An interior proximal cutting hyperplane method for equilibrium problems

Anh, Pham Ngoc; Kim, Jong Kyu

doi:10.1186/1029-242X-2012-99

研究
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出版：2012年4月23日

求解平衡问题的内近切超平面方法

不等式与应用杂志 体积 2012，物品编号：99(2012)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

我们提出了一种新的求解多面体平衡问题的方法，其中基本函数是连续的，并且满足伪单调假设，称为内近切超平面方法。该方法基于特殊的内部近端函数，它取代了通常的二次函数。这就产生了内部近似算法。该算法可以看作是将切割超平面方法与特殊的内部近似函数相结合。最后给出了一些初步的计算结果。

AMS数学学科分类2000：65K10；90 C25。

1引言

均衡问题经常出现在许多实际问题中，例如物理、工程、博弈论、运输、经济和网络（参见[1，2]). 它们成为许多研究人员在理论和应用方面具有吸引力的领域（参见[三–8]). 这些问题是模型，其公式包括优化、变分不等式、（向量）优化问题、不动点问题、鞍点问题、纳什均衡和互补问题等特殊情况（参见[1，5，9]). 在本文中，我们考虑平衡问题（简称EP(（f），C类)):

查找 {x个}^{*} \in C类 这样的 那个 （f） ({x个}^{*} ， 年) \geq 0 对于 全部的 年 \in C类 ，

哪里C类是多面体集ℝ^n个由定义

C类 : = {x个 \in ℝ^{n个} | A类 x个 \leq b条} ，

(1.1)

A类是一个第页×n个矩阵，b条 ∈ ℝ^第页，（f）:C类×C类→ℝ是一个双功能这样的话（f）(x个，x个)每=0x个 ∈ C类。

在本文中，我们假设：

(A.1款)整数C类= {x个|阿克斯<b条}非空。

(A.2款)（f）(x中·)在上是凸的C类为所有人x个∈ C类。

(答3)（f）持续打开C类×C类。

(A.4款)解决方案集S公司EP的(（f），C类)不是空的。

均衡问题理论已经被广泛而深入地研究了解的存在性以及对许多抽象方法的推广。然而，解决EP的方法(（f），C类)仍然受到限制，不能满足应用的需要。有几种常用的解决EP的方法(（f），C）据我们所知。第一种方法基于间隙函数（参见[10])，第二种方法是使用近点法[7]第三个是辅助子问题原理[8].

在[三，4]，Anh提出了求解单调均衡问题的内部近似方法C类是一个多面体凸集。该方法基于一个特殊的内部近似函数来代替通常的二次函数。许多作者也对变分不等式研究过该方法（参见[11，12]). 这就产生了一种内部近似型算法，可以将Armijo型线搜索技术与特殊的内部近似函数相结合。唯一需要的假设是（f）是单调的C类。

在本文中，我们提出了一种求解EP的算法(（f），C类)，除了对双函数的连续性和伪单调性之外，对问题不做任何假设（f）。最近，安和库诺[13]介绍了一种求解闭凸集上多值变分不等式的新方法，其中基础函数是上半连续的广义单调函数。我们将切割超平面方法推广到EP(（f），C类). 首先，我们构造一个合适的超平面，将当前迭代点从解集中分离出来。接下来，我们将此技术与Armijo型线搜索技术相结合，获得伪单调平衡问题的收敛算法。然后得到下一个迭代，作为当前迭代到可行集与包含解集的半空间的交集上的投影。

文章结构如下。在第2节中，我们给出了目标EP的正式定义(（f），C）和伪单调性（f）然后，我们将多值变分不等式常用的一种思想结合到EP中(（f），C类)和内部近似技术来开发迭代算法。第3节致力于证明其对EP解的全局收敛性(（f），C类). 在最后一节中，我们将该算法应用于Nash-Cournot寡头垄断市场均衡模型。数值结果验证了我们的开发。

2内近切超平面算法

我们列出了一些众所周知的定义和欧几里德范数下的投影，这将在我们接下来的分析中用到。

定义2.1 设C是 ℝ^n个，我们将C上的投影表示为公共关系_C类(·),即，

{公共关系}_{C类} (x个) = 参数 最小值 {∥年 - x个∥ | 年 \in C类} \forall x个 \in ℝ^{n个} 。

然后是双函数f:C类×C类→ℝ ∪{+∞}据说是

（i） C上的单调性如果对于每个x，y ∈ C类，

（f） (x个 ， 年) + （f） (年 ， x个) \leq 0;

（ii）如果对于每个x，y，C上的伪单调 ∈ C类，

（f） (x个 ， 年) \geq 0 我 米 第页 我 我 e（电子） 秒 （f） (年 ， x个) \leq 0 。

可以观察到(我)⇒(ii（ii）). 但反之则不然。中有一些示例[14].

