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不等式与应用杂志
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新的广义Hermite-Hadamard型不等式及其在特殊平均中的应用

不等式与应用杂志 体积 2013，物品编号：325(2013)引用这篇文章

摘要

本文针对满足单调性、凸性和秒-e（电子）-研究了条件。首先建立了三类包含一阶导数的左型Hadamard分数阶积分恒等式。利用已建立的积分恒等式，给出了一些涉及Hadamard分数次积分的有趣的Hermite-Hadamard型积分不等式。最后，给出了实数特殊均值的一些应用。

理学硕士：26A33、26A51、26D15。

1准备工作

让（f）:[一，b条]⊂R（右）→R（右）是凸函数，则在黎曼和

（f） ( 一 + b条 2 ) ≤ 1 b条 − 一 ∫ 一 b条 （f）(t吨)d日t吨≤ （f） ( 一 ) + （f） ( b条 ) 2 .

上述不等式是所谓的经典Hermite-Hadamard型不等式，它为定义在紧区间上的任何凸函数的积分平均值提供了上下估计，涉及域的中点和端点。这一有趣的不等式是赫米特于1881年在杂志上首次发现的数学（见米特里诺维奇和拉科维奇[1]). 然而，这个美丽的结果在数学文献中没有提及，也没有被广泛称为Hermite的结果（参见Pec̆arić等。[2]). 对于推广、改进和推广这一经典Hermite-Hadamard不等式的最新结果，我们可以看到[三–13]以及其中的参考。

同时，分数积分和导数为描述各种材料和过程的记忆和遗传特性提供了一个极好的工具。它们在地震非线性振荡、多孔介质渗流和流体动力学交通模型等许多物理现象中有着广泛的应用。关于分数阶微积分的最新发展，可以参阅专著[14–21].

由于Hermite-Hadamard型不等式和分数次积分的广泛应用，许多研究者将其研究扩展到涉及分数次积分（不限于整数积分）的Hermite-Hadamard类型不等式。最近，对于不同类型的函数，人们得到了越来越多的涉及分数次积分的Hermite-Hadamard不等式；参见[22，23]对于非递减函数和凸函数[24，25]的米-凸函数和(秒，米)-凸函数及其参考文献。

值得注意的是，王等。[23]采纳了一些想法[22]导出以下涉及Hadamard分数积分的Hermite-Hadamard型不等式。

定理1.1（见定理2.1[23])

让（f）:[一，b条]→R（右）是一个正函数0<一<b条和（f）∈我[一，b条].如果（f）是上的非递减凸函数[一，b条]，那么以下分数次积分不等式成立:

（f）( 一 b条 )≤ Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f）(b条) + H（H） J型 b条 − α （f）(一)]≤（f）(b条).

我们注意到，表示左侧和右侧Hadamard分数阶积分的符号α∈ R（右） + 函数的（f）(x个)由定义

( H（H） J型 一 + α （f）)(x个)= 1 Γ ( α ) ∫ 一 x个 ( 自然对数 x个 t吨 ) α − 1 （f）(t吨) d日 t吨 t吨 (0<一<x个≤b条)，

和

( H（H） J型 b条 − α （f）)(x个)= 1 Γ ( α ) ∫ x个 b条 ( 自然对数 t吨 x个 ) α − 1 （f）(t吨) d日 t吨 t吨 (0<一≤x个<b条)，

哪里Γ(⋅)是伽马函数。

此外，以下重要的右型Hadamard分数积分恒等式包括（f）也已建立。

引理1.2（参见引理3.1[23])

让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果 （f） ′ ∈我[一，b条]，那么以下分数积分等式成立:

（f） ( 一 ) + （f） ( b条 ) 2 − Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] = 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 .

在该序列中，给出了一些新的涉及Hadamard分数次积分的Hermite-Hadamard型积分不等式[23].

