通过引入我-有限的集合，然后我-在有限的Banach空间中，我们得到了它的一些特征，如Grothendieck性质、Gelfand-Fillips性质和Dunford-Pettis互易性质。还研究了此类Banach空间上算子的一些互补性。
1.简介和序言
一个子集巴拿赫空间如果每个弱*null（resp.，weak null）序列在里面一致收敛于也就是说，此外，如果以及每一个弱零序列在里面一致收敛于，我们这么说是一个我-设置。
我们知道是有限的，显然每个有限集都是DP，对偶Banach空间的每个DP子集都是我-集合，但这些断言的相反部分通常是错误的。如果Banach空间的每个有限子集相对紧凑，那么拥有Gelfand-Fillips财产（GP）。例如，经典的Banach空间和具有GP性质和每个自反空间、每个Schur空间（即序列的弱范数收敛重合）和不包含副本的对偶空格具有相同的属性。
回想一下巴拿赫空间如果每个弱紧算子都具有DP性质是完全连续的（即。，将弱空序列映射为范数空序列）和如果每个完全连续的算子是弱紧的。
所以巴纳赫空间具有DP性质当且仅当是DP，并且它具有RDP属性当且仅当我-设置在相对较弱的致密。
Borwein等人于[1]. 事实上，巴纳赫空间具有DP*属性，如果是有限的。但如果是Grothendieck空间（即序列在重合），则这些属性在。读者可以在中找到具有GP、DP或RDP属性的有限集、DP集和Banach空间的一些有用的附加属性[2–6].
我们回忆起[7]有界线性算子是有限完全连续的（lcc），如果它在在中规范空值.我们表示所有有限完全连续算子的类到通过很明显，每个完全连续的算子都是lcc，我们在[7]每个弱紧算子都是有限的完全连续算子。
这里，通过引入一类新的Banach空间子集，称为我-有限集，我们得到了Banach空间的一些特征我-有限集是相对弱紧的，然后我们研究了这些空间与GP、DP、RDP和Grothendieck性质之间的关系。
符号和术语是标准的。我们使用符号,、和对于任意Banach空间。我们表示的是闭合单位球通过，子集的绝对闭凸包属于通过，的对偶通过、和指运算符的伴随。我们还使用对于二者之间的二重性和.我们从中表示所有有界线性、弱紧和完全连续算子的类到通过,、和分别是。对于未定义的术语，我们建议读者参考经典参考文献[8,9].
2我-有限的集合
定义2.1。一个子集双重空间的被称为我-有限集，如果每个弱零和有限序列在里面一致收敛于.
很明显我-设置在是我-有限的和我-有限集是相同的。此外，很明显我-有限集是弱有界的，因此是有界的。下面的定理给出了这些集合的附加属性。
定理2.2。（a） L-限制集的绝对闭凸壳是L-限制的。
（b） 对偶Banach空间的相对弱紧子集是L-限制的。
（c） 对偶Banach空间中的每个弱*null序列都是一个L限制集。
证明。让做一个我-有限集和序列在里面为弱null且有限。自（a）的证明是清楚的。为了证明（b），假设相对较弱紧凑，但不是我-有限的集合。那么存在一个弱零和有限序列在里面，一个序列在里面和一个这样的话对于所有整数.自相对弱紧，存在子序列属于弱收敛到元素的.自我们有矛盾。
最后，对于（c），假设是中的弱*空序列.定义操作员通过.自拥有GP属性的[7],是lcc。所以对于每个弱零和有限序列在里面，我们有作为.因此是一个我-有限的集合。
注意，断言（b）的逆命题通常是错误的。事实上，以下定理表明是一个我-有限集，而标准单位向量在里面，作为弱空序列，表明两者都不是我-集合也不是相对弱紧的。以下定理2.4，给出了Banach空间的一个充要条件我-套和我-有限集在其对偶重合中。
定理2.3。巴纳赫空间具有GP属性的当且仅当是一个L限制集。
证明。自从巴纳赫空间具有GP性质当且仅当每个有限弱空序列在里面范数为空[10]，证据很清楚。
定理2.4。巴纳赫空间有属性当且仅当在是一个L集。
证明。假设具有DP*属性。由于中的每个弱空序列是有限的，所以每我-有限的设置是我-设置。
相反，这足以表明，对于每个巴拿赫空间,[7，定理2.8]。如果是lcc，很明显是一个我-有限的集合。所以根据假设，这是一个我-我们知道操作员是完全连续的当且仅当是一个我-设置。
以下两个推论推广了[1].
