Inner functions as improving multipliers and zero sets of Besov-type spaces

Lou, Zengjian; Qian, Ruishen

doi:10.1186/1029-242X-2014-312

研究
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出版：2014年8月21日

改进Besov型空间乘数和零集的内函数

曾建楼¹&
钱瑞申¹

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：312(2014)引用这篇文章

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1引文
韵律学细节

摘要

假设X（X）和Y（Y）是单位圆盘中的两个解析函数空间 $D类$ 具有 $X（X） \subseteq Y（Y）$ .让θ成为一种内在功能。如果每个函数 $（f） \in X（X）$ 令人满意的 $（f） θ \in Y（Y）$ 必须实际满足 $（f） θ \in X（X）$ ，然后θ据说是 $(X（X）, Y（Y）)$ -正在改进。本文刻画了Möbius不变Besov型空间中的内函数 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 作为提高乘数 $第页 > 1$ 和 $0 < 秒 < 1$ .我们的结果推广了Peláez关于 $问_{秒}$ 空格( $0 < 秒 < 1$ )（Peláez in J.Funct.Ana.255:1403-14182008）。

MSC公司：30D45、30D50。

1引言

我们表示单位圆盘 ${z（z） \in C类以下为： | z（z） | < 1}$ 通过 $D类$ 及其边界 ${z（z） \in C类以下为： | z（z） | = 1}$ 通过 $\partial D类$ .让 $H（H） (D类)$ 是中所有分析函数的空间 $D类$ .单位圆盘中的分析函数 $D类$ 如果它是有界的，并且在边界上几乎处处模等于1，则称为内函数 $\partial D类$ 。

众所周知，每个内部函数都有一个因式分解 ${e（电子）}^{我 γ} B类 (z（z）) S公司 (z（z）)$ ，其中 $γ \in 对$ , $B类 (z（z）)$ 是Blaschke产品 $S公司 (z（z）)$ 是一个奇异的内部函数，即，

B类 (z（z）) = \prod_{k个 = 1}^{\infty} \frac{| 一_{k个} |}{一_{k个}} \frac{一_{k个} 负极 z（z）}{1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z）}

和

S公司 (z（z）) = 经验 {负极 \int_{0}^{2 π} \frac{{e（电子）}^{我 t吨} + z（z）}{{e（电子）}^{我 t吨} 负极 z（z）} d日 μ (t吨)},

哪里 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是中的一系列点 $D类$ 满足Blaschke条件

\sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 | 一_{k个} |) < \infty,

和μ是有限正Borel测度 $[0, 2 π)$ ，对于勒贝格测度是奇异的。让 $σ (θ)$ 表示内部函数的奇异集或边界谱θ.来自[1]我们知道这一点 $σ (θ) \subseteq \partial D类$ 是最小的闭集，因此θ是跨领域的分析 $\partial D类 ∖ σ (θ)$ 、和 $σ (θ)$ 由零的累加点组成θ以及相关奇异测度的闭支撑。请参见[2–6]有关内部函数的更多信息。

由于一个非平凡的内部函数θ在附近极为振荡 $σ (θ)$ ，同样的情况也会发生在产品上fθ，其中 $（f） \in H（H） (D类)$ 在某种意义上是平滑的 $\partial D类$ 但有时产品fθ继承了的优良属性（f），并且有可能fθ增加了平滑度。为了分析这种现象，Dyakonov在[7].

假设X（X）和Y（Y）是关于的两类解析函数 $D类$ 、和 $X（X） \subseteq Y（Y）$ .让θ成为一种内在功能，θ据说是 $(X（X）, Y（Y）)$ -改善，如果每个功能 $（f） \in X（X）$ 令人满意的 $（f） θ \in Y（Y）$ 必须真正满足 $（f） θ \in X（X）$ 。

本文研究了Möbius不变Besov型空间中的内函数 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 作为提高乘数。

让 $0 < 第页 < \infty$ , $负极 2 < q个 < \infty$ , $秒 \geq 0$ ，的 $如果 (第页, q个, 秒)$ 空间是一组 $（f） \in H（H） (D类)$ [8]这样的话

{∥ （f） ∥}_{如果 (第页, q个, 秒)} = | （f） (0) | + {(\underset{一 \in D类}{啜饮} \int_{D类} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{q个} 克 {(z（z）, 一)}^{秒} d日 A类 (z（z）))}^{\frac{1}{第页}} < \infty,

哪里克表示格林函数，由

克 (z（z）, 一) = 日志 \frac{1}{| φ_{一} (z（z）) |}, z（z）, 一 \in D类, z（z） \neq 一,

$φ_{一} (z（z）) = \frac{一负极 z（z）}{1 负极 \bar{一} z（z）}$ , $d日 A类 (z（z）) = \frac{1}{π} d日 x个 d日年$ 。很容易检查 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 是Möbius不变的Besov型空间。发件人[8]，何时 $0 < 秒 < 1$ , $如果 (2, 0, 秒) = 问_{秒}$ ，有关的详细信息 $问_{秒}$ 空间，我们指的是[9]和[10]. 什么时候？ $秒 = 1$ , $如果 (2, 0, 秒) = B类 M（M） O（运行） A类$ 哈代空间中解析函数的空间 ${H（H）}^{1} (D类)$ 其边界函数具有有界平均振荡。什么时候？ $秒 > 1$ , $如果 (2, 0, 秒) = B类$ 、Bloch空间（请参见[11]).

