Composite schemes for variational inequalities over equilibrium problems and variational inclusions

Yao, Yonghong; Kang, Jung Im; Cho, Yeol Je; Liou, Yeong-Cheng

doi:10.1186/1029-242X-2013-414

研究
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出版：2013年8月28日

平衡问题上变分不等式和变分包含的复合格式

不等式与应用杂志 体积 2013，物品编号：414(2013)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

让C类是Hilbert空间的非空闭凸子集小时，并让 $T型 : 小时 \to 小时$ 是一个非线性映射。众所周知，以下经典变分不等式已应用于应用数学、现代物理科学、计算机断层扫描等许多领域。找到一个点 ${x个}^{*} \in C类$ 这样的话

〈 T型 {x个}^{*}, x个 负极 {x个}^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类 .

（A）

在本文中，我们考虑以下变分不等式。找到一个点 ${x个}^{*} \in C类$ 这样的话

〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, x个 负极 {x个}^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类,

（B）

和，对于变分不等式（B）的可行集解C类作为平衡问题解集与变分包含解集的交集，构造了两个复合格式，即强收敛于变分不等式（B）唯一解的隐式和显式格式。

最近，许多作者介绍了一些求解变分不等式问题的算法，但实际上，我们的两个方案在求变分不等式（B）的解方面比其他方案更简单。

理学硕士：49J30、47H10、47H17、49M05。

1引言

数学和物理科学领域中一个非常常见的问题是试图在非空闭凸子集中找到一个点C类希尔伯特空间小时这个问题与变分不等式问题（A）有关。求解变分不等式问题的一种常用方法是近似方法。求解变分不等式问题和相关优化问题的一些近似方法可以在[1–16].

在本文中，我们考虑以下几点变分不等式.找到一个点 ${x个}^{*} \in C类$ 这样的话

哪里C类是平衡问题的解集与变分包含集的交集。事实上，我们关注场景的原因C类在平衡问题和变分包含问题中，在许多实际应用中起着非常重要的作用。

为此，我们构造了以下组合方案，即隐式方案 ${{x个}_{t吨}}$ 和显式方案 ${{x个}_{n个}}$ 分别为，

{x个}_{t吨} = [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) {x个}_{t吨}, \forall t吨 \in (0, \frac{1}{ρ 负极 γ τ})

(1.1)

和

{x个}_{n个 + 1} = [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) {x个}_{n个}, \forall n个 \geq 0 .

(1.2)

我们的想法是让操作员直接参与 $F类负极 γ （f）$ 生成两个复合格式（1.1）和（1.2），它们强烈收敛于变分不等式问题（B）的解。事实上，我们的两个方案非常简单。

2准备工作

在本节中，我们将介绍一些注释和对主要结果有用的结论。

让小时成为一个真正的希尔伯特空间。让 $B类 : 小时 \to 小时$ 是一个非线性映射，让 $φ : 小时 \to R（右）$ 成为函数，并让 $Θ : 小时 \times 小时 \to R（右）$ 是一个双函数。

现在，我们考虑以下几点平衡问题.找到一个点 $x个 \in C类$ 这样的话

θ (x个, 年) + φ (年) 负极 φ (x个) + 〈 B类 x个, 年 负极 x个 〉 \geq 0, \forall 年 \in C类 .

（2.1）

问题（2.1）的解集表示为欧洲药典平衡问题包括不动点问题、优化问题和变分不等式问题。相关工程见[17–30].

让 $（f） : 小时 \to 小时$ 成为τ-收缩，也就是说，存在一个常数 $τ \in [0, 1)$ 这样的话

∥ （f） (x个) 负极 （f） (年) ∥ \leq τ ∥ x个 负极 年 ∥, \forall x个, 年 \in 小时,

然后让 $S公司 : 小时 \to 小时$ 成为非扩张映射也就是说，

∥ S公司 x个 负极 S公司 年 ∥ \leq ∥ x个 负极 年 ∥, \forall x个, 年 \in 小时 .

回想一下，映射 $A类 : 小时 \to 小时$ 据说是α-逆强单调如果存在常数 $α > 0$ 这样的话

〈 A类 x个 负极 A类 年, x个 负极 年 〉 \geq α {∥ A类 x个 负极 A类 年 ∥}^{2}, \forall x个, 年 \in C类 .

映射 $F类 : 小时 \to 小时$ 据说是强阳性如果存在常数 $ρ > 0$ 这样的话 $〈 F类 x个, x个〉 \geq ρ {∥ x个 ∥}^{2}$ 为所有人 $x个 \in 小时$ .

让 $A类 : 小时 \to 小时$ 是一个单值非线性映射，并且 $R（右） : 小时 \to 2^{小时}$ 是一个集值映射。

现在，我们考虑以下几点变分包含.找到一个点 $x个 \in 小时$ 这样的话

θ \in A类 (x个) + R（右） (x个),

(2.2)

哪里θ是中的零元素小时问题（2.2）的解集表示为 $我 (A类, R（右）)$ 变分包含问题在[31–38]以及其中的参考文献。

集值映射 $T型 : 小时 \to 2^{小时}$ 据说是单调的如果，为了所有人 $x个, 年 \in 小时$ , $（f） \in T型 x个$ 和 $克 \in T型年$ 意味着 $〈 x个负极年, （f）负极克〉 \geq 0$ .单调映射 $T型 : 小时 \to 2^{小时}$ 据说是最大如果它的图形 $G公司 (T型)$ 不正确地包含在任何其他单调映射的图中。众所周知，单调映射T型是最大的当且仅当，对于任何 $(x个, （f）) \in 小时 \times 小时$ , $〈 x个负极年, （f）负极克〉 \geq 0$ 为所有人 $(年, 克) \in G公司 (T型)$ 暗示 $（f） \in T型 x个$ .

让 $R（右） : 小时 \to 2^{小时}$ 是一个极大单调集值映射。我们定义了预解算子 $J_{R（右）, λ}$ 与关联R（右）和λ如下：

J_{R（右）, λ} = {(我 + λ R（右）)}^{负极 1} (x个), \forall x个 \in 小时,

哪里λ是一个正数。值得一提的是，预解算子 $J_{R（右）, λ}$ 是单值、非扩张和1-逆强单调的，并且，问题（2.2）的解是算子的不动点 $J_{R（右）, λ} (我负极 λ A类)$ 为所有人 $λ > 0$ .

