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不等式与应用杂志
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求算子和零点的迭代算法

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：349(2014)引用这篇文章

摘要

让 H（H） 1 , H（H） 2 成为真正的希尔伯特空间，C⊆ H（H） 1 是非空闭凸集，并且0∉C.让A类: H（H） 1 → H（H） 2 ,B类: H（H） 1 → H（H） 2 是两个有界线性算子。我们考虑要发现的问题x个∈C这样的话A类x个=−B类x个(0=A类x个+B类x个). 最近，Eckstein和Svaiter提出了一些求单调算子和零点的分裂方法A类和B类然而，这些算法在很大程度上取决于A类和B类在本文中，我们描述了一些求和零点的算法A类和B类忽略了A类和B类.

1简介和前言

让 H（H） 1 , H（H） 2 , H（H） 三 成为真正的希尔伯特空间，C⊆ H（H） 1 是非空闭凸集0∉C.让A类: H（H） 1 → H（H） 2 ,B类: H（H） 1 → H（H） 2 是两个有界线性算子。我们考虑有趣的发现问题x个∈C这样的话

A类x个=−B类x个(或0=A类x个+B类x个).
(1.1)

为了方便起见，我们将问题表示为P（P）.

对于P（P）通常很难找到A类和B类分别进行。为了克服这个困难，埃克斯坦和斯瓦特[1]给出求单调算子和零点的分裂方法A类和B类。在[1]:

  1. （i）

    这个道格拉斯/皮切曼-拉赫福德族，其迭代由

    年 k个 = [ 2 ( 我 + ξ B类 ) − 1 + 我 ] x个 k个 , z k个 = [ 2 ( 我 + ξ A类 ) − 1 + 我 ] 年 k个 , x个 k个 + 1 = ( 1 − ρ k个 ) x个 k个 + ρ k个 z k个 ,

哪里ξ>0是固定标量，并且{ ρ k个 }⊆(0,1]是一系列松弛参数。

  1. （ii）

    这个双向后分裂法，迭代公式如下

    年 k个 = ( 我 + λ k个 B类 ) − 1 x个 k个 , x个 k个 + 1 = ( 我 + λ k个 A类 ) − 1 年 k个 ,

哪里{ λ k个 }⊆(0,∞)一系列正则化参数。

  1. （iii）

    这个前后向分裂法，迭代公式如下

    年 k个 ∈ ( 我 − λ k个 A类 ) − 1 x个 k个 , x个 k个 + 1 = ( 我 + λ k个 B类 ) − 1 年 k个 ,

哪里{ λ k个 }⊆(0,∞)一系列正则化参数。

方案（i）的收敛结果，在这种情况下{ ρ k个 }包含在(0,1)，可以在中找到[2]; （ii）给出的双后向格式的收敛性分析，可以在[三]和[4]; （iii）的标准收敛性分析[5]. 然而，收敛结果在很大程度上取决于A类和B类因此，本文的目的是构建新的问题算法P（P）忽略了A类和B类.

论文组织如下。在第二节中，我们定义了问题的最小范数解的概念P（P）(1.1). 利用Tychonov正则化，我们获得了一些逼近此类最小范数解的最小化问题的解网（参见定理2.4）。在第3节中，我们引入了一个算法，并证明了该算法的强收敛性，更重要的是，它的极限是问题的最小范数解P（P）（1.1）（见定理3.2）。在第4节中，我们引入了KM-CQ类迭代算法，该算法强收敛于问题的解P（P）（1.1）（见定理4.3）。

在本文的其余部分中，我表示希尔伯特空间上的恒等运算符H（H）,修复(T型)算子的不动点集T型和∇（f）泛函的梯度（f）:H（H）→R（右）.操作员T型在希尔伯特空间上H（H）是非扩张如果，对于每个x个和年在里面H（H）,∥T型x个−T型年∥≤∥x个−年∥.T型据说是平均，如果存在0<α<1和一个非扩张算子N个这样的话T型=(1−α)我+αN个.

我们知道投影 P（P） C 从H（H）非空闭凸子集C属于H（H）是非扩张平均映射的典型示例，其定义为

P（P） C (周)=参数 最小值 x个 ∈ C ∥x个−周∥.

众所周知 P（P） C (周)以不平等为特征

〈 周 − P（P） C ( 周 ) , x个 − P（P） C ( 周 〉 ≤0,∀x个∈C.

我们现在收集一些基本事实，这些事实将用于证明我们的主要结果。

引理1.1[6,7]

让 X（X） 成为巴拿赫空间,C 的闭凸子集 X（X）,和 T型:C→C 具有的非扩张映射 修复(T型)≠∅.如果 { x个 n个 } 是中的序列 C 弱收敛到 x个 如果 {(我−T型) x个 n个 } 强烈收敛于 年,然后 (我−T型)x个=年.

引理1.2[8]

让 { 秒 n个 } 是一个非负实数序列,{ α n个 } 中的实数序列 [0,1] 具有 ∑ n个 = 1 ∞ α n个 =∞,{ u个 n个 } 非负实数序列 ∑ n个 = 1 ∞ u个 n个 <∞,和 { t吨 n个 } 实数序列 酸橙酱 n个 t吨 n个 ≤0.假设

秒 n个 + 1 =(1− α n个 ) 秒 n个 + α n个 t吨 n个 + u个 n个 ,∀n个∈N个.

然后 林 n个 → ∞ 秒 n个 =0.