以下结果由Peláez于[[12]，定理1]。

定理A 假设 $0 < 秒 < 1$ 和 θ 是一个内部函数。那么以下条件是等价的以下为：

(1)
$θ \in 问_{秒}$ ;
(2)
θ 是 $(问_{秒}, B类 M（M） O（运行） A类)$ -改善;
(3)
θ 是 $(问_{秒}, B类)$ -改善。

本文将定理A从 $问_{秒}$ 空间到更一般的空间 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ , $0 < 秒 < 1$ 。

定理1 让 $1 < 第页 < \infty$ , $0 < 秒 < 1$ 。假设 θ 是一个内部函数。那么以下条件是等价的以下为：

(1)
$θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ;
(2)
θ 是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类 M（M） O（运行） A类)$ -改善;
(3)
θ 是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类)$ -改善。

定理1的证明在第3节中给出。定理1可以进一步推广到更一般的空间 $A类 {B类}_{第页}^{t吨} \cap 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ，其中 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 空间是一组功能 $（f） \in H（H） (D类)$ 这样（参见[13])

{∥ （f） ∥}_{A类 {B类}_{第页}^{t吨}} = | （f） (0) | + {(\int_{D类} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 | z（z） |)}^{(1 负极 t吨) 第页 负极 1} d日 A类 (z（z）))}^{\frac{1}{第页}} < \infty 。

推论1 让 $1 < 第页 < \infty$ , $0 < t吨第页 < 1$ 和 $0 < 秒 < 1$ 。假设 θ 是一个内部函数。那么以下条件是等价的以下为：

(1)
$θ \in A类 {B类}_{第页}^{t吨} \cap 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ;
(2)
θ 是 $(A类 {B类}_{第页}^{t吨} \cap 如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类 M（M） O（运行） A类)$ -改善;
(3)
θ 是 $(A类 {B类}_{第页}^{t吨} \cap 如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类)$ -改善。

请注意 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒) \subset A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极秒}{第页}}$ 推论1的证明类似于定理1的证明，因此被省略。

备注1从定理1中，我们知道任何内部函数 $θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), 如果 (第页, 第页负极 2, t吨))$ -改进，当 $第页 > 1$ 和 $0 < 秒 < t吨 < 1$ 相反，通过在Besov型空间的零集上使用以下结果（定理2和命题1），我们将证明存在内函数θ哪个是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), 如果 (第页, 第页负极 2, t吨))$ -正在改进，但θ不属于 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 。

为了说明定理2，我们需要一些概念。

Blaschke产品B类带有零序 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 如果存在正常数，则称为插值δ这样的话

\prod_{j个 \neq k个} ϱ (一_{j个}, 一_{k个}) \geq δ, k个 = 1, 2, \dots 。

在这里 $ϱ (一_{j个}, 一_{k个}) = | φ_{一_{j个}} (一_{k个}) |$ 表示中的伪双曲度量 $D类$ 。我们也这么说 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是插值序列或均匀分离序列。插值序列的有限并集通常称为Carleson-Newman序列。类似地，Carleson-Newman-Blaschke积是插值Blaschke积的有限乘积。

我们记得一个函数 $克 \in H（H） (D类)$ 称为外部函数，如果 $日志 | 克 | \in {L（左）}^{1} (\partial D类)$ 和

克 (z（z）) = η 经验 (\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} 日志 | 克 ({e（电子）}^{我 t吨}) | \frac{{e（电子）}^{我 t吨} + z（z）}{{e（电子）}^{我 t吨} 负极 z（z）} d日 t吨),

哪里 $η \in \partial D类$ 。

我们这么说 $Z轴 = {{z（z）}_{n个}} \subset D类$ 是解析函数空间的零集X（X）定义于 $D类$ 如果有 $（f） \in X（X）$ 消失在Z轴别无他法。虽然分析函数空间的零点集的研究是一个困难的问题，但也有一些与此相关的优秀论文。我们可以提及Carleson[14,15]，考夫兰[16]、夏皮罗和希尔兹[17]、泰勒和威廉姆斯[18]. 最近，Pau和Peláez获得了关于Dirichlet空间零集的一个定理 ${D类}_{秒} = A类 {B类}_{2}^{\frac{1 负极秒}{2}}$ 英寸[[19]，定理1]。在下一个定理中，我们刻画了 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 推广Pau和Peláez结果的空间[19]. 我们刻画了Carleson-Newman序列在 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 空格。