在本文中，我们假设一个双函数 $Θ : 小时 \times 小时 \to R（右）$ 和凸函数 $φ : 小时 \to R（右）$ 满足以下条件：

（H1） $Θ (x个, x个) = 0$ 为所有人 $x个 \in 小时$ ;

（H2）θ是单调的，即。， $Θ (x个, 年) + Θ (年, x个) \leq 0$ 为所有人 $x个, 年 \in 小时$ ;

（H3）适用于所有 $年 \in 小时$ , $x个 \mapsto θ (x个, 年)$ 弱上半连续；

（H4）适用于所有 $x个 \in 小时$ , $年 \mapsto Θ (x个, 年)$ 是凸的和下半连续的；

（H5）适用于所有人 $x个 \in 小时$ 和 $μ > 0$ ，存在一个有界子集 $天_{x个} \subset 小时$ 和 $年_{x个} \in 小时$ 这样，对于任何 $z（z） \in 小时 ∖ 天_{x个}$ ,

Θ (z（z）, 年_{x个}) + φ (年_{x个}) 负极 φ (z（z）) + \frac{1}{μ} 〈 年_{x个} 负极 z（z）, z（z） 负极 x个 〉 < 0 .

引理2.1[39]

让小时 成为一个真正的希尔伯特空间.让 $Θ : 小时 \times 小时 \to R（右）$ 是一个双函数,然后让 $φ : 小时 \to R（右）$ 做一个合适的下半场-连续凸函数.对于任何 $μ > 0$ 和 $x个 \in 小时$ ,定义映射 ${S公司}_{μ} : 小时 \to 小时$ 如下:

{S公司}_{μ} (x个) = {z（z） \in 小时 : Θ (z（z）, 年) + φ (年) 负极 φ (z（z）) + \frac{1}{μ} 〈 年 负极 z（z）, z（z） 负极 x个 〉 \geq 0, \forall 年 \in 小时}, \forall x个 \in 小时 .

假设条件（H1）-（H5）持有.然后我们得到以下结果:

(1)
对于每个 $x个 \in 小时$ , ${S公司}_{μ} (x个) \neq \emptyset$ 和 ${S公司}_{μ}$ 是单身-宝贵的.
(2)
${S公司}_{μ}$ 是绝对不可扩展的,我.电子.,对于任何 $x个, 年 \in 小时$ ,
${∥ {S公司}_{μ} x个负极 {S公司}_{μ} 年 ∥}^{2} \leq 〈 {S公司}_{μ} x个负极 {S公司}_{μ} 年, x个负极年〉 .$
(3)
$修复 ({S公司}_{μ} (我负极 μ B类)) = 欧洲药典$ .
(4)
欧洲药典 是封闭凸的.

引理2.2[40]

让 $R（右） : 小时 \to 2^{小时}$ 是最大单调映射,然后让 $A类 : 小时 \to 小时$ 成为利普希茨人-连续映射.然后是映射 $(R（右） + A类) : 小时 \to 2^{小时}$ 是最大单调.

引理2.3[8]

让小时 成为一个真正的希尔伯特空间.让映射 $A类 : 小时 \to 小时$ 是 α-逆强单调,然后让 $λ > 0$ 是一个常量.然后,我们有

{∥ (我 负极 λ A类) x个 负极 (我 负极 λ A类) 年 ∥}^{2} \leq {∥ x个 负极 年 ∥}^{2} + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 x个 负极 A类 年 ∥}^{2}, \forall x个, 年 \in 小时 .

特别地,如果 $0 \leq λ \leq 2 α$ ,然后 $我负极 λ A类$ 是非扩展的.

引理2.4[41]

假设 ${一_{n个}}$ 是满足以下条件的非负实数序列 $一_{n个 + 1} \leq (1 负极 γ_{n个}) 一_{n个} + δ_{n个}$ ,哪里 ${γ_{n个}}$ 是中的序列 $(0, 1)$ ,和 ${δ_{n个}}$ 是这样一个序列

（a）
$\sum_{n个 = 1}^{\infty} γ_{n个} = \infty$ ;
（b）
${酸橙酱}_{n个 \to \infty} \frac{δ_{n个}}{γ_{n个}} \leq 0$ 或 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} | δ_{n个} | < \infty$ .

然后 $林_{n个 \to \infty} 一_{n个} = 0$ .

3主要成果

在本节中，我们给出了主要结果。在续集中，我们假设满足以下条件。

条件3.1 小时是一个真正的希尔伯特空间。 $φ : 小时 \to R（右）$ 是下半连续凸函数，并且 $Θ : 小时 \times 小时 \to R（右）$ 是满足条件（H1）-（H5）的双函数。

条件3.2 F类是一个具有系数的强正有界线性算子 $0 < ρ < 1$ , $（f） : 小时 \to 小时$ 是一个τ-收缩满足 $ρ > γ τ$ ，其中 $γ > 0$ 是一个常数，并且 $R（右） : 小时 \to 2^{小时}$ 是一个极大单调映射。

条件3.3 $A类, B类 : C类 \to C类$ 是一个α-逆强单调算子与aβ-逆强单调算子。

条件3.4 λ和μ是两个常数，因此 $0 < λ < 2 α$ 和 $0 < μ < 2 β$ .

条件3.5 $Ω : = 欧洲药典 \cap 我 (A类, R（右）)$ 非空。

现在，我们首先考虑以下方案。

算法3.1对于任何 $t吨 \in (0, \frac{1}{ρ 负极 γ τ})$ ，定义网络 ${{x个}_{t吨}}$ 如下：

{x个}_{t吨} = [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) {x个}_{t吨} .

(3.1)

备注3.2网络 ${{x个}_{t吨}}$ 由（3.1）定义的定义是明确的。事实上，从引理2.1和2.3，我们知道映射 $我负极 λ A类$ 和 $我负极 μ B类$ 和 ${S公司}_{μ}$ 是非扩展性的。对于任何 $x个 \in 小时$ ，我们定义一个映射 ${W公司}_{t吨} x个 = [我负极 t吨 (F类负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我负极 μ B类) x个$ 。我们注意到 $我负极 t吨 F类$ 是积极的，并且 $∥ 我负极 t吨 F类 ∥ \leq 1 负极 t吨 ρ$ 。因此，我们有

\begin{aligned} ∥ {W公司}_{t吨} x个 负极 {W公司}_{t吨} 年 ∥ = & ∥ [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) x个 \\ 负极 [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) 年 ∥ \\ \leq & ∥ 我 负极 t吨 F类 ∥ ∥ J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) x个 负极 J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) 年 ∥ \\ + t吨 γ ∥ （f） (J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) x个) 负极 （f） (J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) 年) ∥ \\ \leq & (1 负极 ρ t吨) ∥ x个 负极 年 ∥ + t吨 γ τ ∥ x个 负极 年 ∥ = [1 负极 (ρ 负极 γ τ) t吨] ∥ x个 负极 年 ∥ . \end{aligned}

这表明W公司是一种收缩。因此，W公司具有唯一的不动点，其表示为 ${x个}_{t吨}$ .

