我们知道，在工业CT系统中，X射线源中心、等中心和线性探测器中心这三个系统参数很难校准。因此，通常存在等中心偏移和线性探测器偏转。在这种情况下，当仍使用FBP（滤波反投影）算法时，会出现CT图像伪影，进而严重影响测试结果。本文给出了这些伪影的表现形式和形成机理，并提出了包含线性探测器偏转角的重建算法。用模拟数据进行的数值实验验证了我们提出的算法能够在不需要重新生成数据的情况下纠正CT图像伪影。
1.简介
工业CT通常采用滤波反投影算法。该算法需要两个必要条件[1,2]：（i）isoray（连接X射线源中心和等中心的假想射线）垂直于线性探测器；（ii）isoray和线性探测器交叉的插入点是线性探测器的中心。然而，工业CT中X射线源的中心、等中心和线性探测器的中心很难标定。在三个系统参数误差下仍使用FBP算法时，会出现图像伪影，严重影响测试结果，尤其是对于远离CT图像中心的这些重建点。
当等角点发生偏移时，人们通常将等角点在线性探测器上的投影点作为线性探测器的中心，然后平移投影。对于平行光束，此平移可以重新校准等中心[三]. 然而，对于扇形光束，除非扇形光束投影重新固定为平行光束投影，否则不可能进行此转换[4]. 对于CT系统参数的测量和校正，提出了一些方法。Gullberg等人[5]提出了扇形梁等中心线的修正方法；然而，所涉及的参数很难获得。Sun等人[6]假设四个小球的平面垂直于转台，然后利用一个角度下的投影数据测量锥束CT系统参数。对于micro-CT，Patel等人[7]提出了无需模型测量的自动标定方法，并对一些系统参数进行了测量和修正。对于锥形梁CT，Chen等人[8]在平面探测器与旋转轴平行的条件下，通过求取重心来估计一些参数。
本文的其余部分组织如下。在节中2介绍了扇形波束的FBP算法，并指出了其必要条件。在节中三我们给出了由等中心偏移和线性探测器偏转引起的三个图像伪影的出现。在节中4分析了三种伪影的形成机理。在节中5，我们提出了包含线性探测器偏转角的FBP算法。最后，第节给出了数值实验和结论6.
2.扇形波束的FBP算法
为了便于第节中的公式推导5在本节中，我们介绍了等间距扇形波束的FBP算法。
无CT系统参数误差的简单几何关系如图所示1。我们定义了右手坐标系，其中原点是等中心，轴与线性探测器平行（图中粗体线1)、和轴与isoray平行。让表示从X射线源到轴（如果垂直于线性探测器，也是X射线源之间的距离和等中心线)，并让表示之间的距离和中心线性探测器。让表示等距扇形光束投影数据，其中是用轴和是通过等中心的假想探测器上的样本并且平行于实际的线性检测器。利用FBP重建算法，图像函数，，可以显示为哪里是重建点的投影地址在假想探测器上，,,、和是一个过滤函数。
根据图中的几何关系1FBP算法需要两个必要条件：（i）垂直于线性检测器；（ii）isoray和线性探测器交叉的插入点是线性探测器的中心。
3.三个图像伪影的出现
我们给出了一个测试模型，它由十一个圆组成，十个圆均匀分布在模型的中心，如图所示2.
等中心偏移可能会导致CT图像伪影[9–12]. 这种偏移分为两种情况：沿线性探测器或沿垂直于线性探测器的方向。后者相当于.何时远大于视野（FOV），我们仍然可以重建令人满意的CT图像，即使仍有一些错误[13]. 因此，我们只考虑沿线性探测器的等中心偏移。
我们在图中给出了CT扫描系统与等中心偏移的简单几何关系三，其中是等中心。让轴表示通过中心的方向线性探测器和垂直于线性探测器。让轴表示通过的方向并垂直于轴。让表示插入点，其中轴和轴交叉。让表示直线包含的角度和线路.
我们用模拟数据进行了数值实验，以显示由等中心偏移引起的图像伪影的出现。CT扫描系统参数如下：与X射线源的距离到轴 mm，距离X射线源的距离至线性探测器 mm，线性探测器由1024个单元组成，每个单元的大小为0.4 mm.我们假设存在等中心偏移每个探测器在。图像矩阵为1024×1024。对于图中的模型2，我们使用FBP公式重建CT图像(1)，如图所示4伪影不均匀地扩散到各个方向。远离CT图像中心的重建点相对较差。
对于该等中心偏移，我们可以通过多次实验获得线性探测器上等中心的投影点，然后转换投影数据。转换投影数据的重建图像如图所示5，其中工件明显减少。事实上，当等中心偏移发生时，等径线并不垂直于线性探测器。因此图中仍存在线性探测器偏转引起的图像伪影5也就是说，线性探测器从图中的轴三.
