An almost sure central limit theorem of products of partial sums for ρ--mixing sequences

Tan, Xili; Zhang, Ying; Zhang, Yong

doi:10.1186/1029-242X-2012-51

研究
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出版：2012年3月1日

部分和乘积的几乎处处中心极限定理ρ^--混合序列

不等式与应用杂志 体积 2012，物品编号：51(2012)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

让{X（X）_n个,n个≥1}是严格平稳的ρ^--正随机变量的混合序列前任₁=μ>0和变量(X（X）₁) =σ²< ∞. 表示 ${S公司}_{n个} = \sum_{我 = 1}^{n个} {X（X）}_{我}$ 和 $γ = \frac{σ}{μ}$ 变异系数。在适当的条件下，利用加权和的中心极限定理和矩不等式，我们证明了

\forall x个 = \underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} 我 \{{(\prod_{我 = 1}^{k个} \frac{{S公司}_{我}}{我 μ})}^{\frac{1}{γ σ k个}}\} = F类 (x个) 一 . 秒 .,

哪里 $σ_{k个}^{2} = V（V）一第页 ({S公司}_{k个, k个}), {S公司}_{k个, k个} = \sum_{我 = 1}^{k个} {b条}_{我, k个} {Y（Y）}_{我}, {b条}_{我, k个} = \sum_{j个 = 我}^{k个} \frac{1}{j个}, 我 \leq k个$ 具有 ${b条}_{我, k个} = 0, 我 > k个, {Y（Y）}_{我} = \frac{{X（X）}_{我 - μ}}{σ}, F类 (x个)$ 是随机变量的分布函数 ${e（电子）}^{\sqrt{2} N个}$ 、和 $N个$ 是标准正态随机变量。

MR（2000）主题分类：60F15。

1简介及主要成果

对于随机变量X（X），定义∥X（X）∥_第页= (E类|X（X）|^第页)^1/第页.对于两个非空不相交集S公司,T型 ⊂ N个，我们定义距离(S公司,T型)最小值{|j个-k个|;j个 ∈ S、 k个 ∈ T型}. 让σ(S公司)成为σ-字段由生成{X（X）_k个,k个 ∈ S公司}，并定义σ(T型)类似地。让 $C类$ 是一类协调递增的函数。对于任何实数x、 x个⁺、和x个^-分别表示其正负部分（除了一些特殊定义，例如，ρ^-(秒),ρ^-(S公司,T型)等）。对于随机变量十、 Y（Y），定义

ρ^{-} (X（X）, Y（Y）) = 0 \lor 啜饮 \frac{C类 o个 v（v） (（f） (X（X）), 克 (Y（Y）))}{{(V（V） 一 第页 （f） (X（X）))}^{\frac{1}{2}} {(V（V） 一 第页 克 (Y（Y）))}^{\frac{1}{2}}},

在那里，晚餐占了上风 $（f）, 克 \in C类$ 这样的话E类(（f）(X（X）))²<∞和E类(克(Y（Y）))²< ∞.

A序列{X（X）_n个,n个≥1}称为负相关（NA），如果对每对不相交子集S、 T型属于N个,

C类 o个 v（v） \{（f） ({X（X）}_{我}, 我 \in S公司), 克 ({X（X）}_{j个}, j个 \in T型)\} \leq 0,

无论何时 $（f）, 克 \in C类$ .

A序列{X（X）_n个,n个≥1}被调用ρ*-混合，如果

ρ * (秒) = 啜饮 \{ρ (S公司, T型); S公司, T型 \subset N个, 距离 (S公司, T型) \geq 秒\} \to 0 一 秒 秒 \to \infty,

哪里

ρ (S公司, T型) = 啜饮 \{|E类 (（f） - E类 （f）) (克 - E类 克) / ({∥（f） - E类 （f）∥}_{2} \cdot {∥克 - E类 克∥}_{2})|; （f） \in {L（左）}_{2} (σ (S公司)), 克 \in {L（左）}_{2} (σ (T型))\} .

A序列{X（X）_n个,n个≥1｝被称为ρ^--混合，如果

ρ^{_} (秒) = 啜饮 \{ρ^{_} (S公司, T型); S公司, T型 \subset N个, 距离 (S公司, T型) \geq 秒\} \to 0 一 秒 秒 \to \infty .

哪里，

ρ^{_} (S公司, T型) = 0 \lor 啜饮 {\frac{C类 o个 v（v） \{（f） ({X（X）}_{我}, 我 \in S公司), 克 ({X（X）}_{我}, j个 \in T型)\}}{\sqrt{V（V） 一 第页 \{（f） ({X（X）}_{我}, 我 \in S公司)\} V（V） 一 第页 \{克 ({X（X）}_{我}, j个 \in T型)\}}}; （f）, 克 \in C类} .

