广义不动点-锥度量空间上的对映射

摘要

我们定义了广义-对映射并证明了这类映射的一些常见不动点定理。我们的结果推广了最近的一些结果。

1.简介

黄和张[1]最近引入了锥度量空间的概念，并在这些空间中建立了压缩映射的不动点定理。之后，雷扎波尔和哈姆巴拉尼[2]通过省略锥度量空间中的正规性假设，研究了压缩型映射的不动点定理。此外，其他作者证明了锥度量空间中满足不同收缩条件的映射的重合点、公共不动点和耦合不动点的存在性（见[1–12]). 在[6]Di Bari和Vetro介绍了-映射并证明了推广一些已知结果的一个主要定理。我们定义了广义-并证明了关于此类映射公共不动点的一些结果。我们的结果推广了Huang和Zhang的一些结果[1]、迪巴里和韦特罗[6]、阿巴斯和容克[三]. 首先，我们回顾了锥度量空间中的一些标准符号和定义。

让是一个真正的Banach空间，并让表示零元素.一个圆锥体是的子集这样的话

（i）关闭、非空，并且，

（ii）如果是非负实数，然后，

（iii）.

对于给定的圆锥体，偏序关于由定义当且仅当.符号将代表但是。此外，我们将使用以表明哪里表示的内部使用这些符号，我们得到了锥度量空间的以下定义。

定义1.1（参见[1]).

让做一个非空的集合，让是一个具有部分排序的真实巴拿赫空间相对于圆锥体。假设映射满足以下条件：

为所有人和当且仅当，

为所有人，

为所有人.

然后称为圆锥公制、和称为锥度量空间。

圆锥体如果存在常量，则称为正常这样，对于每一个如果然后满足此不等式的最小正数称为.圆锥体如果每个递增（递减）和有界上（下）序列在.众所周知，每个规则圆锥都是正常的[1]（另请参阅[2，引理]).

定义1.2（参见[1]).

让是一个锥度量空间，设成为一个序列然后让.

（i）称为柯西序列具有存在这样对所有人来说，.

（ii）据说收敛于，表示为或作为如果每个具有存在这样所有人，.

（iii）如果每个Cauchy序列收敛于.

（iv）如果对每个序列都是序列紧的在里面存在子序列属于这样的话收敛于.

显然，每个序列紧锥度量空间都是完备的（参见[1–12])有关完备锥度量空间的更多相关结果）。我们还注意到和始终保持正确。

定义1.3（参见[13]).

让和锥度量空间的be自映射一个人这么说和是兼容的，如果，无论何时是中的序列这样的话对一些人来说.

弱兼容映射的概念如下所示。

定义1.4（参见[13]).

自映射和锥度量空间的如果在重合点通勤，即如果对一些人来说，然后.

2.主要成果

在本节中，我们将介绍广义-映射和一个称为广义的压缩条件-对。我们证明了锥度量空间上这些映射的公共不动点的一些结果。

让做一个圆锥体。非递减映射称为-映射[6]如果

和对于，

对于每个，

对于每个.

定义2.1。

让做个圆锥体成为一个序列一个人这么说如果每个具有存在这样的话为所有人.

对于非递减映射我们定义了以下条件，这些条件将在后续中使用：

当且仅当，

对于每个，当且仅当

对于每个，.

定义2.2。

自映射被称为广义-如果存在-映射和映射满足条件，和这样的话

(2.1)

对于每个.

现在，我们可以陈述以下定理。

定理2.3。

让是一个锥度量空间，让是广义的-对。假设和与……弱相容这样的话或已完成。然后是自映射和在中具有唯一的公共固定点.

