An a posteriori Fourier regularization method for identifying the unknown source of the space-fractional diffusion equation

Li, Xiao-Xiao; Lei, Jin Li; Yang, Fan

doi:10.1186/1029-242X-2014-434

研究
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出版：2014年10月31日

安后部识别空分扩散方程未知源的傅里叶正则化方法

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：434(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

在本文中，我们使用傅立叶方法识别了分数扩散方程的仅依赖于空间变量的未知源。与之前的文献不同，我们建议通过后部规则，利用该规则，我们可以获得精确解与正则化近似之间的Hölder型误差估计。数值模拟表明，该方案是有效的、稳定的。

MSC公司：35R30、47A52、65M30、65M32。

1简介

目前，分数阶微分方程的研究受到了广泛的关注。由于分数阶微积分和分数阶微分方程在物理、化学、机械工程、信号处理和系统识别、生物系统、控制理论、金融等领域的巨大应用潜力，工程师和科学家对其兴趣迅速增长等。事实上，可以注意到，分数微积分和分数微分方程最成功和最具体的应用之一是有效地刻画反常扩散。众所周知，普通扩散过程与中心极限定理的有效性密切相关，中心极限定理以均方位移的线性相关性为特征 $〈 {x个}^{2} (t吨) 〉 \sim κ t吨$ 用扩散系数κ然而，一些扩散过程，特别是在各种复杂系统中，不再遵循高斯行为。这种现象称为反常扩散，用均方位移的非线性增长来描述 $x个 (t吨)$ 扩散粒子随时间的变化t吨: $〈 {x个}^{2} (t吨) 〉 \sim κ_{α} {t吨}^{α}$ ，其中 $κ_{α}$ 是扩散系数，以及α是反常扩散指数。对于不同的α，将异常扩散分为次扩散( $0 < α < 1$ )，正常扩散( $α = 1$ )，超扩散( $α > 1$ )和弹道扩散( $α = 2$ ) [1,2]. 为了精确描述反常扩散行为，菲克定律不可避免地需要修改[三].

在数值求解空间分数阶偏微分方程方面取得了很大进展[三–9]. 在这里，我们没有进一步研究这个方向，而是讨论了空间分数反扩散方程，即。确定一维空间分数扩散方程中仅依赖于空间变量的未知源。未知源的确定是通过观测数据获取有关物理对象或系统的信息，是工程科学许多分支中最重要和研究最深入的问题之一，例如热传导、裂纹识别、电磁理论、地球物理勘探和污染物检测。对于热源识别，已有大量针对不同形式热源的研究成果[10–17]. 据作者所知，用正则化方法识别分数阶扩散方程未知源的论文很少。在[18]对于有界区域中的分数阶扩散方程，作者证明了仅依赖于空间变量的未知源识别的唯一性。在[19]利用耦合方法，作者识别了空间分数阶扩散方程的未知源。在[20]，作者用mollification方法识别了时间分数阶扩散方程的未知源。在[21]在时间分数阶扩散方程中，作者用边界元方法识别了仅依赖于时间变量的未知源。在[22]对于时间分数阶扩散方程，作者分别使用Tikhonov正则化方法和简化的Tikhonov-正则化方法来识别仅依赖于空间变量的未知源。在[23]对于时间分数阶扩散方程，作者利用截断正则化方法识别了仅依赖于空间变量的未知源。

本文考虑以下确定未知源项的反源问题 $（f） (x个)$ ，在下面的Riesz-Feller空间分数方程中：

{\begin{matrix} {u个}_{t吨} (x个, t吨) - x个 {D类}_{θ}^{α} u个 (x个, t吨) = （f） (x个), & x个 \in 对, 0 < t吨 < 1, \\ u个 (x个, 0) = 0, & x个 \in 对, \\ u个 (x个, 1) = 克 (x个), & x个 \in 对, \end{matrix}

(1.1)

其中，空间分数导数 ${}_{x个}{D类}_{θ}^{α}$ 是Riesz-Feller分数阶导数α( $0 < α < 2$ )和偏斜θ( $| θ | \leq 最小值 {α, 2 - α}$ , $θ \neq \pm 1$ )它由中的傅里叶变换定义[24],即, [25]

F类 {x个 {D类}_{θ}^{α} （f） (x个); ξ} = - ψ_{α}^{θ} (ξ) \hat{（f）} (ξ),

(1.2)

哪里

ψ_{α}^{θ} (ξ) = {| ξ |}^{α} {e（电子）}^{我 (签名 (ξ)) \frac{θ π}{2}} .

