On existence and essential stability of solutions of symmetric variational relation problems

Yang, Zhe

doi:10.1186/1029-242X-2014-5

研究
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出版：2014年1月2日

对称变分关系问题解的存在性和本质稳定性

哲阳（Zhe Yang）^1，2

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：5(2014)引用这篇文章

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10引文
韵律学细节

摘要

本文引入对称变分关系问题，建立了对称变分问题解的存在性定理。作为特殊情况，得到了对称（向量）拟平衡问题和对称变分包含问题。进一步，我们研究了对称变分关系问题平衡点的本质稳定性的概念。我们证明了大多数对称变分关系问题（在Baire范畴意义上）是本质的，并且对于任何对称变分问题，其解集至少存在一个本质分量。

MSC公司：49J53、49J40。

1引言

让X（X）和Y（Y）是实局部凸Hausdorff空间，并且C类和D类是的非空子集X（X）和Y（Y）分别是。让 $S公司 : C类 \times D类 ⇉ C类$ 和 $T型 : C类 \times D类 ⇉ D类$ 是集值映射，并且 $（f），克 : C类 \times D类 ⟶ 对$ 成为真正的功能。根据Noor和Oettli的说法[1]对称准平衡问题（SQEP）包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in C类 \times D类$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} （f） (x个 ， 年^{*}) \geq （f） ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \forall x个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 克 ({x个}^{*} ， 年) \geq 克 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \forall 年 \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

该问题是Blum和Oettli提出的平衡问题的推广[2]. 均衡问题包含特殊情况，例如优化问题、纳什均衡问题、不动点问题、变分不等式和互补问题。

傅[三]介绍了对称向量拟平衡问题（SVQEP）。让Z轴是一个实Hausdorff拓扑向量空间 $P（P） \subset Z轴$ 是一个封闭的凸尖圆锥体，其顶点位于原点 $整数 P（P） \neq \emptyset$ ，其中intP（P）表示的内部P（P）.让X（X），Y（Y），C类，D类，S公司，T型同上。Let向量映射 $（f），克 : C类 \times D类 ⟶ Z轴$ 给出。对称向量拟平衡问题（SVQEP）包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in C类 \times D类$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} （f） (x个 ， 年^{*}) - （f） ({x个}^{*} ， 年^{*}) \notin - 整数 P（P） ， \forall x个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 克 ({x个}^{*} ， 年) - 克 ({x个}^{*} ， 年^{*}) \notin - 整数 P（P） ， \forall 年 \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

法拉扎德[4]用一种特殊的方法研究了Hausdorff拓扑向量空间中的对称向量拟平衡问题，并回答了Fu提出的一个公开问题。对称向量拟平衡问题解集的稳定性在[5–7]. 法哈尔和扎法拉尼[8]介绍了广义对称向量拟平衡问题（GSVQEP）。让X（X），Y（Y），C类，D类，S公司，T型，（f），克同上。让P（P）是来自的集值映射Z轴到Z轴这样，对于每一个 $z（z） \in Z轴$ ， $P（P） (z（z）)$ 是指Z轴有一个非空的内部 $整数 P（P） (z（z）)$ 和 $θ : X（X） ⟶ Z轴$ ， $η : Y（Y） ⟶ Z轴$ 广义对称向量拟平衡问题（GSVQEP）包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in C类 \times D类$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} （f） (x个 ， 年^{*}) - （f） ({x个}^{*} ， 年^{*}) \notin - 整数 P（P） (η (年^{*})) ， \forall x个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 克 ({x个}^{*} ， 年) - 克 ({x个}^{*} ， 年^{*}) \notin - 整数 P（P） (θ ({x个}^{*})) ， \forall 年 \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

众所周知，均衡问题是几个问题的统一模型，即优化问题、鞍点问题、变分不等式、不动点问题、纳什均衡问题等。最近，吕克[9]介绍了一个更一般的平衡问题模型，称为变分关系问题（简称VR）。在中研究了变分关系问题解集的稳定性[10，11]. 对变分关系问题进行了进一步的研究。林和王[12]研究了同时变分关系问题及其应用。Balaj和Luc[13]引入混合变分关系问题（MR），建立了一般包含问题解的存在性。在中还讨论了集值映射的变分包含和交集的特殊情况[14]. 巴拉杰和林[15]提出了广义变分关系问题（GVR），并得到了一个变分关系解的存在性定理。作为特例，建立了变分包含问题的存在性定理、KKM定理和著名的Ky-Fan不等式的推广。林和安萨里[16]引入了一个拟变量关系系统，并利用一类多值映射的极大元定理证明了SQVP解的存在性。

阿加瓦尔等。[17]提出了研究两类变分关系问题解的存在性的统一方法，包括最近文献中研究的几个广义平衡问题、变分不等式和变分包含。巴拉杰和林[18]建立了两类非常普遍的变分关系问题解的存在性准则。此外，吕克等。[19]建立了无凸变分关系问题解的两个主要存在条件，以及Pu和Yang[20–22]研究了Hadamard流形上不具有KKM性质的变分关系问题。

受上述研究工作的启发，本文引入对称变分关系问题，研究对称变分问题解的存在性和本质稳定性。本文的结果改进和推广了变分关系问题和对称（向量）拟平衡问题的几个已知结果。

2对称变分关系

让X（X），Y（Y）分别是两个赋范线性空间的两个非空、紧和凸子集。让 $S公司 : X（X） \times Y（Y） ⇉ X（X）$ 和 $T型 : X（X） \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 是集值映射，并且 $对 (x个，年， u个)$ ， $问 (x个，年， v（v）)$ 是两种联系 $x个， u个 \in X（X）$ 和 $年， v（v） \in Y（Y）$ 对称变分关系问题包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} 对 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， x个) 持有 ， \forall x个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 问 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， 年) 持有 ， \forall 年 \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