定理2 假设 $第页 > 1$ , $0 < t吨 < 1$ , $0 < 第页 t吨 < 1$ 和 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是Carleson-纽曼序列。那么以下条件是等价的以下为：

(1)
${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是一个 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ -零点设置;
(2)
存在一个外部函数 $克 \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 这样的话
$\sum_{k个 = 1}^{\infty} {| 克 (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{1 负极 t吨第页} < \infty;$
(3)
存在一个外部函数 $克 \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 这样的话
$\sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{2 负极 t吨第页} \int_{\partial D类} \frac{{| 克 ({e（电子）}^{我 t吨}) |}^{第页}}{{| {e（电子）}^{我 t吨} 负极一_{k个} |}^{2}} d日 t吨 < \infty;$
(4)
存在一个外部函数 $克 \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 这样的话
$\sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{1 负极 t吨第页 + 第页} {(\int_{\partial D类} \frac{| 克 ({e（电子）}^{我 t吨}) |}{{| {e（电子）}^{我 t吨} 负极一_{k个} |}^{2}} d日 t吨)}^{第页} < \infty 。$

利用定理2，我们可以得出以下结果。

提议1 假设 $第页 > 1$ , $0 < t吨 < 1$ , $0 < 第页 t吨 < 1$ 。有一个Carleson-纽曼序列 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 它不是 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ -零点设置和1作为唯一的聚集点。

命题1的证明类似于[19]此处省略。

应用命题1，我们可以证明以下结果，其证明（以及定理2的证明）在第4节中给出。

推论2 让 $第页 > 1$ 和 $0 < 秒 < t吨 < 1$ 。然后存在一个内部函数 θ 哪个是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), 如果 (第页, 第页负极 2, t吨))$ -改善,但是 θ 不属于 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 。

在本文中，针对两个功能（f）和克, $（f） ≍ 克$ 意味着 $克 ≲ （f） ≲ 克$ 也就是说，存在正常数 ${C类}_{1}$ 和 ${C类}_{2}$ 仅取决于索引 $第页, 秒, t吨, \dots$ , 这样的话 ${C类}_{1} 克 \leq （f） \leq {C类}_{2} 克$ 。

2准备工作

为了证明定理1，我们需要一些辅助结果。一些专家应该知道引理2.1和2.2，但我们找不到参考。为了保证论文的完整性，我们给出了以下证明。

引理2.1 让 $0 < 第页 < \infty$ 和 $秒 \geq 0$ 。然后 $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 当且仅当

\underset{一 \in D类}{啜饮} {∥ （f） \circ φ_{一} 负极 （f） (一) ∥}_{A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极 秒}{第页}}} < \infty 。

证明根据的定理2.4[8]并改变变量 $w个 = φ_{一} (z（z）)$ ，我们有

\begin{aligned} {∥ （f） 负极 （f） (0) ∥}_{如果 (第页, 第页 负极 2, 秒)}^{第页} & = \underset{一 \in D类}{啜饮} \int_{D类} {| {（f）}^{'} (w个) |}^{第页} {(1 负极 {| w个 |}^{2})}^{第页 负极 2} 克^{秒} (w个, 一) d日 A类 (w个) \\ ≍ \underset{一 \in D类}{啜饮} \int_{D类} {| {（f）}^{'} (w个) |}^{第页} {(1 负极 {| w个 |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (w个) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (w个) \\ = \underset{一 \in D类}{啜饮} \int_{D类} {| {(（f） \circ φ_{一})}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{秒 + 第页 负极 2} d日 A类 (z（z）) \\ ≍ \underset{一 \in D类}{啜饮} {∥ （f） \circ φ_{一} 负极 （f） (一) ∥}_{A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极 秒}{第页}}}^{第页} 。 \end{aligned}

□

对于 $0 < 第页 < \infty$ , ${H（H）}^{第页}$ 表示哈代空间 $（f） \in H（H） (D类)$ 具有

{∥ （f） ∥}_{{H（H）}^{第页}}^{第页} = \underset{0 < 第页 < 1}{啜饮} \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| （f） (第页 {e（电子）}^{我 θ}) |}^{第页} d日 θ < \infty 。

发件人[20]，我们知道

{∥ （f） ∥}_{B类 M（M） O（运行） A类} = | （f） (0) | + \underset{一 \in D类}{啜饮} {∥ （f） \circ φ_{一} 负极 （f） (一) ∥}_{{H（H）}^{第页}} < \infty

可以定义为 $B类 M（M） O（运行） A类$ 空间。

引理2.2 让 $1 < 第页 < \infty$ , $0 < 秒 < 1$ 。然后 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒) \subseteq B类 M（M） O（运行） A类$ 。