定理3.3 网络 ${{x个}_{t吨}}$ 由定义(3.1)强收敛于唯一解 $\tilde{x个} \in Ω$ 关于下列变分不等式:

〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, 年 负极 \tilde{x个} 〉 \geq 0, \forall 年 \in Ω .

(3.2)

备注3.4首先，我们可以很容易地检查 $F类负极 γ （f）$ 系数是强单调的 $ρ 负极 γ τ$ 现在，我们证明了变分不等式（3.2）解的唯一性。假设 ${x个}^{*} \in Ω$ 和 $\tilde{x个} \in Ω$ 两者都是（3.2）的解决方案。那么我们有

〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, \tilde{x个} 负极 {x个}^{*} 〉 \geq 0, 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}^{*} 负极 \tilde{x个} 〉 \geq 0 .

将最后两个不等式相加得出

〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个} 负极 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, \tilde{x个} 负极 {x个}^{*} 〉 \leq 0 .

的强单调性 $F类负极 γ （f）$ 意味着 $\tilde{x个} = {x个}^{*}$ 证明了其唯一性。

接下来，我们给出了定理3.3的详细证明。

证明拿起 ${x个}^{*} \in Ω$ 很明显 ${S公司}_{μ} ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) = J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) = {x个}^{*}$ .设置 ${z（z）}_{t吨} = {S公司}_{μ} ({x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨})$ 和 $年_{t吨} = J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨})$ 为所有人 $t吨 \in [0, 1]$ 从引理2.3可以得出

\begin{aligned} ∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ & = ∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨}) 负极 J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥ \\ \leq ∥ ({z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨}) 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥ \\ \leq ∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ \end{aligned}

和

\begin{aligned} {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} & = {∥ {S公司}_{μ} ({x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨}) 负极 {S公司}_{μ} ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ ({x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨}) 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + μ (μ 负极 2 β) {∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} . \end{aligned}

(3.3)

因此，我们有

∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ \leq ∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ .

从（3.1）中，我们得到

\begin{aligned} ∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ & = ∥ [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ \\ \leq ∥ (我 负极 t吨 F类) (年_{t吨} 负极 {x个}^{*}) ∥ + t吨 γ ∥ （f） (年_{t吨}) 负极 （f） ({x个}^{*}) ∥ + t吨 ∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥ \\ \leq (1 负极 ρ t吨) ∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ + t吨 γ τ ∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ + t吨 ∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥ \\ \leq [1 负极 (ρ 负极 γ τ) t吨] ∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ + (ρ 负极 γ τ) t吨 \frac{∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥}{ρ 负极 γ τ}, \end{aligned}

所以，

∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ \leq \frac{∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥}{ρ 负极 γ τ} .

因此 $({x个}_{t吨})$ 是有界的，所以 ${年_{t吨}}$ , ${{z（z）}_{t吨}}$ , ${F类年_{t吨}}$ 和 ${（f）年_{t吨}}$ 都是有界的。从（3.3）和引理2.3可以得出

\begin{aligned} {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} & = {∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨}) 负极 J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ ({z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨}) 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + μ (μ 负极 2 β) {∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} . \end{aligned}

(3.4)

通过（3.1），我们得到

\begin{aligned} {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} & = {∥ [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {[∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ + t吨 ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{t吨} ∥]}^{2} \\ = {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + t吨 (2 ∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{t吨} ∥ + t吨 {∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{t吨} ∥}^{2}) \\ \leq {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + t吨 M（M）, \end{aligned}

(3.5)

哪里 $M（M） > 0$ 一些持续的满足

啜饮 {2 ∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{t吨} ∥ + t吨 {∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{t吨} ∥}^{2} : t吨 \in (0, \frac{1}{ρ 负极 γ τ})} \leq M（M） .

根据（3.4）和（3.5），我们已经

{∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + t吨 M（M） + μ (μ 负极 2 β) {∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2},

所以，

μ (2 β 负极 μ) {∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (2 α 负极 λ) {∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq t吨 M（M）,

这意味着

\underset{t吨 \to 0}{林} ∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ = 0, \underset{t吨 \to 0}{极限} ∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ = 0 .

自 ${S公司}_{μ}$ 是绝对不可扩展的

\begin{aligned} {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} = & {∥ {S公司}_{μ} ({x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨}) 负极 {S公司}_{μ} ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq & 〈 {x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}), {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ 负极 {∥ {x个}_{t吨} 负极 μ B类 {x个}_{t吨} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) 负极 ({z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ \leq & \frac{1}{2} ({∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} 负极 μ (B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥}^{2} \\ + 2 μ 〈 B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} 〉 负极 μ^{2} {∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2}), \end{aligned}

所以，

{∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥}^{2} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥ .

(3.6)

自 $J_{R（右）, λ}$ 是1-逆强单调的，我们有

\begin{aligned} {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} = & {∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨}) 负极 J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq & 〈 {z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}), 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} + {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ 负极 {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 λ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) 负极 (年_{t吨} 负极 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ \leq & \frac{1}{2} ({∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} 负极 λ (A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥}^{2} \\ + 2 λ 〈 A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*}, {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} 〉 负极 λ^{2} {∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2}), \end{aligned}

这意味着

{∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥}^{2} + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥ .

(3.7)

因此，通过（3.6）和（3.7），我们得到

\begin{aligned} {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq & {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥}^{2} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥ \\ 负极 {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥}^{2} + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥ . \end{aligned}

(3.8)

将（3.5）替换为（3.8），我们得到

\begin{aligned} {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq & {∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + t吨 M（M） 负极 {∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥}^{2} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥ \\ 负极 {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥}^{2} + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥ . \end{aligned}

因此，我们得出

{∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥}^{2} \leq t吨 M（M） + 2 μ ∥ B类 {x个}_{t吨} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥ + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{t吨} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥,

所以，

\underset{t吨 \to 0}{林} ∥ {x个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{t吨} ∥ = 0, \underset{t吨 \to 0}{林} ∥ {z（z）}_{t吨} 负极 年_{t吨} ∥ = 0 .