我们首先回顾一些关于集值映射的已知结果，供以后使用。

引理2.1（第17.35页，第5.35页，共[23])

（i）假设 X（X） 是拓扑空间，Y（Y） 是局部凸空间，还有一封信 $（f） : X（X） ⇉ Y（Y）$ 在某个点上是上半连续的 ${x个}_{0} \in X（X）$ 。如果设置 $氯 (有限公司（f） ({x个}_{0}))$ 是紧凑的，然后是闭凸壳对应 $氯有限公司（f） : X（X） ⇉ Y（Y）$ 在上半连续 ${x个}_{0}$ .（ii）在完全可度量的局部凸空间中，紧集的闭凸壳是紧的。

引理2.2（第5.29页，共[23])

让 ${A类}_{1} ， \dots ， {A类}_{n个}$ 是Hausdorff拓扑线性空间的非空紧子集。然后 $有限公司 (⋃_{我 = 1}^{n个} {A类}_{我})$ 是紧凑的。

引理2.3 让 A类 是紧赋范线性空间E的非空紧子集，然后让 $B类 \supset A类$ 在中打开 E类。然后 $氯有限公司 A类 \subset 有限公司 B类$ 。

证明自 $B类 \supset A类$ 在中打开E类，圆面包也是开放的。那么，对于任何 $x个 \in A类$ ，存在一个开凸邻域 $V（V） (x个)$ 属于x个这样的话 $x个 \in V（V） (x个) \subset 氯 V（V） (x个) \subset 有限公司 B类$ 。自A类非空且紧，存在有限子集 ${{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ 属于A类这样的话

A类 \subset ⋃_{我 = 1}^{n个} V（V） ({x个}_{我}) \subset ⋃_{我 = 1}^{n个} 氯 V（V） ({x个}_{我}) \subset 有限公司 B类 ，

这意味着

有限公司 A类 \subset 有限公司 (⋃_{我 = 1}^{n个} 氯 V（V） ({x个}_{我})) \subset 有限公司 B类 。

自 $氯 V（V） ({x个}_{我})$ 任何情况下都很紧凑 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ ，根据引理2.2， $有限公司 (⋃_{我 = 1}^{n个} 氯 V（V） ({x个}_{我}))$ 结构紧凑。因此

氯 有限公司 A类 \subset 氯 有限公司 (⋃_{我 = 1}^{n个} 氯 V（V） ({x个}_{我})) = 有限公司 (⋃_{我 = 1}^{n个} 氯 V（V） ({x个}_{我})) \subset 有限公司 B类 。

□

以下定理是本文的主要结果。

定理2.1 假设

（i）
X（X），Y（Y） 是两个非空的，两个赋范线性空间的紧子集和凸子集;
（ii）
S公司，T型 具有非空凸紧值的连续;
（iii）
$对 (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 和 $问 (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 已关闭;
（iv）
对于任何 $年 \in Y（Y）$ ，任意有限子集 ${{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ 属于 X（X） 以及任何 $x个 \in 有限公司 {{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ ，有 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $对 (x个，年， {x个}_{我})$ 持有;
（v）
对于任何 $x个 \in X（X）$ ，任意有限子集 ${年_{1} ， \dots ，年_{n个}}$ 属于 Y（Y） 以及任何 $年 \in 有限公司 {年_{1} ， \dots ，年_{n个}}$ ，有 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $问 (x个，年，年_{我})$ 持有。

那么对称变分关系问题至少有一个解。

证明首先，表示

\begin{matrix} Gr公司 (对) = {(x个 ， 年 ， u个) \in X（X） \times Y（Y） \times X（X） | 对 (x个 ， 年 ， u个) 持有} ， \\ Gr公司 (问) = {(x个 ， 年 ， v（v）) \in X（X） \times Y（Y） \times Y（Y） | 问 (x个 ， 年 ， v（v）) 持有} 。 \end{matrix}

然后 $Gr公司 (对)$ 和 $Gr公司 (问)$ 被封闭在 $X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ 和 $X（X） \times Y（Y） \times Y（Y）$ 分别是。接下来，定义两个映射 $（f） : X（X） \times Y（Y） \times X（X） ⟶ 对$ 和 $克 : X（X） \times Y（Y） \times Y（Y） ⟶ 对$ 通过

\begin{matrix} （f） (x个 ， 年 ， u个) = {d日}_{1} ((x个 ， 年 ， u个) ， Gr公司 (对)) ， \\ 克 (x个 ， 年 ， v（v）) = {d日}_{2} ((x个 ， 年 ， v（v）) ， Gr公司 (问)) ， \end{matrix}

哪里 ${d日}_{1}$ 和 ${d日}_{2}$ 距离开了吗 $X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ 和 $X（X） \times Y（Y） \times Y（Y）$ 分别是。然后（i）（f），克是连续的；（ii） $（f） (x个，年， u个) = 0$ 当且仅当 $对 (x个，年， u个)$ 持有，以及 $克 (x个，年， v（v）) = 0$ 当且仅当 $问 (x个，年， v（v）)$ 持有；（iii） $（f） (x个，年， u个) \geq 0$ 对于任何 $(x个，年， u个) \in X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ 、和 $克 (x个，年， v（v）) \geq 0$ 对于任何 $(x个，年， v（v）) \in X（X） \times Y（Y） \times Y（Y）$ 。

现在，定义映射 $H（H） : X（X） \times Y（Y） ⇉ X（X）$ 和 $F类 : X（X） \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 通过

\begin{matrix} H（H） (x个 ， 年) = {u个 \in S公司 (x个 ， 年) | （f） (x个 ， 年 ， u个) = \underset{{u个}^{'} \in S公司 (x个 ， 年)}{最大值} （f） (x个 ， 年 ， {u个}^{'})} ， \\ F类 (x个 ， 年) = {v（v） \in 问 (x个 ， 年) | 克 (x个 ， 年 ， v（v）) = \underset{{v（v）}^{'} \in 问 (x个 ， 年)}{最大值} 克 (x个 ， 年 ， {v（v）}^{'})} 。 \end{matrix}

