Common fixed point results for α-ψ-contractions on a metric space endowed with graph

Hussain, Nawab; Arshad, Muhammad; Shoaib, Abdullah; Fahimuddin

doi:10.1186/1029-242X-2014-136

研究
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出版：2014年3月31日

的公共不动点结果α-ψ-赋图度量空间上的压缩

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：136(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

Abdeljawad（不动点理论应用，2013:19）介绍了α-对于一对映射是可容许的。最近的Salimi等。【不动点理论应用，2013:151】修改了α-ψ-压缩映射。在本文中，我们引入了α-关于的容许映射η并修改α-ψ-完全错位度量空间中闭球上一对映射的压缩条件，并建立了两个、三个和四个映射的公共不动点结果。作为应用，我们导出了一些新的公共不动点定理ψ-定义在赋图的错位度量空间和预定错位度量空上的图收缩。构造了一些比较示例，说明了我们的结果相对于文献中现有结果的优越性。

MSC公司：46S40、47H10、54H25。

1简介和前言

在整个域上满足一定压缩条件的映射的不动点结果一直是严格研究活动的中心，例如，请参见[1–33]. 从应用程序的角度来看，情况还不完全令人满意，因为映射经常发生T型不是整个空间的收缩X（X）而仅仅是在一个子集上年属于X（X）.最近的纵火等。[8]证明了完全错位度量空间中闭球上满足压缩条件的映射的不动点的存在性（另请参见[9,14,15,25,33]). 错位拓扑的概念在逻辑编程语义的上下文中有有用的应用（请参见[5,17,29]).

不动点的存在性α-ψ-收缩的和α-一些研究人员已经研究了完备度量空间中的可容许映射（参见[18–20]以及其中的参考）。本文讨论了α-ψ-完全错位度量空间中闭合球上的压缩型映射。我们的结果改进了以下几个著名的近期常规结果[2,8,31]. 我们还导出了一些新的公共不动点定理ψ-预定度量空间上的图形收缩和有序收缩。我们举例说明了当相应的结果不可用时，如何使用这些结果。

符合[2,7,8,17,31]，在续集中需要以下定义和结果。

定义1.1[17]

让X（X）成为非空集合并让 ${d日}_{我} : X（X） \times X（X） \to [0, \infty)$ 是一个函数，称为错位度量（或简单地 ${d日}_{我}$ -公制）如果以下条件适用于任何 $x个, 年, z（z） \in X（X）$ :

（i）
如果 ${d日}_{我} (x个, 年) = 0$ ，然后 $x个 = 年$ ;
（ii）
${d日}_{我} (x个, 年) = {d日}_{我} (年, x个)$ ;
（iii）
${d日}_{我} (x个, 年) \leq {d日}_{我} (x个, z（z）) + {d日}_{我} (z（z）, 年)$ .

这对 $(X（X）, {d日}_{我})$ 称为错位度量空间。很明显，如果 ${d日}_{我} (x个, 年) = 0$ ，然后从（i）， $x个 = 年$ .但如果 $x个 = 年$ , ${d日}_{我} (x个, 年)$ 不能为0。

定义1.2[17]

A序列 ${{x个}_{n个}}$ 在一个 ${d日}_{我}$ -度量空间 $(X（X）, {d日}_{我})$ 如果给定，则称为Cauchy序列 $ε > 0$ ，有对应的 ${n个}_{0} \in N个$ 这样所有人 $n个, 米 \geq {n个}_{0}$ 我们有 ${d日}_{我} ({x个}_{米}, {x个}_{n个}) < ε$ .

定义1.3[17]

A序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 ${d日}_{我}$ -度量空间收敛于 ${d日}_{我}$ 如果存在 $x个 \in X（X）$ 这样的话 ${d日}_{我} ({x个}_{n个}, x个) \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ 在这种情况下，x个称为极限 ${{x个}_{n个}}$ 然后我们写 ${x个}_{n个} \to x个$ .

定义1.4[17]

A类 ${d日}_{我}$ -度量空间 $(X（X）, {d日}_{我})$ 如果中的每个Cauchy序列X（X）收敛到中的一点X（X）.

定义1.5让X（X）是非空集，并且 $T型, （f） : X（X） \to X（X）$ .A分 $年 \in X（X）$ 称为重合点T型和（f）如果存在一个点 $x个 \in X（X）$ 这样的话 $年 = T型 x个 = （f） x个$ ，在这里x个称为重合点T型和（f）.映射T型,（f）如果他们在重合点通勤，则称为弱相容(即, $T型（f） x个 = （f） T型 x个$ 无论何时 $T型 x个 = （f） x个$ ).

我们需要以下引理以供后续使用。

引理1.6[8]

让 X（X） 成为非-空集和 $（f） : X（X） \to X（X）$ 是一个函数.然后就有了 $E类 \subset X（X）$ 这样的话 $（f） E类 = （f） X（X）$ 和 $（f） : E类 \to X（X）$ 是一个-到-一.

引理1.7[7]

让 X（X） 成为非-空集和映射 $S公司, T型, （f） : X（X） \to X（X）$ 有一个独特的巧合点 v（v） 在里面 X（X）.如果 $(S公司, （f）)$ 和 $(T型, （f）)$ 是弱相容的,然后 S公司,T型,（f） 有唯一的公共不动点.