引理1.3[9]

让 { 周 n个 },{ z n个 } 是Banach空间中的有界序列 { β n个 } 成为一个序列 [0,1] 满足以下条件:0< lim信息 n个 → ∞ β n个 ≤ 酸橙酱 n个 → ∞ β n个 <1.假设 周 n个 + 1 =(1− β n个 ) 周 n个 + β n个 z n个 和 酸橙酱 n个 → ∞ ∥ z n个 + 1 − z n个 ∥−∥ 周 n个 + 1 − 周 n个 ∥≤0,然后 林 n个 → ∞ ∥ z n个 − 周 n个 ∥=0.

引理1.4[10]

让 （f） 是凸可微泛函 C 是的闭凸子集 H（H）.然后 x个∈C 是问题的解决方案

最小值 x个 ∈ C （f）(x个)

当且仅当 x个∈C 满足以下最优性条件:

〈 ∇ （f） ( x个 ) , v（v） − x个 〉 ≥0,∀v（v）∈C.

此外,如果 （f） 是,此外,严格凸和强制,那么最小化问题有唯一的解.

引理1.5[11]

让 A类 和 B类 是平均算子，假设 修复(A类)∩修复(B类) 非空.然后 修复(A类)∩修复(B类)=修复(A类B类)=修复(B类A类).

2问题的最小范数解P（P）

在本节中，我们提出了的最小范数解的概念P（P）(1.1). 然后，利用Tychonov正则化，通过一个解网得到了一类极小化问题的最小范数解。

我们用Γ表示P（P）,即,

Γ={x个∈ H（H） 1 ,A类x个=−B类x个,x个∈C}

并假设一致性P（P）因此Γ是闭的、凸的和非空的。

让H（H）= H（H） 1 × H（H） 1 ,M（M）={(x个,x个),x个∈ H（H） 1 }⊆H（H）,P（P）是来自的线性运算符 H（H） 1 到上面M（M）、和P（P）具有矩阵形式

P（P）=[ 我 我 ],

也就是说，P（P）(x个)=(x个,x个),∀x个∈ H（H） 1 .

定义G公司:H（H）→ H（H） 2 通过G公司((x个,年))=A类x个+B类年,∀(x个,年)∈ H（H） 2 .然后G公司具有矩阵形式G公司=[A类,B类]、和G公司P（P）=A类+B类,P（P） G公司 ∗ G公司P（P）= A类 ∗ A类+ A类 ∗ B类+ B类 ∗ A类+ B类 ∗ B类.

这个问题现在可以重新表述为x个∈C具有G公司P（P）x个=0，或解决以下最小化问题：

最小值 x个 ∈ C （f）(x个)= 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 ∥ 2 ,
(2.1)

这是不合适的。一种经典的方法是著名的Tychonov正则化，它通过正则化问题的唯一极小值逼近问题（2.1）的解：

最小值 x个 ∈ C （f） α (x个)= 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 ∥ 2 + 1 2 α ∥ x个 ∥ 2 ,
(2.2)

哪里α>0是正则化参数。表示方式 x个 α （2.2）的唯一解。

提议2.1 对于 α>0,解决方案 x个 α 属于(2.2)是唯一定义的. x个 α 以不平等为特征

〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 α + α x个 α , x个 − x个 α 〉 ≥0,∀x个∈C.

证明显然，（f）(x个)= 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 ∥ 2 是凸的并且可以用梯度微分∇（f）(x个)= P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）x个回忆一下 （f） α (x个)=（f）(x个)+ 1 2 α ∥ x个 ∥ 2 ，我们看到了 （f） α 严格凸且可与梯度微分

∇ （f） α (x个)= P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）x个+αx个.

根据引理1.4， x个 α 以不平等为特征

〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 α + α x个 α , x个 − x个 α 〉 ≥0,∀x个∈C.
(2.3)

 □

定义2.2一个元素 x个 ˜ ∈Γ据说是最小范数解如果∥ x个 ˜ ∥= inf公司 x个 ∈ Γ ∥x个∥.

以下命题收集了{ x个 α }（2.2）的唯一解。

2.3号提案 让 x个 α 作为唯一的解决方案(2.2).那么我们有:

  1. （i）

    ∥ x个 α ∥ 正在减少 α∈(0,∞).

  2. （ii）

    α↦ x个 α 定义连续曲线 (0,∞) 到 H（H） 1 .

证明让α>β>0，自 x个 α 和 x个 β 是的独特的最小化者 （f） α 和 （f） β 分别得到

1 2 ∥ G公司 P（P） x个 α ∥ 2 + 1 2 α ∥ x个 α ∥ 2 ≤ 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 β ∥ 2 + 1 2 α ∥ x个 β ∥ 2 , 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 β ∥ 2 + 1 2 β ∥ x个 β ∥ 2 ≤ 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 α ∥ 2 + 1 2 β ∥ x个 α ∥ 2 .

由此可见∥ x个 α ∥≤∥ x个 β ∥.因此∥ x个 α ∥正在减少α∈(0,∞).

根据命题2.1，我们得到

〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 α + α x个 α , x个 β − x个 α 〉 ≥0,

和

〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 β + β x个 β , x个 α − x个 β 〉 ≥0.

由此可见

〈 x个 α − x个 β ,α x个 α −β x个 β 〉≤ 〈 x个 α − x个 β , P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ( x个 β − x个 α ) 〉 ≤0.