概念ρ^--混合随机变量是在1999年提出的（参见[1]). 显然，ρ^--混合随机变量包括NA和ρ*-混合随机变量有着广泛的应用，其极限性质近年来引起了人们的广泛关注，并获得了许多结果，如弱收敛定理、随机场的中心极限定理、Rosenthal型矩不等式，参见[1–4]. 周[5]研究了ρ^--Shao条件下的混合序列：关于中心极限定理的条件 $ε_{0} > 0, V（V）一第页 (\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{我} （f） (\frac{{S公司}_{我}}{σ_{我}})) = 哦 ({日志}^{2 - ε_{0}} n个)$ ，其中（f）是Lipschitz函数。在本文中，我们研究了部分和乘积的几乎处处中心极限定理ρ^--混合序列由加权和中心极限定理和矩不等式组成。

在这里和续集中，让我们 ${b条}_{k个, n个} = \sum_{我 = k个}^{n个} \frac{1}{我}, k个 \leq n个$ 具有b条_k个,n个= 0,k个>n个.假设{X（X）_n个,n个≥1}是严格平稳的ρ^--正随机变量的混合序列前任₁=μ>0和变量(X（X）₁) =σ²< ∞. 让 ${\tilde{S公司}}_{n个} = \sum_{k个 = 1}^{n个} {Y（Y）}_{k个}$ 和 ${S公司}_{n个, n个} = \sum_{k个 = 1}^{n个} {b条}_{k个, n个} {Y（Y）}_{k个}$ ，其中 ${Y（Y）}_{k个} = \frac{{X（X）}_{k个} - μ}{σ}, k个 \geq 1$ .让 $σ_{n个}^{2} = V（V）一第页 ({S公司}_{n个, n个})$ 、和C类表示一个正常量，当它出现在不同的表达式中时，它可能会采用不同的值。以下是我们的主要结果。

定理1.1让{X（X）_n个,n个≥1}是如上定义的，其中0<E类|X（X）₁|^第页<∞对于某一特定第页>2，表示 ${S公司}_{n个} = \sum_{我 = 1}^{n个} {X（X）}_{我}$ 和 $γ = \frac{σ}{μ}$ 变异系数。假设

(一₁) $σ_{1}^{2} = E类 {X（X）}_{1}^{2} + 2 \sum_{n个 = 2}^{\infty} C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个}) > 0$ ,

(一₂) $\sum_{n个 = 2}^{\infty} |C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个})| < \infty$ ,

(一_三)ρ^-(n个) =哦（日志^-δn个),∃ δ> 1,

(一₄) $\underset{n个 \in N个}{inf公司} \frac{σ_{n个}^{2}}{n个} > 0$ .

然后

\forall x个 \underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} 我 \{\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}} \leq x个\} = Φ (x个) 一 . 秒 .

(1.1)

在这里和续集中，我{·}表示指标函数，Φ（·）是标准正态随机变量的分布函数 $N个$ .

定理1.2在定理1.1的条件下，则

\forall x个 = \underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} 我 \{{(\prod_{我 = 1}^{k个} \frac{{S公司}_{我}}{我 μ})}^{\frac{1}{γ σ k个}} \leq x个\} = F类 (x个) 一 . 秒 .

(1.2)

在这里和续集中，F类（·）是随机变量的分布函数 ${e（电子）}^{\sqrt{2} N个}$ .

2一些引理

为了证明我们的主要结果，我们需要以下引理。

引理2.1[三]让{X（X）_n个,n个≥1}为弱平稳ρ^--混合序列 $E类 {X（X）}_{n个} = 0, 0 < E类 {X（X）}_{1}^{2} < \infty$ 、和

（i）
$σ_{1}^{2} = E类 {X（X）}_{1}^{2} + 2 \sum_{n个 = 2}^{\infty} C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个}) > 0$ ,
（ii）
$\sum_{n个 = 2}^{\infty} |C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个})| < \infty$ ,

然后

\frac{E类 {S公司}_{n个}^{2}}{n个} \to {σ_{1}}^{2}, \frac{{S公司}_{n个}}{σ_{1} \sqrt{n个}} \overset{d日}{\to} N个 (0, 1) 一 秒 n个 \to \infty .

引理2.2[4]对于正实数q个≥2，如果{X（X）_n个,n个≥1}是序列ρ^--将随机变量与前任_我= 0,E类|X（X）_我|^q个<∞每我≥1，则所有n个≥1，存在正常数C类=C类(q、 ρ^-（·）以便

E类 (\underset{1 \leq j个 \leq n个}{最大值} {|{S公司}_{j个}|}^{q个}) \leq C类 \{\sum_{我 = 1}^{n个} E类 {|{X（X）}_{我}|}^{q个} + {(\sum_{我 = 1}^{n个} E类 {X（X）}_{我}^{2})}^{\frac{q个}{2}}\} .

引理2.3[6] $\sum_{我 = 1}^{n个} {b条}_{我, n个}^{2} = 2 n个 - {b条}_{1, n个}$ .

