On the existence and stability of solutions of a mixed general type of variational relation problems

Yang, Zhe

doi:10.1186/1029-242X-2014-337

研究
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出版：2014年9月2日

一类混合广义变分关系问题解的存在性和稳定性

哲阳（Zhe Yang）^1,2

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：337(2014)引用这篇文章

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1引文
韵律学详细信息

摘要

本文引入了一类混合一般型变分关系问题，建立了混合一般型变量关系问题解的存在性定理。此外，我们还研究了混合一般类型变分关系问题解集的稳定性。我们证明了大多数混合一般类型的变分关系问题（在Baire范畴的意义上）是本质的，并且对于任何混合一般类型变量关系问题，其解集至少存在一个本质连通分量。

MSC公司：49J53、49J40中。

1引言

众所周知，均衡问题是几个问题的统一模型，即优化问题、鞍点问题、变分不等式、不动点问题、纳什均衡问题等。最近，吕克[1]介绍了一个更一般的平衡问题模型，称为变分关系问题(虚拟现实)。在中研究了变分关系问题解集的稳定性[2,三]. 已经对变分关系问题进行了进一步的研究（参见[4——12]). 最近，阿加瓦尔等人。[13]提出了一种研究两类变分关系问题解的存在性的统一方法，这两类问题包括最近文献中研究的几个广义平衡问题、变分不等式和变分包含。巴拉杰和林[14]建立了两类非常普遍的变分关系问题解的存在性准则。

受上述研究工作的启发和启发，我们引入了混合一般类型的变分关系问题，它是两类一般类型变分关系的混合结构[14]. 此外，我们还研究了一类混合广义变分关系问题解集的稳定性。

2混合一般类型的变分关系问题

在[14]，让X,Y（Y）是两个Hausdorff拓扑向量空间中的凸集，Z轴是一个拓扑空间， ${S公司}_{1}, {S公司}_{2} : X ⇉ X$ , $T型 : X ⇉ Y（Y）$ , $P（P） : X ⇉ Z轴$ 是具有非空值的集值映射，并且 $R（右） (x个, 年, z（z）)$ 是连接元素的关系 $x个 \in X$ , $年 \in Y（Y）$ 和 $z（z） \in Z轴$ 巴拉杰和林[14]建立了下列变分关系问题解的存在性准则：

(VRP1（VRP1）)查找 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in {S公司}_{1} ({x个}^{*})$ , $年^{*} \in T型 ({x个}^{*})$ 和， $\forall u个 \in {S公司}_{2} ({x个}^{*})$ , $\exists z（z） \in P（P） ({x个}^{*})$ 对于其中 $R（右） (u个, 年^{*}, z（z）)$ 持有。

(VRP2型)查找 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in {S公司}_{1} ({x个}^{*})$ , $年^{*} \in T型 ({x个}^{*})$ 和 $R（右） (u个, 年^{*}, z（z）)$ 持有 $\forall u个 \in {S公司}_{2} ({x个}^{*})$ 和 $\forall z（z） \in P（P） ({x个}^{*})$ .

在本文中，我们引入了混合的一般类型的变分关系问题。让X,Y（Y）是两个Hausdorff拓扑向量空间中的凸集，Z轴是一个拓扑空间， $S公司 : X \times Y（Y） ⇉ X$ , $T型 : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ , $H（H） : X \times Y（Y） ⇉ X$ , $G公司 : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ , $P（P） : X \times Y（Y） ⇉ Z轴$ 是具有非空值的集值映射，并且 $R（右） (x个, 年, z（z）)$ , $问 (年, x个, z（z）)$ 是连接元素的两个关系 $x个 \in X$ , $年 \in Y（Y）$ 和 $z（z） \in Z轴$ .一类混合广义变分关系问题(MGVR公司)包含在查找中 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*}, 年^{*})$ , $年^{*} \in T型 ({x个}^{*}, 年^{*})$ 和

\begin{matrix} \forall u个 \in H（H） ({x个}^{*}, 年^{*}), \exists z（z） \in P（P） ({x个}^{*}, 年^{*}) 不锈钢。 R（右） (u个, 年^{*}, z（z）) 持有, \\ 问 (v（v）, {x个}^{*}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in G公司 ({x个}^{*}, 年^{*}), \forall z（z） \in P（P） ({x个}^{*}, 年^{*}) . \end{matrix}

备注2.1Balaj和Lin[14]建立了两类非常普遍的变分关系问题解的存在性准则。混合一般类型的变分关系问题是(VRP1（VRP1）)和(VRP2型)、和(VRP1（VRP1）)和(VRP2型)有一些特殊情况吗(MGVR公司).

定理2.1 假设

（i）
X,Y（Y）,Z轴 三个不是空的,三个Hausdorff线性拓扑空间的紧子集和凸子集;
（ii）
$C类 = {(x个, 年) \in X \times Y（Y） : x个 \in S公司 (x个, 年)}$ 和 $D类 = {(x个, 年) \in X \times Y（Y） : 年 \in T型 (x个, 年)}$ 被封闭在 $X \times Y（Y）$ ;
（iii）
P（P） 具有非空紧值的连续;
（iv）
对于任何 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ , $合作 H（H） (x个, 年) \subset S公司 (x个, 年)$ , $合作 G公司 (x个, 年) \subset T型 (x个, 年)$ ,H（H）,G公司 有开放的纤维,和 $R（右） (x个, \cdot, \cdot)$ , $问 (\cdot, 年, \cdot)$ 已关闭;
（v）
对于任何固定 $年 \in Y（Y）$ ,任意有限子集 ${{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 属于 X 以及任何 $x个 \in 合作 {{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ ,有 $我 \in {1, \dots, n个}$ 和 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $R（右） ({u个}_{我}, 年, z（z）)$ 持有;
（vi）
对于任何固定 $x个 \in X$ ,任何有限子集 ${{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 属于 Y（Y） 以及任何 $年 \in 合作 {{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ ,有 $我 \in {1, \dots, n个}$ 这样的话 $问 ({v（v）}_{我}, x个, z（z）)$ 保留任何 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ .

然后(MGVR公司)至少有一个解决方案.