经典的变分不等式问题（简称VIP）是为了找到一个向量x个* ∈ C类这样的话

⟨F类 ({x个}^{*}) ， 年 - {x个}^{*}⟩ \geq 0 \forall 年 \in C类 ，

哪里C类 ⊆ ℝ^n个是的非空闭凸子集ℝ^n个和F类是从C到ℝ^n个然后，它们可以被另一种公式化为寻找算子的零点T型(x个) =F类(x个) +N个_C类(x个)其中

{N个}_{C类} (x个) = \{\begin{matrix} {年 \in C类 | ⟨年 ， z（z） - x个⟩ \leq 0 ， \forall z（z） \in C类} & 如果 x个 \in C类 ， \\ ∅ & 否则 。 \end{matrix}

解决这个问题的一个众所周知的方法是近点算法[2]，从任意点开始x个⁰ ∈ C类和λ_k个≥λ>0，迭代更新x个^k个+1确认以下问题：

0 \in λ_{k个} T型 (x个) + \nabla_{x个} 小时 (x个 ， {x个}^{k个}) ，

(2.1)

哪里

小时 (x个 ， {x个}^{k个}) = \frac{1}{2} {∥x个 - {x个}^{k个}∥}^{2} 。

研究问题（2.1）算法的动机可以在[11，15，16].

Auslender等人[12]提出了一种求解（VIP）的内部近似型方法 $C类 : = ℝ_{+}^{n个} = {x个 \in ℝ^{n个} | x个 \geq 0}$ 通过替换功能小时(x、 x个^k个)由d日_ϕ(x、 x个^k个)其定义为

{d日}_{ϕ} (x个 ， 年) = \sum_{我 = 1}^{n个} 年_{我}^{2} ϕ (年_{我}^{- 1} {x个}_{我}) ，

哪里

ϕ (吨) = \{\begin{matrix} \frac{ν}{2} {(吨 - 1)}^{2} + μ (吨 - 日志 吨 - 1) & 如果 吨 > 0 ， \\ + \infty & 否则 ， \end{matrix}

(2.2)

具有ν>μ> 0. 这里的根本区别是d日_ϕ用于强制迭代{x个^k个+1}呆在…的内部 $ℝ_{+}^{n个}$ 许多作者将此技术推广到变分不等式和平衡问题（参见[1，三]).

将此思想应用于平衡问题EP(（f），C类)，我们考虑由定义的另一个内部近端函数

D类 (x个 ， 年) = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} {∥x个 - 年∥}^{2} + μ \sum_{我 = 1}^{第页} 我_{我}^{2} (年) (\frac{我_{我} (x个)}{我_{我} (年)} 日志 \frac{我_{我} (x个)}{我_{我} (年)} - \frac{我_{我} (x个)}{我_{我} (年)} + 1) & 如果 x个 \in 整数 C类 ， \\ + \infty & 否则 ， \end{matrix}

具有μ ∈(0, 1),一_我(我= 1, ...,第页)是矩阵的行A类、和

\begin{aligned} 我_{我} (x个) & = {b条}_{我} - ⟨一_{我} ， x个⟩ ， \\ 我 (x个) & = {(我_{1} (x个) ， 我_{2} (x个) ， \dots ， 我_{第页} (x个))}^{T型} 。 \end{aligned}

我们表示为∇₁D类(x个，年)的梯度D类(·，年)在x个每年 ∈ C类很容易看出

\nabla_{1} D类 (x个 ， 年) = x个 - 年 - μ {A类}^{T型} {X（X）}_{年} 日志 \frac{我 (x个)}{我 (年)} ，

哪里

{X（X）}_{年} : = 诊断 (我_{1} (年) ， \dots ， 我_{第页} (年)) 和 日志 \frac{我 (x个)}{我 (年)} : = (日志 \frac{我_{1} (x个)}{我_{1} (年)} ， \dots ， 日志 \frac{我_{第页} (x个)}{我_{第页} (年)}) 。

然后我们考虑以下正则化辅助问题（简称RAP）：

查找 {x个}^{*} \in C类 这样的 那个 （f） ({x个}^{*} ， 年) + \frac{1}{c（c）} D类 (年 ， {x个}^{*}) \geq 0 对于 全部的 年 \in C类 ，

哪里c（c）>0是正则化参数。

EP之间的等效性(（f），C类)和(说唱)是由以下引理引起的（参见[1]).

引理2.2 让f:C类×C类→ℝ ⋂｛+∞｝是一个双函数和x* ∈ C.然后x*是解决欧洲药典(（f），C类)当且仅当x是(说唱).

引理2.2表明平衡问题EP的解(（f），C类)可以通过迭代过程进行近似x个^k个+我=小时(x个^k个),k个= 0, 1,..., 哪里c（c）> 0,x个⁰任何起点都在C类和小时(x个^k个)是强凸规划的唯一解：

最小值 \{（f） ({x个}^{k个} ， 年) + \frac{1}{c（c）} D类 (年 ， {x个}^{k个}) | 年 \in C类\} 。

然而，通常情况下{x个^k个}不收敛于平衡问题的解（参见[2]).