引理2.4[[三]，定理3.2]设{X（X）_镍, 1 ≤我≤n、 n个≥1}是一个具有 $E类 {X（X）}_{n个我}^{2} < \infty$ 对于每个我= 1,2,...,n个.假设它们是ρ^--混合。让{一_镍, 1 ≤我≤n、 n个≥1}是实数的数组一_镍=±1我= 1, 2,...,n个.表示 $σ_{n个}^{2} = V（V）一第页 (\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个我} {X（X）}_{n个我})$ 假设是这样

\underset{n个}{啜饮} \frac{1}{σ_{n个}^{2}} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 {X（X）}_{n个 我}^{2} < \infty,

和

\underset{n个 \to \infty}{极限 啜饮} \frac{1}{σ_{n个}^{2}} \sum_{\underset{1 \leq 我, j个 \leq n个}{我, j个 : | 我 - j个 | \geq 一}} C类 o个 v（v） {({X（X）}_{n个 我}, {X（X）}_{n个 j个})}^{-} \to 0 一 秒 一 \to \infty,

且满足以下Lindeberg条件：

\frac{1}{σ_{n个}^{2}} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 {X（X）}_{n个 我}^{2} 我 \{|{X（X）}_{n个 我}| \geq ε σ_{n个}\} \to 0 一 秒 n个 \to \infty

对于每个ε> 0. 然后

\frac{1}{σ_{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我} {X（X）}_{n个 我} \overset{d日}{\to} N个 (0, 1) 一 秒 n个 \to \infty .

引理2.5让{X（X）_n个,n个≥1}是严格平稳序列ρ^--将随机变量与前任_n个=0和 $\sum_{n个 = 2}^{\infty} |C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个})| < \infty, \{一_{n个我}, 1 \leq 我 \leq n个, n个 \geq 1\}$ 是一个实数数组 $\underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个我}^{2} < \infty$ 和 $\underset{1 \leq 我 \leq n个}{最大值} |一_{n个我}| \to 0$ 作为n个→ ∞. 如果 $V（V）一第页 (\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个我} {X（X）}_{我}) = 1$ 和 $\{{X（X）}_{n个}^{2}\}$ 是一致可积族，那么

\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我} {X（X）}_{我} \overset{d日}{\to} N个 (0, 1) 一 秒 n个 \to \infty .

证明请注意

\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我} {X（X）}_{我} = \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{一_{n个 我}}{|一_{n个 我}|} |一_{n个 我}| {X（X）}_{我} = : \sum_{我 = 1}^{n个} {b条}_{n个 我} {Y（Y）}_{n个 我},

哪里 ${b条}_{n个我} = \frac{一_{n个我}}{|一_{n个我}|}$ 和Y（Y）_镍= |一_镍|X（X）_我。那么{Y（Y）_镍, 1 ≤我≤n、 n个≥1}是一个数组ρ^--将中心随机变量与 $E类 {Y（Y）}_{n个我}^{2} = 一_{n个我}^{2} E类 {X（X）}_{我}^{2} < \infty$ 和b条_镍=±1我= 1, 2,...,n个和 $σ_{n个}^{2} = V（V）一第页 (\sum_{我 = 1}^{n个} {b条}_{n个我} {Y（Y）}_{n个我}) = 1$ 。请注意 $\{{X（X）}_{n个}^{2}\}$ 是一个一致可积族，我们有

\underset{n个}{啜饮} \frac{1}{σ_{n个}^{2}} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 {Y（Y）}_{n个 我}^{2} = \underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我}^{2} E类 {X（X）}_{我}^{2} \leq \underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我}^{2} \cdot \underset{我}{啜饮} E类 {X（X）}_{我}^{2} < \infty,

和

\begin{array}{l} \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} \frac{1}{σ_{n个}^{2}} \sum_{\underset{1 \leq 我, j个 \leq n个}{我, j个 : | 我 - j个 | \geq 一}} C类 o个 v（v） {({Y（Y）}_{n个 我}, {Y（Y）}_{n个 j个})}^{-} \\ = \underset{n个 \to \infty}{极限 啜饮} \sum_{\underset{1 \leq 我, j个 \leq n个}{我, j个 : | 我 - j个 | \geq 一}} C类 o个 v（v） {(| 一_{n个 我} | {X（X）}_{我}, | 一_{n个 j个} | {X（X）}_{j个})}^{-} \\ \leq \underset{n个 \to \infty}{极限 啜饮} \sum_{\underset{1 \leq 我, j个 \leq n个}{我, j个 : | 我 - j个 | \geq 一}} | 一_{n个 我} | \cdot | 一_{n个 j个} | \cdot | C类 o个 v（v） ({X（X）}_{我}, {X（X）}_{j个}) | \\ \leq C类 (\underset{n个 \to \infty}{极限 啜饮} (\sum_{\underset{1 \leq 我, j个 \leq n个}{我, j个 : | 我 - j个 | \geq 一}} {| 一_{n个 我} |}^{2} \cdot | C类 o个 v（v） ({X（X）}_{我}, {X（X）}_{j个}) | + \sum_{\underset{1 \leq 我, j个 \leq n个}{我, j个 : | 我 - j个 | \geq 一}} {| 一_{n个 我} |}^{2} \cdot | C类 o个 v（v） ({X（X）}_{我}, {X（X）}_{j个}) |)) \\ \leq C类 \underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} {| 一_{n个 我} |}^{2} \cdot \sum_{我 > 一} | C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{我}) | \\ \to 0 一 秒 一 \to \infty, \end{array}