证明。

让然后选择这样的话。这是可以做到的，因为。选择后继续此过程，我们选择这样的话。自和是广义的-对，根据定义1.2，存在一个-映射和映射满足条件（2.1）的不等式。通过（2.1），我们推断

(2.2)

让然后，通过，.签署人，

(2.3)

因此，我们可以发现这样，对所有人来说，。我们证明了这一点

(2.4)

对于固定和。这适用于以下情况现在让（2.4）保持一些，那么我们有

(2.5)

因此，通过归纳和我们推断是一个柯西序列。假设是的完整子空间，那么就存在这样的话还有（如果已完成). 让是这样的。我们展示了.签署人对于人们可以选择一个自然数这样的话和为所有人.然后，

(2.6)

因此，对于每个。这意味着因此，。所以申请我们得到这意味着也就是说，是一个巧合点和现在，我们使用的假设是和弱相容性来推断是的公共不动点和.来自，通过兼容性和，因此.如果，那么我们有

(2.7)

这意味着.所以是的公共不动点和公共不动点的唯一性是明确的。

示例2.4。

让然后让成为一个正常的圆锥体。让使用常规公制.定义通过和，对于所有人此外，定义通过和，对于所有人.然后

(1)和弱相容，

(2)，

（3） 我们有，

(4).

例2.5。

让然后让成为一个正常的圆锥体。让带公制.定义通过和，对于所有人此外，定义通过和，对于所有人.然后

(1)和弱相容，

(2)，

（3） 我们有，

(4).

例2.6。

让然后让成为一个正常的圆锥体。让带公制.定义通过和，对于所有人此外，定义通过和，对于所有人.然后

(1)和弱相容，

(2)，

（3） 我们有，

(4).

如果我们让映射是定理2.3中的恒等映射，然后我们得到以下推论。

推论2.7。

让是一个锥度量空间。假设映射满足

(2.8)

为所有人.如果，和弱相容，并且或完成了，那么和在中具有唯一的公共固定点.

备注2.8。

推论2.7推广了定理英寸[6]. 此外，如果我们选择-映射由定义，其中是常数，则定理2.3推广了定理英寸[三]. 此外，如果我们让是的身份图，然后我们得到定理英寸[1]即锥度量空间的Banach不动点定理的推广。

如果我们更换条件具有以下条件：

存在这样的话对于和，那么我们有以下定理。

定理2.9。

让是一个锥度量空间，让成为自映射，以便

(2.9)

为所有人哪里是一个非递减映射进入之内满足条件，和和是满足条件的非递减映射。假设和弱相容，和或已完成。然后是映射和在中具有唯一的公共固定点.

证明。

让成为任意点.选择一个点这样的话。这可以从。选择后继续此过程具有，由（2.9）和我们有

（2.10）

因此，

(2.11)

哪里。对于我们有

(2.12)

然后作为因此，通过，是一个柯西序列。假设是的完整子空间，则存在这样的话还有（这适用于以下情况已完成）。让是这样的.签署人，对于固定以及每个存在一个自然数这样的话和为所有人因此，

(2.13)

这意味着

(2.14)

因此，为所有人。这意味着因此，。自和弱相容，.如果，然后

(2.15)

它给出了因此，.所以是的公共固定点和公共不动点的唯一性是明确的。

如果在定理2.9中，我们让是然后让-映射be，其中是一个常数，那么我们得到以下推论。

推论2.10。

让是一个锥度量空间，让成为自映射，以便

(2.16)

为所有人，其中是一个常量。假设和弱兼容包含范围和或已完成。然后是映射和在中具有唯一的公共固定点.

备注2.11。

推论2.10推广了定理第页，共页[三]. 如果在推论2.10中我们让是上面的身份地图，然后我们得到定理第页，共页[1]。

定理2.12。

让是一个锥度量空间，让成为自映射，以便

(2.17)

为所有人。假设和弱相容，范围包含范围和或已完成。然后是映射和在中具有唯一的公共固定点.

证明。

让成为任意点.选择一个点在里面这样的话。这可以从。选择后继续此过程在里面这样的话，我们有

(2.18)

所以，

(2.19)

哪里.现在让我们具有.然后，

(2.20)

根据与定理2.9中给出的类似的论点，我们得到了一个唯一的公共不动点和.

如果在定理2.12中，我们让是上的身份图然后让-地图，其中是一个常数，那么我们得到以下推论。

推论2.13。

让是一个锥度量空间，让成为自映射，以便

(2.21)

为所有人，其中是一个常量。假设和弱相容，范围包含范围和或已完成。然后是映射和在中具有唯一的公共固定点.

备注2.14。

推论2.13推广定理第页，共页[三]如果在推论2.13中我们让是上的身份图，然后我们得到定理第页，共页[1]。