证明来自第2.4条引理[21]，我们知道 $A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极秒}{第页}} \subset {H（H）}^{第页}$ 和

{∥ （f） ∥}_{{H（H）}^{第页}} \leq {∥ （f） ∥}_{A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极 秒}{第页}}} 。

让 $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ .通过引理2.1，我们得到

\begin{aligned} {∥ （f） 负极 （f） (0) ∥}_{B类 M（M） O（运行） A类} & = \underset{一 \in D类}{啜饮} {∥ （f） \circ φ_{一} 负极 （f） (一) ∥}_{{H（H）}^{第页}} \\ \leq \underset{一 \in D类}{啜饮} {∥ （f） \circ φ_{一} 负极 （f） (一) ∥}_{A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极 秒}{第页}}} \\ ≍ {∥ （f） 负极 （f） (0) ∥}_{如果 (第页, 第页 负极 2, 秒)} < \infty 。 \end{aligned}

那就是， $（f） \in B类 M（M） O（运行） A类$ . □

以下三个引理将用于引理2.6的证明。他们的证据可以在[[22]，推论2.4][[23]，引理2.5]或[[24]，引理1]和[[25]，引理2.1]。

引理2.3 让 θ 成为一个内部函数，并让 $1 \leq 第页 < \infty$ , $负极 2 < q个 < \infty$ 和 $0 < 秒 < \infty$ 这样的话 $0 < q个 + 秒 + 1 < 第页$ 。然后,对于任何 $（f） \in H（H） (D类)$ 和 $一 \in D类$ ,

\begin{aligned} \int_{D类} | （f） (z（z）) |^{第页} {(1 负极 {| θ (z（z）) |}^{2})}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{q个 负极 第页} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≍ \int_{D类} | （f） (z（z）) |^{第页} | θ^{'} (z（z）) |^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{q个} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) 。 \end{aligned}

引理2.4 让 $秒 > 负极 1$ , $第页, t吨 > 0$ ,和 $t吨 < 秒 + 2 < 第页$ 。然后

\int_{D类} \frac{{(1 负极 {| w个 |}^{2})}^{秒}}{{| 1 负极 \bar{w个} z（z） |}^{第页} {| 1 负极 \bar{w个} ζ |}^{t吨}} d日 A类 (w个) ≲ \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{2 + 秒 负极 第页}}{{| 1 负极 \bar{ζ} z（z） |}^{t吨}}, z（z）, ζ \in D类 。

引理2.5 让 $1 < 第页 < \infty$ ,和 $一 > 负极 1$ , $b条 \geq 0$ 具有 $b条 < 2 + 一$ , $w个 \in D类$ 。如果 $（f） \in H（H） (D类)$ ,然后

\int_{D类} {| （f） (z（z）) 负极 （f） (0) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{一}}{{| 1 负极 \bar{w个} z（z） |}^{b条}} d日 A类 (z（z）) ≲ \int_{D类} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{一}}{{| 1 负极 \bar{w个} z（z） |}^{b条}} d日 A类 (z（z）) 。

引理2.6在定理1的证明中起着重要作用，它推广了[12]，有不同的证据[21]和[19].

引理2.6 让 $1 < 第页 < \infty$ , $0 < 秒 < 1$ , $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 和 B类 成为Carleson-零序列的Newman Blaschke积 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 。然后 $（f） B类 \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 当且仅当

\underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} < \infty 。

证明必要性。如果 $（f） B类 \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ，那么很容易推断出

\underset{一 \in D类}{啜饮} \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} {| {B类}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) < \infty 。

我们将证明这一点

\begin{aligned} \underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} \\ ≲ \underset{一 \in D类}{啜饮} \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} {| {B类}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) 。 \end{aligned}

从的次均值性质 ${| （f） |}^{第页}$ 和估计

1 负极 {| 一_{k个} |}^{2} ≍ 1 负极 {| z（z） |}^{2} ≍ | 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |, z（z） \in E类 (一_{k个}, 第页),

对于 $第页 > 0$ （参见[[26]第69页）。这里和之后

E类 (一_{k个}, 第页) = {z（z） 以下为： | φ_{一_{k个}} (z（z）) | < 第页} 。

我们有

\begin{aligned} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} \\ ≲ \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} \int_{E类 (一_{k个}, 第页)} \frac{{| （f） (z（z）) |}^{第页}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}} d日 A类 (z（z）) \\ ≍ \sum_{k个 = 1}^{\infty} \int_{E类 (一_{k个}, 第页)} {| （f） (z（z）) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2 第页 + 2}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≍ \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{第页} \int_{E类 (一_{k个}, 第页)} {| （f） (z（z）) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2 第页}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{第页} \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2 第页}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ = \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2})}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} {(\sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2}))}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) 。 \end{aligned}

