-拟度量空间上的函数与多值映射的不动点

摘要

我们讨论了-Al-Homidan等意义下的函数。特别地，我们证明了加权拟伪度量空间是-函数，并证明Sorgenfrey线和Kofner平面都提供了拟度量空间的重要示例，其中相关的上确度量是-功能。在此背景下，我们还利用Bianchini-Grandolfi规范函数得到了多值映射的一些不动点结果。

1.简介和序言

Kada等人引入[1]概念-度量空间上的距离和Caristi-Kirk不动点定理的推广[2]，Ekeland变分原理[三]和非凸极小化定理[4]，用于-距离。最近，Al-Homidan等人在[5]概念-然后成功地获得了Caristi-Kirk型不动点定理、Takahashi最小化定理、Ekeland型变分原理的平衡版本和Nadler不动点理论的版本-函数在完备拟度量空间上的推广[1]因为每个-事实上，距离是-功能。Hussain等人继续采用了这种有趣的方法[6]，以及Latif和Al Mezel[7]分别是。特别是[7]获得了一个很好的Rakotch型定理-完备拟度量空间上的函数。

在本文的第2节中，我们概括了-函数到拟伪度量空间。在领域理论、复杂性分析、计算机科学和非对称泛函分析的许多应用中，拟伪度量空间（特别是可加权的拟伪度量空间及其等价的部分度量空间）而不是拟度量空间发挥了关键作用（参见[8–23]等）。特别地，我们证明了对于每个加权拟伪度量空间诱导部分度量是-功能。我们还证明了Sorgenfrey线和Kofner平面为拟度量空间提供了有趣的例子，其中相关的上确度量是-功能。最后，第3节将给出一个新的不动点定理-函数和多值映射拟伪度量空间，利用Bianchini-Grandolfi规范函数[24]. 我们的结果在几个方面推广和改进了著名的不动点定理。

在这篇论文中，这封信和将分别表示正整数集和非负整数集。

我们对拟度量空间的基本参考是[25,26].

接下来，我们回顾几个相关概念。

由集合上的拟伪度量，我们是指一个函数这样所有人,

（i）,

（ii）.

A类准伪度量在满足更强条件的

（i′）

在上称为准度量.

我们注意到，在过去几年中，一些作者使用术语“拟度量”来指代拟伪度量与术语“拟度量“指上述意义上的拟度量。

下面我们简单地写下qpm代替如果没有混淆，则为准伪度量。

A类qpm空间是一对这样的话是一个集合，并且是一个qpm打开.如果是上的拟度量，这对称为拟度量空间。

给定一个qpm（质量管理）在一个集合上，函数由定义，也是一个qpm打开称为的共轭、和函数由定义是上的度量，称为与.

因此，每qpm（质量管理）在以一种自然的方式归纳出三种拓扑，它们由,和定义如下。

（i）是上的拓扑以家族为基础-开口球，其中，对于所有人和.

（ii）是拓扑打开以家族为基础-开放式球，其中，对于所有人和.

（iii）拓扑在上吗由公制引起.

注意，如果是上的拟度量，然后也是拟度量的，并且和是拓扑打开.

另请注意，序列在一个qpm空间是-收敛（分别。，-收敛）到当且仅当（分别为。，.

这是众所周知的（例如，参见[26,27])拟度量空间存在许多不同的完备性概念。在我们的上下文中，我们将使用以下概念。

A类qpm空间如果每个Cauchy序列都是-收敛，其中序列如果每个都是Cauchy存在这样的话无论何时.

在这种情况下，我们说是一个完整的qpm打开.

2-上的函数qpm-空间

我们首先给出了本文的主要概念，该概念在[5]对于拟度量空间。

定义2.1。

A类-上的函数qpm空间是一个函数满足以下条件：

（第一季度），对于所有人,

（Q2）如果、和是中的序列那个-收敛到一点并满足，对于所有人，然后,

（Q3）针对每个存在这样的话和意味着.

如果是公制空间，并且满足上述条件（Q1）和（Q3）以及以下条件：

（第2季度）是下半连续的，然后称为周-距离打开（参见[1]).

很明显是一个-距离打开无论何时是上的度量.