和∀ ε>0，我们得到

\begin{align} \frac{1}{σ_{n个}^{2}} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 {Y（Y）}_{n个 我}^{2} 我 \{|{Y（Y）}_{n个 我}| \geq ε σ_{n个}\} \\ = \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我}^{2} E类 {X（X）}_{我}^{2} 我 \{|一_{n个 我}| \cdot |{X（X）}_{我}| \geq ε\} \\ \leq \underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我}^{2} \cdot E类 {X（X）}_{1}^{2} 我 \{|一_{n个 我}| \cdot |{X（X）}_{1}| \geq ε\} \\ \leq \underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我}^{2} \cdot E类 {X（X）}_{1}^{2} 我 \{\underset{1 \leq 我 \leq n个}{最大值} |一_{n个 我}| \cdot |{X（X）}_{1}| \geq ε\} \to 0 一 秒 n个 \to \infty, \end{align}

因此，引理2.4证明了这一结论。

引理2.6[2]假设（f）₁(x个)和（f）₂(年)是上的实数、有界、绝对连续函数R（右）具有 $|{（f）}^{'}_{1} (x个)| \leq {C类}_{1}$ 和 $|{（f）}^{'}_{2} (年)| \leq {C类}_{2}$ 然后，对于任何随机变量X（X）和Y（Y）,

|C类 o个 v（v） ({（f）}_{1} (X（X）), {（f）}_{2} (Y（Y）))| \leq {C类}_{1} {C类}_{2} \{- C类 o个 v（v） (X（X）, Y（Y）) + 8 {第页}^{-} (X（X）, Y（Y）) {∥X（X）∥}_{2, 1} {∥Y（Y）∥}_{2, 1}\},

哪里 ${∥X（X）∥}_{2, 1} = \int_{0}^{\infty} {P（P）}^{\frac{1}{2}} (|X（X）| > x个) d日 x个$ .

引理2.7让{X（X）_n个,n个≥1}是的严格平稳序列ρ^--将随机变量与 $E类 {X（X）}_{1} = 0, 0 < E类 {X（X）}_{1}^{2} < \infty$ 和

\begin{align} 0 < σ_{1}^{2} & = E类 {X（X）}_{1}^{2} + 2 \sum_{n个 = 2}^{\infty} C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个}) < \infty, \\ \sum_{n个 = 2}^{\infty} |C类 o个 v（v） ({X（X）}_{1}, {X（X）}_{n个})| < \infty, \end{align}

然后针对0<第页<2，我们有

{n个}^{- \frac{1}{第页}} {S公司}_{n个} \to 0 一 . 秒 . 一 秒 n个 \to \infty .

证明根据引理2.1，我们有

\underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{E类 {S公司}_{n个}^{2}}{n个} = σ_{1}^{2} .

(2.1)

让n个_k个=k个^α，其中 $α > 最大值 \{1, \frac{第页}{2 - 第页}\}$ 通过（2.1），我们得到

\sum_{k个 = 1}^{\infty} P（P） \{|{S公司}_{n个 k个}| \geq ε {n个}_{k个}^{\frac{1}{第页}}\} \leq \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{E类 {S公司}_{{n个}_{k个}}^{2}}{ε^{2} {n个}_{k个}^{\frac{2}{第页}}} \leq \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{C类}{ε^{2} {k个}^{α (\frac{2}{第页} - 1)}} < \infty .

从Borel-Cantelli引理可以得出

{n个}_{k个}^{- \frac{1}{第页}} {S公司}_{{n个}_{k个}} \to 0 一 . 秒 . 一 秒 k个 \to \infty .

(2.2)

根据引理2.2可知

\begin{align} \sum_{k个 = 1}^{\infty} P（P） \{\underset{{n个}_{k个} \leq n个 < {n个}_{k个 + 1}}{最大值} \frac{|{S公司}_{n个} - {S公司}_{{n个}_{k个}}|}{{n个}^{\frac{1}{第页}}} \geq ε\} \leq \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{E类 \underset{{n个}_{k个} \leq n个 < {n个}_{k个 + 1}}{最大值} {|{S公司}_{n个} - {S公司}_{{n个}_{k个}}|}^{2}}{ε^{2} {n个}_{k个}^{\frac{2}{第页}}} \\ = \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{E类 \underset{{n个}_{k个} \leq n个 < {n个}_{k个 + 1}}{最大值} {|\sum_{我 = {n个}_{k个 + 1}}^{n个} {X（X）}_{我}|}^{2}}{ε^{2} {n个}_{k个}^{\frac{2}{第页}}} \leq C类 \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{({n个}_{k个 + 1} - {n个}_{k个})}{ε^{2} {n个}_{k个}^{\frac{2}{第页}}} \leq C类 \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{1}{{k个}^{α (\frac{2}{第页} - 1)}} < \infty . \end{align}

通过Borel-Cantelli引理，我们得出如下结论

\underset{{n个}_{k个} \leq n个 < {n个}_{k个 + 1}}{最大值} \frac{|{S公司}_{n个} - {S公司}_{{n个}_{k个}}|}{{n个}^{\frac{1}{第页}}} \to 0 一 . 秒 . 一 秒 n个 \to \infty .