然而，其他有趣的左型Hadamard分数积分恒等式包括（f）尚未报告。因此，本文的第一个目的是找到一些可能的表示形式，包括（f）对于以下等式：

Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 + b条 2 ) = 什么？ Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 b条 ) = 什么？ Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] = 什么？

本文的第二个目的是针对满足单调性、凸性和秒-e（电子）-利用左型Hadamard分数积分恒等式进行条件。在[26]，王等。引入了秒-e（电子）-克服Hadamard分数次积分中奇异核的一些基本困难的条件。

定义1.3A函数（f）:我⊂(0，∞)→R（右）据说可以满足秒-e（电子）-条件，如果

（f） ( e（电子） λ x个 + ( 1 − λ ) 年 ) ≤ λ 秒 （f） ( e（电子） x个 ) + ( 1 − λ ) 秒 （f） ( e（电子） 年 )

为所有人x个，年∈我，λ∈[0，1]对于一些固定的秒∈(0，1].

备注1.4如果（f）:我⊂(0，∞)→R（右）是一个非递减凸函数，那么（f）满足

（f） ( e（电子） λ x个 + ( 1 − λ ) 年 ) ≤（f） ( λ e（电子） x个 + ( 1 − λ ) e（电子） 年 ) ≤λ（f） ( e（电子） x个 ) +(1−λ)（f） ( e（电子） 年 )

为所有人x个，年∈我，λ∈[0，1]，这意味着秒-e（电子）-上述条件。

在下文中，我们回顾以下两个基本不等式[27].

引理1.5对于0<σ≤1和0≤一<b条，我们有

| 一 σ − b条 σ | ≤ ( b条 − 一 ) σ .

引理1.6对于所有人λ，υ，ω>0，那么对于任何t吨>0，我们有

∫ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) υ − 1 秒 λ − 1 e（电子） − ω 秒 d日秒≤最大值 { 1 ， 2 1 − υ } Γ(λ) ( 1 + λ υ ) ω − λ t吨 υ − 1 .

2左型Hadamard分数-积分恒等式

在本节中，我们建立了一些重要的左型Hadamard分数积分恒等式，包括给定函数的一阶导数。

引理2.1让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果 （f） ′ ∈我[一，b条]，那么以下分数积分等式成立:

Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 + b条 2 ) = b条 − 一 2 ∫ 0 1 k个 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 − 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 ，
(1)

哪里

k个={ 1 ， 0 ≤ t吨 < 1 2 ， − 1 ， 1 2 ≤ t吨 < 1 .

证明表示

我 = b条 − 一 2 ∫ 0 1 2 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 − b条 − 一 2 ∫ 1 2 1 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 − 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 : = 我 1 + 我 2 + 我 三 + 我 4 ，
(2)

哪里

我 1 = b条 − 一 2 ∫ 0 1 2 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 ， 我 2 = − b条 − 一 2 ∫ 1 2 1 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 ， 我 三 = − 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 ) α e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 ， 我 4 = 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 t吨 α e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 .

通过部件集成，我们有

我 1 = b条 − 一 2 ∫ 0 1 2 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 = − （f） ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) 2 | 0 1 2 = 1 2 [ （f） ( b条 ) − （f） ( 一 + b条 2 ) ] ，
(3)

和

我 2 = − b条 − 一 2 ∫ 1 2 1 （f） ′ ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) d日 t吨 = （f） ( t吨 一 + ( 1 − t吨 ) b条 ) 2 | 1 2 1 = 1 2 [ （f） ( 一 ) − （f） ( 一 + b条 2 ) ] ，
(4)

和

我 三 = − 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 ) α e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 = ( 1 − t吨 ) α （f） ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) 2 | 0 1 + α 2 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 ) α − 1 （f） ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 = − （f） ( b条 ) 2 + α 2 ( 自然对数 一 − 自然对数 b条 ) ∫ b条 一 ( 自然对数 单位 − 自然对数 一 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α − 1 （f） ( 单位 ) d日 单位 单位 = − （f） ( b条 ) 2 + α 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α ∫ 一 b条 ( 自然对数 单位 − 自然对数 一 ) α − 1 （f） ( 单位 ) d日 单位 单位 = − （f） ( b条 ) 2 + Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ，
(5)

