A new reweighted l 1 minimization algorithm for image deblurring

Qiao, Tiantian; Wu, Boying; Li, Weiguo; Dong, Alun

doi:10.1186/1029-242X-2014-238

研究
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出版：2014年6月16日

一个新的重磅 $我_{1}$ 图像去模糊的最小化算法

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：238(2014)引用这篇文章

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1引文
韵律学细节

摘要

在本文中，一个新的加权 $我_{1}$ 提出了图像去模糊的最小化算法。该算法基于广义逆迭代和线性化Bregman迭代，用于加权 $我_{1}$ 最小化问题 ${最小值}_{u个 \in {R（右）}^{n个}} {{∥ u个 ∥}_{ω} : A类 u个 = （f）}$ 在计算过程中，有效利用信号信息可以弥补图像的细节特征，这些细节特征在去模糊过程中可能会丢失。数值实验表明，新的加权图像恢复算法是有效的，与最新的算法相比具有竞争力。

1引言

图像去模糊是图像处理中的一个基本问题，因为许多现实问题都可以建模为去模糊问题[1]. 在本文中，一个新的加权 $我_{1}$ 提出了图像去模糊的最小化算法。该算法是基于广义逆迭代和线性化Bregman迭代得到的。

简单地说，我们将图像表示为 ${R（右）}^{n个}$ 通过连接它们的列。让 $u个 \in {R（右）}^{n个}$ 成为潜在的形象。然后是观察到的模糊图像 $（f） \in {R（右）}^{n个}$ 由提供

（f） = A类 u个 + η,

(1.1)

哪里 $η \in {R（右）}^{n个}$ 是一种加性噪声 $A类 \in {R（右）}^{米 \times n个}$ 是线性模糊操作符。由于矩阵的条件数很大，这个问题不成立A类.观察到的模糊图像上的任何小扰动（f）可能导致直接解决 ${A类}^{- 1} （f）$ ，很难从原始图像中获得u个[2]. 这是一个被广泛研究的课题，已经开发了许多相应的方法，其中之一是最小化一些成本泛函[1]. 最简单的方法是Tikhonov正则化，它最小化由数据保真度项和 $我_{2}$ 范数正则化项。A类是一个卷积，可以解决傅里叶域中的问题。在这种情况下，该方法称为维纳滤波器[三]，这是一种线性方法，恢复图像的边缘通常是模糊的。为了克服这个问题，Rudin提出了一种基于全变分（TV）的正则化方法等。在[4]称为ROF模型。由于其保留边缘的优点，它被广泛应用于图像处理，如盲反褶积、修补和超分辨率；参见[1]. 然而，正如我们所知，因为电视产生了楼梯[5,6]这些基于电视的方法没有保留精细的结构、细节和纹理。为了避免这些缺点，提出了非局部去噪方法[7,8]，然后扩展到去模糊[9]. 此外，引入图像科学的Bregman迭代[10]，被证明可以改进基于电视的盲反褶积[11–13]. 最近，一种基于图论的非局部电视正则化被发明[14]并应用于图像去模糊[15]. 另一种去模糊方法是基于小波的方法，等。[16].

通常，原始图像 $u个 \in {R（右）}^{n个}$ 将通过求解以下约束最小化问题找到：

\underset{u个 \in {R（右）}^{n个}}{最小值} {J (u个) : A类 u个 = （f）},

(1.2)

哪里 $J (u个)$ 是连续凸函数，当 $J (u个)$ 严格凸或强凸，则（1.2）的解是唯一的。

这个约束优化问题（1.2）出现在许多应用中，如图像压缩、重建、修复、分割、压缩感知、，等。问题（1.2）可以转化为线性规划问题，然后在许多情况下由传统的线性规划求解器求解。最近，定点延拓法[17]和Bregman迭代[18]非常受欢迎。特别地，Bregman迭代正则化是由Osher提出的等。[10]. 在过去的几年里，发展了一系列新的方法，其中，线性化的Bregman方法[19–22]和分裂Bregman方法[23–26]得到了最多的关注。

特别是，当 $J (u个) = {∥ u个 ∥}_{1}$ ，问题（1.2）变成

\underset{u个 \in {R（右）}^{n个}}{最小值} {{∥ u个 ∥}_{1} : A类 u个 = （f）} .