(1)

自B类是带有零序列的Carleson-Newman-Blaschke乘积 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ ，我们有

\underset{z（z） \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{z（z）} (一_{k个}) |}^{2}) ≲ 1 。

请注意

1 负极 {第页}^{2} \leq 负极 2 日志 第页, 0 < 第页 \leq 1,

我们有

2 日志 | B类 (z（z）) | = \sum_{n个 = 1}^{\infty} 日志 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2} \leq 负极 \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2}) 。

自从函数 $\frac{(1 负极 {e（电子）}^{负极 x个})}{x个}$ 正在减少 $(0, \infty)$ ，我们得到

\begin{aligned} 1 负极 {| B类 (z（z）) |}^{2} & \geq \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2}) \frac{1 负极 经验 (负极 {啜饮}_{z（z） \in D类} \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2}))}{{啜饮}_{z（z） \in D类} \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2})} \\ ≍ \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2}) 。 \end{aligned}

将此与（1）结合并使用引理2.3得出

\begin{aligned} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} \\ ≲ \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} {| {B类}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) < \infty 。 \end{aligned}

充分性。应用第页-三角形不等式给出

\begin{aligned} \int_{D类} {| {(（f） (z（z）) B类 (z（z）))}^{'} |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ \int_{D类} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} {| B类 (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ + \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} {| {B类}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ = 以下为： 我_{1} + 我_{2} 。 \end{aligned}

自 $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ , $B类 \in {H（H）}^{\infty}$ ，根据的定理2.4[8]，我们有

\begin{aligned} 我_{1} & ≲ {∥ B类 ∥}_{{H（H）}^{\infty}}^{第页} \int_{D类} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ {∥ （f） ∥}_{如果 (第页, 第页 负极 2, 秒)}^{第页} 。 \end{aligned}

我们现在估计 $我_{2}$ .利用以下事实 $(1 负极 {| z（z） |}^{2}) | {B类}^{'} (z（z）) | \leq 1$ 和

| {B类}^{'} (z（z）) | \leq \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}},

并使用第页-三角形不等式

\begin{aligned} 我_{2} = & \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} {| {B类}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ & \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} | {B类}^{'} (z（z）) | {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 1} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ & \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} (\sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}}) {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 1} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ = & \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}) \int_{D类} {| （f） (z（z）) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 1}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ & \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}) \int_{D类} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 1}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ + \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}) \int_{D类} {| （f） (z（z）) 负极 （f） (一_{k个}) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 1}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ = 以下为： & 我_{三} + 我_{4} 。 \end{aligned}

应用引理2.4得到

\begin{aligned} 我_{三} & = \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}) {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} \int_{D类} \frac{{(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 1}}{{| 1 负极 {\bar{一}}_{k个} z（z） |}^{2}} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ \underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} < \infty 。 \end{aligned}

让 $φ_{λ} (w个) = {e（电子）}^{我 τ} φ_{一} (φ_{一_{k个}} (w个))$ , $τ \in [0, 2 π]$ .改变变量 $z（z） = φ_{一_{k个}} (w个)$ 使用引理2.5，我们得到

\begin{aligned} 我_{4} & ≲ \sum_{k个 = 1}^{\infty} \int_{D类} {| (（f） \circ φ_{一_{k个}}) (w个) 负极 (（f） \circ φ_{一_{k个}}) (0) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| φ_{λ} (w个) |}^{2})}^{秒}}{(1 负极 {| w个 |}^{2})} d日 A类 (w个) \\ = \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| λ |}^{2})}^{秒} \int_{D类} {| (（f） \circ φ_{一_{k个}}) (w个) 负极 (（f） \circ φ_{一_{k个}}) (0) |}^{第页} \frac{{(1 负极 {| w个 |}^{2})}^{秒 负极 1}}{{| 1 负极 \bar{λ} w个 |}^{2 秒}} d日 A类 (w个) \\ ≲ \sum_{k个 = 1}^{\infty} \int_{D类} {| {(（f） \circ φ_{一_{k个}})}^{'} (w个) |}^{第页} {(1 负极 {| w个 |}^{2})}^{第页 负极 1} {(1 负极 {| φ_{λ} (w个) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (w个) \\ = \sum_{k个 = 1}^{\infty} \int_{D类} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} (1 负极 {| φ_{一_{k个}} (z（z）) |}^{2}) {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ \int_{D类} {| {（f）}^{'} (z（z）) |}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) ≲ {∥ （f） ∥}_{如果 (第页, 第页 负极 2, 秒)}^{第页} 。 \end{aligned}

因此，我们有 $（f） θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ . □

以下众所周知的结果也将用于定理1的证明。

引理2.7([[22]，定理1.4]）

让 $0 < 秒 < 1$ 。那么内部函数属于Möbius不变量Besov-类型空间 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 为所有人 $第页 > 最大值 {秒, 1 负极秒}$ 当且仅当它是与序列关联的Blaschke乘积 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 这满足了

\underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} < \infty 。

引理2.8([[27]，引理21]）

让 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 成为一个序列 $D类$ 。然后是措施 $d日 μ_{一_{k个}} = \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}) δ_{一_{k个}}$ 是Carleson度量,我。e（电子）。

\underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2}) < \infty,

当且仅当 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是一致分离序列的有限并集。

如果θ是一个内部函数，用于 $0 < ¦Β < 1$ ，定义订单的级别集¦Β属于θ作为

Ω (θ, ¦Β) = {z（z） \in D类 以下为： | θ (z（z）) | < ¦Β} 。

引理2.9([[28]，定理1]）

如果 $（f） \in B类 M（M） O（运行） A类$ 和 θ 是一个内部函数,那么以下条件是等价的以下为：

(1)
$（f） θ \in B类 M（M） O（运行） A类$ ;
(2)
${啜饮}_{z（z） \in D类} {| （f） (z（z）) |}^{2} (1 负极 {| θ (z（z）) |}^{2}) < \infty$ ;
(3)
${啜饮}_{z（z） \in Ω (θ, ¦Β)} | （f） (z（z）) | < \infty$ ,对于每个 ¦Β, $0 < ¦Β < 1$ ;
(4)
${啜饮}_{z（z） \in Ω (θ, ¦Β)} | （f） (z（z）) | < \infty$ ,对一些人来说 ¦Β, $0 < ¦Β < 1$ 。

3定理证明1

(1)
⇒（2）。用于内部功能 $θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ，由引理2.7，θ是带零的Blaschke乘积 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 、和
$\underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} < \infty,$

这意味着

\underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} (1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2}) < \infty 。

从引理2.8，θ是Carleson-Nemwman Blaschke产品。假设 $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 和 $（f） θ \in B类 M（M） O（运行） A类$ .引理2.9给出

\underset{z（z） \in Ω (θ, ¦Β)}{啜饮} | （f） (z（z）) | < \infty, 0 < ¦Β < 1 。

因此，

\begin{aligned} \underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} \\ \leq {(\underset{z（z） \in Ω (θ, ¦Β)}{啜饮} | （f） (z（z）) |)}^{第页} \underset{一 \in D类}{啜饮} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| φ_{一} (一_{k个}) |}^{2})}^{秒} < \infty 。 \end{aligned}

应用引理2.6意味着 $（f） θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 因此，θ是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类 M（M） O（运行） A类)$ -改善。

(2)
⇒(1), (3)⇒（2）。他们的证据是显而易见的。
(2)
⇒(3). 让θ是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类 M（M） O（运行） A类)$ -改善。如果内部功能 $θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ，然后θ是Carleson-Newman Blaschke产品。对于 $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ，如果 $（f） θ \in B类$ 那么任何Carleson-Newman Blaschke产品都是 $(B类 M（M） O（运行） A类, B类)$ -通过推论1改进[12]. 因此， $（f） θ \in B类 M（M） O（运行） A类$ 。请注意θ是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类 M（M） O（运行） A类)$ -改进，我们有 $（f） θ \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 因此，θ是 $(如果 (第页, 第页负极 2, 秒), B类)$ -改善。定理1的证明已经完成。

定理2和推论2的4个证明

在本节中，我们借用了[19]研究零集 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 空格。根据引理2.6的证明，我们得到了下一个结果。

引理4.1 让 $1 < 第页 < \infty$ , $0 < t吨 < 1$ , $0 < t吨第页 < 1$ 。假设 $（f） \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ ,B类 是Carleson-零序列的Newman Blaschke积 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 。然后 $（f） B类 \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 当且仅当

\sum_{k个 = 1}^{\infty} {| （f） (一_{k个}) |}^{第页} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{1 负极 t吨 第页} < \infty 。

什么时候？ $第页 = q个$ , $σ = 1$ 或 $σ = \frac{1}{第页}$ 在的定理1中[13]，我们得到以下引理。

引理4.2 让 $1 \leq 第页 < \infty$ , $0 < t吨 < \frac{1}{第页}$ , $（f） \in {H（H）}^{第页}$ 。那么以下条件是等价的。

(1)
$（f） \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ ;
(2)
$\int_{D类} {(\int_{\partial D类} | （f） ({e（电子）}^{我 η}) 负极（f） (z（z）) | \frac{1 负极 {| z（z） |}^{2}}{| {e（电子）}^{我 η} 负极 z（z） |} d日 η)}^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 t吨第页负极 1} d日 A类 (z（z）) < \infty$ ;
(3)
$\int_{D类} \int_{\partial D类} {| （f） ({e（电子）}^{我 η}) 负极（f） (z（z）) |}^{第页} \frac{1 负极 {| z（z） |}^{2}}{| {e（电子）}^{我 η} 负极 z（z） |} d日 η {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{负极 t吨第页负极 1} d日 A类 (z（z）) < \infty$ 。

