算子的研究在几何函数理论中占有重要地位。许多微分和积分算子可以用某些解析函数的卷积来表示。可以观察到，这种形式化简化了进一步的数学探索，也有助于更好地理解此类算子的几何性质。
巴纳德和凯洛格给出的以下一组例子可以理解卷积在算子理论中的重要性[12].
让和对于每个是定义为
注意，上面的前两个操作符是微分的，其他操作符本质上是积分的。现在，这些操作符中的每一个都可以写成卷积操作符，如下所示：
哪里
这说明了微分和积分算子是如何用函数卷积表示的。另外，请注意，一旦我们将这些算符放入卷积形式，很容易得出结论，亚历山大微分算符是亚历山大积分算符的逆，而利文斯顿算符是Libera算符的反。为了进一步讨论卷积运算的重要性，我们建议读者阅读Ruscheweyh的经典著作[14].
现在，我们按时间顺序简要介绍了几何函数理论中研究的一些卷积算子，并提到了一些相关的工作。
2.1广义Bernardi算子（1969）
考虑操作员由提供
(2.1)
注意，Alexander积分和Libera运算符是对于和分别是。现在，可以等效地放入卷积形式
(2.2)
哪里是由（1.3）给出的高斯超几何函数。操作员由Bernardi介绍[4]. 在[4]，还显示了类和C类在该操作员下关闭，即，广义Bernardi算子映射和C类上的类和C类分别是。关于Bernardi运算符的其他一些工作包括[15]和[16]以及其中的参考。
2.2 Ruscheweyh导数算子（1975）
使用卷积技术，Ruscheweyh[5]定义了运算符关于解析函数类A类作为
(2.3)
对于，我们获得
(2.4)
表达式被称为米四阶Ruscheweyh导数。请注意它是身份操作符，并且亚历山大微分算子。也可以证明，该算子本质上是超几何的
(2.5)
很容易为操作员建立以下身份:
例如，许多作者[17——19]，使用Ruscheweyh算子定义和研究了某些已知的和新的分析函数类的性质。
2.3 Carlson-Shaffer操作员（1984年）
卡尔森和夏弗[20]使用Hadamard产品定义线性运算符通过
（2.6）
哪里
(2.7)
是不完整的beta函数使用（1.3）和（2.7），我们可以建立超几何函数和不完全β函数之间的关系
(2.8)
因此
(2.9)
Carlson-Shaffer操作员地图A类与自身接触作为身份，如果和对于作为的连续逆，提供了 . 此外，众所周知
如果我们采取,，然后这是Ruscheweyh运营商。因此，Carlson-Shaffer算子推广了（2.3）中定义的Ruscheweyh导数算子。同样，我们观察到和.
最近，Shanmugam等。[21]导出了与Carlson-Shaffer算子相关的解析函数的某些子类的夹心定理。
2.4霍洛夫线性算子（1984）
通过使用（1.3）给出的高斯超几何函数，Hohlov[22,23]引入广义卷积算子作为
(2.10)
并讨论了该算子所表现出的一些有趣的几何性质。三参数算子族包含大多数已知线性积分或微分算子的特例。特别是，如果在（2.10）中，则简化为（2.6）中定义的算子，这意味着Carlson-Shaffer算子是Hohlov算子的特例。同样，很容易证明Hohlov算子也是Ruscheweyh和Bernardi算子的推广。
它显示在[23]线性超几何算子映射类S公司对于任何阳性ϵ如果,，其中是方程的最大正根
类似地，一个有趣的结果描述了当Hohlov线性算子映射一类凸函数C类到单叶函数的S公司年也有报道[23]. Mishra的最新发现等。[24]值得一提的是，他们在那里研究了Hohlov算子的类映射性质。
2.5 Owa-Srivastava分数阶微分算子（1987）
阶的分数导数α在Riemann-Liouville的意义上，定义为
(2.11)
具有。我们还假设,即,，以删除的多重性在上述积分中。高阶分数导数定义为
使用分数导数Owa和Srivastava[25]操作员介绍，用于通过
其中，使用无穷级数形式在（2.11）中，变为
(2.12)
使用（2.12）中的（2.8），我们有
（2.13）
哪里是由（2.7）给出的不完全β函数，Γ表示伽马函数。请注意、标识运算符，以及亚历山大微分算子。请参见[9,26]以便对该操作员进行全面讨论。
2.6 Noor积分算子（1999）
类似于Ruscheweyh导数算子Noor和Noor[6]和努尔[8]定义了一个运算符，如下所示。
让和定义为
然后
(2.14)
很容易证明和分别是亚历山大微分算子和恒等式算子。因此Noor算子是Alexander算子的推广在本节开头定义。比较获得的结果和和那些和对于Ruscheweyh导数算子，我们注意到和这两个运算符之间的反向关系为我们提供了将Noor运算符称为积分运算符的理由。操作员被称为n个四阶努尔积分算子。关于超几何函数卷积的Noor积分算子可以给出如下公式
(2.15)
使用（2.14），我们得到了Noor积分算子的以下递归关系：
努尔积分算子及其相关解析函数类的研究仍然是许多研究人员感兴趣的话题，囊性纤维变性。[7,10].
