Solving nonlinear programming problems with unbounded non-convex constraint sets via a globally convergent algorithm

Su, Menglong; Li, Jianhua; Xu, Zhonghai

doi:10.1186/1029-242X-2014-281

研究
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出版：2014年8月15日

用全局收敛算法求解具有无界非凸约束集的非线性规划问题

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：281(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文提出了一组无界条件，在此条件下，我们可以通过组合同伦内点算法求解一类无界非凸集合中的非线性规划问题。我们还获得了组合同伦内点算法的全局收敛性，并详细分析了该算法的实现。

1引言

考虑约束最小化问题：

\begin{matrix} \underset{x个 \in 对^{n个}}{最小值} （f） (x个) \\ 科学技术 {u个}_{我} (x个) \leq 0, 我 = 1, \dots, 米, \\ {v（v）}_{j个} (x个) = 0, j个 = 1, \dots, 我, \end{matrix}

(1)

哪里 $（f） : 对^{n个} \to 对^{1}$ , ${u个}_{我} : 对^{n个} \to 对^{1}$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 ${v（v）}_{j个} : 对^{n个} \to 对^{1}$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是连续可微的三倍。

我们称之为要点 ${x个}^{*}$ 是（1）的Karush-Kuhn-Tucker（K-K-T）点，并且 $年^{*}$ , ${z（z）}^{*}$ 是对应的拉格朗日乘子向量，如果 $({x个}^{*}, 年^{*}, {z（z）}^{*})$ 满足

\begin{aligned} \nabla （f） (x个) + \nabla u个 (x个) 年 + \nabla v（v） (x个) z（z） = 0, \\ v（v） (x个) = 0, \\ Y（Y） u个 (x个) = 0, u个 (x个) \leq 0, 年 \geq 0, \end{aligned}

(2)

哪里 $年 \in 对^{米}$ , $z（z） \in 对^{我}$ , $\nabla （f） (x个) = {(\partial （f） (x个) / \partial x个)}^{T型} \in 对^{n个}$ , $\nabla u个 (x个) = (\nabla {u个}_{1} (x个), \dots, \nabla {u个}_{米} (x个)) \in 对^{n个 \times 米}$ , $\nabla v（v） (x个) = (\nabla {v（v）}_{1} (x个), \dots, \nabla {v（v）}_{我} (x个)) \in 对^{n个 \times 我}$ , $u个 (x个) = {({u个}_{1} (x个), \dots, {u个}_{米} (x个))}^{T型} \in 对^{米}$ , $v（v） (x个) = {({v（v）}_{1} (x个), \dots, {v（v）}_{我} (x个))}^{T型} \in 对^{我}$ 和 $Y（Y） = 诊断 (年) \in 对^{米 \times 米}$ .

自从Kellogg等。（请参见[1])和Smale（参见[2])提出了著名的同伦方法，该方法已成为处理各种非线性问题的有力工具，例如映射的零点或不动点（参见[三–5],等。以及其中的参考）。然而，直到1988年Megiddo（参见[6])和小岛等。（请参见[7])发现线性规划的Karmarkar内点法是一种路径允许方法。从那时起，数学规划的中心路径允许方法成为一个活跃的研究课题。此外，它最近被扩展到凸非线性规划问题（参见[8–11],等。). 但它们的所有收敛结果都是在对数障碍函数严格凸且解集非空且有界的假设下得到的。

最近，在中提出了一种求解非线性规划问题的组合单纯形内点方法（为了方便起见，称为CHIP方法）[12,13]（详细摘要于[14]). 在[13]与中心路径允许方法相比，作者消除了对数障碍函数的凸性以及解集的有界性和非空性。这表明，CHIP方法可以解决内部路径允许方法无法解决的问题。在[15]采用分段技术，在常用条件下，给出了CHIP方法的多项式，这表明CHIP方法也具有很好的效率。在[16]，我们介绍了 ${C类}^{2}$ 功能 $α_{我} (x个) \in 对^{n个}$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 $β_{j个} (x个) \in 对^{n个}$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 将结果扩展到[12,17]到更一般的非凸集。然而，文献中没有关于[16]扩展到无界非凸集。在本文中，我们试图完成这项工作。为此，通过使用一些不等式技术和在[18,19]，我们发展了一组新的无界条件。在这些条件下，我们得到了CHIP方法的全局收敛结果，从而扩展了[16]到无界非凸集。

2主要成果

在本节中 $对^{米}$ 表示为 $对_{+}^{米}$ 和 $对_{+ +}^{米}$ 分别是。我们还表示为 $B类 (x个) = {我 \in {1, \dots, 米} : {u个}_{我} (x个) = 0}$ 活动集位于x个此外，让 $X（X） = {x个 \in 对^{n个} : {u个}_{我} (x个) \leq 0, 我 = 1, \dots, 米, {v（v）}_{j个} (x个) = 0, j个 = 1, \dots, 我}$ 作为可行集，让 ${X（X）}^{0} = {x个 \in 对^{n个} : {u个}_{我} (x个) < 0, 我 = 1, \dots, 米, {v（v）}_{j个} (x个) = 0, j个 = 1, \dots, 我}$ 成为严格可行的集合 $\partial X（X） = X（X） ∖ {X（X）}^{0}$ 是的边界集X（X）.