(2.3)

对于每个n个，存在n个_k个和n个_k个+1这样的话n个_k个≤n个<n个_k个+1根据（2.2）和（2.3），我们已经

\begin{align} \frac{|{S公司}_{n个}|}{{n个}^{\frac{1}{第页}}} & = \frac{|{S公司}_{n个} - {S公司}_{{n个}_{k个}} + {S公司}_{{n个}_{k个}}|}{{n个}^{\frac{1}{第页}}} \\ \leq \frac{|{S公司}_{{n个}_{k个}}|}{{n个}_{k个}^{\frac{1}{第页}}} + \underset{{n个}_{k个} \leq n个 < {n个}_{k个 + 1}}{最大值} \frac{|{S公司}_{n个} - {S公司}_{{n个}_{k个}}|}{{n个}^{\frac{1}{第页}}} \to 0 一 . 秒 . 一 秒 n个 \to \infty . \end{align}

证明现已完成。

3定理证明

定理证明1.1根据的财产ρ^--混合序列，很容易看出{Y（Y）_n个}是严格固定的ρ^--混合序列等等₁=0和 $E类 {Y（Y）}_{1}^{2} = 1$ .我们首先证明

\frac{{S公司}_{n个, n个}}{σ_{n个}} \overset{d日}{\to} N个 (0, 1) 一 秒 n个 \to \infty .

(3.1)

让 $一_{n个我} = \frac{{b条}_{我, n个}}{σ_{n个}}, 1 \leq 我 \leq n个, n个 \geq 1$ 显然，

V（V） 一 第页 (\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我} {Y（Y）}_{我}) = 1 .

From条件(一₄)在定理1.1和引理2.3中，我们有

\underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我}^{2} = \underset{n个}{啜饮} \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{{b条}_{我, n个}^{2}}{σ_{n个}^{2}} = \underset{n个}{啜饮} \frac{2 n个 - {b条}_{1, n个}}{σ_{n个}^{2}} \leq C类 \underset{n个}{啜饮} \frac{2 n个 - {b条}_{1, n个}}{n个} < \infty,

和

\underset{1 \leq 我 \leq n个}{最大值} |一_{n个 我}| = \underset{1 \leq 我 \leq n个}{最大值} \frac{{b条}_{我, n个}}{σ_{n个}} \leq \frac{{b条}_{1, n个}}{σ_{n个}} \leq \frac{C类 日志 n个}{\sqrt{n个}} \to 0 一 秒 n个 \to \infty .

通过平稳性{Y（Y）_n个,n个≥1}和E|X（X）₁|²<∞，我们知道 $\{{Y（Y）}_{n个}^{2}\}$ 一致可积，且根据条件(一₂)在定理1.1中，我们得到 $\sum_{n个 = 2}^{\infty} |C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{1}, {Y（Y）}_{n个})| < \infty$ ，所以应用引理2.5，我们有

\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我} {Y（Y）}_{我} \overset{d日}{\to} N个 (0, 1) .

请注意

\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{n个 我} {Y（Y）}_{我} = \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{{b条}_{我, n个} {Y（Y）}_{我}}{σ_{n个}} = \frac{{S公司}_{n个, n个}}{σ_{n个}},

所以（3.1）是有效的。让（f）(x个)是有界Lipschitz函数且具有Radon-Nikodyn导数小时(x个)以Γ为界。从（3.1）开始，我们有

E类 （f） (\frac{{S公司}_{n个, n个}}{σ_{n个}}) \to E类 （f） (N个 (0, 1)) 一 秒 n个 \to \infty,

因此

\frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} E类 （f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}) - E类 （f） (N个 (0, 1)) \to 0 一 秒 n个 \to \infty .

(3.2)

另一方面，注意（1.1）相当于

\underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} （f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}) = \int_{- \infty}^{\infty} （f） (x个) d日 Φ (x个) = E类 （f） (N个 (0, 1)) 一 . 秒 .

(3.3)

来自Peligrad和Shao的第二节[7]以及关于的定理7.1P（P）₄₂来自Billingsley[8]. 因此，为了证明（3.3），只需表明

{T型}_{n个} = \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} [（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}) - E类 （f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}})] \to 0 一 . 秒 . n个 \to \infty

(3.4)

根据（3.2）。让 $ξ_{k个} = （f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}) - E类（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}})$ , 1 ≤k个≤n个我们有

\begin{align} E类 {T型}_{n个}^{2} & = \frac{1}{{日志}^{2} n个} E类 {(\sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{ξ_{k个}}{k个})}^{2} \\ \leq \frac{1}{{日志}^{2} n个} \sum_{1 \leq k个 \leq 我 \leq n个, 2 k个 \geq 我} \frac{|E类 ξ_{k个} ξ_{我}|}{k个 我} + \frac{1}{{日志}^{2} n个} \sum_{1 \leq k个 \leq 我 \leq n个, 2 k个 \geq 我} \frac{|E类 ξ_{k个} ξ_{我}|}{k个 我} \\ : = 我_{1} + 我_{2} . \end{align}

(3.5)

由于f是有界的，我们有

我_{1} \leq \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \sum_{我 = k个}^{2 k个} \frac{1}{k个 我} = \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} \sum_{我 = k个}^{2 k个} \frac{1}{我} \leq C类 ({日志}^{- 1} n个) .