(1.3)

显然，问题（1.3）是 $我_{1}$ -范数最小化问题。由于许多与解决方案稀疏性相关的实际问题使问题（1.3）多年来一直备受关注，如信号处理、压缩传感等。[18,19]. 与问题（1.2）类似，问题（1.3）也可以转化为线性规划，然后由传统的线性规划求解器求解。然而，这些解算器并不是为矩阵量身定制的A类这是大规模和完全密集的。幸运的是，线性化的Bregman方法可以非常有效地解决问题（1.3）[19–22,27]. 采用软阈值算子的简化形式计算速度更快[19,21,22]. 相应的收敛性分析在[20].

在本文中，我们重点介绍了由算子描述的用于图像去模糊的稀疏重建方法中系数的数值计算 $Φ : X（X） \to Y（Y）$ 在希尔伯特空间之间X（X）和Y（Y）.我们在正交基础上寻求稀疏解 ${ψ_{j个}}_{j个 \in N个}$ 标准方法是加权法 $ℓ_{1}$ 最小化（1.3）：

\underset{u个 \in ℓ^{2} (N个) \cap ℓ_{ω}^{1} (N个)}{最小值} {\frac{1}{2} {∥ \sum_{j个} {u个}_{j个} Φ ψ_{j个} - （f） ∥}^{2} + α \sum_{j个} ω_{j个} | {u个}_{j个} |} .

(1.4)

在这里 $ℓ_{ω}^{1} (N个)$ 表示系数空间 ${u个}_{j个}$ 这样的话 $\sum_{j个} ω_{j个} | {u个}_{j个} | < \infty$ 为了简化符号，我们引入了运算符 $A类 : ℓ^{2} (N个) \to Y（Y）$ , $({u个}_{j个}) \to \sum_{j个} {u个}_{j个} Φ ψ_{j个}$ 此外，我们假设 ${ω_{j个}}_{j个 \in N个}$ 需要正权重，并且有一个常数 $ω_{0} > 0$ 这样的话 $ω_{j个} \geq ω_{0}$ 为所有人 $j个 \in N个$ .因此 $\sum_{j个} ω_{j个} | {u个}_{j个} |$ 真的是一种规范 $ℓ^{1} (N个)$ ，表示为 ${∥ u个 ∥}_{ω}$ 。然后 $ℓ_{1}$ 最小化可以重写为

\underset{u个 \in ℓ^{2} (N个) \cap ℓ_{ω}^{1} (N个)}{最小值} {α {∥ u个 ∥}_{ω} + \frac{1}{2} {∥ A类 u个 - （f） ∥}^{2}} .

(1.5)

自然可以设置 $ω_{k个 + 1} (我) = \frac{1}{| {u个}_{k个} (我) |}$ 然后我们可以看到加权 $ℓ_{1}$ 范数作为对 $ℓ_{0}$ 正常，但我们很容易注意到 ${u个}_{k个} (我) = 0$ , $ω_{k个 + 1} (我)$ 定义不明确。好消息是我们可以将其正规化为 $ω_{k个 + 1} (我) = \frac{1}{| {u个}_{k个} (我) | + ϵ}$ ，其中 $ϵ > 0$ 是个小数字[28]. 因此，在本文中，我们设置

ω_{k个 + 1} (我) = \frac{1}{| {u个}_{k个} (我) | + ϵ} .