让（f）是由定义的映射

（f） (x个 ， 年) : = 啜饮 {⟨w个 ， 年 - x个⟩ | w个 \in F类 (x个)} ，

哪里 $F类 : C类 \to 2^{ℝ^{n个}}$ 是一个多值映射 $F类 (x个) \neq ∅$ 为所有人x个 ∈ C类然后是EP(（f），C类)可以表示为多值变分不等式问题（简称MVIP）：

查找x个*∈ C、 w个*∈ F类(x个*)这样的话

⟨{w个}^{*} ， x个 - {x个}^{*}⟩ \geq 0 \forall x个 \in C类 。

在这种情况下，已知解与下列投影残差函数的零点重合

T型 (x个) : = x个 - {公共关系}_{C类} (x个 - {w个}^{*}) 。

换句话说x个⁰ ∈ C类，w个⁰ ∈ F类(x个⁰)，重点(x个⁰，w个⁰)是（MVIP）的解决方案当且仅当T型(x个⁰)=0，其中T型(x个⁰) =x个⁰-优先级_C类(x个⁰-w个⁰)（请参见[16]). 应用这一理念和内部近端功能技术D类（·，·）到平衡问题EP(（f），C类)，我们得到了解决方案：x个^k个是EP解的电流近似值(（f），C类). 首先，我们计算年^k个=arg最小值{（f）(x个^k个，年) +βD(y、 x个^k个) |年 ∈ C类}对于某些正常数β下一步，我们搜索之间的线段x个^k个和对(x个^k个) =x个^k个-年^k个就这点而言 $({\bar{w个}}^{k个} ， {z（z）}^{k个})$ 这样超平面 $\partial {H（H）}_{k个} = {x个 \in ℝ^{n个} | ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， x个 - {z（z）}^{k个}⟩ = 0}$ 严格分开x个^k个从解决方案集中S公司EP的(f、 C类). 要找到这样的 $({\bar{w个}}^{k个} ， {z（z）}^{k个})$ ，我们可以使用计算成本低廉的Armijo型程序。然后我们计算下一个迭代x个^k个+1通过投影x个^k个关于可行集的交集C类用半空间 ${H（H）}_{k个} = {x个 \in ℝ^{n个} | ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， x个 - {z（z）}^{k个}⟩ \leq 0}$ 。

然后，算法描述如下。

算法2.3

步骤0。选择 $σ > 0 ， {x个}^{0} \in C类， 0 < σ < \frac{β}{2}$ ，和γ ∈(0, 1).

第1步。计算

年^{k个} : = 参数 最小值 {（f） ({x个}^{k个} ， 年) + β D类 (年 ， {x个}^{k个}) | 年 \in C类} ， 对 ({x个}^{k个}) : = {x个}^{k个} - 年^{k个} 。

(2.3)

求最小非负数m _k个 m，这样

（f） ({x个}^{k个} - γ^{米_{k个}} 对 ({x个}^{k个}) ， 年^{k个}) + σ {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} \leq 0 。

(2.4)

第2步。（切割超平面）选择 ${\bar{w个}}^{k个} \in \partial_{2} （f） ({z（z）}^{k个} ， {z（z）}^{k个})$ ，哪里 ${z（z）}^{k个} : = {x个}^{k个} - γ^{米_{k个}} 对 ({x个}^{k个})$ 。

设置

{H（H）}_{k个} : = {x个 \in ℝ^{n个} | ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， x个 - {z（z）}^{k个}⟩ \leq 0} 。

查找 ${x个}^{k个 + 1} : = {公共关系}_{C类 \cap {H（H）}_{k个}} ({x个}^{k个})$ 。

步骤3。设置k以下为：=k个+ 1,并转至步骤1

3算法的收敛性

在下一个引理中，我们证明了停止准则。

引理3.1 如果r(x个^k个) = 0,然后是x^k个是平衡问题的解决方案欧洲药典(（f），C类).

证明.自年^k个是问题（2.3）的解和凸规划中的优化结果（参见[1])，我们有

0 \in \partial_{2} （f） ({x个}^{k个} ， 年^{k个}) + β \nabla_{1} D类 (年^{k个} ， {x个}^{k个}) + {N个}_{C类} (年^{k个}) ，

哪里N个_C类表示法向圆锥体。发件人年^k个∈整数C类，因此N个_C类(年^k个) = {0}. 因此

ξ^{k个} + β \nabla_{1} D类 (年^{k个} ， {x个}^{k个}) = 0 ，

哪里ξ^k个∈ ∂₂（f）(x个^k个，年^k个). 更换年^k个=x个^k个在这个等式中，我们得到

ξ^{k个} + β \nabla_{1} D类 ({x个}^{k个} ， {x个}^{k个}) = 0 。

自

\nabla_{1} D类 (x个 ， 年) = x个 - 年 - μ {A类}^{T型} {X（X）}_{年} 日志 \frac{我 (x个)}{我 (年)} \forall x个 ， 年 \in C类 ，

(3.1)

我们有

\nabla_{1} D类 ({x个}^{k个} ， {x个}^{k个}) = 0 。

因此ξ^k个=0。将此与（f）(x个^k个，x个^k个)=0，我们得到

（f） ({x个}^{k个} ， 年) \geq ⟨ξ^{k个} ， 年 - ξ^{k个}⟩ = 0 \forall 年 \in C类 。

也就是说x个^k个是EP的解决方案(（f），C类).