(3.6)

现在我们估计我₂，如果我> 2k个，我们有

\begin{align} {S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} & = ({b条}_{1, 我} {Y（Y）}_{1} + {b条}_{2, 我} {Y（Y）}_{2} + \dots + {b条}_{我, 我} {Y（Y）}_{我}) - ({b条}_{1, 2 k个} {Y（Y）}_{1} + {b条}_{2, 2 k个} {Y（Y）}_{2} + \dots + {b条}_{2 k个, 2 k个} {Y（Y）}_{2 k个}) \\ = ({b条}_{2 k个 + 1, 我} {Y（Y）}_{2 k个 + 1} + \dots + {b条}_{我, 我} {Y（Y）}_{我}) + {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}, \end{align}

和

\begin{align} |E类 ξ_{k个} ξ_{我}| & = |C类 o个 v（v） (（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}), （f） (\frac{{S公司}_{我, 我}}{σ_{我}}))| \\ \leq |C类 o个 v（v） (（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}), （f） (\frac{{S公司}_{我, 我}}{σ_{我}}) - （f） (\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}))| \\ + |C类 o个 v（v） (（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}), （f） (\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}))| . \end{align}

根据引理2.3和条件(一₂)在定理1.1中，我们有

\begin{align} V（V） 一 第页 ({S公司}_{k个, k个}) & = \sum_{我 = 1}^{k个} {b条}_{我, k个}^{2} E类 {Y（Y）}_{我}^{2} + 2 \sum_{j个 = 1}^{k个 - 1} \sum_{我 = j个 + 1}^{k个} {b条}_{我, k个} {b条}_{j个, k个} C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个}) \\ \leq \sum_{我 = 1}^{k个} {b条}_{我, k个}^{2} + 2 \sum_{j个 = 1}^{k个} {b条}_{j个, k个}^{2} \sum_{我 = j个 + 1}^{k个} |C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个})| \\ \leq C类 k个, \end{align}

(3.7)

和

\begin{align} V（V） 一 第页 ({S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}) \\ = \sum_{我 = 2 k个 + 1}^{我} {b条}_{我, 我}^{2} E类 {Y（Y）}_{我}^{2} + 2 \sum_{j个 = 2 k个 + 1}^{我 - 1} \sum_{我 = j个 + 1}^{我} {b条}_{我, 我} {b条}_{j个, 我} C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个}) \\ \leq \sum_{我 = 2 k个 + 1}^{我} {b条}_{我, 我}^{2} + 2 \sum_{j个 = 1}^{我} {b条}_{我, 我}^{2} \sum_{我 = j个 + 1}^{我} |C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个})| \\ \leq C类 我 . \end{align}

根据引理2.6ρ^--混合顺序和条件(一₄)，我们有

\begin{align} |C类 o个 v（v） (（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}), （f） (\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}))| \\ \leq C类 \{- C类 o个 v（v） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}, \frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}) \\ + 8 ρ^{-} (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}, \frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}) \cdot {∥\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}∥}_{2, 1} \cdot {∥\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}∥}_{2, 1}\} \\ \leq C类 ρ^{-} (k个) {(V（V） 一 第页 (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}))}^{\frac{1}{2}} {(V（V） 一 第页 (\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}))}^{\frac{1}{2}} \\ + C类 ρ^{-} (k个) {∥\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}∥}_{2, 1} \cdot {∥\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}∥}_{2, 1} \\ \leq C类 ρ^{-} (k个) + C类 ρ^{-} (k个) {∥\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}∥}_{2, 1} \cdot {∥\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}∥}_{2, 1} . \end{align}

通过不平等 ${∥X（X）∥}_{2, 1} \leq \frac{第页}{第页 - 2} {∥X（X）∥}_{第页} (第页 > 2)$ （参见张[[2]第254页]或勒杜和塔拉格兰[[9]，第251页]），我们得到

{∥\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}∥}_{2, 1} \leq \frac{第页}{第页 - 2} {∥\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}∥}_{第页} = \frac{第页}{第页 - 2} \frac{1}{σ_{k个}} {(E类 {|{S公司}_{k个, k个}|}^{第页})}^{\frac{1}{第页}},

和

\begin{align} E类 {|{S公司}_{k个, k个}|}^{第页} & = E类 | \sum_{j个 = 1}^{k个} {b条}_{j个, k个} {Y（Y）}_{j个} |^{第页} \\ \leq C类 \{\sum_{j个 = 1}^{k个} {b条}_{j个, k个}^{第页} E类 {|{X（X）}_{j个}|}^{第页} + {(\sum_{j个 = 1}^{k个} {b条}_{j个, k个}^{2} E类 {X（X）}_{j个}^{2})}^{\frac{第页}{2}}\} \\ \leq C类 \{k个 ({日志}^{第页} k个) + {k个}^{\frac{第页}{2}}\}, \end{align}

因此

{∥\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}∥}_{2, 1} \leq C类 (\frac{第页}{第页 - 2} \cdot \frac{日志 k个}{{k个}^{\frac{1}{2} - \frac{1}{第页}}} + \frac{第页}{第页 - 2}) < C类,

类似地，

{∥\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}∥}_{2, 1} < C类,

因此

|C类 o个 v（v） (（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}), （f） (\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}))| \leq C类 ρ^{-} (k个) .