自S公司，T型具有非空凸紧值的连续性，以及（f），克是连续的，根据著名的Berge极大值定理H（H）和F类具有非空紧值的上半连续。根据引理2.1， $氯有限公司 H（H）$ 和 $氯有限公司 F类$ 具有非空凸紧值的上半连续。因此，定义映射 $φ : X（X） \times Y（Y） ⇉ X（X） \times Y（Y）$ 通过

φ (x个 ， 年) = 氯 有限公司 H（H） (x个 ， 年) \times 氯 有限公司 F类 (x个 ， 年) 。

根据著名的Fan-Glicksberg不动点定理，存在 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in φ ({x个}^{*} ，年^{*})$ ，即，

\begin{matrix} {x个}^{*} \in 氯 有限公司 H（H） ({x个}^{*} ， 年^{*}) \subset S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 年^{*} \in 氯 有限公司 F类 ({x个}^{*} ， 年^{*}) \subset T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

假设结果是错误的，在不损失通用性的情况下 ${u个}_{0} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 这样的话 $对 ({x个}^{*} ，年^{*} ， {u个}_{0})$ 无法保持。然后 $（f） ({x个}^{*} ，年^{*} ， {u个}_{0}) > 0$ 根据的定义H（H），我们有

（f） ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) \geq （f） ({x个}^{*} ， 年^{*} ， {u个}_{0}) > 0

对于任何 $u个 \in H（H） ({x个}^{*} ，年^{*})$ ，即，

H（H） ({x个}^{*} ， 年^{*}) \subset {u个 \in X（X） : 对 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) 无法保持} 。

自 $对 (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 已关闭， ${u个 \in X（X） : 对 ({x个}^{*} ，年^{*} ， u个) 无法保持}$ 在中打开X（X）.根据引理2.3，

氯 有限公司 H（H） ({x个}^{*} ， 年^{*}) \subset 有限公司 {u个 \in X（X） : 对 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) 无法保持} 。

自 ${x个}^{*} \in 氯有限公司 H（H） ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， ${x个}^{*} \in 有限公司 {u个 \in X（X） : 对 ({x个}^{*} ，年^{*} ， u个) 无法保持}$ ，即，有一个有限子集 ${{u个}_{1} ， \dots ， {u个}_{n个}} \subset {u个 \in X（X） : 对 ({x个}^{*} ，年^{*} ， u个) 无法保持}$ 这样的话 ${x个}^{*} \in 有限公司 {{u个}_{1} ， \dots ， {u个}_{n个}}$ 根据条件（iv），存在 $我_{0} \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $对 ({x个}^{*} ，年^{*} ， {u个}_{我_{0}})$ 持有，这与事实相矛盾 $对 ({x个}^{*} ，年^{*} ， {u个}_{我})$ 不适用于任何 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 。这就完成了证明。□

备注2.1通过定理2.1，我们获得了以下典型示例。

(1)
让 $（f） : X（X） \times Y（Y） ⟶ 对$ 和 $克 : X（X） \times Y（Y） ⟶ 对$ 是两个实值函数。定义变分关系对，问如下：
$\begin{matrix} 对 (x个，年， u个) 仅当且仅当（f） (x个，年) \leq （f） (u个，年); \\ 问 (x个，年， v（v）) 仅当且仅当克 (x个，年) \leq 克 (x个， v（v）) 。 \end{matrix}$

对称准平衡问题（SQEP）包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} （f） (x个 ， 年^{*}) \geq （f） ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \forall x个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 克 ({x个}^{*} ， 年) \geq 克 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \forall 年 \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

根据定理2.1，问题（SQEP）至少有一个解。

(2)
让X（X），Y（Y），S公司，T型如上所述，Z轴是一个真实的Hausdorff拓扑向量空间，并且 $P（P） \subset Z轴$ 是一个封闭的凸尖圆锥体，其顶点位于原点 $整数 P（P） \neq \emptyset$ ，其中intP（P）表示的内部P（P）.Let向量映射 $（f），克 : C类 \times D类 ⟶ Z轴$ 给出。定义变分关系对，问如下：
$\begin{matrix} 对 (x个，年， u个) 仅当且仅当（f） (u个，年) - （f） (x个，年) \notin - 整数 P（P）; \\ 问 (x个，年， v（v）) 仅当且仅当克 (x个， v（v）) - 克 (x个，年) \notin - 整数 P（P）。 \end{matrix}$

对称向量拟平衡问题（SVQEP）包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} （f） (x个 ， 年^{*}) - （f） ({x个}^{*} ， 年^{*}) \notin - 整数 P（P） ， \forall x个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 克 ({x个}^{*} ， 年) - 克 ({x个}^{*} ， 年^{*}) \notin - 整数 P（P） ， \forall 年 \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

根据定理2.1，问题（SVQEP）至少有一个解。

（3）
让X（X），Y（Y），S公司，T型如上所述，Z轴是一个真实的Hausdorff拓扑向量空间， $A类， {A类}^{'} : X（X） \times Y（Y） \times X（X） ⇉ Z轴$ 和 ${B类}^{'} ， B类 : X（X） \times Y（Y） \times Y（Y） ⇉ Z轴$ 是两个多值映射。定义变分关系对，问如下：
$\begin{matrix} 对 (x个，年， u个) 仅当且仅当 A类 (x个，年， u个) \subset B类 (x个，年， u个); \\ 问 (x个，年， v（v）) 仅当且仅当 {A类}^{'} (x个，年， v（v）) \subset {B类}^{'} (x个，年， v（v）) 。 \end{matrix}$