在此基础上，作者提出了一个新的权重 $我_{1}$ 用极小化方法求解问题（1.5）并通过数值实验加以说明。

论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们总结了求解约束问题（1.3）的现有方法。第三节提出了广义收缩算子。第4节提出了新的算法。数值结果见第5节。最后，我们在第6节中得出了一些结论。

2准备工作

2.1广义逆

我们对广义逆的迭代公式感兴趣，因为我们的新算法使用了它。因此，在我们进行详细讨论之前，我们首先给出一些定义和引理。

定义2.1[29]

让 $A类 \in {C类}^{米 \times n个}$ ，然后X（X）称为的伪逆A类并用表示 ${A类}^{†}$ .如果X（X）满足以下属性，即摩尔-彭罗斯条件：

\begin{aligned} 1 . A类 X（X） A类 = A类, \\ 2 . X（X） A类 X（X） = X（X）, \\ 三 . {(A类 X（X）)}^{*} = A类 X（X）, \\ 4 . {(X（X） A类)}^{*} = X（X） A类 . \end{aligned}

(2.1)

备注2.1内部反转不是唯一的。一般来说，矩阵的内部逆的集合A类表示为 ${A类}^{-}$ .

定义2.2[29]

让 $A类, B类 \in {C类}^{n个 \times 米}$ ，套装

μ (A类, B类) = {X（X） | X（X） = A类 Y（Y） B类, Y（Y） \in {C类}^{米 \times n个}}

(2.2)

称为范围 $(A类, B类)$ .

引理2.1[30]

让 $A类 \in {C类}^{米 \times n个} \neq 0$ ;if初始矩阵 ${V（V）}_{0}$ 满足

{V（V）}_{0} \in μ ({A类}^{*}, {A类}^{*}),

(2.3)

ρ (我 - A类 {V（V）}_{0}) < 1,

(2.4)

哪里我 是一个与矩阵维数相同的单位矩阵 A类和 ${A类}^{*}$ 是矩阵的共轭转置 A类.然后是序列 ${{V（V）}_{q个}}_{q个 \in N个}$ 由生成

{V（V）}_{q个 + 1} = {V（V）}_{q个} + {V（V）}_{0} (我 - A类 {V（V）}_{q个}), q个 = 1, 2, \dots

(2.5)

收敛于 ${A类}^{†}$ .

2.2线性化Bregman迭代

Bregman距离[31]，基于凸函数J，在点之间u个和v（v），由定义

{D类}_{J}^{第页} (u个, v（v）) = J (u个) - J (v（v）) - 〈 第页, u个 - v（v） 〉,

(2.6)

哪里 $第页 \in \partial J (v（v）)$ 是的次梯度集中的元素J在这一点上v（v）.一般情况 ${D类}_{J}^{第页} (u个, v（v）) \neq {D类}_{J}^{第页} (v（v）, u个)$ 三角不等式不满足，所以 ${D类}_{J}^{第页} (u个, v（v）)$ 不是通常意义上的距离。有关详细信息，请参阅[31].

要解（1.3），in[19]的线性化Bregman迭代由生成

{\begin{cases} {u个}^{k个 + 1} = 参数 {最小值}_{u个} {μ {D类}_{J}^{{第页}^{k个}} (u个, {u个}^{k个}) + \frac{1}{2 δ} {∥ u个 - ({u个}^{k个} - δ {A类}^{T型} (A类 {u个}^{k个} - （f）)) ∥}^{2}}, \\ {第页}^{k个 + 1} = {第页}^{k个} - \frac{1}{μ δ} ({u个}^{k个 + 1} - {u个}^{k个}) - \frac{1}{μ} {A类}^{T型} (A类 {u个}^{k个} - （f）), {第页}^{k个} \in \partial J ({u个}^{k个}), \end{cases}

(2.7)

哪里δ是一个常量，并且 ${第页}^{0} = {u个}^{0} = 0$ 。此后，我们使用 $∥ \cdot ∥ = {∥ \cdot ∥}_{2}$ 表示 $我_{2}$ 规范。