证明定义 $A类 : X \times Y（Y） ⇉ X$ 和 $B类 : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 如下：

\begin{matrix} A类 (x个, 年) = {u个 \in X : R（右） (u个, 年, z（z）) 无法保持 \forall z（z） \in P（P） (x个, 年)}, \\ B类 (x个, 年) = {v（v） \in Y（Y） : 问 (v（v）, x个, z（z）) 无法保持 \exists z（z） \in P（P） (x个, 年)} . \end{matrix}

作为 $R（右） (x个, \cdot, \cdot)$ , $问 (\cdot, 年, \cdot)$ 关闭任何 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ 、和P（P）是连续的，具有非空紧值[14],A类,B类有开放的纤维。

假设存在 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 $x个 \in 合作 A类 (x个, 年)$ ，则存在一个有限子集 ${{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 属于 $A类 (x个, 年)$ 这样的话 $x个 \in 合作 {{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 根据（v），有 $我_{0} \in {1, \dots, n个}$ 和 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $R（右） ({u个}_{我_{0}}, 年, z（z）)$ 持有，这与事实相矛盾 ${u个}_{我} \in A类 (x个, 年)$ 对于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。, $R（右） ({u个}_{我}, 年, z（z）)$ 不适用于任何 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 以及任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ 因此 $x个 \notin 合作 A类 (x个, 年)$ 对于任何 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ .

假设存在 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 $年 \in 合作 B类 (x个, 年)$ ，则有一个有限子集 ${{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 属于 $B类 (x个, 年)$ 这样的话 $年 \in 合作 {{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 根据（vi），有 $我_{0} \in {1, \dots, n个}$ 这样的话 $问 ({v（v）}_{我_{0}}, x个, z（z）)$ 持有，这与事实相矛盾 ${v（v）}_{我} \in B类 (x个, 年)$ 对于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。，有 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $问 ({v（v）}_{我}, x个, z（z）)$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ .因此 $年 \notin 合作 B类 (x个, 年)$ 对于任何 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ .

定义 ${A类}^{'} : X \times Y（Y） ⇉ X$ 和 ${B类}^{'} : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 如下：

\begin{matrix} {A类}^{'} (x个, 年) = {\begin{matrix} A类 (x个, 年) †======================================================= H（H） (x个, 年) & 如果 (x个, 年) \in C类, \\ H（H） (x个, 年) & 如果 (x个, 年) \notin C类, \end{matrix} \\ {B类}^{'} (x个, 年) = {\begin{matrix} B类 (x个, 年) †======================================================= G公司 (x个, 年) & 如果 (x个, 年) \in D类, \\ G公司 (x个, 年) & 如果 (x个, 年) \notin D类 . \end{matrix} \end{matrix}

对于任何 $u个 \in X$ , ${A类}^{' - 1} (u个) = [{H（H）}^{- 1} (u个) †======================================================= {A类}^{- 1} (u个)] \cup [((X \times Y（Y）) ∖ C类) †======================================================= {H（H）}^{- 1} (u个)]$ 在中打开 $X \times Y（Y）$ 同样， ${B类}^{' - 1} (v（v）)$ 对任何人开放 $v（v） \in Y（Y）$ 因此， ${A类}^{' - 1} (u个)$ , ${B类}^{' - 1} (v（v）)$ 对任何人开放 $(u个, v（v）) \in X \times Y（Y）$ 、和 $x个 \notin 合作 {A类}^{'} (x个, 年)$ , $年 \notin 合作 {B类}^{'} (x个, 年)$ 对于任何 $(x个, 年) \in X \times Y（Y）$ .根据的定理3[15]，存在 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 ${A类}^{'} ({x个}^{*}, 年^{*}) = \emptyset$ 和 ${B类}^{'} ({x个}^{*}, 年^{*}) = \emptyset$ ，这意味着 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*}, 年^{*})$ , $年^{*} \in T型 ({x个}^{*}, 年^{*})$ 和

\begin{matrix} \forall u个 \in H（H） ({x个}^{*}, 年^{*}), \exists z（z） \in P（P） ({x个}^{*}, 年^{*}) 不锈钢。 R（右） (u个, 年^{*}, z（z）) 持有, \\ 问 (v（v）, {x个}^{*}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in G公司 ({x个}^{*}, 年^{*}), \forall z（z） \in P（P） ({x个}^{*}, 年^{*}) . \end{matrix}

□

定理2.2 假设

（i）
X,Y（Y）,Z轴 三个不是空的,三个赋范线性拓扑空间的紧子集和凸子集;
（ii）
S公司,T型 具有非空凸紧值的连续;
（iii）
P（P） 具有非空紧值的连续;
（iv）
$R（右） (\cdot, \cdot, \cdot)$ 和 $问 (\cdot, \cdot, \cdot)$ 已关闭;
（v）
对于任何固定 $年 \in Y（Y）$ ,任意有限子集 ${{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 属于 X 以及任何 $x个 \in 合作 {{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ ,有 $我 \in {1, \dots, n个}$ 和 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $R（右） ({u个}_{我}, 年, z（z）)$ 持有;
（vi）
对于任何固定 $x个 \in X$ ,任意有限子集 ${{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 属于 Y（Y） 以及任何 $年 \in 合作 {{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ ,有 $我 \in {1, \dots, n个}$ 这样的话 $问 ({v（v）}_{我}, x个, z（z）)$ 保留任何 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ .

然后就有了 $({x个}^{*}, 年^{*}) \in X \times Y（Y）$ 这样的话 ${x个}^{*} \in S公司 ({x个}^{*}, 年^{*})$ , $年^{*} \in T型 ({x个}^{*}, 年^{*})$ 和

\begin{matrix} \forall u个 \in S公司 ({x个}^{*}, 年^{*}), \exists z（z） \in P（P） ({x个}^{*}, 年^{*}) 不锈钢。 R（右） (u个, 年^{*}, z（z）) 持有, \\ 问 (v（v）, {x个}^{*}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in T型 ({x个}^{*}, 年^{*}), \forall z（z） \in P（P） ({x个}^{*}, 年^{*}) . \end{matrix}

证明对于任何n个，定义 ${S公司}^{n个} : X \times Y（Y） ⇉ X$ , ${T型}^{n个} : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ , ${H（H）}^{n个} : X \times Y（Y） ⇉ X$ 和 ${G公司}^{n个} : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 通过

\begin{matrix} {S公司}^{n个} (x个, 年) = (S公司 (x个, 年) + 氯 {V（V）}_{n个}) †======================================================= X, {T型}^{n个} (x个, 年) = (T型 (x个, 年) + 氯 {V（V）}_{n个}^{'}) †======================================================= Y（Y）, \\ {H（H）}^{n个} (x个, 年) = (S公司 (x个, 年) + {V（V）}_{n个}) †======================================================= X, {G公司}^{n个} (x个, 年) = (T型 (x个, 年) + {V（V）}_{n个}^{'}) †======================================================= Y（Y）, \end{matrix}

哪里 ${V（V）}_{n个} = {x个 \in X : ∥ x个 ∥ < \frac{1}{n个}}$ , ${V（V）}_{n个}^{'} = {年 \in Y（Y） : ∥ 年 ∥ < \frac{1}{n个}}$ .自S公司,T型是连续的， ${H（H）}^{n个}$ , ${G公司}^{n个}$ 具有开放的光纤，以及 $图表 ({S公司}^{n个})$ , $图表 ({T型}^{n个})$ 被封闭在 $X \times Y（Y）$ ，根据定理2.1，存在 ${x个}^{n个} \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ , $年^{n个} \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和

\begin{matrix} \forall u个 \in {H（H）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), \exists z（z） \in P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个}) 不锈钢。 R（右） (u个, 年^{n个}, z（z）) 持有, \\ 问 (v（v）, {x个}^{n个}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in {G公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), \forall z（z） \in P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个}) . \end{matrix}

自X,Y（Y）非空且紧凑，在不损失通用性的情况下，我们假设 $({x个}^{n个}, 年^{n个}) \to (x个, 年)$ .让 $米 > 0$ 被任意固定 ${n个}_{0} > 0$ 这样的话 ${V（V）}_{{n个}_{0}} + {V（V）}_{{n个}_{0}} + 氯 {V（V）}_{{n个}_{0}} \subset {V（V）}_{米}$ .自S公司是连续的，并且 $({x个}^{n个}, 年^{n个}) \to (x个, 年)$ ，有 ${N个}_{1} > 0$ 这样的话 $x个 - {x个}^{n个} \in {V（V）}_{{n个}_{0}}$ 和 $S公司 ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \subset S公司 (x个, 年) + {V（V）}_{{n个}_{0}}$ 对于任何 $n个 > {N个}_{1}$ 因此，对于任何 $n个 > 最大值 {{N个}_{1}, {n个}_{0}}$ ,

\begin{array}{rcl} x个 & = & x个 - {x个}^{n个} + {x个}^{n个} \in x个 - {x个}^{n个} + S公司 ({x个}^{n个}, 年^{n个}) + 氯 {V（V）}_{n个} \\ \subset & {V（V）}_{{n个}_{0}} + S公司 (x个, 年) + {V（V）}_{{n个}_{0}} + 氯 {V（V）}_{{n个}_{0}} \subset S公司 (x个, 年) + {V（V）}_{米} . \end{array}

因此 $x个 \in ⋂_{米 > 0} (S公司 (x个, 年) + {V（V）}_{米}) = 氯 S公司 (x个, 年) = S公司 (x个, 年)$ 同样， $年 \in T型 (x个, 年)$ .

假设存在 $u个 \in S公司 (x个, 年)$ 这样的话 $R（右） (u个, 年, P（P） (x个, 年))$ 无法保持。自 $R（右） (\cdot, \cdot, \cdot)$ 已关闭，存在 $k个 > 0$ 这样的话 $R（右） (u个 + {V（V）}_{k个}, 年 + {V（V）}_{k个}, P（P） (x个, 年) + {V（V）}_{k个})$ 无法保持。自S公司是连续的，存在一个序列 ${{u个}^{n个}}$ 收敛于u个具有 ${u个}^{n个} \in S公司 ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \subset S公司 ({x个}^{n个}, 年^{n个}) + {V（V）}_{n个} \subset {H（H）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ .自P（P）是连续的，存在 ${N个}_{0} > 0$ 这样，对于任何 $n个 > {N个}_{0}$ , ${u个}^{n个} \in u个 + {V（V）}_{k个}$ , $年^{n个} \in 年 + {V（V）}_{k个}$ , $P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \subset P（P） (x个, 年) + {V（V）}_{k个}$ ，这意味着 ${u个}^{n个} \in {H（H）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和 $R（右） ({u个}^{n个}, 年^{n个}, P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个}))$ 无法保持。这是一个矛盾。

假设存在 $v（v） \in T型 (x个, 年)$ 和 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $问 (v（v）, x个, z（z）)$ 无法保持。自T型,P（P）是连续的，有两个序列 ${{v（v）}^{n个}}$ 和 ${{z（z）}^{n个}}$ 收敛于v（v）和z（z）具有 ${v（v）}^{n个} \in T型 ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \subset T型 ({x个}^{n个}, 年^{n个}) + {V（V）}_{n个}^{'} \subset {G公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和 ${z（z）}^{n个} \in P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ .作为 $问 (\cdot, \cdot, \cdot)$ 已关闭，存在 ${N个}_{1} > 0$ 这样，对于任何 $n个 > {N个}_{1}$ , $问 ({v（v）}^{n个}, {x个}^{n个}, {z（z）}^{n个})$ 不成立，这是一个矛盾。这就完成了证明。□

3一般稳定性分析

让X,Y（Y）,Z轴是三个赋范线性拓扑空间的三个非空、紧和凸子集。表示方式ℳ所有的集合(MGVR公司)这样，定理2.2的所有条件都成立。对于每个 $q个 \in M（M）$ ，表示为 $F类 (q个)$ 的解决方案集q个因此 $F类 : M（M） ⇉ X \times Y（Y）$ 定义明确。对于每个 $q个, {q个}^{'} \in M（M）$ ，在上定义距离ℳ通过

\begin{array}{rcl} ρ (q个, {q个}^{'}) & = & \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X} (S公司 (x个, 年), {S公司}^{'} (x个, 年)) + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个, 年), {T型}^{'} (x个, 年)) \\ + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Z轴} (P（P） (x个, 年), {P（P）}^{'} (x个, 年)) + H（H） (希腊 (R（右）), 希腊 ({R（右）}^{'})) + H（H） (希腊 (问), 希腊 (问^{'})), \end{array}

