Optimal inequalities for the Casorati curvatures of submanifolds of real space forms endowed with semi-symmetric metric connections

Lee, Chul Woo; Yoon, Dae Won; Lee, Jae Won

doi:10.1186/1029-242X-2014-327

研究
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出版：2014年9月1日

具有半对称度量连接的实空间形式子流形的Casorati曲率的最优不等式

不等式与应用杂志 体积 2014，文章编号：327(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文证明了具有半对称度量连接的实空间形式子流形的内禀标量曲率和外禀Casorati曲率的两个最优不等式。此外，我们还证明了在这两种情况下，所有点上的等式都刻画了不变的拟复本子流形。

MSC公司：53C40、53B05。

1引言

Friedmann和Schouten在年提出了可微流形上的半对称线性连接的概念[1]. Hayden于年引入了黎曼流形上的半对称度量连接的概念[2]. 后来，亚诺加入了[三]研究了具有半对称度量连接的黎曼流形的一些性质。在[4,5]，Imai发现了黎曼流形和具有半对称度量连接的黎曼流形的超曲面的一些性质。Nakao公司[6]研究了具有半对称度量连接的黎曼流形的子流形。

另一方面，由陈倡导的陈不变量理论[7]在1993年发表的一篇开创性论文中，它是目前子流形微分几何中最有趣的研究课题之一。Chen利用标量曲率、截面曲率和平方平均曲率，为实空间形式的子流形建立了一个尖锐的不等式。也就是说，他在实数空间形式的子流形的主要内在不变量和主要外在不变量之间建立了简单的关系，其中包括[8]. 许多著名的结果涉及Chen不变量和各种环境空间中不同类型子流形的不等式，如复杂空间形式[9–11]. 最近，在[12,13]、Mihai和Øzgür证明了实、复和Sasakian空间形式的子流形的Chen不等式，这些子流形具有半对称度量连接[14,15]、Özgür和Murathan给出了局部共形几乎共对称流形和具有半对称度量连接的共对称空间形式的子流形的Chen不等式。此外，张先生等。[16]利用代数方法得到了具有半对称度量连接的拟常曲率黎曼流形的子流形的Chen-like不等式。

将黎曼流形中子流形的Casorati曲率视为定义为第二基本形式长度的归一化平方的外部不变量，而不是集中于截面曲率和外部均方曲率。Casorati曲率的概念扩展了黎曼流形超曲面的主方向的概念。中的几个几何图形[17–21]发现了卡索拉蒂曲率的几何意义和重要性。因此，在不同的环境空间中获得子流形的Casorati曲率的最优不等式是非常有趣的。德克等。英寸[22]得到了实空间形式的黎曼子流形的标量曲率和卡索拉蒂曲率以及复空间形式的Kähler超曲面的全纯截面曲率和卡索拉蒂曲率的一些最优不等式。他们还证明了一个不等式，其中标量曲率由上面的归一化卡索拉蒂曲率估计[23]. 最近，一些涉及卡索拉蒂曲率的最优不等式在[24,25]对于四元数空间形式的斜子流形。

作为我们研究的自然延伸，在本文中，我们将研究实空间形式的子流形的这些不等式，这些不等式被赋予了半对称度量连接。

定理1.1 让 ${M（M）}^{n个}$ 是实空间形式的子流形 ${N个}^{米} (c（c）)$ 用半成品-对称公制连接.然后:

（i）
标准化的 δ-卡索拉蒂曲率 $δ_{C类} (n个负极 1)$ 满足
$ρ \leq δ_{C类} (n个负极 1) + c（c）负极 \frac{2}{n个} 追踪 (α) .$