让Ψ表示所有非递减函数的族 $ψ : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ 这样的话 $\sum_{n个 = 1}^{+ \infty} ψ^{n个} (t吨) < + \infty$ 对所有人来说 $t吨 > 0$ ，其中 $ψ^{n个}$ 是n个第个迭代ψ.

引理1.8[31]

如果 $ψ \in Ψ$ ,然后 $ψ (t吨) < t吨$ 对所有人来说 $t吨 > 0$ .

定义1.9[2]

让 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 和 $α : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 我们说这对 $(S公司, T型)$ 是α-允许，如果 $x个, 年 \in X（X）$ 这样的话 $α (x个, 年) \geq 1$ ，那么我们有 $α (S公司 x个, T型年) \geq 1$ 和 $α (T型 x个, S公司年) \geq 1$ .

定义1.10[31]

让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 和 $α, η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 两个功能。我们这么说T型是α-关于的容许映射η如果 $x个, 年 \in X（X）$ 这样的话 $α (x个, 年) \geq η (x个, 年)$ ，那么我们有 $α (T型 x个, T型年) \geq η (T型 x个, T型年)$ 注意，如果我们 $η (x个, 年) = 1$ ，然后T型被称为α-容许映射[32].

2公共不动点导致错位度量空间

我们首先扩展了α-η-映射对的可容许性。

定义2.1让 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 和 $α, η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 两个功能。我们说这对 $(S公司, T型)$ 是α-可接受的η如果 $x个, 年 \in X（X）$ 这样的话 $α (x个, 年) \geq η (x个, 年)$ ，那么我们有 $α (S公司 x个, T型年) \geq η (S公司 x个, T型年)$ 和 $α (T型 x个, S公司年) \geq η (T型 x个, S公司年)$ 此外，如果我们采取 $η (x个, 年) = 1$ ，然后是这对 $(S公司, T型)$ 被称为α-如果我们接受， $α (x个, 年) = 1$ 然后我们说这对 $(S公司, T型)$ 是η-亚容许映射。如果我们采取 $η (x个, 年) = 1$ ，然后我们得到Abdeljawad的定义1[2]. 此外，如果我们采取 $S公司 = T型$ ，我们得到定义1.10。

定理2.2 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是一个完全错位的度量空间 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 是两个映射.假设存在两个函数, $α, η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 这样，这对 $(S公司, T型)$ 是 α-可接受的 η.对于 $第页 > 0$ , ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ ,和 $ψ \in Ψ$ ,假设

x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 对)}, α (x个, 年) \geq η (x个, 年) ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年))

(1)

和

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 对, 为所有人 j个 \in N个 .

(2)

假设以下断言成立:

（i）
$α ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq η ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})$ ;
（ii）
对于任何序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq η ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ 和 ${x个}_{n个} \to u个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ 然后 $α ({x个}_{n个}, u个) \geq η ({x个}_{n个}, u个)$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ .

那么就存在一个点 ${x个}^{*}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}^{*} = S公司 {x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ .

证明让 ${x个}_{1}$ 在里面X（X）是这样的 ${x个}_{1} = S公司 {x个}_{0}$ 和 ${x个}_{2} = T型 {x个}_{1}$ 。继续这个过程，我们构造一个序列 ${x个}_{n个}$ 中的个点X（X）这样的话

{x个}_{2 我 + 1} = S公司 {x个}_{2 我}, 和 {x个}_{2 我 + 2} = T型 {x个}_{2 我 + 1}, 其中 我 = 0, 1, 2, \dots .

根据假设 $α ({x个}_{0}, {x个}_{1}) \geq η ({x个}_{0}, {x个}_{1})$ 和这对 $(S公司, T型)$ 是α-可接受的η，我们有， $α (S公司 {x个}_{0}, T型 {x个}_{1}) \geq η (S公司 {x个}_{0}, T型 {x个}_{1})$ 由此我们推断 $α ({x个}_{1}, {x个}_{2}) \geq η ({x个}_{1}, {x个}_{2})$ 这也意味着 $α (T型 {x个}_{1}, S公司 {x个}_{2}) \geq η (T型 {x个}_{1}, S公司 {x个}_{2})$ .以这种方式继续下去，我们获得 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq η ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ 首先，我们展示 ${x个}_{n个} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .使用不等式（2），我们得到

{d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \leq 第页 .

由此可见

{x个}_{1} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)} .

让 ${x个}_{2}, \dots, {x个}_{j个} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 对一些人来说 $j个 \in N个$ .如果 $j个 = 2 我 + 1$ ，其中 $我 = 0, 1, 2, \dots \frac{j个负极 1}{2}$ 然后利用不等式（1），我们得到

\begin{aligned} {d日}_{我} ({x个}_{2 我 + 1}, {x个}_{2 我 + 2}) & = {d日}_{我} (S公司 {x个}_{2 我}, T型 {x个}_{2 我 + 1}) \\ \leq ψ ({d日}_{我} ({x个}_{2 我}, {x个}_{2 我 + 1})) \\ \leq ψ^{2} ({d日}_{我} ({x个}_{2 我 负极 1}, {x个}_{2 我})) \\ \leq \dots \leq ψ^{2 我 + 1} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) . \end{aligned}

因此，我们有

{d日}_{我} ({x个}_{2 我 + 1}, {x个}_{2 我 + 2}) \leq ψ^{2 我 + 1} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) .

