Preservation of ageing classes in deterioration models with independent increments

Sangüesa, Carmen; Badía, Francisco German; Cha, Ji Hwan

doi:10.1186/1029-242X-2014-200

研究
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出版：2014年5月20日

具有独立增量的退化模型中老化类的保持

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：200(2014)引用这篇文章

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4引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们考虑了退化模型中的老化特性，在该模型中，衡量退化的随机过程是一个具有独立增量的过程。考虑了增加和减少故障率以及减少反向危险率的保持。我们还考虑了对数凹和对数凸密度的保持。我们的主要结果是基于关于正线性算子保持对数凹函数和对数凸函数的技术结果，其中包括对过程中随机变量之间随机序性质的研究。

MSC公司：60G51、60E15、60K10、26A51。

1简介

劣化模型属于可靠性理论中感兴趣的课题。他们的目的是描述一种机制是如何随着年龄的增长而退化的。将时间相关退化中的不确定性建模为随机过程是一种方便的方法。也就是说，设备在时间上的退化是由随机过程描述的 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ ，其中每个 $X（X） (t吨)$ 表示瞬间的恶化程度t吨伽马过程主要被认为是对时间退化进行建模[1–三]. 此外，如果在特定时刻发生的外部冲击导致恶化，则所谓的冲击模型适用（例如，参见[4]). 虽然考虑具有非负增量的过程以测量劣化似乎更为现实，但也考虑了布朗运动（几何、漂移或单独作为测量误差的附加项；参见[5,6]以及其中的参考文献）。还考虑了一般马尔科夫过程（参见[7]以及其中的参考）。

在退化模型中，我们假设当退化程度达到某个非负阈值时系统崩溃Y（Y）（我们假设它是随机的，与过程无关 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ )也就是说，设备的寿命为

ρ = inf公司 {t吨 \geq 0 : X（X） (t吨) \geq Y（Y）} .

像往常一样，对于随机变量Y（Y），我们将表示为 ${F类}_{Y（Y）}$ 这个随机变量的分布函数和 ${\bar{F类}}_{Y（Y）} : = 1 - {F类}_{Y（Y）}$ 代表其生存功能。此外，从现在起，我们将分别使用减少和增加这两个词，而不是非增加和非减少。我们假设 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 具有递增且右连续的路径。在这种情况下，如[[8]，第817页]，我们可以写

{\bar{F类}}_{ρ} (t吨) : = P（P） (ρ > t吨) = E类 [{\bar{F类}}_{Y（Y）} (X（X） (t吨))]; {F类}_{ρ} (t吨) : = P（P） (ρ \leq t吨) = E类 [{F类}_{Y（Y）} (X（X） (t吨))], t吨 \geq 0 .

(1)

虽然已知特定模型的几个表达式（请参见[5]对于几何布朗运动，以及当我们有一个固定阈值时的伽马过程）。那么研究在什么条件下是很自然的ρ继承自Y（Y）文献中研究的常见可靠性特性。在可靠性理论中，随机变量的主要老化特性涉及对某个函数（通常是分布函数、生存函数或密度函数）的对数共扼性（正老化）或对数凸性（负老化）的研究。例如，如果 ${\bar{F类}}_{Y（Y）}$ 是对数凹的，随机变量被称为增加故障率（IFR），而如果是对数凸的，则我们具有降低故障率的特性（DFR）。此外，Y（Y）称为递减的反向危险率（DRHR），如果 ${F类}_{Y（Y）}$ 为对数曲线。我们将回顾定义2.3中要使用的属性，尽管可以在中找到更详细的讨论[[9]例如，第2章]。在劣化模型的背景下，研究了固定阈值下常见老化特性的保持，例如[10]在pure-jump进程的上下文中。据我们所知，Esary首先考虑了随机阈值问题等。在冲击模型的背景下[11]Abdel-Hameed在几篇论文中写道[1,8,12]. 在[1]考虑了伽马磨损过程，而在[8,12]获得了纯跳跃磨损过程的结果。另请参见[13]获取最新评论。本文的目的是解决具有独立增量的过程（包括Lévy过程）的这个问题。为此，我们使用了（1）中给出的表示，并应用了基于正线性算子保持对数凸性和对数一致性的技术（参见[14,15]). 这些技术涉及到研究过程中随机变量的随机阶性质。此方法不同于[12]对于纯跳跃Lévy过程，它基于过程的基本Lévy度量。我们的结果推广了复合泊松过程（见备注3.5）和伽马过程（见注3.8和注3.12）的先前结果。另一方面，通常在比其类似的负老化特性（DFR）更严格的假设下，正老化特性（例如IFR）的保存结果是正确的。这可以在中看到[12]定理2.3，其中，为了保持IFR特性，要求Lévy测度的密度为对数曲线，而对于DFR特性，不需要对该密度进行假设。我们的方法还为IFR和DFR财产的保存提供了不同的条件（分别参见第3节中的建议3.1（a）和推论3.11）。我们还包括有关DRHR财产的保存结果（提案3.1（b））。这一财产是最近才引起关注的，上述文件中尚未涉及。应该指出的是，我们方法的灵活性允许我们添加确定性趋势，而无需付出额外的努力。这种方法还允许我们证明更强的结果，这与密度函数的对数凸性或对数压缩性有关（第4节）。

2准备工作

正如引言中提到的，对数压缩的概念将在我们的结果中发挥重要作用。我们首先回顾一下这个概念。

定义2.1让 $我 \subseteq R（右）$ 是一个凸集。A函数 $（f） : 我 \to [0, \infty]$ 据说是log-convave on我如果是所有人 $x, 年 \in 我$ 和 $0 \leq α \leq 1$ 它验证了

（f） (α x + (1 - α) 年) \geq （f） {(x)}^{α} （f） {(年)}^{1 - α},

(2)

或等效日志（f）为凹面（在间隔中（f）严格来说是肯定的）。

备注2.2如果上述定义中的不等式被颠倒，我们就得到了对数凸性的对偶概念。

对数共扼性是可靠性理论中的一个重要概念。实际上，文献中考虑的主要老化类别可以用对数共扼性或对数共扼性来定义（例如，参见[[9]，第2章]）。我们回顾了本文中使用的主要老化类别的定义。

定义2.3让X（X）是一个非负随机变量。X（X）据说是：

（a）
故障率增加（IFR），如果 ${\bar{F类}}_{X（X）}$ 原木凹入ℝ;
（b）
降低的反向危险率（DRHR），如果 ${F类}_{X（X）}$ 启用了日志压缩ℝ;
（c）
log-concave如果X（X）绝对连续，密度 ${（f）}_{X（X）}$ 启用了日志压缩 $(0, \infty)$ .

如果在第（a）和（c）部分中，用对数凸性替换对数共扼性，则分别具有递减失效率（DFR）和对数凸老化类。对于DFR属性，日志凸性必须限制为 $[0, \infty)$ .