类型（I）的对称变分包含包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} A类 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) \subset B类 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) ， \forall u个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ {A类}^{'} ({x个}^{*} ， 年^{*} ， v（v）) \subset {B类}^{'} ({x个}^{*} ， 年^{*} ， v（v）) ， \forall v（v） \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

根据定理2.1，类型（I）的对称变分包含至少有一个解。

(4)
定义变分关系对，问如下：
$\begin{matrix} 对 (x个，年， u个) 仅当且仅当 A类 (x个，年， u个) \cap B类 (x个，年， u个) \neq \emptyset; \\ 问 (x个，年， v（v）) 仅当且仅当 {A类}^{'} (x个，年， v（v）) \cap {B类}^{'} (x个，年， v（v）) \neq \emptyset 。 \end{matrix}$

类型（II）问题的对称变分包含包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} A类 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) \cap B类 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) \neq \emptyset ， \forall u个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ {A类}^{'} ({x个}^{*} ， 年^{*} ， v（v）) \cap {B类}^{'} ({x个}^{*} ， 年^{*} ， v（v）) \neq \emptyset ， \forall v（v） \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

根据定理2.1，类型（II）的对称变分包含至少有一个解。

(5)
定义变分关系对，问如下：
$\begin{matrix} 对 (x个，年， u个) 保持当且仅当 0 \in A类 (x个，年， u个); \\ 问 (x个，年， v（v）) 仅当且仅当 0 \in {A类}^{'} (x个，年， v（v）) 。 \end{matrix}$

类型（III）问题的对称变分包含包括 $({x个}^{*} ，年^{*}) \in X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*} ，年^{*})$ ， $年^{*} \in T型 ({x个}^{*} ，年^{*})$ 、和

\begin{matrix} 0 \in A类 ({x个}^{*} ， 年^{*} ， u个) ， \forall u个 \in S公司 ({x个}^{*} ， 年^{*}) ， \\ 0 \in {A类}^{'} ({x个}^{*} ， 年^{*} ， v（v）) ， \forall v（v） \in T型 ({x个}^{*} ， 年^{*}) 。 \end{matrix}

根据定理2.1，类型（III）的对称变分包含至少有一个解。

3基本稳定性

基本成分在稳定性研究中起着重要作用。现在，让我们开始研究对称变分关系问题解集的本质稳定性。首先，表示为ℳ对称变分关系问题的集合，使得定理2.1的所有条件都成立。对于每个 $问 \in M（M）$ ，表示为 $Λ (问)$ 的解决方案集问因此，一个集值对应 $Λ : M（M） ⇉ X（X） \times Y（Y）$ 定义明确。分析 $Λ (问)$ 在里面ℳ，集合中的一些拓扑结构ℳ也需要。对于每个 $问，问^{'} \in M（M）$ ，在上定义距离ℳ通过

\begin{array}{rcl} ρ (问 ， 问^{'}) & = & \underset{(x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X（X）} (S公司 (x个 ， 年) ， {S公司}^{'} (x个 ， 年)) + \underset{(x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个 ， 年) ， {T型}^{'} (x个 ， 年)) \\ + 小时 (Gr公司 (对) ， Gr公司 (对^{'})) + {小时}^{'} (Gr公司 (问) ， Gr公司 (问^{'})) ， \end{array}

哪里 ${小时}_{X（X）}$ 是上定义的Hausdorff距离X（X）， ${小时}_{Y（Y）}$ 是上定义的Hausdorff距离Y（Y），小时是上定义的Hausdorff距离 $X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ 、和 ${小时}^{'}$ 是上定义的Hausdorff距离 $X（X） \times Y（Y） \times Y（Y）$ 显然， $(M（M）， ρ)$ 是公制空间。

定义3.1让 $问 \in M（M）$ .一个 $(x个，年) \in Λ (问)$ 据说是 $Λ (问)$ 如果，对于任何开放社区 $N个 (x个，年)$ 属于 $(x个，年)$ 在里面 $X（X） \times Y（Y）$ ，有一个积极的δ这样的话 $N个 (x个，年) \cap Λ (问^{'}) \neq \emptyset$ 对于任何 $问^{'} \in M（M）$ 具有 $ρ (问，问^{'}) < δ$ 。问如果每个 $(x个，年) \in Λ (问)$ 至关重要。

定义3.2让 $问 \in M（M）$ .非空闭子集 $e（电子） (问)$ 属于 $Λ (问)$ 据说是一组基本的 $Λ (问)$ 如果，对于任何开集U型， $e（电子） (问) \subset U型$ ，有一个积极的δ这样的话 $U型 \cap Λ (问^{'}) \neq \emptyset$ 对于任何 $问^{'} \in M（M）$ 具有 $ρ (问，问^{'}) < δ$ 。

定义3.3让 $问 \in M（M）$ .一个重要子集 $米 (问) \subset Λ (问)$ 被称为是一组最基本的 $Λ (问)$ 如果它是按集合包含排序的基本集族的最小元素。A组件 $C类 (问)$ 据说是 $Λ (问)$ 如果 $C类 (问)$ 至关重要。

备注3.1（1）很容易看出问题所在 $问 \in M（M）$ 当且仅当映射 $Λ : M（M） ⇉ X（X） \times Y（Y）$ 在下半连续问.（2）对于两个闭合 ${e（电子）}_{1} (问) \subset {e（电子）}_{2} (问) \subset Λ (问)$ ，如果 ${e（电子）}_{1} (问)$ 那么，这是至关重要的 ${e（电子）}_{2} (问)$ 也是必不可少的。

首先，让我们介绍一些用于以下证明的数学工具，这些工具可以在[23–26].

