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不等式与应用杂志
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涉及广义分数积分算子的Grüss型不等式

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：147(2014)引用这篇文章

摘要

许多作者研究了大量涉及特殊函数的Grüss型分数次积分不等式。最近，Kalla和Rao（Matematiche LXVI（1）：57-642011）给出了两个涉及Saigo分数积分算子的Grüss型不等式。利用同样的技巧，本文建立了一类新的涉及高斯超几何函数的Grüss型分数次积分不等式。此外，我们还考虑了它们与其他相关已知结果的相关性。

MSC公司：26D10、26A33。

1简介和前言

近年来，一些涉及分数阶算子的不等式（如Erdélyi-Kober、Riemann-Liouville、Saigo分数阶积分算子等。)已被许多作者考虑（参见，例如, [1–10]; 有关最近的工作，另请参阅[11]和[12]). 上述工作在很大程度上激励了我们进行本研究。

我们首先回顾一些已知的函数和早期的工作。

让（f）和克是两个定义且可积的函数[一,b条]然后，以下不等式成立（另请参见[7], [[13]，第296页]）：

我≤（f）(x个)≤L（左）,米≤克(x个)≤M（M）.
(1.1)

让我们每个人x个∈[一,b条],我,L（左）,米和，M（M）是满足不等式（1.1）的实常数。那么以下Grüss型不等式成立：

| 1 ( b条 − 一 ) ∫ 一 b条 （f） ( x个 ) 克 ( x个 ) d日 x个 − 1 ( b条 − 一 ) ∫ 一 b条 （f） ( x个 ) d日 x个 ⋅ 1 ( b条 − 一 ) ∫ 一 b条 克 ( x个 ) d日 x个 | ≤ 1 4 ( L（左） − 我 ) ( M（M） − 米 ) ,
(1.2)

哪里 1 4 是一个最佳常数。

不等式（1.2）具有文献中出现的各种推广，例如，例如[5,6,13–16]以及其中引用的参考文献。

最近Kalla和Rao[12]给出了两个涉及Saigo分数次积分算子的Grüss型不等式。利用同样的技巧，本文建立了一些新的Grüss型分数次积分不等式，这些不等式涉及由Curiel和Galué引起的广义分数次积分算子（参见[17]). 此外，我们还考虑了它们与其他已知结果的相关联系。

在本文中，我们将研究空间上的分数次积分 C类 λ 引入于[18]定义如下。

定义1.1功能空间 C类 λ ,λ∈R（右），实数集，由所有函数组成（f）(x个),x个>0，可以表示为（f）(x个)= x个 第页 （f） 1 (x个)具有第页>λ和 （f） 1 ∈C类[0,∞)，其中C类[0,∞)是间隔中的连续函数集[0,∞).

我们定义了分数积分算子 K（K） t吨 α , β , η , δ 与高斯超几何函数关联如下。

定义1.2让（f）∈ C类 λ 。对于α>最大值{0,−(δ+η+1)},β−1<η<0,β<1和δ>−1我们定义了分数积分 K（K） t吨 α , β , η , δ （f）如下：

( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ) (x个)= Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) x个 β + δ ( 我 t吨 α , β , η , δ （f） ) (x个),
(1.3)

哪里 我 t吨 α , β , η , δ 是高斯超几何分数阶积分α定义如下。

定义1.3让α>0,δ>−1,β,η∈R（右）然后是广义分数积分 我 t吨 α , β , η , δ （用高斯超几何函数表示）阶α对于实值连续函数（f）(t吨)由定义[17]（另请参见[19])

我 t吨 α , β , η , δ { （f） ( x个 ) } = x个 − α − β − 2 δ Γ ( α ) ∫ 0 x个 t吨 δ ( x个 − t吨 ) α − 1 2 F类 1 ( α + β + δ , − η ; α ; 1 − t吨 x个 ) （f） ( t吨 ) d日 t吨 ,
(1.4)

其中函数 F类 1 2 (⋅)作为算子（1.4）的核出现的是高斯超几何函数，定义为

F类 1 2 (一,b条;c（c）;t吨)= ∑ n个 = 0 ∞ ( 一 ) n个 ( b条 ) n个 ( c（c） ) n个 t吨 n个 n个 ! ,
(1.5)