和

我 4 = 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 t吨 α e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 = − t吨 α （f） ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) 2 | 0 1 + α 2 ∫ 0 1 t吨 α − 1 （f） ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 = − （f） ( 一 ) 2 + α 2 ( 自然对数 一 − 自然对数 b条 ) ∫ b条 一 ( 自然对数 b条 − 自然对数 单位 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α − 1 （f） ( 单位 ) d日 单位 单位 = − （f） ( 一 ) 2 + α 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α ∫ 一 b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 单位 ) α − 1 （f） ( 单位 ) d日 单位 单位 = − （f） ( 一 ) 2 + Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) .
（6）

将（3）、（4）、（5）和（6）提交至（2），如下所示

我= Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f）(b条) + H（H） J型 b条 − α （f）(一)]−（f） ( 一 + b条 2 ) .
(7)

这就完成了证明。 □

引理2.2让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果 （f） ′ ∈我[一，b条]，那么以下分数积分等式成立:

Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 b条 ) = 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 [ ∫ 0 1 k个 e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 − ∫ 0 1 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 ] ，
(8)

哪里

k个={ 1 ， 0 ≤ t吨 < 1 2 ， − 1 ， 1 2 ≤ t吨 < 1 .

证明不难验证

我 = ∫ 0 1 2 e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 − ∫ 1 2 1 e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) d日 t吨 − ∫ 0 1 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 = （f） ( b条 ) − （f） ( 一 b条 ) 自然对数 b条 − 自然对数 一 + （f） ( 一 ) − （f） ( 一 b条 ) 自然对数 b条 − 自然对数 一 − （f） ( b条 ) 自然对数 b条 − 自然对数 一 + Γ ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α + 1 H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) − （f） ( 一 ) 自然对数 b条 − 自然对数 一 + Γ ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α + 1 H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) = Γ ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α + 1 [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − 2 （f） ( 一 b条 ) 自然对数 b条 − 自然对数 一 .
(9)

因此，通过将两边乘以 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 在（9）中，我们立即得出结论（8）。□

引理2.3让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果 （f） ′ ∈我[一，b条]，那么以下分数积分等式成立:

Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] = ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ∫ 0 1 ( t吨 α − 1 ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 − ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 ∫ 0 1 ( t吨 α − 1 ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) d日 t吨 .
(10)

证明通过部件集成，我们有

∫ 0 1 ( t吨 α − 1 ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 = ( t吨 α − 1 ) （f） ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) 自然对数 x个 − 自然对数 b条 | 0 1 − α 自然对数 x个 − 自然对数 b条 ∫ 0 1 t吨 α − 1 （f） ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 = （f） ( b条 ) 自然对数 x个 − 自然对数 b条 − α ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ∫ b条 x个 ( 自然对数 b条 − 自然对数 单位 ) α − 1 （f） ( 单位 ) d日 单位 单位 = − （f） ( b条 ) 自然对数 b条 − 自然对数 x个 + Γ ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ，
(11)

和

∫ 0 1 ( t吨 α − 1 ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) d日 t吨 = ( t吨 α − 1 ) （f） ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) 自然对数 x个 − 自然对数 一 | 0 1 − α 自然对数 x个 − 自然对数 一 ∫ 0 1 t吨 α − 1 （f） ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) d日 t吨 = （f） ( 一 ) 自然对数 x个 − 自然对数 一 − α ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 ∫ 一 x个 ( 自然对数 单位 − 自然对数 一 ) α − 1 （f） ( 单位 ) d日 单位 单位 = （f） ( 一 ) 自然对数 x个 − 自然对数 一 − Γ ( α + 1 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) .
(12)

将（11）和（12）的两边乘以 ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 和− ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 分别有

( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ∫ 0 1 ( t吨 α − 1 ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 = − （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + Γ ( α + 1 ) H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ，
(13)

和

− ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 ∫ 0 1 ( t吨 α − 1 ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) d日 t吨 = − （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + Γ ( α + 1 ) H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) .
(14)

从等式（13）和（14）中，我们得到不等式（10）。 □

3涉及Hadamard分数积分的Hermite-Hadamard型不等式

在本节中，我们使用重要的Hadamard分数积分恒等式，包括（f）在第2节中，建立了许多有趣的Hermite-Hadamard型不等式，其中涉及Hadamard阶分数次积分α∈ R（右） + 对于满足单调性、凸性和秒-e（电子）-条件。

