在适当的假设下，研究了竞争性肿瘤细胞免疫系统的混合模型。在转移的密度函数表示为可分离函数的乘积的情况下，得到了方程的显式形式。从修正的Lotka-Volterra方程组出发，给出了具体应用。
1.简介
肿瘤细胞与免疫系统之间的竞争主要是由于存在显著的增殖和/或破坏性事件。特别是，癌细胞具有表达其生物活性的能力，以逃避免疫系统，而免疫系统原则上必须挑战进展中的细胞。由于它是静态分布的，所以所有细胞的生物活性通常并不相同。
几位作者[1–7]应用经典气体数学动力学理论的方法研究免疫竞争，特别关注癌症现象。在这种方法中，必须考虑统计平均值和随机参数，这是典型的宏观模型。
其他作者[8–15]提出了基于非线性微分方程的数学模型，推广了经典的Lotka-Volterra方程。众所周知，这些方程遵循微观尺度上的确定性方法。
在最近的一些论文中[16–20]提出了一种混合模型，它可以被视为上述两种方法之间的一种替代方法，旨在将两种尺度混合成一组独特的方程，即混合模型。在这个模型中，一个非线性常微分方程组与一个随机参数耦合，该随机参数由肿瘤细胞与免疫系统之间的（动力学）相互作用产生。
这个延时随机参数被链接[17]细胞竞争背后的隐藏学习信息过程。尤其是[17]在两个群体（肿瘤细胞免疫系统）之间出现了隐藏学习动力学，其中第一个群体具有不受控制的增殖和隐藏能力，而第二个群体具有较高的破坏能力，需要了解第一个群体的存在。
在本文中，我们通过假设随机系数的特定形式来研究上述混合模型。该模型有以下有趣的结果，而且，通过隐藏学习过程修改的Lotka-Volterra经典模型可以作为特例导出。
2.复杂系统的免疫竞争建模
让我们考虑一个由两个相互作用和相互竞争的种群组成的系统。每个种群都是由大量称为活性粒子的个体组成的；它们的微观状态称为（生物）活性。此活动使粒子能够针对任何信息过程组织适当的响应。在缺乏先验信息的情况下，活动要么减少到最小的能量损失，要么减少到随机过程。
在主动粒子竞争中，最简单的二元相互作用模型是基于增殖破坏竞争。因此，当第一个种群意识到另一个具有挑战性的种群的存在时，它开始增殖并破坏竞争细胞。然而，在这个过程中，最重要的一步是细胞隐藏自己和了解竞争群体活动的能力。
详细考虑由两个相互作用的种群组成的物理系统，每个种群由大量大小不同的活性粒子组成：
粒子在空间中均匀分布，而每个粒子群的特征是一种微观状态，称为活性，由变量表示微观状态的物理意义可能因种群而异。我们假设竞争模型取决于总体分布函数的活动：
概率密度函数给出了每个种群内微观状态的总体分布描述：使得是活动的概率的粒子当时第个人口，间隔中的范围。
此外，它是
我们将在章节中看到三和4微观结构如何影响宏观系统。
3.混合模型
在本节中，我们考虑两个细胞群之间的竞争：第一个细胞群具有不受控制的增殖能力和隐藏能力；第二个种群具有较高的破坏能力，但需要了解第一种群的存在。下面的分析是指一个具体的案例，在这个案例中，第二个群体试图了解第一个群体，而第一个群体通过改变其外观而逃脱。具体来说，混合演化方程可以正式写成如下：哪里(1)，用于，是的函数,(2)，行为结束,(3)，用于，是一个作用于,(4)是功能性的()其描述了第二种群识别第一种群的能力。
因此(5)表示确定性系统与微观系统的混合系统，微观系统通过动力学理论方法进行统计描述。在下文中，密度分布的演变将在动力学理论中进行。
推导(5)2可以从微观相互作用的详细分析入手。具体来说，考虑测试或候选粒子与状态之间的二进制相互作用属于第个粒子数和带状态的场粒子属于第个人口。我们假设微观相互作用的特征如下。（i）相遇率取决于每对相互作用的种群相对速度的适当平均值，带有。（ii）跃迁密度函数，表示具有活动性的候选粒子的概率密度属于第个人口，属于该州与场实体相互作用后，测试粒子的第个人口，含州.概率密度满足条件然后，通过使用数学方法[17]，它产生了以下一类演化方程：可以正式写成(5)2。
由于我们的模型是基于隐藏学习动力学的，因此必须引入考虑两种分布之间“距离”的函数，以便在(5)定义为具有其中，当第二群体能够再现第一群体的分布时，获得最大的学习结果：当一个分布消失时，学习量达到最小。
在最近的一些论文中[5–7,17]，假设
在这种情况下，它是，何时，否则具有，取决于和。因此，此参数可能具有无限的值范围。
因此，我们有请注意是连接宏观模型的耦合项(5)1微观模型(5)2。
4.基于可分离函数的转移密度函数
为了找到(7)，我们假设跃迁密度是可分离密度函数的乘积也就是说，和使用(10)有一个通过将上述条款替换为(7)我们得到从何处开始，通过考虑(13)，我们获得根据(4)和(13)，我们有一个基于可分函数的更一般的转移密度系统这个系统(17)当(14)2给出了。
例如，让我们在以下假设下解决这个系统：以便和是一个Dirac-delta(14)1系统(17)，通过使用(18)，成为此外，通过假设和推杆来自(20)，一个有这个方程的更一般的解是假设方程式(24)成为发件人(10)，凭借(22)和(26)，我们有考虑到这一点方程式(27)给予
5.一个简单的应用程序
众所周知，开创性的Lotka-Volterra的两个相互作用和相互竞争的种群模型(,)基于以下差速器系统：哪里,,、和是常量。
在这个模型中，没有考虑隐藏学习过程，两个种群的相互作用和竞争立即开始。解的轨道(30)是围绕平衡点的圆：,（见图1).
如果发生隐藏学习过程，则使用前面章节中讨论的结果，我们建议使用以下系统：哪里，由提供(29)，是取决于种群分布的函数（随机）参数（见图2).
系统(31)成为非零平衡点为哪里对于、系统解决方案(32)如图所示2。
从图中2可以注意到使得隐藏学习过程延迟了围绕非零平衡点的圆的实现。如果，然后更快地到达临界点。
6.结论
本文在动力学模型中研究了肿瘤细胞与免疫系统竞争的混合系统。在特殊转移密度函数的情况下，显式计算了随机参数。一个简单的应用表明，由于这个参数，我们获得了Lotka-Volterra系统的一些更现实的解，其中围绕非零平衡点的圆圈在时间上发生了移动，从而表明了随机参数在正确分析竞争模型中的重要性。
