T型在中有两个固定点X（X）.

让X（X）是一套T型自我映射X（X）.所有不动点的集合T型将用表示 $修复 (T型)$ .

定理33 在定理假设中添加以下条件25 (resp（响应）.定理30,推论29,推论31),我们得到了不动点的唯一性 T型.

（iv）
对于 $x个 \in 修复 (T型)$ ， $β (x个， z（z）， z（z）) \geq 1$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ .

证明让 $u个， v（v） \in 修复 (T型)$ 是两个固定点T型通过（iv），我们得出

β (u个 ， v（v） ， v（v）) \geq 1 .

请注意 $β (T型 u个， T型 v（v）， T型 v（v）) = β (u个， v（v）， v（v）)$ 自从u个和v（v）是的固定点T型。因此，我们

\begin{array}{rcl} G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) & = & G公司 (T型 u个 ， T型 v（v） ， T型 v（v）) \\ \leq & β (u个 ， v（v） ， v（v）) G公司 (T型 u个 ， T型 v（v） ， T型 v（v）) \leq ψ (M（M） (u个 ， v（v） ， v（v）)) ， \end{array}

哪里

\begin{array}{rcl} M（M） (u个 ， v（v） ， v（v）) & = & 最大值 {\begin{array}{c} G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) ， G公司 (u个 ， T型 u个 ， T型 u个) ， G公司 (v（v） ， T型 v（v） ， T型 v（v）) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 (u个 ， T型 v（v） ， T型 v（v）) + G公司 (v（v） ， T型 v（v） ， T型 v（v）) + G公司 (v（v） ， T型 u个 ， T型 u个)) \end{array}} \\ = & 最大值 {G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) ， \frac{1}{三} (G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) + G公司 (v（v） ， u个 ， u个))} \\ \leq & 最大值 {G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) ， \frac{1}{三} (G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) + 2 G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）))} \\ = & G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) . \end{array}

因此，我们得到了

G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) \leq ψ (M（M） (u个 ， v（v） ， v（v）)) \leq ψ (G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）)) < G公司 (u个 ， v（v） ， v（v）) ，

这是一个矛盾。因此， $u个 = v（v）$ ，即，的固定点T型是独一无二的。□

推论34 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间与let $T型 : X（X） \to X（X）$ 是给定的映射.假设存在一个连续函数 $ψ \in Ψ$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， z（z）))

为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

推论35 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间与let $T型 : X（X） \to X（X）$ 是给定的映射.假设存在一个函数 $ψ \in Ψ$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq ψ (G公司 (x个 ， 年 ， z（z）))

为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

推论36 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间与let $T型 : X（X） \to X（X）$ 是给定的映射.假设存在 $λ \in [0 ， 1)$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq λ 最大值 {\begin{array}{c} G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) ， G公司 (x个 ， T型 x个 ， T型 x个) ， G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) ， G公司 (z（z） ， T型 z（z） ， T型 z（z）) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 (x个 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 z（z） ， T型 z（z）) + G公司 (z（z） ， T型 x个 ， T型 x个)) \end{array}}

为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

推论37 让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间和let $T型 : X（X） \to X（X）$ 是给定的映射.假设存在非负实数一，b条，c（c），d日和 e（电子） 具有 $一 + b条 + c（c） + d日 + e（电子） < 1$ 这样的话

\begin{array}{rcl} G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) & \leq & 一 G公司 (x个 ， 年 ， z（z）) + b条 G公司 (x个 ， T型 x个 ， T型 x个) + c（c） G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) + d日 G公司 (z（z） ， T型 z（z） ， T型 z（z）) \\ + \frac{e（电子）}{三} (G公司 (x个 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 z（z） ， T型 z（z）) + G公司 (z（z） ， T型 x个 ， T型 x个)) \end{array}

为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

推论38（请参见[40])

让 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间与let $T型 : X（X） \to X（X）$ 是给定的映射.假设存在 $λ \in [0 ， 1)$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 z（z）) \leq λ G公司 (x个 ， 年 ， z（z）)

为所有人 $x个，年， z（z） \in X（X）$ .然后 T型 具有唯一的固定点.

3后果

3.1具有偏序的度量空间上的不动点定理

定义39让 $(X（X）， ⪯)$ 是部分有序集，并且 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一个给定的映射。我们这么说T型在以下方面没有下降⪯如果

x个 ， 年 \in X（X） ， x个 ⪯ 年 ⟹ T型 x个 ⪯ T型 年 .

定义40让 $(X（X）， ⪯)$ 是一个偏序集。A序列 ${{x个}_{n个}} \subset X（X）$ 据说在⪯如果

{x个}_{n个} ⪯ {x个}_{n个 + 1} 为所有人 n个 .