什么时候？ $J (u个) = {∥ u个 ∥}_{1}$ ，算法（2.7）可以重写为

{\begin{cases} {v（v）}^{k个 + 1} = {v（v）}^{k个} + {A类}^{T型} (（f） - A类 {u个}^{k个}), \\ {u个}^{k个 + 1} = δ {T型}_{μ} ({v（v）}^{k个 + 1}), \end{cases}

（2.8）

哪里 ${u个}^{0} = {v（v）}^{0} = 0$ 、和

{T型}_{λ} (ω) : = {[{t吨}_{λ} (ω (1)), {t吨}_{λ} (ω (2)), \dots, {t吨}_{λ} (ω (n个))]}^{T型}

(2.9)

是软阈值运算符[18]带有

{t吨}_{λ} (ξ) = {\begin{cases} 0, & | ξ | \leq λ, \\ sgn公司 (ξ) (| ξ | - λ), & | ξ | > λ . \end{cases}

(2.10)

即，算法（2.8）被称为 ${A类}^{T型}$ 线性化Bregman迭代.

随后，当A类是任意矩阵，约束条件 $A类 u个 = （f）$ 未满足问题（1.3）的要求。所以这些条件将被推广到求解最小二乘问题 ${最小值}_{u个 \in {R（右）}^{n个}} {∥ A类 u个 - （f） ∥}^{2}$ ，算法如下 ${A类}^{†}$ 线性化Bregman迭代[22]:

{\begin{cases} {（f）}^{k个 + 1} = {（f）}^{k个} + （f） - A类 {u个}^{k个}, \\ {u个}^{k个 + 1} = δ {T型}_{μ} ({A类}^{†} {（f）}^{k个 + 1}), \end{cases}

(2.11)

哪里 ${A类}^{†}$ 是矩阵的广义逆A类.

3广义收缩算子

定理3.1 ${T型}_{μ} (v（v）) = 参数 {最小值}_{u个 \in {R（右）}^{n个}} {μ {∥ u个 ∥}_{1} + \frac{1}{2} {∥ u个 - v（v） ∥}^{2}}$ .

证明让 $（f） (u个) = μ {∥ u个 ∥}_{1} + \frac{1}{2} {∥ u个 - {v（v）}^{k个} ∥}^{2} = μ \sum_{我 = 1}^{n个} | {u个}_{我} | + \frac{1}{2} \sum_{我 = 1}^{n个} {({v（v）}_{我}^{k个} - {u个}_{我})}^{2}$ ，那么我们有

\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = {\begin{cases} μ + {u个}_{我} - {v（v）}_{我}^{k个}, & {u个}_{我} > 0, \\ - μ + {u个}_{我} - {v（v）}_{我}^{k个}, & {u个}_{我} < 0 . \end{cases}

(3.1)

案例1： ${v（v）}_{我}^{k个} > μ > 0$ .

(1)
如果 ${u个}_{我} > 0$ ，请注意 $\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = 0$ 然后 ${u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} - μ > 0$ ，对于这种情况 $（f） (u个)$ 在点处获得其最小值 ${u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} - μ$ 沿着这个方向 ${e（电子）}_{我}$ 最小值为
$（f） (u个) |_{{u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} - μ} = μ ({v（v）}_{我}^{k个} - μ) + \frac{1}{2} μ^{2} + δ_{1} (> 0) = Δ_{1} + δ_{1} .$
(3.2)
(2)
如果 ${u个}_{我} < 0$ ，请注意 $\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = {u个}_{我} - {v（v）}_{我}^{k个} - μ < 0$ ，我们再次发现 $（f） (u个)$ 沿方向减小 ${e（电子）}_{我}$ :
$（f） (u个) |_{{u个}_{我} = 0} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} + δ_{1} (> 0) = Δ_{2} + δ_{1} .$
(3.3)

自 $Δ_{2} - Δ_{1} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} - (μ {v（v）}_{我}^{k个} - \frac{1}{2} μ^{2}) = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个} - μ)}^{2} > 0$ ，沿方向 ${e（电子）}_{我}$ 我们发现 $（f） (u个)$ 是 ${u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} - μ$ .