引理3.1([23])

让 X（X） 和 Y（Y） 是两个拓扑空间 Y（Y） 契约。如果 F类 是一个闭合集-值映射自 X（X） 到 Y（Y），然后 F类 是上半部分-连续的。

引理3.2([24])

如果 X（X），Y（Y） 是两个度量空间，X（X） 是完整的，并且 $F类 : X（X） ⇉ Y（Y）$ 具有非空紧值的上半连续，然后是一组点，哪里 F类 是下半连续的，是一个密集的残留物 X（X）。

引理3.3([25])

让 C类，D类 是两个非空的，线性赋范空间的凸子集和紧子集 E类。然后

小时 (C类 ， λ C类 + μ D类) \leq 小时 (C类 ， D类) ，

哪里小时 是上定义的Hausdorff距离 E类，和 $λ ， μ \geq 0$ ， $λ + μ = 1$ 。

引理3.4([26])

让 $(Y（Y）， ρ)$ 是度量空间， ${K（K）}_{1}$ 和 ${K（K）}_{2}$ 是的两个非空紧子集 Y（Y）， ${V（V）}_{1}$ 和 ${V（V）}_{2}$ 是的两个非空不相交的开放子集 Y（Y）。如果 $小时 ({K（K）}_{1} ， {K（K）}_{2}) < ρ ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2}) : = inf公司 {ρ (x个，年) | x个 \in {V（V）}_{1} ，年 \in {V（V）}_{2}}$ ，然后

小时 ({K（K）}_{1} ， ({K（K）}_{1} ∖ {V（V）}_{2}) \cup ({K（K）}_{2} ∖ {V（V）}_{1})) \leq 小时 ({K（K）}_{1} ， {K（K）}_{2}) ，

哪里小时 Hausdorff度量是在上定义的吗 Y（Y）。

定理3.1 $(M（M）， ρ)$ 是一个完整的度量空间。

证明让 ${问^{n个}}_{n个 = 1}^{\infty}$ 是任意Cauchy序列ℳ，那么，对于任何 $ε > 0$ ，有 $N个 > 0$ 这样的话 $ρ (问^{n个} ，问^{米}) < ε$ 对于任何 $n个，米 > N个$ ，即，

\begin{aligned} \underset{(x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X（X）} ({S公司}^{n个} (x个 ， 年) ， {S公司}^{米} (x个 ， 年)) + \underset{(x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} ({T型}^{n个} (x个 ， 年) ， {T型}^{米} (x个 ， 年)) \\ + 小时 (Gr公司 (对^{n个}) ， Gr公司 (对^{米})) + {小时}^{'} (Gr公司 (问^{n个}) ， Gr公司 (问^{米})) \leq ε \end{aligned}

对于任何 $n个，米 > N个$ 。

(1)
显然，存在集值映射 $S公司 : X（X） \times Y（Y） ⇉ X（X）$ ， $T型 : X（X） \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 和一个封闭子集A类属于 $X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ ，闭子集B类属于 $X（X） \times Y（Y） \times Y（Y）$ 这样的话 ${S公司}^{n个} (x个，年) ⟶ S公司 (x个，年)$ ， ${T型}^{n个} (x个，年) ⟶ T型 (x个，年)$ 对于任何 $(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）$ 、和S公司，T型具有非空凸紧值的连续性，以及 $Gr公司 (对^{n个}) ⟶ A类$ ， $Gr公司 (问^{n个}) ⟶ B类$ 。
(2)
进一步定义以下对称变分关系 $问 = (S公司， T型，对，问)$ 通过
$\begin{matrix} 对 (x个，年， u个) 仅当且仅当 (x个，年， u个) \in A类， \\ 问 (x个，年， v（v）) 仅当且仅当 (x个，年， v（v）) \in B类。 \end{matrix}$

显然， $问^{n个} ⟶ 问$ 在距离之下ρ。我们将展示这一点 $问 \in M（M）$ 。

（i）
显然， $对 (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 和 $问 (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 已关闭。
（ii）
假设存在 $年 \in Y（Y）$ ，有限子集 ${{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ 属于X（X）和 $x个 \in 有限公司 {{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ 这样的话 $对 (x个，年， {x个}_{我})$ 不适用于每个 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ ，然后 $(x个，年， {x个}_{我}) \notin A类$ 对于每个 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 。自 $问^{米} ⟶ 问$ ，然后 $(x个，年， {x个}_{我}) \notin Gr公司 (对^{米})$ 对于每个 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 足够大的米，这意味着 $对^{米} (x个，年， {x个}_{我})$ 不适用于每个 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这是一个矛盾。因此，对于任何 $年 \in Y（Y）$ ，任意有限子集 ${{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ 属于X（X）以及任何 $x个 \in 有限公司 {{x个}_{1} ， \dots ， {x个}_{n个}}$ ，有 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $对 (x个，年， {x个}_{我})$ 持有。同样，对于任何 $x个 \in X（X）$ ，任意有限子集 ${年_{1} ， \dots ，年_{n个}}$ 属于Y（Y）以及任何 $年 \in 有限公司 {年_{1} ， \dots ，年_{n个}}$ ，有 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $问 (x个，年，年_{我})$ 持有。因此 $问 \in M（M）$ 和 $(M（M）， ρ)$ 完整。□

定理3.2 解决方案映射 $Λ : M（M） ⇉ X（X） \times Y（Y）$ 具有非空紧值的上半连续。

证明只要我们证明了 $图表 (Λ)$ 已关闭。让 ${(问^{n个} ， {x个}^{n个} ，年^{n个}) \in M（M） \times X（X） \times Y（Y）}_{n个 = 1}^{\infty}$ 是一个序列 $(问， x个，年)$ 这样的话 $({x个}^{n个} ，年^{n个}) \in Λ (问^{n个})$ 对于任何n个.然后 ${x个}^{n个} \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个})$ 和 $年^{n个} \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个})$ ， $对^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个} ， u个)$ 和 $问^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个} ， v（v）)$ 等待任何 $u个 \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个})$ 以及任何 $v（v） \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个})$ 。自 $问^{n个} ⟶ 问$ ，因此 $x个 \in S公司 (x个，年)$ 和 $年 \in T型 (x个，年)$ 。