备注2.4有趣的是要指出X（X）对数曲线⇒ X（X）IFR和DRHR，以及X（X）对数-凸性⇒ X（X）DFR公司⇒ X（X）DRHR（参见[[9]第181页）。

可以合理地假设，在恶化过程中 $X（X） (t吨)$ 是非负的，并且随着t吨（以某种随机顺序）。在下一个定义中，我们回顾了我们将在退化模型中使用的不同随机顺序。有关更详细的讨论，请参阅[16,17]例如。

定义2.5让X（X）和Y（Y）是两个随机变量。X（X）据说小于Y（Y）在里面

（i）
通常的随机顺序（写为 $X（X） \leq_{标准} Y（Y）$ )如果 ${\bar{F类}}_{X（X）} (x) \leq {\bar{F类}}_{Y（Y）} (x)$ ，对于所有人 $x \in R（右）$ ;
（ii）
危险率顺序( $X（X） \leq_{小时} Y（Y）$ )如果 ${\bar{F类}}_{Y（Y）} (t吨) / {\bar{F类}}_{X（X）} (t吨)$ 在中增加t吨;
（iii）
反向危险率顺序( $X（X） \leq_{相对湿度} Y（Y）$ )如果 ${F类}_{Y（Y）} (t吨) / {F类}_{X（X）} (t吨)$ 在中增加t吨;
（iv）
似然比阶( $X（X） \leq_{爱尔兰} Y（Y）$ )如果X（X）和Y（Y）相对于某个支配测度是绝对连续的μ，具有各自的密度 ${（f）}_{X（X）}$ 和 ${（f）}_{Y（Y）}$ 这样的话 ${（f）}_{Y（Y）} (t吨) / {（f）}_{X（X）} (t吨)$ 在中增加t吨.

备注2.6之前的随机顺序之间的关系如下（参见[[16]，第61页]）：

$X（X） \leq_{爱尔兰} Y（Y） \Rightarrow X（X） \leq_{小时} Y（Y）和 X（X） \leq_{相对湿度} Y（Y）$ ;
要么 $X（X） \leq_{小时} Y（Y）或 X（X） \leq_{相对湿度} Y（Y） \Rightarrow X（X） \leq_{标准} Y（Y）$ .

对于给定流程 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ ，我们将使用符号 $X（X） (t吨) ↑_{\cdot}$ 以表明 $X（X） (t吨)$ 在中增加⋅随机顺序 $t吨 \geq 0$ （和 $X（X） (t吨) ↓_{\cdot}$ 如果它在减少）。从现在开始，我们将使用符号 $X（X） =_{标准} Y（Y）$ 表示两个随机变量X（X）和Y（Y）具有相同的分布。在下一个定义中，我们将描述我们将为流程假设的属性 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 这比定义非负Lévy过程的方法略为通用。

定义2.7让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个随机过程。我们会说这个过程属于类 $IPII公司$ （独立正增量），如果验证：

1
$0 \leq X（X） (秒) \leq X（X） (t吨)$ a.s.，适用于 $0 \leq 秒 < t吨$ ;
2
该过程具有独立的增量，即：给定 $0 \leq {t吨}_{0} < {t吨}_{1} < \dots < {t吨}_{n个}$ ，随机变量 $X（X） ({t吨}_{0}), X（X） ({t吨}_{1}) - X（X） ({t吨}_{0}), \dots, X（X） ({t吨}_{n个}) - X（X） ({t吨}_{n个 - 1})$ 独立；
三。
过程的增量满足
$X（X） (t吨 + 小时) - X（X） (t吨) ↑_{标准} 在 t吨对于任何固定小时 > 0;$
4
$(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在概率上是连续的， ${极限}_{秒 \to t吨} P（P） (| X（X） (t吨) - X（X） (秒) | > ϵ) = 0$ ，对于所有人 $ϵ > 0$ .

如果条件3被替换为 $X（X） (t吨 + 小时) - X（X） (t吨) ↓_{标准}$ 在里面t吨，我们会说该过程属于 $IPDI公司$ （独立正增量递减），而如果过程属于 $IPDI公司 \cap IPII公司$ 也就是说，

X（X） (u个 + 小时) - X（X） (u个) =_{标准} X（X） (v（v） + 小时) - X（X） (v（v）), u个, v（v） \geq 0, 小时 > 0,

(3)

我们会说这个过程属于 $IPSI公司$ 类（独立正平稳增量）。

本文将使用满足上述特性的工艺的具体示例如下：

标准泊松过程 $(N个 (t吨), t吨 \geq 0)$ ，这是 $同侧$ 类，以便 $N个 (0) = 0$ ，因此，对于每个 $t吨 > 0$ , $N个 (t吨)$ 具有平均泊松分布t吨（请参见[[18]，第15页]）。
标准伽马过程 $(S公司 (t吨), t吨 \geq 0)$ ，这是 $IPSI公司$ 类，以便 $S公司 (0) = 0$ ，因此，对于每个 $t吨 > 0$ , $S公司 (t吨)$ 具有伽马密度 $（f） (x) : = Γ {(t吨)}^{- 1} x^{t吨 - 1} {e（电子）}^{- x}$ , $x > 0$ （例如，请参见[[三]，第6页]）。

备注2.8注意，定义2.7中考虑的过程总是允许具有右连续路径的表示[[18]，第63页]，以便（1）中给出的表达式成立。还要注意，如果 $X（X） (0) = 0$ ，的 $IPSI公司$ 类与具有非负增量（或从属项）的Lévy过程一致[[18]第137页）。事实上，我们将主要处理的过程（复合泊松过程，囊性纤维变性。[[18]第18页和伽马过程）属于这一类。此外，很容易看出（我们在引理3.3中包括了这个事实的证明），对于给定的过程 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在中 $同侧$ 类，时间转换过程 $(X（X） (一_{2} (t吨)), t吨 \geq 0)$ ，带有 $一_{2}$ 是一个递增凸函数，属于 $IPII公司$ 类，而如果 $一_{2}$ 增加和凹陷，该过程属于 $IPDI公司$ 类。我们将利用这一事实来获得关于非齐次泊松过程（命题3.4）和非齐次伽马过程（命题4.4）的结果，这两个过程分别是标准泊松过程和伽马过程的时间变换版本。

最后，我们陈述了一个技术结果，可以在[15]并将在我们的证明中发挥重要作用。

定理2.9([15]，厚度。 3.8)

让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个满足条件的随机过程1定义中2.7.让 （f） 是可测量函数的集合 $（f） : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 这样的话 $E类（f） [X（X） (t吨)] < \infty$ , $t吨 \geq 0$ .让 T型 是一个操作符，定义为

T型 （f） (t吨) = E类 （f） [X（X） (t吨)], t吨 \geq 0 .

假设以下假设得到验证:

1
（f） 是日志-凹面的;
2
Tf（传递函数） 持续打开 $(0, \infty)$ .

（a）
进一步假设 （f） 正在减少.如果 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在班上 $IPII公司$ 和 $X（X） (t吨) ↑_{相对湿度}$ ,然后 Tf（传递函数） 是日志-上的凹和递减函数 $(0, \infty)$ .
（b）
进一步假设 （f） 正在增加.如果 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在班上 $IPDI公司$ 和 $X（X） (t吨) ↑_{小时}$ 然后 Tf（传递函数） 是日志-凹函数和增函数 $(0, \infty)$ .
（c）
如果 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在班上 $IPSI公司$ 和 $X（X） (t吨) ↑_{爱尔兰}$ ,然后 Tf（传递函数） 是日志-凹函数开 $(0, \infty)$ .

备注2.10如果Tf（传递函数）在原点处是连续的，我们可以将对数压缩属性扩展到区间 $[0, \infty)$ ，as（2）at 0 as endpoint，可以通过将极限作为 $x ↓ 0$ .