我们还给出了图中CT扫描系统与线性探测器偏转的简单几何关系6，其中线性探测器从轴。让表示顺时针偏转角度。利用前面的相同参数，我们可以计算。我们可以使用FBP公式重建CT图像(1)根据线性探测器偏转的投影数据，如图所示5这与等中心偏移的平移投影数据的重建图像完全相同。
类似地，当等中心偏移和线性探测器偏转同时发生时，我们也会获得CT图像伪影，如图所示7，其中等中心偏移为2.0 mm和，其他参数同上。
在本节中，我们给出了三种图像伪影的形成机制。对于重建点，我们分析了并给出了每个投影角度下的最小偏差表达式。
为了便于进行以下分析，请使用极坐标表示，并让表示其在线性探测器上的投影地址。如果CT系统没有错误，我们可以计算从图中三，的投影点是一个要点在线性检测器上，投影地址为，其中是等中心的投影点线性探测器上。然而，我们仍然采取当使用FBP公式时，作为图像重建中的等中心(1)。那么另一点被视为哪里.在这种情况下，将在线路上重建现在，我们画一条垂直线，它穿过并垂直于直线，并让表示杀虫点。The trajectory of可以近似地描述什么时候范围从0到现在，我们首先计算距离之间和如下：哪里.
因此，我们可以获得如下：
我们选择一个重建点并假设偏移量等中心线为0.744 毫米，即2.15像素。根据公式(三)，我们可以画出Mathematica，其中范围从0到，如图所示8（a）.的重建图像使用FBP公式(1)如图所示8（b），它解释了图中的工件4.
同样，对于线性探测器的偏转，我们可以计算相同的先前表达式(2)和(三)第页，共页和，其中,。我们选择.的轨迹和的重建图像如图所示9，它解释了图中的工件5.
同样，对于等中心偏移和线性探测器偏转，我们也计算了前面的表达式(2)和(三)第页，共页和，其中.我们选择等中心线的偏移 mm和.的轨迹和重建图像如图所示10，它解释了图中的工件7.
在本节中，我们描述了一个新的坐标系，并推导了包含线性探测器偏转角的FBP公式，其中等中心的偏移归因于线性探测器的偏转。
参考图11，我们建立坐标系，其中原点是等中心，轴平行于isoray并指向X射线源、和轴和轴构成右手坐标系。让表示轴和线性探测器。显然，轴不垂直于线性探测器，并且线性探测器存在偏转，在该系统中没有等中心偏移。
为了便于推导，让极坐标表示图像函数。让表示等中心的投影点线性探测器上，和我们在公式推导中使用了虚检测器。让、和表示重建点的三个投影点线性检测器、虚检测器和轴。让,、和表示相应的投影数据。对于重建点，并让,、和表示对应于分别是。
从图中11，我们可以获得和,、和如下所示：
现在，我们重写FBP公式(1)如下：哪里,.
来自公式(4), (5)、和(6)，我们可以获得
来自公式(5)和，我们可以获得哪里.
最后，我们替换公式(5)和(8)到(6)并在简化后获得哪里.
该公式可以直接重建CT图像，而无需重新生成数据。该公式包括三个参数,、和，它们是未知的，独立于被检查对象，并由CT系统识别。为了获得三个参数，我们设计了一个模型，该模型使用铁或钢等致密物质，通过一排相互平行的宽度和形成的狭缝间距。通过对模型进行超精密扫描，我们可以利用这些狭缝间距投影的几何关系来估计三个参数。但是，这种方法对线性探测器的偏转角非常敏感。我们可以通过对重复测量的测试值进行平均来提高测量精度。
6.数值模拟实验与结论
在本节中，我们使用模拟数据进行数值实验，以证明我们的公式(9)。我们选择图中的模型2和图中的系统参数4.我们可以估计 毫米， 毫米，以及在公式中(9)。重建结果如图所示12使用公式(9)。显然，结果验证了我们的公式，该公式可以纠正由等中心偏移和线性探测器偏转引起的图像伪影。
我们给出了由等中心偏移和线性探测器偏转引起的三种图像伪影的出现，并分析了其形成机理，为三种伪影的识别提供了参考。提出了图像伪影的校正方法。我们的FBP算法包括线性探测器的偏转角，可以有效纠正CT图像中的三个伪影。
致谢
这项工作得到了国家自然科学基金（61201430、61002041和61201431）、深圳市国际科技合作计划（JC201105190923A）、中国博士后科学基金会和山东省博士后创新基金会的三项资助。