案例2： ${v（v）}_{我}^{k个} < - μ < 0$ .

(1)
如果 ${u个}_{我} > 0$ ，自 $\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = {u个}_{我} - {v（v）}_{我}^{k个} + μ > 0$ , $（f） (u个)$ 沿方向增加 ${e（电子）}_{我}$ :
$（f） (u个) |_{{u个}_{我} = 0} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} + δ_{三} = Δ_{三} + δ_{三} .$
(3.4)
(2)
如果 ${u个}_{我} < 0$ ，自 $\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = 0$ 我们有 ${u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} + μ < 0$ ，最小值 $（f） (u个)$ 沿着这个方向 ${e（电子）}_{我}$ 是 ${u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} + μ$ 相应的最小值为
$（f） (u个) |_{{u个}_{我} = {v（v）}_{我} + μ} = - μ ({v（v）}_{我}^{k个} + μ) + \frac{1}{2} μ^{2} + δ_{三} = Δ_{4} + δ_{三} .$
(3.5)

自 $Δ_{三} - Δ_{4} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} + μ ({v（v）}_{我}^{k个} + μ) - \frac{1}{2} μ^{2} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个} + μ)}^{2} > 0$ ，我们可以得到最小值 $（f） (u个)$ 在 ${u个}_{我} = {v（v）}_{我}^{k个} + μ$ 沿着这个方向 ${e（电子）}_{我}$ .

案例3： $- μ \leq {v（v）}_{我}^{k个} \leq μ$ .

(1)
如果 ${u个}_{我} > 0$ ，自 $\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = {u个}_{我} - {v（v）}_{我}^{k个} + μ > 0$ , $（f） (u个)$ 沿方向增加 ${e（电子）}_{我}$ :
$（f） (u个) |_{{u个}_{我} = 0} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} + δ .$
(3.6)
(2)
如果 ${u个}_{我} < 0$ ，自 $\frac{\partial （f） (u个)}{\partial {u个}_{我}} = {u个}_{我} - {v（v）}_{我}^{k个} - μ < 0$ , $（f） (u个)$ 沿方向减小 ${e（电子）}_{我}$ :
$（f） (u个) |_{{u个}_{我} = 0} = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} + δ,$
(3.7)

什么时候 ${u个}_{我} = 0$ ，最小值为 $（f） (u个)$ 沿着这个方向 ${e（电子）}_{我}$ 是 $（f） (u个) = \frac{1}{2} {({v（v）}_{我}^{k个})}^{2} + δ$ .

总之，我们有以下软收缩操作符：

{t吨}_{μ} (ξ) = {\begin{cases} 0, & | ξ | \leq μ, \\ sgn公司 (ξ) (| ξ | - μ), & | ξ | > μ . \end{cases}

(3.8)

最小化问题的极小值由下式给出

\begin{aligned} u个 & = 参数 最小值 {μ | u个 | + \frac{1}{2} {(u个 - {v（v）}^{k个})}^{2} | u个 \in {R（右）}^{n个}, {v（v）}^{k个} \in {R（右）}^{n个}} \\ = {\begin{cases} {v（v）}_{我}^{k个} - μ, & {v（v）}_{我}^{k个} > μ > 0, \\ 0, & - μ \leq {v（v）}_{我}^{k个} \leq μ, \\ {v（v）}_{我}^{k个} + μ, & {v（v）}_{我}^{k个} < - μ < 0 \end{cases} \\ = {[{t吨}_{μ} (ω_{1}), {t吨}_{μ} (ω_{2}), \dots, {t吨}_{μ} (ω_{n个})]}^{T型} \\ = {T型}_{μ} ({v（v）}^{k个}) . \end{aligned}

(3.9)

□

未知变量u个在这个问题中组件是可分离的吗

u个 = 参数 \underset{u个 \in ℓ^{2} (N个) \cap ℓ_{ω}^{1} (N个)}{最小值} {μ {∥ u个 ∥}_{ω} + \frac{1}{2} {∥ u个 - v（v） ∥}^{2}}

(3.10)

对于任何 $v（v） \in ℓ^{2} (N个) \cap ℓ_{ω}^{1} (N个)$ 和 $ω > 0$ 然后是它的每个组件 ${u个}_{我}$ 可以通过收缩操作（也称为软阈值）独立获得[32]:

{u个}_{我} = {T型}_{μ ω_{我}} ({v（v）}_{我}) = 收缩 ({v（v）}_{我}, μ ω_{我}), 我 = 1, 2, \dots .