此外，等号成立的条件是 ${M（M）}^{n个}$ 是不变的准-具有平凡正规连接的脐子流形 ${N个}^{米} (c（c）)$ ,这样相对于合适的正交切线框架 ${ξ_{1}, \dots, ξ_{n个}}$ 和法线正交框架 ${ξ_{n个 + 1}, \dots, ξ_{米}}$ ,形状运算符 ${A类}_{第页} 选择 {A类}_{ξ_{第页}}$ , $第页 \in {n个 + 1, \dots, 米}$ ,采取以下形式:
${A类}_{n个 + 1} = (\begin{array}{cccccc} 一 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 一 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 一 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 一 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 2 一 \end{array}), {A类}_{n个 + 2} = \dots = {A类}_{米} = 0 .$
（ii）
标准化的 δ-卡索拉蒂曲率 ${\hat{δ}}_{C类} (n个负极 1)$ 满足
$ρ \leq {\hat{δ}}_{C类} (n个负极 1) + c（c）负极 \frac{2}{n个} 追踪 (α) .$

此外,等号成立的当且仅当 ${M（M）}^{n个}$ 是不变的准-具有平凡正规连接的脐子流形 ${N个}^{米} (c（c）)$ ,使得相对于合适的正交切线框架 ${ξ_{1}, \dots, ξ_{n个}}$ 和标准正交框架 ${ξ_{n个 + 1}, \dots, ξ_{米}}$ ,形状操作符 ${A类}_{第页} 选择 {A类}_{ξ_{第页}}$ , $第页 \in {n个 + 1, \dots, 米}$ ,采取以下形式:
${A类}_{n个 + 1} = (\begin{array}{cccccc} 2 一 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 2 一 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 一 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 一 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 一 \end{array}), {A类}_{n个 + 2} = \dots = {A类}_{米} = 0 .$

2准备工作

让 ${N个}^{米}$ 成为米-维黎曼流形和 $\tilde{\nabla}$ 上的线性连接 ${N个}^{米}$ .如果扭转张量 $\tilde{T型}$ 属于 $\tilde{\nabla}$ ，由定义

\tilde{T型} (\tilde{X（X）}, \tilde{Y（Y）}) = {\tilde{\nabla}}_{\tilde{X（X）}} \tilde{Y（Y）} 负极 {\tilde{\nabla}}_{\tilde{Y（Y）}} \tilde{X（X）} 负极 [\tilde{X（X）}, \tilde{Y（Y）}]

对于任何向量场 $\tilde{X（X）}$ 和 $\tilde{Y（Y）}$ 在 ${N个}^{米}$ ，满足

\tilde{T型} (\tilde{X（X）}, \tilde{Y（Y）}) = ϕ (\tilde{Y（Y）}) \tilde{X（X）} 负极 ϕ (\tilde{X（X）}) \tilde{Y（Y）}

对于1表格ϕ，然后连接 $\tilde{\nabla}$ 被称为半-对称连接.

让克是上的黎曼度量 ${N个}^{米}$ .如果 $\tilde{\nabla} 克 = 0$ ，然后 $\tilde{\nabla}$ 被称为半-对称公制连接在 ${N个}^{米}$ .

以下[三]，半对称公制连接 $\tilde{\nabla}$ 在 ${N个}^{米}$ 由提供

{\tilde{\nabla}}_{\tilde{X（X）}} \tilde{Y（Y）} = {\overset{˚}{\tilde{\nabla}}}_{\tilde{X（X）}} \tilde{Y（Y）} + ϕ (\tilde{Y（Y）}) \tilde{X（X）} 负极 克 (\tilde{X（X）}, \tilde{Y（Y）}) P（P）

对于任何向量场 $\tilde{X（X）}$ 和 $\tilde{Y（Y）}$ 在 ${N个}^{米}$ ，其中 $\overset{˚}{\tilde{\nabla}}$ 表示黎曼度量的Levi-Civita关联克和P（P）是由定义的向量场 $克 (P（P）, \tilde{X（X）}) = ϕ (\tilde{X（X）})$ ，对于任何向量场 $\tilde{X（X）}$ .

