研究了具有电磁耗散和非均匀热源/汇的拉伸薄板上不可压缩粘弹性流体的磁流体力学（MHD）。浮力效应与电数磁参数耦合为了表示电效应和磁效应的主导地位，并在控制方程中增加了非均匀热源/散热器的具体项目，这是本研究的主要贡献。采用相似变换、有限差分法、牛顿法和高斯消去法对该问题进行了分析。流速分布、温度分布和重要壁面未知值的数值解和已执行。参数Pr，,或可以增加传热效果，但参数或可能会降低传热效果。
1.简介
非牛顿流体稳定边界层流动和传热的研究在科学和工程领域有着重要的应用。拉伸表面上稳定边界层流动的研究具有许多重要的应用，例如液膜冷凝过程中的边界层、冷却槽中金属板的冷却过程以及聚合物工业玻璃中的冷却过程。这些流体中的一些可由本研究中使用的模型表示，称为二级流体。这是哈特内特研究非牛顿流体流动的一个众所周知的事实[1]. 因此，如果我们使用非牛顿流体作为冷却系统或热交换器的冷却剂，可能会大大降低所需的泵送功率。因此，对拉伸薄板或延伸表面附近边界层中非牛顿流体的流场进行基本分析是非常重要的，也是流体动力学和传热领域的一个重要组成部分。斯利瓦斯塔瓦[2]Rajeswari和Rathna[三]研究了拉伸薄板附近的非牛顿流体流动。米什拉和熊猫[4]分析了二级粘弹性流体在管流入口区域侧壁注入影响下的行为。P.S.古普塔和A.S.古普塔[5]分析了等温拉伸板带吸力/注射的粘性流动和传热。Chen和Char[6]研究了在规定的表面热流密度下，线性拉伸板在抽吸或吹气以及低表面温度下的流动和传热。
Rajagopal等人[7]在粘弹性参数较小的情况下，对流场进行了检查，并获得了边界层方程的数值相似解.结果表明，表面摩擦力随着.丹达巴特和古普塔[8]通过控制这种自相似流动的非线性方程的精确解析解来研究传热问题，这与[7]给出了各种温度值的解显示了。稍后，Cortell[9]研究了由拉伸薄板引起的不可压缩二阶流体中的传热，以考察粘弹性参数对该流动的影响。在微分型流体的情况下，运动方程通常比Navier-Stokes方程高一个阶，并且通常需要附加边界条件才能完全确定解。Rajagopal对这些重要问题进行了详细研究[10,11]拉贾戈帕尔和古普塔[12]. 另一方面，Subhas和Veena[13]和Subhas Abel等人[14]研究了拉伸板上多孔介质中粘弹性流体的流动和传热。然而，一个重要的发现是，粘弹性的作用是降低该流动中的无量纲表面温度分布。后来，金刚罗和罗珀[15]在该方程中分析了变形对功的影响。最近，Subhas Abel等人[16]研究了具有粘性和欧姆耗散的拉伸薄板上的粘弹性MHD流动和传热；该研究考虑了粘性耗散和欧姆耗散现象，但不包括不均匀热源/散热器，因此，在不同项目中增加了这一功差扩展。
因此，在所有这些研究的推动下，在本研究中，对传热问题进行了研究，以提供与拉伸板相邻的二级流体的磁流体动力学流动的结果，该流体具有电和磁耗散效应，且其流场的热源/汇不均匀。
2.理论与分析
考虑了不可压缩粘弹性流体在具有电磁耗散效应和非均匀热源/热阱的热成形拉伸板上的稳态二维磁流体力学层流。恒定磁场强度参数和电场参数垂直于热成型拉伸板施加。在通常的边界层假设下，在没有压力梯度的情况下，稳定的基本边界层方程控制粘弹性流体的MHD流动。让我们考虑水平热成形拉伸板上均匀厚度粘弹性液体薄膜的稳定、不可压缩的二维磁流体力学流动，并考虑非均匀热源/散热器.薄膜内的流体运动是由于弹性薄板的拉伸引起的。问题的几何结构如图所示1.