通过（3.1），我们得到

\begin{aligned} {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ = 〈 [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] 年_{t吨} 负极 {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = 〈 [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] 年_{t吨} 负极 [我 负极 t吨 (F类 负极 γ （f）)] {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 负极 t吨 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ \leq (1 负极 ρ t吨) ∥ 年_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ + t吨 γ ∥ （f） (年_{t吨}) 负极 （f） ({x个}^{*}) ∥ ∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥ 负极 t吨 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ \leq [1 负极 (ρ 负极 γ τ) t吨] {∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 t吨 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 . \end{aligned}

由此可见

{∥ {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq 负极 \frac{1}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{t吨} 负极 {x个}^{*} 〉 .

(3.9)

接下来，我们展示网络 ${{x个}_{t吨}}$ 相对正常紧凑 $t吨 \to 0^{+}$ 事实上，假设 ${{t吨}_{n个}} \subset (0, 1)$ 是这样的 ${t吨}_{n个} \to 0^{+}$ 作为 $n个 \to \infty$ .放置 ${x个}_{n个} : = {x个}_{{t吨}_{n个}}$ , $年_{n个} : = 年_{{t吨}_{n个}}$ 和 ${z（z）}_{n个} : = {z（z）}_{{t吨}_{n个}}$ 从（3.9）中，我们有

{∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq 负极 \frac{1}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} 〉, \forall {x个}^{*} \in Ω .

(3.10)

自 ${{x个}_{n个}}$ 是有界的，在不损失一般性的情况下，我们可以假设 ${{x个}_{n个}}$ 弱收敛到一点 $\tilde{x个} \in 小时$ .

接下来，我们证明 $\tilde{x个} \in Ω$ 。我们首先展示 $\tilde{x个} \in 欧洲药典$ .签署人 ${z（z）}_{n个} = {S公司}_{μ} ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个})$ ，我们知道

Θ ({z（z）}_{n个}, 年) + φ (年) 负极 φ ({z（z）}_{n个}) + \frac{1}{μ} 〈 年 负极 {z（z）}_{n个}, {z（z）}_{n个} 负极 ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个}) 〉 \geq 0, \forall 年 \in 小时 .

由（H2）可知

φ (年) 负极 φ ({z（z）}_{n个}) + \frac{1}{μ} 〈 年 负极 {z（z）}_{n个}, {z（z）}_{n个} 负极 ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个}) 〉 \geq Θ (年, {z（z）}_{n个}), \forall 年 \in 小时,

所以，

φ (年) 负极 φ ({z（z）}_{{n个}_{我}}) + 〈 年 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, \frac{{z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 ({x个}_{{n个}_{我}} 负极 μ B类 {x个}_{{n个}_{我}})}{μ} 〉 \geq Θ (年, {z（z）}_{{n个}_{我}}), \forall 年 \in 小时 .

（3.11）

对于任何 $t吨 \in (0, 1]$ 和 $年 \in 小时$ ，让 ${u个}_{t吨} = t吨年 + (1 负极 t吨) \tilde{x个}$ 根据（3.11）

\begin{aligned} 〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, B类 {u个}_{t吨} 〉 \geq & 〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, B类 {u个}_{t吨} 〉 负极 φ ({u个}_{t吨}) + φ ({z（z）}_{{n个}_{我}}) \\ 负极 〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, \frac{{z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 ({x个}_{{n个}_{我}} 负极 μ B类 {x个}_{{n个}_{我}})}{μ} 〉 + Θ ({u个}_{t吨}, {z（z）}_{{n个}_{我}}) \\ = & 〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, B类 {u个}_{t吨} 负极 B类 {z（z）}_{{n个}_{我}} 〉 + 〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, B类 {z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 B类 {x个}_{{n个}_{我}} 〉 负极 φ ({u个}_{t吨}) \\ + φ ({z（z）}_{{n个}_{我}}) 负极 〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, \frac{{z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 {x个}_{{n个}_{我}}}{μ} 〉 + θ ({u个}_{t吨}, {z（z）}_{{n个}_{我}}) . \end{aligned}

自 $∥ {z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 {x个}_{{n个}_{我}} ∥ \to 0$ ，我们有 $∥ B类 {z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 B类 {x个}_{{n个}_{我}} ∥ \to 0$ 此外，通过B类，我们有 $〈 {u个}_{t吨} 负极 {z（z）}_{{n个}_{我}}, B类 {u个}_{t吨} 负极 B类 {z（z）}_{{n个}_{我}} 〉 \geq 0$ 因此，从（H4）和φ, $\frac{{z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 {x个}_{{n个}_{我}}}{μ} \to 0$ 和 ${z（z）}_{{n个}_{我}} \to \tilde{x个}$ 弱，这就说明了

〈 {u个}_{t吨} 负极 \tilde{x个}, B类 {u个}_{t吨} 〉 \geq 负极 φ ({u个}_{t吨}) + φ (\tilde{x个}) + Θ ({u个}_{t吨}, \tilde{x个}) .

(3.12)

根据条件（H1）、（H4）和（3.12），我们还得出

\begin{aligned} 0 & = Θ ({u个}_{t吨}, {u个}_{t吨}) + φ ({u个}_{t吨}) 负极 φ ({u个}_{t吨}) \\ \leq t吨 Θ ({u个}_{t吨}, 年) + (1 负极 t吨) Θ ({u个}_{t吨}, \tilde{x个}) + t吨 φ (年) + (1 负极 t吨) φ (\tilde{x个}) 负极 φ ({u个}_{t吨}) \\ = t吨 [θ ({u个}_{t吨}, 年) + φ (年) 负极 φ ({u个}_{t吨})] + (1 负极 t吨) [Θ ({u个}_{t吨}, \tilde{x个}) + φ (\tilde{x个}) 负极 φ ({u个}_{t吨})] \\ \leq t吨 [Θ ({u个}_{t吨}, 年) + φ (年) 负极 φ ({u个}_{t吨})] + (1 负极 t吨) 〈 {u个}_{t吨} 负极 \tilde{x个}, B类 {u个}_{t吨} 〉 \\ = t吨 [Θ ({u个}_{t吨}, 年) + φ (年) 负极 φ ({u个}_{t吨})] + (1 负极 t吨) t吨 〈 年 负极 \tilde{x个}, B类 {u个}_{t吨} 〉, \end{aligned}

因此

0 \leq Θ ({u个}_{t吨}, 年) + φ (年) 负极 φ ({u个}_{t吨}) + (1 负极 t吨) 〈 年 负极 \tilde{x个}, B类 {u个}_{t吨} 〉 .