备注2.11在[15]，厚度。3.8（c）还有一个附加条件。如果，对于 $（f） : [0, \infty) \to [0, \infty)$ ，我们打电话给 $J型 : = {x \geq 0 ∣ （f） (x) > 0}$ （这是一个间隔，如果（f）是log-concave），附加条件是 ${J型}^{*} : = {t吨 > 0 ∣ P（P） (X（X） (t吨) \in J型) > 0}$ 必须是一段间歇。但是，如果 $X（X） (t吨) ↑_{爱尔兰}$ ，因此不需要进行检查。在下一个引理中，我们给出了这个事实的证明。

引理2.12 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个随机过程 $X（X） (t吨) ↑_{爱尔兰}$ 然后让 $J型 \subseteq R（右）$ 是一个间隔.然后 ${J型}^{*} : = {t吨 \geq 0 ∣ P（P） (X（X） (t吨) \in J型) > 0}$ 是一个间隔.

证明为了证明这一论断，我们将证明

P（P） (X（X） ({t吨}_{1}) \in J型) P（P） (X（X） ({t吨}_{2}) \in J型) > 0, 0 \leq {t吨}_{1} < {t吨}_{2} \Rightarrow P（P） (X（X） (t吨) \in J型) > 0 为所有人 {t吨}_{1} < t吨 < {t吨}_{2} .

我们将使用一种简化为荒谬论点的方法。假设 $P（P） (X（X） ({t吨}_{1}) \in J型) P（P） (X（X） ({t吨}_{2}) \in J型) > 0$ ，但是 $P（P） (X（X） (t吨) \in J型) = 0$ ，对于一些 ${t吨}_{1} < t吨 < {t吨}_{2}$ 。我们将使用该物业(囊性纤维变性。[[17]，第42页]）如果 ${X（X）}_{1} \leq_{爱尔兰} {X（X）}_{2}$ 、和A类和B类Borel在吗 $[0, \infty)$ ，然后

P（P） ({X（X）}_{1} \in B类) P（P） ({X（X）}_{2} \in A类) \leq P（P） ({X（X）}_{1} \in A类) P（P） ({X（X）}_{2} \in B类), 如果 A类 \leq B类,

(4)

哪里 $A类 \leq B类$ 意味着 $x \leq 年$ 为所有人 $x \in A类$ 和 $年 \in B类$ 。我们将用表示 ${J型}_{+}^{c（c）}$ 上面的实数集J型和 ${J型}_{-}^{c（c）}$ 下面的实数集J型使用我们的假设，并将（4）与 ${X（X）}_{1} : = X（X） ({t吨}_{1})$ , ${X（X）}_{2} : = X（X） (t吨)$ , $A类 = {J型}_{-}^{c（c）}$ 和 $B类 = J型$ ，我们获得

P（P） (X（X） ({t吨}_{1}) \in J型) P（P） (X（X） (t吨) \in {J型}_{-}^{c（c）}) = 0 \Rightarrow P（P） (X（X） (t吨) \in {J型}_{-}^{c（c）}) = 0,

(5)

而（4） ${X（X）}_{1} : = X（X） (t吨)$ , ${X（X）}_{2} : = X（X） ({t吨}_{2})$ , $A类 = J型$ 和 $B类 = {J型}_{+}^{c（c）}$ 意味着

P（P） (X（X） (t吨) \in {J型}_{+}^{c（c）}) P（P） (X（X） ({t吨}_{2}) \in J型) = 0 \Rightarrow P（P） (X（X） (t吨) \in {J型}_{+}^{c（c）}) = 0 .

(6)

那么（5）和（6）与以下事实相矛盾： $P（P） (X（X） (t吨) \in J型) = 0$ ，结论如下。□

3使用独立增量保持磨损过程的IFR、DRHR和DFR等级

为了确保定理2.9中的连续性条件，我们将假设Y（Y）与正质量没有共同点 $(X（X） (t吨), t吨 > 0)$ 这可以表述如下：

P（P） (X（X） (t吨) \in 天) = 0 为所有人 t吨 > 0, 其中 天 : = {x \geq 0 ∣ P（P） (Y（Y） = x) > 0} .

(7)

我们关于IFR和DRHR类的第一个结果基于以下内容。

提议3.1 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个具有随机阈值的磨损过程 Y（Y） 满足条件(7).让 ρ 是设备的故障时间.那么我们有:

（a）
如果 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPII公司$ 与一起上课 $X（X） (0) = 0$ , $X（X） (t吨) ↑_{相对湿度}$ 和 Y（Y） 是IFR,然后 ρ 是IFR.
（b）
如果 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 班, $X（X） (t吨) ↑_{小时}$ 和 Y（Y） 是DRHR,然后 ρ 是DRHR.

证明条件（7）和（1）确保我们 ${F类}_{ρ}$ 和 ${\bar{F类}}_{ρ}$ 是连续函数 $(0, \infty)$ [[15]，莱姆。 2.5]. 事实上 ${F类}_{ρ}$ 和 ${\bar{F类}}_{ρ}$ 是右连续的，定义2.7中的条件4允许我们将连续性扩展到 $[0, \infty)$ .

为了显示第（a）部分，IFR条件Y（Y）意味着 ${\bar{F类}}_{Y（Y）}$ 为对数曲线。因此，通过（1）、定理2.9（a）和备注2.10，我们发现 ${\bar{F类}}_{ρ}$ 启用了日志压缩 $[0, \infty)$ 。将此属性扩展到ℝ，注意IFR分布在0处不能有正质量（参见[[9]第104页）。事实上 $X（X） (0) = 0$ 保证该财产ρ，截至（1） ${\bar{F类}}_{ρ} (0) = {\bar{F类}}_{Y（Y）} (0) = 1$ 。因此，使用此属性 ${\bar{F类}}_{ρ}$ 扩展到ℝ，因此显示了部分（a）。

对于第（b）部分Y（Y）意味着 ${F类}_{Y（Y）}$ 是对数曲线，通过（1）、定理2.9（b）和备注2.10，我们发现 ${F类}_{ρ}$ 启用了日志压缩 $[0, \infty)$ .作为 ${F类}_{ρ} (t吨) = 0$ , $t吨 < 0$ ，log-concavity属性通常扩展为ℝ. □

备注3.2回想一下 $X（X） \leq_{爱尔兰} Y（Y）$ 意味着两者 $X（X） \leq_{小时} Y（Y）$ 和 $X（X） \leq_{相对湿度} Y（Y）$ .所以 $X（X） (t吨) ↑_{爱尔兰}$ ，与 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在课堂上 $IPSI公司$ 和 $X（X） (0) = 0$ 是保护IFR和DRHR财产的充分条件。

在下一个结果中，我们提供了修改进程时检查日志一致性的条件 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 在中 $IPSI公司$ 通过添加确定性趋势并应用时间转换来初始化。为此，让 $一_{我} : [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $我 = 1, 2$ 是两个递增的连续函数。考虑修改后的流程：

{X（X）}^{*} (t吨) = 一_{1} (t吨) + X（X） (一_{2} (t吨)), t吨 \geq 0 .

(8)

首先，我们有以下几点。

引理3.3 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 成为 $IPSI公司$ 班.考虑 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 如上所述.那么我们有:

（a）
如果 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 是增函数和凸函数,然后 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPII公司$ 班.
（b）
如果 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 是递增函数和凹函数,然后 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 班.