(3)

如果 $j个 = 2 我 + 2$ ，则作为 ${x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{j个} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 其中( $我 = 0, 1, 2, \dots, \frac{j个负极 2}{2}$ )，我们得到，

{d日}_{我} ({x个}_{2 我 + 2}, {x个}_{2 我 + 三}) \leq ψ^{2 (我 + 1)} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) .

(4)

因此，从不等式（3）和（4）可以看出

{d日}_{我} ({x个}_{j个}, {x个}_{j个 + 1}) \leq ψ^{j个} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) .

(5)

现在，

\begin{array}{rcl} {d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{j个 + 1}) & = & {d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1}) + {d日}_{我} ({x个}_{1}, {x个}_{2}) + {d日}_{我} ({x个}_{2}, {x个}_{三}) + \dots + {d日}_{我} ({x个}_{j个}, {x个}_{j个 + 1}) \\ \leq & \sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) \\ \leq & 第页 . \end{array}

因此 ${x个}_{j个 + 1} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .因此 ${x个}_{n个} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 现在不等式（5）可以写成

{d日}_{我} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq ψ^{n个} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})), 为所有人 n个 \in N个 .

(6)

修复 $ε > 0$ 然后让 $n个 (ε) \in N个$ 这样的话 $\sum ψ^{n个} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) < ε$ .让 $n个, 米 \in N个$ 具有 $米 > n个 > k个 (ε)$ ，然后利用三角形不等式，我们得到

\begin{array}{rcl} {d日}_{我} ({x个}_{n个}, {x个}_{米}) & \leq & \sum_{k个 = n个}^{米 负极 1} {d日}_{我} ({x个}_{k个}, {x个}_{k个 + 1}) \leq \sum_{k个 = n个}^{米 负极 1} ψ^{k个} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) \\ \leq & \sum_{n个 \geq n个 (ε)} ψ^{k个} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, {x个}_{1})) < ε . \end{array}

因此我们证明了 ${{x个}_{n个}}$ 是Cauchy序列 $(\bar{B类 ({x个}_{0}, 对)}, {d日}_{我})$ .由于完全错位公制空间中的每个闭合球都是完整的，因此存在 ${x个}^{*} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}_{n个} \to {x个}^{*}$ 。此外

\underset{n个 \to \infty}{极限} {d日}_{我} ({x个}_{n个}, {x个}^{*}) = 0 .

(7)

另一方面，根据（ii），我们有

α ({x个}^{*}, {x个}_{n个}) \geq η ({x个}^{*}, {x个}_{n个}) 为所有人 n个 \in N个 \cup {0} .

(8)

现在使用三角形不等式，结合（1）和（8），我们得到

{d日}_{我} (S公司 {x个}^{*}, {x个}_{2 我 + 2}) \leq ψ ({d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}_{2 我 + 1})) < {d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}_{2 我 + 1}) .

出租 $我 \to \infty$ 通过使用不等式（7），我们得到 ${d日}_{我} (S公司 {x个}^{*}, {x个}^{*}) < 0$ .因此 $S公司 {x个}^{*} = {x个}^{*}$ 。类似地，使用

{d日}_{我} (T型 {x个}^{*}, {x个}_{2 我 + 1}) \leq ψ ({d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}_{2 我})) < {d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}_{2 我}),

我们获得 ${d日}_{我} (T型 {x个}^{*}, {x个}^{*}) = 0$ 也就是说， $T型 {x个}^{*} = {x个}^{*}$ .因此S公司和T型有一个共同的固定点 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ . □

如果 $η (x个, 年) = 1$ 对所有人来说 $x个, 年 \in X（X）$ 在定理2.2中，我们得到了以下结果。

推论2.3 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是一个完全错位的度量空间 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ , $第页 > 0$ 和 ${x个}_{0}$ 成为任意点 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设存在 $α : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 这样，这对 $(S公司, T型)$ 是 α-可接受的.对于 $ψ \in Ψ$ ,假设

x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}, α (x个, 年) \geq 1 ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年))

和

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页 为所有人 j个 \in N个 .

假设以下断言成立:

（i）
$α ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
（ii）
对于任何序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ 和 ${x个}_{n个} \to u个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 对)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ 然后 $α ({x个}_{n个}, u个) \geq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ .

那么就存在一个点 ${x个}^{*}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}^{*} = S公司 {x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ .

如果 $α (x个, 年) = 1$ 对所有人来说 $x个, 年 \in X（X）$ 在定理2.2中，我们得到了以下结果。

推论2.4 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是一个完全错位的度量空间 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 是两个映射.假设存在 $η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 这样，这对 $(S公司, T型)$ 是 η-不可接受的.对于 $ψ \in Ψ$ 和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 对)}$ ,假设

x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}, η (x个, 年) \leq 1 ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年))

和

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页 为所有人 j个 \in N个 .

假设以下断言成立:

（i）
$η ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \leq 1$ ;
（ii）
对于任何序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $η ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ 和 ${x个}_{n个} \to u个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ 然后 $η ({x个}_{n个}, u个) \leq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ .

那么就存在一个点 ${x个}^{*}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}^{*} = S公司 {x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ .

推论2.5（第2.2条定理[32])

让 $(X（X）, d日)$ 是一个完整的度量空间，并且 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 成为 α-容许映射.假设 $ψ \in Ψ$ ,

α (x个, 年) d日 (S公司 x个, S公司 年) \leq ψ (d日 (x个, 年))

为所有人保留 $x个, 年 \in X（X）$ .阿尔索,假设以下断言成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
（ii）
对于任何序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 X（X） 具有 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,我们有 $α ({x个}_{n个}, x个) \geq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ .

然后 S公司 有一个固定点.

定理2.6 添加条件“if ${x个}^{*}$ 是中的任何公共固定点 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 属于 S公司 和 T型,x个 是…的任何固定点 S公司 或 T型 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 对)}$ ,然后 $α (x个, {x个}^{*}) \geq η (x个, {x个}^{*})$ “到定理的假设2.2,S公司 和 T型 有唯一的公共不动点 ${x个}^{*}$ 和 ${d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}^{*}) = 0$ .

证明假设 $年^{*}$ 是另一个固定点T型在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 那么，根据假设， $α ({x个}^{*}, 年^{*}) \geq η ({x个}^{*}, 年^{*})$ ,

{d日}_{我} ({x个}^{*}, 年^{*}) = {d日}_{我} (S公司 {x个}^{*}, T型 年^{*}) \leq ψ ({d日}_{我} ({x个}^{*}, 年^{*})) .

与事实相矛盾的是 $t吨 > 0$ , $ψ (t吨) < t吨$ .所以 ${x个}^{*} = 年^{*}$ .因此T型除之外没有固定点 ${x个}^{*}$ 类似地，S公司除之外没有固定点 ${x个}^{*}$ .现在， $α ({x个}^{*}, {x个}^{*}) \geq η ({x个}^{*}, {x个}^{*})$ ，然后

{d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}^{*}) = {d日}_{我} (S公司 {x个}^{*}, T型 {x个}^{*}) \leq ψ ({d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}^{*})) .

这意味着

{d日}_{我} ({x个}^{*}, {x个}^{*}) = 0 .

□

例2.7让 $X（X） = 问^{+} \cup {0}$ 和 ${d日}_{我} : X（X） \times X（X） \to X（X）$ 由定义 ${d日}_{我} (x个, 年) = x个 + 年$ .然后 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是完全错位的度量空间（参见[8]). 让 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 由定义

S公司 x个 = {\begin{matrix} \frac{x个}{7} & 如果 x个 \in [0, 1] \cap X（X）, \\ x个 负极 \frac{1}{2} & 如果 x个 \in (1, \infty) \cap X（X）, \end{matrix}

和

T型 x个 = {\begin{matrix} \frac{2 x个}{7} & 如果 x个 \in [0, 1] \cap X（X）, \\ x个 负极 \frac{1}{三} & 如果 x个 \in (1, \infty) \cap X（X） . \end{matrix}

考虑到， ${x个}_{0} = 1$ , $第页 = 2$ , $ψ (t吨) = \frac{t吨}{三}$ 和 $α (x个, 年) = 2$ .现在 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)} = [0, 1] \cap X（X）$ 。此外，

\begin{aligned} {d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) = {d日}_{我} (1, S公司 1) = {d日}_{我} (1, \frac{1}{7}) = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}, \\ \sum_{我 = 0}^{n个} ψ^{n个} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) = \frac{8}{7} \sum_{我 = 0}^{n个} \frac{1}{三^{n个}} < \frac{三}{2} (\frac{8}{7}) = \frac{12}{7} < 2 . \end{aligned}

此外，如果 $x个, 年 \in (1, \infty) \cap X（X）$ ，然后

\begin{aligned} 三 x个 + 三 年 负极 \frac{5}{2} > x个 + 年, \\ x个 + 年 负极 \frac{5}{6} > \frac{x个 + 年}{三}, \\ x个 + 年 负极 \frac{5}{6} > ψ (x个 + 年), \\ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) > ψ ({d日}_{我} (x个, 年)) . \end{aligned}

那么收缩状态就不会持续下去了X（X）此外，如果 $x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ ，然后

\begin{aligned} \frac{三 x个}{7} + \frac{6 年}{7} \leq x个 + 年, \\ \frac{x个}{7} + \frac{2 年}{7} \leq \frac{x个 + 年}{三}, \\ \frac{x个}{7} + \frac{2 年}{7} \leq ψ (x个 + 年), \\ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年)) . \end{aligned}

因此，满足了推论2.3的所有条件，并且S公司和T型有一个公共不动点0。

现在，我们应用定理2.6来获得完全错位度量空间中闭合球上三个映射的唯一公共不动点。

定理2.8 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是错位度量空间, $S公司, T型, （f） : X（X） \to X（X）$ 这样的话 $S公司 X（X） \cup T型 X（X） \subset （f） X（X）$ , $第页 > 0$ 和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设存在两个函数, $α, η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ α-可接受的 η 和 $ψ \in Ψ$ 这样的话

为所有人 （f） x个, （f） 年 \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}, α (（f） x个, （f） 年) \geq η (（f） x个, （f） 年) ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (（f） x个, （f） 年))

(9)

和

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} (（f） {x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页 为所有人 j个 \in N个 .