推论2.5。对于巴拿赫空间，以下是等效的。（a）具有DP*属性，（b）如果具有Gelfand-Fillips属性，然后每个操作符是完全连续的。
证明。（a）⇒（b） ●●●●。假设拥有Gelfand-Fillips财产。由[7，定理2.2]，每个运算符是lcc，因此是一个我-有限集与定理2.3，它是一个我-设置。因此是完全连续的。
（b）⇒（a） ●●●●。如果没有DP*属性，存在弱空序列在里面这并不局限。所以有一个弱的*null序列在里面这样的话，对于所有整数和一些积极的[10]. 现在是有界运算符由定义不是完全连续的，因为弱为null，并且为所有人这是一个矛盾。
推论2.6。Gelfand-Fillips空间具有DP*属性的前提是且仅当它具有Schur属性。
证明。很明显，巴纳赫空间具有Schur性质当且仅当是一个我-设置。现在，如果是具有DP*属性的GP空间，然后根据定理2.3，单位球是我-有限，因此它是我-设置。相反的说法也很清楚。
定义2.7。巴纳赫空间有我-有限财产，如果我-有限的设置相对较弱的致密。
定理2.8。对于巴拿赫空间，以下内容等效：（a）具有L限制属性，（b）每个巴纳赫空间,,（c）.
证明。（a）⇒（b） ●●●●。假设有我-有限财产和是lcc。因此是一个我-有限的设置因此，根据假设，它是相对弱紧的是弱紧算子。
（b）⇒（c） ●●●●。很明显。
（c）⇒（a） ●●●●。如果没有我-有限财产，存在我-有限子集属于它不是相对弱紧的。所以这里有一个序列没有弱收敛子序列。现在，我们显示操作符由定义为所有人是有限的完全连续的，但它不是弱紧的。作为是我-有限集，对于每个弱零和有限序列在里面我们有因此是一个有限的完全连续算子。很容易看出这一点，对于所有人.因此不是弱紧算子，也不是这就完成了证明。
以下推论表明，Banach空间和没有我-有限财产。
推论2.9。Gelfand-Fillips空间具有L极限性质的充要条件是它是自反的。
证明。如果是巴拿赫空间具有GP属性，然后通过[7]，上的标识运算符是lcc，因此是弱紧的，这要归功于我-有限财产.因此是反射性的。
定理2.10。如果是巴拿赫空间具有L限制属性，然后具有RDP和Grothendieck属性。
证明。首先，我们展示了具有RDP属性。对于任意Banach空间，让是一个完全连续的操作员。因此，它是完全连续的，因此受到定理的限制2.8,是弱紧的。因此具有RDP属性。
由[11]，我们知道巴纳赫空间Grothendieck是当且仅当.自具有GP属性，由[7],通过假设,。所以是格罗森迪克。
我们不知道定理的逆命题2.10一般来说，是真是假。在下文中，我们证明了在Grothendieck格且具有DP性质的Banach格中，该定理的逆命题是正确的。
定理2.11。如果Banach格同时具有Grothendieck和DP属性，则具有L限制属性。
证明。假设是有限的完全连续的。我们知道，在Grothendieck-Banach空间中，DP和DP*属性是等价的。因此[7],是完全连续的。另一方面，不是Grothendieck空间，Grothend属性由补子空间携带。因此，格罗森迪克空间没有的任何补充副本.自是巴拿赫格子[12]，它具有RDP属性，因此完全连续运算符是弱紧的。因此有我-有限的属性，得益于定理2.8.