我们将考虑黎曼流形 ${N个}^{米}$ 具有半对称公制连接 $\tilde{\nabla}$ Levi-Civita连接表示为 $\overset{˚}{\tilde{\nabla}}$ .

让 ${M（M）}^{n个}$ 成为n个-的维子流形米-维黎曼流形 ${N个}^{米}$ .关于子流形 ${M（M）}^{n个}$ ，我们考虑诱导的半对称度量连接，表示为∇和诱导的Levi-Civita连接，表示为 $\overset{˚}{\nabla}$ .

让 $\tilde{R（右）}$ 是的曲率张量 ${N个}^{米}$ 关于 $\tilde{\nabla}$ 和 $\overset{˚}{\tilde{R（右）}}$ 曲率张量 ${N个}^{米}$ 关于 $\overset{˚}{\tilde{\nabla}}$ 。我们还表示为R（右）和 $\overset{˚}{R（右）}$ 曲率张量∇和 $\overset{˚}{\nabla}$ 分别在上 ${M（M）}^{n个}$ .

关于的高斯公式∇和 $\overset{˚}{\nabla}$ 分别可以写成

\begin{matrix} {\tilde{\nabla}}_{X（X）} Y（Y） = \nabla_{X（X）} Y（Y） + 小时 (X（X）, Y（Y）), X（X）, Y（Y） \in χ ({M（M）}^{n个}), \\ {\overset{˚}{\tilde{\nabla}}}_{X（X）} Y（Y） = {\overset{˚}{\nabla}}_{X（X）} Y（Y） + \overset{˚}{小时} (X（X）, Y（Y）), X（X）, Y（Y） \in χ ({M（M）}^{n个}), \end{matrix}

哪里 $\overset{˚}{小时}$ 是的第二种基本形式 ${M（M）}^{n个}$ 在里面 ${N个}^{米}$ 和小时是一个 $(0, 2)$ -张量 ${M（M）}^{n个}$ .根据公式（7），从[6],小时也是对称的。一个表示为 $\overset{˚}{H（H）}$ 的平均曲率向量 ${M（M）}^{n个}$ 和 ${N个}^{米}$ .让 ${N个}^{米} (c（c）)$ 是常截面曲率的实空间形式c（c）具有半对称公制连接 $\tilde{\nabla}$ .

曲率张量 $\overset{˚}{\tilde{R（右）}}$ 关于Levi-Civita连接 $\overset{˚}{\tilde{\nabla}}$ 在 ${N个}^{米} (c（c）)$ 表示为

\overset{˚}{\tilde{R（右）}} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) = c（c） {克 (X（X）, W公司) 克 (Y（Y）, Z轴) 负极 克 (X（X）, Z轴) 克 (Y（Y）, W公司)} .

(2.1)

然后曲率张量 $\tilde{R（右）}$ 关于半对称公制连接 $\tilde{\nabla}$ 在 ${N个}^{米} (c（c）)$ 可以写为[5]

\begin{array}{rcl} \tilde{R（右）} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) & = & \overset{˚}{\tilde{R（右）}} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) 负极 α (Y（Y）, Z轴) 克 (X（X）, W公司) \\ + α (X（X）, Z轴) 克 (Y（Y）, W公司) 负极 α (X（X）, W公司) 克 (Y（Y）, Z轴) \\ + α (Y（Y）, W公司) 克 (X（X）, Z轴) \end{array}

(2.2)

对于任何向量场 $X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司 \in χ ({M（M）}^{n个})$ ，其中α是一个 $(0, 2)$ -张量场定义为

α (X（X）, Y（Y）) = ({\overset{˚}{\tilde{\nabla}}}_{X（X）} ϕ) Y（Y） 负极 ϕ (X（X）) ϕ (Y（Y）) + \frac{1}{2} ϕ (P（P）) 克 (X（X）, Y（Y）), \forall X（X）, Y（Y） \in χ ({M（M）}^{n个}) .