定义41让 $(X（X）， ⪯)$ 是部分有序集，并且G公司成为G公司-公制X（X）我们这么说 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是G公司-对于每个非递减序列，正则if ${{x个}_{n个}} \subset X（X）$ 这样的话 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to \infty$ ， ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 为所有人n个.

定理42 让 $(X（X）， ⪯)$ 是偏序集，并且 G公司 成为 G公司-公制 X（X） 这样的话 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是关于 ⪯.假设存在一个函数 $ψ \in Ψ$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， 年))

(9)

为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ .假设以下条件成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ;
（ii）
T型是 G公司-连续或 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是 G公司-常规和 ψ 是连续的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .此外，如果用于 $x个 \in 修复 (T型)$ ， $x个 ⪯ z（z）$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ ，一个具有不动点的唯一性.

证明定义映射 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 通过

β (x个 ， 年 ， 年) = {\begin{matrix} 1 & 如果 x个 ⪯ 年 ， \\ 0 & 否则 . \end{matrix}

(10)

从（9）开始，共 $x个，年 \in X（X）$ ，我们有

β (x个 ， 年 ， 年) G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， 年)) .

由此可见T型是广义的G公司-β-ψ类型II的压缩映射。根据条件（i），我们有

β ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1 .

根据的定义β从那以后T型是关于⪯，我们有

β (x个 ， 年 ， 年) \geq 1 ⟹ x个 ⪯ 年 ⟹ T型 x个 ⪯ T型 年 ⟹ β (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \geq 1 .

因此T型是β-可接受。此外，如果T型是G公司-连续的，根据定理25，T型有一个固定点。

现在，假设 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是G公司-常规。让 ${{x个}_{n个}}$ 成为一个序列X（X）这样的话 $β ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人n个和 ${x个}_{n个}$ 是G公司-收敛于 $x个 \in X（X）$ 根据定义41， ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 为所有人n个，这给了我们 $β ({x个}_{n个} ， x个， x个) \geq 1$ 为所有人k个因此，定理30的所有假设都满足并且存在 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .为了证明唯一性，因为 $u个 \in 修复 (T型)$ ，我们有， $u个 ⪯ z（z）$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ 根据的定义β，我们明白了 $β (u个， z（z）， z（z）) \geq 1$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ 因此，满足了定理33的假设（iv），并推导出不动点的唯一性。□

推论43 让 $(X（X）， ⪯)$ 是部分有序集，并且 G公司 成为 G公司-上的公制 X（X） 这样的话 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是关于 ⪯.假设存在一个函数 $ψ \in Ψ$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq ψ (G公司 (x个 ， 年 ， 年))

为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ .假设以下条件成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ;
（ii）
T型是 G公司-连续的或 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是 G公司-有规律的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .此外，如果用于 $x个 \in 修复 (T型)$ ， $x个 ⪯ z（z）$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ ，一个具有不动点的唯一性.

推论44 让 $(X（X）， ⪯)$ 是部分有序集，并且 G公司 成为 G公司-上的公制 X（X） 这样的话 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是关于 ⪯.假设存在 $λ \in [0 ， 1)$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq λ 最大值 {\begin{array}{c} G公司 (x个 ， 年 ， 年) ， G公司 (x个 ， T型 x个 ， T型 x个) ， G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) ， \\ \frac{1}{三} (G公司 (x个 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 x个 ， T型 x个)) \end{array}}

为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ .假设以下条件成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ;
（ii）
T型是 G公司-连续或 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是 G公司-有规律的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .此外，如果用于 $x个 \in 修复 (T型)$ ， $x个 ⪯ z（z）$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ ，一个具有不动点的唯一性.

推论45 让 $(X（X）， ⪯)$ 是部分有序集，并且 G公司 成为 G公司-上的公制 X（X） 这样的话 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是关于 ⪯.假设存在非负实数一，b条，c（c） 和 d日具有 $一 + b条 + c（c） + d日 < 1$ 这样的话

\begin{array}{rcl} G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) & \leq & 一 G公司 (x个 ， 年 ， 年) + b条 G公司 (x个 ， T型 x个 ， T型 x个) + c（c） G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) \\ + \frac{d日}{三} (G公司 (x个 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 年 ， T型 年) + G公司 (年 ， T型 x个 ， T型 x个)) \end{array}

为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ .假设以下条件成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ;
（ii）
T型是 G公司-连续或 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是 G公司-有规律的.

然后存在 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .此外，如果用于 $x个 \in 修复 (T型)$ ， $x个 ⪯ z（z）$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ ，一个具有不动点的唯一性.

推论46 让 $(X（X）， ⪯)$ 是偏序集，并且 G公司 成为 G公司-公制 X（X） 这样的话 $(X（X）， G公司)$ 是一个完整的 G公司-度量空间.让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是关于 ⪯.假设存在一个常数 $λ \in [0 ， 1)$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq λ G公司 (x个 ， 年 ， 年)

为所有人 $x个，年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ .假设以下条件成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ T型 {x个}_{0}$ ;
（ii）
T型是 G公司-连续或 $(X（X）， ⪯ ， G公司)$ 是 G公司-有规律的.