因此

α∥ x个 α − x个 β ∥≤(α−β)〈 x个 α − x个 β , x个 β 〉.

事实证明

∥ x个 α − x个 β ∥ 2 ≤ | α − β | α ∥ x个 β ∥.

因此，α↦ x个 α 是一条连续曲线(0,∞)到 H（H） 1 . □

定理2.4 让 x个 α 是唯一的解决方案(2.2).然后 x个 α 强收敛到最小值-范数解 x个 ˜ 属于 P（P）(1.1)具有 α→0.

证明对于任何0<α<∞, x个 α 如（2.2）所示，我们得到

1 2 ∥ G公司 P（P） x个 α ∥ 2 + 1 2 α ∥ x个 α ∥ 2 ≤ 1 2 ∥ G公司 P（P） x个 ˜ ∥ 2 + 1 2 α ∥ x个 ˜ ∥ 2 .

自 x个 ˜ ∈Γ是一个解决方案P（P）,

1 2 ∥ G公司 P（P） x个 α ∥ 2 + 1 2 α ∥ x个 α ∥ 2 ≤ 1 2 α ∥ x个 ˜ ∥ 2 .

由此可见∥ x个 α ∥≤∥ x个 ˜ ∥为所有人α>0.因此{ x个 α }是一个有界网 H（H） 1 .

我们需要证明的是，对于任何序列{ α n个 }这样的话 α n个 →0,{ x个 α n个 }包含一个子序列，该子序列强烈收敛于 x个 ˜ 。为了方便起见，我们设置 x个 n个 = x个 α n个 .

事实上{ x个 n个 }是有界的，如果必要，通过传递到子序列，我们可以假设{ x个 n个 }弱收敛到一点 x个 ˆ ∈S公司.根据命题2.1，我们得到

〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 n个 + α n个 x个 n个 , x个 ˜ − x个 n个 〉 ≥0.

事实证明

〈G公司P（P） x个 n个 ,G公司P（P） x个 ˜ −G公司P（P） x个 n个 〉≥ α n个 〈 x个 n个 , x个 n个 − x个 ˜ 〉.

自 x个 ˜ ∈Γ，因此

〈G公司P（P） x个 n个 ,−G公司P（P） x个 n个 〉≥ α n个 〈 x个 n个 , x个 n个 − x个 ˜ 〉.

注意到∥ x个 n个 ∥≤∥ x个 ˜ ∥，我们有

∥G公司P（P） x个 n个 ∥≤2 α n个 ∥ x个 ˜ ∥→0.

此外，请注意{ x个 n个 }弱收敛到一点 x个 ˆ ∈C，因此{G公司P（P） x个 n个 }弱收敛到G公司P（P） x个 ˆ 。由此可见G公司P（P） x个 ˆ =0,即 x个 ˆ ∈Γ.

最后，我们证明 x个 ˆ = x个 ˜ 这就完成了证明。

回想一下{ x个 n个 }弱收敛于 x个 ˆ 和∥ x个 n个 ∥≤∥ x个 ˜ ∥可以推断出

∥ x个 ˆ ∥≤ lim信息 n个 ∥ x个 n个 ∥≤∥ x个 ˜ ∥=最小值 { ∥ x个 ∥ : x个 ∈ Γ } .

这表明 x个 ˆ 也是Γ中具有极小范数的点。通过最小范数元素的唯一性，我们得到 x个 ˆ = x个 ˜ . □

最后，我们将介绍另一种获得问题最小范数解的方法P（P）.

引理2.5 让 T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）,哪里 0<γ<2/ρ( P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）) 具有 ρ( P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）) 是自我的光谱半径-伴随算子 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P） 在 H（H） 1 .然后我们有以下内容:

  1. (1)

    ∥T型∥≤1(我.e（电子）.T型 是非扩展的)和平均值;

  2. (2)

    修复(T型)={x个∈ H（H） 1 ,A类x个=−B类x个},修复( P（P） C T型)=修复( P（P） C )∩修复(T型)=Γ;

  3. (3)

    x个∈修复( P（P） C T型) 当且仅当 x个 是变分不等式的解 〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）x个,v（v）−x个〉≥0,∀v（v）∈C.

证明（1） 很容易证明∥T型∥≤1，我们只需要证明T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）取平均值。确实，选择0<β<1，因此γ/(1−β)<2/ρ( P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）)，然后T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）=β我+(1−β)V（V），其中V（V）=我−γ/(1−β) P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）是非扩展映射。也就是说T型是平均值。

  1. (2)

    如果x个∈{x个∈ H（H） 1 ,A类x个=−B类x个}，很明显x个∈修复(T型)相反，假设x个∈修复(T型)，我们有x个=x个−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）x个，因此γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）x个=0然后 ∥ G公司 P（P） x个 ∥ 2 =〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）x个,x个〉=0，我们得到x个∈{x个∈ H（H） 1 ,A类x个=−B类x个}.我们有修复(T型)={x个∈ H（H） 1 ,A类x个=−B类x个}.

现在我们证明修复( P（P） C T型)=修复( P（P） C )∩修复(T型)=Γ.签署人修复(T型)={x个∈ H（H） 1 ,A类x个=−B类x个},修复( P（P） C )∩修复(T型)=Γ很明显。另一方面，因为修复( P（P） C )∩修复(T型)=Γ≠∅，以及两者 P（P） C 和T型是平均值，从引理1.5，我们得到修复( P（P） C T型)=修复( P（P） C )∩修复(T型).