哪里 $希腊 (R（右）) = {(x个, 年, z（z）) \in X \times Y（Y） \times Z轴 : R（右） (x个, 年, z（z）) 持有}$ , $希腊 (问) = {(x个, 年, z（z）) \in X \times Y（Y） \times Z轴 : 问 (年, x个, z（z）) 持有}$ , ${小时}_{X}$ ( ${小时}_{Y（Y）}$ , ${小时}_{Z轴}$ )是上定义的Hausdorff距离X(Y（Y）,Z轴)、和H（H）是上定义的Hausdorff距离 $X \times Y（Y） \times Z轴$ .

定义3.1让 $q个 \in M（M）$ .一个 $(x个, 年) \in F类 (q个)$ 据说是 $F类 (q个)$ 如果，对于任何开放的社区 $N个 (x个, 年)$ 属于 $(x个, 年)$ 在里面 $X \times Y（Y）$ ，有一个积极的δ这样的话 $N个 (x个, 年) †======================================================= F类 ({q个}^{'}) \neq \emptyset$ 对于任何 ${q个}^{'} \in M（M）$ 具有 $ρ (q个, {q个}^{'}) < δ$ .q个如果每个 $(x个, 年) \in F类 (q个)$ 至关重要。

定义3.2让 $q个 \in M（M）$ .非空闭子集 $e（电子） (q个)$ 属于 $F类 (q个)$ 据说是一组基本的 $F类 (q个)$ 如果，对于任何开集U型, $e（电子） (q个) \subset U型$ ，有一个积极的δ这样的话 $U型 †======================================================= F类 ({q个}^{'}) \neq \emptyset$ 对于任何 ${q个}^{'} \in M（M）$ 具有 $ρ (q个, {q个}^{'}) < δ$ .

定义3.3让 $q个 \in M（M）$ .基本子集 $米 (q个) \subset F类 (q个)$ 被称为是一组最基本的 $F类 (q个)$ 如果它是 $F类 (q个)$ 按集合包含排序。连接的组件 $C类 (q个)$ 属于 $F类 (q个)$ 据说是 $F类 (q个)$ 如果 $C类 (q个)$ 至关重要。

备注3.1（1）很容易看出问题所在 $q个 \in M（M）$ 当且仅当映射 $F类 : M（M） ⇉ X \times Y（Y）$ 在下半连续q个.（2）对于两个闭合的 ${e（电子）}_{1} (q个) \subset {e（电子）}_{2} (q个) \subset F类 (q个)$ ，如果 ${e（电子）}_{1} (q个)$ 那么，这是至关重要的 ${e（电子）}_{2} (q个)$ 也是必不可少的。

引理3.1（17.8引理，17.11闭图定理[16])

（i）紧集在紧集下的映象-值上半连续集-值映射是紧的.（ii）与紧Hausdorff值域空间的对应关系是闭的当且仅当它是上半连续且闭的-宝贵的.

引理3.2([17])

如果 X,Y（Y） 是两个度量空间,X 是完整的，并且 $F类 : X ⇉ Y（Y）$ 具有非空紧值的上半连续,然后是一组点,哪里 F类 是下半连续的,是一个密集的残留物 X.

定理3.1 $(M（M）, ρ)$ 是一个完整的度量空间.

证明让 ${{q个}^{n个}}_{n个 = 1}^{\infty}$ 是任意Cauchy序列ℳ那么，对于任何 $ε > 0$ ，有 $N个 > 0$ 这样的话 $ρ ({q个}^{n个}, {q个}^{米}) < ε$ 对于任何 $n个, 米 > N个$ 也就是说，对于任何人 $n个, 米 > N个$ ,

\begin{matrix} \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X} ({S公司}^{n个} (x个, 年), {S公司}^{米} (x个, 年)) + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} ({T型}^{n个} (x个, 年), {T型}^{米} (x个, 年)) \\ + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Z轴} ({P（P）}^{n个} (x个, 年), {P（P）}^{米} (x个, 年)) \\ + H（H） (希腊 ({R（右）}^{n个}), 希腊 ({R（右）}^{米})) + H（H） (希腊 (问^{n个}), 希腊 (问^{米})) \leq ε . \end{matrix}

(1)
显然，我们参考了[18]. 有 $S公司 : X \times Y（Y） ⇉ X$ , $T型 : X \times Y（Y） ⇉ Y（Y）$ 和 $P（P） : X \times Y（Y） ⇉ Z轴$ 这样的话S公司,T型与非空凸紧致值连续，并且P（P）具有非空紧值的连续。
(2)
存在两个封闭子集A类,B类属于 $X \times Y（Y） \times Z轴$ 这样的话 $希腊 ({R（右）}^{n个}) \to A类$ 和 $希腊 (问^{n个}) \to B类$ .表示 $q个 = (S公司, T型, P（P）, R（右）, 问)$ ，其中
$R（右） (x个, 年, z（z）) 持有若（iff） (x个, 年, z（z）) \in A类, 问 (年, x个, v（v）) 持有若（iff） (x个, 年, z（z）) \in B类 .$

很明显 $R（右） (\cdot, \cdot, \cdot)$ 和 $问 (\cdot, \cdot, \cdot)$ 已关闭。

(3)
假设存在 $年 \in Y（Y）$ ，有限子集 ${{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 属于X和 $x个 \in 合作 {{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 这样的话 $R（右） ({u个}_{我}, 年, P（P） (x个, 年))$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，这意味着 $({u个}_{我}, 年, P（P） (x个, 年)) †======================================================= 希腊 (R（右）) = \emptyset$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ .自 ${q个}^{米} \to q个$ 足够大的米, $({u个}_{我}, 年, {P（P）}^{米} (x个, 年)) †======================================================= 希腊 ({R（右）}^{米}) = \emptyset$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。, ${R（右）}^{米} ({u个}_{我}, 年, {P（P）}^{米} (x个, 年))$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，这是一个矛盾。