一种不可压缩、均匀、非牛顿的二级流体，其本构方程基于里夫林和埃里克森提出的记忆逐渐衰退的假设[17]用于当前流程。模型方程表示如下：哪里是应力张量，是单位张量，是压力，是动态粘度，以及和与材料模量相关的第一和第二法向应力系数，以及目前的二级流体运动学张量和定义为哪里是速度，并且是物质时间导数。正如Markovitz和Coleman所提到的[18]、Acrivos[19]还有胡须和沃尔特斯[20]，该模型适用于一些稀聚合物。在目前的分析中，我们考虑二级流体的流动遵循稳定的二维边界层方程，对于这种流动、传热和传质，通常的符号为哪里, 是和方向，是粘弹性参数，是密度，是恒压下的比热，是电导率，是电导率，是电场因子，是磁场系数，这两个项代表电磁耗散。拉伸片是本研究的挤出产品。是与空间和温度相关的内部热量产生/吸收。关于边界条件的物理机制描述如下。两者都有和假设线性依赖于对于最简化的物理模型。恒温下的板壁有吹吸现象，当从大到无限，则速度梯度接近零，温度接近自由流温度。问题的边界条件是哪里和是恒定的壁温和环境流体温度，和是比例常数，和分别是特征长度。应该注意的是对应于吸力()然而对应于吹气(). 在参数,拉伸板是不透水的。在本研究中,设置简化了实体墙边界中的问题。如果我们引入一组变换，将获得速度的相似解，如下所示方程式(2.9)满足了连续性方程(2.5). 替换(2.9)进入(2.6)，我们有哪里是粘弹性参数，是电气参数，以及是磁性参数。是拉伸板的壁厚。（根据指控()以速度移动在电场的存在下和磁场经历两种力量和磁力.总作用力称为洛伦兹力，因此该力可以表示为并与可获得的尺寸进行比较,或将其纳入本研究是正确的结果，因为以便.)
相应的边界条件变为对于规定的表面温度，引入无量纲温度组合来自的转换(2.9)，能量方程变为哪里是普朗特尔号码是埃克特数。和是取决于空间和温度的内部热量生成/吸收的参数。相应的热边界条件为根据相似参数和定义的无量纲量(2.9)，墙上的加热速率为一旦我们知道及其导数，可以根据以下关系计算表面的局部表面摩擦值：此外，本地Nusselt编号由定义这个表达式可以写成
3.数值技术
在本问题中(2.10)至(2.14)采用有限差分法、牛顿法和高斯消去法相结合的数值方法进行求解。这些非线性常微分方程来自(2.10)至(2.14)已通过精确的有限差分法离散化[21]并开发了一个计算机程序来求解这些方程。Xiao等人[22,23]我们还使用了解析解和数值解来解决相关问题。在本研究中，我们引入了计算等距离散数据导数的有限差分近似的程序。该代码用于集中差异用于内部点和使用的向前和向后差异分别针对第一点和最后一点。参见Chapra和Canale，工程师数值方法[24]. 有限差分公式被划分为边界层内边缘的正向有限差分方程,边界层外缘的反向有限差分公式,内点的中心差分公式。
(1)一阶导数到四阶导数的正向有限差分公式如下(2)一阶导数到四阶导数的反向有限差分公式如下(3)一阶导数到四阶导数的中心有限差分公式如下目前的有限差分方法类似于Box方法[21]，但它直接将上述有限差分公式应用于相似边界层方程，并用高斯消去法和牛顿法求解[24].