在[16]，为了求解（2），构造了以下同伦：

\begin{matrix} H（H） (w个, {w个}^{(0)}, λ) \\ = (\begin{array}{c} (1 - λ) [\nabla （f） (x个) + \nabla u个 (x个) 年 + λ ξ (x个) 年^{2}] + [\nabla v（v） (x个) + λ (η (x个) - \nabla v（v） (x个))] z（z） + λ (x个 - {x个}^{(0)}) \\ v（v） (x个) \\ Y（Y） u个 (x个) - λ {Y（Y）}^{(0)} u个 ({x个}^{(0)}) \end{array}) \\ = 0, \end{matrix}

(3)

哪里 $w个 = (x个, 年, z（z）) \in 对^{n个 + 米 + 我}$ , ${w个}^{(0)} = ({x个}^{(0)}, 年^{(0)}, 0) \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我}$ 、和 ${Y（Y）}^{(0)} = 诊断 (年^{(0)}) \in 对^{米 \times 米}$ .

在本节中，我们使用无限解的概念[18,19]从而给出了一组新的无界条件。如果存在序列，则称非线性规划问题在无穷远处有解 ${{x个}^{(k个)}}$ 令人满意的 ${{x个}^{(k个)}} \subset X（X）$ , $∥ {x个}^{(k个)} ∥ \to \infty$ 作为 $k个 \to \infty$ ，对于任何给定的 $ζ \in X（X）$ ，存在 $年^{(k个)} \in 对_{+}^{米}$ 和 ${z（z）}^{(k个)} \in 对^{我}$ 这样的话

\underset{k个 \to \infty}{林} {(ζ - {x个}^{(k个)})}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \geq 0 .

然后我们假设存在光滑映射 $ξ_{我} (x个) \in 对^{1}$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 $η_{j个} (x个) \in 对^{1}$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 这样：

（A）₁) ${X（X）}^{0}$ 非空；非线性规划问题没有无限解。

（A）₂) $\forall x个 \in X（X）$ ，如果

\sum_{我 \in B类 (x个)} (年_{我} \nabla 克_{我} (x个) + α_{我} ξ_{我} (x个)) + \nabla v（v） (x个) z（z） + η (x个) β = 0, 年_{我} \geq 0, α_{我} \geq 0, z（z） \in 对^{我}, β \in 对^{我},

然后 $年_{我} = 0$ , $α_{我} = 0$ 和 $z（z） = β = 0$ , $\forall 我 \in B类 (x个)$ .

（A）_三) $\forall x个 \in X（X）$ ，我们有

{x个 + \sum_{我 \in B类 (x个)} 年_{我} ξ_{我} (x个) + z（z） η (x个) : 年_{我} \geq 0, 我 \in B类 (x个), z（z） \in 对^{我}} \cap X（X） = {x个},

哪里 $η (x个) = (η_{1} (x个), \dots, η_{我} (x个))$ .

（A）₄) $\forall x个 \in X（X）$ , $\nabla v（v） (x个)$ 列秩满 $\nabla v（v） {(x个)}^{T型} η (x个)$ 是非奇异的。

然而，仅将无限解技术应用于项目 $\nabla （f） (x个)$ , $\nabla u个 (x个)$ 、和 $\nabla v（v） (x个)$ ，我们无法将结果扩展到[16]到无界情况，因为项目的存在 $ξ (x个)$ 和 $η (x个)$ 对于这些项目 $ξ (x个)$ 和 $η (x个)$ ，我们需要使用其他技术。在本文中，我们仍然需要以下假设：

（A）₅) $\forall ζ \in X（X）$ ,

{u个}_{我} {(ζ)}^{T型} - {u个}_{我} {(x个)}^{T型} \geq {(ζ - x个)}^{T型} ξ_{我} (x个) 年_{我}, 我 = 1, \dots, 米, v（v） {(ζ)}^{T型} - v（v） {(x个)}^{T型} \geq {(ζ - x个)}^{T型} η (x个) .

对于给定的 ${w个}^{(0)}$ ，重写 $H（H） (w个, {w个}^{(0)}, λ)$ 作为 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}} (w个, λ)$ 。的零点集 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}$ 是

{H（H）}_{{w个}^{(0)}}^{- 1} (0) = {(w个, λ) \in X（X） \times 对_{+}^{米} \times 对^{我} \times (0, 1] : {H（H）}_{{w个}^{(0)}} (w个, λ) = 0} .