(1.3)

此外，来自[24]，Riesz-Feller分数导数可以写成

\begin{matrix} {}_{x个}{D类}_{θ}^{α} （f） (x个) = \frac{Γ (1 + α)}{π} {罪 \frac{(α + θ) π}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{（f） (x个 + ξ) - （f） (x个)}{ξ^{1 + α}} d日 ξ \\ + 罪 \frac{(α - θ) π}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{（f） (x个 + ξ) - （f） (x个)}{ξ^{1 + α}} d日 ξ}, 0 < α < 2, \\ D类 02 x个 （f） (x个) = \frac{{d日}^{2} （f） (x个)}{d日 {x个}^{2}}, α = 2, \end{matrix}

哪里 $Γ (\cdot)$ 是一个伽马函数。然而，为了便于数值计算，Riesz-Feller分数导数 ${}_{x个}{D类}_{θ}^{α}$ 也可以定义如下（参见[26]):

\begin{matrix} {}_{x个}{D类}_{θ}^{α} （f） (x个) = - \frac{1}{Γ (1 - α) 罪 (α π)} {罪 \frac{(α - θ) π}{2} \frac{d日}{d日 x个} \int_{- \infty}^{x个} \frac{（f） (ξ)}{{(x个 - ξ)}^{α}} d日 ξ \\ + 罪 \frac{(α + θ) π}{2} \frac{d日}{d日 x个} \int_{x个}^{\infty} \frac{（f） (ξ)}{{(ξ - x个)}^{α}} d日 ξ}, 0 < α < 1, \\ {}_{x个}{D类}_{θ}^{1} （f） (x个) = - \frac{1}{π} 余弦 \frac{θ π}{2} \frac{d日}{d日 x个} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{（f） (ξ)}{x个 - ξ} d日 ξ + 罪 \frac{θ π}{2} \frac{d日 （f） (x个)}{d日 x个}, α = 1, \\ {}_{x个}{D类}_{θ}^{α} （f） (x个) = - \frac{1}{Γ (2 - α) 罪 (α π)} {罪 \frac{(α - θ) π}{2} \frac{{d日}^{2}}{d日 {x个}^{2}} \int_{- \infty}^{x个} \frac{（f） (ξ)}{{(x个 - ξ)}^{α - 1}} d日 ξ \\ + 罪 \frac{(α + θ) π}{2} \frac{{d日}^{2}}{d日 {x个}^{2}} \int_{x个}^{\infty} \frac{（f） (ξ)}{{(ξ - x个)}^{α - 1}} d日 ξ}, 1 < α < 2, \\ {D类}_{02}^{x个} （f） (x个) = \frac{{d日}^{2} （f） (x个)}{d日 {x个}^{2}}, α = 2 . \end{matrix}

$（f） (x个)$ 表示源项。我们的目的是确定 $（f） (x个)$ 根据附加数据 $u个 (x个, 1) = 克 (x个)$ .自数据以来 $克 (x个)$ 基于（物理）观测，必然存在测量误差，我们假设测量数据 $克_{δ} (x个) \in {L（左）}^{2} (对)$ ，满足

∥ 克 - 克_{δ} ∥ \leq δ,

(1.4)

哪里 $∥ \cdot ∥$ 表示 ${L（左）}^{2}$ -范数与常数 $δ > 0$ 是噪声级。

这个问题在哈达玛的意义上是不适定的，即，测量数据中的微小变化可能会破坏解决方案。通过在频域中解决问题，可以看出这种不适定性。为了分析中的问题（1.1） ${L（左）}^{2} (对)$ ，我们定义

\hat{（f）} (ξ) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {e（电子）}^{- 我 ξ x个} （f） (x个) d日 x个,

(1.5)

这是函数的傅里叶变换 $（f） (x个)$ .