3.1使用单调性

定理3.1让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果α∈(0，1]， （f） ′ ∈我[一，b条]而且不会减少，那么以下分数次积分不等式成立:

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 + b条 2 ) | ≤ 1 2 [ b条 − 一 + b条 ( α + 2 ) α + 1 + 一 b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 ( α + 1 ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .
(15)

证明使用引理2.1和 （f） ′ ，我们发现

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 + b条 2 ) | ≤ b条 − 一 2 ∫ 0 1 | （f） ′ ( b条 − t吨 ( b条 − 一 ) ) | d日 t吨 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 | ( 1 − t吨 ) α − t吨 α | e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) | （f） ′ ( e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ) | d日 t吨 ≤ b条 − 一 2 | （f） ′ ( b条 ) | + 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 2 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) | （f） ′ ( b条 ) | d日 t吨 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 1 2 1 [ t吨 α − ( 1 − t吨 ) α ] e（电子） 自然对数 b条 − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) | （f） ′ ( b条 ) | d日 t吨 = b条 − 一 2 | （f） ′ ( b条 ) | + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 | （f） ′ ( b条 ) | ( K 1 + K 2 ) ，
(16)

哪里

K 1 = ∫ 0 1 2 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) d日 t吨 ， K 2 = ∫ 1 2 1 [ t吨 α − ( 1 − t吨 ) α ] e（电子） − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) d日 t吨 .

精明的 K 1 和 K 2 ，我们有

K 1 = ∫ 0 1 2 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] e（电子） − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) d日 t吨 ≤ ∫ 0 1 2 ( 1 − 2 t吨 ) α e（电子） − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) d日 t吨 = 1 2 ∫ 0 1 ( 1 − 秒 ) ( α + 1 ) − 1 e（电子） − 1 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 秒 d日 秒 ≤ 1 2 最大值 { 1 ， 2 − α } ( 1 + 1 α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ) − 1 ≤ α + 2 ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ，
(17)

和

K 2 = ∫ 1 2 1 [ t吨 α − ( 1 − t吨 ) α ] e（电子） − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) d日 t吨 ≤ ∫ 1 2 1 ( 2 t吨 − 1 ) α e（电子） − t吨 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) d日 t吨 = 1 2 ∫ 1 2 ( 秒 − 1 ) α e（电子） − 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 秒 d日 t吨 = 1 2 e（电子） − ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) ∫ 0 1 ( 1 − τ ) α e（电子） 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 τ d日 τ ≤ 1 2 e（电子） − 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ∫ 0 1 ( 1 − τ ) α d日 τ = 一 b条 2 ( α + 1 ) ，
(18)

其中使用了引理1.5和1.6。

因此，如果我们在（16）中使用（17）和（18），我们就得到了（15）的不等式。这就完成了证明。□

定理3.2让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果α∈(0，1]， （f） ′ ∈我[一，b条]而且不会减少，那么以下分数次积分不等式成立:

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 + b条 2 ) | ≤ [ b条 − 一 2 + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α + 1 ( 1 − 1 2 α ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .

证明使用引理2.1和 （f） ′ ，可以获得

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 + b条 2 ) | ≤ b条 − 一 2 | （f） ′ ( b条 ) | + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 | （f） ′ ( b条 ) | [ ∫ 0 1 2 [ ( 1 − t吨 ) α − t吨 α ] d日 t吨 + ∫ 1 2 1 [ t吨 α − ( 1 − t吨 ) α ] d日 t吨 ] = [ b条 − 一 2 + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α + 1 ( 1 − 1 2 α ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .

证明已完成。 □

定理3.3让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果α∈(0，1]， （f） ′ ∈我[一，b条]而且不会减少，那么以下分数次积分不等式成立:

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 b条 ) | ≤ b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 [ 1 + α + 2 ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) + 一 b条 2 ( α + 1 ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .

证明使用引理2.2和 （f） ′ ，我们发现

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 b条 ) | ≤ 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 [ ∫ 0 1 b条 | （f） ′ ( b条 ) | d日 t吨 + ∫ 0 1 | ( 1 − t吨 ) α − t吨 α | e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 一 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) d日 t吨 ] ≤ b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 [ 1 + α + 2 ( α + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) + 一 b条 2 ( α + 1 ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .

这就完成了证明。□

定理3.4让（f）:[一，b条]→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条.如果α∈(0，1]， （f） ′ ∈我[一，b条]而且不会减少，那么以下分数次积分不等式成立:

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 b条 ) | ≤ b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 [ 1 + 2 α + 1 ( 1 − 1 2 α ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .

证明使用引理2.2和 （f） ′ ，我们发现

| Γ ( α + 1 ) 2 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) α [ H（H） J型 一 + α （f） ( b条 ) + H（H） J型 b条 − α （f） ( 一 ) ] − （f） ( 一 b条 ) | ≤ 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 [ ∫ 0 1 b条 | （f） ′ ( b条 ) | d日 t吨 + ∫ 0 1 | ( 1 − t吨 ) α − t吨 α | b条 | （f） ′ ( b条 ) | d日 t吨 ] ≤ b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 [ 1 + 2 α + 1 ( 1 − 1 2 α ) ] | （f） ′ ( b条 ) | .

这就完成了证明。 □

3.2使用秒-e（电子）-条件

定理3.5让（f）:[一，b条]⊂(0，∞)→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条这样的话 （f） ′ ∈我(一，b条).如果| （f） ′ |满足秒-e（电子）-条件为[一，b条]对于一些固定的秒∈(0，1]和| （f） ′ (x个)|≤M（M），x个∈[一，b条]，然后是分数次积分的以下不等式α>0持有:

| Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] | ≤ M（M） b条 [ 1 + 2 α 秒 + 1 − Γ ( α + 1 ) Γ ( 秒 + 1 ) Γ ( α + 秒 + 1 ) ] ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 α + 秒 + 1 .

证明从引理2.3开始| （f） ′ |满足秒-e（电子）-条件为[一，b条]，我们有

| Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] | ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) | d日 t吨 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) | d日 t吨 ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) x个 t吨 b条 1 − t吨 ( t吨 秒 | （f） ′ ( x个 ) | + ( 1 − t吨 ) 秒 | （f） ′ ( b条 ) | ) d日 t吨 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) x个 t吨 一 1 − t吨 ( t吨 秒 | （f） ′ ( x个 ) | + ( 1 − t吨 ) 秒 | （f） ′ ( 一 ) | ) d日 t吨 ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 M（M） b条 ∫ 0 1 [ t吨 秒 ( 1 − t吨 α ) + ( 1 − t吨 α ) ( 1 − t吨 ) 秒 ] d日 t吨 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 M（M） b条 ∫ 0 1 [ t吨 秒 ( 1 − t吨 α ) + ( 1 − t吨 α ) ( 1 − t吨 ) 秒 ] d日 t吨 = M（M） b条 [ ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ] ∫ 0 1 [ t吨 秒 ( 1 − t吨 α ) + ( 1 − t吨 ) 秒 − t吨 α ( 1 − t吨 ) 秒 ] d日 t吨 = M（M） b条 [ 2 秒 + 1 − 1 秒 + α + 1 − Γ ( α + 1 ) Γ ( 秒 + 1 ) Γ ( α + 秒 + 2 ) ] [ ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ] = M（M） b条 [ 1 + 2 α 秒 + 1 − Γ ( α + 1 ) Γ ( 秒 + 1 ) Γ ( α + 秒 + 1 ) ] ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 α + 秒 + 1 ，

我们利用这个事实 x个 t吨 一 1 − t吨 ≤x个≤b条和 x个 t吨 b条 1 − t吨 ≤b条通过

∫ 0 1 t吨 秒 ( 1 − t吨 α ) d日t吨= 1 秒 + 1 − 1 秒 + α + 1 ，

和

∫ 0 1 [ ( 1 − t吨 ) 秒 − t吨 α ( 1 − t吨 ) 秒 ] d日t吨= 1 秒 + 1 −B类(α+1，秒+1)= 1 秒 + 1 − Γ ( α + 1 ) Γ ( 秒 + 1 ) Γ ( α + 秒 + 2 ) .