逆像定理告诉我们，如果0是映射的正则值 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}$ ，那么 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}^{- 1} (0)$ 由一些平滑曲线组成。的规律性 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}$ 可以通过以下引理得到。

引理2.1（参数化萨尔德定理）

让 $V（V） \subset 对^{n个}$ , $U型 \subset 对^{米}$ 成为开放集,和 $Φ : V（V） \times U型 \to 对^{(k个)}$ 一 ${C类}^{第页}$ 地图,哪里 $第页 > 最大值 {0, 米 - k个}$ .如果 $0 \in 对^{(k个)}$ 是的常规值Φ,那么几乎所有人 $一 \in V（V）$ , 0是的常规值 $Φ_{一} \equiv Φ (一, \cdot)$ .

引理2.2 让 H（H） 定义如下(3).此外,let假设（A）₁)-（A）₅)持有,让 ${u个}_{我} (x个)$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 ${v（v）}_{j个} (x个)$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是 ${C类}^{三}$ 功能,然后让 $ξ_{我} (x个)$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 $η_{j个} (x个)$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是 ${C类}^{2}$ 功能.然后,几乎所有人 ${w个}^{(0)} \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我}$ , 0是的常规值 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}$ ,和 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}^{- 1} (0)$ 由一些平滑曲线组成,其中有一条平滑的曲线 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 从开始 $({w个}^{(0)}, 1)$ .

引理2.3 让 H（H） 定义如下(3).此外,let假设（A）₁)-（A）₅)持有,让 ${u个}_{我} (x个)$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 ${v（v）}_{j个} (x个)$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是 ${C类}^{三}$ 功能,然后让 $ξ_{我} (x个)$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 $η_{j个} (x个)$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是 ${C类}^{2}$ 功能.然后,几乎所有 ${w个}^{(0)} \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我}$ ,光滑曲线的投影 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 上的 x个-平面有界.

证明如果不是，则存在一系列点 ${({x个}^{(k个)}, 年^{(k个)}, {z（z）}^{(k个)}, λ_{k个})}_{k个 = 1}^{\infty}$ 这样的话 $∥ {x个}^{(k个)} ∥ \to \infty$ 作为 $k个 \to \infty$ .

很容易证明以下不等式成立：

{∥ x个 - ζ ∥}^{2} - {∥ {x个}^{(0)} - ζ ∥}^{2} \leq 2 {(x个 - ζ)}^{T型} (x个 - {x个}^{(0)}) .

(4)

通过同伦方程(三)，我们有

\begin{matrix} H（H） ({w个}^{(k个)}, {w个}^{(0)}, λ_{k个}) \\ = (\begin{array}{c} \begin{array}{l} (1 - λ_{k个}) [\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + λ_{k个} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2}] + λ_{k个} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) \\ + [\nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) + λ_{k个} (η ({x个}^{(k个)}) - \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}))] {z（z）}^{(k个)} \end{array} \\ v（v） ({x个}^{(k个)}) \\ {Y（Y）}^{(k个)} u个 ({x个}^{(k个)}) - λ_{k个} {Y（Y）}^{(0)} u个 ({x个}^{(0)}) \end{array}) \\ = 0 . \end{matrix}

(5)

将（5）中的第一个方程乘以 ${({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型}$ ，我们得到

\begin{matrix} (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} \\ + (1 - λ_{k个}) λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2} + {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)} \\ + {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} λ_{k个} (η ({x个}^{(k个)}) - \nabla v（v） ({x个}^{(k个)})) {z（z）}^{(k个)} + λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) = 0, \end{matrix}

(6)

即,

\begin{matrix} λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) \\ = - (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla （f） ({x个}^{(k个)}) - (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} \\ - (1 - λ_{k个}) λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2} \\ - {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} [\nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) + λ_{k个} (η ({x个}^{(k个)}) - \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}))] {z（z）}^{(k个)} \\ = - (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla （f） ({x个}^{(k个)}) - (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} \\ - (1 - λ_{k个}) λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2} - (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)} \\ - λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} η ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)} . \end{matrix}

(7)

所以

\begin{matrix} λ_{k个} ({∥ {x个}^{(k个)} - ζ ∥}^{2} - {∥ {x个}^{(0)} - ζ ∥}^{2}) \\ \leq 2 λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) \\ = - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla （f） ({x个}^{(k个)}) - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} \\ - 2 (1 - λ_{k个}) λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2} - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)} \\ - 2 λ_{k个} {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} η ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)} \\ = - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \\ + 2 (1 - λ_{k个}) λ_{k个} {(ζ - {x个}^{(k个)})}^{T型} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2} + 2 λ_{k个} {(ζ - {x个}^{(k个)})}^{T型} η ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)} \\ \leq - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \\ + 2 (1 - λ_{k个}) λ_{k个} (u个 {(ζ)}^{T型} 年^{(k个)} - u个 {({x个}^{(k个)})}^{T型} 年^{(k个)}) + 2 λ_{k个} (v（v） {(ζ)}^{T型} {z（z）}^{(k个)} - v（v） {({x个}^{(k个)})}^{T型} {z（z）}^{(k个)}) . \end{matrix}

(8)