在算法2.3中，我们需要证明非负整数的存在性米_k个。

引理3.2 对于 $γ \in (0 ， 1) ， 0 < σ < \frac{β}{2}$ ，如果r(x个^k个) > 0则存在最小非负整数m_k个这样的不平等(2.4)持有。

证明相反，假设任何非负整数都不满足不等式（2.4）我即。，

（f） ({x个}^{k个} - γ^{我} 对 ({x个}^{k个}) ， 年^{k个}) + σ {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} > 0 。

出租我→ ∞, 从连续性（f）我们有

（f） ({x个}^{k个} ， 年^{k个}) + σ ∥对 ({x个}^{k个})∥ \geq 0 。

(3.2)

否则，对于每个吨>0我们有 $1 - \frac{1}{吨} \leq 日志吨$ .我们乘以 $\frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} > 0$ 对于每个我= 1, ...,第页，

\frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} - 1 \leq \frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} 日志 \frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} 。

然后，

\begin{aligned} D类 (年^{k个} ， {x个}^{k个}) & = \frac{1}{2} {∥{x个}^{k个} - 年^{k个}∥}^{2} + μ \sum_{我 = 1}^{n个} 我_{我}^{2} ({x个}^{k个}) (\frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} 日志 \frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} - \frac{我_{我} (年^{k个})}{我_{我} ({x个}^{k个})} + 1) \\ \geq \frac{1}{2} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} 。 \end{aligned}

(3.3)

自年^k个是强凸规划（2.4）的解，我们有

（f） ({x个}^{k个} ， 年) + β D类 (年 ， {x个}^{k个}) \geq （f） ({x个}^{k个} ， 年^{k个}) + β D类 (年^{k个} ， {x个}^{k个}) \forall 年 \in C类 。

替换年=x个^k个∈ C类并使用假设（f）(x个^k个，x个^k个) = 0,D类(x个^k个，x个^k个)=0，我们得到

（f） ({x个}^{k个} ， 年^{k个}) + β D类 (年^{k个} ， {x个}^{k个}) \leq 0 。

(3.4)

结合（3.3）和（3.4），我们得到

（f） ({x个}^{k个} ， 年^{k个}) + \frac{β}{2} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} \leq 0 。

(3.5)

那么，不等式（3.2）和（3.5）意味着

- σ {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} \leq （f） ({x个}^{k个} ， 年^{k个}) \leq - \frac{β}{2} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} 。

因此，它必须是对(x个^k个)=0或 $σ \geq \frac{β}{2}$ 第一个案例与对(x个^k个)≠0，而第二个与事实相矛盾 $σ < \frac{β}{2}$ 。

以下结果实现了切割超平面的一些性质H（H）_k个。

引理3.3 让{x个^k个}是由算法生成的序列2.3.然后保持以下状态：

（i）
x个 ^k个∉ H（H） _k个，S公司 ⊆ C类 ⋂ H（H） _k个。
（ii）
${x个}^{k个 + 1} = {公共关系}_{C类 \cap {H（H）}_{k个}} (ȳ^{k个})$ ，哪里 $ȳ^{k个} = {公共关系}_{{H（H）}_{k个}} ({x个}^{k个})$ 。

证明.（i）自 ${\bar{w个}}^{k个} \in \partial_{2} （f） ({z（z）}^{k个} ， {z（z）}^{k个}) ，年^{k个} \in C类，（f） ({z（z）}^{k个} ， {z（z）}^{k个}) = 0$ 、和 ${z（z）}^{k个} = {x个}^{k个} - γ^{米_{k个}} 对 ({x个}^{k个})$ ，我们有

\begin{aligned} （f） ({z（z）}^{k个} ， 年^{k个}) & \geq ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 年^{k个} - {z（z）}^{k个}⟩ \\ = - (1 + γ^{米_{k个}}) ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩ 。 \end{aligned}

。

结合（2.4），我们得到

(1 + γ^{米_{k个}}) ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩ \geq σ {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} 。

(3.6)

因此

\begin{aligned} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {z（z）}^{k个}⟩ & = γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩ \\ \geq \frac{σ γ^{米_{k个}}}{1 + γ^{米_{k个}}} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} \\ > 0 。 \end{aligned}

这意味着x个^k个∉ H（H）_k个。

自（f）假设为上的伪单调C、 z（z）^k个∈ C类和x个* ∈ S公司，

（f） ({x个}^{*} ， {z（z）}^{k个}) \geq 0 \Rightarrow （f） ({z（z）}^{k个} ， {x个}^{*}) \leq 0 。

将此与 ${\bar{w个}}^{k个} \in \partial_{2} （f） ({z（z）}^{k个} ， {z（z）}^{k个})$ ，我们得到

\begin{aligned} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{*} - {z（z）}^{k个}⟩ & \leq （f） ({z（z）}^{k个} ， {x个}^{*}) - （f） ({z（z）}^{k个} ， {z（z）}^{k个}) \\ \leq 0 。 \end{aligned}