所以，使用约化公式Γ(n个+1)=n个Γ(n个)(n个>0)对于Euler伽马函数，证明已完成。 □

定理3.6让（f）:[一，b条]⊂(0，∞)→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条这样的话 （f） ′ ∈我(一，b条).如果 | （f） ′ | q个 满足秒-e（电子）-条件为[一，b条]对于一些固定的秒∈(0，1]和| （f） ′ (x个)|≤M（M），x个∈[一，b条]，然后是分数次积分的以下不等式α>0持有:

| Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] | ≤ M（M） b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 [ 1 + 2 α 秒 + 1 − Γ ( α + 1 ) Γ ( 秒 + 1 ) Γ ( α + 秒 + 1 ) ] 1 q个 × ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ( α + 秒 + 1 ) 1 q个 ，

哪里 1 对 + 1 q个 =1.

证明使用引理2.3和著名的Hölder不等式，以及自 | （f） ′ | q个 满足秒-e（电子）-条件[一，b条]，我们有

| Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] | ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) | d日 t吨 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) | d日 t吨 ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 b条 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) | d日 t吨 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 b条 ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) | d日 t吨 ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 b条 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) d日 t吨 ) 1 对 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 b条 ) | q个 d日 t吨 ) 1 q个 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 b条 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) d日 t吨 ) 1 对 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) | （f） ′ ( e（电子） t吨 自然对数 x个 + ( 1 − t吨 ) 自然对数 一 ) | q个 d日 t吨 ) 1 q个 ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) [ t吨 秒 | （f） ′ ( x个 ) | q个 + ( 1 − t吨 ) 秒 | （f） ′ ( b条 ) | q个 ] d日 t吨 ) 1 q个 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) [ t吨 秒 | （f） ′ ( x个 ) | q个 + ( 1 − t吨 ) 秒 | （f） ′ ( 一 ) | q个 ] d日 t吨 ) 1 q个 ≤ ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 M（M） b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) [ t吨 秒 + ( 1 − t吨 ) 秒 ] d日 t吨 ) 1 q个 + ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 M（M） b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 ( ∫ 0 1 ( 1 − t吨 α ) [ t吨 秒 + ( 1 − t吨 ) 秒 ] d日 t吨 ) 1 q个 = M（M） b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 [ 1 + 2 α 秒 + 1 − Γ ( α + 1 ) Γ ( 秒 + 1 ) Γ ( α + 秒 + 1 ) ] 1 q个 × ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ( α + 秒 + 1 ) 1 q个 .

这就完成了证明。 □

3.3使用单调性和凸性

注意到备注1.4并重复定理3.5和定理3.6中的相同过程，我们可以立即得出以下结果。

定理3.7让（f）:[一，b条]⊂(0，∞)→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条这样的话 （f） ′ ∈我(一，b条).如果| （f） ′ |是凸的且不减少[一，b条]和| （f） ′ (x个)|≤M（M），x个∈[一，b条]，然后是分数次积分的以下不等式α>0持有:

| Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] | ≤ α M（M） b条 ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 α + 1 .

定理3.8让（f）:[一，b条]⊂(0，∞)→R（右）是上的可微映射(一，b条)具有0<一<b条这样的话 （f） ′ ∈我(一，b条).如果 | （f） ′ | q个 是凸的且不减少[一，b条]和| （f） ′ (x个)|≤M（M），x个∈[一，b条]，那么下面的分数积分不等式α>0持有:

| Γ ( α + 1 ) [ H（H） J型 x个 − α （f） ( 一 ) + H（H） J型 x个 + α （f） ( b条 ) ] − [ （f） ( 一 ) ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + （f） ( b条 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α ] | ≤ α 1 q个 M（M） b条 ( 1 − 1 α + 1 ) 1 对 ( 自然对数 x个 − 自然对数 一 ) α + 1 + ( 自然对数 b条 − 自然对数 x个 ) α + 1 ( α + 1 ) 1 q个 ，

哪里 1 对 + 1 q个 =1.