然而，在拟度量的情况下，情况大不相同。事实上，很明显，如果是一个那么qpm空间满足条件（Q1）和（Q2），而示例  第3.2页，共页[5]表明存在qpm空间这样的话不满足条件（Q3），因此它不是问-上的函数在这个方向上，我们接下来会给出一些积极的结果。

引理2.2。

设q是qpm空间然后，针对每个，存在这样的话和意味着.

证明。

根据条件（Q3），.互换和，因此，所以.

提案2.3。

让成为qpm空间。如果是上的Q函数，然后，因此，是上的可度量拓扑.

证明。

让成为一个序列哪个是-收敛到某些然后，根据引理2.2，我们的结论是.

备注2.4。

从命题2.3可以看出，许多范型拟度量拓扑空间如Sorgenfrey线、Michael线、Niemytzki平面和Kofner平面（参见[25])，不允许任何兼容的拟度量这是一个-上的函数.

在续集中，我们表明，尽管如此，构建一个简单但在某些情况下有用的-任何拟度量空间上的函数，以及-任何权重上的函数qpm空间。

回想一下，集合上的离散度量是公制单位在定义为，对于所有人、和，对于所有人具有.

提案2.5。

让是一个拟度量空间。然后，上的离散度量是一个-上的函数.

证明。

自是一个度量，它显然满足定义2.1的条件（Q1）。

现在假设是中的序列那个-收敛到某些，并让和这样的话，对于所有人.如果，然后.如果，我们推断，对于所有人.自，因此，所以,因此因此，条件（Q2）也被满足。

最后，满足条件（Q3）取对于每个

例2.6。

在片场实数的定义作为如果、和如果然后，是上的拟度量和拓扑空间是著名的Sorgenfrey系列。自是上的离散度量，根据命题2.5是一个-上的函数.

例2.7。

准度量在飞机上，在示例中构造  第7.7页，共页[25]，验证就是所谓的科夫纳飞机是上的离散度量因此，根据2.5号提案，是一个-上的函数.

马修斯介绍[14]重量的概念qpm空间（称为“可加权拟度量空间”）及其等价的部分度量空间，作为数据流网络指称语义研究的一部分。

A类qpm空间如果存在函数，则称为weightable这样所有人在这种情况下，我们这样说是可称重的qpm打开.功能称为的加权函数和三人组称为加权qpm空间。

集合上的部分度量是一个函数这样，对所有人来说:

（i）,

（ii）,

（iii）,

（iv）.

部分度量空间是一对这样的话是一个集合，并且是上的部分度量.

每个部分公制在诱导拓扑在以open家族为基础-球，其中，对于所有人和.

部分度量空间与加权空间的精确关系下一个结果中提供了qpm空格。

定理2.8（Matthews[14]).

• （a） 让成为有重量的带权函数的qpm空间。然后，函数由定义，对于所有人,是上的部分度量.此外.

• （b） 相反，让是部分度量空间。然后，函数由定义，对于所有人是可称重的qpm打开带加权函数由提供为所有人.此外.

备注2.9。

词域、区间域和复杂性拟度量空间为理论计算机科学提供了杰出的例子，它们承认一个可加权的结构qpm空间，因此是部分度量空间（参见例如[14,20,21]).

2.10号提案。

让成为权重qpm空间。然后，导出的部分度量是上的Q函数.

证明。

我们会证明的满足定义2.1的条件（Q1）、（Q2）和Q（3）。

（Q1）让，然后

(2.1)

（Q2）让成为一个序列哪个是-收敛到某些.让和这样的话，对于所有人.

选择。然后，存在这样的话，对于所有人因此，

(2.2)

自是武断的，我们得出结论.

（Q3）给定，放置.如果和，如下所示

(2.3)

3.定点结果

给定一个qpm空间，我们表示为所有非空子集的集合，由所有非空的集合-闭子集，和依据所有非空的集合-闭子集.

遵循Al-Homidan等人[5，定义  6.1]如果是一个拟度量空间，我们说多值映射是-收缩的，如果存在-功能在和这样，对于每个和有令人满意的.

Latif和Al Mezel（参见[7])将这个概念概括如下。

如果是一个拟度量空间，我们称之为多值映射是广义的-如果存在收缩-功能在这样，对于每个和有令人满意的

(3.1)

哪里是这样一个函数为所有人.

然后，他们证明了著名的拉科奇不动点定理的以下改进（参见[28]).

定理3.1（Lafit和Al-Mezel[7，定理  2.3]).

让是一个完全拟度量空间。然后，对于每个广义q压缩多值映射存在这样的话.