因此，x个* ∈ H（H）_k个。

（ii）
我们知道这一点
$H（H） = {x个 \in ℝ^{n个} | ⟨w个， x个 - {x个}^{0}⟩ \leq 0} ， {公共关系}_{H（H）} (年) = 年 - \frac{⟨w个，年 - {x个}^{0}⟩}{{∥w个∥}^{2}} w个。$

因此，

\begin{aligned} ȳ^{k个} & = {公共关系}_{{H（H）}_{k个}} ({x个}^{k个}) \\ = {x个}^{k个} - \frac{⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {z（z）}^{k个}⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} {\bar{w个}}^{k个} \\ = {x个}^{k个} - \frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} {\bar{w个}}^{k个} 。 \end{aligned}

否则，对于每个年 ∈ C类 ⋂ H（H）_k个存在λ∈（0，1）这样

\hat{x个} = λ {x个}^{k个} + (1 - λ) 年 \in C类 \cap \partial {H（H）}_{k个} ，

哪里 $\partial {H（H）}_{k个} = {x个 \in ℝ^{n个} |⟨ {\bar{w个}}^{k个} ， x个 - {z（z）}^{k个} ⟩ = 0}$ ，因为x个^k个∈ C类但是x个^k个∉ H（H）_k个。

\begin{aligned} {∥年 - ȳ^{k个}∥}^{2} & \geq {(1 - λ)}^{2} {∥年 - ȳ^{k个}∥}^{2} \\ = {∥\hat{x个} - λ {x个}^{k个} - (1 - λ) ȳ^{k个}∥}^{2} \\ = {∥(\hat{x个} - ȳ^{k个}) - λ ({x个}^{k个} - ȳ^{k个})∥}^{2} \\ = {∥\hat{x个} - ȳ^{k个}∥}^{2} + λ^{2} {∥{x个}^{k个} - ȳ^{k个}∥}^{2} - 2 λ ⟨ \hat{x个} - ȳ^{k个} ， {x个}^{k个} - ȳ^{k个} ⟩ \\ = {∥\hat{x个} - ȳ^{k个}∥}^{2} + λ^{2} {∥{x个}^{k个} - ȳ^{k个}∥}^{2} \\ \geq {∥\hat{x个} - ȳ^{k个}∥}^{2} ， \end{aligned}

(3.7)

因为 $ȳ^{k个} = {公共关系}_{{H（H）}_{k个}} ({x个}^{k个})$ 。我们还有

\begin{aligned} {∥\hat{x个} - {x个}^{k个}∥}^{2} & = {∥\hat{x个} - ȳ^{k个} + ȳ^{k个} - {x个}^{k个}∥}^{2} \\ = {∥\hat{x个} - ȳ^{k个}∥}^{2} - 2 ⟨ \hat{x个} - ȳ^{k个} ， {x个}^{k个} - ȳ^{k个} ⟩ + {∥ȳ^{k个} - {x个}^{k个}∥}^{2} \\ = {∥\hat{x个} - ȳ^{k个}∥}^{2} + {∥ȳ^{k个} - {x个}^{k个}∥}^{2} 。 \end{aligned}

自 ${x个}^{k个 + 1} = {公共关系}_{C类 \cap {H（H）}_{k个}} ({x个}^{k个})$ ，使用勾股定理，我们可以将其简化

\begin{aligned} {∥\hat{x个} - ȳ^{k个}∥}^{2} & = {∥\hat{x个} - {x个}^{k个}∥}^{2} - {∥ȳ^{k个} - {x个}^{k个}∥}^{2} \\ \geq {∥{x个}^{k个 + 1} - {x个}^{k个}∥}^{2} - {∥ȳ^{k个} - {x个}^{k个}∥}^{2} \\ = {∥{x个}^{k个 + 1} - ȳ^{k个}∥}^{2} 。 \end{aligned}

(3.8)

根据（3.7）和（3.8），我们有

∥{x个}^{k个 + 1} - ȳ^{k个}∥ \leq ∥年 - ȳ^{k个}∥ \forall 年 \in C类 \cap {H（H）}_{k个} ，

这意味着

{x个}^{k个 + 1} = {公共关系}_{C类 \cap {H（H）}_{k个}} (ȳ^{k个}) 。

为了证明算法2.3的收敛性，我们给出了序列的以下关键性质{x个^k个}由算法生成。

引理3.4 序列{x个^k个}由Algorithm生成2.3满足以下不等式。

{∥{x个}^{k个 + 1} - {x个}^{*}∥}^{2} \leq {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {∥{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} σ}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥ (1 + γ^{米_{k个}})})}^{2} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{4} 。

(3.9)

证明.自 ${x个}^{k个 + 1} = {公共关系}_{C类 \cap {H（H）}_{k个}} (年^{k个})$ ，我们有

⟨年^{k个} - {x个}^{k个 + 1} ， z（z） - {x个}^{k个 + 1}⟩ \leq 0 \forall z（z） \in C类 \cap {H（H）}_{k个} 。