与（3.7）类似，我们有

\begin{align} V（V） 一 第页 ({S公司}_{2 k个, 2 k个}) & = \sum_{我 = 1}^{2 k个} {b条}_{我, 2 k个}^{2} E类 {Y（Y）}_{我}^{2} + 2 \sum_{j个 = 1}^{2 k个 - 1} \sum_{我 = j个 + 1}^{2 k个} {b条}_{我, 2 k个} {b条}_{j个, 2 k个} C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个}) \\ \leq \sum_{我 = 1}^{2 k个} {b条}_{我, 2 k个}^{2} + 2 \sum_{j个 = 1}^{2 k个 - 1} {b条}_{我, 2 k个}^{2} \sum_{我 = j个 + 1}^{2 k个} |C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个})| \\ \leq C类 k个, \end{align}

和

\begin{align} V（V） 一 第页 ({\tilde{S公司}}_{2 k个}) & = V（V） 一 第页 (\sum_{我 = 1}^{2 k个} {Y（Y）}_{我}) \\ = \sum_{我 = 1}^{2 k个} E类 {Y（Y）}_{我}^{2} + 2 \sum_{我 = 1}^{2 k个 - 1} \sum_{j个 = 我 + 1}^{2 k个} |C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个})| \\ = 2 k个 + 2 \sum_{我 = 1}^{2 k个 - 1} \sum_{j个 = 2}^{2 k个 - 我 + 1} C类 o个 v（v） ({Y（Y）}_{我}, {Y（Y）}_{j个}) \\ \leq C类 k个 . \end{align}

自（f）是一个有界Lipschitz函数，我们有

\begin{align} |C类 o个 v（v） (（f） (\frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}}), （f） (\frac{{S公司}_{我, 我}}{σ_{我}}) - （f） (\frac{{S公司}_{我, 我} - {S公司}_{2 k个, 2 k个} - {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}}{σ_{我}}))| \\ \leq C类 E类 \frac{|{S公司}_{2 k个, 2 k个} + {b条}_{2 k个 + 1, 我} {\tilde{S公司}}_{2 k个}|}{σ_{我}} \\ \leq C类 \frac{{(V（V） 一 第页 ({S公司}_{2 k个, 2 k个}))}^{\frac{1}{2}}}{σ_{我}} + C类 \frac{{b条}_{2 k个 + 1, 我} {(V（V） 一 第页 ({\tilde{S公司}}_{2 k个}))}^{\frac{1}{2}}}{σ_{我}} \\ \leq C类 {(\frac{k个}{我})}^{\frac{1}{2}} + C类 {(\frac{k个}{我})}^{\frac{1}{2}} 日志 \frac{1}{2 k个} \\ \leq C类 {(\frac{k个}{我})}^{ε}, \end{align}

哪里 $0 < ε < \frac{1}{2}$ 。因此，如果我> 2k个，我们有

|E类 ξ_{k个} ξ_{我}| \leq C类 [ρ^{-} (k个) + {(\frac{k个}{我})}^{ε}] .

因此

\begin{align} 我_{2} & \leq \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{我 = 2}^{n个} \sum_{k个 = 1}^{我 - 1} \frac{1}{{k个}^{1 - ε} 我^{1 + ε}} + \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{我 = 2}^{n个} \frac{1}{我} \sum_{k个 = 1}^{我 - 1} \frac{ρ^{-} (k个)}{k个} \\ \leq \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{我 = 2}^{n个} \frac{1}{我^{1 + ε}} \frac{{(我 - 1)}^{ε}}{ε} + \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{我 = 2}^{n个} \frac{1}{我} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{{日志}^{- δ} k个}{k个} \\ \leq \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{我 = 2}^{n个} \frac{1}{我} + \frac{C类}{{日志}^{2} n个} \sum_{我 = 2}^{n个} \frac{1}{我} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{{日志}^{- δ} k个}{k个} \\ \leq C类 {日志}^{- 1} n个 . \end{align}

(3.8)

与（3.5）、（3.6）和（3.8）相关，我们有

E类 {T型}_{n个}^{2} \leq C类 {日志}^{- 1} n个 .

(3.9)

为了证明（3.4），让 ${n个}_{k个} = {e（电子）}^{{k个}^{τ}}$ ，其中τ> 1. 从（3.9）开始，我们有

\sum_{k个 = 1}^{\infty} E类 {T型}_{{n个}_{k个}}^{2} \leq C类 \sum_{k个 = 1}^{\infty} {日志}^{- 1} {n个}_{k个} = C类 \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{1}{{k个}^{τ}} < \infty .