  1. (3)
    〈 P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 , v（v） − x个 〉 ≥ 0 , ∀ v（v） ∈ C ⇔ 〈 x个 − ( x个 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ) , v（v） − x个 〉 ≥ 0 , ∀ v（v） ∈ S公司 ⇔ 周 = P（P） C ( 周 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ) ⇔ 周 ∈ 修复 ( P（P） C T型 ) .

 □

备注2.6选择常量γ让人满意0<γ<2/ρ( P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）)。对于α∈(0, 2 − γ ∥ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ∥ 2 γ )，我们定义一个映射

W公司 α (x个):= P（P） C [ ( 1 − α γ ) 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个.

很明显 W公司 α 是收缩词。因此， W公司 α 具有唯一的固定点 x个 α ，我们有

x个 α = P（P） C [ ( 1 − α γ ) 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 α .
(2.4)

定理2.7 让 x个 α 作为(2.4).然后 x个 α 强收敛到最小值-范数解 x个 ˜ 问题的 P（P）(1.1)什么时候 α→0.

证明选择 x个 ˇ ∈Γ，注意到α∈(0, 2 − γ ∥ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ∥ 2 γ ),我− γ ( 1 − α γ ) P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）是非扩张性的，事实证明

∥ x个 α − x个 ˇ ∥ = ∥ P（P） C [ ( 1 − α γ ) 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 α − P（P） C [ x个 ˇ − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ] ∥ ≤ ∥ [ ( 1 − α γ ) 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 α − [ x个 ˇ − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ] ∥ = ∥ ( 1 − α γ ) [ x个 α − γ 1 − α γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 α ] − ( 1 − α γ ) [ x个 ˇ − γ 1 − α γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ] − α γ x个 ˇ ∥ ≤ ( 1 − α γ ) ∥ ( x个 α − γ 1 − α γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 α ) − ( x个 ˇ − γ 1 − α γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ) ∥ + α γ ∥ x个 ˇ ∥ ≤ ( 1 − α γ ) ∥ x个 α − x个 ˇ ∥ + α γ ∥ x个 ˇ ∥ .

那就是，

∥ x个 α − x个 ˇ ∥≤∥ x个 ˇ ∥.

因此{ x个 α }有界。

考虑到（2.4），我们有

∥ x个 α − P（P） C [ 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 α ∥ ≤α∥γ x个 α ∥→0.

我们断言{ x个 α }相对规范紧凑α→ 0 + 事实上，假设{ α n个 }⊆(0, 2 − γ ∥ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ∥ 2 γ )和 α n个 → 0 + 作为n个→∞。为了方便起见，我们将 x个 n个 := x个 α n个 ，我们得到

∥ x个 n个 − P（P） C [ 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 n个 ∥ ≤ α n个 ∥γ x个 n个 ∥→0.

自 P（P） C 是非扩张性的，有人得出结论

∥ x个 α − x个 ˇ ∥ 2 = ∥ P（P） C [ ( 1 − α γ ) 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 α − P（P） C [ x个 ˇ − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ] ∥ 2 ≤ 〈 [ ( 1 − α γ ) 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 α − [ x个 ˇ − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ] , x个 α − x个 ˇ 〉 = 〈 ( 1 − α γ ) [ x个 α − γ 1 − α γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 α ] − ( 1 − α γ ) [ x个 ˇ − γ 1 − α γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） x个 ˇ ] , x个 α − x个 ˇ 〉 − α γ 〈 x个 ˇ , x个 α − x个 ˇ 〉 ≤ ( 1 − α γ ) ∥ x个 α − x个 ˇ ∥ 2 − α γ 〈 x个 ˇ , x个 α − x个 ˇ 〉 .

那就是，

∥ x个 α − x个 ˇ ∥ 2 ≤〈− x个 ˇ , x个 α − x个 ˇ 〉.

因此，

∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 ≤〈− x个 ˇ , x个 n个 − x个 ˇ 〉,∀ x个 ˇ ∈Γ.

由于{ x个 n个 }是有界的，则存在以下子序列{ x个 n个 }弱收敛到一点 x个 ˜ 在不失一般性的情况下，我们可以假设{ x个 n个 }弱收敛到 x个 ˜ .注意到

∥ x个 n个 − P（P） C [ 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 n个 ∥ ≤ α n个 ∥γ x个 n个 ∥→0,

应用引理1.1，我们得到 x个 ˜ ∈修复( P（P） C [我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）])=Γ.

自

∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 ≤〈− x个 ˇ , x个 n个 − x个 ˇ 〉,∀ x个 ˇ ∈Γ,

它的结论是

∥ x个 n个 − x个 ˜ ∥ 2 ≤〈− x个 ˜ , x个 n个 − x个 ˜ 〉.

因此，如果{ x个 n个 }弱收敛到 x个 ˜ ，然后{ x个 n个 }强烈收敛于 x个 ˜ 也就是说{ x个 α }相对规范紧凑α→ 0 + .

此外，再次使用

∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 ≤〈− x个 ˇ , x个 n个 − x个 ˇ 〉,∀ x个 ˇ ∈Γ,

让n个→∞，我们有

∥ x个 ˜ − x个 ˇ ∥ 2 ≤〈− x个 ˇ , x个 ˜ − x个 ˇ 〉,∀ x个 ˇ ∈Γ.

这意味着

〈− x个 ˇ , x个 ˇ − x个 ˜ 〉≤0,∀ x个 ˇ ∈Γ.