自 $u个 {(ζ)}^{T型} \leq 0$ 和 $年^{(k个)} \geq 0$ ，那么 $u个 {(ζ)}^{T型} 年^{(k个)} \leq 0$ 此外，根据（5）中的第三个方程，我们得出 $u个 {({x个}^{(k个)})}^{T型} 年^{(k个)} = λ_{k个} u个 {({x个}^{(0)})}^{T型} 年^{(0)}$ 因此，以下不等式成立：

\begin{matrix} λ_{k个} ({∥ {x个}^{(k个)} - ζ ∥}^{2} - {∥ {x个}^{(0)} - ζ ∥}^{2}) \\ \leq - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \\ - 2 (1 - λ_{k个}) λ_{k个} u个 {({x个}^{(k个)})}^{T型} 年^{(k个)} \\ = - 2 (1 - λ_{k个}) {({x个}^{(k个)} - ζ)}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \\ - 2 (1 - λ_{k个}) λ_{k个}^{2} u个 {({x个}^{(0)})}^{T型} 年^{(0)} . \end{matrix}

(9)

那么到了（9），我们已经

\begin{matrix} {(ζ - {x个}^{(k个)})}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \\ \geq \frac{λ_{k个}}{2 (1 - λ_{k个})} ({∥ {x个}^{(k个)} - ζ ∥}^{2} - {∥ {x个}^{(0)} - ζ ∥}^{2}) + λ_{k个}^{2} u个 {({x个}^{(0)})}^{T型} 年^{(0)} . \end{matrix}

(10)

什么时候？ $∥ {x个}^{(k个)} ∥ \to \infty$ ，到（10），我们已经

\begin{matrix} \underset{k个 \to \infty}{林} {(ζ - {x个}^{(k个)})}^{T型} (\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) {z（z）}^{(k个)}) \\ \geq \underset{k个 \to \infty}{林} \frac{λ_{k个}}{2 (1 - λ_{k个})} ({∥ {x个}^{(k个)} - ζ ∥}^{2} - {∥ {x个}^{(0)} - ζ ∥}^{2}) + λ_{k个}^{2} u个 {({x个}^{(0)})}^{T型} 年^{(0)} \geq 0, \end{matrix}

(11)

这与假设（A）相矛盾₁). □

定理2.1 让 H（H） 定义如下(3),让 $（f） (x个)$ , ${u个}_{我} (x个)$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 ${v（v）}_{j个} (x个)$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是三次连续可微函数,let假设（A）₁)-（A）₅)持有,然后让 $ξ_{我} (x个)$ , $我 = 1, \dots, 米$ 和 $η_{j个} (x个)$ , $j个 = 1, \dots, 我$ 是两倍连续可微函数.然后几乎所有人 ${w个}^{(0)} \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我}$ ,存在一个 ${C类}^{1}$ 曲线 $(w个 (秒), λ (秒))$ 尺寸的1这样的话

H（H） (w个 (秒), {w个}^{(0)}, λ (秒)) = 0, (w个 (0), λ (0)) = ({w个}^{(0)}, 1) .

(12)

什么时候？ $λ (秒) \to 0$ , $w个 (秒)$ 趋于某一点 ${w个}^{*} = ({x个}^{*}, 年^{*}, {z（z）}^{*})$ .特别地,组件 ${x个}^{*}$ 属于 ${w个}^{*}$ 是K-K（K）-问题的T点(1).

证明根据引理2.2，必须有一个 ${C类}^{1}$ 曲线 $(w个 (秒), λ (秒))$ 尺寸1（表示为 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ )这样的话

H（H） (w个 (秒), {w个}^{(0)}, λ (秒)) = 0, (w个 (0), λ (0)) = ({w个}^{(0)}, 1) .

根据一维光滑流形的分类定理， $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 既不同于单位圆，也不同于单位区间。对于任何 ${w个}^{(0)} \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我}$ , $\partial {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(0)}, 1) / \partial w个$ 是非奇异的，所以 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 不能与单位圆相异。那就是， $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 与单位区间不同。

让 $({w个}^{*}, λ^{*})$ 是的一个极限点 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ .如果 $({w个}^{*}, λ^{*}) \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我} \times (0, 1)$ ，因为0是的常规值 ${H（H）}_{{w个}^{(0)}}$ , $({w个}^{*}, λ^{*}) \in {H（H）}_{{w个}^{(0)}}^{- 1} (0)$ ，以及的雅可比矩阵H（H）在 $({w个}^{*}, λ^{*})$ 是满行秩的，那么根据隐函数定理， $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 可以在以下位置扩展 $({w个}^{*}, λ^{*})$ 这一结果与以下事实相矛盾： $({w个}^{*}, λ^{*})$ 是的极限点 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ .

让 $({w个}^{*}, λ^{*}) = ({x个}^{*}, 年^{*}, {z（z）}^{*}, λ^{*})$ 因此， $({w个}^{*}, λ^{*}) \in \partial (X（X） \times 对_{+}^{米} \times 对^{我} \times (0, 1])$ 可能出现以下三种情况：

（a）
$({w个}^{*}, λ^{*}) = ({x个}^{*}, 年^{*}, {z（z）}^{*}, λ^{*}) \in X（X） \times 对_{+}^{米} \times 对^{我} \times {0}$ .
（b）
$({w个}^{*}, λ^{*}) = ({x个}^{*}, 年^{*}, {z（z）}^{*}, λ^{*}) \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我} \times {1}$ .
（c）
$({w个}^{*}, λ^{*}) = ({x个}^{*}, 年^{*}, {z（z）}^{*}, λ^{*}) \in \partial (X（X） \times 对_{+}^{米} \times 对^{我}) \times (0, 1]$ .

由于方程式 $H（H） (w个, {w个}^{(0)}, 1) = 0$ 有独特的解决方案 $({w个}^{(0)}, 1)$ 在里面 ${X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我} \times {1}$ ，情况（b）是不可能的。

通过同伦方程(三)，我们有

\begin{matrix} (1 - λ_{k个}) [\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \nabla u个 ({x个}^{(k个)}) 年^{(k个)} + λ_{k个} ξ ({x个}^{(k个)}) {(年^{(k个)})}^{2}] + λ_{k个} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) \\ + [\nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) + λ_{k个} (η ({x个}^{(k个)}) - \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}))] {z（z）}^{(k个)} = 0, \end{matrix}

(13)

v（v） ({x个}^{(k个)}) = 0,

(14)

{Y（Y）}^{(k个)} u个 ({x个}^{(k个)}) - λ_{k个} {Y（Y）}^{(0)} u个 ({x个}^{(0)}) = 0 .

(15)

让

我 (x个) = {我 = 1, \dots, 米 : \underset{k个 \to \infty}{林} 年_{我}^{(k个)} = + \infty}, J型 (x个) = {j个 = 1, \dots, 我 : \underset{k个 \to \infty}{林} {z（z）}_{j个}^{(k个)} = + \infty} .

如果 $J型 (x个) \neq \emptyset$ ，那么

\begin{matrix} (1 - λ_{k个}) [\nabla （f） ({x个}^{(k个)}) + \sum_{我 \notin 我 (x个)} (\nabla {u个}_{我} ({x个}^{(k个)}) 年_{我}^{(k个)} + λ_{k个} ξ_{我} ({x个}^{(k个)}) {(年_{我}^{(k个)})}^{2})] \\ + λ_{k个} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) + [(\nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) + λ_{k个} (η ({x个}^{(k个)}) - \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}))) {z（z）}^{(k个)} \\ + (1 - λ_{k个}) \sum_{我 \in 我 (x个)} (\nabla {u个}_{我} ({x个}^{(k个)}) 年_{我}^{(k个)} + λ_{k个} ξ_{我} ({x个}^{(k个)}) {(年_{我}^{(k个)})}^{2})] = 0 . \end{matrix}

(16)

因为X（X）和 $(0, 1]$ 是有界的，通过假设（A₂)，（16）左侧的第三部分趋于无穷大，如下所示 $k个 \to \infty$ ，但其他两部分是有界的，这是不可能的。因此，我们得出以下结论：平滑曲线的投影 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 上的z（z）-平面也是有界的。

在情况（c）中，首先，我们证明 $年^{*} \notin \partial 对_{+}^{米}$ .如果 $年^{*} \in \partial 对_{+}^{米}$ ，那么就存在 $我_{0} \in {1, \dots, 米}$ 和一系列的点 ${({w个}^{(k个)}, λ_{k个})} \subset Γ_{{w个}^{(0)}}$ 这样的话 $年_{我_{0}}^{(k个)} \to 年_{我_{0}}^{*} = 0$ 作为 $k个 \to + \infty$ 从（15）开始，我们有

年_{我_{0}}^{(k个)} {u个}_{我_{0}} ({x个}^{(k个)}) = λ_{k个} 年_{我_{0}}^{(0)} {u个}_{我_{0}} ({x个}^{(0)}) .

(17)

因为X（X）和 $(0, 1]$ 有界，当 $k个 \to + \infty$ ，（17）的左侧趋于0。同时，（17）的右侧倾向于 $λ^{*} 年_{我_{0}}^{(0)} {u个}_{我_{0}} ({x个}^{(0)})$ ，严格小于0。这一事实导致了矛盾。

那么我们只需要证明案例（c）的其余部分是不可能的。如果不是，则存在一系列点 ${({w个}^{(k个)}, λ_{k个})} \subset Γ_{{w个}^{(0)}}$ 这样的话 ${u个}_{我} ({x个}^{(k个)}) \to 0$ 对一些人来说 $我 \in {1, \dots, 米}$ 作为 $k个 \to + \infty$ 从（15）中，我们得到 $∥ 年^{(k个)} ∥ \to + \infty$ .因为X（X）和 $(0, 1]$ 有界，则存在一个点的子序列（也表示为 ${({w个}^{(k个)}, λ_{k个})}$ )这样的话 ${x个}^{(k个)} \to {x个}^{*}$ , $∥ 年^{(k个)} ∥ \to + \infty$ , ${z（z）}^{(k个)} \to {z（z）}^{*}$ 、和 $λ_{k个} \to λ^{*}$ 作为 $k个 \to + \infty$ .

