一种常见的过程控制应用是级联双罐系统，其中液位在第二个罐中进行控制。 本文提出了一种非线性系统辨识方法，利用基准数据集预测模型结构参数，使估计数据和测量数据之间的差异最小化。 一般建议的结构由静态非线性级联和线性动态滤波器以及有色噪声元素组成。 提出了一种基于一步预测误差的模型估计方法。 该模型使用可分离的最小二乘优化方法进行识别，其中仅使用改进的Levenberg–Marquardt迭代优化方法求解预测器输出中出现的非线性参数，而其余参数则在每次迭代后使用简单的最小二乘法进行拟合。 最后，给出了使用基准数据的MATLAB仿真实例。
1.简介 最近，由于难以使用物理建模方法对许多系统进行建模，系统识别引起了许多研究人员和实践者的关注。 需要良好的经验数学模型来满足各种需求，这些模型代表了不同工程领域中的各种实际应用[ 1 ]. 这些需求可能是理解和分析当前系统的局限性，预测和模拟新的实验，或设计新的或修改的控制器。 从测量数据创建数学模型的过程称为系统识别[ 2 , 三 ]. 与大多数机器学习方法不同，系统识别可以更深入地了解系统的结构和动态。 在系统辨识中，一种非常常见的方法是使用本工作中应用的模型结构方法。与文献中已建立并广泛应用的线性系统辨识方法不同，非线性系统辨识需要更多的关注，因为我们的实际应用是非线性的。 每个非线性的唯一性增加了非线性系统及其辨识的复杂性[ 4 – 11 ].
有一些尝试将非线性系统识别技术应用于文献报道的不同工程领域的常见应用。 在化学过程控制领域，Aljaman等人[ 12 ]朱确定了存在非稳态扰动时连续搅拌槽式反应器（CSTR）的动力学[ 13 ]确定了蒸馏塔，Birpoutsoukis等人[ 14 ]估计了级联双槽系统的Volterra级数模型。 同样，在生物医学工程应用中，Vlaar等人[ 15 ]通过脑电图（EEG）识别脑信号，而Cescon等人[ 16 ]确定了人体内血糖水平的模型。
这项工作仅限于级联双容系统，在该系统中，文献中提出了不同的识别方法。 与Relan等人提出的非线性状态空间方法不同[ 1 ]，Birpoutsoukis等人[ 14 ]开发了一种基于Volterra系列的非参数方法。 在后一种方法中，消除不需要的瞬态部分对最小化误差起到了重要作用。 Svensson和Schön[ 17 ]提出了一种黑盒非线性系统辨识状态空间技术，并将其应用于级联坦克数据集。 文献中提出了不同的系统识别方法，如[ 18 – 32 ].
本文提出了一种预测误差最小化（PEM）非线性系统辨识参数方法，类似于[ 10 ]采用Schoukens et al[ 26 ]使用了。 其主要贡献是利用这种通用的非线性模型结构、Hammerstein Box-Jenkins模型和可分离最小二乘（SLS）辨识方法来预测级联储罐系统的参数。 适合此应用的建议模型结构为Hammerstein Box-Jenkins模型，其中静态非线性与线性动态滤波器串联，其输出与自回归滑动平均（ARMA）噪声模型相加。 提出了可分离最小二乘（SLS）技术，其中对非线性参数执行基于二阶梯度下降的优化方法，而在每次迭代后使用普通最小二乘回归来估计预测器中线性出现的系数。
论文安排如下。 在对第节中的双水箱系统和近似模型结构进行物理描述之后 2 ，第节 三 包括识别建议方法。 然后，给出了仿真实例和结果讨论。 最后，在结论中提供了结论性意见。
2.问题定义 2.1. 级联水箱 级联水箱系统是[ 26 ]. 它包括两个水箱，带有自由出口，如图所示 1 .第一个油箱由泵供给，然后排入第二个油箱，第二个水箱本身排入油箱（见图 2 ). 系统的输入是施加在泵上的电压，而输出是第二个油箱中液位传感器的读数。 请注意，如果上水箱溢出，一些溢出物将落到第二个水箱中，而其余部分将直接流入水库。 非线性的来源主要是输入信号，并在测量过程中与小非线性相结合[ 26 ].