和 ( 一 ) n个 Pochhammer符号定义为(n个∈N个)、和

( 一 ) n个 =一(一+1)⋯(一+n个−1); ( 一 ) 0 =1,
（1.6）

哪里ℕ表示正整数集。

上述积分（1.4）具有以下交换性质：

我 t吨 α , β , η , δ 我 t吨 一 , b条 , c（c） , d日 （f）(x个)= 我 t吨 一 , b条 , c（c） , d日 我 t吨 α , β , η , δ （f）(x个).
(1.7)

在续集中，我们使用以下众所周知的结果来建立本文中的主要结果：

F类 1 2 (一,b条;c（c）;1)= Γ ( c（c） ) Γ ( c（c） − 一 − b条 ) Γ ( c（c） − 一 ) Γ ( c（c） − b条 ) ( ℜ ( c（c） − 一 − b条 ) > 0 ; c（c） ∈ Ξ / Z轴 0 − ) ,
(1.8)

其中Ξ和/ Z轴 0 − 分别表示复数集和非正整数集。

定义1.4两个功能（f）和克据说是上的同步函数[0,∞)如果

A类(u个,v（v）)= ( （f） ( u个 ) − （f） ( v（v） ) ) ( 克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) ) ≥0;u个,v（v）∈[0,∞).
(1.9)

接下来，我们讨论关于分数积分算子的一些结果 K（K） t吨 α , β , η , δ 已经在本工作中使用。

引理1.1 对于 μ>最大值{0,−(η−β)}−1,α>最大值{0,−(δ+η+1)};和 η−β>−1,β<1,δ+μ>−1,我们有

K（K） t吨 α , β , η , δ ( x个 μ ) = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) Γ ( δ + μ + 1 ) Γ ( μ − β + η + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) Γ ( μ − β + 1 ) Γ ( μ + δ + α + η + 1 ) x个 μ
(1.10)

和

K（K） t吨 α , β , η , δ (C类)=C类,
(1.11)

哪里 C类 是常量.

证明使用结果（1.4），（1.3）简化为

K（K） t吨 α , β , η , δ ( x个 μ ) = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) x个 β + δ Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) x个 − α − β − 2 δ Γ ( α ) × ∫ 0 x个 t吨 δ + μ ( x个 − t吨 ) α − 1 2 F类 1 ( α + β + δ , − η ; α ; 1 − t吨 x个 ) d日 t吨 .
（1.12）

使用（1.5）、（1.12）可简化为以下形式：

K（K） t吨 α , β , η , δ ( x个 μ ) = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) x个 − α − δ Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) 1 Γ ( α ) × ∑ n个 = 0 ∞ ( α + β + δ ) n个 ( − η ) n个 ( α ) n个 n个 ! x个 − n个 ∫ 0 x个 t吨 δ + μ + 1 − 1 ( x个 − t吨 ) α + n个 − 1 d日 t吨 = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) x个 − α − δ Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) 1 Γ ( α ) ∑ n个 = 0 ∞ ( α + β + δ ) n个 ( − η ) n个 ( α ) n个 n个 ! x个 − n个 × x个 δ + μ + α + n个 + 1 − 1 B类 ( δ + μ + 1 , α + n个 ) = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) Γ ( δ + μ + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) Γ ( α + δ + μ + 1 ) ∑ n个 = 0 ∞ ( α + β + δ ) n个 ( − η ) n个 ( α + δ + μ + 1 ) n个 n个 ! x个 μ = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) Γ ( δ + μ + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) Γ ( α + δ + μ + 1 ) × 2 F类 1 ( α + β + δ , − η ; α + δ + μ + 1 ; 1 ) x个 μ .
(1.13)

将结果（1.8）应用于（1.13），经过一些简化后，我们很容易得到所需的结果（1.10）。

为了证明（1.11），我们再次使用结果（1.4），并且（1.3）简化为

K（K） t吨 α , β , η , δ ( C类 ) = Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) x个 β + δ Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) x个 − α − β − 2 δ Γ ( α ) × ∫ 0 x个 t吨 δ ( x个 − t吨 ) α − 1 2 F类 1 ( α + β + δ , − η ; α ; 1 − t吨 x个 ) C类 d日 t吨 .
(1.14)