根据（2.1）和（2.2），可以得出曲率张量 $\tilde{R（右）}$ 可以表示为

\begin{array}{rcl} \tilde{R（右）} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) & = & c（c） {克 (X（X）, W公司) 克 (Y（Y）, Z轴) 负极 克 (X（X）, Z轴) 克 (Y（Y）, W公司)} \\ 负极 α (Y（Y）, Z轴) 克 (X（X）, W公司) + α (X（X）, Z轴) 克 (Y（Y）, W公司) \\ 负极 α (X（X）, W公司) 克 (Y（Y）, Z轴) + α (Y（Y）, W公司) 克 (X（X）, Z轴) . \end{array}

(2.3)

表示方式λ的痕迹α.

子流形的高斯方程 ${M（M）}^{n个}$ 以真实的空间形式 ${N个}^{米} (c（c）)$ 是

\begin{array}{rcl} \overset{˚}{\tilde{R（右）}} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) & = & \overset{˚}{R（右）} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) + 克 (\overset{˚}{小时} (X（X）, Z轴), \overset{˚}{小时} (Y（Y）, W公司)) \\ 负极 克 (\overset{˚}{小时} (X（X）, W公司), \overset{˚}{小时} (Y（Y）, Z轴)) . \end{array}

(2.4)

让 $π \subset {T型}_{x个} {M（M）}^{n个}$ , $x个 \in {M（M）}^{n个}$ ，为2平面截面。表示方式 $K（K） (π)$ 截面曲率 ${M（M）}^{n个}$ 关于诱导的半对称公制连接∇.对于任何正交基 ${{e（电子）}_{1}, \dots, {e（电子）}_{n个}}$ 切线空间的 ${T型}_{x个} {M（M）}^{n个}$ 和 ${{e（电子）}_{n个 + 1}, \dots, {e（电子）}_{米}}$ 是正规空间的正交基 ${T型}_{x个}^{⊥} M（M）$ ，然后是标量曲率τ在x个由定义

τ (x个) = \sum_{1 \leq 我 < j个 \leq n个} K（K） ({e（电子）}_{我} \land {e（电子）}_{j个}),

和归一化标量曲率ρ属于M（M）由定义

ρ = \frac{2 τ}{n个 (n个 负极 1)} .

我们表示为H（H）平均曲率向量，即，

H（H） (x个) = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} 小时 ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{我}),

我们还设置了

{小时}_{我 j个}^{α} = 克 (小时 ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{j个}), {e（电子）}_{α}), 我, j个 \in {1, \dots, n个}, α \in {n个 + 1, \dots, 米} .

然后是子流形的平方平均曲率M（M）在里面N个由定义

{∥ H（H） ∥}^{2} = \frac{1}{{n个}^{2}} \sum_{α = n个 + 1}^{米} {(\sum_{我 = 1}^{n个} {小时}_{我 我}^{α})}^{2},

和的平方范数小时超尺寸n个表示为 $C类$ 并被称为口腔曲率子流形的M（M）因此，我们有

C类 = \frac{1}{n个} \sum_{α = n个 + 1}^{米} \sum_{我, j个 = 1}^{n个} {({小时}_{我 j个}^{α})}^{2} .

子流形M（M）被称为不变拟-脐带的如果存在 $米负极 n个$ 互正交单位法向量 $ξ_{n个 + 1}, \dots, ξ_{米}$ 使得形状操作符关于所有方向 $ξ_{α}$ 具有多重特征值 $n个负极 1$ 每个人都有 $ξ_{α}$ 可分辨的本征方向相同[26].