替换z（z）=x个* ∈ C类 ⋂ H（H）_k个，那么我们有

⟨年^{k个} - {x个}^{k个 + 1} ， {x个}^{*} - {x个}^{k个 + 1}⟩ \leq 0 \Leftrightarrow ⟨年^{k个} - {x个}^{k个 + 1} ， {x个}^{*} - 年^{k个} + 年^{k个} - {x个}^{k个 + 1}⟩ \leq 0 ，

这意味着

{∥{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个}∥}^{2} \leq ⟨{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个} ， {x个}^{*} - 年^{k个}⟩ 。

因此，

\begin{aligned} {∥{x个}^{k个 + 1} - {x个}^{*}∥}^{2} & = {∥{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个} + 年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} \\ = {∥{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个}∥}^{2} + {∥年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} + 2 ⟨{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个} ， 年^{k个} - {x个}^{*}⟩ \\ \leq ⟨{x个}^{*} - 年^{k个} ， {x个}^{k个 + 1} - 年^{k个}⟩ + {∥年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} + 2 ⟨{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个} ， 年^{k个} - {x个}^{*}⟩ \\ = {∥年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} + ⟨{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个} ， 年^{k个} - {x个}^{*}⟩ \\ = {∥年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {∥{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个}∥}^{2} 。 \end{aligned}

(3.10)

自 ${z（z）}^{k个} = {x个}^{k个} - γ^{米_{k个}} 对 ({x个}^{k个})$ 和

年^{k个} - {公共关系}_{{H（H）}_{k个}} ({x个}^{k个}) = {x个}^{k个} - \frac{⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {z（z）}^{k个}⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} {\bar{w个}}^{k个} ，

我们有

\begin{gathered} {∥年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} \\ = {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} + \frac{{⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {z（z）}^{k个}⟩}^{2}}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{4}} {∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2} - \frac{2 ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {z（z）}^{k个}⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {x个}^{*}⟩ \\ = {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} + {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2} - \frac{2 γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {x个}^{*}⟩ \\ = {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2} \\ - 2 [\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {x个}^{*}⟩ - {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2}] \\ = {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2} \\ - \frac{2 γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} [⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {x个}^{*}⟩ - γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩] \\ = {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2} \\ - \frac{2 γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {x个}^{k个} - {x个}^{*} - γ^{米_{k个}} 对 ({x个}^{k个})⟩ \\ = {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2} - \frac{2 γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{{∥{\bar{w个}}^{k个}∥}^{2}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， {z（z）}^{k个} - {x个}^{*}⟩ 。 \end{gathered}

（3.11）

从（3.6）可以看出

⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩ \geq \frac{σ}{1 + γ^{米_{k个}}} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} 。

因此，（3.11）减少为

\begin{aligned} {∥年^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} & \leq {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} ⟨{\bar{w个}}^{k个} ， 对 ({x个}^{k个})⟩}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥})}^{2} \\ \leq {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} σ}{∥{\bar{w个}}^{k个}∥ (1 + γ^{米_{k个}})})}^{2} {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{4} 。 \end{aligned}

(3.12)

结合（3.10）和（3.12），我们得到不等式（3.9）

定理3.5 假设假设A.1-A.4成立，映射ψ₂（f）(·，z（z）^k个)均以M为界> 0,并且f是C上的假单酮。那么序列{x个^k个}由Algorithm生成2.3收敛到欧洲药典(（f），C类).

证明不等式（3.9）表示序列{∥x个^k个-x个*∥}是非增量的，因此是收敛的。因此，序列{x个^k个}是有界的。

自从映射以来∂₂（f）(·，z（z）^k个)被一致限定为M（M）>0，即。，

∥{w个}^{k个}∥ \leq M（M） \forall k个 = 1 ， 。 。 。 。

这与（3.9）一起意味着

{∥{x个}^{k个 + 1} - {x个}^{*}∥}^{2} \leq {∥{x个}^{k个} - {x个}^{*}∥}^{2} - {∥{x个}^{k个 + 1} - 年^{k个}∥}^{2} - {(\frac{γ^{米_{k个}} σ}{M（M） (1 + γ^{米_{k个}})})}^{2} {∥对 ({x个}^{4})∥}^{4} 。

（3.13）

自{∥x个^k个-x个*∥}收敛到零，很容易看出

\underset{k个 \to \infty}{林} γ^{米_{k个}} ∥对 ({x个}^{k个})∥ = 0 。

尚待考虑的情况如下。

案例1。 $\underset{k个 \to \infty}{林供应} γ^{米_{k个}} > 0$ .此案必须紧随其后 $\underset{k个 \to \infty}{林 inf公司} ∥对 ({x个}^{k个})∥ = 0$ .自{x个^k个}有界，存在 $\bar{x个}$ 它是{x个^k个}. 换句话说，子序列 ${{x个}^{{k个}_{我}}}$ 收敛到某些 $\bar{x个}$ 这样的话 $对 (\bar{x个}) = 0$ ，作为我→ ∞. 然后我们从引理3.3中看到 $\bar{x个} \in S公司$ 除此之外，我们还可以 ${x个}^{*} = \bar{x个}$ 特别是在（3.13）中。因此 $\{∥{x个}^{k个} - \bar{x个}∥\}$ 是一个收敛序列。自 $\bar{x个}$ 是的累积点{x个^k个}，序列{∥x个^k个-x个*∥}收敛到零，即{x个^k个}收敛到 $\bar{x个} \in S公司$ 。