证明为了显示第（a）部分，请注意定义2.7中的条件1、2和4由以下相应的条件明确 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 考虑到这一点 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 不断增加和持续。要验证条件3，请致电

我_{小时} (t吨) : = 一_{1} (t吨 + 小时) - 一_{1} (t吨), 我_{小时} (t吨) : = X（X） (一_{2} (t吨 + 小时)) - X（X） (一_{2} (t吨)), t吨 \geq 0, 小时 > 0 .

(9)

我们有

{X（X）}^{*} (t吨 + 小时) - {X（X）}^{*} (t吨) = 我_{小时} (t吨) + 我_{小时} (t吨) .

(10)

我们的目标是证明这一点

我_{小时} (秒) \leq 我_{小时} (t吨), 我_{小时} (秒) \leq_{标准} 我_{小时} (t吨), 0 \leq 秒 < t吨, 小时 > 0 .

(11)

第一个不平等是显而易见的，因为 $一_{1}$ 是凸的。对于第二个不等式，请调用 $小时 (t吨) = 一_{2} (t吨 + 小时) - 一_{2} (t吨)$ , $t吨 \geq 0$ .作为 $一_{2}$ 是凸的，我们可以看到 $小时 (\cdot)$ 正在增加。另一方面，如果我们将（3）用于 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 使用处理 $u个 = 一_{2} (秒)$ , $v（v） = 一_{2} (t吨)$ 和 $小时 = 小时 (秒)$ ，我们获得

\begin{aligned} 我_{小时} (秒) & = X（X） (一_{2} (秒) + 小时 (秒)) - X（X） (一_{2} (秒)) =_{标准} X（X） (一_{2} (t吨) + 小时 (秒)) - X（X） (一_{2} (t吨)) \\ \leq_{标准} X（X） (一_{2} (t吨) + 小时 (t吨)) - X（X） (一_{2} (t吨)) = 我_{小时} (t吨), \end{aligned}

其中，在上一个不等式中，我们使用了小时正在增加，条件1适用于 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 过程（即非负增量）。这证明了（11）中的第二个不等式。因此，由于在添加非负常数的情况下保持了随机顺序，我们从（10）和（11）中推断出

{X（X）}^{*} (秒 + 小时) - {X（X）}^{*} (秒) = 我_{小时} (秒) + 我_{小时} (秒) \leq_{标准} 我_{小时} (t吨) + 我_{小时} (t吨) = {X（X）}^{*} (t吨 + 小时) - {X（X）}^{*} (t吨), 0 \leq 秒 < t吨,

从而证明了条件3，从而结束了第（a）部分。

考虑到（11）中的不等式是颠倒的，如果 $一_{我}$ , $我 = 1, 2$ 是凹函数。□

利用前面的两个结果，我们得到了关于非齐次复合泊松过程的以下结果。

提案3.4 让 ${X（X）}^{*} (t吨)$ 成为非-均匀复合泊松磨损过程,那就是,

{X（X）}^{*} (t吨) = \sum_{我 = 1}^{{N个}^{*} (t吨)} {X（X）}_{我},

在哪儿 $({N个}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 是非-均值齐次泊松过程 $(一_{2} (t吨) : = E类 [{N个}^{*} (t吨)], t吨 \geq 0)$ 和 ${({X（X）}_{n个})}_{n个 = 1, 2, \dots}$ 是独立非-负同分布随机变量,独立于流程.假设 Y（Y）,随机阈值和 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 满足条件(7).让 ρ 是设备的寿命.我们有以下产品.

（a）
假设 $一_{2}$ 是一个凸函数 $一_{2} (0) = 0$ , ${X（X）}_{我}$ 是DRHR和 Y（Y） 是IFR.然后 ρ 是IFR.
（b）
假设 $一_{2}$ 是凹函数, ${X（X）}_{我}$ 是IFR和 Y（Y） 是DRHR.然后 ρ 是DRHR.

证明第（a）部分后接提案3.1（a）。首先，请注意 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPII公司$ 类。实际上，对于非齐次泊松过程， ${N个}^{*} (t吨) = N个 (一_{2} (t吨))$ ，其中 $(N个 (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个标准的泊松过程。因此， $X（X） (t吨) = \sum_{我 = 1}^{N个 (t吨)} {X（X）}_{我}$ 是一个复合泊松过程，因此它位于 $IPSI公司$ 如备注2.8所述。作为 ${X（X）}^{*} (t吨) = X（X） (一_{2} (t吨))$ ，断言遵循引理3.3（a）。其次，我们将证明 ${X（X）}^{*} (t吨) ↑_{相对湿度}$ 。如下所示，如果 $秒 < t吨$ ，然后 $N个 (一_{2} (秒)) \leq_{爱尔兰} N个 (一_{2} (t吨))$ (囊性纤维变性。[[16]，第62页]），根据这个性质，我们推导出 ${X（X）}_{1}$ 成为DRHR

\sum_{我 = 1}^{N个 (一_{2} (秒))} {X（X）}_{我} \leq_{相对湿度} \sum_{我 = 1}^{N个 (一_{2} (t吨))} {X（X）}_{我}

（请参见[[17]，厚度。1.C.12]）。因此，命题3.1（a）中的假设得到了满足。部分（b）的证明类似，使用命题3.1（b），同时考虑引理3.3（b）和[[17]，厚度。1.C.12]）。□

备注3.5如前所述，Abdel-Hameed给出了Lévy过程的一般条件，以保护IFR属性（参见[[12]，厚度。2.3（i）]）。特别是对于复合泊松过程，这些条件要求 ${X（X）}_{1}$ 是对数凹的（因为复合泊松过程中的Lévy测度与 ${X（X）}_{1}$ ). 因此，在这种情况下，命题3.4（b）给出了更一般的假设 ${X（X）}_{1}$ 请注意，DRHR类特别包含了log-convave和log-convex分布。事实上， ${X（X）}_{1}$ 对数曲线意味着 ${X（X）}_{1}$ 是IFR和DRHR（回忆备注2.4），因此，对于齐次泊松过程，这是保持IFR和DR属性的充分条件。

下一个结果为修改后的过程提供了保存特性 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 当过程中的随机变量满足适当的老化特性时。特别是，这将使我们能够处理具有趋势的非均匀伽马退化过程。

提议3.6 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 成为 $IPSI公司$ 班.考虑一个磨损过程，其中 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 与中相同(8).假设 Y（Y）,随机阈值和 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 满足条件(7).让 ρ 是设备的寿命.我们有以下产品.

（a）
假设 $X（X） (t吨)$ DRHR适用于所有人吗 t吨和 $X（X） (0) = 0$ .进一步,假设 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 是增函数和凸函数,具有 $一_{1} (0) = 一_{2} (0) = 0$ 和 Y（Y） 是IFR.然后 ρ 是IFR.
（b）
假设 $X（X） (t吨)$ 都是IFR t吨, $一_{我}$ , $我 = 1, 2$ 是递增函数和凹函数 Y（Y） 是DRHR.然后 ρ 是DRHR.

证明第（a）部分将使用命题3.1（a）。首先， $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPII公司$ 根据引理3.3（a）分类。为了证明这一点 ${X（X）}^{*} (t吨) ↑_{相对湿度}$ ，请注意，如果 $X（X） (t吨)$ 具有DRHR属性，则 $X（X） (t吨) ↑_{相对湿度}$ （这是[[17]，莱姆。1.B.44]和静态和独立增量的性质 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ ). 那么我们有 $秒 < t吨$

一_{1} (秒) + X（X） (一_{2} (秒)) \leq_{相对湿度} 一_{1} (t吨) + X（X） (一_{2} (秒)) \leq_{相对湿度} 一_{1} (t吨) + X（X） (一_{2} (t吨)) .

