我们研究了一类双时滞捕食者-食饵模型的动力学Allee效应。对于时间模型，我们表明存在一个时间延迟阈值捕食者-食饵相互作用；当时间延迟低于阈值时平衡是稳定的。然而，当时间延迟高于阈值时正平衡不稳定，将出现周期解。对于时空模型，通过数值模拟，我们表明模型动力学表现出丰富的参数空间图灵结构。结果表明，该系统具有丰富的动力学；这些模式表明，它对具有时滞的捕食者-食饵模型是有用的双Allee效应揭示了真实模型中的空间动力学。
1.简介
Allee效应以生态学家Warder Clyde Allee的名字命名，是一种生物学现象，其特征是种群大小或密度与种群或物种的平均个体适合度之间存在相关性[1]. 当个体在小种群或稀疏种群中的适应度随着种群规模或密度的下降而降低时，就会发生Allee效应[2,三]. Allee效应主要有两种类型：强Allee效应和弱Allee效应。在较低的人口密度或规模下，表现出弱Allee效应的人口将具有较低的人均增长率（直接与人口的个体适合度有关）。然而，即使在人口规模或密度如此低的情况下，人口也将始终呈现出正的人均增长率。同时，表现出强烈Allee效应的种群将具有一个临界的种群规模或密度，在该临界值下，种群增长率将变为负值。因此，当人口密度或规模低于这一阈值时，人口将注定要灭绝。
关于具有Allee效应的捕食者-食饵系统，已有大量的论文[4–12]. Allee效应最常见的简单数学示例由以下等式给出哪里表示人口密度，是固有增长率，是承载能力，以及是Allee效应的阈值。人口增长率为负和正增长率.如果, (1)是一种强烈的Allee效应；如果, (1)是一种弱Allee效应。然而，在捕食者-捕食者相互作用模型中，作用于同一种群的两种Allee效应机制相互作用，产生总体人口Allee效应，这种作用也可能是常见的，也可能是复杂的[13]它们的综合影响被称为双重影响。
对于具有双重Allee效应的捕食者-食饵系统，也做了一些工作[14–16]. González-Olivares等人发现，当Allee效应强或弱时，具有Allee效应的Gause-type捕食者-食饵模型可以诱导两个极限环[14]. Huincahue-Arcos和González-Olivares发现，具有双重Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食模型可以用不同的数学形式表示；利用这里使用的形式，证明了围绕正平衡点的一个极限环的存在性[15]. Pal和Saha发现，具有双Allee效应的比率依赖型捕食系统具有双稳态，相平面上存在分离线曲线，这意味着系统的动力学对初始条件的变化非常敏感[16]. 然而，这些以前的作品没有考虑空间的影响。
时间延迟在许多生物动力学系统中起着重要作用，人们已经认识到时间延迟对捕食稳定或不稳定情况下的猎物密度结果起着关键作用[17]. 一些捕食者-食饵模型中包含了由于妊娠引起的时间延迟，因为通常持续时间为从单个猎物被杀死到捕食者数量相应增加之间的时间单位[18]. 此外，时间延迟可用于引入振荡[19,20].
在本研究中，我们的目标是研究一个具有双重Allee效应和时滞的捕食者-食饵模型。更具体地说，本研究的主要目的是研究空间模式。
2.时间模型分析
在这一节中，我们考虑一个捕食者-食饵模型，其中食饵种群的增长受到具有时滞的双重Allee效应的影响。提出并研究了以下具有双重Allee效应的捕食者-食饵模型[16]:哪里和代表猎物和捕食者密度，是固有增长率，是承载能力，是Allee效应的阈值，代表捕食者的捕获率，代表半捕获饱和常数，表示猎物转化为捕食者生物量的转化率，以及代表捕食者的自然死亡率。
以下[16]通过无量纲变换，我们得出以下方程式：哪里
在本节中，我们的目标是研究具有双重Allee效应和时滞的捕食者-食饵模型。模型如下所示哪里是由于妊娠导致的持续延迟。
我们分析模型(6)在初始条件下
接下来，我们将讨论模型的动力学(6)。我们确定了该模型(6)和型号(4)有两个边界平衡称为和和一个独特的正平衡，其中
我们的目标是寻找条件，以便对于时间模型是稳定的，对于时空模型是不稳定的。我们总是假设相对于的扰动是线性稳定的和; 因此，雅可比矩阵的特征值在必须具有负实部，这相当于
接下来，我们考虑小时空扰动和关于均匀稳态.让和; 然后，我们推导出
时空扰动和由给定将此表格替换为(11)，我们得到以下关于特征值的矩阵方程：线性系统(11)由以下方程表征
如果是的根(14)，那么我们有这将导致
然后(16)有解决方案
发件人(15)，我们可以获得
现在，我们调查.让是…的解决方案(14); 然后通过推导在的两侧(19)，请注意; 我们可以得到哪里
因此，我们可以得到绑定(15)和(16)，我们获得这意味着此外，我们得出以下结论：如果延迟感到满意，然后是系统(6)表现出霍普夫分岔临界.何时，正平衡是稳定的，但当，正平衡不稳定，将出现周期解。
我们采用以下值：,,,、和通过计算，我们得到了临界值; 然后。初始值为.
我们采用从图中1，我们可以看到，正平衡是稳定的。
我们采用从图中2，我们可以看到正平衡不稳定。
3.时空模型分析
在本节中，我们的目标是考虑具有双重Allee效应和时滞的时空系统：
与分析类似(6)，我们考虑小时空扰动和关于均匀稳态线性化系统采用以下形式
通过替换形式(12)英寸(25)，我们得到以下关于特征值的矩阵方程：
线性系统的特征方程(25)由提供
如果(27)具有root称为延迟驱动的空间模式。此外，延迟的临界值被称为图灵分岔。如果是的根(27)，那么我们有这将导致哪里然后(29)有解决方案发件人(28)，我们可以获得
使用数学计算，当满足以下条件时，会产生图灵分岔：通过设置，我们可以得到图灵分岔参数的临界值，等于
为了更好地看到交叉扩散和时间延迟的影响，我们绘制了保持参数值固定的色散关系图三从图中可以看出三图灵模式可以使用。
4.图案结构
在下面，我们将对二维模型进行一系列数值模拟(24)使用零边界条件和离散晶格。
对于模型(24)，使用有限差分法和欧拉方法对空间和时间进行了近似，时间步长为，空间步长为、和结果表明：和减少，并且不会导致结果发生重大变化。
在图中4，我们设置,,,,,,、和在这种情况下，感染人群表现出固定的迷路模式。
在图中5，我们设置,,,,,,、和我们可以看到，短带状图案和斑点图案同时出现。
在图中6，我们设置,,,,,,、和随着时间的推移，空间中会出现规则的斑点图案，系统的动力学不会发生任何进一步的变化。
5.讨论
本文研究了一类具有双重Allee效应的时滞捕食者-食饵模型的动力学问题。首先，我们讨论时间模型(6); 我们证明了存在一个Hopf分岔阈值延时；什么时候，正平衡系统的(6)是稳定的。然而，当，正平衡系统的(6)不稳定，将出现周期解。其次，我们讨论时空模型(24); 数值模拟表明，模型动力学具有丰富的参数空间图灵结构。
虽然还需要做更多的工作，但原则上，延迟和扩散似乎能够生成许多不同类型的时空模式。基于这些原因，我们可以预测，延迟和扩散可以被视为其他模型中复杂时空动力学出现的重要机制，例如捕食者-食饵模型和互惠模型。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
本研究得到了国家科学基金（10471040）和山西省国家科学基金资助（2009011005-1）。