(10)

假设

（i）
这对 $(S公司, T型)$ 和 （f） 是 α-可接受的 η;
（ii）
$α (（f） {x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq η (（f） {x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq η ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})$ 对所有人来说 n个和 ${x个}_{n个} \to u个 \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ 然后 $α ({x个}_{n个}, u个) \geq η ({x个}_{n个}, u个)$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ ;
（iv）
如果外汇 任何点都在 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $S公司 x个 = T型 x个 = （f） x个$ 和费伊 在任何一点上 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $S公司年 = （f）年$ 或 $T型年 = （f）年$ ,然后 $α (（f） x个, （f）年) \geq η (（f） x个, （f）年)$ ;
（v）
外汇 是的完备子空间 X（X） 和 $(S公司, （f）)$ 和 $(T型, （f）)$ 是弱相容的.

然后 S公司,T型,和 （f） 有唯一的公共不动点 法兹 在里面 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ .此外, ${d日}_{我} (（f） z（z）, （f） z（z）) = 0$ .

证明根据引理1.6，存在 $E类 \subset X（X）$ 这样的话 $（f） E类 = （f） X（X）$ 和 $（f） : E类 \to X（X）$ 是一对一的。现在开始 $S公司 X（X） \cup T型 X（X） \subset （f） X（X）$ ，我们定义了两个映射 $克, 小时 : （f） E类 \to （f） E类$ 通过 $克 (（f） x个) = S公司 x个$ 和 $小时 (（f） x个) = T型 x个$ 分别是。自（f）是一对一的E类，然后克,小时定义明确。现在 $（f） {x个}_{0} \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)} \subseteq （f） X（X）$ .然后 $（f） {x个}_{0} \in （f） X（X）$ .让 $年_{0} = （f） {x个}_{0}$ ，选择一个点 $年_{1}$ 在里面外汇这样的话 $年_{1} = 克 (年_{0})$ 然后让 $年_{2} = 小时 (年_{1})$ .继续此过程并选择 $年_{n个}$ 在里面外汇这样的话

年_{2 我 + 1} = 克 (年_{2 我}) 和 年_{2 我 + 2} = 小时 (年_{2 我 + 1}), 其中 我 = 0, 1, 2, \dots .

作为（f）是α-那么是可以接受的 $α (x个, 年) \geq η (x个, 年)$ 暗示

α (（f） x个, （f） 年) \geq η (（f） x个, （f） 年) .

此外，如果 $(S公司, T型)$ 是α-那么是可以接受的 $α (x个, 年) \geq η (x个, 年)$ 暗示

\begin{aligned} α (S公司 x个, T型 年) = α (克 (（f） x个), 小时 (（f） 年)) \geq η (克 (（f） x个), 小时 (（f） 年)) 和 \\ α (小时 (（f） x个), 克 (（f） 年)) \geq η (小时 (（f） x个), 克 (（f） 年)) . \end{aligned}

这意味着这对 $(克, 小时)$ 是α-可接受。作为 $α (年_{0}, 年_{1}) \geq η (年_{0}, 年_{1}) ⟹ α (克年_{0}, 小时年_{1}) \geq η (克年_{0}, 小时年_{1}) ⟹ α (小时年_{1}, 克年_{2}) \geq η (小时年_{1}, 克年_{2})$ 。继续这一过程，我们 $α (年_{n个}, 年_{n个 + 1}) \geq η (年_{n个}, 年_{n个 + 1})$ 遵循与定理2.2类似的论点， $年_{n个} \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 也通过不等式（10）。

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} (年_{0}, 克 年_{0})) \leq 第页 为所有人 j个 \in N个 .

请注意，对于 $（f） x个, （f）年 \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 和 $α (（f） x个, （f）年) \leq η (（f） x个, （f）年)$ 然后通过使用不等式（9），我们得到

{d日}_{我} (克 (（f） x个), 小时 (（f） 年)) \leq ψ ({d日}_{我} (（f） x个, （f） 年)) .

作为外汇是一个完备空间，满足定理2.6的所有条件，我们推断存在唯一的公共不动点 $（f） z（z） \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 属于克和小时。现在 $（f） z（z） = 克 (（f） z（z）) = 小时 (（f） z（z）)$ 或 $（f） z（z） = S公司 z（z） = T型 z（z） = （f） z（z）$ .因此法兹是…的巧合点S公司,T型和（f）.让 $v（v） \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 是另一个巧合点（f）,S公司和T型那么就有了 $u个 \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $v（v） = （f） u个 = S公司 u个 = T型 u个$ ，这意味着 $（f） u个 = 克 (（f） u个) = 小时 (（f） u个)$ .矛盾是 $（f） z（z） \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 是唯一的公共不动点克和小时.因此 $v（v） = （f） z（z）$ .因此S公司,T型和（f）有一个独特的巧合 $（f） z（z） \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 对)}$ 。从现在起 $(S公司, （f）)$ 和 $(T型, （f）)$ 弱相容，由引理1.7法兹是唯一的公共不动点S公司,T型、和（f）. □

类似地，我们可以应用我们的定理2.6来获得完全错位度量空间中四个映射的唯一公共不动点和重合点。通过使用定理2.8的证明中给出的技巧，人们可以很容易地得出结论[8].