这相当于

〈− x个 ˜ , x个 ˇ − x个 ˜ 〉≤0,∀ x个 ˇ ∈Γ.

事实证明 x个 ˜ ∈ P（P） C (0)。因此 x个 α 等于 x个 ˜ .因此 x个 α → x个 ˜ (α→0)问题的最小范数解P（P）. □

3问题最小范数解的迭代算法P（P）

在这一节中，我们介绍了以下算法并证明了算法的强收敛性，更重要的是，它的极限是问题的最小范数解P（P）.

算法3.1对于任意点 x个 0 ∈ H（H） 1 顺序{ x个 n个 }由迭代算法生成

x个 n个 + 1 = P（P） C { ( 1 − α n个 ) [ 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] x个 n个 } ,
(3.1)

哪里 α n个 >0是中的序列(0,1)这样的话

  1. （i）

    林 n个 α n个 =0;

  2. （ii）

    ∑ n个 = 0 ∞ α n个 =∞;

  3. （iii）

    ∑ n个 = 0 ∞ | α n个 + 1 − α n个 |<∞或 林 n个 | α n个 + 1 − α n个 |/ α n个 =0.

现在，我们证明了迭代算法的强收敛性。

定理3.2 序列 { x个 n个 } 由算法生成(3.1)强收敛到最小值-范数解 x个 ˜ 问题的关键 P（P）(1.1).

证明让 R（右） n个 和R（右）由定义

R（右） n个 x个 : = P（P） C { ( 1 − α n个 ) [ 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] } x个 = P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 ] , R（右） x个 : = P（P） C ( 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ) x个 = P（P） C ( T型 x个 ) ,

哪里T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P），根据引理2.5，很容易看出 R（右） n个 是具有收缩常数的收缩1− α n个 算法（3.1）可以写成 x个 n个 + 1 = R（右） n个 x个 n个 .

对于任何 x个 ˆ ∈Γ，我们有

∥ R（右） n个 x个 ˆ − x个 ˆ ∥ = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 ˆ ] − x个 ˆ ∥ = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 ˆ ] − P（P） S公司 ( T型 x个 ˆ ) ∥ ≤ ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 ˆ − T型 x个 ˆ ∥ = α n个 ∥ T型 x个 ˆ ∥ ≤ α n个 ∥ x个 ˆ ∥ .

因此，

∥ x个 n个 + 1 − x个 ˆ ∥ = ∥ R（右） n个 x个 n个 − x个 ˆ ∥ ≤ ∥ R（右） n个 x个 n个 − R（右） n个 x个 ˆ ∥ + ∥ R（右） n个 x个 ˆ − x个 ˆ ∥ ≤ ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 ˆ ] − P（P） S公司 ( T型 x个 ˆ ) ∥ ≤ ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + α n个 ∥ x个 ˆ ∥ ≤ 最大值 { ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ , ∥ x个 ˆ ∥ } .

由此可见∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥≤最大值{∥ x个 0 − x个 ˆ ∥,∥ x个 ˆ ∥}.所以{ x个 n个 }有界。

接下来我们证明 林 n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥=0.

的确，

∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ = ∥ R（右） n个 x个 n个 − R（右） n个 − 1 x个 n个 − 1 ∥ ≤ ∥ R（右） n个 x个 n个 − R（右） n个 x个 n个 − 1 ∥ + ∥ R（右） n个 x个 n个 − 1 − R（右） n个 − 1 x个 n个 − 1 ∥ ≤ ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − x个 n个 − 1 ∥ + ∥ R（右） n个 x个 n个 − 1 − R（右） n个 − 1 x个 n个 − 1 ∥ .

请注意

∥ R（右） n个 x个 n个 − 1 − R（右） n个 − 1 x个 n个 − 1 ∥ = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − 1 ] − P（P） C [ ( 1 − α n个 − 1 ) T型 x个 n个 − 1 ] ∥ ≤ ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − 1 − ( 1 − α n个 − 1 ) T型 x个 n个 − 1 ∥ = | α n个 − α n个 − 1 | ∥ T型 x个 n个 − 1 ∥ ≤ | α n个 − α n个 − 1 | ∥ x个 n个 − 1 ∥ .

因此

∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥≤(1− α n个 )∥ x个 n个 − x个 n个 − 1 ∥+| α n个 − α n个 − 1 |∥ x个 n个 − 1 ∥.

根据假设（1）-（3）和引理1.2，我们得到

林 n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥=0.

因此，

∥ x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + ∥ R（右） n个 x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − T型 x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + α n个 ∥ x个 n个 ∥ → 0 .

通过非封闭性原则确保{ x个 n个 }是非扩张映射的不动点R（右）= P（P） C T型即SEP（1.1）的解集Γ的一点。

最后，我们将证明 林 n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 ˜ ∥=0.

选择0<β<1，因此γ/(1−β)<2/ρ( P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）)，然后T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）=β我+(1−β)V（V），其中V（V）=我−γ/(1−β) P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）是非扩展映射。拿z∈Γ，我们推断

∥ x个 n个 + 1 − z ∥ 2 = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 ] − z ∥ 2 ≤ ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − z ∥ 2 ≤ ( 1 − α n个 ) ∥ T型 x个 n个 − z ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ ∥ β ( x个 n个 − z ) + ( 1 − β ) ( V（V） x个 n个 − z ) ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ β ∥ ( x个 n个 − z ) ∥ 2 + ( 1 − β ) ∥ ( V（V） x个 n个 − z ) ∥ 2 − β ( 1 − β ) ∥ x个 n个 − V（V） x个 n个 ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ ∥ ( x个 n个 − z ) ∥ 2 − β ( 1 − β ) ∥ x个 n个 − V（V） x个 n个 ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 .