案例2。 $\underset{k个 \to \infty}{林} γ^{米_{k个}} = 0$ .自米_k个是最小的非负整数，米_k个-1不满足（2.4）。因此，我们

（f） ({x个}^{k个} - γ^{米_{k个 - 1}} 对 ({x个}^{k个}) ， 年^{k个}) > - σ {∥对 ({x个}^{k个})∥}^{2} ，

除此之外

（f） ({x个}^{{k个}_{我}} - γ^{米_{{k个}_{我}} - 1} 对 ({x个}^{{k个}_{我}}) ， 年^{{k个}_{我}}) > - σ {∥对 ({x个}^{{k个}_{我}})∥}^{2} 。

(3.14)

超过（3.14）中的极限，如我→ ∞, 并利用（f），我们有

（f） (\bar{x个} ， ȳ) \geq - σ {∥\bar{x个} - ȳ∥}^{2} 。

(3.15)

从（3.5）我们有

（f） ({x个}^{{k个}_{我}} ， 年^{{k个}_{我}}) \leq - \frac{β}{2} {∥对 ({x个}^{{k个}_{我}}∥}^{2} 。

自（f）是连续的，超过极限我→ ∞, 我们获得

（f） (\bar{x个} ， ȳ) \leq - \frac{β}{2} {∥\bar{x个} - ȳ∥}^{2} 。

将此与（3.15）相结合，我们得到

秒 σ {∥\bar{x个} - ȳ∥}^{2} \geq \frac{β}{2} {∥\bar{x个} - ȳ∥}^{2} ，

这意味着 $对 (\bar{x个}) : = ∥\bar{x个} - ȳ∥ = 0$ 或 $σ \geq \frac{β}{2}$ 第二个案件与事实相矛盾 $0 < σ < \frac{β}{2}$ 因此 $对 (\bar{x个}) = 0 ， \bar{x个} \in S公司$ .出租 ${x个}^{*} = \bar{x个}$ 重复前面的论点，我们得出结论：{x个^k个}收敛到 $\bar{x个} \in S公司$ 。

4数值结果

我们应用该算法解决了纳什-库诺寡头垄断市场均衡模型下的生产竞争问题（参见[1，2，17]). 在这个模型中，假设有n个-生产共同同质商品的公司，其价格第页_我公司的我取决于总量 $σ_{x个} = \sum_{我 = 1}^{n个} {x个}_{我}$ 商品的价格。

让小时_我(x个_我)表示公司的成本我当其生产水平为x个_我假设公司的利润我由提供

{（f）}_{我} ({x个}_{1} ， 。 。 。 ， {x个}_{n个}) : = {x个}_{我} {第页}_{我} (σ_{x个}) - {小时}_{我} ({x个}_{我}) 我 = 1 ， 。 。 。 ， n个 ，

(4.1)

哪里小时_我是企业的成本函数我假设这只取决于其生产水平。

让 $C类 \subset ℝ_{+}^{n个} : = {x个 \in ℝ^{n个} |x个 \geq 0}$ 是闭凸的，表示企业的战略集合。假设其他公司的生产是参数输入，每个公司通过选择相应的生产水平来寻求自身利润的最大化。在这种情况下，纳什均衡是一种生产模式，在这种模式下，任何企业都不能通过改变其控制变量来增加利润。因此，在这个均衡概念下，每个公司都会根据其他公司的行为来确定其最佳反应。数学上，一个点 ${x个}^{*} = ({x个}_{1}^{*} ，。。。， {x个}_{n个}^{*}) \in C类$ 被称为纳什均衡点，如果

{（f）}_{我} ({x个}_{1}^{*} ， 。 。 。 ， {x个}_{我 - 1}^{*} ， 年_{我} ， {x个}_{我 + 1}^{*} ， 。 。 。 ， {x个}_{n个}^{*}) \leq {（f）}_{我} ({x个}_{1}^{*} ， 。 。 。 ， {x个}_{n个}^{*}) \forall 年 \in C类 。

(4.2)

什么时候？小时_我是仿射的，这个市场问题可以表述为一个特殊的纳什均衡问题n个-人非合作博弈论。

设置

ϕ (x个 ， 年) : = - \sum_{我 = 1}^{n个} {（f）}_{我} ({x个}_{1} ， 。 。 。 ， {x个}_{我 - 1} ， 年_{我} ， {x个}_{我 + 1} ， 。 。 。 ， {x个}_{n个})

(4.3)

和

\begin{aligned} （f） (x个 ， 年) : & = ϕ (x个 ， 年) - ϕ (x个 ， x个) \\ = \sum_{我 = 1}^{n个} ({小时}_{我} (年_{我}) - {小时}_{我} ({x个}_{我}) - 年_{我} 第页 (年_{我} + \sum_{j个 \neq 我} {x个}_{j个}) + {x个}_{我} 第页 (\sum_{我 = 1}^{n个} {x个}_{我})) 。 \end{aligned}