作为推论，因为是具有Grothendieck和DP属性的Banach晶格，它具有我-有限财产。这表明我-Banach空间上的有限性质不是遗传的，因为没有此属性。在下面，我们将显示我-每个补子空间都具有有限的性质。
定理2.12。如果是巴拿赫空间具有L限制性质，则具有L限制属性。
证明。考虑补子空间属于和投影图.假设是一个有限的完全连续算子，所以也是lcc。自有我-有限性质，通过定理2.8,是弱紧的。因此是弱紧的。
作为另一个推论，对于无限紧Hausdorff空间，我们对Banach空间有以下推论上所有连续函数的具有上确界规范。
推论2.13。仅当且仅当其不包含.
证明。我们知道这一点是一个具有DP性质的Banach格。另一方面，是Grothendieck空间，当且仅当它不包含[13]. 因此，直接含义是定理的应用2.12相反的含义也是定理的一个简单结论2.11.
3.Lcc运算符中的互补
在[11]，Bahreini调查了和在里面她证明如果不是自反的巴拿赫空间未在中补充如果不是舒尔空间，未在中补充在下文中，我们研究了和在里面.我们需要以下引理[14].
引理3.1。让是一个可分离的Banach空间，并且是一个有界线性算子为所有人。然后有一个无限子集属于这样，对于每个,，其中是全部的集合具有对于每个.
定理3.2。如果不具有L限制属性，则未在中进行补充.
证明。考虑一个子集属于那就是我-有限，但它不是相对弱紧的。所以这里有一个序列在里面没有弱收敛的子序列。因此由定义是一个lcc算子，但它不是弱紧的。选择有界序列在里面这样的话没有弱收敛子序列。让，序列的闭合线性跨度在里面。由此可见是的可分子空间这样的话不是弱紧算子。如果，我们有是有界的，并且没有弱收敛的子序列。
现在定义通过，其中和。那么
我们声称，对于每个,.
修复和一个弱空有限序列在里面.自是一个我-有限集，.所以我们有作为这就完成了索赔证明是定义良好的运算符.
让成为限制图并定义现在假设补充了和是一个投影。定义通过注意，作为是一级操作员，我们有.因此为所有人.通过引理3.1，有一个无限集以便为所有人.因此是弱紧算子。另一方面，如果是的标准单位向量，每个和每个，我们有因此为所有人.因此不是弱紧算子，也不是这个矛盾结束了证明。
推论3.3。让成为巴拿赫空间。那么以下是等效的：（a）具有L限制属性，（b）,（c）补充了.
我们用另一个互补定理来结束本文。从调用[11]闭算子理想在任何时候都具有属性（*）是巴拿赫空间不在中，则有一个无限子集这样的话不在中对于所有无限子集，其中运算符由定义，对于所有人.
定理3.4。如果是巴拿赫空间没有DP*属性，则未在中补充.
证明。根据假设，存在弱零序列在里面这并不局限。所以存在一个弱*null序列在里面这样的话现在定义操作符通过.根据定理2.2,是一个我-有限的集合，但不是完全连续的。所以对于,不是完全连续的。自具有属性（*）[11，定理4.12]，可以选择所以对于每个无限子集属于,.定义通过，其中和如前一定理的证明所示，定义明确。
让成为限制图并定义现在假设补充了和是一个投影。定义通过.自为所有人，可以用柠檬3.1选择无限子集属于这样的话为所有人.因此属于对于每个.但是，所以我们有一个矛盾。
推论3.5。让成为巴拿赫空间。那么以下是等效的：（a）具有DP*属性，（b）,（c）补充了.