假设存在 ${u个}_{0} \in S公司 (x个，年)$ 这样的话 $对 (x个，年， {u个}_{0})$ 不成立，则存在 ${u个}^{n个} \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个})$ 这样的话 ${u个}^{n个} ⟶ {u个}_{0}$ 、和 $(x个，年， {u个}_{0}) \notin Gr公司 (对)$ .足够大n个，我们有 $({x个}^{n个} ，年^{n个} ， {u个}^{n个}) \notin Gr公司 (对^{n个})$ ，即， $对^{n个} ({x个}^{n个} ，年^{n个} ， {u个}^{n个})$ 无法保持。这是一个矛盾。因此 $对 (x个，年， u个)$ 保留任何 $u个 \in S公司 (x个，年)$ 同样， $问 (x个，年， v（v）)$ 保留任何 $v（v） \in T型 (x个，年)$ .因此 $(x个，年) \in Λ (问)$ . □

定理3.3 存在稠密残差子集 $G公司$ 属于 ℳ 这样的话 问 对每个人都至关重要 $问 \in G公司$ 。

证明由于公制空间 $(M（M）， ρ)$ 是完整的（根据定理3.1），并且映射 $Λ : M（M） ⇉ X（X） \times Y（Y）$ 具有紧值的上半连续（根据定理3.2），根据引理3.2，∧是稠密剩余子集上的下半连续 $G公司$ 属于ℳ因此，根据备注3.1（1），问对每个人都至关重要 $问 \in G公司$ . □

定理3.4 对于每个 $问 \in M（M）$ ，至少存在一个最小基本子集 $Λ (问)$ 。

证明根据定理3.2， $Λ : M（M） ⇉ X（X） \times Y（Y）$ 具有紧值的上半连续，即对于每个开集 $哦 \supset Λ (问)$ ，存在 $δ > 0$ 这样的话 $哦 \supset Λ (问^{'})$ 对于任何 $问^{'} \in M（M）$ 具有 $ρ (问，问^{'}) < δ$ .因此 $Λ (问)$ 是其自身的基本集合。让θ表示所有基本集的族 $Λ (问)$ 按集合包含排序。那么，θ是非空的，并且θ中元素的每个递减链都有一个下界（因为根据紧性，交集在θ中）；因此，根据Zorn引理，θ有一个最小元素，它是 $Λ (问)$ . □

定理3.5 对于每个 $问 \in M（M）$ ，的每个最小本质子集 $Λ (问)$ 已连接。

证明对于每个 $问 \in M（M）$ ，让 $米 (问) \subset Λ (问)$ 是的最小基本子集 $Λ (问)$ 。假设 $米 (问)$ 不连通，则存在两个非空紧子集 ${c（c）}_{1} (问)$ ， ${c（c）}_{2} (问)$ 具有 $米 (问) = {c（c）}_{1} (问) \cup {c（c）}_{2} (问)$ ，并且存在两个不相交的开放子集 ${V（V）}_{1}$ ， ${V（V）}_{2}$ 属于 $X（X） \times Y（Y）$ 这样的话 ${V（V）}_{1} \supset {c（c）}_{1} (问)$ ， ${V（V）}_{2} \supset {c（c）}_{2} (问)$ 。自 $米 (问)$ 是一组最基本的 $Λ (问)$ ，两者都不是 ${c（c）}_{1} (问)$ 也不是 ${c（c）}_{2} (问)$ 至关重要。存在两个开放集 $哦_{1} \supset {c（c）}_{1} (问)$ ， $哦_{2} \supset {c（c）}_{2} (问)$ 这样，对于任何 $δ > 0$ ，存在 $问^{1} ，问^{2} \in M（M）$ 具有

ρ (问 ， 问^{1}) < δ ， ρ (问 ， 问^{2}) < δ ， Λ (问^{1}) \cap 哦_{1} = \emptyset ， Λ (问^{2}) \cap 哦_{2} = \emptyset 。

表示 ${W公司}_{1} = {V（V）}_{1} \cap 哦_{1}$ ， ${W公司}_{2} = {V（V）}_{2} \cap 哦_{2}$ ，我们知道 ${W公司}_{1}$ ， ${W公司}_{2}$ 已打开， ${W公司}_{1} \supset {c（c）}_{1} (问)$ ， ${W公司}_{2} \supset {c（c）}_{2} (问)$ ，我们可以假设 ${V（V）}_{1} \supset {\bar{W公司}}_{1}$ ， ${V（V）}_{2} \supset {\bar{W公司}}_{2}$ .表示 ${G公司}_{1} = {W公司}_{1} \times X（X）$ 和 ${G公司}_{2} = {W公司}_{2} \times Y（Y）$ ， $inf公司 {d日 (一， b条) | x个 \in {G公司}_{1} ， b条 \in {G公司}_{2}} = ε > 0$ 。

自 $米 (问)$ 至关重要 $米 (问) \subset ({W公司}_{1} \cup {W公司}_{2})$ ，存在 $0 < δ^{*} < ε$ 这样的话 $Λ (问^{'}) \cap ({W公司}_{1} \cup {W公司}_{2}) \neq \emptyset$ 对于任何 $问^{'} \in M（M）$ 具有 $ρ (问，问^{'}) < δ^{*}$ 。自 $米 (问)$ 是一组最基本的 $Λ (问)$ ，两者都不是 ${c（c）}_{1} (问)$ 也不是 ${c（c）}_{2} (问)$ 至关重要。因此，对于 $\frac{δ^{*}}{32} > 0$ ，存在两个 $问^{1} ，问^{2} \in M（M）$ 这样的话