然后就有了 $u个 \in X（X）$ 这样的话 $T型 u个 = u个$ .此外，如果用于 $x个 \in 修复 (T型)$ ， $x个 ⪯ z（z）$ 为所有人 $z（z） \in X（X）$ ，一个具有不动点的唯一性.

3.2循环收缩

现在，我们将证明在G公司-公制空间。

定理47（请参见[30，33])

让一个，B类 做一个不空虚的人 G公司-完备的闭子集 G公司-度量空间 $(X（X）， G公司)$ .假设也是这样 $Y（Y） = 一个 \cup B类$ 和 $T型 : Y（Y） \to Y（Y）$ 是一个给定的自我-满足映射

T型 (一个) \subseteq B类 和 T型 (B类) \subseteq 一个 .

(11)

如果存在连续函数 $ψ \in Ψ$ 这样的话

G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， 年)) ， \forall x个 \in 一个 ， 年 \in B类 ，

(12)

然后 T型 具有唯一的固定点 $u个 \in 一个 \cap B类$ ，那就是， $T型 u个 = u个$ .

证明请注意 $(Y（Y）， G公司)$ 是一个完整的G公司-度量空间自一个，B类是一个完整G公司-度量空间 $(X（X）， G公司)$ 。我们定义 $β : X（X） \times X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)$ 按以下方式：

β (x个 ， 年 ， 年) = {\begin{matrix} 1 & 如果 (x个 ， 年) \in (一个 \times B类) \cup (B类 \times 一个) ， \\ 0 & 否则 . \end{matrix}

根据的定义β和假设（12），我们有

β (x个 ， 年 ， 年) G公司 (T型 x个 ， T型 年 ， T型 年) \leq ψ (M（M） (x个 ， 年 ， 年)) ， \forall x个 ， 年 \in Y（Y） .

(13)

因此，T型是广义的G公司-β-ψ收缩映射。

让 $(x个，年) \in Y（Y） \times Y（Y）$ 是这样的 $β (x个，年，年) \geq 1$ .如果 $(x个，年) \in 一个 \times B类$ 然后根据假设（11）， $(T型 x个， T型年) \in B类 \times 一个$ ，这就产生了 $β (T型 x个， T型年， T型年) \geq 1$ .如果 $(x个，年) \in B类 \times 一个$ ，我们又来了 $β (T型 x个， T型年， T型年) \geq 1$ 以此类推。因此，无论如何，我们有 $β (T型 x个， T型年， T型年) \geq 1$ 也就是说，T型是β-可接受。还要注意，对于任何 $z（z） \in 一个$ ，我们有 $(z（z）， T型 z（z）) \in 一个 \times B类$ ，它产生 $β (z（z）， T型 z（z）， T型 z（z）) \geq 1$ .

拍一个序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面X（X）这样的话 $β ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人n个和 ${x个}_{n个} \to u个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to \infty$ 关于β，我们推导出

({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \in (一个 \times B类) \cup (B类 \times 一个) 为所有人 n个 .

(14)

根据假设，一个，B类因此 $(一个 \times B类) \cup (B类 \times 一个)$ 是一个G公司-闭合集。因此，我们明白了 $(u个， u个) \in (一个 \times B类) \cup (B类 \times 一个)$ ，这意味着 $u个 \in 一个 \cap B类$ 我们根据以下定义得出结论：β，那个 $β ({x个}_{n个} ， u个， u个) \geq 1$ 为所有人n个.

现在，定理30的所有假设都满足了，我们得出结论：T型有一个固定点。接下来，我们展示了不动点的唯一性u个属于T型.自 $u个 \in 修复 (T型)$ 和 $u个 \in 一个 \cap B类$ ，我们得到 $β (u个，一，一) \geq 1$ 为所有人 $一 \in Y（Y）$ 因此，满足定理33的条件（iv）。□

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第一作者的研究得到了沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学科学研究院长（DSR）的部分支持。

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作者和附属机构

沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学女孩科学学院数学系，邮政信箱4087，21491
玛丽亚姆·阿尔甘迪
土耳其安卡拉伊斯克阿提林大学数学系，06836
埃尔达尔卡拉普讷尔

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玛丽亚姆·阿尔甘迪
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Alghamdi，文学硕士，卡拉普纳尔，E。G公司-β-ψ压缩型映射和相关的不动点定理。J不平等申请 2013, 70 (2013). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-70

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收到:2012年12月13日
认可的:2013年2月9日
出版:2013年2月27日
DOI程序:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-70

G公司-β-ψ压缩型映射及其不动点定理

摘要

1简介和前言

2主要成果

3后果

3.1具有偏序的度量空间上的不动点定理

3.2循环收缩

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