然后

β ( 1 − β ) ∥ x个 n个 − V（V） x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 − z ∥ 2 − ∥ x个 n个 + 1 − z ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ ( ∥ x个 n个 − z ∥ + ∥ x个 n个 + 1 − z ∥ ) ( ∥ x个 n个 − z ∥ − ∥ x个 n个 + 1 − z ∥ ) α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ ( ∥ x个 n个 − z ∥ + ∥ x个 n个 + 1 − z ∥ ) ( ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ ) α n个 ∥ z ∥ 2 → 0 .

请注意T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）=β我+(1−β)V（V），因此 林 n个 ∥T型 x个 n个 − x个 n个 ∥=0.

获取子序列{ x个 n个 k个 }属于{ x个 n个 }这样的话 酸橙酱 n个 〈 x个 n个 − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉= 林 k个 〈 x个 n个 k个 − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉.

由于…的有界性 x个 n个 ，我们可以进一步假设 x个 n个 k个 弱收敛到一点 x个 ˇ .自∥R（右） x个 n个 − x个 n个 ∥→0利用非封闭性原理， x个 ˇ ∈修复(R（右）)=修复( P（P） C T型)=Γ.注意到 x个 ˜ 是原点在Γ上的投影，我们得到

酸橙酱 n个 〈 x个 n个 − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉= 林 k个 〈 x个 n个 k个 − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉=〈 x个 ˇ − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉≤0.

最后，我们计算

∥ x个 n个 + 1 − x个 ˜ ∥ 2 = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 ] − x个 ˜ ∥ 2 = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 ] − P（P） C T型 x个 ˜ ∥ 2 ≤ ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − T型 x个 ˜ ∥ 2 = ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − x个 ˜ ∥ 2 = ∥ ( 1 − α n个 ) ( T型 x个 n个 − x个 ˜ ) + α n个 ( − x个 ˜ ) ∥ 2 = ( 1 − α n个 ) 2 ∥ ( T型 x个 n个 − x个 ˜ ) ∥ 2 + α n个 2 ∥ x个 ˜ ∥ 2 + 2 α n个 ( 1 − α n个 ) 〈 T型 x个 n个 − x个 ˜ , − x个 ˜ 〉 ≤ ( 1 − α n个 ) ∥ ( T型 x个 n个 − x个 ˜ ) ∥ 2 + α n个 [ α n个 ∥ x个 ˜ ∥ 2 + 2 ( 1 − α n个 ) 〈 T型 x个 n个 − x个 ˜ , − x个 ˜ 〉 ] .

自， 酸橙酱 n个 〈 x个 n个 − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉≤0,∥ x个 n个 −T型 x个 n个 ∥→0，我们知道 酸橙酱 n个 ( α n个 ∥ x个 ˜ ∥ 2 +2(1− α n个 )〈T型 x个 n个 − x个 ˜ ,− x个 ˜ 〉)≤0，根据引理1.2，我们得出如下结论 林 n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 ˜ ∥=0。这就完成了证明。□

该问题的4 KM-CQ类迭代算法P（P）

在本节中，我们建立了一个KM-CQ类算法，该算法强收敛于问题的解P（P）.

算法4.1对于任意初始点 x个 0 ，序列{ x个 n个 }由迭代生成：

x个 n个 + 1 =(1− β n个 ) x个 n个 + β n个 P（P） C [ ( 1 − α n个 ) ( 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ) ] x个 n个 ,
(4.1)

哪里 α n个 >0是中的序列(0,1)这样的话

  1. （i）

    林 n个 → ∞ α n个 =0, ∑ n个 = 0 ∞ α n个 =∞;

  2. （ii）

    林 n个 → ∞ | α n个 + 1 − α n个 |=0;

  3. （iii）

    0< lim信息 n个 → ∞ β n个 ≤ 酸橙酱 n个 → ∞ β n个 <1.

引理4.2 如果 z∈修复(T型)=修复(我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）),那么对于任何 x个 我们有 ∥ T型 x个 − z ∥ 2 ≤ ∥ x个 − z ∥ 2 −β(1−β) ∥ V（V） x个 − x个 ∥ 2 ,哪里 β 和 V（V） 在引理中是相同的2.5(1).

证明通过引理2.5（1），我们知道T型=β我+(1−β)V（V），其中0<β<1和V（V）是非扩展的。很明显z∈修复(T型)=修复(V（V）)、和

∥ T型 x个 − z ∥ 2 = ∥ β x个 + ( 1 − β ) V（V） x个 − z ∥ 2 ≤ β ∥ x个 − z ∥ 2 + ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 − z ∥ 2 − β ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 − x个 ∥ 2 ≤ β ∥ x个 − z ∥ 2 + ( 1 − β ) ∥ x个 − z ∥ 2 − β ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 − x个 ∥ 2 = ∥ x个 − z ∥ 2 − β ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 − x个 ∥ 2 .

 □

定理4.3 序列 { x个 n个 } 由算法生成(4.1)强收敛于问题的解 P（P）.

