本文利用Hirota双线性方法研究了一类降维非线性发展方程。通过双线性形式，得到了整体解。通过选择二次函数和指数函数，构造了集总解和单孤子解之间的相互作用解。给出了指数函数和正弦函数组合的相互作用解。同时，绘制了这些解的图形。分别讨论了所得解的动力学特性和性质。结果表明，非线性波的相应物理量和性质与参数值有关。
1.简介
非线性演化方程在现代科学中越来越重要。人们对NLEE的研究比以往任何时候都更加关注。它们在许多学科领域都有重要的应用，特别是在非线性科学中，例如数学物理、非线性力学、粒子物理、海洋科学、大气科学和自动化。这种趋势源于NLEE可以解释许多自然现象；例如，在数学物理中，非线性波的许多物理量可以用方程的参数来描述，方程的解也可以很好地解释水波的传播。为了获得非线性方程组的解，研究人员提出了许多方法，包括Hirota直接法[1]，Painlevé分析方法[2]，逆散射变换（IST）[三,4]，Riemann–Hilbert方法[5–7]、李对称方法等[8–12]. 在这些方法中，Hirota直接法是如此迅速和有效。基于这种方法，研究人员已经获得了许多不同类型的解决方案，包括整体解决方案[13–15]，呼吸器解决方案[16–18]，rogue wave解决方案[19–21]、交互解决方案等[22–26]. 借助Riemann–Hilbert方法，人们还获得了可积体系和耦合系统的孤子解[27–31]. 通过取孤子解的长波极限，给出了NLEE的有理解[32]. 同时，一些差分方程也具有块解和相互作用解，如Toda格方程[33]. 近年来，研究人员将现有的非线性方程推广到新的非线性方程，并获得了相应的整体解[34,35]. 这些结果是对NLEE精确解理论的良好补充。
在本文中，我们重点关注（3 + 1） 一维非线性发展方程[36]; 它的形式是哪里是关于的积分x个.
让;我们导出了方程的降维情形(1)如下：
方程式(2)在不同领域有着广泛的应用，例如数学物理、海洋科学、工程等。它可以描述浅水波在非线性色散信道中的传播。因此，找到这个降维非线性演化方程的精确解是非常重要的。
本文的结构如下。在节中2，我们给出了方程的Hirota双线性形式和整体解(2)。在节中三，我们利用集总解和单孤子解的组合获得了相互作用解。在节中4，我们得到了两个指数函数和一个正弦函数组合的相互作用解。在节中5，给出了一些结论。
2.1. 降维非线性发展方程的Hirota双线性形式
通过变量变换,我们变换方程(2)成Hirota双线性形式[37,38]:哪里D类是Hirota双线性微分算子，定义如下：
2.2. 两个二次函数的集总解
为了获得方程的整体解(2)，我们采用函数F类采用以下形式：哪里是需要确定的实际参数。
代换方程(5)转化为等式(三)考虑到变量的所有幂的系数为0，在Maple的帮助下，我们有以下关系：哪里是自由参数。
为了方便起见，我们将参数设为
因此，方程的整体解(2)可以写为
根据方程式(5)和(6)我们可以发现，整体解是一种理性解。基于参数关系(6)，我们知道F类是分析的当且仅当和.让我们做一个简单的动力学特性分析。图1（a）显示了方程的整体解(2)。什么时候？,和,块状波将以原点为中心；我们来拿.块状波位于空间任意方向，因此它实际上是一种局域波。根据方程式(8)，我们可以发现如果或,然后和, .块状波有一个峰和两个谷，谷对称分布在峰的两侧。根据多元函数的极值原理，通过计算，得到了集总波的最低点（极值点）为相应的振幅为.它沿着线路传播速度为.在物理学中，这种运动模式是匀速直线运动。
2.3. 三个二次函数的集总解
我们将寻求由三个二次函数组成的整体解。这种情况在现有文献中很少见到[13–15,35]. 为了做到这一点，我们采用函数F类采用以下形式：哪里是需要确定的实际参数。