使用傅立叶变换，我们得到了（1.1）的解，如下所示：

\overset{图6}{（f）} (ξ) = \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ),

(1.6)

或同等标准，

（f） (x个) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {e（电子）}^{我 ξ x个} \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) d日 ξ .

(1.7)

请注意 $ψ_{α}^{θ} (ξ)$ ( $| θ | \leq 最小值 {α, 2 - α}$ , $θ \neq \pm 1$ )有积极的现实意义 ${| ξ |}^{α}$ ，高频分量中的小误差将被因素放大 ${| ξ |}^{α}$ 作为 $| ξ | \to \infty$ .对数据的小干扰 $克 (x个)$ 将被该因子无限放大，并导致积分（1.7）放大。所以识别未知来源 $（f） (x个)$ 根据测量数据 $克_{δ} (x个)$ 身体严重不适。因此，当我们在 ${L（左）}^{2} (对)$ ，精确数据函数 $\hat{克} (ξ)$ 必须迅速腐烂。然而，测量数据功能 $克_{δ} (x个)$ ，仅在 ${L（左）}^{2} (对)$ ，一般不具有这种衰减特性。因此，如果我们试图获得未知来源 $（f） (x个)$ ，误差中的高频分量被放大，可能会破坏解决方案。用经典方法解决问题（1.1）是不可能的。在下一节中，我们将使用傅里叶正则化方法来处理不适定问题。在此之前，我们将先验的绑定在输入数据上，即,

{∥ （f） (\cdot) ∥}_{{H（H）}^{第页}} \leq E类, 第页 > 0,

(1.8)

哪里 $E类 > 0$ 是一个常量， ${∥ \cdot ∥}_{{H（H）}^{第页}}$ 表示Sobolev空间中的范数 ${H（H）}^{第页} (对)$ 由定义

{∥ （f） (\cdot) ∥}_{{H（H）}^{第页}} : = {(\int_{- \infty}^{\infty} | \hat{（f）} (ξ) |^{2} {(1 + ξ^{2})}^{第页} d日 ξ)}^{\frac{1}{2}} .

（1.9）

在[27]对于空间分数扩散方程，作者使用傅里叶方法识别仅依赖于空间变量的未知源，但正则化参数为先验的选择规则。一般来说，任何先验的方法；即，的先验的正则化参数的选择显然取决于先验的跳跃E类未知解决方案。但是先验的跳跃E类在实践中无法确切知道，并且使用错误的常量E类可能导致不好的正则化解决方案。在本文件中后部将给出正则化参数的选择。据作者所知，很少有论文通过后部这个问题的规则。

傅里叶正则化方法已被研究用于求解各种类型的反问题。埃尔登等。[28]利用截断法对一维热传导反问题进行了分析和计算。熊等。[29]用它来考虑侧面热方程的表面热通量。傅等。[30]用它来解决反向热传导问题。钱等。[31]用它来考虑数值微分。里根斯卡和里根斯基[32]将其应用于亥姆霍兹方程的柯西问题。窦等。[33]用它来识别仅依赖于空间变量的未知热源。杨和傅[34]使用它来识别仅依赖于时间变量的未知热源。但在这些论文中，正则化参数是先验的选择规则。在本文中，我们将给出后部识别分数阶扩散方程中未知源的选择规则。

论文大纲如下。第2节给出了一些辅助结果，傅里叶正则化方法和后部参数选择规则。在第三节中，给出了一些数值例子来证明该方法的有效性。第四节以简短的结论结束本文。

2安后部傅里叶方法的正则化参数选择规则及收敛性估计

很明显，问题（1.1）的不适定性是由高频扰动引起的。稳定问题（1.1）的自然方法是从解决方案中消除所有高频 $（f） (x个)$ .我们定义了含噪数据问题（1.1）的正则化近似解 $克_{δ} (x个)$ 如下所示：