2.2. 拟议模型结构 从某种意义上说，Box-Jenkins模型是线性时不变（LTI）系统建模和识别的理想模型，因为许多模型可以被视为特殊情况，例如AR、MA、ARMA、ARX、ARMAX和OE模型[ 33 ]. 它包括用于系统和噪声模型的单独滤波器，这给了它很大的灵活性。 将Box-Jenkins模型中的线性过程滤波器替换为非线性模型可以产生更灵活的模型，因为它可以对电厂的非线性行为进行建模，但仍然可以提供准确的预测，即使随机扰动具有高度自相关性。 在本节中，我们考虑Hammerstein Box-Jenkins模型，如图所示 三 它将Box-Jenkins模型的线性动力学与Hammerstein模型的非线性结构相结合。 选择Hammerstein的主要原因是之前对双油箱系统微分平衡方程的了解，这意味着主要非线性位于符合Hammersstein模型的输入端。 不同的系统识别方法见[ 34 – 40 ].
辨识的主要目标是估计过程和噪声参数以及非线性的扩展系数。 获得可接受的识别结果的一个重要因素是良好的初始猜测。 这是因为当使用任何迭代优化方法时，除非参数向量的初始猜测足够接近，否则评估函数将收敛到全局最小值是不确定的。 模型公式如下 哪里 是系统确定性部分的输出，噪声部分为
确定性过程输出端由以下公式计算 哪里 是静态非线性的输出：
本文中，无记忆非线性 将由次数多项式近似 M（M） 因为应用LS来求多项式非线性系数的效率和能力。
3.初步 3.1. 预测误差法（PEM） 预测误差法（PEM）搜索参数向量， , 这减少了测量输出和模型生成的输出预测之间的差异。 因此， ε 是预测误差。
注意，参数向量， , 由过程元素、噪声滤波器和多项式非线性系数组成。
3.1.1. 一步预测 PEM中最常见的选项是一步预测，其中现有输出， , 时间 假设所有I/O测量值（包括 。 Hammerstein Box-Jenkins模型的一步预测方程如下： 其中噪声模型预测器， , 由解决
通过替换( 三 )和( 8 )英寸( 7 ):
主要目标是( 10 )，是计算参数向量 最小化成本函数的均方误差（MSE）， , 在( 11 ).
3.2. 可分离最小二乘法 在SLS算法中，参数向量， , 分为两组：在预测误差中线性出现的一组参数， , 以及其余参数， [ 41 ]. 预测误差通常是以下项的非线性函数 ; 尽管在某些情况下 可能与元素有关 。 在这些情况下，决定哪个参数是“线性”或“非线性”是任意的。 因此，参数向量细分为
对于Hammerstein模型，预测误差可以在多项式系数或植物分子中被视为线性。 过程模型的输出， , 和多项式 公式如下：
线性部分的参数向量， , 通过简单LS进行估算。 哪里 是包含所有实验结果的向量 。 非线性参数向量， , 使用迭代方法进行估计。
它来自( 16 )那个 依赖 寻找搜索方向。 类似于参数向量 , 雅可比矩阵也分为两部分： 和 分别由线性参数和非线性系数组成： 并在中制定( 18 )和( 19 ):
SLS的雅可比矩阵 由计算得出
由于预测器输出依赖于可能导致线性元素变化的非线性参数，因此线性部分的投影， , 定义于( 21 )，以计算此变化。
互补投影， , 定义如下：
现在 可以通过以下方式计算
一次 已计算， 可以使用任何准Newton优化进行更新，本文中提出了Levenberg–Marquardt。Aljaman等人更详细地描述了可分离最小二乘法[ 12 ].
非线性矢量参数 可以使用任何准Newton优化进行更新。
3.3. L-M优化 Levenberg–Marquardt算法是一种基于二阶迭代优化的技术，其中应用于参数的更新取决于局部梯度和误差曲面局部曲率的近似值[ 42 , 43 ]. 它被应用于求解非线性LS问题，其中探索了极小值，但不能保证它是全局极小值。 此外，它还用于软件应用程序中，以拟合最佳曲线。 在L-M迭代中同时测量相位方向和长度。 更新定义于( 14 ).
请注意 选择步骤以降低成本。
L-M方法公式如下： 哪里 ε 是错误和 J型 是雅可比。 d日 ( k个 ) 是控制步长并负责加快收敛速度和确保稳定性的更新步骤，以及 是近似的Hessian； 包括Hessian近似的步长。 IM是 M（M） × M（M） 身份矩阵。
3.4. 仪器变量（IV） 如果模型的参数是线性的，那么使用LS总是可以获得全局最小值。 另一方面，参数非线性的模型需要迭代优化技术来收敛到最小值。 这个最小值可能不是全局最小值，因此良好的初始猜测很重要。 此外，预测良好的初始猜测对成功识别起着重要作用。 本工作中使用的IV方法是一个常见的选项，它可以产生无偏的近似系数（这在[ 2 , 三 ]). 扩展IV方法见[ 44 ].