Λ (问^{1}) \cap {W公司}_{1} = \emptyset ， Λ (问^{2}) \cap {W公司}_{2} = \emptyset ， ρ (问^{1} ， 问) < \frac{δ^{*}}{32} ， ρ (问^{2} ， 问) < \frac{δ^{*}}{32} 。

因此

ρ (问^{1} ， 问^{2}) < \frac{δ^{*}}{16} 。

接下来，定义对称变分关系问题 $问^{'} = ({S公司}^{'} ， {T型}^{'} ，对^{'} ，问^{'})$ 通过

\begin{matrix} {S公司}^{'} (x个 ， 年) = λ (x个 ， 年) {S公司}^{1} (x个 ， 年) + μ (x个 ， 年) {S公司}^{2} (x个 ， 年) ， \\ {T型}^{'} (x个 ， 年) = λ (x个 ， 年) {T型}^{1} (x个 ， 年) + μ (x个 ， 年) {T型}^{2} (x个 ， 年) ， \\ A类 = [Gr公司 (对^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [Gr公司 (对^{2}) ∖ {G公司}_{1}] ， \\ B类 = [Gr公司 (问^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [Gr公司 (问^{2}) ∖ {G公司}_{1}] ， \\ 对^{'} (x个 ， 年 ， u个) 仅当且仅当 (x个 ， 年 ， u个) \in A类 ， \\ 问^{'} (x个 ， 年 ， v（v）) 仅当且仅当 (x个 ， 年 ， v（v）) \in B类 ， \end{matrix}

哪里

\begin{matrix} λ (x个 ， 年) = \frac{d日 ((x个 ， 年) ， {\bar{W公司}}_{2})}{d日 ((x个 ， 年) ， {\bar{W公司}}_{1}) + d日 ((x个 ， 年) ， {\bar{W公司}}_{2})} ， \forall (x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y） ， \\ μ (x个 ， 年) = \frac{d日 ((x个 ， 年) ， {\bar{W公司}}_{1})}{d日 ((x个 ， 年) ， {\bar{W公司}}_{1}) + d日 ((x个 ， 年) ， {\bar{W公司}}_{2})} ， \forall (x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y） 。 \end{matrix}

很容易，我们可以检查一下

（i）
${S公司}^{'}$ ， ${T型}^{'}$ 具有非空紧凸值的连续。
（ii）
自 $Gr公司 (对^{1})$ 和 $Gr公司 (对^{2})$ 被封闭在 $X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ ，A类在中关闭 $X（X） \times Y（Y） \times X（X）$ ，这意味着 $对^{'} (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 已关闭。同样， $问^{'} (\cdot ， \cdot ， \cdot)$ 已关闭。
（iii）
假设存在 $年 \in Y（Y）$ ，有限子集 ${{x个}^{1} ， \dots ， {x个}^{n个}} \subset X（X）$ 和 $x个 \in 有限公司 {{x个}^{1} ， \dots ， {x个}^{n个}}$ 这样的话 $对^{'} (x个，年， {x个}^{我})$ 不适用于任何 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ ，然后
$(x个，年， {x个}^{我}) \notin A类 = [Gr公司 (对^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [Gr公司 (对^{2}) ∖ {G公司}_{1}] ， \forall 我 \in {1 ， \dots ， n个} 。$

作为 ${W公司}_{1} \cap {W公司}_{2} = \emptyset$ 在不失一般性的情况下，我们可以假设 $(x个，年) \in (X（X）， Y（Y）) ∖ {W公司}_{1}$ 因此，
$(x个，年， {x个}^{我}) \notin Gr公司 (对^{2}) ∖ {G公司}_{1} ， \forall 我 \in {1 ， \dots ， n个} ，$

即，
$(x个，年， {x个}^{我}) \notin Gr公司 (对^{2}) \cap [(X（X）， Y（Y）) ∖ {W公司}_{1} \times X（X）] ， \forall 我 \in {1 ， \dots ， n个} ，$

这意味着 $(x个，年， {x个}^{我}) \in Gr公司 (对^{2})$ 对于任何 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ .因此 $对^{2} (x个，年， {x个}^{我})$ 不适用于任何 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ ，这是一个矛盾。因此，对于任何 $年 \in Y（Y）$ ，任意有限子集 ${{x个}^{1} ， \dots ， {x个}^{n个}}$ 属于X（X）以及任何 $x个 \in 有限公司 {{x个}^{1} ， \dots ， {x个}^{n个}}$ ，有 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $对^{'} (x个，年， {x个}^{我})$ 持有。同样，对于任何 $x个 \in Y（Y）$ ，任意有限子集 ${年^{1} ， \dots ，年^{n个}}$ 属于Y（Y）以及任何 $年 \in 有限公司 {年^{1} ， \dots ，年^{n个}}$ ，有 $我 \in {1 ， \dots ， n个}$ 这样的话 $问^{'} (x个，年，年^{我})$ 持有。因此 $问^{'} \in M（M）$ 。
（iv）
此外，根据引理3.3和引理3.4，我们得到
$\begin{matrix} \begin{aligned} \underset{(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X（X）} (S公司 (x个，年) ， {S公司}^{'} (x个，年)) \leq & \underset{(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X（X）} (S公司 (x个，年) ， {S公司}^{1} (x个，年)) \\ + \underset{(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X（X）} ({S公司}^{1} (x个，年) ， {S公司}^{'} (x个，年)) \\ \leq & \frac{δ^{*}}{32} + \frac{δ^{*}}{16} \\ \leq & \frac{三}{32} δ^{*} ， \end{aligned} \\ \begin{aligned} \underset{(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个，年) ， {T型}^{'} (x个，年)) \leq & \underset{(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）}{支持} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个，年) ， {T型}^{1} (x个，年)) \\ + \underset{(x个，年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} ({T型}^{1} (x个，年) ， {T型}^{'} (x个，年)) \\ \leq & \frac{δ^{*}}{32} + \frac{δ^{*}}{16} \\ \leq & \frac{三}{32} δ^{*} ， \end{aligned} \\ \begin{aligned} 小时 (Gr公司 (对) ， Gr公司 (对^{'})) \leq & 小时 (Gr公司 (对) ， Gr公司 (对^{1})) + 小时 (Gr公司 (对^{1}) ， Gr公司 (对^{'})) \\ \leq & \frac{δ^{*}}{32} + \frac{δ^{*}}{16} \\ \leq & \frac{三}{32} δ^{*} ， \end{aligned} \\ \begin{aligned} {小时}^{'} (Gr公司 (问) ， Gr公司 (问^{'})) & \leq {小时}^{'} (Gr公司 (问) ， Gr公司 (问^{1})) + {小时}^{'} (Gr公司 (问^{1}) ， Gr公司 (问^{'})) \\ \leq \frac{δ^{*}}{32} + \frac{δ^{*}}{16} \\ \leq \frac{三}{32} δ^{*} 。 \end{aligned} \end{matrix}$