(12)

第一个不等式是使用引理得到的[[17]，莱姆。1.B.44]） $X（X） : = 一_{1} (秒)$ , $Y（Y） : = 一_{1} (t吨)$ 和 $Z轴 : = X（X） (一_{2} (秒))$ ，而最后一个不等式是通过增加变换来保持rh顺序的[[17]，厚度。1.B.43]）。因此，3.1（a）号提案中的条件如下，因为 ${X（X）}^{*} (0) = 0$ 证明了（a）部分。

第（b）部分的证明非常相似，使用命题3.1（b）。注意，通过引理3.3（b）我们发现 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 类。此外， $X（X） (t吨) ↑_{小时}$ 由[[17]，莱姆。1.B.3]。在这种情况下，如果我们用hr顺序替换rh顺序，则（12）成立，在本例中使用[[17]，莱姆。1.B.3]和[[17]，莱姆。1.B.2]。□

推论3.7 让 $(S公司 (t吨), t吨 \geq 0)$ 是伽马磨损过程.考虑一个磨损过程，其中 $({S公司}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 与中相同(8).让 ρ 是设备的寿命.

（a）
如果 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 是增函数和凸函数,具有 $一_{1} (0) = 一_{2} (0) = 0$ 和 Y（Y） 是IFR,然后 ρ 是IFR.
（b）
如果 $一_{1} (t吨) = 0$ (无趋势), $一_{2}$ 增加且呈凹形 Y（Y） 是DRHR,然后 ρ 是DRHR.

证明第（a）部分是第3.6（a）条建议的直接应用。首先要注意，伽马过程是在 $IPSI公司$ 类（回忆备注2.8）。此外 $(S公司 (t吨), t吨 \geq 0)$ 是绝对连续的，因此满足条件（7）。最后，请注意，在gamma过程中 $S公司 (t吨)$ 是DRHR。以下是备注2.4，如果 $t吨 \leq 1$ , $S公司 (t吨)$ 具有对数凸密度，而如果 $t吨 \geq 1$ , $S公司 (t吨)$ 具有对数曲线密度（请参见[[9]第99页）。然后，命题3.6（a）中的条件成立，结果如下。

第（b）部分是第3.1（b）条建议的结果。事实上，请注意 $S公司 (t吨) ↑_{爱尔兰}$ （请参见[[16]第62页]），这立即意味着 ${S公司}^{*} (t吨) ↑_{爱尔兰}$ 因此，建议3.1（b）中的条件如下，回顾备注2.6， ${S公司}^{*} (t吨) ↑_{小时}$ 并且，使用引理3.3（b）， $({S公司}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 等级。□

备注3.8阿卜杜勒·哈米德[1]证明了平均函数为凸函数时，非均匀伽马磨损过程的IFR性质。观察一下，前面的结果通过添加一个凸确定性趋势扩展了这一结果。

备注3.9请注意，对于伽马过程，当我们有确定的趋势时，我们无法以类似的方式获得DRHR属性的保存结果。事实上，如果IFR条件 $X（X） (t吨)$ 在第3.6（b）条中，我们不能保证 ${X（X）}^{*} (t吨) ↑_{小时}$ 事实上 ${S公司}^{*} (t吨) = t吨 + S公司 (t吨)$ 是一个具有线性趋势的伽马过程。微积分很容易看出 ${S公司}^{*} (秒) ≰_{小时} {S公司}^{*} (t吨)$ 如果 $0 < 秒 < t吨 < 1$ （IFR属性失败的时间间隔）。

现在，我们关注DFR属性。由于提案3.10中的（a）部分（（b）部分将用于保存对数凸密度），该属性将立即生效。证明方法（与[[19]，厚度。3.2]）与用于保护IFR财产的方法有很大不同。事实上，对于DFR性质，我们只需要模型中变量之间的随机排序，而对于IFR保留性质，命题3.1（b）中需要更强的顺序（rh顺序）。

建议3.10 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个磨损过程.假设 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 班.我们有以下产品.

（a）
让 $G公司 : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 是递减对数-凸函数,具有 $G公司 (x) > 0$ , $x \geq 0$ 和权利-连续时间为 $x = 0$ .然后 $E类 G公司 [X（X） (t吨)]$ 是日志-上的凸函数 $[0, \infty)$ .
（b）
让 $G公司 : (0, \infty) \to [0, \infty)$ 是递减和对数-凸函数,具有 $G公司 (x) > 0$ , $x > 0$ .假设 $P（P） (X（X） (t吨) = 0) = 0$ 而且 $E类 G公司 [X（X） (t吨)] < \infty$ ,为所有人 $t吨 > 0$ .然后 $E类 G公司 [X（X） (t吨)]$ 是日志-上的凸函数 $(0, \infty)$ .

证明让 $我 = [0, \infty)$ （情况（a））或 $我 = (0, \infty)$ （情况（b））。请注意G公司在我意味着G公司持续打开我因此，使用定义2.7中的条件1和4以及中的类似参数[[15]，莱姆。2.7]，我们的条件确保了 $T型 G公司 (t吨) : = E类 G公司 [X（X） (t吨)]$ 在我注意，最后一个函数是对数凸的当且仅当 $小时 = 日志 T型 G公司 (t吨)$ 是凸的。但使用事实（参见[[9]，锻炼。3，p.73]）对于连续函数小时我们有

小时 是凸的 \Leftrightarrow 小时 (\frac{秒 + t吨}{2}) \leq \frac{小时 (秒) + 小时 (t吨)}{2}, 秒 < t吨,

然后我们看到，使用 $小时 = 日志 T型 G公司 (t吨)$ 取反对数

T型 G公司 (t吨) 是对数凸函数 \Leftrightarrow T型 G公司 (\frac{秒 + t吨}{2}) \leq T型 G公司 {(秒)}^{1 / 2} T型 G公司 {(t吨)}^{1 / 2}, 秒 < t吨 .

(13)

另一方面，让 $秒 < t吨$ .定义 $U型 : = X（X） ((秒 + t吨) / 2) - X（X） (秒)$ 和 $五 : = X（X） (t吨) - X（X） ((秒 + t吨) / 2)$ 。使用独立增量的属性，我们可以写

T型 G公司 (\frac{秒 + t吨}{2}) = E类 [G公司 (X（X） (秒) + U型)] = \int_{0}^{\infty} E类 [G公司 (z（z） + U型)] d日 {F类}_{X（X） (秒)} (z（z）) .

(14)

呼叫 ${G公司}_{z（z）} (\cdot) : = \frac{G公司 (z（z） + \cdot)}{G公司 (z（z）)}$ , $z（z） \in 我$ 。请注意 ${G公司}_{z（z）}$ 是上的递减对数凸函数 $[0, \infty)$ ，带有 ${G公司}_{z（z）} (x) > 0$ , $x \geq 0$ ，由于以下假设G公司。使用此属性，我们可以很容易地显示

E类 [G公司 (z（z） + U型)] \leq {G公司}^{1 / 2} (z（z）) {E类}^{1 / 2} [G公司 (z（z） + U型 + 五)] .