定理2.9 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是一个错位的度量空间 S公司,T型,克和 （f） 做自己-上的映射 X（X） 这样的话 $S公司 X（X）, T型 X（X） \subset （f） X（X） = 克 X（X）$ , $第页 > 0$ 和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设存在两个函数 $α, η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 是 α-可接受的 η 和 $ψ \in Ψ$ 这样的话

为所有人 （f） x个, 克 年 \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}, α (（f） x个, 克 年) \leq η (（f） x个, 克 年) ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (（f） x个, 克 年))

和

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} (（f） {x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页 为所有人 j个 \in N个 .

假设

（i）
这两对 $(S公司, T型)$ 和 $(（f）, 克)$ 是 α-可接受的 η;
（ii）
$α (（f） {x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq η (（f） {x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq η ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})$ 对所有人来说 n个和 ${x个}_{n个} \to u个 \in \bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ 然后 $α ({x个}_{n个}, u个) \geq η ({x个}_{n个}, u个)$ 对所有人来说 n个;
（iv）
如果 $（f） x个 = 克 x个$ 里面有点吗 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $S公司 x个 = T型 x个 = （f） x个$ 和 $（f）年 = 克年$ 在任何一点上 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $S公司年 = （f）年$ 或 $T型年 = （f）年$ ,然后 $α (（f） x个, （f）年) \geq η (（f） x个, （f）年)$ ;
（v）
外汇 是的完备子空间 X和 $(S公司, （f）)$ 和 $(T型, 克)$ 是弱相容的.

然后 S公司,T型,（f）,和克 有唯一的公共不动点 法兹 在里面 $\bar{B类 (（f） {x个}_{0}, 第页)}$ .

定理2.2的部分度量版本如下所示。

定理2.10 让 $(X（X）, 第页)$ 是完全部分度量空间, $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 是两张地图, $第页 > 0$ 和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设存在两个函数, $α, η : X（X） \times X（X） \to [0, + \infty)$ 这样的话 $(S公司, T型)$ 是 α-可接受的 η 和 $ψ \in Ψ$ .假设

x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}, α (x个, 年) \geq η (x个, 年) ⟹ 第页 (S公司 x个, T型 年) \leq ψ (第页 (x个, 年))

和

\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} (第页 ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页 + 第页 ({x个}_{0}, {x个}_{0}) 为所有人 j个 \in N个 .

假设以下断言成立:

（i）
$α ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq η ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})$ ;
（ii）
对于任何序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq η ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ 和 ${x个}_{n个} \to u个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ 然后 $α ({x个}_{n个}, u个) \geq η ({x个}_{n个}, u个)$ 对所有人来说 $n个 \in N个 \cup {0}$ .

那么就存在一个点 ${x个}^{*}$ 在里面 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}^{*} = S公司 {x个}^{*} = T型 {x个}^{*}$ .

3错位度量空间中图形收缩的不动点结果

与Jachymski一致[24]，让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是一个错位度量空间，Δ表示笛卡尔积的对角线 $X（X） \times X（X）$ 考虑一个有向图G公司这样的设置 $V（V） (G公司)$ 其顶点的X（X）、和集合 $E类 (G公司)$ 它的边包含所有循环，即, $E类 (G公司) \supseteq Δ$ 。我们假设G公司没有平行边，所以我们可以识别G公司和这对 $(V（V） (G公司), E类 (G公司))$ 此外，我们可以治疗G公司作为加权图（请参见[24])通过为每条边指定其顶点之间的距离。如果x个和年是图中的顶点G公司，然后是中的路径G公司从x个到年长度为米( $米 \in N个$ )是一个序列 ${{x个}_{我}}_{我 = 0}^{米}$ 属于 $米 + 1$ 顶点，以便 ${x个}_{0} = x个$ , ${x个}_{米} = 年$ 和 $({x个}_{n个负极 1}, {x个}_{n个}) \in E类 (G公司)$ 对于 $我 = 1, \dots, 米$ .图表G公司如果任意两个顶点之间存在路径，则为连接。G公司弱连接，如果 $\tilde{G公司}$ 已连接（有关详细信息，请参阅[1,11,21,24]).

定义3.1[24]

我们说一个映射 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是巴拿赫人G公司-收缩或简单G公司-收缩，如果T型保留的边G公司,即,

\forall x个, 年 \in X（X）, (x个, 年) \in E类 (G公司) \Rightarrow (T型 x个, T型 年) \in E类 (G公司)

和T型减少的边的权重G公司按以下方式：

\exists k个 \in (0, 1), \forall x个, 年 \in X（X）, (x个, 年) \in E类 (G公司) \Rightarrow d日 (T型 x个, T型 年) \leq k个 d日 (x个, 年) .

现在我们扩展了G公司-这对映射的收缩如下。

定义3.2让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是赋有图的错位度量空间G公司和 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 成为自我映射。假设 $第页 > 0$ , ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 和 $ψ \in Ψ$ 以下条件成立：

\begin{aligned} \forall x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}, (x个, 年) \in E类 (G公司) \Rightarrow (S公司 x个, T型 年) \in E类 (G公司) 和 (T型 x个, S公司 年) \in E类 (G公司) \\ \forall x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}, (x个, 年) \in E类 (G公司) \Rightarrow {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年)) . \end{aligned}

然后映射 $(S公司, T型)$ 被称为ψ-图形压缩映射。如果 $ψ (t吨) = k个 t吨$ 对一些人来说 $k个 \in [0, 1)$ 然后我们说 $(S公司, T型)$ 是G公司-压缩映射。

定理3.3 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是赋有图的完全错位度量空间 G公司 和 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 是 ψ-图形压缩映射和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
$({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \in E类 (G公司)$ 和 $\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页$ 对所有人来说 $j个 \in N个$ ;
（ii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 $({x个}_{n个}, x个) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 和 T型 有一个共同的固定点.