什么时候？ $λ^{*} > 0$ ，从（15）开始，活动索引集为 $B类 ({x个}^{*}) = 我 ({x个}^{*})$ .何时 $λ^{*} = 0$ ，索引集 $我 ({x个}^{*}) \subset B类 ({x个}^{*})$ .

（1）何时 $λ^{*} = 1$ 根据（16） $年_{我}^{(k个)}$ 每个都有界 $我 \notin 我 ({x个}^{*})$ ，假设（A₁)-（A）₂)，我们得出结论 $林_{k个 \to + \infty} (1 - λ_{k个}) 年_{我}^{(k个)} = 0$ 和 $林_{k个 \to + \infty} (1 - λ_{k个}) {(年_{我}^{(k个)})}^{2} = 年_{我}^{*}$ 因此，当 $k个 \to + \infty$ ，（16）成为

η ({x个}^{*}) {z（z）}^{*} + \sum_{我 \in 我 ({x个}^{*})} ξ_{我} ({x个}^{(k个)}) 年_{我}^{*} + {x个}^{*} = {x个}^{(0)},

(18)

这与假设（A）相矛盾_三).

（2）何时 $0 < λ^{*} < 1$ ，将（16）重写为

\begin{matrix} \sum_{我 \in 我 (x个)} (\nabla {u个}_{我} ({x个}^{(k个)}) 年_{我}^{(k个)} + λ_{k个} ξ_{我} ({x个}^{(k个)}) {(年_{我}^{(k个)})}^{2}) + \frac{λ_{k个}}{1 - λ_{k个}} ({x个}^{(k个)} - {x个}^{(0)}) \\ = - \nabla （f） ({x个}^{(k个)}) - \sum_{我 \notin 我 (x个)} (\nabla {u个}_{我} ({x个}^{(k个)}) 年_{我}^{(k个)} + λ_{k个} ξ_{我} ({x个}^{(k个)}) {(年_{我}^{(k个)})}^{2}) \\ - \frac{1}{1 - λ_{k个}} (\nabla v（v） ({x个}^{(k个)}) + λ_{k个} (η ({x个}^{(k个)}) - \nabla v（v） ({x个}^{(k个)}))) {z（z）}^{(k个)} . \end{matrix}

(19)

让 $年_{我}^{(k个)}$ 是一个有分量的向量 ${(年_{我}^{(k个)})}^{2}$ , $我 \in 我 ({x个}^{*})$ .然后设置

ρ_{我}^{(k个)} = \frac{{(年_{我}^{(k个)})}^{2}}{∥ 年_{我}^{(k个)} ∥}, 我 \in 我 ({x个}^{*}) .

(20)

请注意 $0 \leq ρ_{我}^{(k个)} \leq 1$ ; 然后存在一个子序列 ${ρ_{我}^{(k个)}}$ ，仍表示为 ${ρ_{我}^{(k个)}}$ ，因此 $ρ_{我}^{(k个)} \to ρ_{我}^{*}$ 对于每个 $我 \in 我 ({x个}^{*})$ 作为 $k个 \to + \infty$ 此外，包含分量的向量 $ρ_{我}^{*}$ , $我 \in 我 ({x个}^{*})$ 表示为 $ρ^{*}$ ; 因此， $∥ ρ^{*} ∥ = 1$ 将（19）的两边除以 $∥ 年_{我}^{(k个)} ∥$ 并让 $k个 \to + \infty$ ，我们有

\sum_{我 \in 我 ({x个}^{*})} λ_{我}^{*} ρ_{我}^{*} ξ_{我} ({x个}^{*}) = 0,

这与假设（A）相矛盾₂).

（3）何时 $λ^{*} = 0$ ，因为非空索引集 $我 ({x个}^{*}) \subset B类 ({x个}^{*})$ ，（3）的证明与（2）的证明相似。

从上述讨论中，我们得出结论，（a）是唯一可能的情况。因此x个-的组件 ${w个}^{*}$ 是（1）的K-K-T点。□

3算法分析

几乎所有人 ${w个}^{(0)} = ({x个}^{(0)}, 年^{(0)}, 0) \in {X（X）}^{0} \times 对_{+ +}^{米} \times 对^{我}$ ，根据定理2.1，同伦生成 ${C类}^{1}$ 曲线 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 通过微分（12）中的第一个方程，我们得到了以下定理。

定理3.1 同伦路径 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 由以下常微分方程的初值问题决定:

D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} (w个 (秒), λ (秒)) (\begin{array}{c} \dot{w个} (秒) \\ \dot{λ} (秒) \end{array}) = 0, (w个 (0), λ (0)) = ({w个}^{(0)}, 1),

(21)

哪里秒 是曲线的弧长 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ .

关于如何数值跟踪同伦路径，已有许多预测-校正算法，请参阅[20],等。以供参考。因此，我们在本文中省略了它们。在算法的实现中，通常我们需要致力于在 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 保持行列式的符号 $| \begin{array}{c} D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} (w个, λ) \\ {第页}^{T型} \end{array} |$ 不变量。在第一次迭代中，符号由以下引理确定。

引理3.1 如果 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 是平滑的,然后是正向 ${第页}^{(0)}$ 在初始点 $({w个}^{(0)}, 1)$ 满足 $签名 | \begin{array}{c} D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(0)}, 1) \\ {第页}^{(0)}^{T型} \end{array} | = {(- 1)}^{米 + 我 + 1}$ .

证明让

一 = - \nabla （f） ({x个}^{(0)}) - \nabla u个 ({x个}^{(0)}) + (1 - 2 λ) ξ ({x个}^{(0)}) {(年^{(0)})}^{2}, b条 = - {Y（Y）}^{(0)} 克 ({x个}^{(0)}),

然后

\frac{\partial {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(0)}, 1)}{\partial (w个, λ)} = (\begin{array}{cccc} 我 & 0 & η ({x个}^{(0)}) & 一 \\ \nabla v（v） {({x个}^{(0)})}^{T型} & 0 & 0 & 0 \\ {Y（Y）}^{(0)} \nabla u个 {({x个}^{(0)})}^{T型} & 诊断 (u个 ({x个}^{(0)})) & 0 & b条 \end{array}) = ({M（M）}_{1}, {M（M）}_{2}),

哪里 ${M（M）}_{1} \in 对^{(n个 + 米 + 我) \times (n个 + 米 + 我)}$ , ${M（M）}_{2} \in 对^{(n个 + 米 + 我) \times 1}$ .切线向量 ${第页}^{(0)}$ 属于 $Γ_{{w个}^{(0)}}$ 在 $({w个}^{(0)}, 1)$ 满足

({M（M）}_{1}, {M（M）}_{2}) {第页}^{(0)} = ({M（M）}_{1}, {M（M）}_{2}) (\begin{array}{c} {第页}_{1}^{(0)} \\ {第页}_{2}^{(0)} \end{array}) = 0,

(22)

哪里 ${第页}_{1}^{(0)} \in 对^{n个 + 米 + 我}$ , ${第页}_{2}^{(0)} \in 对^{1}$ .

它很容易得到 ${第页}_{1}^{(0)} = - {M（M）}_{1}^{- 1} {M（M）}_{2} {第页}_{2}^{(0)}$ ，那么

\begin{aligned} | \begin{array}{c} D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(0)}, 1) \\ {第页}^{(0)}^{T型} \end{array} | & = | \begin{array}{cc} {M（M）}_{1} & {M（M）}_{2} \\ {第页}_{1}^{(0)}^{T型} & {第页}_{2}^{(0)}^{T型} \end{array} | = | \begin{array}{cc} {M（M）}_{1} & {M（M）}_{2} \\ - {M（M）}_{2}^{T型} {M（M）}_{1}^{- T型} & 1 \end{array} | {第页}_{2}^{(0)} \\ = | {M（M）}_{1} | {第页}_{2}^{(0)} (1 + {M（M）}_{2}^{T型} {M（M）}_{1}^{- T型} {M（M）}_{1}^{- 1} {M（M）}_{2}) \\ = | \begin{array}{ccc} 我 & 0 & η ({x个}^{(0)}) \\ \nabla v（v） {({x个}^{(0)})}^{T型} & 0 & 0 \\ {Y（Y）}^{(0)} \nabla u个 {({x个}^{(0)})}^{T型} & 诊断 (u个 ({x个}^{(0)})) & 0 \end{array} | {第页}_{2}^{(0)} (1 + {M（M）}_{2}^{T型} {M（M）}_{1}^{- T型} {M（M）}_{1}^{- 1} {M（M）}_{2}) \\ = | 诊断 (u个 ({x个}^{(0)})) | | \begin{array}{cc} 我 & η ({x个}^{(0)}) \\ \nabla v（v） {({x个}^{(0)})}^{T型} & 0 \end{array} | {第页}_{2}^{(0)} (1 + {M（M）}_{2}^{T型} {M（M）}_{1}^{- T型} {M（M）}_{1}^{- 1} {M（M）}_{2}) \\ = {(- 1)}^{我} | 诊断 (u个 ({x个}^{(0)})) | | \nabla v（v） {({x个}^{(0)})}^{T型} η ({x个}^{(0)}) | {第页}_{2}^{(0)} (1 + {M（M）}_{2}^{T型} {M（M）}_{1}^{- T型} {M（M）}_{1}^{- 1} {M（M）}_{2}) . \end{aligned}

自 $u个 ({x个}^{(0)}) < 0$ , $(1 + {M（M）}_{2}^{T型} {M（M）}_{1}^{- T型} {M（M）}_{1}^{- 1} {M（M）}_{2}) > 0$ 、和 ${第页}_{2}^{(0)} < 0$ ，所以

| \begin{array}{c} D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(0)}, 1) \\ {第页}^{(0)}^{T型} \end{array} |

是 ${(- 1)}^{米 + 我 + 1}$ . □

以下伪代码描述了通用预测-校正方法的基本步骤。

算法3.1（欧拉-纽顿法）

步骤0。提供初步猜测 $({w个}^{(0)}, 1)$ ，初始步长 ${小时}_{0} > 0$ ，和三个小正数 $ϵ_{1} > 0$ , $ϵ_{2} > 0$ 、和 $ϵ_{三} > 0$ .设置 $k个 = 0$ .