(15)

事实上，作为 ${G公司}_{z（z）}$ 为对数凸 ${G公司}_{z（z）} (0) = 1$ ，我们有 ${G公司}_{z（z）} (x + 年) \geq {G公司}_{z（z）} (x) {G公司}_{z（z）} (年)$ , $x, 年 \geq 0$ （如下所示 ${G公司}_{z（z）} (x + 年)$ 为TP2（参见[[9]第696页）。使用此属性和以下事实U型和五是独立的，我们可以写作

E类 [{G公司}_{z（z）} (U型 + 五)] \geq E类 [{G公司}_{z（z）} (U型)] E类 [{G公司}_{z（z）} (五)] \geq {E类}^{2} [{G公司}_{z（z）} (U型)],

由于过程处于 $IPDI公司$ 类（因此 $五 \leq_{标准} U型$ )还有那个 ${G公司}_{z（z）}$ 正在减少。根据前面的不等式，我们很容易推导出（15）。利用（14），（15）和Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

\begin{aligned} T型 G公司 (\frac{秒 + t吨}{2}) & \leq \int_{0}^{\infty} {G公司}^{1 / 2} (z（z）) {E类}^{1 / 2} [G公司 (z（z） + U型 + 五)] d日 {F类}_{X（X） (秒)} (z（z）) \\ \leq {E类}^{1 / 2} [G公司 (X（X） (秒))] {E类}^{1 / 2} [G公司 (X（X） (t吨))] = T型 {G公司}^{1 / 2} (秒) T型 {G公司}^{1 / 2} (t吨) . \end{aligned}

因此，从（13）我们推导出 $T型 G公司 (t吨) = E类 G公司 (X（X） (t吨))$ . □

作为前一结果中（a）部分的直接结果，我们有以下几点。

推论3.11 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 成为 $IPSI公司$ 班.考虑一个磨损过程，其中 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 与中相同(8),具有 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 增函数与凹函数.假设 Y（Y）,随机阈值和 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 满足条件(7).让 ρ 是设备的寿命.如果 Y（Y） 是DFR,然后 ρ 是DFR.

证明提案3.10立即得出结果。首先，我们的条件确保 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 类，由于引理3.3（b）。其次，由于（1），我们有 ${\bar{F类}}_{ρ} (t吨) = E类 [{\bar{F类}}_{Y（Y）} ({X（X）}^{*} (t吨))]$ .作为Y（Y）是DFR，那么 $G公司 : = {\bar{F类}}_{Y（Y）}$ 满足命题3.10（a）的假设，从中我们推导出 ${\bar{F类}}_{ρ}$ . □

备注3.12注意，该结果推广了中的定理2.3（iii）和定理2.5[12]，因为我们能够添加确定性趋势。

4保存下级的log-convave和log-convex类

前面的方法允许我们展示在磨损过程的某些假设下对数凹和对数凸类的保持性 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 首先，假设这个过程是从属的（回忆备注2.8），并且这个过程也是中心的（即， $E类 [X（X） (t吨)] = t吨$ ). 在这种情况下，众所周知(囊性纤维变性。[[20]第776页]）的拉普拉斯变换 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 可以写为

E类 {e（电子）}^{- u个 X（X） (t吨)} = {e（电子）}^{- t吨 u个 ψ (u个)}, ψ (u个) : = E类 {e（电子）}^{- u个 U型 T型}, u个 \geq 0,

(16)

哪里U型和T型是独立的随机变量U型均匀分布在 $[0, 1]$ 和T型为非负。随机变量T型将被称为特征随机变量 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 。如果我们考虑U型和T型和以前一样，独立于 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ ，对于任何绝对连续的随机变量Y（Y），我们有以下身份(囊性纤维变性。[[20]，道具。 4]):

\frac{d日}{d日 t吨} E类 {F类}_{Y（Y）} (X（X） (t吨)) = E类 {（f）}_{Y（Y）} (X（X） (t吨) + U型 T型), t吨 > 0,

(17)

假设右边的期望是有限的。观察过程 $({X（X）}_{1} (t吨), t吨 \geq 0)$ ，其中 ${X（X）}_{1} (t吨) = X（X） (t吨) + U型 T型$ ，属于 $IPSI公司$ 类。因此，作为（1）和命题3.10（b）的直接结果ρ保证，前提是Y（Y）具有类似的属性。此外，如果我们转换一个中心从属 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 进入磨损过程 ${X（X）}^{*} (t吨) : = X（X） (一_{2} (t吨))$ ，其中 $一_{2} (t吨)$ 是一个递增的可微函数，链式法则允许我们写

\frac{d日}{d日 t吨} E类 {F类}_{Y（Y）} ({X（X）}^{*} (t吨)) = 一_{2}^{'} (t吨) E类 {（f）}_{Y（Y）} (X（X） (一_{2} (t吨)) + U型 T型), t吨 > 0 .

(18)

首先要注意，对于有关log-conceity或log-convexity的结果，我们总是假设 $一_{2} (0) = 0$ ，以保证ρ在0处没有正质量，因此它是一个绝对连续的随机变量。事实上，请注意，在这个假设下，我们有（1），并且事实上 $X（X） (0) = 0$ （因为流程是一个中心从属）， $P（P） (ρ = 0) = E类 {F类}_{Y（Y）} (X（X） (0)) = {F类}_{Y（Y）} (0) = 0$ .

关于对数凸性，我们得到了以下结果。

提议4.1 让 $(X（X） (t吨), t吨 \geq 0)$ 做一个居中的下属.考虑一个磨损过程，其中 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 定义为 ${X（X）}^{*} (t吨) = X（X） (一_{2} (t吨))$ ,然后让 Y（Y） 是随机阈值.让 ρ 是设备的寿命.如果 Y（Y） 是日志-凸面和 $一_{2}$ 是可微的,具有 $一_{2} (0) = 0$ , $一_{2}^{'}$ 不是-消极的,减少,和日志-凸面的,然后 ρ 是日志-凸面的.

证明应用（1）和（18），我们有

\frac{d日}{d日 t吨} {F类}_{ρ} (t吨) = \frac{d日}{d日 t吨} E类 {F类}_{Y（Y）} ({X（X）}^{*} (t吨)) = 一_{2}^{'} (t吨) E类 {（f）}_{Y（Y）} (X（X） (一_{2} (t吨)) + U型 T型) .

(19)

关于的条件 $一_{2}$ 保证该函数是凹函数，因此通过引理3.3（b），过程 $(X（X） (一_{2} (t吨)) + U型 T型, t吨 \geq 0)$ 位于 $IPDI公司$ 类。作为Y（Y）是对数凸函数，那么 ${（f）}_{Y（Y）}$ 对数-凸，递减，严格为正 $(0, \infty)$ （请参见[[9]，道具。C.11，第117页]）。因此，我们可以应用命题3.10（b），使（19）中的第二个因子是一个对数凸函数，结果如下所示 $一_{2}^{'}$ ，因为对数凸函数的乘积是对数凸的。□

备注4.2显然，前面的结果保证了 $IPSI公司$ 班 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 在哪儿 $E类 [{X（X）}^{*} (t吨)] = λ t吨$ ，作为 $(X（X） (t吨) : = {X（X）}^{*} (t吨 / λ), t吨 \geq 0)$ 是一个居中的下属，在这种情况下 $一_{2} (t吨) = λ t吨$ .函数的非平凡示例 $一_{2}$ 满足先前结果中的假设是这样的 $一_{2} (t吨) = \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- u个} {u个}^{α - 1} d日 u个$ , $t吨 > 0$ ，带有 $0 < α \leq 1$ .