{（f）}_{δ, ξ_{最大值}} (x个) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {e（电子）}^{我 ξ x个} \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} {\hat{克}}_{δ} (ξ) χ_{最大值} d日 ξ,

(2.1)

这称为问题（1.1）的傅里叶截断正则化解，其中 $χ_{最大值}$ 是区间的特征函数 $[- ξ_{最大值}, ξ_{最大值}]$ ,即,

χ_{最大值} (ξ) = {\begin{matrix} 1, & | ξ | \leq ξ_{最大值}, \\ 0, & | ξ | > ξ_{最大值}, \end{matrix}

(2.2)

和 $ξ_{最大值}$ 是一个常数，将适当地选择它作为正则化参数。我们认为后部利用差分原理选择正则化参数。选择正则化参数 $ξ_{最大值}$ 作为方程的解

∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) {\hat{克}}_{δ} (ξ) ∥ = τ δ, τ > 1 是一个常量,

(2.3)

哪里 $χ_{最大值} (ξ)$ 由（2.2）定义。建立方程解的存在唯一性(2.3），我们需要以下引理和注释。

引理2.1 让 $ρ (ξ_{最大值}) : = ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) {\hat{克}}_{δ} (ξ) ∥$ ,然后,对于 $δ > 0$ ,以下保持:

（a）
$ρ (ξ_{最大值})$ 是一个连续函数;
（b）
$林_{ξ_{最大值} \to \infty} ρ (ξ_{最大值}) = 0$ ;
（c）
$林_{ξ_{最大值} \to 0} ρ (ξ_{最大值}) = ∥ {\hat{克}}_{δ} ∥$ ;
（d）
$ρ (ξ_{最大值})$ 是严格递减函数.

证明很容易，我们在这里省略了它。

备注2.2建立方程解的存在唯一性(2.3），我们总是假设 $0 < δ < ∥ 克_{δ} ∥$ .

为后部正则化参数的选择规则，我们需要以下引理。

引理2.3 如果 $x个 > 1$ ,以下不等式成立:

\frac{1}{1 - {e（电子）}^{- x个}} < 2 .

(2.4)

引理2.4 如果 $ξ \in 对$ ,以下不等式成立:

| \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} | \leq \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} .

(2.5)

证明根据事实 $| {e（电子）}^{z（z）} | = {e（电子）}^{重新 (z（z）)}$ ，我们获得

| \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} | \leq \frac{| ψ_{α}^{θ} (ξ) |}{| 1 - | {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)} | |} = \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- 重新 (ψ_{α}^{θ} (ξ))}} = \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} .

(2.6)

□

引理2.5 如果 $ξ_{最大值}$ 是等式的解. (2.3),那么下面的不等式成立:

| ξ_{最大值} | \leq {(\frac{2 E类}{(τ - 1) δ})}^{\frac{1}{第页 + α}} .

(2.7)

证明由于（1.8），我们得到

\begin{matrix} ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ \\ = {(\int_{| ξ | \geq ξ_{最大值}} | \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{1}{2}} \\ = {(\int_{| ξ | \geq ξ_{最大值}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) |^{2} {(1 + ξ^{2})}^{第页} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{- 2} {(1 + ξ^{2})}^{- 第页} d日 ξ)}^{\frac{1}{2}} \\ \leq \underset{| ξ | \geq ξ_{最大值}}{啜饮} | | \frac{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}}{ψ_{α}^{θ} (ξ)} | {(1 + ξ^{2})}^{- \frac{第页}{2}} | E类 \leq \underset{| ξ | \geq ξ_{最大值}}{啜饮} \frac{2}{{| ξ |}^{α + 第页}} E类 \leq \frac{2}{{| ξ_{最大值} |}^{第页 + α}} E类 . \end{matrix}

所以

∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ \leq \frac{2}{{| ξ_{最大值} |}^{第页 + α}} E类 .

