基于局部分数阶微积分，提出了分形网络上车辆交通流数学理论中的一种新的尺度守恒方程模型。
1.简介
采用连续模型描述交通流，其连续函数类似于基于守恒定律的流体力学和材料模型之一。该方法始于Lighthill、Whitham和Richards（LWR）的作品[1,2]. 许多作者研究了LWR模型，例如Daganzo[三]，张[4]，李[5]，气体发生器[6]，Aw等人[7]、贝洛莫和科西亚[8]和Bellomo等人[9]. 根据守恒定律导出的动态交通波LWR模型为[1–9]其中数量是时间密度和空间和数量是车辆流量与密度的函数和速度具有，并用有限差分法讨论了该方程的解[10].
从Mandelbrot开始[11]在科学和工程的各个领域，有许多关于确定自然界分形结构的报告[12]、兰姆和沃内尔[13]，Shang等人[14]，Li等人[15]、坎帕里和列维[16]. 最近，局部分数微积分在[17]用于处理不可微现象[18–22]. 例如，局部分数Navier-Stokes方程在[18]局部分数亥姆霍兹和扩散方程在[19]. 局部分数麦克斯韦方程是在[20]. 局部分数非均匀热方程在[21]. 年提出了具有局部分数导数的蚕茧层次传热[22]. 当密度或速度的物理量（如图所示1通过)由于分形网络上的车辆交通流是一个时间和空间定义在康托集上的不可微函数，经典的守恒定律是无效的。
为了克服上述缺点，本文讨论了局部分数守恒律下的车辆交通流分形动力学模型。论文大纲如下。在节中2，我们回顾了局部分数守恒律。在节中4提出了一种基于分形网络的车辆交通流数学模型。在节中5讨论了具有分形网络的车辆交通流的非齐次偏微分方程。结论见第节5.
2.局部分数守恒定律
在本节中，我们将介绍基于局部分数微积分的局部分数守恒定律。我们从本文中使用的局部分数向量积分的概念开始。
定义1。局部分数曲面积分定义如下[17–21]:其中数量是分形表面的元素，是具有单位法向局部分数向量的面积元素、和作为.
定义2。函数的局部分数体积积分定义为[17–21]其中数量是分形体积的元素作为.
定义3。尺度函数的局部分数梯度有表单[17,20]其中数量是局部分数拉普拉斯算子[17],、和.
分形向量场的局部分数高斯定理表明[17–21]
分形流中局部分数守恒律的积分形式建议为[17,21]其中数量是材料的密度，等于是分形通量向量，以及.
通过使用(5), (6)可以重写为
对于任意卷，从(6)我们得到局部分数守恒律的局部分数微分形式为
鉴于(8)，方向上的局部分数守恒律内容如下：其中分形通量表示和的局部分数偏导数订单的定义为[17]哪里
我们回顾了局部分数守恒律，它已成功地应用于弹性力学[17]，流体力学[18]，扩散[19]，电磁[20]和热量[21]流等等。
3.带网络的车辆交通流分形动力学模型
在本节中，我们研究了具有网络的车辆交通流的分形动力学模型。为了推导它，我们认为在没有源和汇的分形均质道路上的车辆数量总是守恒的，并且分形流是密度和速度的乘积，这是一个可微函数。现在我们从图中所示的局部分数守恒定律的推导开始2.
的局部分数积分订单的在间隔中由提供[17]其中间隔的分区表示为,,、和具有和.该路段的车辆交通量时间是这将导致交通流密度为以及固定时间内的交通流量是
让我们考虑一下
鉴于(14)和(16)，我们有因此，哪里和都是武断的。方程式(18)表示具有局部分数导数的分形交通流的Lighthill-Whitham-Richards模型。我们注意到(18)与一致(9).
对于交通流, (18)可以写为具有初始值条件
我们用以下公式表示交通流量; 因此，在的帮助下(21)和通过使用(19)我们的结论是哪里
如果速度是常数，则从(22)和(23)我们得到了线性Lighthill-Whitham-Richards模型的Cauchy问题以初始值条件为准
发件人(24)，我们很容易得到有限长公路上的Lighthill-Whitham-Richards模型具有初始和边界条件
该方程是具有局部分数导数的分形交通流的线性Lighthill-Whitham-Richards模型。
让我们考虑如下所示的线速度然后，交通流的表达式变成哪里是分形无阻交通速度和表示最大密度。
发件人(19)和(29)我们得到了非线性局部分数阶偏微分方程哪里是分形交通流的密度。该方程是具有局部分数导数的分形交通流的非线性Lighthill-Whitham-Richards模型。
发件人(30)我们导出了分形交通流的非线性Lighthill-Whitham-Richards模型的Cauchy问题这样的话
发件人(30)，提出分形交通流的非线性Lighthill-Whitham-Richards模型的初边值问题为前提是[17]具有,对于,.
4.讨论
在本节中，我们研究了具有分形网络的车辆交通流的非齐次偏微分方程。
发件人(24)和(25)具有不可微源项的Lighthill-Whitham-Richards模型非齐次偏微分方程的Cauchy问题由提供以初始值条件为准
鉴于(26)和(27)具有不可微源项的Lighthill-Whitham-Richards模型非齐次偏微分方程的初边值问题在有限长的公路上具有初始条件和边界条件
正在考虑(31)和(32)具有不可微源项的Lighthill-Whitham-Richards模型非齐次非线性偏微分方程的Cauchy问题成为具有初始值条件
通过考虑(33)具有不可微源项的Lighthill-Whitham-Richards模型非齐次非线性偏微分方程的初边值问题可以写为受到具有,对于,.
5.结论
本文研究了局部分数守恒律下的车辆交通流分形动力学模型，其中分形交通流的密度和速度是不可微函数。此外，还得到了具有分形网络的车辆交通流Lighthill-Whitham-Richards模型的线性和非线性偏微分方程。当分形维数为等于1。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
鸣谢
这项工作得到了中央高校基本科研基金（CHD2011JC191）的支持。它还得到了中国国家自然科学基金会（批准号：51208054）的支持。