假设现在我是一个第页-维子空间 ${T型}_{x个} M（M）$ , $第页 \geq 2$ 、和 ${{e（电子）}_{1}, \dots, {e（电子）}_{第页}}$ 是的正交基我然后是标量曲率 $τ (我)$ 的第页-平面截面我由提供

τ (我) = \sum_{1 \leq α < β \leq 第页} K（K） ({e（电子）}_{α} \land {e（电子）}_{β}),

和卡索拉蒂曲率 $C类 (我)$ 子空间的我定义为

C类 (我) = \frac{1}{第页} \sum_{α = n个 + 1}^{米} \sum_{我, j个 = 1}^{第页} {({小时}_{我 j个}^{α})}^{2} .

标准化的δ-卡索拉蒂曲率 $δ_{c（c）} (n个负极 1)$ 和 ${\hat{δ}}_{c（c）} (n个负极 1)$ 由提供

{[δ_{c（c）} (n个 负极 1)]}_{x个} = \frac{1}{2} {C类}_{x个} + \frac{n个 + 1}{2 n个} inf公司 {C类 (我) ∣ 我 ：的超平面 {T型}_{x个} M（M）}

和

{[{\hat{δ}}_{c（c）} (n个 负极 1)]}_{x个} = 2 {C类}_{x个} 负极 \frac{2 n个 负极 1}{2 n个} 啜饮 {C类 (我) ∣ 我 ：的超平面 {T型}_{x个} M（M）} .

3定理证明

发件人[6]，关于半对称公制连接的高斯方程为

\begin{array}{rcl} \tilde{R（右）} (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) & = & R（右） (X（X）, Y（Y）, Z轴, W公司) + 克 (小时 (X（X）, Z轴), 小时 (Y（Y）, W公司)) \\ 负极 克 (小时 (Y（Y）, Z轴), 小时 (X（X）, W公司)) . \end{array}

（3.1）

让 $x个 \in {M（M）}^{n个}$ 和 ${{e（电子）}_{1}, {e（电子）}_{2}, \dots, {e（电子）}_{n个}}$ 和 ${{e（电子）}_{n个 + 1}, \dots, {e（电子）}_{米}}$ 是的正交基 ${T型}_{x个} {M（M）}^{n个}$ 和 ${T型}_{x个}^{⊥} {M（M）}^{n个}$ 分别是。对于 $X（X） = W公司 = {e（电子）}_{我}$ , $Y（Y） = Z轴 = {e（电子）}_{j个}$ , $我 \neq j个$ ，从（2.3）可以看出

\tilde{R（右）} ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{我}) = c（c） 负极 α ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{我}) 负极 α ({e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{j个}) .

(3.2)

从（3.1）和（3.2）中，我们得到

\begin{matrix} c（c） 负极 α ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{我}) 负极 α ({e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{j个}) \\ = R（右） ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{我}) + 克 (小时 ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{j个}), 小时 ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{j个})) 负极 克 (小时 ({e（电子）}_{我}, {e（电子）}_{我}), 小时 ({e（电子）}_{j个}, {e（电子）}_{j个})) . \end{matrix}

通过求和 $1 \leq 我, j个 \leq n个$ ，根据前面的关系

2 τ = {n个}^{2} {∥ H（H） ∥}^{2} 负极 n个 C类 + n个 (n个 负极 1) c（c） 负极 2 (n个 负极 1) 追踪 (α) .

（3.3）

我们现在定义以下函数，表示为 $P（P）$ ，它是第二基本形式分量的二次多项式：

P（P） = \frac{1}{2} n个 (n个 负极 1) C类 + \frac{1}{2} (n个 + 1) (n个 负极 1) C类 (我) 负极 2 τ + n个 (n个 负极 1) c（c） 负极 2 (n个 负极 1) 追踪 (α) .