定理证明2(1)⇒（2）。自 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是一个 $A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ -零点设置，存在 $（f） \in A类 {B类}_{第页}^{t吨}$ 这样的话 $（f） (一_{k个}) = 0$ 别无他法。由 $A类 {B类}_{第页}^{t吨} \subset {H（H）}^{第页}$ ，存在Blaschke产品B类，一个奇异的内部函数S公司和一个外部函数克，因此 $（f） = B类 S公司克$ .自 $S公司 \neq 0$ , $克 \neq 0$ ,B类是带零的Carleson-Newman-Blaschke乘积 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ ，摘自的推论3.1[29]，我们知道 $A类 {B类}_{第页}^{秒}$ 有（f）-属性（请参见[30]用于定义（f）-属性）。然后

克 B类 = \frac{（f）}{S公司} \in A类 {B类}_{第页}^{t吨} 。

应用引理4.1，我们有（2）。

(2)
⇒(1). 从引理4.1可以明显看出。
(3)
⇒（2）。根据泊松积分公式
$克 (一_{k个}) = \frac{1}{2 π} \int_{\partial D类} 克 ({e（电子）}^{我 η}) \frac{1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极一_{k个} |}^{2}} d日 η 。$

应用Hölder不等式，我们得到

{| 克 (一_{k个}) |}^{第页} ≲ \int_{\partial D类} {| 克 ({e（电子）}^{我 η}) |}^{第页} \frac{1 负极 {| 一_{k个} |}^{2}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{k个} |}^{2}} d日 η 。

预期结果如下。

(2)⇒(3). 由第页-三角形不等式，我们得到

\begin{aligned} \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{2 负极 t吨 第页} \int_{\partial D类} \frac{{| 克 ({e（电子）}^{我 η}) |}^{第页}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{k个} |}^{2}} d日 η \\ ≲ \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{2 负极 t吨 第页} \int_{\partial D类} \frac{{| 克 (一_{k个}) |}^{第页} + {| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (一_{k个}) |}^{第页}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{k个} |}^{2}} d日 η 。 \end{aligned}

让

我_{1} = 以下为： \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{2 负极 t吨 第页} \int_{\partial D类} \frac{{| 克 (一_{k个}) |}^{第页}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{k个} |}^{2}} d日 η

和

我_{2} = 以下为： \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{2 负极 t吨 第页} \int_{\partial D类} \frac{{| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (一_{k个}) |}^{第页}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{k个} |}^{2}} d日 η 。

很明显

\begin{aligned} 我_{1} & = \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{1 负极 t吨 第页} {| 克 (一_{k个}) |}^{第页} \int_{\partial D类} \frac{(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{k个} |}^{2}} d日 η \\ ≍ \sum_{k个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{k个} |}^{2})}^{1 负极 t吨 第页} {| 克 (一_{k个}) |}^{第页} < \infty 。 \end{aligned}

我们下一步估计 $我_{2}$ .自 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 是插值序列的有限并集，我们可以写

{一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty} = 以下为： ⋃_{1 \leq 我 \leq n个} ⋃_{1 \leq j个 \leq \infty} {一_{我 j个}}

存在一个正整数n个和 $δ_{我} > 0$ , $我 = 1, 2, \dots, n个$ ，因此

\prod_{j个 \neq 我} ϱ (一_{我 j个}, 一_{我 我}) \geq δ_{我} 。

然后用于固定我，伪双曲圆盘 ${E类 (一_{我 j个}, \frac{δ_{我}}{4})}_{j个 = 1}^{\infty}$ 两两不相交。请注意

G公司 (z（z）) = 以下为： \int_{0}^{2 π} {| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (z（z）) |}^{第页} \frac{1 负极 {| z（z） |}^{2}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 z（z） |}^{2}} d日 η

具有广义次均值性质。因此，

\begin{array}{rcl} 我_{2} & = & \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{j个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{我 j个} |}^{2})}^{1 负极 t吨 第页} \int_{0}^{2 π} {| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (一_{我 j个}) |}^{第页} \frac{1 负极 {| 一_{我 j个} |}^{2}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 一_{我 j个} |}^{2}} d日 η \\ ≲ & \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{j个 = 1}^{\infty} {(1 负极 {| 一_{我 j个} |}^{2})}^{负极 1 负极 t吨 第页} \int_{E类 (一_{我 j个}, \frac{δ_{我}}{4})} G公司 (u个) d日 A类 (u个) \\ ≲ & \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{j个 = 1}^{\infty} \int_{E类 (一_{我 j个}, \frac{δ_{我}}{4})} \frac{G公司 (u个)}{{(1 负极 | u个 |)}^{1 + t吨 第页}} d日 A类 (u个) \\ ≲ & \int_{D类} \frac{G公司 (u个)}{{(1 负极 | u个 |)}^{1 + t吨 第页}} d日 A类 (u个) 。 \end{array}