(2.8)

另一方面，利用三角形不等式（1.4）和（2.3），我们得到

\begin{aligned} ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ & = ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) (\hat{克} (ξ) - {\hat{克}}_{δ} (ξ) + {\hat{克}}_{δ} (ξ)) ∥ \\ = ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) {\hat{克}}_{δ} (ξ) + (1 - χ_{最大值} (ξ)) (\hat{克} (ξ) - {\hat{克}}_{δ} (ξ)) ∥ \\ \geq ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) {\hat{克}}_{δ} (ξ) ∥ - ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) (\hat{克} (ξ) - {\hat{克}}_{δ} (ξ)) ∥ \\ \geq τ δ - δ = (τ - 1) δ . \end{aligned}

所以

∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ \geq (τ - 1) δ .

(2.9)

结合（2.8）和（2.9），我们得到

(τ - 1) δ \leq ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ \leq \frac{2}{{| ξ_{最大值} |}^{第页 + α}} E类 .

(2.10)

所以

| ξ_{最大值} | \leq {(\frac{2 E类}{(τ - 1) δ})}^{\frac{1}{第页 + α}} .

(2.11)

□

引理2.6 如果 $ξ_{最大值}$ 是方程的解. (2.3),那么下面的不等式也成立:

∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ \leq (τ + 1) δ .

(2.12)

证明根据（1.4）和（2.3），我们得出

\begin{aligned} ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) \hat{克} (ξ) ∥ & = ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) (\hat{克} (ξ) - {\overset{图6}{克}}_{δ} (ξ) + {\overset{图6}{克}}_{δ} (ξ)) ∥ \\ \leq ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) (\hat{克} (ξ) - {\hat{克}}_{δ} (ξ)) ∥ + ∥ (1 - χ_{最大值} (ξ)) {\hat{克}}_{δ} (ξ) ∥ \\ \leq δ + τ δ = (τ + 1) δ . \end{aligned}

□

现在我们给出这一部分的主要结果。

定理2.7 假设条件(1.4)和(1.8)拿着吃溶液 $ξ_{最大值}$ 等式的. (2.3)作为正则化参数,然后我们得到以下误差估计:

\begin{array}{rcl} ∥ （f） (\cdot) - {（f）}_{δ, ξ_{最大值}} (\cdot) ∥ & \leq & ({(2 (τ + 1))}^{\frac{第页}{第页 + α}} + 2 {(\frac{2}{τ - 1})}^{\frac{α}{第页 + α}}) \\ \times {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} (1 + o个 (1)) 作为 δ \to 0 . \end{array}

(2.13)

证明利用Parseval公式和三角形不等式，我们得到

\begin{array}{rcl} ∥ （f） (\cdot) - {（f）}_{δ, ξ_{最大值}} (\cdot) ∥ & = & ∥ \hat{（f）} (\cdot) - {\hat{（f）}}_{δ, ξ_{最大值}} (\cdot) ∥ \\ = & ∥ \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) - \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} {\hat{克}}_{δ} (ξ) χ_{最大值} ∥ \\ \leq & ∥ \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) - \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) χ_{最大值} ∥ \\ + ∥ \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) χ_{最大值} - \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} {\hat{克}}_{δ} (ξ) χ_{最大值} ∥ \\ = & {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{2} | \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{1}{2}} \\ + {(\int_{| ξ | \leq ξ_{最大值}} {(\frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} (\hat{克} (ξ) - {\overset{图6}{克}}_{δ} (ξ)))}^{2} d日 ξ)}^{\frac{1}{2}} \\ = & 我_{1} + 我_{2} . \end{array}