假设存在 $x个 \in X$ ，有限子集 ${{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 属于Y（Y）, $年 \in 合作 {{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 和 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $问 ({v（v）}_{我}, x个, z（z）)$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，这意味着 $(x个, {v（v）}_{我}, z（z）) \notin 希腊 (问)$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ .自 ${q个}^{米} \to q个$ ，存在一个序列 ${{z（z）}^{米}}$ 收敛于z（z）具有 ${z（z）}^{米} \in {P（P）}^{米} (x个, 年)$ 因此，对于足够大的米, $(x个, {v（v）}_{我}, {z（z）}^{米}) \notin 希腊 (问^{米})$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。, $问^{米} ({v（v）}_{我}, x个, {z（z）}^{米})$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，这是一个矛盾。因此 $q个 \in M（M）$ 和 $(M（M）, ρ)$ 已完成。□

定理3.2 映射 $F类 : M（M） ⇉ X \times Y（Y）$ 具有非空紧值的上半连续.

证明只要我们证明了 $图表 (F类)$ 已关闭。表示 ${q个}^{n个} = ({S公司}^{n个}, {T型}^{n个}, {P（P）}^{n个}, {R（右）}^{n个}, 问^{n个})$ 和 $q个 = (S公司, T型, P（P）, R（右）, 问)$ .让 ${({q个}^{n个}, {x个}^{n个}, 年^{n个}) \in M（M） \times X \times Y（Y）}_{n个 = 1}^{\infty}$ 是一个序列 $(q个, x个, 年)$ 这样的话 $({x个}^{n个}, 年^{n个}) \in F类 ({q个}^{n个})$ 对于任何n个。那么 ${x个}^{n个} \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和 $年^{n个} \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ ,

\begin{matrix} \forall u个 \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), \exists z（z） \in {P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}) 不锈钢。 {R（右）}^{n个} (u个, 年^{n个}, z（z）) 持有, \\ 问^{n个} (v（v）, {x个}^{n个}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), \forall z（z） \in {P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}) . \end{matrix}

显然， $x个 \in S公司 (x个, 年)$ 和 $年 \in T型 (x个, 年)$ .

假设存在 $u个 \in S公司 (x个, 年)$ 这样的话 $R（右） (u个, 年, P（P） (x个, 年))$ 不成立，那么 $(u个, 年, P（P） (x个, 年)) †======================================================= 希腊 (R（右）) = \emptyset$ .自S公司,P（P）是连续的， ${q个}^{n个} \to q个$ 和

\begin{matrix} {小时}_{X} ({S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), S公司 (x个, 年)) \\ \leq {小时}_{X} ({S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), S公司 ({x个}^{n个}, 年^{n个})) + {小时}_{X} (S公司 ({x个}^{n个}, 年^{n个}), S公司 (x个, 年)) \to 0, \\ {小时}_{Z轴} ({P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), P（P） (x个, 年)) \\ \leq {小时}_{Z轴} ({P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}), P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个})) + {小时}_{Z轴} (P（P） ({x个}^{n个}, 年^{n个}), P（P） (x个, 年)) \to 0, \end{matrix}

然后 ${S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \to S公司 (x个, 年)$ 和 ${P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \to P（P） (x个, 年)$ 因此，存在一个序列 ${{u个}^{n个}}$ 收敛于u个具有 ${u个}^{n个} \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 这样，对于足够大的n个, $({u个}^{n个}, 年^{n个}, {P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})) †======================================================= 希腊 ({R（右）}^{n个}) = \emptyset$ ,即。, ${u个}^{n个} \in {S公司}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和 ${R（右）}^{n个} ({u个}^{n个}, 年^{n个}, {P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}))$ 不成立，这是一个矛盾。

假设存在 $v（v） \in T型 (x个, 年)$ 和 $z（z） \in P（P） (x个, 年)$ 这样的话 $问 (v（v）, x个, z（z）)$ 不成立，那么 $(x个, v（v）, z（z）) \notin 希腊 (问)$ 同样， ${T型}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \to T型 (x个, 年)$ 和 ${P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个}) \to P（P） (x个, 年)$ 因此，存在两个序列 ${{v（v）}^{n个}}$ 和 ${{z（z）}^{n个}}$ 收敛于u个和z（z）具有 ${v（v）}^{n个} \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和 ${z（z）}^{n个} \in {P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 因此，对于足够大的n个, $({x个}^{n个}, {v（v）}^{n个}, {z（z）}^{n个}) \notin 希腊 (问^{n个})$ ,即。, ${v（v）}^{n个} \in {T型}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ , ${z（z）}^{n个} \in {P（P）}^{n个} ({x个}^{n个}, 年^{n个})$ 和 $问^{n个} ({v（v）}^{n个}, {x个}^{n个}, {z（z）}^{n个})$ 不成立，这是一个矛盾。因此 $(x个, 年) \in F类 (q个)$ . □

定理3.3（i）存在稠密的残差子集 $G公司$ 属于 ℳ 这样的话 q个 对每个人都至关重要 $q个 \in G公司$ .（ii）对于任何 $q个 \in M（M）$ ,至少存在一个最小基本子集 $F类 (q个)$ .

证明这些证明类似于[19]. 这里，我们不重复这个过程。□

4重要连接部件的存在

在本节中，让 ${P（P）}_{0} : X \times Y（Y） ⇉ Z轴$ 被修复。假设（i） ${P（P）}_{0}$ 与非空紧致值连续；（ii）如果 ${W公司}_{1} †======================================================= {W公司}_{2} = \emptyset$ , ${P（P）}_{0} ({W公司}_{1}) †======================================================= {P（P）}_{0} ({W公司}_{2}) = \emptyset$ ; （iii） ${P（P）}_{0}^{- 1} (z（z）) \neq \emptyset$ 对于任何 $z（z） \in Z轴$ 。表示方式 ${M（M）}_{0}$ 收藏 $(S公司, T型, {P（P）}_{0}, R（右）, 问)$ 混合一般类型的变分关系问题，使得定理2.2的所有条件成立。很明显 ${M（M）}_{0} \subset M（M）$ 。为了便于后面的演示，对于任何子集A类属于X，表示 ${A类}^{c（c）} = {x个 \in X : x个 \notin A类}$ .