因此

\begin{array}{rcl} ρ (问^{'} ， 问) & = & \underset{(x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X（X）} (S公司 (x个 ， 年) ， {S公司}^{'} (x个 ， 年)) + \underset{(x个 ， 年) \in X（X） \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个 ， 年) ， {T型}^{'} (x个 ， 年)) \\ + 小时 (Gr公司 (对) ， Gr公司 (对^{'})) + {小时}^{'} (Gr公司 (问) ， Gr公司 (问^{'})) \\ \leq & \frac{三}{8} δ^{*} \\ < & δ^{*} 。 \end{array}

因此 $问^{'} \in M（M）$ 和 $ρ (问^{'} ，问) < δ^{*}$ 。

自

(Λ (问^{'}) \cap {W公司}_{1}) \cup (Λ (问^{'}) \cap {W公司}_{2}) = Λ (问^{'}) \cap ({W公司}_{1} \cup {W公司}_{2}) \neq \emptyset ，

我们假设 $Λ (问^{'}) \cap {W公司}_{1} \neq \emptyset$ 不失通用性。然后就有了 $(\bar{x个} ， \bar{年}) \in Λ (问^{'}) \cap {W公司}_{1}$ 这样的话 $(\bar{x个} ， \bar{年}) \in {W公司}_{1}$ ， $\bar{x个} \in {S公司}^{'} (\bar{x个} ， \bar{年})$ ， $\bar{年} \in {T型}^{'} (\bar{x个} ， \bar{年})$ 、和 $对^{'} (\bar{x个} ， \bar{年} ， u个)$ 和 $问^{'} (\bar{x个} ， \bar{年} ， v（v）)$ 等待任何 $u个 \in {S公司}^{'} (\bar{x个} ， \bar{年})$ 以及任何 $v（v） \in {T型}^{'} (\bar{x个} ， \bar{年})$ 。自 $(\bar{x个} ， \bar{年}) \in {W公司}_{1}$ ，

\begin{matrix} {S公司}^{'} (\bar{x个} ， \bar{年}) = {S公司}^{1} (\bar{x个} ， \bar{年}) ， {T型}^{'} (\bar{x个} ， \bar{年}) = {T型}^{1} (\bar{x个} ， \bar{年}) ， \\ 对^{1} (\bar{x个} ， \bar{年} ， u个) 和 问^{1} (\bar{x个} ， \bar{年} ， v（v）) 保持 \forall u个 \in {S公司}^{1} (\bar{x个} ， \bar{年}) ， \forall v（v） \in {T型}^{1} (\bar{x个} ， \bar{年}) ， \end{matrix}

这意味着 $(\bar{x个} ， \bar{年}) \in Λ (问^{1})$ .因此 $Λ (问^{1}) \cap {W公司}_{1} \neq \emptyset$ ，这与 $Λ (问^{1}) \cap {W公司}_{1} = \emptyset$ .因此 $米 (问)$ 已连接。□

定理3.6 对于每个 $问 \in M（M）$ ，至少有一个基本组成部分 $Λ (问)$ 。

证明根据定理3.5，至少存在一个连通的最小本质子集 $米 (问)$ 属于 $Λ (问)$ 因此，有一个组件C类属于 $Λ (问)$ 这样的话 $米 (问) \subset C类$ 很明显C类在备注3.1（2）中至关重要。因此C类是一个重要组成部分。□

备注3.2我们的论文改进了[5]. （i）对称（向量）拟平衡问题是对称变分关系问题的一个特例；（ii）英寸[5]，基本连接组件的存在是基于S公司，T型用于固定 ${（f）}_{0}$ ， $克_{0}$ （见第4节[5])，但本文中本质连通分量的存在是基于S公司，T型，对，问，这是更普遍的。

4结论

本文引入对称变分关系问题，建立了对称变分问题解的存在性定理。进一步，我们研究了对称变分关系问题平衡点的本质稳定性的概念。我们的论文改进了[5].

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致谢

教育部数学经济学重点实验室开放课题（项目编号：201309KF02）资助。

作者信息

作者和附属机构

上海财经大学经济学院，上海，200433，中国
哲阳（Zhe Yang）
数学经济学教育部重点实验室，上海，200433，中国
哲阳（Zhe Yang）

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Yang，Z.关于对称变分关系问题解的存在性和本质稳定性。J不平等申请 2014, 5 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-5

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收到:2013年7月25日
认可的:2013年12月1日
出版:2014年1月2日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-5