在不失一般性的前提下，假设我跨距为 ${e（电子）}_{1}, \dots, {e（电子）}_{n个负极 1}$ ，其中一个推论是

\begin{array}{rcl} P（P） & = & \frac{n个 + 1}{2} \sum_{α = n个 + 1}^{米} (\sum_{我, j个 = 1}^{n个} {({小时}_{我 j个}^{α})}^{2}) + \frac{n个 + 1}{2} \sum_{α = n个 + 1}^{米} (\sum_{我, j个 = 1}^{n个 负极 1} {({小时}_{我 j个}^{α})}^{2}) \\ 负极 \sum_{α = n个 + 1}^{米} {(\sum_{我 = 1}^{n个} {小时}_{我 我}^{α})}^{2} \end{array}

现在我们很容易获得

\begin{array}{rcl} P（P） & = & \sum_{α = n个 + 1}^{米} \sum_{我 = 1}^{n个 负极 1} [n个 {({小时}_{我 我}^{α})}^{2} + (n个 + 1) {({小时}_{我 n个}^{α})}^{2}] \\ + \sum_{α = n个 + 1}^{米} [2 (n个 + 1) \sum_{我 < j个 = 1}^{n个 负极 1} {({小时}_{我 j个}^{α})}^{2} 负极 2 \sum_{我 < j个 = 1}^{n个} {小时}_{我 我}^{α} {小时}_{j个 j个}^{α} + \frac{n个 负极 1}{2} {({小时}_{n个 n个}^{α})}^{2}] . \end{array}

(3.4)

从（3.4）中可以看出，关键点

{小时}^{c（c）} = ({小时}_{11}^{n个 + 1}, {小时}_{12}^{n个 + 1}, \dots, {小时}_{n个 n个}^{n个 + 1}, \dots, {小时}_{11}^{米}, \dots, {小时}_{n个 n个}^{米})

属于 $P（P）$ 是下列线性齐次方程组的解：

{\begin{cases} \frac{\partial P（P）}{\partial {小时}_{我 我}^{α}} = 2 (n个 + 1) {小时}_{我 我}^{α} 负极 2 \sum_{k个 = 1}^{n个} {小时}_{k个 k个}^{α} = 0, \\ \frac{\partial P（P）}{\partial {小时}_{n个 n个}^{α}} = (n个 负极 1) {小时}_{n个 n个}^{α} 负极 2 \sum_{k个 = 1}^{n个 负极 1} {小时}_{k个 k个}^{α} = 0, \\ \frac{\partial P（P）}{\partial {小时}_{我 j个}^{α}} = 4 (n个 + 1) {小时}_{我 j个}^{α} = 0, \\ \frac{\partial P（P）}{\partial {小时}_{我 n个}^{α}} = 2 (n个 + 1) {小时}_{我 n个}^{α} = 0, \end{cases}

(3.5)

具有 $我, j个 \in {1, \dots, n个负极 1}$ , $我 \neq j个$ 和 $α \in {n个 + 1, \dots, 米}$ 因此，每个解决方案 ${小时}^{c（c）}$ 有 ${小时}_{我 j个}^{α} = 0$ 对于 $我 \neq j个$ ，且与上述系统的前两组方程对应的行列式为零（非旋转测地线子流形存在解）。此外，很容易看出 $P（P）$ 有表单

H（H） (P（P）) = (\begin{array}{ccc} {H（H）}_{1} & 0 & 0 \\ 0 & {H（H）}_{2} & 0 \\ 0 & 0 & {H（H）}_{三} \end{array}),

哪里

{H（H）}_{1} = (\begin{array}{ccccc} 2 n个 & 负极 2 & \dots & 负极 2 & 负极 2 \\ 负极 2 & 2 n个 & \dots & 负极 2 & 负极 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 负极 2 & 负极 2 & \dots & 2 n个 & 负极 2 \\ 负极 2 & 负极 2 & \dots & 负极 2 & n个 负极 1 \end{array}),

0表示相应维度的空矩阵 ${H（H）}_{2}$ , ${H（H）}_{三}$ 是下一个对角矩阵

\begin{matrix} {H（H）}_{2} = 诊断 (4 (n个 + 1), 4 (n个 + 1), \dots, 4 (n个 + 1)), \\ {H（H）}_{三} = 诊断 (2 (n个 + 1), 2 (n个 + 1), \dots, 2 (n个 + 1)) . \end{matrix}