因此∀ε>0，我们有

\sum_{k个 = 1}^{\infty} P（P） \{|{T型}_{{n个}_{k个}}| \geq ε\} \leq \sum_{k个 = 1}^{\infty} \frac{E类 {T型}_{{n个}_{k个}}^{2}}{ε^{2}} < \infty .

根据Borel-Cantelli引理，我们有

{T型}_{{n个}_{k个} \to 0} 一 . 秒 . 一 秒 k个 \to \infty .

请注意

\frac{日志 {n个}_{k个 + 1}}{日志 {n个}_{k个}} = \frac{{(k个 + 1)}^{τ}}{{k个}^{τ}} \to 1 一 秒 k个 \to \infty .

对于每个n个，存在n个_k个和n个_k个+1令人满意的n个_k个<n个≤n个_k个+1，我们有

\begin{align} |{T型}_{n个}| & \leq \frac{1}{日志 {n个}_{k个}} |\sum_{我 = 1}^{{n个}_{k个}} \frac{ξ_{我}}{我}| + \frac{1}{日志 {n个}_{k个}} \sum_{我 = {n个}_{k个}}^{{n个}_{k个 + 1}} \frac{|ξ_{我}|}{我} \\ \leq |{T型}_{{n个}_{k个}}| + C类 (\frac{日志 {n个}_{k个 + 1}}{日志 {n个}_{k个}} - 1) \to 0 一 . 秒 . 一 秒 n个 \to \infty, \end{align}

完成了（3.4），从而完成了定理1.1的证明。

定理证明1.2让 ${C类}_{我} = \frac{{S公司}_{我}}{μ_{我}}$ ，我们有

\frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} ({C类}_{我} - 1) = \frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} (\frac{{S公司}_{我}}{μ 我} - 1) = \frac{1}{σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} {b条}_{我, k个} {Y（Y）}_{我} = \frac{{S公司}_{k个, k个}}{σ_{k个}} .

因此（1.1）相当于

\forall x个 \underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} 我 \{\frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} ({C类}_{我} - 1) \leq x个\} = Φ (x个) 一 . 秒 .

(3.10)

另一方面，为了证明（1.2），它足以表明

\forall x个 \underset{n个 \to \infty}{极限} \frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} 我 \{\frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} 日志 {C类}_{我} \leq x个\} = Φ (x个) 一 . 秒 .

(3.11)

根据引理2.7，对于足够大的我，对于一些 $\frac{4}{三} < 第页 < 2$ 我们有

|{C类}_{我} - 1| = |\frac{{S公司}_{我}}{μ 我} - 1| \leq C类 我^{\frac{1}{第页} - 1} 一 . 秒 .

很容易知道日志（1+x个) =x个+哦(x个²)的 $|x个| < \frac{1}{2}$ ，因此

|\sum_{k个 = 1}^{n个} 日志 {C类}_{k个} - \sum_{k个 = 1}^{n个} ({C类}_{k个} - 1)| \leq C类 \sum_{k个 = 1}^{n个} {({C类}_{k个} - 1)}^{2} \leq C类 \sum_{k个 = 1}^{n个} {k个}^{\frac{2}{第页} - 2} \leq C类 {n个}^{\frac{2}{第页} - 1} 一 . 秒 .,

和

\sum_{k个 = 1}^{n个} ({C类}_{k个} - 1) - C类 {n个}^{\frac{2}{第页} - 1} \leq \sum_{k个 = 1}^{n个} 日志 {C类}_{k个} \leq \sum_{k个 = 1}^{n个} ({C类}_{k个} - 1) + C类 {n个}^{\frac{2}{第页} - 1} 一 . 秒 .

因此对于任意小ε>0，有n个₀=n个₀(ω, ε)，这样每n个>n个₀而且武断x个,

我 \{\frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} ({C类}_{我} - 1) \leq x个 - ε\} \leq 我 \{\frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} 日志 {C类}_{我} \leq x个\} \leq 我 \{\frac{1}{γ σ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{k个} ({C类}_{我} - 1) \leq x个 + ε\},

所以通过（3.10），我们知道（3.11）是真的，并且（3.11”）等价于（1.2），因此定理1.2的证明是完整的。

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致谢

作者非常感谢编辑和匿名审稿人对手稿的仔细阅读和宝贵建议，这些建议有助于大幅改进本文的早期版本。本研究得到了国家自然科学基金（109261691117100311101180）、教育部重点项目（211039）、吉林省教育委员会基金（2012-158）和吉林大学基础研究基金（201001002201103204）的资助。

作者信息

作者和附属机构

中国吉林省北华大学数学系，2013年13月
谭西丽和张颖
吉林大学数学学院，长春，130012，中国
张勇

作者

西丽滩
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张勇
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通讯作者

与的通信西丽滩.

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相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

XT和YZ进行了研究设计并进行了分析。YZ参与了其设计和协调。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

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关于本文

引用这篇文章

Tan，X.，Zhang，Y.&Zhangρ^--混合序列。J不平等申请 2012, 51 (2012). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2012-51

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收到:2011年11月13日
认可的:2012年3月1日
出版:2012年3月1日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2012-51

部分和乘积的几乎处处中心极限定理ρ--混合序列

摘要