(4.4)

然后在[17]找到该模型平衡点的问题可以表述为EP(（f），C类):

查找 x个 \in C类 这样的 那个 （f） ({x个}^{*} ， 年) \geq 0 ， 对于 全部的 年 \in C类 。

提议4.1[2]点x*是寡头垄断市场问题的平衡点当且仅当它是以下问题的解决方案欧洲药典(（f），C类),哪里

\begin{gathered} （f） (x个 ， 年) : = ⟨H（H） (x个) - 第页 (σ_{x个}) e（电子） - {第页}^{'} (σ_{x个}) x个 ， 年 - x个⟩ \\ H（H） (x个) = {({小时}_{1}^{'} ({x个}_{1}) ， 。 。 。 ， {小时}_{n个}^{'} ({x个}_{n个}))}^{T型} ， e（电子） = {(1 ， 。 。 。 ， 1)}^{T型} ， σ_{x个} = ⟨x个 ， e（电子）⟩ 。 \end{gathered}

以下命题给出了双函数的一些性质（f）。

提议4.2[2]让p:C类→ℝ₊是凸的，两次连续可微的，不增的，让函数μ_τ:ℝ₊→ℝ₊，由μ定义_τ(σ_x个) =σ_x个第页(σ_x个+τ)每τ为凹形≥ 0.此外，让函数h_我:ℝ₊→ℝ，我= 1, ...,n、是凸的并且是两次连续可微的。那么，成本双函数

（f） (x个 ， 年) : = ⟨H（H） (x个) - 第页 (σ_{x个}) e（电子） - {第页}^{'} (σ_{x个}) x个 ， 年 - x个⟩

在C上是单调的。

我们现在将该算法应用于七家公司的示例(n个=7）中提供[9，17]，其中成本和逆需求函数的形式为

\begin{gathered} H（H） (x个) : = (2 {x个}_{1} + 1 ， 三 {x个}_{2} + 4 ， 4 {x个}_{三} + 2 ， 1 。 5 {x个}_{4} + 三 ， 4 {x个}_{5} + 1 ， {x个}_{6} - 2 ， 三 {x个}_{7} + 1) T型 ， \\ 第页 (吨) : = \frac{2}{三 吨} 吨 \in (0 ， + \infty) 。 \end{gathered}

则命题4.1和4.2表明由（4.4）定义的双函数在C类×C类因此，我们的算法满足了假设。

在这个例子中，我们选择

\begin{aligned} n个 & = 7 ， \\ η & = 0 。 1 ， \\ γ & = 2 ， \\ β & = 5 ， \\ μ & = 0 。 5 ， \\ {x个}^{0} & = {(三 ， 三 ， 三 ， 三 ， 三 ， 三 ， 三)}^{T型} ， \\ C类 & = \{x个 \in ℝ^{n个} |13 \leq \sum_{我 = 1}^{n个} {x个}_{我} \leq 25 ， 1 \leq {x个}_{我} \leq 5 (我 = 1 ， 。 。 。 ， n个)\} 。 \end{aligned}

注意，在这种情况下，在迭代时k个，我们有

\partial_{2} （f） ({z（z）}^{k个} ， {z（z）}^{k个}) = {H（H） ({z（z）}^{k个}) - 第页 (σ_{{z（z）}^{k个}}) e（电子） - {第页}^{'} (σ_{{z（z）}^{k个}}) {z（z）}^{k个}} ，

哪里 ${第页}^{'} (σ_{{z（z）}^{k个}}) = - \frac{2}{三 σ_{{z（z）}^{k个}}^{2}}$ 引理3.1表明如果对(x个^k个)=0，则x个^k个是EP的解决方案(（f），C类). 所以我们可以这么说x个^k个是一个ϵ-EP溶液(（f），C类)如果我们有∥对(x个^k个)∥≤ ϵ. 公差取ϵ= 10^-6，我们得到了下表1。

表1近似解决方案k个

全尺寸桌子

七次迭代后得到的近似解为

{x个}^{7} = {(2 。 0940 ， 1 。 0000 ， 1 。 0003 ， 1 。 4610 ， 1 。 0482 ， 5 。 0001 ， 1 。 3968)}^{T型} 。

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致谢

这项研究是在第一作者留在京南大学参加NRF外国研究人员博士后奖学金期间完成的。第二位作者得到了2011年京南大学研究基金的支持。

作者信息

作者和附属机构

韩国庆南县Masan市庆南大学数学教育系，邮编：631-701
Pham Ngoc Anh和Jong Kyu Kim

作者

范恩戈安（Pham Ngoc Anh）
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金正奎
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通讯作者

与的通信金钟圭。

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

JKK构思了这项研究，并参与了其设计和协调。JKK提出了许多有益于实现本文的好想法，并进行了修订。PNA和JKK初步准备了手稿，并在本研究中执行了所有证明步骤。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Anh，P.N.，Kim，J.K.平衡问题的内部近端切割超平面方法。J不平等申请 2012, 99 (2012). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2012-99

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收到:2011年3月28日
认可的:2012年4月23日
出版:2012年4月23日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2012-99