证明对于任何解决方案 x个 ˆ 问题的关键P（P），根据引理2.5， x个 ˆ ∈修复( P（P） C T型)=修复( P（P） C )∩修复(T型)，其中T型=我−γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司P（P）、和

∥ x个 n个 + 1 − x个 ˆ ∥ = ∥ ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 ˆ ∥ = ∥ ( 1 − β n个 ) ( x个 n个 − x个 ˆ ) + β n个 ( P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 ˆ ) ∥ ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + β n个 ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 ˆ ∥ ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + β n个 ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 ˆ ∥ + β n个 ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 ˆ − x个 ˆ ∥ ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + β n个 ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + β n个 α n个 ∥ x个 ˆ ∥ = ( 1 − β n个 α n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + β n个 α n个 ∥ x个 ˆ ∥ ≤ 最大值 { ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ , ∥ x个 ˆ ∥ } .

可以推断出

∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥≤最大值 { ∥ x个 0 − x个 ˆ ∥ , ∥ x个 ˆ ∥ } .

因此，{ x个 n个 }是有界的，也是有界的{T型 x个 n个 }此外，

∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 ˆ ∥ ≤ ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − x个 ˆ ∥ = ∥ ( 1 − α n个 ) [ T型 x个 n个 − x个 ˆ ] − α n个 x个 ˆ ∥ ≤ ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ + α n个 ∥ x个 ˆ ∥ ≤ 最大值 { ∥ x个 n个 − x个 ˆ ∥ , ∥ x个 ˆ ∥ } .

自{ x个 n个 }是有界的，我们可以看到{T型 x个 n个 },(1− α n个 )T型 x个 n个 、和{ P（P） C [(1− α n个 )T型] x个 n个 }也是有界的。

让 z n个 = P（P） C [(1− α n个 )T型] x个 n个 、和M（M）>0这样的话M（M）= 啜饮 n个 ≥ 1 {T型 x个 n个 }.注意到

∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 ∥ ≤ ∥ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 x个 n个 − ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 ∥ = ∥ ( α n个 − α n个 + 1 ) T型 x个 n个 ∥ ≤ M（M） | α n个 − α n个 + 1 | .

有人得出结论说

∥ z n个 + 1 − z n个 ∥ = ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 ] x个 n个 + 1 − P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 ∥ ≤ ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 ] x个 n个 + 1 − P（P） C [ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 ] x个 n个 ∥ + ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 ∥ ≤ ( 1 − α n个 + 1 ) ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 + 1 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 ∥ ≤ ( 1 − α n个 + 1 ) ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + M（M） | α n个 − α n个 + 1 | .

自0< α n个 <1和 林 n个 → ∞ | α n个 + 1 − α n个 |=0，我们有

∥ z n个 + 1 − z n个 ∥−∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥≤M（M）| α n个 − α n个 + 1 |,

和

酸橙酱 n个 → ∞ ∥ z n个 + 1 − z n个 ∥−∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥≤0.

应用引理1.3，我们得到

林 n个 → ∞ ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 n个 ∥ = 林 n个 → ∞ ∥ z n个 − x个 n个 ∥=0.

因此，

∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ = ∥ ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 n个 ∥ = β n个 ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − x个 n个 ∥ → 0 .

让 R（右） n个 和R（右）由定义

R（右） n个 x个 : = P（P） C { ( 1 − α n个 ) [ 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ] } x个 = P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 x个 ] , R（右） x个 : = P（P） C ( 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ) x个 = P（P） C ( T型 x个 ) .

注意到

∥ x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ + ∥ x个 n个 + 1 − R（右） x个 n个 ∥ = ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ + ∥ ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 R（右） n个 x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ + ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ + β n个 ∥ R（右） n个 x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ .

所以，我们有

∥ x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ / β n个 + ∥ R（右） n个 x个 n个 − R（右） x个 n个 ∥ = ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ / β n个 + ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C T型 x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ / β n个 + ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − T型 x个 n个 ∥ ≤ ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ / β n个 + M（M） α n个 .

根据假设，我们有

林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −R（右） x个 n个 ∥=0.

此外，{ x个 n个 }是有界的，则存在以下子序列{ x个 n个 }弱收敛到一点 x个 ˇ 在不失一般性的情况下，我们可以假设{ x个 n个 }弱收敛到 x个 ˇ .自∥R（右） x个 n个 − x个 n个 ∥→0根据半封闭原则，我们知道 x个 ˇ ∈修复(R（右）)=修复( P（P） C T型)=修复( P（P） C )∩修复(T型)=Γ.

最后，我们将证明 林 n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 ˇ ∥=0事实上，

∥ x个 n个 + 1 − x个 ˇ ∥ 2 = ∥ ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C T型 x个 ˇ ∥ 2 ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + β n个 ∥ P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − P（P） C T型 x个 ˇ ∥ 2 ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + β n个 ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 = ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + β n个 ∥ ( 1 − α n个 ) ( T型 x个 n个 − x个 ˇ ) + α n个 x个 ˇ ∥ 2 = ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + β n个 [ ( 1 − α n个 ) 2 ∥ T型 x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + α n个 2 ∥ x个 ˇ ∥ 2 + 2 α n个 ( 1 − α n个 ) 〈 T型 x个 n个 − x个 ˇ , − x个 ˇ 〉 ] ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + β n个 [ ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + α n个 2 ∥ x个 ˇ ∥ 2 + 2 α n个 ( 1 − α n个 ) 〈 T型 x个 n个 − x个 ˇ , − x个 ˇ 〉 ] = ( 1 − α n个 β n个 ) ∥ x个 n个 − x个 ˇ ∥ 2 + α n个 β n个 [ 2 ( 1 − α n个 ) 〈 T型 x个 n个 − x个 ˇ , − x个 ˇ 〉 + α n个 ∥ x个 ˇ ∥ 2 ] .