记住引理4.2，我们有（3）。

现在，我们证明 $G公司 (z（z）)$ 具有广义次均值性质。自 ${| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极克 (z（z）) |}^{第页}$ 是次谐波的，利用次均值性质，我们得到

{| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (z（z）) |}^{第页} ≲ \frac{1}{| E类 (z（z）, δ) |} \int_{E类 (z（z）, δ)} {| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (w个) |}^{第页} d日 A类 (w个), 0 < δ < 1 。

发件人[[26]，第69页和引理4.30]，我们知道

1 负极 | z（z） | ≍ 1 负极 | w个 | ≍ | 1 负极 \bar{z（z）} w个 |, | 1 负极 \bar{一} w个 | ≍ | 1 负极 \bar{一} z（z） |

对于 $w个 \in E类 (z（z）, δ)$ , $0 < δ < 1$ , $一 \in \bar{D类}$ 因此，可以得出以下结论

\begin{aligned} G公司 (z（z）) & ≲ \frac{1}{| E类 (z（z）, δ) |} \int_{E类 (z（z）, δ)} \int_{\partial D类} {| 克 ({e（电子）}^{我 η}) 负极 克 (w个) |}^{第页} \frac{1 负极 {| w个 |}^{2}}{{| {e（电子）}^{我 η} 负极 w个 |}^{2}} d日 η d日 A类 (w个) \\ = \frac{1}{| E类 (z（z）, δ) |} \int_{E类 (z（z）, δ)} G公司 (w个) d日 A类 (w个) 。 \end{aligned}

那就是， $G公司 (z（z）)$ 具有广义次均值性质。

(2)⇔(4). 证明与（2）类似⇔（3）并且因此被省略。定理得到了证明。□

引理4.3 让 $1 \leq 第页 < \infty$ 和 $0 < 秒 < 1$ 。假设 $（f） = 我_{（f）} {O（运行）}_{（f）} \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ,哪里 $我_{（f）}$ 和 ${O（运行）}_{（f）}$ 是内部的-外部因素。让我 是一个内部功能划分 $我_{（f）}$ 。然后 $（f） / 我 \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ 。

证明让 $（f） \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒) \subseteq A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极秒}{第页}}$ .通过的Möbius不变性质 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ ，我们有 $（f） \circ φ_{一} \in 如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ .根据的推论3.1[29]，我们得到

\begin{aligned} \int_{D类} | {(\frac{（f） (z（z）)}{我 (z（z）)})}^{'} |^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) \\ = \int_{D类} | {(\frac{（f） \circ φ_{一} (z（z）)}{我 \circ φ_{一} (z（z）)})}^{'} |^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2 + 秒} d日 A类 (z（z）) \\ ≲ \int_{D类} | {(（f） \circ φ_{一})}^{'} (z（z）) |^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2 + 秒} d日 A类 (z（z）) \\ = \int_{D类} | {（f）}^{'} (z（z）) |^{第页} {(1 负极 {| z（z） |}^{2})}^{第页 负极 2} {(1 负极 {| φ_{一} (z（z）) |}^{2})}^{秒} d日 A类 (z（z）) 。 \end{aligned}

预期结果如下。□

推论2的证明采取相同的顺序 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 如提案1所示。让 $B类 (z（z）)$ 成为相关的Blaschke产品。请注意 $如果 (第页, 第页负极 2, t吨) \subseteq A类 {B类}_{第页}^{\frac{1 负极 t吨}{第页}}$ ，这意味着 ${一_{k个}}_{k个 = 1}^{\infty}$ 不是 $如果 (第页, 第页负极 2, t吨)$ -零位设置。我们推断 $B类 (z（z）)$ 不属于 $如果 (第页, 第页负极 2, 秒)$ .结合引理4.3，其余的证明与[12]因此省略。□

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致谢

这项工作得到了中国国家科学基金会（No.11171203）和广东省国家科学基金（No.10151503101000025和No.S2011010004511）的支持。

作者信息

作者和附属机构

汕头大学数学系，广东省汕头市，邮编：515063
楼增建、钱瑞深

作者

曾建楼
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钱瑞申
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与的通信增健楼。

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竞争性利益

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作者的贡献

所有作者在本文的编写过程中贡献均等。所有作者阅读并批准了最终手稿。

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关于本文

引用这篇文章

Lou，Z.，Qian，R.。内部函数用于改进Besov型空间的乘数和零集。J不平等申请 2014, 312 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-312

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收到以下为：2014年3月18日
认可的以下为：2014年7月16日
已发布以下为：2014年8月21日
内政部以下为：https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-312