引理4.1([20])

让 C类,D类 是两个非空的,线性赋范空间的凸子集和紧子集 E类.然后 $小时 (C类, λ C类 + μ D类) \leq 小时 (C类, D类)$ ,哪里小时 是上定义的Hausdorff距离 E类,和 $λ, μ \geq 0$ , $λ + μ = 1$ .

引理4.2([21])

让 $(Y（Y）, ρ)$ 是度量空间, ${K（K）}_{1}$ 和 ${K（K）}_{2}$ 是的两个非空紧子集 Y（Y）, ${V（V）}_{1}$ 和 ${V（V）}_{2}$ 是的两个非空不相交的开子集 Y（Y）.如果 $小时 ({K（K）}_{1}, {K（K）}_{2}) < ρ ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}) : = inf公司 {ρ (x个, 年) | x个 \in {V（V）}_{1}, 年 \in {V（V）}_{2}}$ ,然后

小时 ({K（K）}_{1}, ({K（K）}_{1} ∖ {V（V）}_{2}) \cup ({K（K）}_{2} ∖ {V（V）}_{1})) \leq 小时 ({K（K）}_{1}, {K（K）}_{2})

哪里小时 Hausdorff指标定义于 Y（Y）.

定理4.1 对于任何 $q个 \in {M（M）}_{0}$ ,的每个最小本质子集 $F类 (q个)$ 已连接.

证明对于每个固定 $q个 \in {M（M）}_{0}$ ，让 $米 (q个) \subset F类 (q个)$ 是的最小基本子集 $F类 (q个)$ .如果 $米 (q个)$ 不连通，则有两个非空紧子集 ${c（c）}_{1} (q个)$ , ${c（c）}_{2} (q个)$ 和两个不相交的开放子集 ${V（V）}_{1}$ , ${V（V）}_{2}$ 属于 $X \times Y（Y）$ 这样的话 $米 (q个) = {c（c）}_{1} (q个) \cup {c（c）}_{2} (q个)$ 和 ${V（V）}_{1} \supset {c（c）}_{1} (q个)$ , ${V（V）}_{2} \supset {c（c）}_{2} (q个)$ .自 $米 (q个)$ 是一组最基本的 $F类 (q个)$ ，两者都没有 ${c（c）}_{1} (q个)$ 也不是 ${c（c）}_{2} (q个)$ 至关重要。存在两个开放集 ${O（运行）}_{1} \supset {c（c）}_{1} (q个)$ , ${O（运行）}_{2} \supset {c（c）}_{2} (q个)$ 这样，对于任何 $δ > 0$ ，存在 ${q个}^{1}, {q个}^{2} \in {M（M）}_{0}$ 具有

ρ (q个, {q个}^{1}) < δ, ρ (q个, {q个}^{2}) < δ, F类 ({q个}^{1}) †======================================================= {O（运行）}_{1} = \emptyset, F类 ({q个}^{2}) †======================================================= {O（运行）}_{2} = \emptyset .

表示 ${W公司}_{1} = {V（V）}_{1} †======================================================= {O（运行）}_{1}$ , ${W公司}_{2} = {V（V）}_{2} †======================================================= {O（运行）}_{2}$ ，我们知道 ${W公司}_{1}$ , ${W公司}_{2}$ 是打开的， ${W公司}_{1} \supset {c（c）}_{1} (q个)$ , ${W公司}_{2} \supset {c（c）}_{2} (q个)$ 我们可以假设 ${V（V）}_{1} \supset {\bar{W公司}}_{1}$ , ${V（V）}_{2} \supset {\bar{W公司}}_{2}$ .表示

{G公司}_{1} = X \times Y（Y） \times {({P（P）}_{0} ({W公司}_{2}^{c（c）}))}^{c（c）}, {G公司}_{2} = X \times Y（Y） \times {({P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）}))}^{c（c）} .

自 ${P（P）}_{0}$ 具有非空紧值的连续性，并且 ${W公司}_{1}^{c（c）}$ , ${W公司}_{2}^{c（c）}$ 是非空的紧凑型 $X \times Y（Y）$ 根据引理3.1， ${P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）})$ , ${P（P）}_{0} ({W公司}_{2}^{c（c）})$ 是非空的紧凑型Z轴.因此 ${G公司}_{1}$ , ${G公司}_{2}$ 在中打开 $X \times Y（Y） \times Z轴$ .

通过对置证明 ${({P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）}))}^{c（c）} †======================================================= {({P（P）}_{0} ({W公司}_{2}^{c（c）}))}^{c（c）} = \emptyset$ ，假设存在 $z（z） \in Z轴$ 这样的话 $z（z） \in {({P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）}))}^{c（c）} †======================================================= {({P（P）}_{0} ({W公司}_{2}^{c（c）}))}^{c（c）}$ ，这意味着 $z（z） \notin {P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）})$ 和 $z（z） \notin {P（P）}_{0} ({W公司}_{2}^{c（c）})$ ,即。, ${W公司}_{1}^{c（c）} †======================================================= {P（P）}_{0}^{- 1} (z（z）) = \emptyset$ , ${W公司}_{2}^{c（c）} †======================================================= {P（P）}_{0}^{- 1} (z（z）) = \emptyset$ 。由此可见 ${P（P）}_{0}^{- 1} (z（z）) \subset {W公司}_{1}$ 和 ${P（P）}_{0}^{- 1} (z（z）) \subset {W公司}_{2}$ ，这与事实相矛盾 ${W公司}_{1} †======================================================= {W公司}_{2} = \emptyset$ .