使用引理1.2，我们只需要证明

酸橙酱 n个 → ∞ 〈T型 x个 n个 − x个 ˇ ,− x个 ˇ 〉≤0.

应用引理2.5，T型平均值，即T型=β我+(1−β)V（V），其中0<β<1和V（V）是非扩展性的。因此，对于z∈修复( P（P） C T型)，我们有

∥ x个 n个 + 1 − z ∥ 2 = ∥ ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 P（P） C [ ( 1 − α n个 ) T型 ] x个 n个 − z ∥ 2 ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − z ∥ 2 + β n个 ∥ ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 − z ∥ 2 = ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − z ∥ 2 + β n个 ∥ ( 1 − α n个 ) ( T型 x个 n个 − z ) − α n个 z ∥ 2 ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − z ∥ 2 + β n个 [ ( 1 − α n个 ) ∥ T型 x个 n个 − z ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ] ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − z ∥ 2 + β n个 [ ∥ T型 x个 n个 − z ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ] .

根据引理4.2，我们有

∥ x个 n个 + 1 − z ∥ 2 ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − z ∥ 2 + β n个 [ ∥ x个 n个 − z ∥ 2 − β ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 n个 − x个 n个 ∥ 2 + α n个 ∥ z ∥ 2 ] ≤ ∥ x个 n个 − z ∥ 2 − β n个 β ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 n个 − x个 n个 ∥ 2 + β n个 α n个 ∥ z ∥ 2 .

让N个>0这样的话∥ x个 n个 −z∥≤N个为所有人n个然后得出结论

β n个 β ( 1 − β ) ∥ V（V） x个 n个 − x个 n个 ∥ 2 ≤ ∥ x个 n个 − z ∥ 2 − ∥ x个 n个 + 1 − z ∥ 2 + β n个 α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ 2 N个 | ∥ x个 n个 − z ∥ − ∥ x个 n个 + 1 − z ∥ | + β n个 α n个 ∥ z ∥ 2 ≤ 2 N个 ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ + β n个 α n个 ∥ z ∥ 2 .

因此，

β(1−β) ∥ V（V） x个 n个 − x个 n个 ∥ 2 ≤ 2 N个 ∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥ β n个 + α n个 ∥ z ∥ 2 .

自∥ x个 n个 − x个 n个 + 1 ∥→0，我们得到

∥V（V） x个 n个 − x个 n个 ∥→0.

因此，

∥T型 x个 n个 − x个 n个 ∥→0.

由此可见

酸橙酱 n个 → ∞ 〈T型 x个 n个 − x个 ˇ ,− x个 ˇ 〉= 酸橙酱 n个 → ∞ 〈 x个 n个 − x个 ˇ ,− x个 ˇ 〉.

自{ x个 n个 }弱收敛到 x个 ˇ ，因此

酸橙酱 n个 → ∞ 〈T型 x个 n个 − x个 ˇ ,− x个 ˇ 〉≤0.

 □

与定理4.3的证明类似，我们可以得到以下迭代算法强收敛于问题的解P（P）也。由于证明类似于定理4.3，因此我们省略了它。

算法4.4对于任意初始点 x个 0 ，序列{ x个 n个 }由迭代生成：

x个 n个 + 1 =(1− β n个 )(1− α n个 ) ( 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ) x个 n个 + β n个 P（P） C [ ( 1 − α n个 ) ( 我 − γ P（P） ∗ G公司 ∗ G公司 P（P） ) ] x个 n个 ,
(4.2)

哪里 α n个 >0是中的序列(0,1)这样的话

  1. （i）

    林 n个 → ∞ α n个 =0, ∑ n个 = 0 ∞ α n个 =∞;

  2. （ii）

    林 n个 → ∞ | α n个 + 1 − α n个 |=0;

  3. （iii）

    0< lim信息 n个 → ∞ β n个 ≤ 酸橙酱 n个 → ∞ β n个 <1.

工具书类

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  2. 埃克斯坦J，贝尔塞卡斯D：关于最大单调算子的Douglas-Ratford分裂方法和最近点算法。 数学。程序。1992,55:293-318. 2007年10月10日/BF01581204

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  3. 狮子损益：方程变量中的唯一解是不确定的。 以色列。数学杂志。1978,31:204-208. 2007年10月10日/BF02760552

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下载参考资料

致谢

本研究得到了国家自然科学基金项目（No:11071279）的资助；编号：11226125；编号：11301379。

作者信息

作者和附属机构

  1. 天津理工大学数学系，天津，300387

    罗一石、陈如东

  2. 天津职业学院，中国天津，300410

    吴玉静

作者
  1. 罗一石
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  2. 陈如东
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  3. 吴玉静
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通讯作者

与的通信陈如东.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

最近，Eckstein和Svaiter提出了一些求单调算子和零点的分裂方法A类和B类然而，这些算法在很大程度上依赖于A类和B类在本文中，我们描述了一些求和零点的算法A类和B类忽略了A类和B类.

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Shi，L.Y.，Chen，R.&Wu，Y.寻找算子和零点的迭代算法。J不平等申请 2014, 349 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-349

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