3.5。 基于SLS的Hammerstein Box-Jenkins模型辨识 下面总结了所提出的SLS识别算法（算法 1 )显示了。
(1) 查找初始猜测 使用IV方法。 (2) 计算 使用( 5 )，然后安装 使用LS。 (3) 查找 和 如中所示( 18 )和( 19 ). (4) 计算更新的步骤 , ( 26 )，然后更新， , ( 16 ). (5) 计算 , ( 5 )，使用更新的 , 和合身 。 (6) 使用LS。 (7) 计算误差和成本函数， 和 , 分别是。 (8) 如果 成本 减少。 (9) 如果 意义重大 然后 (10) 出口 (11) 其他的 通过设置更新步骤提高收敛速度 , 然后 返回到 步 三 (12) 终点 (13) 其他的 成本， , 增加 然后 (14) 通过设置以下内容降低收敛速度： 和 返回到 步 5 (15) 结束
4.实验结果 Vlaar等人提供了使用两个数据集（每个数据集1024点）的MATLAB仿真示例，即识别和验证数据[ 15 ]. 这些数据集是从图中所示的级联罐系统收集的 2 .输入u（t）是一个多线信号，它是将水从水库泵送到上水箱的电压，频率范围在0到0.0144之间 Hz，采样时间Ts等于4秒。 下水箱的水位是系统的输出， 年 ( t吨 )，信噪比SNR约为40 分贝。 输入和输出如图所示 4 。有关数据的更多信息，请参阅[ 15 ].
与图中所示结构类似的Hammerstein Box-Jenkins模型结构 三 用于识别近似数学模型。 选择了一个三阶多项式非线性级联二阶滤波器来表示对象模型。 与过程模型不同，噪声子系统是一阶ARMA滤波器。
订单是使用培训数据手动选择的。 另一方面，表 1 说明了使用验证数据集的MSE结果。 选择MSE功能作为评估工具。 第一个实验是通过选择一个具有零阶非线性的一阶过程和噪声模型进行的，它产生了高MSE结果。 然后，非线性的阶数增加，很明显，成本在2 第 和3 第个 非线性情况。 与2不同 第 和3 第个 案例中，三者之间的成本差异很小 第个 和4 第个 阶非线性。 之后，过程线性动态阶数增加，并注意到使用2 第 订单工厂模型和3 第个 阶非线性使成本最小。 请注意 标准时间 所有实验均建立了有序噪声模型。
基于 第3节 已应用。 图 5 显示了跟踪以红色实线表示的测量输出的模拟输出（黑色虚线）之间的差异。 此外，使用基于迭代二阶梯度下降法的成本函数如图所示 6 ，其中最终收敛于第25次迭代。 非线性如图所示 7 .2的均方误差MSE 第 阶线性动态子系统 标准时间 阶噪声滤波器，和3 第个 阶非线性最小，为0.0073。
通过应用该方法获得的结果与Relan等人和Birpoutsoukis等人使用相同基准数据进行的两项先前研究的结果之间的比较[ 1 , 14 ]表中给出了 2 和图 8 很明显，所提出的Hammerstein Box-Jenkins方法优于其他算法，并且具有最小的MSE值。
5.结论 在本研究中，应用非线性识别方法，根据Aljaman提供的非线性系统识别基准网站上提供的数据，作为具有挑战性的数据集之一，估计级联水箱系统[ 11 ]. 适合此应用的建议模型结构是Hammerstein Box-Jenkins模型。 该参数化方法是基于预测误差的，其中线性动态过程和噪声子系统元素使用迭代海森法优化技术进行近似； 另一方面，多项式非线性系数在每次迭代后都使用简单LS方法进行拟合，因为它们在预测器中呈线性。 为了防止病态问题和增加收敛机会，采用IV方法进行初始猜测。 对不同的阶数进行了测试，以选择合适的阶数，并应用模拟数据验证了结果。 最后的结果对于成功识别实际的双油箱系统是有希望的。
数据可用性 没有数据支持这项研究。
利益冲突 提交人声明他们没有利益冲突。
作者的贡献 所有作者都对本研究进行了合作并做出了同等贡献。 所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。
致谢 这项研究由伊玛目阿卜杜勒拉赫曼·本·费萨尔大学科学研究院（DSR）资助，拨款编号为2020-110-Eng。