使用（1.5），（1.14）得到以下形式：

K（K） t吨 α , β , η , δ ( C类 ) = C类 Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) x个 − α − δ Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) 1 Γ ( α ) × ∑ n个 = 0 ∞ ( α + β + δ ) n个 ( − η ) n个 ( α ) n个 n个 ! x个 − n个 ∫ 0 x个 t吨 δ + 1 − 1 ( x个 − t吨 ) α + n个 − 1 d日 t吨 = C类 Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) x个 − α − δ Γ ( η − β + 1 ) Γ ( δ + 1 ) 1 Γ ( α ) ∑ n个 = 0 ∞ ( α + β + δ ) n个 ( − η ) n个 ( α ) n个 n个 ! x个 − n个 × x个 δ + α + n个 + 1 − 1 B类 ( δ + 1 , α + n个 ) = C类 Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) Γ ( α + δ + 1 ) ∑ n个 = 0 ∞ ( α + β + δ ) n个 ( − η ) n个 ( α + δ + 1 ) n个 n个 ! = C类 Γ ( 1 − β ) Γ ( α + δ + η + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) Γ ( α + δ + 1 ) 2 F类 1 ( α + β + δ , − η ; α + δ + 1 ; 1 ) .
(1.15)

使用（1.15）中的结果（1.8），经过一些简化后，我们很容易得到所需的结果（1.11）。

这就完成了引理1.1.的证明。□

引理1.2 让 小时∈ C类 λ 和 米,M（M）∈R（右） 具有 米≤小时(x个)≤M（M）.那么我们有

K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 2 ( x个 ) − ( K（K） x个 α , β , η , δ t吨 小时 ( x个 ) ) 2 = ( M（M） − K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 ( x个 ) ) ( K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 ( x个 ) − 米 ) − K（K） t吨 α , β , η , δ ( M（M） − 小时 ( x个 ) ) ( 小时 ( x个 ) − 米 ) ,
(1.16)

为所有人 x个∈[0,∞);α>0,δ>−1,和 β,η∈R（右） 具有 α+β+δ≥0 和 η≤0.

证明让小时∈ C类 λ 和米,M（M）∈R（右）;米≤小时(x个)≤M（M），对于所有人x个∈[0,∞)那么，对于任何u个,v（v）∈[0,∞)，我们有

( M（M） − 小时 ( u个 ) ) ( 小时 ( v（v） ) − 米 ) + ( M（M） − 小时 ( v（v） ) ) ( 小时 ( u个 ) − 米 ) − ( M（M） − 小时 ( u个 ) ) ( 小时 ( u个 ) − 米 ) − ( M（M） − 小时 ( v（v） ) ) ( 小时 ( v（v） ) − 米 ) = 小时 2 ( u个 ) + 小时 2 ( v（v） ) − 2 小时 ( u个 ) 小时 ( v（v） ) .
(1.17)

如果小时∈ C类 λ ，那么小时在上是可积的[0,x个],x个>0将（1.17）乘以 u个 δ ( x个 − u个 ) α − 1 Γ ( α ) 2 F类 1 (α+δ+β,−η;α;1− u个 x个 ); 使用u个∈(0,x个);x个>0并在以下方面进行整合u个从0到x个，然后应用定义1.2和引理1.1，我们得到

( M（M） − K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 ( x个 ) ) ( 小时 ( v（v） ) − 米 ) + ( M（M） − 小时 ( v（v） ) ) ( K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 ( x个 ) − 米 ) − K（K） t吨 α , β , η , δ ( M（M） − 小时 ( x个 ) ) ( 小时 ( x个 ) − 米 ) − ( M（M） − 小时 ( v（v） ) ) ( 小时 ( v（v） ) − 米 ) = K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 2 ( x个 ) + 小时 2 ( v（v） ) − 2 K（K） t吨 α , β , η , δ 小时 ( x个 ) 小时 ( v（v） ) .
(1.18)

再次将（1.18）乘以

v（v） δ ( x个 − v（v） ) α − 1 Γ ( α ) 2 F类 1 ( α + δ + β , − η ; α ; 1 − v（v） x个 ) ;v（v）∈(0,x个);x个>0,

然后结合v（v）从0到x个，我们得到了所需的结果（1.16）。这就完成了引理1.2的证明。□

2主要成果

在本节中，我们建立了两个不等式，涉及幂函数分数积分（1.3）的合成公式。

定理2.1 让 （f） 和 克 是在上定义和可积的两个函数 [一,b条] 具有 （f）,克∈ C类 λ 并满足条件(1.1)在 [0,∞).因此，我们有

| K（K） t吨 α , β , η , δ （f）克(x个)− K（K） t吨 α , β , η , δ （f）(x个) K（K） t吨 α , β , η , δ 克(x个)|≤ 1 4 (L（左）−我)(M（M）−米),
(2.1)

为所有人 x个∈[0,∞);α>0,δ>−1,和 β,η∈R（右） 具有 α+β+δ≥0 和 η≤0.