2.7 Dziok-Srivastava操作员（1999年）
广义超几何函数只是超几何函数（1.3）的扩展，定义为
哪里具有和 , 对于。我们再次注意到.使用广义超几何函数Dziok和Srivastava[27——29]定义了卷积算子作为
（2.16）
哪里和.
Dziok Srivastava算子的以下身份可以很容易地证明：
对于参数的特殊值α的，β的，q个和秒，我们得到了广义Bernardi、Ruscheweyh、Carlson-Shaffer、Hohlov、Owa-Srivastava、Noor和Choi-Saigo-Srivatava的算子。
在[30]和[31]，作者使用该算子生成了从属和超协调结果。
2.8 Choi-Saigo-Srivastava运营商（2002年）
Noor积分算子的一个自然推广是算子按以下方式建造：
(2.17)
哪里
操作员由Choi、Saigo和Srivastava于年介绍和讨论[32]. 对于超几何函数，我们可以把它写成
(2.18)
很明显，对于该算子简化为（2.14）中定义的Noor积分算子，而对于和，我们得到由（2.12）给出的Owa-Srivastava算子。还要注意的是和这就是为什么这个算子在文献中被称为积分。使用（2.17），可以轻松验证以下身份：
在[33]和[34]，作者讨论了与Choi-Saigo-Srivastava算子相关的解析函数的一些有趣性质。
2.9 Srivastava-Attiya操作员（2007年）
广义Hurwitz-Lerch zeta函数由定义
(2.19)
哪里具有 ,,和.
斯利瓦斯塔瓦和阿提亚[35]引入了一类线性算子通过Hurwitz Lerch-zeta函数与解析函数的Hadamard乘积
(2.20)
哪里具有 ,,和由提供
(2.21)
请注意和给出的恒等式和逆算子分别是。使用（2.20）和（2.21）可以很容易地获得以下递归关系：
此运算符包含许多已知运算符，作为不同值的特例μ和b条; 参见[35]以获取此类操作员的完整列表。Srivastava和Attiya的这篇文章还讨论了该算子的一些有趣的从属结果。鉴于[36]讨论了它在强星形函数和凸函数上的应用。
2.10乘数分数微分算子（2008）
Al-Oboudi和Al-Amoudi[37]Owa-Srivastava分数阶微分算子的推广[25]并提出了一种乘法器分数阶微分算子。
乘法器分数微分算子对于,和定义如下：
使用的幂级数展开，我们可以写
(2.22)
哪里
(2.23)
此外，对于不完全β函数的卷积，我们可以将（2.22）表示为以下形式：
(2.24)
或等效地，使用超几何函数
(2.25)
哪里。请注意，对于和,简化为卷积运算的身份，并且成为Owa-Srivastava操作员（2.12）。
在[38]，得到了该分数算子的一些从属结果。