本文的数值研究包括三个重要部分，即牛顿法、高斯消去法和有限差分公式。它很重要，因为它具有令人满意的解的存在性理论，以及关于初始数据的唯一性和连续依赖性，并且它解释了初始数据必须在某些条件下被限制。(1)牛顿法限制条件（a）牛顿的方法迭代地使用切线，这些切线通过根部的连续近似。（b）这个方法需要一个良好的初步猜测。否则迭代解可能发散或收敛到无关解。(2)高斯消去法的必要条件（a）方程的数目必须等于未知数。（b）每个方程都是线性独立的。
为了确保数值解收敛到精确解，步长Δη已经过优化，并且显示的结果与步长无关，至少不超过小数点后四位。收敛标准基于壁面速度梯度和温度梯度的当前迭代值与之前迭代值之间的相对差异。当差值小于对于流场，假设解收敛，并终止迭代过程。
4.结果和讨论
利用边界层概念分析了无量纲参数的影响，得到了一组耦合动量方程和能量方程。利用相似变换将非线性耦合偏微分方程转换为一组非线性耦合常微分方程。研究了分析拉伸薄板流场的广义推导。采用一种结合有限差分法、牛顿法和高斯消去法的精确数值方法来求解这些方程。表1显示了不同的表面摩擦值和努塞尔数针对不同的物理参数值。
图2描述了无量纲速度剖面与作为, 和.无因次速度剖面满足边界条件，并随不同的平滑曲线而变化值。当越大曲线越低，动量效应越小.数字2和三显示速度/温度值随着增加，原因是参数作为磁力存在于流体中，可能会降低流场中的速度/温度值。在物理方面，当增加时，流量将减慢，温度也将降低。在数学方面，它在动量和能量方程中对这一项使用了负号。图4描述了无量纲温度曲线与作为, , , , , 和.无量纲温度曲线满足边界条件并根据不同的平滑曲线变化值。当更大，并且曲线越低，传热效果越大.图5描述了无量纲温度曲线与作为, , , , , 和.无量纲温度分布由边界条件满足，并因不同的平滑固化而变化值。当曲线越大越低，则传热效果越大.
图6描述了无量纲温度曲线与作为, , , , , 和.无量纲温度曲线满足边界条件，并随不同Pr值的平滑曲线而变化。当Pr较大时曲线较低，因此对于较大的Pr.图，传热效果更大7描述了无量纲温度曲线与作为, , , , , 和.无量纲温度曲线满足边界条件并根据不同的平滑曲线变化值。当越大曲线越高，传热效果越低.图8描述了无量纲温度分布与作为, , , , , 和.无量纲温度曲线满足边界条件，并根据不同的平滑曲线变化值。当越大曲线较低为小于3；传热效果越大.另一方面，当更大曲线越高大于3；传热效果越大越低.数字三–8描绘无量纲温度梯度剖面与.数据显示是在和当参数Pr，或也更大，因此在更大的参数Pr下，传热效果更高，或.相反，参数或参数越大，传热效果越低或.
图8在,其中传热曲线显示为不利点；这是本研究中一种特殊的高度非线性现象。我认为，这是本研究的一个特殊结果，是不同参数的复杂影响结果。
5.结论
研究了拉伸板附近二维定常不可压缩二级流体在电磁（电磁）效应和非均匀热源/散热器作用下的传热。控制方程采用相似变换法、有限差分法、高斯消去法、牛顿法等进行求解。无量纲传热重要因素随着以下值的增加而增加,Pr和,因此,Pr和是本研究的重要因素。这些参数值越大，传热效果越大，但参数, 会降低传热效果。另一方面，从图的结果来看，本研究出现了高度非线性现象8用于参数.(1)从图中可以发现2，当磁性参数随着无量纲流体速度的增加，流体速度降低。然而，在边界层中观察到了动量效应，这导致动量减小，从而导致流体速度降低。还发现，从图三，当磁性参数磁场参数越大，传热效果越低。(2)相反，数字4–6揭示出,Pr和导致壁面温度梯度降低降低。这是因为热边界层厚度会随着以下值的增加而减小,Pr和.在这些物理条件下，传热现象很好。(3)从图中可以发现7和8，影响和是取决于空间和温度的内部热量生成/吸收的参数。参数关于传热过程可以表明导致热边界层厚度随着.图8在,其中传热曲线表现为不利点，这是本研究中一种特殊的高度非线性现象。(4)本研究中的特征与许多参数效应相结合(,公共关系，, , ,和)针对一个非牛顿粘弹性二级流体传热问题，采用不同于其他类似工作的特定数值方法进行了求解。
致谢
作者要感谢评论员提供的宝贵意见，并感谢K.R.Rajagopal教授的编辑帮助。另一方面，他想感谢中国国家科学委员会（National Science Council China）通过Grant NSC 98-2221-E-434-009提供的财政支持。