因此，我们发现 $H（H） (P（P）)$ 具有以下特征值：

\begin{matrix} λ_{11} = 0, λ_{22} = n个 + 三, λ_{33} = \dots = λ_{n个 n个} = 2 (n个 + 1), \\ λ_{我 j个} = 4 (n个 + 1), λ_{我 n个} = 2 (n个 + 1), \forall 我, j个 \in {1, \dots, n个 负极 1}, 我 \neq j个 . \end{matrix}

因此， $P（P）$ 为抛物线，并达到最小值 $P（P） ({小时}^{c（c）}) = 0$ 解决方案 ${小时}^{c（c）}$ （3.5）。由此可见 $P（P） \geq 0$ ，因此，

2 τ \leq \frac{1}{2} n个 (n个 负极 1) C类 + \frac{1}{2} (n个 + 1) (n个 负极 1) C类 (我) + n个 (n个 负极 1) c（c） 负极 2 (n个 负极 1) 追踪 (α) .

因此，我们推断

ρ \leq \frac{1}{2} C类 + \frac{n个 + 1}{2 n个} C类 (我) + c（c） 负极 \frac{2}{n个} 追踪 (α)

对于每个切线超平面我属于M（M）.在所有切线超平面上取下确界我，定理很简单。

此外，我们可以很容易地检查等号在定理中成立的当且仅当

{小时}_{我 j个}^{α} = 0, \forall 我, j个 \in {1, \dots, n个}, 我 \neq j个 和 α \in {n个 + 1, \dots, 米}

(3.6)

和

{小时}_{n个 n个}^{α} = 2 {小时}_{11}^{α} = \dots = 2 {小时}_{n个 负极 1 n个 负极 1}^{α}, \forall α \in {n个 + 1, \dots, 米} .

(3.7)

从（3.6）和（3.7）我们得出结论，等式成立的当且仅当子流形M（M）在中具有平凡正规连接的不变拟模糊N个，使得对于合适的正交切线和正交正交框架，形状操作符采用以下形式：

{A类}_{n个 + 1} = (\begin{array}{c} 2 一 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 2 一 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 一 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 一 & \dots & 2 一 & 0 \\ 0 & 0 & 一 & \dots & 0 & 一 \end{array}), {A类}_{n个 + 2} = \dots = {A类}_{米} = 0 .

(3.8)

备注我们在定义中有一个稍微修改的系数 $δ_{C类} (n个负极 1)$ ; 事实上，它被用作系数 $\frac{n个 + 1}{2 n个 (n个负极 1)}$ ，如中所示[22,23,25]，而不是 $\frac{n个 + 1}{2 n个}$ ，因为我们正在研究广义归一化δ-卡索拉蒂曲率 $δ_{C类} (第页; n个负极 1)$ 对于正实数 $第页 \neq n个 (n个负极 1)$ ，如中所示[24].

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致谢

作者感谢裁判的宝贵意见和建议，这些意见和建议有助于改进论文。

作者信息

作者和附属机构

韩国大邱京畿国立大学数学系，702-701
李卓宇（Chul Woo Lee）
韩国金州庆生国立大学数学教育与RINS系，660-701
大元元
釜山国立教育大学数学教育系，釜山，611-736，韩国
李在元

作者

李卓宇（Chul Woo Lee）
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李在元
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通讯作者

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竞争性利益

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作者的贡献

所有作者在写这篇论文时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

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关于本文

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Lee，C.W.，Yoon，D.W.&Lee，J.W.具有半对称度量连接的实空间形式子流形的Casorati曲率的最优不等式。J不平等申请 2014, 327 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-327

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收到:2014年5月17日
认可的:2014年7月30日
出版:2014年9月1日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-327