证明让我们定义一个函数

A类(u个,v（v）)= ( （f） ( u个 ) − （f） ( v（v） ) ) ( 克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) ) ( u个 , v（v） ∈ [ 0 , x个 ) ) .
(2.2)

第一次将（2.2）乘以

( u个 v（v） ) δ ( x个 − u个 ) α − 1 ( x个 − v（v） ) α − 1 ( Γ ( α ) ) 2 2 F类 1 ( α + δ + β , − η ; α ; 1 − u个 x个 ) × 2 F类 1 ( α + δ + β , − η ; α ; 1 − v（v） x个 ) ,

然后对u个和v（v）从0到x个，借助于（1.3）、（1.4）和属性（1.5），我们得到了以下结果：

1 ( Γ ( α ) ) 2 ∫ 0 x个 ∫ 0 x个 ( u个 v（v） ) δ ( x个 − u个 ) α − 1 ( x个 − v（v） ) α − 1 2 F类 1 ( α + δ + β , − η ; α ; 1 − u个 x个 ) × 2 F类 1 ( α + δ + β , − η ; α ; 1 − v（v） x个 ) A类 ( u个 , v（v） ) d日 u个 d日 v（v） = 2 K（K） t吨 α , β , η , δ （f） 克 ( x个 ) − 2 K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) .
(2.3)

利用线性算子的著名Cauchy-Schwarz不等式[[13]，等式(1.3），第296页]，我们发现

( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） 克 ( x个 ) − K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) ) 2 ≤ ( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） 2 ( x个 ) − ( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) ) 2 ) ( K（K） t吨 α , β , η , δ 克 2 ( x个 ) − ( K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) ) 2 ) .
(2.4)

自

( L（左） − （f） ( x个 ) ) ( （f） ( x个 ) − 我 ) ≥0和 ( M（M） − 克 ( x个 ) ) ( 克 ( x个 ) − 米 ) ≥0,

因此，我们

K（K） t吨 α , β , η , δ ( L（左） − （f） ( x个 ) ) ( （f） ( x个 ) − 我 ) ≥0和 K（K） t吨 α , β , η , δ ( M（M） − 克 ( x个 ) ) ( 克 ( x个 ) − 米 ) ≥0.
(2.5)

因此，通过使用引理1.2，我们得到

K（K） t吨 α , β , η , δ （f） 2 (x个)− ( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) ) 2 ≤ ( L（左） − K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) ) ( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) − 我 )
(2.6)

和

K（K） t吨 α , β , η , δ 克 2 (x个)− ( K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) ) 2 ≤ ( M（M） − K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) ) ( K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) − 米 ) .
(2.7)

使用不等式（2.6）和（2.7），（2.4）可简化为以下形式：

( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） 克 ( x个 ) − K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) ) 2 ≤ ( L（左） − K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) ) ( K（K） t吨 α , β , η , δ （f） ( x个 ) − 我 ) ( M（M） − K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) ) × ( K（K） t吨 α , β , η , δ 克 ( x个 ) − 米 ) .
(2.8)

应用众所周知的不等式4一b条≤ ( 一 + b条 ) 2 ; 和使用一,b条∈R（右）在不等式（2.8）的右侧，并对其进行简化，我们得到了所需的结果（2.1）。这就完成了定理2.1的证明。□

定理2.2 让 （f） 和 克 是两个同步功能 [0,∞).那么下面的不等式成立:

K（K） t吨 α , β , η , δ （f）克(x个)≥ K（K） t吨 α , β , η , δ （f）(x个) K（K） t吨 α , β , η , δ 克(x个),
(2.9)

为所有人 x个∈[0,∞);α>0,δ>−1,和 β,η∈R（右） 具有 α+β+δ≥0 和 η≤0.

证明对于同步功能（f）和克，不等式（1.9）适用于所有人u个,v（v）∈[0,∞).