另一方面，比安奇尼和格拉多尔菲证明了[29]下面是不动点定理。

定理3.2（Bianchini和Grandolfi[29]).

让是一个完备的度量空间，并让为每个人绘制一张地图

(3.2)

哪里是一个非递减函数，对于所有人(表示的第n次迭代). 然后，有一个唯一的固定点。

A函数满足上述定理的条件称为Bianchini-Grandolfi规范函数（cf[24,30]).

它很容易检查（请参阅[30，第8页]）如果是Bianchini-Grandolfi规范函数，那么，对于所有人，因此.

我们的下一个结果推广了Bianchini-Grandolfi定理问-完整上的函数qpm空格。

定理3.3。

让是一个完整的qpm空间，qa上的q函数、和一个多值映射，对于每个和，有令人满意的

(3.3)

哪里是Bianchini-Grandolfi规范函数。然后，存在这样的话和.

证明。

修复然后让.根据假设，存在这样的话。按照这个过程，我们得到一个序列具有和，对于所有人.因此

(3.4)

为所有人.

现在，选择.让满足条件（Q3）。我们会证明这样的话无论何时.

的确，如果，然后因此，对于所有人因此，根据条件（Q1），无论何时.

如果,，所以有这样的话

(3.5)

那么，对于，我们有

(3.6)

特别地，和无论何时所以，根据引理2.2，无论何时.

我们已经证明了这一点是中的Cauchy序列（事实上，它是度量空间中的柯西序列.自已完成存在这样的话.

接下来，我们展示一下.

为此，我们首先证明的确，选择.修复.自无论何时，从条件（Q2）得出无论何时.

现在每个拿这样的话

(3.7)

如果，因此。否则，我们将获得.

因此，，根据引理2.2，

(3.8)

因此，.

还有待证明.

自，我们可以构造一个序列在里面这样的话,和

(3.9)

自，因此，因此因此，根据引理2.2，是中的Cauchy序列（事实上，这是一个Cauchy序列.让这样的话.给定，有这样的话，对于所有人.通过应用条件（Q2），我们推断，所以.自，根据条件（Q1）因此，，对于所有人，根据条件（Q3）。我们的结论是，因此.

下一个例子说明了定理3.3。

例3.4。

让然后让成为qpm打开由提供众所周知可通过加权函数加权由提供，对于所有人.让是部分度量，由然后，是一个-上的函数第2.10号提案。还应注意，根据定理2.8（a），

(3.10)

为所有人.此外显然是完整的，因为欧几里德度量是因此是一个紧度量空间。

现在定义通过

(3.11)

为所有人。请注意因为非空的-闭子集是表格的间隔,  .

让是这样的，对于所有人、和，对于所有人。我们希望表明是Bianchini-Grandolfi量规函数。

很明显没有减少。

此外，，对于所有人的确，如果我们有无论何时，而对于，我们有所以，

(3.12)

根据这个过程，我们推断出一个已知的事实，对于所有人。我们已经证明了这一点是Bianchini-Grandolfi规范函数。

最后，对于每个和，存在这样的话。选择。那么和

(3.13)

如果，然后，因此.

我们已经检查了定理3.3的条件是否满足，因此，存在具有事实上是唯一的一点令人满意的和（实际上定理3.3的以下结果（也由示例3.4说明）在几个方向上改进和推广了定理中获得的部分度量空间的Banach收缩原理  第5.3页，共页[14].

推论3.5。

让是一个部分度量空间，使得诱导的权重qpm（质量管理）完成并出租是一个多值映射，以便和，有令人满意的

(3.14)

哪里是Bianchini-Grandolfi规范函数。然后，存在这样的话和.

证明。

自（见定理2.8），我们从命题2.10推导出是一个-完整函数（可加权）qpm空间.结论来自定理3.3。

请注意，如果是一个非递减函数，对于所有人，然后是函数由提供,是Bianchini-Grandolfi量规函数（比较[31，提案  8]). 因此，定理3.1的以下变体改进了推论  第2.4页，共页[7]，现在是定理3.3的结果。

推论3.6。

让是一个完整的qpm空间。然后，对于每个广义q压缩多值映射如果q不减小，则存在这样的话和.

备注3.7。

定理3.3的证明表明可以用度量空间中每个Cauchy序列的更一般条件来代替是-收敛的。