证明定义， $α : {X（X）}^{2} \to (负极 \infty, + \infty)$ 通过 $α (x个, 年) = {\begin{cases} 1, & 如果 (x个, 年) \in E类 (G公司), \\ 0, & 否则。 \end{cases}$ 首先我们证明了映射 $(S公司, T型)$ 是α-可接受。让 $x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 具有 $α (x个, 年) \geq 1$ ，然后 $(x个, 年) \in E类 (G公司)$ .作为 $(S公司, T型)$ 是ψ-图形压缩映射，我们有 $(S公司 x个, T型年) \in E类 (G公司)$ 和 $(T型 x个, S公司年) \in E类 (G公司)$ 也就是说， $α (S公司 x个, T型年) \geq 1$ 和 $α (T型 x个, S公司年) \geq 1$ .因此S公司,T型是α-容许映射。从（i）存在 ${x个}_{0}$ 这样的话 $({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \in E类 (G公司)$ 也就是说， $α ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \geq 1$ .

如果 $x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 具有 $α (x个, 年) \geq 1$ ，然后 $(x个, 年) \in E类 (G公司)$ 现在，从S公司,T型是ψ-图形压缩映射， ${d日}_{我} (S公司 x个, T型年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年))$ 也就是说，

α (x个, 年) \geq 1 ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型 年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年)) .

让 ${{x个}_{n个}} \subset \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 具有 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to \infty$ 和 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .然后 $({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ 因此，通过（ii）我们 $({x个}_{n个}, x个) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 也就是说， $α ({x个}_{n个}, x个) \geq 1$ 因此，满足了推论2.3的所有条件，并且S公司和T型有一个共同的不动点。

定理3.2（2^o个) [24]和定理2.3（2）[12]扩展到ψ-错位度量空间上定义的图形压缩对如下。□

定理3.4 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是一个具有图的完全错位度量空间 G公司 和 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 是 ψ-图压缩映射和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
$({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \in E类 (G公司)$ 和 $\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页$ 对所有人来说 $j个 \in N个$ ;

（ii） $(x个, z（z）) \in E类 (G公司)$ 和 $(z（z）, 年) \in E类 (G公司)$ 意味着 $(x个, 年) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $x个, 年, z（z） \in X（X）$ ,那就是, $E类 (G公司)$ 是一个准-秩序[24]如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后是一个子序列 ${{x个}_{{k个}_{n个}}}$ 具有 $({x个}_{{k个}_{n个}}, x个) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司,T型 有一个共同的固定点.

证明条件（iis）意味着定理3.3中的（ii）（参见备注3.1[24]). 现在，结论来自定理3.3。□

推论3.5 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是赋有图的完全错位度量空间 G公司 和 $S公司, T型 : X（X） \to X（X）$ 是两个映射和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
$(S公司, T型)$ 是 G公司-压缩映射;
（ii）
$({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \in E类 (G公司)$ 和 ${d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \leq (1 负极 k个) 第页$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 $({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 $({x个}_{n个}, x个) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 和 T型 有一个共同的固定点.

推论3.6 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是赋有图的完全错位度量空间 G公司 和 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 是一个映射和 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
S公司 是巴纳赫 G公司-收缩 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ ;
（ii）
$({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \in E类 (G公司)$ 和 ${d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \leq (1 负极 k个) 第页$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 对)}$ 这样的话 $({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 $({x个}_{n个}, x个) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 有一个固定点.

推论3.7 让 $(X（X）, {d日}_{我})$ 是赋有图的完全错位度量空间 G公司 和 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 成为映射.假设以下断言成立:

（i）
S公司 是巴纳赫 G公司-收缩 X（X） 而且有 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \in E类 (G公司)$ ;
（ii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 X（X） 这样的话 $({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 $({x个}_{n个}, x个) \in E类 (G公司)$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 有一个固定点.

Ran和Reurings已经开始研究偏序集中不动点的存在性[28]应用于矩阵方程。阿加瓦尔，等。[三,4]、Bhaskar和Lakshmikantham[10]，西里奇等。[13]和侯赛因等。[22,23]给出了偏序度量空间中非线性压缩的一些新结果，并指出它们的定理可以用于研究一大类问题。罗尔丹等。[30]和哈兰迪等。[6]证明了序度量空间中的一些结果，它是偏序度量空间的推广。作为我们结果的一个应用，我们在序错位度量空间中推导了一些新的公共不动点结果。

回忆一下，如果 $(X（X）, ⪯)$ 是一个预先排序的集合，并且 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是这样的 $x个, 年 \in X（X）$ ，使用 $x个 ⪯ 年$ 暗示 $T型 x个 ⪯ T型年$ ，然后是映射T型据说不会减少。如果是 $x个, 年 \in X（X）$ ，使用 $x个 ⪯ 年$ 暗示 $S公司 x个 ⪯ T型年$ 和 $T型 x个 ⪯ S公司年$ ，然后是这对 $(S公司, T型)$ 被称为联合不减。

让X（X）成为一个非空集合。然后 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 称为预定错位度量空间，如果 ${d日}_{我}$ 是一个错位的度量X（X）和⪯是上的预订X（X）.让 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 是一个预定的错位度量空间。定义图形G公司通过

E类 (G公司) : = {(x个, 年) \in X（X） \times X（X） : x个 ⪯ 年} .