(3.11)

对于 ${v（v）}_{我}$ , $ω_{我}$ 和 $μ \in R（右）$ ，我们定义 ${u个}_{我} \in R（右）$

\begin{aligned} {u个}_{我} & = 收缩 ({v（v）}_{我}, μ ω_{我}) : = sgn公司 ({v（v）}_{我}) 最大值 {| {v（v）}_{我} | - μ ω_{我}, 0} \\ = {\begin{cases} {v（v）}_{我} - μ ω_{我}, & {v（v）}_{我} > μ ω_{我}, \\ 0, & - μ ω_{我} \leq {v（v）}_{我} \leq μ ω_{我}, \\ {v（v）}_{我} + μ ω_{我}, & {v（v）}_{我} < - μ ω_{我} . \end{cases} \end{aligned}

(3.12)

广义收缩算子可以得到稀疏解并消除噪声。因此，具有广义收缩算子的算法收敛到稀疏解，并且对噪声具有鲁棒性。

4新的重新加权 $我_{1}$ 最小化算法

序列 ${{u个}^{k个}}$ 由提供 ${A类}^{†}$ 线性化Bregman迭代收敛到问题的最优解（1.3）。广义逆的计算 ${A类}^{†}$ 耗时；为了克服这个问题，一个名为混沌迭代算法建议结合（2.5）。在这个算法中，我们只需要矩阵-向量乘法，所以广义逆 ${A类}^{†}$ 可以有效计算。为了更好地理解算法，我们对该方法进行了如下简要描述：

{\begin{cases} {（f）}^{k个 + 1} = {（f）}^{k个} + (（f） - A类 {u个}^{k个}), \\ 年^{k个 + 1} = 年^{k个} + {V（V）}_{0} {（f）}^{k个 + 1} - {V（V）}_{0} (A类 年^{k个}), \\ {u个}^{k个 + 1} = δ {T型}_{μ} (年^{k个 + 1}), \end{cases} k个 = 0, 1, 2, \dots,

(4.1)

哪里 $年^{0} = {V（V）}_{0} {（f）}^{0}$ , ${V（V）}_{0} = α {A类}^{*}$ 和 $0 < α < \frac{2}{{∥ A类 ∥}^{2}}$ .相应的顺序 ${{u个}^{k个}}$ 也收敛到问题的最优解（1.3）。

这里我们首先研究一种迭代加权最小二乘（IRLS）方法[33]用于稳健的统计估计。考虑回归问题 $A类 x个 = b条$ 其中，观测矩阵A类是不确定的；注意到了标准最小二乘回归，其中 ${∥ 第页 ∥}_{2}$ 最小化，其中 $第页 = A类 x个 - b条$ 是残差向量。为了克服算法缺乏鲁棒性的问题，提出了IRLS作为迭代方法

\underset{x个}{最小值} \sum_{我} ρ ({第页}_{我} (x个)),

(4.2)

哪里 $ρ (\cdot)$ 是一个惩罚函数，如 $ℓ_{1}$ 规范。这种最小化可以通过求解一系列加权最小二乘问题来实现，其中权重 ${{w个}_{我}}$ 取决于之前的残差 ${w个}_{我} = ρ^{'} ({第页}_{我}) / {第页}_{我}$ .典型的选择ρ与残差成反比，因此在随后的迭代中，较大的残差将受到较少的惩罚。然后是涉及迭代重加权的IRLS $ℓ_{2}$ -范数可以更好地近似为 $ℓ_{1}$ -类似标准。受上述想法的启发，为了更好地近似 $ℓ_{0}$ -相似准则[34]，我们的算法涉及迭代重加权 $ℓ_{1}$ -规范。