这意味着

（f）(u个)克(u个)−（f）(v（v）)克(v（v）)≥（f）(u个)克(v（v）)+（f）(v（v）)克(u个).
(2.10)

遵循引理1.2中应用分数积分的程序 K（K） t吨 α , β , η , δ 经过一点简化，我们得到了所需的结果（2.9）。这就完成了定理2.2的证明。□

3结束语

我们考虑了上一节中得出的结果的一些后果。跟随居里和伽鲁[17]，算子（1.4）将立即简化为分别由以下关系给出的广泛研究的Saigo、Erdélyi-Kober和Riemann-Liouville型分数积分算子（另请参见[20]和[19]):

我 0 , t吨 α , β , η { （f） ( t吨 ) } = 我 t吨 α , β , η , 0 { （f） ( t吨 ) } = t吨 − α − β Γ ( α ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − τ ) α − 1 2 F类 1 ( α + β , − η ; α ; 1 − τ t吨 ) （f） ( τ ) d日 τ ( α > 0 ; β , η ∈ R（右） ) ,
(3.1)
我 α , η { （f） ( t吨 ) } = 我 t吨 α , 0 , η , 0 { （f） ( t吨 ) } = t吨 − α − η Γ ( α ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − τ ) α − 1 τ η （f）(τ)d日τ(α>0;η∈R（右）)
（3.2）

和

R（右） α { （f） ( t吨 ) } = 我 t吨 α , − α , η , 0 { （f） ( t吨 ) } = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − τ ) α − 1 （f）(τ)d日τ(α>0).
(3.3)

评论我们得到了算子的特殊情况 K（K） t吨 α , β , η , δ 通过设置如下δ=0,δ=β=0和δ=0和β=−α在（1.2）中。立即定义1.2将分别简化为Saigo、Erdélyi-Kober和Riemann-Liouville型分数积分算子，如下所示：

( K（K） t吨 α , β , η （f） ) (x个)= Γ ( 1 − β ) Γ ( α + η + 1 ) Γ ( η − β + 1 ) x个 β ( 我 0 α , β , η , t吨 （f） ) (x个),
(3.4)
( K（K） t吨 α , η （f） ) (x个)= Γ ( η + α + 1 ) Γ ( 1 + η ) ( 我 α , η （f） ) (x个)
(3.5)

和

( K（K） t吨 α （f） ) (x个)= Γ ( α + 1 ) x个 α ( R（右） α （f） ) (x个),
(3.6)

哪里( 我 0 α , β , η ,t吨),( 我 α , η )和( R（右） α )分别由（3.1）、（3.2）和（3.3）给出。

我们通过进一步指出，在这里获得的结果有助于导出涉及这些相对更熟悉的分数积分算子的各种分数积分不等式，从而结束了我们目前的研究。例如，如果我们考虑δ=0并利用（3.1），定理2.1和2.2分别提供了已知的由Kalla和Rao引起的分数次积分不等式[[12]，第60-62页，等式(14)和(22)].

再次，对于δ=0和β=0在定理2.1和2.2中，利用关系（3.2），定理2.1和定理2.2分别提供了已知的由Kalla和Rao引起的分数次积分不等式[[12]，第62页，等式(24)和(25)].

最后，采取δ=0和β=−α在定理2.1和2.2中，由于Dahmani，得出了已知结果等人。[[5]，定理3.1]。

值得注意的是，本文得到的结果具有一般性，并对积分不等式和分数阶微积分理论作出了一些贡献。此外，它们有望在分数阶边值问题和分数阶偏微分方程中用于建立解的唯一性。

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致谢

作者感谢有价值的裁判提出了有益的建议。本研究得到了山西省自然科学基金青年科学基金（No.2012021002-3）的资助。

作者信息

作者和附属机构

  1. 山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾，041004

    王国涛

  2. 印度拉贾斯坦邦斋浦尔阿南德国际工程学院数学系，邮编：303012

    普拉文·阿加瓦尔

  3. 印度巴辛达法特女子学院数学系，151103

    梅哈尔·钱德

作者
  1. 王国涛
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  2. 普拉文·阿加瓦尔
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  3. 梅哈尔·昌德
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通讯作者

与的通信普拉文·阿加瓦尔.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者都有同等的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Wang，G.，Agarwal，P.&Chand，M.涉及广义分数积分算子的某些Grüss型不等式。J不平等申请 2014，147（2014年）。https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-147

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