对于该图，定义3.2中的第一个条件表示S公司,T型就本订单而言，双方共同不减。从定理3.3到定理3.7，我们在预定位错度量空间中得到了以下重要结果。

定理3.8 让 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 是一个预序完全错位的度量空间，并让该对 $(S公司, T型)$ 自我的-的地图 X（X） 共同保持不变 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
对所有人来说 $x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ ,具有 $x个 ⪯ 年 ⟹ {d日}_{我} (S公司 x个, T型年) \leq ψ ({d日}_{我} (x个, 年))$ ;
（ii）
${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ 和 $\sum_{我 = 0}^{j个} ψ^{我} ({d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0})) \leq 第页$ 对所有人来说 $j个 \in N个$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的非递减序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}_{n个} \to x个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 和 T型 有一个共同的固定点.

推论3.9 让 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 是一个预序完全错位度量空间，并让这对 $(S公司, T型)$ 自我的-的地图 X（X） 共同保持不变 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话 ${d日}_{我} (S公司 x个, T型年) \leq k个 {d日}_{我} (x个, 年)$ 对所有人来说 $x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 具有 $x个 ⪯ 年$ ;
（ii）
${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ 和 ${d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \leq (1 负极 k个) 对$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的非递减序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}_{n个} \to x个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 和 T型 有一个共同的固定点.

推论3.10 让 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 是一个预序完全错位度量空间，并让这对 $(S公司, T型)$ 自我的-的地图 X（X） 共同不减少.假设以下断言成立:

（i）
存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话 ${d日}_{我} (S公司 x个, T型年) \leq k个 {d日}_{我} (x个, 年)$ 对所有人来说 $x个, 年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ ;
（ii）
${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的非递减序列 X（X） 这样的话 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 和 T型 有一个共同的固定点.

推论3.11 让 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 是一个预定的完全错位度量空间 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 是一张不减反的地图 ${x个}_{0} \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ .假设以下断言成立:

（i）
存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话 ${d日}_{我} (S公司 x个, S公司年) \leq k个 {d日}_{我} (x个, 年)$ 对所有人来说 $x个, 年 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 具有 $x个 ⪯ 年$ ;
（ii）
${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ 和 ${d日}_{我} ({x个}_{0}, S公司 {x个}_{0}) \leq (1 负极 k个) 第页$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的非递减序列 $\bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 这样的话 ${x个}_{n个} \to x个 \in \bar{B类 ({x个}_{0}, 第页)}$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 有一个固定点.

推论3.12 让 $(X（X）, {d日}_{我}, ⪯)$ 是一个预定的完全错位度量空间 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 是一张不会减少的地图.假设以下断言成立:

（i）
存在 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话 ${d日}_{我} (S公司 x个, S公司年) \leq k个 {d日}_{我} (x个, 年)$ 对所有人来说 $x个, 年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ ;
（ii）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ ;
（iii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的非递减序列 X（X） 这样的话 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 有一个固定点.

推论3.13[27]

让 $(X（X）, d日, ⪯)$ 是一个预定的完备度量空间，并且 $S公司 : X（X） \to X（X）$ 是一个不递减的映射，使得

d日 (S公司 x个, S公司 年) \leq k个 d日 (x个, 年)

对所有人来说 $x个, 年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪯ 年$ 哪里 $0 \leq k个 < 1$ .假设以下断言成立:

（i）
存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 ${x个}_{0} ⪯ S公司 {x个}_{0}$ ;
（ii）
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 X（X） 这样的话 ${x个}_{n个} ⪯ {x个}_{n个 + 1}$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ 和 ${x个}_{n个} \to x个$ 作为 $n个 \to + \infty$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 对所有人来说 $n个 \in N个$ .

然后 S公司 有一个固定点.

备注3.14我们同样可以获得这里证明的所有结果的部分度量和预定部分度量版本，这在文献中提供了新的结果。

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致谢

本文由吉达阿卜杜拉齐兹国王大学科学研究院长（DSR）资助。因此，第一作者感谢DSR、KAU的财政支持。

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作者和附属机构

沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学数学系，邮政信箱80203，21589
纳瓦布·侯赛因
巴基斯坦伊斯兰堡H-10国际伊斯兰大学数学系，44000
穆罕默德·阿沙德（Muhammad Arshad）、阿卜杜拉·绍伊布（Abdullah Shoaib）和法希姆丁（Fahimuddin）

作者

纳瓦布·侯赛因
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侯赛因，N.，阿尔沙德，M.，绍伊布，A。等。的公共不动点结果α-ψ-具有图的度量空间上的收缩。J不平等申请 2014, 136 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-136

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已接收:2013年12月26日
认可的:2014年3月14日
已发布:2014年3月31日
DOI程序:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-136

的公共不动点结果α-ψ-赋图度量空间上的压缩

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1简介和前言

2公共不动点导致错位度量空间

3错位度量空间中图形收缩的不动点结果

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