为了保持对数一致性，需要对导出过程的随机序性质进行更强有力的假设。为此，我们提供了可以检查这些属性的具体示例。首先，我们给出了复合Poisson过程的一个对数压缩结果。

提议4.3 让 $({X（X）}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 是复合泊松过程,那就是,

{X（X）}^{*} (t吨) = \sum_{我 = 1}^{{N个}^{*} (t吨)} {X（X）}_{我},

在哪儿 $({N个}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个齐次泊松过程,和 ${({X（X）}_{n个})}_{n个 = 1, 2, \dots}$ 是一个独立的序列,同分布非-负随机变量,具有有限平均值且独立于过程.让 Y（Y） 是一根木头-凹随机阈值和let ρ 是设备的寿命.如果 ${X（X）}_{1}$ 是日志-凹面的,然后 ρ 是日志-凹面的.

证明让 $μ : = E类 [{X（X）}_{1}]$ 然后让 $(N个 (t吨), t吨 > 0)$ 是速率的泊松过程 $1 / μ$ .然后 $X（X） (t吨) : = \sum_{我 = 1}^{N个 (t吨)} {X（X）}_{我}$ 是中心从属，因此（16）成立。让 $ψ_{{X（X）}_{1}} (u个) : = E类 {e（电子）}^{- u个 {X（X）}_{1}}$ 是的拉普拉斯变换 ${X（X）}_{1}$ .考虑到 $X（X） (t吨)$ 由提供 $E类 {e（电子）}^{- u个 X（X） (t吨)} = 经验 (- (t吨 / μ) (1 - ψ_{{X（X）}_{1}} (u个)))$ (囊性纤维变性。[[21]，第84页]），我们获得

\frac{1 - ψ_{{X（X）}_{1}} (u个)}{μ} = u个 ψ_{U型 T型} (u个) \Rightarrow ψ_{U型 T型} (u个) = \frac{1 - ψ_{{X（X）}_{1}} (u个)}{μ u个} .

让 ${X（X）}^{e（电子）}$ 是具有以下均衡分布的随机变量 ${X（X）}_{1}$ (囊性纤维变性。[[9]，第18页]），即， ${（f）}_{{X（X）}^{e（电子）}} (x) = {\bar{F类}}_{{X（X）}_{1}} (x) / μ$ 。可以很容易地看到使用按部件集成 $ψ_{{X（X）}_{e（电子）}} (u个) = {(μ u个)}^{- 1} (1 - ψ_{{X（X）}_{1}} (u个))$ ，因此 $U型 T型 =_{标准} {X（X）}_{e（电子）}$ 。正如我们所拥有的 ${X（X）}^{*} (t吨) =_{标准} X（X） (μ λ t吨)$ ，其中λ是速率 $({N个}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ ，我们使用（18），

\frac{d日}{d日 t吨} E类 [{F类}_{Y（Y）} ({X（X）}^{*} (t吨))] = μ λ E类 {（f）}_{Y（Y）} (\sum_{我 = 1}^{N个 (μ λ t吨)} {X（X）}_{我} + {X（X）}^{e（电子）}), t吨 > 0 .

(20)

这个过程 $(\sum_{我 = 1}^{N个 (μ λ t吨)} {X（X）}_{我} + {X（X）}^{e（电子）}, t吨 \geq 0)$ 位于 $IPSI公司$ 类。此外，作为 ${X（X）}_{1}$ 是对数曲线， $\sum_{我 = 1}^{N个 (μ λ t吨)} {X（X）}_{我} ↑_{爱尔兰}$ [[17]，厚度。1.C.11]。另一方面，如果 ${X（X）}_{1}$ 为对数曲线，则为IFR，因此， ${X（X）}^{e（电子）}$ 为对数曲线。因此， $\sum_{我 = 1}^{N个 (μ λ t吨)} {X（X）}_{我} + {X（X）}^{e（电子）} ↑_{爱尔兰}$ [[17]，第47页]，根据定理2.9（c），（20）中的表达式是对数凹函数，因此结论成立。□

现在我们考虑伽马过程的部分结果。众所周知，在这种情况下，T型是指数随机变量(囊性纤维变性。[[22]第957页）。另一方面美国犹他州，使用产品分布公式，可以写为

{（f）}_{U型 T型} (x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{u个} {e（电子）}^{- x / u个} d日 u个 = \int_{1}^{\infty} {v（v）}^{- 1} {e（电子）}^{- x v（v）} d日 v（v） .

(21)

注意，前面的表达式表明 ${（f）}_{U型 T型}$ 是完全单调的，从现在起是对数凸的[[21]，第123页]。因此，美国犹他州是对数凸函数。这个随机变量的对数凸性允许我们在对数凹递减密度的假设下给出以下结果Y（Y）.

提案4.4 让 $(S公司 (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个伽马磨损过程.考虑一个磨损过程，其中 $({S公司}^{*} (t吨) = S公司 (一_{2} (t吨)), t吨 \geq 0)$ .让 Y（Y） 是随机阈值,然后让 ρ 是设备的寿命.如果 Y（Y） 有日志-凹形和递减密度, $一_{2}$ 是可微的,具有 $一_{2} (0) = 0$ , $一_{2}^{'}$ 不是-消极的,增加的,和日志-凹面的,然后 ρ 是日志-凹面的.

证明的派生过程 $(S公司 (t吨), t吨 \geq 0)$ 在这种情况下 $({S公司}_{1} (t吨) : = S公司 (t吨) + U型 T型, t吨 \geq 0)$ ，其中密度为美国犹他州如（21）所示。因此，通过（18），我们得到

\frac{d日}{d日 t吨} E类 [{F类}_{Y（Y）} ({S公司}^{*} (t吨))] = 一_{2}^{'} (t吨) E类 {（f）}_{Y（Y）} (S公司 (一_{2} (t吨)) + U型 T型), t吨 > 0 .

(22)

我们的条件保证 $一_{2}$ 是凸的，因此 $(S公司 (一_{2} (t吨)) + U型 T型, t吨 \geq 0)$ 位于 $IPII公司$ 类，感谢引理3.3（a）。此外， $S公司 (一_{2} (t吨)) + U型 T型$ 是所有人的DRHR $t吨 \geq 0$ 如下所示美国犹他州具有对数凸密度，因此为DRHR（召回备注2.6）。此外， $S公司 (一_{2} (t吨))$ 始终为DRHR（因为其密度为log-convave或log-convex）。因此 $S公司 (一_{2} (t吨)) + U型 T型$ 如下，因为该属性在卷积下是闭合的[[9]第179页]。然后它很容易跟随[[17]，莱姆。1.B.44]） $S公司 (一_{2} (t吨)) + U型 T型 ↑_{相对湿度}$ 因此，结论如下（22）和定理2.9（a）。□

备注4.5前一结果中的条件非常严格。然而，随机阈值Y（Y）如果密度呈指数分布，或在区间上呈均匀分布，则密度将呈对数递减 $(0, 一)$ ，对于一些 $一 > 0$ 另一方面，函数 $一_{2} (t吨) = {e（电子）}^{c（c） t吨} - 1$ , $t吨 \geq 0$ 或 $一_{2} (t吨) = c（c） t吨$ , $t吨 \geq 0$ 对于 $c（c） > 0$ 验证命题4.4中的条件。

如果导出过程中的随机变量是按似然比排序的，那么我们可以利用定理2.9（c）推广前面的结果。技术问题是 $S公司 (t吨) + U型 T型$ （我们可以找到积分表达式，但找不到封闭形式的表达式）。作为部分结果，我们能够检查间隔上日志凹度的保存情况 $[1, \infty)$ .下一个引理将对此非常有用。

引理4.6 随机变量 $S公司 (1) + U型 T型$ ,在哪儿 $S公司 (1)$ 和 T型 是具有平均值的指数随机变量1和 U型 是统一的(他们都是独立的),是日志-凹面的.