步骤1。计算方向 $θ^{(k个)}$ 预测步骤。

（a）
计算单位切线向量 ${第页}^{(k个)}$ .
（b）
确定方向 $θ^{(k个)}$ 预测步长如下：

如果行列式的符号 $| \begin{array}{c} D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(k个)}, λ_{k个}) \\ {第页}^{(k个)}^{T型} \end{array} |$ 是 ${(- 1)}^{米 + 我 + 1}$ ，那么 $θ^{(k个)} = {第页}^{(k个)}$ .

如果行列式的符号 $| \begin{array}{c} D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(k个)}, λ_{k个}) \\ {第页}^{(k个)}^{T型} \end{array} |$ 是 ${(- 1)}^{米 + 我}$ ，那么 $θ^{(k个)} = - {第页}^{(k个)}$ .

第2步。计算校正点 $({w个}^{(k个 + 1)}, λ_{k个 + 1})$ .

\begin{matrix} ({\bar{w个}}^{(k个)}, {\bar{λ}}_{k个}) = ({w个}^{(k个)}, λ_{k个}) + {小时}_{k个} θ^{(k个)}, \\ ({w个}^{(k个 + 1)}, λ_{k个 + 1}) = ({\bar{w个}}^{(k个)}, {\bar{λ}}_{k个}) - D类 {H（H）}_{{w个}^{(0)}} {({\bar{w个}}^{(k个)}, {\bar{λ}}_{k个})}^{+} {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({\bar{w个}}^{(k个)}, {\bar{λ}}_{k个}) . \end{matrix}

如果 $∥ {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(k个 + 1)}, λ_{k个 + 1}) ∥ \leq ϵ_{1}$ ，然后让 ${小时}_{k个 + 1} = 最小值 {{小时}_{0}, 2 {小时}_{k个}}$ ，然后转至步骤3。

如果 $∥ {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(k个 + 1)}, λ_{k个 + 1}) ∥ \in (ϵ_{1}, ϵ_{2})$ ，然后让 ${小时}_{k个 + 1} = {小时}_{k个}$ ，然后转至步骤3。

如果 $∥ {H（H）}_{{w个}^{(0)}} ({w个}^{(k个 + 1)}, λ_{k个 + 1}) ∥ \geq ϵ_{2}$ ，然后让 ${小时}_{k个 + 1} = 最大值 {2^{- 25} {小时}_{0}, ({小时}_{k个} / 2)}$ , $k个 = k个 + 1$ ，然后转至步骤2。

步骤3。如果 $λ_{k个 + 1} \leq ϵ_{三}$ ，然后停止。否则， $k个 = k个 + 1$ ，然后转至步骤1。

4结论

本文给出了一组无界条件，在此条件下，我们可以通过组合同伦内点算法求解一类无界非凸集上的非线性规划问题。本文提出的算法的主要优点是它是一种全局收敛的算法，与局部收敛的算法相比，它的初始点更容易选择。由于非线性规划问题在工程、管理、经济等领域有着广泛的应用，我们的结果可能有助于为处理这些非线性问题提供强大的解决工具。未来，我们将致力于提出新的技术来解决更广泛的无界非凸集类中的非线性规划问题。

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致谢

本研究得到了NSFC-河南联合科学基金（No.U1304103）和河南省自然科学基金（No 122300410261）的资助。

作者信息

作者和附属机构

洛阳师范大学数学科学学院，洛阳，471022
苏梦龙和李建华
哈尔滨工业大学特殊环境下先进复合材料科学技术国家重点实验室，哈尔滨，150080，中国
徐中海

作者

苏梦龙
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李建华
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徐中海
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通讯作者

与的通信苏梦龙.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

MS完成了主要工作并起草了手稿。JL参与完成了引理2.3的证明。ZX参与完成了定理2.1的证明。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 4.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)允许以任何媒体或格式使用、复制、改编、分发和复制，只要您对原始作者和来源给予适当的信任，提供知识共享许可的链接，并指出是否进行了更改。

转载和许可

关于这篇文章

引用这篇文章

Su，M.，Li，J.&Xu，Z。通过全局收敛算法求解具有无界非凸约束集的非线性规划问题。J不平等申请 2014, 281 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-281

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收到:2014年6月1日
认可的:2014年7月14日
出版:2014年8月15日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-281