由于加权最小化可以增强稀疏性，而混沌迭代算法可以降低广义逆的计算复杂度 ${A类}^{†}$ ，我们迭代求解以下加权 $ℓ_{1}$ 最小化问题：

\underset{u个}{最小值} {{∥ u个 ∥}_{ω} : A类 u个 = （f）} .

(4.3)

我们改进了混沌迭代算法，获得了一种新的重新称重 $我_{1}$ 最小化算法如下：

{\begin{cases} {（f）}^{k个 + 1} = {（f）}^{k个} + (（f） - A类 {u个}^{k个}), \\ 年^{k个 + 1} = 年^{k个} + {V（V）}_{0} {（f）}^{k个 + 1} - {V（V）}_{0} (A类 年^{k个}), \\ {u个}^{k个 + 1} = δ {T型}_{μ ω^{k个}} (年^{k个 + 1}), \\ ω_{我}^{k个 + 1} = 1 / (| {u个}_{我}^{k个 + 1} | + ϵ), 我 = 1, \dots, n个, \end{cases} k个 = 0, 1, 2, \dots,

(4.4)

哪里 $年^{0} = {V（V）}_{0} {（f）}^{0}$ , ${V（V）}_{0} = α {A类}^{*}$ 、和 $0 < α < \frac{2}{{∥ A类 ∥}^{2}}$ .

5数值实验

在本节中，我们测试重加权 $我_{1}$ 问题的最小化算法（4.3）。我们使用了Word图像。在这里Word是一个 $256 \times 256$ 稀疏图像。在我们的实验中，我们测试了几种模糊核，包括圆盘、高斯和运动。我们通过视觉效果和质量测量来比较不同的算法。这里，恢复质量由信噪比（SNR）衡量，由

信噪比 = 10 \times 自然对数 \frac{\sum_{我 = 1}^{米} \sum_{我 = 1}^{n个} {({u个}^{*} (我, j个) - 意思是 ({u个}^{*}))}^{2}}{\sum_{我 = 1}^{米} \sum_{我 = 1}^{n个} {({u个}^{*} (我, j个) - {u个}^{0} (我, j个) - 意思是 ({u个}^{*} - {u个}^{0}))}^{2}},

(5.1)

哪里 ${u个}^{*}$ , ${u个}^{0}$ 、和 $意思是 (\cdot)$ 分别是恢复图像、原始图像和平均算子。

我们的代码是用MATLAB编写的，在Windows PC上运行，带有Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU T8100@2.10 GHz 2.10 GHz和1.5 GB内存。MATLAB版本是7.1。

重新加权 $我_{1}$ 最小化算法：步骤1。设置 ${u个}^{0} = 0$ , ${（f）}^{0} = 0$ , $年^{0} = {V（V）}_{0} {（f）}^{0}$ , ${V（V）}_{0} = α {A类}^{T型}$ , $0 < α < \frac{2}{{∥ A类 ∥}_{2}^{2}}$ , $0 < δ < 1$ , $μ = 参数$ .

第2步。序列 ${{u个}^{k个}}_{k个 \in N个}$ 由（4.4）生成。

步骤3。直到 $\frac{∥ {u个}^{k个 + 1} - {u个}^{k个} ∥}{∥ {u个}^{k个} ∥} < ϵ$ .