4特殊方式的应用

考虑以下特殊方式（参见Pearce和Pec̆arić[28])对于任意实数α，β，α≠β如下：

  1. （i）

    H（H）(α，β)= 2 1 α + 1 β ，α，β∈R（右）∖{0}，

  2. （ii）

    一个(α，β)= α + β 2 ，α，β∈R（右），

  3. （iii）

    我(α，β)= β − α 自然对数 | β | − 自然对数 | α | ，|α|≠|β|，αβ≠0，

  4. （iv）

    我 n个 (α，β)= [ β n个 + 1 − α n个 + 1 ( n个 + 1 ) ( β − α ) ] 1 n个 ，n个∈Z轴∖{−1，0}，α，β∈R（右），α≠β.

现在，利用第3节中的结果，我们给出了实数特殊平均数的一些应用。

提议4.1让一，b条∈ R（右） + ∖{0}，一<b条.然后

| 我 ( 一 ， b条 ) − 一个 ( 一 ， b条 ) | ≤ 1 2 [ 5 b条 2 − 一 + 一 b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 ] ，
（19）
| 我 ( 一 ， b条 ) − 一个 ( 一 ， b条 ) | ≤ 1 2 [ b条 − 一 + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 ] ，
（20）
|我(一，b条)− [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] 1 2 |≤ b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 8 ( 4 + 6 自然对数 b条 − 自然对数 一 + 一 b条 ) ，
(21)

和

|我(一，b条)− [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] 1 2 |≤ 三 b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 .
(22)

证明将定理3.1、3.2、3.3和3.4应用于（f）(x个)=x个和α=1，可以立即获得结果。 □

提议4.2让一，b条∈ R（右） + ∖{0}，一<b条.然后

| 我 ( 一 n个 ， b条 n个 ) − 一个 n个 ( 一 ， b条 ) | ≤ n个 b条 n个 − 1 2 [ 5 b条 2 − 一 + 一 b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 ] ，
(23)
| 我 ( 一 n个 ， b条 n个 ) − 一个 n个 ( 一 ， b条 ) | ≤ n个 b条 n个 − 1 2 [ b条 − 一 + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 ] ，
(24)
|我 ( 一 n个 ， b条 n个 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] n个 2 |≤ n个 b条 n个 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 8 ( 4 + 6 自然对数 b条 − 自然对数 一 + 一 b条 ) ，
(25)

和

|我 ( 一 n个 ， b条 n个 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] n个 2 |≤ 三 n个 b条 n个 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 .
(26)

证明将定理3.1、3.2、3.3和3.4应用于（f）(x个)= x个 n个 和α=1，可以立即获得结果。 □

提议4.3让一，b条∈ R（右） + ∖{0}，一<b条和n个∈Z轴，|n个|≥2.然后

|我(一，b条) 我 n个 n个 (一，b条)− 一个 n个 + 1 (一，b条)|≤ ( n个 + 1 ) b条 n个 2 [ 5 b条 2 − 一 + 一 b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 ] ，
(27)
|我(一，b条) 我 n个 n个 (一，b条)− 一个 n个 + 1 (一，b条)|≤ ( n个 + 1 ) b条 n个 2 [ b条 − 一 + b条 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 2 ] ，
(28)
| 我 ( 一 ， b条 ) 我 n个 n个 ( 一 ， b条 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] n个 + 1 2 | ≤ ( n个 + 1 ) b条 n个 + 1 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 8 ( 4 + 6 自然对数 b条 − 自然对数 一 + 一 b条 ) ，
(29)

和

|我(一，b条) 我 n个 n个 (一，b条)− [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] n个 + 1 2 |≤ 三 ( n个 + 1 ) b条 n个 + 1 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 .
(30)

证明将定理3.1、3.2、3.3和3.4应用于（f）(x个)= x个 n个 + 1 和α=1，x个∈R（右），z（z）∈Z轴，|n个|≥2，可以立即获得结果。 □