代换方程(9)转化为等式(三)考虑到变量的所有幂的系数为0，在Maple的帮助下，我们有以下关系：哪里是自由参数。
为了方便起见，我们将参数设为
因此，由方程的三个二次函数组成的整体解(2)可以写为
基于参数关系(10)，我们知道F类是分析的当且仅当和.图2（a）显示了由方程的三个二次函数组成的整体解(2)。与之前的动力特性分析类似，当,和,块状波将以原点为中心；我们来拿.根据方程式(12)，我们可以发现如果或,然后, ,和, .由三个二次函数组成的块状波也有一个波峰和两个波谷，波谷对称分布在波峰的两侧。类似地，我们得到块波的最小点（极值点）为相应的振幅为.它沿着直线传播速度为.在物理学中，这种运动模式也是匀速直线运动。
与之前的结果相比（第节2.2)，何时,我们意识到，一次性解决方案(8)和一次性解决方案(12)具有相同的最小值点（极值点）；然而，它们在同一个最小点具有不同的极值（振幅）。这两种块状波具有相同的运动模式。
3.由集总解和单孤子解组成的交互解
我们将寻求集总解和单孤子解之间的相互作用解。为了做到这一点，假设F类具有以下形式：哪里,和是需要确定的实际参数。
代换方程(13)转化为等式(三)考虑到变量的所有幂的系数为0，在Maple的帮助下，我们有以下关系：哪里是自由参数。
因此，集总解和单孤子解之间的相互作用解可以写成
图三显示了集总解和单孤子解之间的相互作用解。与上一节类似，我们知道F类是分析的当且仅当,和.为了便于进行动态分析，我们采取.什么时候？,只有一个孤立波；大约,出现了一种特殊现象，孤立波开始分裂成两部分：一部分是块状波，另一部分是孤立波。在此过程中，块状波的振幅发生了变化。什么时候？,孤立波仍沿与以前相同的方向移动，但块状波沿相反的方向移动，并且它们越来越远。这是一种裂变现象。图4显示相反的运动状态(),其中，块波和孤立波合并为孤立波。这是一种融合现象。无论是裂变还是聚变，在相互作用过程中，孤立波都保持其相同的振幅和形状，并且是弹性的。相反，块状波的振幅发生了变化，它是非弹性的。
4.由两个指数函数和一个正弦函数组成的相互作用解
在本节中，我们将寻求由两个指数函数和一个正弦函数组成的相互作用解。为了做到这一点，假设F类具有以下形式：哪里是待确定的参数。
代换方程(16)转化为等式(三)在Maple的帮助下，我们有以下关系：哪里是自由参数。
为了方便起见，我们将参数设为
因此，相互作用解由方程的两个指数函数和一个正弦函数组成(2)可以写为
图5显示了由两个指数函数和一个正弦函数组成的相互作用解。因为u个是一个复解，我们分别画出它的实部和虚部。从图中4（a），我们发现u个非常类似于孤子解。它的峰值是尖锐的，而孤子解的峰值是平滑的。它的所有峰值都具有相同的振幅。从图中4（c），我们可以看到u个有两排山峰。它的所有峰值都具有相同的振幅，这与实际部分类似。什么时候？x个或年给出了实际部分的振幅和形状u个在以下情况下保持不变t吨变化，这与想象部分类似。
得到的解的实部有一排尖峰，而虚部有两排尖峰。据我们所知，在现有文献中很少看到这种在实部和虚部都有尖锐峰值的解。
5.结论
总之，我们研究了一类降维非线性发展方程的各种解，包括集总解和两种相互作用解。分别讨论了所得解的动力学特性和性质。对于这些解，我们发现了许多特殊的物理现象，例如第一类相互作用解中的裂变和聚变现象。结果表明，Hirota双线性方法对于求解非线性发展方程是快速有效的。基于这一点，方程的许多其他类型的解，特别是非线性数学物理方程的解，都值得探索。
数据可用性
没有数据支持这项研究。
利益冲突
提交人声明他们没有利益冲突。
鸣谢
本研究得到了国家自然科学基金（批准号11975143和61602188）、山东省自然科学基金会（批准号ZR2019QD018）和山东科技大学招聘人才科研基金（批准编号2017RCJJ068和2017RCJ J069）的支持。