我们演示了加权后的 $我_{1}$ 最小化算法、混沌迭代算法、 ${A类}^{T型}$ Bregman迭代，以及 ${A类}^{†}$ Bregman迭代 $别针 (A类)$ 在MATLAB中。

在第一个实验中，我们使用的图像被一个“磁盘”内核模糊 $锡斯 = 15$ 模糊和恢复的图像如图所示1通过比较这三种算法，可以清楚地看出 $我_{1}$ 最小化算法在信噪比方面优于混沌迭代算法，并且 ${A类}^{T型}$ Bregman迭代引理比混沌迭代算法和 ${A类}^{T型}$ Bregman迭代，这仍然可以接受。

在第二个实验中，图像用“高斯”核模糊 $锡斯 = 7$ 结果如图所示2。恢复效果和计算时间的比较与第一个基本相同。

在第三个实验中，我们使用了用 $三 \times 5$ “motion”内核可以更好地显示恢复图像的局部信息。使用重加权后恢复的稀疏小Word图像 $我_{1}$ 最小化算法、混沌迭代算法、 ${A类}^{T型}$ Bregman迭代，以及 ${A类}^{†}$ 图中绘制了Bregman迭代三我们再次得出与上述实验类似的结论。

事实上，复杂性分析也显示了几种方法的比较结果。设置相同的循环编号K（K）因此 ${A类}^{†}$ 算法（2.11）分为两部分。它们是 ${A类}^{†}$ 以及（2.11）的回路。工作量是 $O（运行） ({n个}^{三})$ 在计算 $A类 = U型 S公司 V（V）$ , ${A类}^{†} = {V（V）}^{T型} {S公司}^{†} {U型}^{T型}$ ，何时 $米 < n个$ 由于奇异值分解涉及矩阵与矩阵的乘法和特征值计算。（2.11）回路的工作量为 $O（运行） (米 * n个 * K（K）)$ ，因为循环只包含矩阵和向量的乘法。因此 ${A类}^{†}$ 算法（2.11）是 $O（运行） ({n个}^{三}) + O（运行） (米 * n个 * K（K）)$ .混沌迭代的工作量（4.1） $我_{1}$ 最小化算法（4.4）和 ${A类}^{T型}$ Bregman迭代（2.8）为 $O（运行） (米 * n个 * K（K）)$ 分别是。显然， $K（K） < 米 ≪ n个$ ，的工作量 ${A类}^{†}$ 算法（2.11）比其他三种算法大。

表中列出了所有实验数据1总之，对于三种方法的恢复质量，我们有 $重新称重 > 混乱的 > {A类}^{†} ≫ {A类}^{T型}$ ，而计算时间的数量级大约是 $1 : 1 : 10^{2} : 1$ 数值算例表明，新的加权 $我_{1}$ 最小化算法是一种快速有效的图像去模糊算法。这是一种非常有用的方法。

表1不同算法的比较

全尺寸桌子

6结论

在本文中，我们建议重新加权 $我_{1}$ 图像去模糊的最小化算法。总之，我们可以看到图像效果的恢复是明显的。特别是在出现较大程度模糊和难以恢复细节的情况下，它是稳定有效的。此外，我们可以提高这一重加权的效率 $我_{1}$ 结合踢腿技术的最小化算法。由于算法的比例因子和效率 ${A类}^{†}$ ，本文提出的新方法可以用于并行运算，得到更好的算法。

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致谢

本研究得到了国家海洋局海洋遥测工程技术研究中心基金（2012003号）、国家自然科学基金（6097113261101208号）和中央高校基本科研业务费（13CX02086A号）的部分资助。

作者信息

作者和附属机构

中国石油大学理学院，地址：中国青岛市昌江西路66号，邮编：266580
田田桥、李伟国、董亚伦
哈尔滨工业大学数学系，哈尔滨市西大治街92号，150001
田田乔和吴伯英

作者

田田桥
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吴伯英
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阿伦·东
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通讯作者

与的通信田田桥.

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乔，T.，吴，B.，李，W。等。一个新的重磅 $我_{1}$ 图像去模糊的最小化算法。J不平等申请 2014, 238 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-238

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收到:2013年2月22日
认可的:2014年3月16日
出版:2014年6月16日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-238

一个新的重磅 我 1 图像去模糊的最小化算法

摘要

1引言