利用Hölder不等式和（2.12），我们得到

\begin{array}{rcl} 我_{1}^{2} & = & \int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{2} | \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ \\ = & \int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{2} | \hat{克} (ξ) |^{\frac{2 α}{第页 + α}} | \hat{克} (ξ) |^{2 (1 - \frac{α}{第页 + α})} d日 ξ \\ \leq & {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} {(| \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{2} | \hat{克} (ξ) |^{\frac{2 α}{第页 + α}})}^{\frac{第页 + α}{α}} d日 ξ)}^{\frac{α}{第页 + α}} \\ \times {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} {(| \hat{克} (ξ) |^{2 (1 - \frac{α}{第页 + α})})}^{\frac{第页 + α}{第页}} d日 ξ)}^{\frac{第页}{第页 + α}} \\ = & {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{\frac{2 (第页 + α)}{α}} | \overset{图6}{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{α}{第页 + α}} {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \overset{图6}{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{第页}{第页 + α}} \\ = & {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{\frac{2 第页}{α}} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{α}{第页 + α}} {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{第页}{第页 + α}} \\ = & {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} {(1 + ξ^{2})}^{- 第页} | \frac{ψ_{α}^{θ} (ξ)}{1 - {e（电子）}^{- ψ_{α}^{θ} (ξ)}} |^{\frac{2 第页}{α}} {(1 + ξ^{2})}^{第页} | \hat{（f）} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{α}{第页 + α}} \\ \times {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{第页}{第页 + α}} \\ \leq & \underset{| ξ | > ξ_{最大值}}{啜饮} | {(1 + ξ^{2})}^{- 第页} | \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} |^{\frac{2 第页}{α}} |^{\frac{α}{第页 + α}} {E类}^{\frac{2 α}{第页 + α}} {(\int_{| ξ | > ξ_{最大值}} | \hat{克} (ξ) |^{2} d日 ξ)}^{\frac{第页}{第页 + α}} \\ \leq & \underset{| ξ | > ξ_{最大值}}{啜饮} | \frac{1}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} |^{\frac{2 第页}{第页 + α}} {E类}^{\frac{2 α}{第页 + α}} {∥ (1 - χ_{最大值}) | \hat{克} (ξ) | ∥}^{\frac{2 第页}{第页 + α}} \\ \leq & 2^{\frac{2 第页}{第页 + α}} {E类}^{\frac{2 α}{第页 + α}} {((τ + 1) δ)}^{\frac{2 第页}{第页 + α}} . \end{array}

所以

我_{1} \leq 2^{\frac{第页}{第页 + α}} {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} {((τ + 1) δ)}^{\frac{第页}{第页 + α}} = 2^{\frac{第页}{第页 + α}} {(τ + 1)}^{\frac{第页}{第页 + α}} {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} .

(2.14)

结合（1.4）和（2.4），我们得到

\begin{aligned} 我_{2} = & {(\int_{| ξ | \leq ξ_{最大值}} {(\frac{{(我 ξ)}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} (\hat{克} (ξ) - {\hat{克}}_{δ} (ξ)))}^{2} d日 ξ)}^{\frac{1}{2}} \leq \underset{| ξ | \leq ξ_{最大值}}{啜饮} | \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} | δ \\ \leq \underset{| ξ | \leq 1}{啜饮} | \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} | δ + \underset{1 < | ξ | \leq ξ_{最大值}}{啜饮} | \frac{{| ξ |}^{α}}{1 - {e（电子）}^{- {| ξ |}^{α} 余弦 (\frac{θ π}{2})}} | δ \\ \leq (\frac{2}{余弦 (\frac{θ π}{2})} + 2 ξ_{最大值}^{α}) δ . \end{aligned}

使用（2.7），我们得到

\begin{aligned} 我_{2} & \leq (\frac{2}{余弦 (\frac{θ π}{2})} + 2 ξ_{最大值}^{α}) δ \leq 2 {(\frac{2 E类}{(τ - 1) δ})}^{\frac{α}{第页 + α}} δ + \frac{2}{余弦 (\frac{θ π}{2})} δ \\ = 2 {(\frac{2}{τ - 1})}^{\frac{α}{第页 + α}} {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} + \frac{2}{余弦 (\frac{θ π}{2})} δ . \end{aligned}

所以

我_{2} \leq 2 {(\frac{2}{τ - 1})}^{\frac{α}{第页 + α}} {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} + \frac{2}{余弦 (\frac{θ π}{2})} δ .