证明让 $({N个}_{我} (t吨), t吨 \geq 0)$ , $我 = 1, 2$ 是两个独立的标准泊松过程。正在应用[[21]，厚度。6.13，第347页]，以检查 $S公司 (1) + U型 T型$ 可以等价地检查 ${N个}_{1} (θ (S公司 (1) + U型 T型))$ ，对于所有人 $θ > 0$ 泊松过程的独立和平稳增量的性质意味着

{N个}_{1} (θ (S公司 (1) + U型 T型)) =_{标准} {N个}_{1} (θ S公司 (1)) + {N个}_{2} (θ U型 T型) .

(23)

第一项具有带参数的几何分布 $第页 : = θ {(θ + 1)}^{- 1}$ （参见[[21]例如，第372页），即，

P（P） ({N个}_{1} (θ S公司 (1)) = k个) = \frac{θ^{k个}}{{(θ + 1)}^{k个 + 1}}, k个 = 0, 1, \dots .

(24)

由于（23）中的第二个和与第一个一样处于分布状态，因此替换参数θ通过随机变量θU，我们有

{第页}_{k个} : = P（P） ({N个}_{2} (θ U型 T型) = k个) = \int_{0}^{1} \frac{{(u个 θ)}^{k个}}{{(u个 θ + 1)}^{k个 + 1}} d日 u个, k个 = 0, 1, \dots .

(25)

因此，在（23）中，我们得到了几何随机变量与具有上述概率质量函数的随机变量的卷积。在[[23]，莱姆。结果表明，（23）中的几何卷积为对数卷积的一个充分条件是 ${第页}_{k个 + 1} {第页}_{k个}^{- 1} \leq θ {(θ + 1)}^{- 1}$ , $k个 = 1, 2, \dots$ . 但考虑到这一点 $u个 θ {(u个 θ + 1)}^{- 1} \leq θ {(θ + 1)}^{- 1}$ ，对于所有人 $0 \leq u个 \leq 1$ ，我们有

\frac{{第页}_{k个 + 1}}{{第页}_{k个}} = \frac{\int_{0}^{1} \frac{{(u个 θ)}^{k个 + 1}}{{(u个 θ + 1)}^{k个 + 2}} d日 u个}{\int_{0}^{1} \frac{{(u个 θ)}^{k个}}{{(u个 θ + 1)}^{k个 + 1}} d日 u个} \leq \frac{θ}{θ + 1}, k个 = 1, 2, \dots,

从而显示了 ${N个}_{1} (θ (S公司 (1) + U型 T型))$ 因此 $S公司 (1) + U型 T型$ . □

提议4.7 让 $(S公司 (t吨), t吨 \geq 0)$ 是一个伽马磨损过程.让 Y（Y） 是随机阈值,然后让 ρ 是设备的寿命.如果 Y（Y） 有日志-凹面密度,然后 ρ 是日志-凹入 $[1, \infty)$ .

证明考虑随机过程 $({S公司}^{*} (t吨), t吨 \geq 0)$ ，其中 ${S公司}^{*} (t吨) = S公司 (t吨 + 1)$ 使用（18），我们得到

\frac{d日}{d日 t吨} E类 [{F类}_{Y（Y）} (S公司 (t吨))] = E类 {（f）}_{Y（Y）} (S公司 (t吨) + U型 T型) = E类 {（f）}_{Y（Y）} ({S公司}^{*} (t吨 - 1) + U型 T型), t吨 \geq 1 .

(26)

现在考虑随机过程 ${S公司}_{1}^{*} (t吨) : = S公司 (t吨 + 1) + U型 T型$ , $t吨 \geq 0$ 。请注意 ${S公司}_{1}^{*} (t吨) ↑_{爱尔兰}$ 如下所示 ${S公司}_{1}^{*} (t吨) =_{标准} S公司 (1) + U型 T型 + {S公司}^{'} (t吨)$ ，其中 ${S公司}^{'} (t吨)$ 是形状参数的伽马随机变量t吨独立于 $S公司 (1) + U型 T型$ 因此，对于 $0 \leq {t吨}_{1} < {t吨}_{2}$ ，我们有 ${S公司}^{'} ({t吨}_{1}) \leq_{爱尔兰} {S公司}^{'} ({t吨}_{2})$ 根据引理4.6 $S公司 (1) + U型 T型$ 是对数曲线，我们有 $S公司 (1) + U型 T型 + {S公司}^{'} ({t吨}_{1}) \leq_{爱尔兰} S公司 (1) + U型 T型 + {S公司}^{'} ({t吨}_{2})$ （请参见[[17]，p.46]），从而证明了似然比序假设。然后，根据定理2.9（c） $（f） (t吨) : = E类 {（f）}_{Y（Y）} ({S公司}^{*} (t吨) + U型 T型)$ , $t吨 > 0$ ，是一个对数压缩函数，（26）也是，好像 $（f） (t吨)$ , $t吨 > 0$ 是上的一个log-convave函数 $(0, \infty)$ ，然后 $克 (t吨) : = （f） (t吨 - 1)$ , $t吨 > 1$ 是上的一个log-convave函数 $(1, \infty)$ 然后得出结论，得出（26）和（1）的对数一致性。□

备注4.8如果我们可以扩展这个事实 $S公司 (t吨) + U型 T型 ↑_{爱尔兰}$ 从 $t吨 \geq 1$ 到 $t吨 \geq 0$ ，然后我们可以证明在 $(0, \infty)$ 然而，由于密度函数的技术复杂性 $S公司 (t吨) + U型 T型$ 在这一点上，我们无法证明或反驳这一事实。

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致谢

这项工作得到了西班牙研究项目MTM2012-36603-C02-02的支持。第一和第二作者分别承认DGA S11和E64的支持。第三作者的工作得到了韩国政府（MEST）资助的韩国国家研究基金会（NRF）拨款（编号：2011-0017338）的支持。第三作者的工作还得到了韩国教育、科学和技术部资助的国家研究基金会（NRF）优先研究中心项目的支持（2009-0093827）。

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西班牙萨拉戈萨萨拉戈萨大学统计方法系，50009
卡门·桑尤萨
西班牙萨拉戈萨萨拉戈萨大学统计方法系，邮编：50018
弗朗西斯科·德国人巴迪亚
韩国首尔Ewha Womans大学统计系，邮编：120-750
纪焕查

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Sangüesa，C.，Badía，F.G.&Cha，J.H.用独立增量保存退化模型中的老化类别。J不平等申请 2014, 200 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-200

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收到:2014年2月21日
认可的:2014年5月5日
出版:2014年5月20日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-200