出租 $t吨 \to 0$ ，我们有

θ (\tilde{x个}, 年) + φ (年) 负极 φ (\tilde{x个}) + 〈 年 负极 \tilde{x个}, B类 \tilde{x个} 〉 \geq 0, \forall 年 \in 小时 .

这意味着 $\tilde{x个} \in 欧洲药典$ .

接下来，我们展示一下 $\tilde{x个} \in 我 (A类, R（右）)$ 事实上，因为A类是α-逆强单调，A类是Lipschitz连续单调映射。从引理2.2可以得出 $R（右） + A类$ 是最大单调的。让 $(v（v）, 克) \in G公司 (R（右） + A类)$ ,即, $克负极 A类 v（v） \in R（右） (v（v）)$ 又一次，因为 $年_{{n个}_{我}} = J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 λ A类 {z（z）}_{{n个}_{我}})$ ，我们有 ${z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 λ A类 {z（z）}_{{n个}_{我}} \in (我 + λ R（右）) (年_{{n个}_{我}})$ ,即, $\frac{1}{λ} ({z（z）}_{{n个}_{我}} 负极年_{{n个}_{我}} 负极 λ A类 {z（z）}_{{n个}_{我}}) \in R（右） (年_{{n个}_{我}})$ .由于R（右），我们有

〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, 克 负极 A类 v（v） 负极 \frac{1}{λ} ({z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 年_{{n个}_{我}} 负极 λ A类 {z（z）}_{{n个}_{我}}) 〉 \geq 0,

所以，

\begin{aligned} 〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, 克 〉 & \geq 〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, A类 v（v） + \frac{1}{λ} ({z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 年_{{n个}_{我}} 负极 λ A类 {z（z）}_{{n个}_{我}}) 〉 \\ = 〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, A类 v（v） 负极 A类 年_{{n个}_{我}} + A类 年_{{n个}_{我}} 负极 A类 {z（z）}_{{n个}_{我}} + \frac{1}{λ} ({z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 年_{{n个}_{我}}) 〉 \\ \geq 〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, A类 年_{{n个}_{我}} 负极 A类 {z（z）}_{{n个}_{我}} 〉 + 〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, \frac{1}{λ} ({z（z）}_{{n个}_{我}} 负极 年_{{n个}_{我}}) 〉 . \end{aligned}

它源自 $∥ {z（z）}_{n个} 负极年_{n个} ∥ \to 0$ , $∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类年_{n个} ∥ \to 0$ 和 $年_{{n个}_{我}} \to \tilde{x个}$ 弱到

\underset{{n个}_{我} \to \infty}{林} 〈 v（v） 负极 年_{{n个}_{我}}, 克 〉 = 〈 v（v） 负极 \tilde{x个}, 克 〉 \geq 0 .

它遵循的是 $A类 + R（右）$ 那个 $θ \in (R（右） + A类) (\tilde{x个})$ ,即, $\tilde{x个} \in 我 (A类, R（右）)$ .因此 $\tilde{x个} \in Ω$ 因此，如果我们可以替换 $\tilde{x个}$ 对于 ${x个}^{*}$ 在（3.10）中，我们得到

{∥ {x个}_{n个} 负极 \tilde{x个} ∥}^{2} \leq 负极 \frac{1}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}_{n个} 负极 \tilde{x个} 〉 .

(3.13)

因此 ${{x个}_{n个}}$ 到 $\tilde{x个}$ 实际上意味着 ${x个}_{n个} \to \tilde{x个}$ 强烈。这显示了网络的相对规范兼容性 ${{x个}_{t吨}}$ 作为 $t吨 \to 0^{+}$ .

现在，我们回到（3.10）。如果我们将限制视为 $n个 \to \infty$ 在（3.10）中，我们得到

{∥ \tilde{x个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq 负极 \frac{1}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, \tilde{x个} 负极 {x个}^{*} 〉, \forall {x个}^{*} \in Ω .

特别地， $\tilde{x个}$ 求解下列变分不等式

\tilde{x个} \in Ω, 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}^{*} 负极 \tilde{x个} 〉 \geq 0, \forall {x个}^{*} \in Ω .

(3.14)

我们知道变分不等式（3.14）等价于它的对偶变分不等式

\tilde{x个} \in Ω, 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}^{*} 负极 \tilde{x个} 〉 \geq 0, \forall {x个}^{*} \in Ω .

因此，通过变分不等式的唯一性，我们推断出整个网络 ${{x个}_{t吨}}$ 范数收敛于 $\tilde{x个}$ 作为 $t吨 \to 0^{+}$ 。这就完成了证明。□

接下来，我们引入了一个显式格式并证明了它对变分不等式（3.2）的唯一解的强收敛性。

算法3.5对于任何 ${x个}_{0} \in 小时$ ，定义顺序 ${{x个}_{n个}}$ 由迭代生成

{x个}_{n个 + 1} = [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] J_{R（右）, λ} (我 负极 λ A类) {S公司}_{μ} (我 负极 μ B类) {x个}_{n个}, \forall n个 \geq 0,

(3.15)

哪里 ${α_{n个}}$ 是中的实数序列 $[0, 1]$ .

定理3.6 假设还满足以下条件:

（C1） $林_{n个 \to \infty} α_{n个} = 0$ 和 $\sum_{n个 = 0}^{\infty} α_{n个} = \infty$ ;

（C2） $林_{n个 \to \infty} \frac{α_{n个}}{α_{n个 + 1}} = 1$ .

然后是序列 ${{x个}_{n个}}$ 由生成(3.15)强收敛于唯一解 $\tilde{x个} \in Ω$ 关于变分不等式(3.2).

证明我们写作 ${z（z）}_{n个} = {S公司}_{μ} (我负极 μ B类) {x个}_{n个}$ 和 $年_{n个} = J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个})$ 为所有人 $n个 \geq 0$ 然后根据引理2.3，对于任何 ${x个}^{*} \in Ω$ ,

\begin{aligned} ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ & = ∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) 负极 J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥ \\ \leq ∥ ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥ \\ \leq ∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ \end{aligned}

和

\begin{aligned} {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} & = {∥ {S公司}_{μ} ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个}) 负极 {S公司}_{μ} ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + μ (μ 负极 2 β) {∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} . \end{aligned}

(3.16)

因此我们有

∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ .

通过归纳，从（3.15）可以得出

\begin{aligned} ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥ & = ∥ [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ \\ \leq ∥ [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} 负极 [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] {x个}^{*} ∥ + α_{n个} ∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥ \\ \leq ∥ (我 负极 α_{n个} F类) (年_{n个} 负极 {x个}^{*}) ∥ + t吨 γ ∥ （f） (年_{n个}) 负极 （f） ({x个}^{*}) ∥ + α_{n个} ∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥ \\ \leq (1 负极 ρ α_{n个}) ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ + α_{n个} γ τ ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ + α_{n个} ∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥ \\ \leq [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个}] ∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ + (ρ 负极 γ τ) α_{n个} \frac{∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥}{ρ 负极 γ τ} \\ \leq 最大值 {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥, \frac{∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥}{ρ 负极 γ τ}} \\ \leq 最大值 {∥ {x个}_{0} 负极 {x个}^{*} ∥, \frac{∥ (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*} ∥}{ρ 负极 γ τ}} . \end{aligned}

因此， ${{x个}_{n个}}$ 是有界的，所以， ${{z（z）}_{n个}}$ , ${年_{n个}}$ , ${F类年_{n个}}$ 和 ${（f）年_{n个}}$ 都是有界的。由（3.15）可知

\begin{aligned} ∥ {x个}_{n个 + 2} 负极 {x个}_{n个 + 1} ∥ = & ∥ [我 负极 α_{n个 + 1} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个 + 1} 负极 [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} ∥ \\ \leq & ∥ [我 负极 α_{n个 + 1} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个 + 1} 负极 [我 负极 α_{n个 + 1} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} ∥ \\ + | α_{n个 + 1} 负极 α_{n个} | ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ \\ \leq & ∥ 我 负极 α_{n个 + 1} F类 ∥ ∥ 年_{n个 + 1} 负极 年_{n个} ∥ + α_{n个 + 1} γ ∥ （f） (年_{n个 + 1}) 负极 （f） (年_{n个}) ∥ \\ + | α_{n个 + 1} 负极 α_{n个} | ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ \\ \leq & (1 负极 ρ α_{n个 + 1}) ∥ 年_{n个 + 1} 负极 年_{n个} ∥ + α_{n个 + 1} γ τ ∥ 年_{n个 + 1} 负极 年_{n个} ∥ \\ + | α_{n个 + 1} 负极 α_{n个} | ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ \\ = & [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个 + 1}] ∥ 年_{n个 + 1} 负极 年_{n个} ∥ + | α_{n个 + 1} 负极 α_{n个} | ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ . \end{aligned}

(3.17)

请注意

\begin{aligned} ∥ 年_{n个 + 1} 负极 年_{n个} ∥ & = ∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{n个 + 1} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个 + 1}) 负极 J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) ∥ \\ \leq ∥ {z（z）}_{n个 + 1} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个 + 1} 负极 ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) ∥ \\ \leq ∥ {z（z）}_{n个 + 1} 负极 {z（z）}_{n个} ∥ \\ = ∥ {S公司}_{μ} ({x个}_{n个 + 1} 负极 μ B类 {x个}_{n个 + 1}) 负极 {S公司}_{μ} ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个}) ∥ \\ \leq ∥ ({x个}_{n个 + 1} 负极 μ B类 {x个}_{n个 + 1}) 负极 ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个}) ∥ \\ \leq ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}_{n个} ∥ . \end{aligned}

(3.18)

将（3.18）替换为（3.17），我们得到

\begin{aligned} ∥ {x个}_{n个 + 2} 负极 {x个}_{n个 + 1} ∥ \\ \leq [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个 + 1}] ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}_{n个} ∥ + | α_{n个 + 1} 负极 α_{n个} | ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ \\ = [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个 + 1}] ∥ 年_{n个 + 1} 负极 年_{n个} ∥ + (ρ 负极 γ τ) α_{n个 + 1} \frac{| α_{n个 + 1} 负极 α_{n个} |}{α_{n个 + 1}} \frac{∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥}{ρ 负极 γ τ} . \end{aligned}

请注意 $林_{n个 \to \infty} | 1 负极 \frac{α_{n个}}{α_{n个 + 1}} | = 0$ 这与最后一个不等式和引理2.4一起意味着

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}_{n个} ∥ = 0 .

再次使用引理2.3和（3.16），我们得到

\begin{aligned} {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ = {∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) 负极 J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + μ (μ 负极 2 β) {∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} . \end{aligned}

(3.19)

通过（3.15），我们得到

\begin{aligned} {∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} & = {∥ [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {[∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ + α_{n个} ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥]}^{2} \\ = {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + α_{n个} [2 ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ + α_{n个} {∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥}^{2}] \\ \leq {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + α_{n个} {M（M）}_{1}, \end{aligned}

(3.20)

哪里 ${M（M）}_{1} > 0$ 是一种持续的满足

啜饮 {2 ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥ + α_{n个} {∥ (F类 负极 γ （f）) 年_{n个} ∥}^{2} : n个 \geq 1} \leq {M（M）}_{1} .

从（3.19）和（3.20），我们有

\begin{aligned} {∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq & {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + μ (μ 负极 2 β) {∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ + λ (λ 负极 2 α) {∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} + α_{n个} {M（M）}_{1}, \end{aligned}

所以，

\begin{aligned} μ (2 β 负极 μ) {∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2} + λ (2 α 负极 λ) {∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + α_{n个} {M（M）}_{1} \\ \leq (∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ + ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}_{n个} ∥ + α_{n个} {M（M）}_{1}, \end{aligned}

这意味着

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ = 0, \underset{n个 \to \infty}{林} ∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ = 0 .

自 ${S公司}_{第页}$ 是绝对不可扩展的

\begin{aligned} {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} = & {∥ {S公司}_{μ} ({x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个}) 负极 {S公司}_{μ} ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq & 〈 {x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}), {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ 负极 {∥ {x个}_{n个} 负极 μ B类 {x个}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 μ B类 {x个}^{*}) 负极 ({z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ \leq & \frac{1}{2} ({∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} 负极 μ (B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} \\ + 2 μ 〈 B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*}, {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} 〉 负极 μ^{2} {∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥}^{2}), \end{aligned}

因此

{∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥ .

(3.21)

自 $J_{R（右）, λ}$ 是1-逆强单调的，我们有

\begin{aligned} {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} = & {∥ J_{R（右）, λ} ({z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个}) 负极 J_{R（右）, λ} ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} \\ \leq & 〈 {z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}), 年_{n个} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) ∥}^{2} + {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ 负极 {∥ {z（z）}_{n个} 负极 λ A类 {z（z）}_{n个} 负极 ({x个}^{*} 负极 λ A类 {x个}^{*}) 负极 (年_{n个} 负极 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ \leq & \frac{1}{2} ({∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} 负极 λ (A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*}) ∥}^{2}) \\ = & \frac{1}{2} ({∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥}^{2} \\ + 2 λ 〈 A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*}, {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} 〉 负极 λ^{2} {∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥}^{2}), \end{aligned}

这意味着

{∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq {∥ {z（z）}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥}^{2} + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥ .

(3.22)

因此，通过（3.21）和（3.22），我们得到

\begin{aligned} {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq & {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 {∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥ \\ 负极 {∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥}^{2} + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥ . \end{aligned}

(3.23)

将（3.20）替换为（3.23），我们得到

\begin{aligned} {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \leq & {∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + α_{n个} {M（M）}_{1} 负极 {∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥ \\ 负极 {∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥}^{2} + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥ . \end{aligned}

因此，我们得出

\begin{aligned} {∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + {∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥}^{2} \\ \leq α_{n个} {M（M）}_{1} + 2 μ ∥ B类 {x个}_{n个} 负极 B类 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥ + 2 λ ∥ A类 {z（z）}_{n个} 负极 A类 {x个}^{*} ∥ ∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥, \end{aligned}

所以，

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {x个}_{n个} 负极 {z（z）}_{n个} ∥ = 0, \underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {z（z）}_{n个} 负极 年_{n个} ∥ = 0 .

接下来，我们证明

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 负极 \frac{2}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}_{n个} 负极 \tilde{x个} 〉 \leq 0,

(3.24)

哪里 $\tilde{x个}$ 是变分不等式（3.2）的唯一解。为了看到这一点，我们可以取一个子序列 ${{x个}_{{n个}_{k个}}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 令人满意的

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 负极 \frac{2}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}_{n个} 负极 \tilde{x个} 〉 = \underset{k个 \to \infty}{极限} 负极 \frac{2}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}_{{n个}_{k个}} 负极 \tilde{x个} 〉

(3.25)

和 ${{x个}_{{n个}_{k个}}}$ 弱收敛到一点 ${x个}^{*}$ 作为 $k个 \to \infty$ .通过与定理3.3类似的论点，我们可以推断 ${x个}^{*} \in Ω$ .自 $\tilde{x个}$ 求解变分不等式（3.2），通过组合（3.24）和（3.25），我们得到

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 负极 \frac{2}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}_{n个} 负极 \tilde{x个} 〉 = 负极 \frac{2}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类 负极 γ （f）) \tilde{x个}, {x个}^{*} 负极 \tilde{x个} 〉 \leq 0 .

最后，我们证明 ${x个}_{n个} \to \tilde{x个}$ 作为 $n个 \to \infty$ 由（3.15）可知

\begin{aligned} {∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} = & 〈 {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = & 〈 [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} 负极 {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = & 〈 [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] 年_{n个} 负极 [我 负极 α_{n个} (F类 负极 γ （f）)] {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ 负极 α_{n个} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ \leq & (1 负极 α_{n个} ρ) ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥ + α_{n个} γ ∥ （f） (年_{n个}) 负极 （f） ({x个}^{*}) ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥ \\ 负极 α_{n个} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ \leq & [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个}] ∥ 年_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥ 负极 α_{n个} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ \leq & [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个}] ∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥ 负极 α_{n个} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ \leq & \frac{1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个}}{2} {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + \frac{1}{2} {∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} \\ 负极 α_{n个} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉, \end{aligned}

也就是说，

\begin{aligned} {∥ {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} & \leq [1 负极 (ρ 负极 γ τ) α_{n个}] {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} 负极 2 α_{n个} 〈 (F类 负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉 \\ = (1 负极 δ_{n个}) {∥ {x个}_{n个} 负极 {x个}^{*} ∥}^{2} + δ_{n个} σ_{n个}, \end{aligned}

哪里 $δ_{n个} = (ρ 负极 γ τ) α_{n个}$ 和 $σ_{n个} = 负极 \frac{2}{ρ 负极 γ τ} 〈 (F类负极 γ （f）) {x个}^{*}, {x个}_{n个 + 1} 负极 {x个}^{*} 〉$ 很容易看出 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} δ_{n个} = \infty$ 和 ${酸橙酱}_{n个 \to \infty} σ_{n个} \leq 0$ 因此，通过引理2.4，我们得出如下结论： ${{x个}_{n个}}$ 强烈收敛到该点 ${x个}^{*}$ 。这就完成了证明。□