表示 $inf公司 {d日 (一, b条) | 一 \in {G公司}_{1}, b条 \in {G公司}_{2}} = ε > 0$ .自 $米 (q个)$ 至关重要，并且 $米 (q个) \subset ({W公司}_{1} \cup {W公司}_{2})$ ，存在 $0 < δ^{*} < ε$ 这样的话 $F类 ({q个}^{'}) †======================================================= ({W公司}_{1} \cup {W公司}_{2}) \neq \emptyset$ 对于任何 ${q个}^{'} \in {M（M）}_{0}$ 具有 $ρ (q个, {q个}^{'}) < δ^{*}$ .自 $米 (q个)$ 是一组最基本的 $F类 (q个)$ ，两者都没有 ${c（c）}_{1} (q个)$ 也不是 ${c（c）}_{2} (q个)$ 至关重要。因此，对于 $\frac{δ^{*}}{32} > 0$ ，存在两个 ${q个}^{1}, {q个}^{2} \in {M（M）}_{0}$ 这样的话

F类 ({q个}^{1}) †======================================================= {W公司}_{1} = \emptyset, F类 ({q个}^{2}) †======================================================= {W公司}_{2} = \emptyset, ρ ({q个}^{1}, q个) < \frac{δ^{*}}{32}, ρ ({q个}^{2}, q个) < \frac{δ^{*}}{32} .

因此 $ρ ({q个}^{1}, {q个}^{2}) < \frac{δ^{*}}{16}$ 接下来，定义 ${q个}^{'} = ({S公司}^{'}, {T型}^{'}, {P（P）}_{0}, {R（右）}^{'}, 问^{'})$ 如下：

\begin{matrix} {S公司}^{'} (x个, 年) = λ (x个, 年) {S公司}^{1} (x个, 年) + μ (x个, 年) {S公司}^{2} (x个, 年), \\ {T型}^{'} (x个, 年) = λ (x个, 年) {T型}^{1} (x个, 年) + μ (x个, 年) {T型}^{2} (x个, 年), \\ A类 = [Gr公司 ({R（右）}^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [希腊 ({R（右）}^{2}) ∖ {G公司}_{1}], B类 = [希腊 (问^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [希腊 (问^{2}) ∖ {G公司}_{1}], \\ {R（右）}^{'} (u个, 年, z（z）) 持有 若（iff） (u个, 年, z（z）) \in A类, 问^{'} (v（v）, x个, z（z）) 持有 若（iff） (x个, v（v）, z（z）) \in B类, \end{matrix}

哪里

\begin{matrix} λ (x个, 年) = \frac{d日 ((x个, 年), {\bar{W公司}}_{2})}{d日 ((x个, 年), {\bar{W公司}}_{1}) + d日 ((x个, 年), {\bar{W公司}}_{2})}, \forall (x个, 年) \in X \times Y（Y）, \\ μ (x个, 年) = \frac{d日 ((x个, 年), {\bar{W公司}}_{1})}{d日 ((x个, 年), {\bar{W公司}}_{1}) + d日 ((x个, 年), {\bar{W公司}}_{2})}, \forall (x个, 年) \in X \times Y（Y） . \end{matrix}

很容易，我们检查（i） ${S公司}^{'}$ , ${T型}^{'}$ 具有非空紧凸值的连续。（ii）自 $希腊 ({R（右）}^{1})$ 和 $希腊 ({R（右）}^{2})$ 被封闭在 $X \times Y（Y） \times Z轴$ ,A类在中关闭 $X \times Y（Y） \times Z轴$ ，这意味着 ${R（右）}^{'} (\cdot, \cdot, \cdot)$ 已关闭。同样， $问^{'} (\cdot, \cdot, \cdot)$ 已关闭。（iii）假设存在 $年 \in Y（Y）$ ，有限子集 ${{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}} \subset X$ 和 $x个 \in 合作 {{u个}_{1}, \dots, {u个}_{n个}}$ 这样的话 ${R（右）}^{'} ({u个}_{我}, 年, {P（P）}_{0} (x个, 年))$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。, $({u个}_{我}, 年, {P（P）}_{0} (x个, 年)) †======================================================= 希腊 ({R（右）}^{'}) = \emptyset$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ .自

Gr公司 ({R（右）}^{'}) = [希腊 ({R（右）}^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [希腊 ({R（右）}^{2}) ∖ {G公司}_{1}]

和 ${W公司}_{1} †======================================================= {W公司}_{2} = \emptyset$ 在不失一般性的情况下，我们可以假设 $(x个, 年) \in {W公司}_{1}^{c（c）}$ ，这意味着 ${P（P）}_{0} (x个, 年) \subset {P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）})$ .自 $({u个}_{我}, 年, {P（P）}_{0} (x个, 年)) †======================================================= [希腊 ({R（右）}^{2}) ∖ {G公司}_{1}] = \emptyset$ 为所有人 $我 \in {1, \dots, n个}$ 也就是说，

(年, {u个}_{我}, {P（P）}_{0} (x个, 年)) †======================================================= [希腊 ({R（右）}^{2}) †======================================================= (X \times Y（Y） \times {P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）}))] = \emptyset, \forall 我 \in {1, \dots, n个},

然后 $({u个}_{我}, 年, {P（P）}_{0} (x个, 年)) †======================================================= 希腊 ({R（右）}^{2}) = \emptyset$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。, ${R（右）}^{2} ({u个}_{我}, 年, {P（P）}_{0} (x个, 年))$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，这是一个矛盾。

（iv）假设存在 $x个 \in X$ ，有限子集 ${{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}} \subset Y（Y）$ , $年 \in 合作 {{v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{n个}}$ 和 $z（z） \in {P（P）}_{0} (x个, 年)$ 这样的话 $问^{'} ({v（v）}_{我}, x个, z（z）)$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ,即。, $(x个, {v（v）}_{我}, z（z）) \notin 希腊 (问^{'})$ , $\forall 我 \in {1, \dots, n个}$ .自

希腊 (问^{'}) = [希腊 (问^{1}) ∖ {G公司}_{2}] \cup [希腊 (问^{2}) ∖ {G公司}_{1}]

和 ${W公司}_{1} †======================================================= {W公司}_{2} = \emptyset$ 在不失一般性的情况下，我们可以假设 $(x个, 年) \in {W公司}_{1}^{c（c）}$ ，这意味着 $z（z） \in {P（P）}_{0} (x个, 年) \subset {P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）})$ .自 $(x个, {v（v）}_{我}, z（z）) \notin [Gr公司 (问^{2}) ∖ {G公司}_{1}]$ 为所有人 $我 \in {1, \dots, n个}$ 也就是说， $(x个, {v（v）}_{我}, z（z）) \notin [希腊 (问^{2}) †======================================================= (X \times Y（Y） \times {P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）}))]$ 为所有人 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，然后

(x个, {v（v）}_{我}, z（z）) \notin 希腊 (问^{2}), \forall 我 \in {1, \dots, n个},

也就是说，有 $z（z） \in {P（P）}_{0} (x个, 年)$ 这样的话 $问^{2} ({v（v）}_{我}, x个, z（z）)$ 不适用于任何 $我 \in {1, \dots, n个}$ ，这是一个矛盾。因此 ${q个}^{'} \in {M（M）}_{0}$ .