(2.15)

结合（2.14）和（2.15），我们得到

\begin{aligned} ∥ （f） (\cdot) - {（f）}_{δ, ξ_{最大值}} (\cdot) ∥ & \leq 2^{\frac{第页}{第页 + α}} {(τ + 1)}^{\frac{第页}{第页 + α}} {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} + 2 {(\frac{2}{τ - 1})}^{\frac{α}{第页 + α}} {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} + \frac{2}{余弦 (\frac{θ π}{2})} δ \\ = ({(2 (τ + 1))}^{\frac{第页}{第页 + α}} + 2 {(\frac{2}{τ - 1})}^{\frac{α}{第页 + α}}) {E类}^{\frac{α}{第页 + α}} δ^{\frac{第页}{第页 + α}} (1 + o个 (1)) 作为 δ \to 0 . \end{aligned}

定理2.7的证明完成。□

3几个数值示例

在本节中，我们给出了两个数值例子来验证这些方法的理论结果的有效性。此外，我们想比较后部参数选择（2.3）先验的参数选择规则 $ξ_{最大值} = {(\frac{E类}{δ})}^{\frac{1}{第页 + α}}$ 英寸[27].

数值示例的构造方式如下：首先，我们选择了精确解 $（f） (x个)$ 得到了精确的数据函数 $克 (x个)$ 通过解决前面的问题。然后我们给每个数据函数添加一个正态分布的扰动，得到向量 $克_{δ} (x个)$ 最后通过求解反问题得到正则化解。使用二分法求解方程式(2.3）带有 $τ = 1.1$ 在下面的实验中，我们选择 $x个 \in [- 5, 5]$ .

假设序列 ${克_{k个}}_{k个 = 0}^{n个}$ 表示函数中的样本 $克 (x个)$ 在等距网格上，我们给每个数据添加一个随机均匀扰动，这就形成了向量 $克_{δ}$ ,即,

克_{δ} = 克 + ε 兰登 (大小 (克)),

(3.1)

哪里

克 = {(克 ({x个}_{1}), \dots, 克 ({x个}_{n个}))}^{T型}, {x个}_{我} = - 5 + (我 - 1) Δ x个, Δ x个 = \frac{10}{n个 - 1}, 我 = 1, 2, \dots, n个 .

(3.2)

函数' $兰登 (\cdot)$ '生成随机数数组，其元素正态分布，平均值为0，方差为 $σ^{2} = 1$ ” $兰登 (大小 (克))$ '返回一个随机项数组，该数组的大小与克.总噪声级δ可以根据以下公式在均方根误差（RMSE）的意义上进行测量

δ = {∥ 克_{δ} - 克 ∥}_{我^{2}} = {(\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} {(克_{我} - 克_{我, δ})}^{2})}^{\frac{1}{2}} .

(3.3)

使用快速傅里叶变换算法计算正则化解的近似值[28].

示例1考虑分段平滑未知源，如下所示：

（f） (x个) = {\begin{matrix} 0, & - 5 \leq x个 \leq - 1, \\ 1 - {x个}^{2}, & - 1 < x个 \leq 1, \\ 0, & 1 < x个 \leq 5 . \end{matrix}

(3.4)

示例2考虑以下不连续未知源：

（f） (x个) = {\begin{matrix} 0, & - 5 \leq x个 \leq - \frac{5}{2}, \\ 1, & - \frac{5}{2} < x个 \leq \frac{5}{2}, \\ 0, & \frac{5}{2} < x个 \leq 5 . \end{matrix}

(3.5)

从数字1-8，我们发现较小的ε，计算出的近似值越好α即，计算的近似值越高。这些与我们的理论分析一致。此外，我们还可以很容易地发现后部参数选择规则也很有效。最后，根据图1-8可以看出，实施例2的数值解不如实施例1的数值解理想。不难看出，众所周知的吉布斯现象和不连续点附近的恢复数据并不准确。

4结论

本文利用傅里叶方法识别Riesz-Feller空间分数阶扩散方程中仅依赖于空间变量的未知源项。我们建议通过一个后部规则使用差异原则。得到了精确解与正则解之间的相应误差估计。数值试验表明，该方法在减少数据中的噪声量方面是准确、稳定和收敛的。

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