提案4.4让一，b条∈ R（右） + ∖{0}(一<b条), 一 − 1 > b条 − 1 .那么我们有，对于n个∈Z轴，|n个|≥2

（c1）

| 我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − H（H） − 1 ( b条 ， 一 ) | ≤ 1 2 ( 5 2 一 − 1 b条 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 4 一 b条 ) ，

（c2）

| 我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − H（H） − 1 ( b条 ， 一 ) | ≤ 1 2 一 ( b条 − 一 b条 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ) ，

（c3）

|我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] − 1 2 |≤ 自然对数 b条 − 自然对数 一 8 一 ( 4 + 6 自然对数 b条 − 自然对数 一 + 一 b条 ) ，

（c4）

|我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] − 1 2 |≤ 三 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 一 ，

（c5）

| 我 ( b条 − n个 ， 一 − n个 ) − H（H） − n个 ( b条 ， 一 ) | ≤ n个 2 一 n个 − 1 ( 5 2 一 − 1 b条 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 4 一 b条 ) ，

（c6）

| 我 ( b条 − n个 ， 一 − n个 ) − H（H） − n个 ( b条 ， 一 ) | ≤ n个 2 一 n个 ( b条 − 一 b条 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ) ，

（c7）

|我 ( b条 − n个 ， 一 − n个 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] − n个 2 |≤ n个 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 8 一 n个 ( 4 + 6 自然对数 b条 − 自然对数 一 + 一 b条 ) ，

（c8）

|我 ( b条 − n个 ， 一 − n个 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] − n个 2 |≤ 三 n个 ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 一 n个 ，

（c9）

|我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) 我 n个 n个 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − H（H） − n个 − 1 (b条，一)|≤ n个 + 1 2 一 n个 ( 5 2 一 − 1 b条 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 4 一 b条 ) ，

（c10）

|我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) 我 n个 n个 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − H（H） − n个 − 1 (b条，一)|≤ n个 + 1 2 一 n个 + 1 ( b条 − 一 b条 + 自然对数 b条 − 自然对数 一 2 ) ，

（c11）

| 我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) 我 n个 n个 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] − n个 + 1 2 | ≤ ( n个 + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 8 一 n个 + 1 ( 4 + 6 自然对数 b条 − 自然对数 一 + 一 b条 ) ，

（c12）

|我 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) 我 n个 n个 ( b条 − 1 ， 一 − 1 ) − [ 一个 ( 一 ， b条 ) H（H） ( 一 ， b条 ) ] − n个 + 1 2 |≤ 三 ( n个 + 1 ) ( 自然对数 b条 − 自然对数 一 ) 4 一 n个 + 1 .

证明进行替换一→ b条 − 1 ，b条→ 一 − 1 在（19）-（30）中，可以分别得到期望的不等式，其中 一个 − 1 ( 一 − 1 ， b条 − 1 )=H（H）(一，b条)= 2 1 一 + 1 b条 ， b条 − 1 < 一 − 1 . □

工具书类

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致谢

第一作者感谢国家自然科学基金（11201091）、教育部科技研究重点项目（211169）和贵州师范学院重点支持学科（应用数学）的支持。第三作者感谢中国教育部科技研究重点项目（211169）的支持，第三作者也感谢国家自然科学基金（10971173）和高等教育博士点专项研究基金（20114301110001）的支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳，550018，中国

    王金荣

  2. 贵州大学数学系，贵州贵阳，550025，中国

    王金荣、朱春

  3. 湘潭大学数学系，湖南湘潭，411105，中国

    Yong Zhou（永州）

作者
  1. 王金荣
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  2. 朱纯（Chun Zhu）
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  3. Yong Zhou（永州）
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通讯作者

与的通信王金荣.

其他信息

相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

这项工作是在所有作者的合作下进行的。JRW和YZ在研究中提出了这些有趣的问题。JRW、CZ和YZ证明了这些定理，解释了结果并撰写了文章。所有作者确定了研究主题，阅读并批准了手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)，允许在任何媒体上不受限制地使用、分发和复制，前提是正确引用了原作。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Wang，J.，Zhu，C.&Zhou，Y.新的广义Hermite-Hadamard型不等式及其对特殊平均的应用。J不平等申请 2013, 325 (2013). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-325

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