（v）通过引理4.1、4.2，

\begin{array}{rcl} ρ ({q个}^{'}, q个) & = & \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X} (S公司 (x个, 年), {S公司}^{'} (x个, 年)) + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个, 年), {T型}^{'} (x个, 年)) \\ + H（H） (希腊 (R（右）), 希腊 ({R（右）}^{'})) + {H（H）}^{'} (希腊 (问), 希腊 (问^{'})) \\ \leq & \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X} (S公司 (x个, 年), {S公司}^{1} (x个, 年)) + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{X} ({S公司}^{1} (x个, 年), {S公司}^{'} (x个, 年)) \\ + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} (T型 (x个, 年), {T型}^{1} (x个, 年)) + \underset{(x个, 年) \in X \times Y（Y）}{啜饮} {小时}_{Y（Y）} ({T型}^{1} (x个, 年), {T型}^{'} (x个, 年)) \\ + H（H） (希腊 (R（右）), 希腊 ({R（右）}^{1})) + H（H） (希腊 ({R（右）}^{1}), 希腊 ({R（右）}^{'})) \\ + H（H） (Gr公司 (问), 希腊 (问^{1})) + H（H） (希腊 (问^{1}), 希腊 (问^{'})) \\ < & δ^{*} . \end{array}

因此 ${q个}^{'} \in {M（M）}_{0}$ 和 $ρ ({q个}^{'}, q个) < δ^{*}$ .

自 $(F类 ({q个}^{'}) †======================================================= {W公司}_{1}) \cup (F类 ({q个}^{'}) †======================================================= {W公司}_{2}) = F类 ({q个}^{'}) †======================================================= ({W公司}_{1} \cup {W公司}_{2}) \neq \emptyset$ ，在不失一般性的情况下，我们假设 $F类 ({q个}^{'}) †======================================================= {W公司}_{1} \neq \emptyset$ 。然后存在 $(\bar{x个}, \bar{年}) \in F类 ({q个}^{'}) †======================================================= {W公司}_{1}$ 这样的话 $(\bar{x个}, \bar{年}) \in {W公司}_{1}$ , $\bar{x个} \in {S公司}^{'} (\bar{x个}, \bar{年})$ , $\bar{年} \in {T型}^{'} (\bar{x个}, \bar{年})$ 、和

\begin{matrix} \forall u个 \in {S公司}^{'} (\bar{x个}, \bar{年}), \exists z（z） \in {P（P）}_{0} (\bar{x个}, \bar{年}) 不锈钢。 {R（右）}^{'} (u个, \bar{年}, z（z）) 持有, \\ 问^{'} (v（v）, \bar{x个}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in {T型}^{'} (\bar{x个}, \bar{年}), \forall z（z） \in {P（P）}_{0} (\bar{x个}, \bar{年}) . \end{matrix}

它源自 $(\bar{x个}, \bar{年}) \in {W公司}_{1}$ 那个 ${S公司}^{'} (\bar{x个}, \bar{年}) = {S公司}_{1} (\bar{x个}, \bar{年})$ , ${T型}^{'} (\bar{x个}, \bar{年}) = {T型}_{1} (\bar{x个}, \bar{年})$ , ${P（P）}_{0} (\bar{x个}, \bar{年}) \subset {P（P）}_{0} ({W公司}_{1})$ 和 ${P（P）}_{0} (\bar{x个}, \bar{年}) †======================================================= {P（P）}_{0} ({W公司}_{1}^{c（c）}) = \emptyset$ 因此，

\begin{matrix} \forall u个 \in {S公司}^{1} (\bar{x个}, \bar{年}), \exists z（z） \in {P（P）}_{0} (\bar{x个}, \bar{年}) 不锈钢。 {R（右）}^{1} (u个, \bar{年}, z（z）) 持有, \\ 问^{1} (v（v）, \bar{x个}, z（z）) 持有, \forall v（v） \in {T型}^{1} (\bar{x个}, \bar{年}), \forall z（z） \in {P（P）}_{0} (\bar{x个}, \bar{年}) . \end{matrix}

然后 $(\bar{x个}, \bar{年}) \in F类 ({q个}^{1}) †======================================================= {W公司}_{1}$ ，这是一个矛盾。这就完成了证明。□

定理4.2 对于任何 $q个 \in {M（M）}_{0}$ ,至少存在一个基本的连接组件 $F类 (q个)$ .

证明根据定理4.1，至少存在一个连通的最小本质子集 $米 (q个)$ 属于 $F类 (q个)$ 因此，有一个组件C类属于 $F类 (q个)$ 这样的话 $米 (q个) \subset C类$ 很明显C类在备注3.1（2）中至关重要。这就完成了证明。□

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致谢

本研究得到了上海市教委、上海市教育发展基金会资助的陈光项目（no.13CG35）和教育部数学经济学重点实验室开放项目（no.201309KF02）的资助。

作者信息

作者和附属机构

上海财经大学经济学院，上海，200433，中国
哲阳（Zhe Yang）
数学经济学教育部重点实验室，上海，200433，中国
哲阳（Zhe Yang）

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哲阳（Zhe Yang）
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关于本文

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Yang，Z.关于一类混合广义变分关系问题解的存在性和稳定性。J不平等申请 2014, 337 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-337

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收到:2014年4月11日
已接受:2014年8月15日
出版:2014年9月2日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-337