工具书类

Agarwal RP，Cho YJ，Petrot N:Hilbert空间中一般非线性集值混合变分不等式组问题。不动点理论应用。2011年、2011年：文章ID 31
谷歌学者
Chai YF，Cho YJ，Li J：向量优化问题中理想点的一些特征。J.不平等。申请。2008年、2008年：文章ID 231845
谷歌学者
Cho YJ，Petrot N：与广义平衡和不动点问题相关的优化问题及其应用。不动点理论2010, 11: 237–250.
数学科学网数学谷歌学者
Stampacchia G：形成胆道强迫性集合凸。C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎1964, 258: 4413–4416.
数学科学网数学谷歌学者
Lions JL，Stampacchia G：变分不等式。Commun公司。纯应用程序。数学。1967, 20: 493–517.
第条数学科学网数学谷歌学者
Yao JC：广义单调算子的变分不等式。数学。操作。物件。1994, 19: 691–705.
第条数学科学网数学谷歌学者
Noor MA：一般变分不等式的一些发展。申请。数学。计算。2004, 152: 199–277.
第条数学科学网数学谷歌学者
Takahashi W，Toyoda M：非扩张映射和单调映射的弱收敛定理。J.优化。理论应用。2003, 118: 417–428.
第条数学科学网数学谷歌学者
Iiduka H，Takahashi W：非扩张映射和逆强单调映射的强收敛定理。非线性分析。2005, 61: 341–350.
第条数学科学网数学谷歌学者
Rockafellar RT：关于非线性单调算子和的极大性。事务处理。美国数学。Soc公司。1970, 149: 75–88.
第条数学科学网数学谷歌学者
Rockafellar RT：单调算子和近点算法。SIAM J.控制优化。1976, 14: 877–898.
第条数学科学网数学谷歌学者
Liu F，Nashed MZ：非线性不适定变分不等式的正则化和收敛速度。设定值分析。1998, 6: 313–344.
第条数学科学网数学谷歌学者
Yao Y，Yao JC：关于非扩张映射和单调映射的改进迭代方法。申请。数学。计算。2007, 186: 1551–1558.
第条数学科学网数学谷歌学者
Yao Y，Cho YJ，Liou YC：变分包含、混合平衡问题和优化问题不动点问题方法的迭代算法。美分。欧洲数学杂志。2011, 9: 640–656.
第条数学科学网数学谷歌学者
姚毅，赵永杰，刘永春：变分包含、混合平衡问题和不动点问题的公共解算法。欧洲药典。物件。2011, 212: 242–250.
第条数学科学网数学谷歌学者
Zhu J，Zhong CK，Cho YJ：广义变分原理和向量优化。J.优化。理论应用。2000, 106: 201–218.
第条数学科学网数学谷歌学者
Blum E，Oettli W：从优化和变分不等式到平衡问题。数学。螺柱。1994, 63: 123–145.
数学科学网数学谷歌学者
Combettes PL，Hirstoaga SA：使用近似算法的平衡编程。数学。程序。1997, 78: 29–41.
第条数学科学网谷歌学者
Combettes PL，Hirstoaga SA：希尔伯特空间中的平衡规划。J.非线性凸分析。2005, 6: 117–136.
数学科学网数学谷歌学者
Flam SD，Antipin AS：使用近似算法的平衡编程。数学。程序。1997, 78: 29–41.
第条数学科学网数学谷歌学者
Zeng LC，Wu SY，Yao JC：广义KKM定理及其在广义极小极大不等式和广义均衡问题中的应用。台湾。数学杂志。2006, 10: 1497–1514.
数学科学网数学谷歌学者
Chadli O，Wong NC，Yao JC:平衡问题及其在特征值问题中的应用。J.优化。理论应用。2003, 117: 245–266.
第条数学科学网数学谷歌学者
Chadli O，Schaible S，Yao JC:正则化平衡问题及其在非强制半变分不等式中的应用。J.优化。理论应用。2004, 121: 571–596.
第条数学科学网数学谷歌学者
Konnov IV，Schaible S，Yao JC:混合平衡问题的组合松弛方法。J.优化。理论应用。2005, 126: 309–322.
第条数学科学网数学谷歌学者
Chadli O，Konnov IV，Yao JC:Banach空间中平衡问题的下降方法。计算。数学。申请。2004, 48: 609–616.
第条数学科学网数学谷歌学者
丁XP，林永春，姚JC：求解广义混合隐式拟平衡问题的预测-校正算法。申请。数学。机械。2006, 27: 1157–1164.
第条数学科学网数学谷歌学者
高桥S，高桥W：希尔伯特空间中平衡问题和不动点问题的粘性近似方法。数学杂志。分析。申请。2007, 331: 506–515.
第条数学科学网数学谷歌学者
Takahashi S，Takahahi W：Hilbert空间中广义平衡问题和非扩张映射的强收敛定理。非线性分析。2008, 69: 1025–1033.
第条数学科学网数学谷歌学者
姚毅，刘永春，姚JC:非扩张映射无限族平衡问题和不动点问题的收敛定理。不动点理论应用。2007年：文章ID 64363
谷歌学者
Zeng LC，Yao JC:混合平衡问题和不动点问题的混合迭代格式。J.计算。申请。数学。2008, 214: 186–201.
第条数学科学网数学谷歌学者
Rockafellar RT：单调算子和近点算法。SIAM J.控制优化。1976年，14:877–898。
第条数学科学网数学谷歌学者
Adly S：广义变分包含类的扰动算法和灵敏度分析。数学杂志。分析。申请。1996, 201: 609–630.
第条数学科学网数学谷歌学者
Zhang SS，Lee JHW，Chan CK:拟变分包含和不动点问题的公共解算法。申请。数学。机械。2008, 29: 571–581.
第条数学科学网数学谷歌学者
Ding XP：广义拟变分包含的扰动Ishikawa型迭代算法。申请。数学。计算。2003年，141:359–373。
第条数学科学网数学谷歌学者
Huang NJ：非线性广义变分包含的Mann和Ishikawa型扰动迭代算法。计算。数学。申请。1998, 35: 9–14.
第条谷歌学者
Fang YP、Huang NJ：小时-拟变量包含的单调算子和预解算子技术。申请。数学。计算。2003, 145: 795–803.
第条数学科学网数学谷歌学者
Verma RU：通用系统 $(η, A类)$ -基于广义混合迭代算法的单调变分包含问题。非线性分析。混合系统。2007, 1: 326–335.
第条数学科学网数学谷歌学者
彭JW，王毅，Shyu DS，姚JC:变分包含、平衡问题和不动点问题的迭代格式的常见解。J.不平等。申请。2008年、2008年：文章ID 720371
谷歌学者
彭JW，姚JC:广义混合平衡问题、不动点问题和变分不等式问题的一种新的混合极值方法。台湾。数学杂志。2008, 12: 1401–1432.
数学科学网数学谷歌学者
布雷齐斯H：希尔伯特最大单调与半群收缩算子.荷兰北部，阿姆斯特丹；1973
数学谷歌学者
Xu HK:非线性算子的迭代算法。J.隆德。数学。Soc公司。2002, 66: 240–256.
第条数学科学网数学谷歌学者

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鸣谢

姚永红获得了国家自然科学基金11071279和71161001-G0105的部分资助。Yeol Je Cho通过韩国教育、科学和技术部资助的国家研究基金会（NRF）获得基础科学研究计划的支持（批准号：2012-0008170）。Yeong-Cheng Liou部分得到了NSC 101-2628-E-230-001-MY3和NSC 101-2-622-E-230-005-CC3的支持。

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姚永红
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郑美康（Jung Im Kang）
韩国庆尚国立大学数学教育与RINS系，钦州，660-701
Yeol Je Cho先生
台湾高雄，833，成师大信息管理系
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作者

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Yao，Y.、Kang，J.I.、Cho，Y.J。等。平衡问题上变分不等式和变分包含的复合格式。J不平等申请 2013，第414页（2013年）。https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-414

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收到:2013年4月10日
认可的:2013年7月29日
出版:2013年8月28日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-414

平衡问题上变分不等式和变分包含的复合格式

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