随机哈密顿动力系统的“辛”格式是通过Misawa（2001）提出的“合成方法（或算子分裂方法）”来表示的。 在所提出的方法中，由随机哈密顿系统的解给出的辛映射由由更简单的哈密顿向量场导出的随机流的合成来近似。 给出了由随机合成方法导出的数值格式的全局误差阶。 为了验证新方案的优越性，在所提方案的基础上，对一个随机谐振子系统进行了一些数值模拟。
1.简介 哈密顿动力系统理论被认为是描述物理、工程和经济学中所处理的动力现象的基本工具之一。 为了研究这种系统的行为，通常进行数值模拟。 然后，作为数值方法中的一个重要课题，人们开始关注如何构造保持哈密顿动力学结构的数值格式，即“辛积分格式”（Hairer et al[ 1 ]以及其中的参考）。 辛格式优于长时间间隔上哈密顿动力系统相流的数值实现，因此可以将其应用于经典哈密顿力学框架下描述的各种动力系统。
作为这一主题的延伸，Milstein等人[ 2 ]为“随机哈密顿动力学系统（例如Misawa[ 三 ])“由随机微分方程（SDE）（池田和渡边[ 4 ]). 随机哈密顿动力系统被视为受外部世界随机波动扰动的“开放”哈密顿系统；从金融角度来看，此类系统也可以被视为描述某些风险资产的动力系统。对于随机系统，它们已经制定了“龙格-库塔型辛格式” 这与确定性情况类似。 另一方面，确定性哈密顿系统的辛积分器通常是通过所谓的“合成方法（算子分裂方法）”产生的，这些方法是基于李代数理论和李群理论（McLachlan和Quispel[ 5 ]). 方法概述如下： 用坐标表示某空间上的向量场 ，有流量 也就是形式的微分方程的解 在表格中给出 假设一个人可以写 以这样的方式 和 两者都可以计算 明确地。 （更一般地说，这可以通过指数映射的近似来放松。）在最基本的情况下，该方法给出了以下近似值 通过 最后一个等式是通过使用李代数理论中众所周知的贝克尔-坎贝尔-豪斯道夫（BCH）公式获得的。 这种方法的优点是真实流动的几何特性 经常被保存。 如果 , 、和 是哈密顿向量场，那么真实流和近似流都是 辛的 因此，用这些方法推导随机哈密顿系统的辛积分器似乎是很自然的。
本文的目的是为随机哈密顿动力系统提出一些辛数值积分格式。 然后，根据作者对SDE合成方法的研究结果（Misawa[ 6 ])估计了新随机格式的数值逼近误差。
本文组织如下。 在节中 2 ，我们首先回顾了SDE的合成方法和方案的误差估计定理。 在节中 三 针对SDE描述的一维Wiener过程随机哈密顿动力系统，提出了一些基于合成方法的辛格式。 还估计了通过这些格式得到的数值解的近似误差。 在节中 4 为了检验新格式的优越性，我们通过一个示例将所提出的格式与随机Euler-Maruyama格式的数值解进行了比较。 本节末尾给出了一些结论性意见。
最后，我们想在这里引用K.Burrage和P.M.Burrage的另一种SDE合成方法[ 7 ]. 此外，与我们主题相关的其他贡献也可以在Malham和Wiese最近的文章中找到[ 8 ]还有Bou-Rabee和Owhadi[ 9 ].
2.SDE数值积分的合成方法 现在，我们首先回顾Misawa提出的SDE数值积分的合成方法[ 6 ]. 让 是一个概率空间。 我们认为 -一维Wiener过程的Stratonovich型多维随机微分方程 如下： 哪里 和 是 -维度的 向量函数。 通过使用这些函数，我们定义了微分算子 和 作为 哪里 根据Kunita的说法[ 10 ]，初始值下SDE的解 可以用从“随机”向量场导出的指数映射形式表示 如下： 哪里 是每个向量场 几乎可以肯定 由提供 和 ，其中 Lie括号定义为 .给， 是一个多指标的所有单指标和双指标的总和 、和 和 是时间间隔上的多重Wiener-Stratonovich积分 和系数，它们分别是通过一个规则确定的 此外， 表示的长度 。我们注意到( 2.2 )带有( 2.4 )意味着解决方案 等于 a.s.，其中 是的解决方案 普通的 微分方程 关于 和 作为参数。
现在，我们开始对随机方程进行数值积分( 2.1 )通过使用上述SDE解的表示，对离散化时间序列进行分析。 它采用时间间隔的统一离散化 具有步长 对于固定的自然数 .让 成为 第个步骤点。 那么，对于所有人来说 ，我们缩写 并设置 此外，我们使用 对于 表示增量 ; 它们是均值为0且方差为0的独立高斯随机变量 也就是说， -分布随机变量。
由于( 2.3 )，我们找到了一系列数值解 至SDE( 2.1 )通过使用 正式，其中 是通过及时替换所有多重维纳积分得到的向量场 按时间间隔 英寸( 2.4 ). 在常微分方程理论中， 通常被称为时间- 映射或指数映射。 然而，通常很难找到指数映射的显式形式，因此，我们需要为( 2.7 ). 因此，我们按照以下两个步骤构造了一个新的随机数值格式，这两个步骤由向量场的截断组成( 2.4 )以及应用于从截断向量场导出的指数映射的合成方法（或运算符拆分方法）。
程序。 我们替换向量场 英寸( 2.7 )通过“截断”向量场 具有截断顺序 其定义为 哪里 是向量场的多重维纳积分的多项式函数 具有多索引 然后，我们定义一个数字序列 通过 哪里 .
程序。 对于 ，我们以类似于常微分方程理论的方式应用了一种“合成方法”。假设向量场 形式为 哪里 和 都可以通过显式计算( 2.15 ). 然后是指数映射的近似值 由给定 因此 在过程中 1 近似值为 哪里 . 我们认为 作为精确离散解的数值逼近 .
我们转而估计前面描述的数值格式的近似误差。 在随机数值学中，它通常是通过方案的“均方意义上的全局误差”来测量的，因此我们首先回顾以下定义（Gard[ 11 ]Kloeden和Platen[ 12 ]).
定义2.1。 假设 和 是SDE的精确解和数值近似解( 2.1 )分别是。 此外，让 期望是以开始为条件的吗 在 “初始时间” .然后 全局错误顺序 由定义 哪里 , 、和 表示空间上的欧几里德范数 这里是期望中的条件( 2.12 )手段 .
很明显，数值格式的精度随着全局阶数的增加而提高。
我们注意到，在斋藤和三井定义的“全球错误顺序”框架内[ 13 ]，数值解的全局次序 令人满意的( 2.12 )由提供 .
很明显，这样的误差估计顺序取决于 以及截断向量场的分解方法 .英寸[ 6 ]Misawa给出了通过上述两个步骤确定的随机数值格式的全局误差阶的计算方法。
定理2.2（参见[ 6 ，定理 ]). 让 , 、和 是的截断顺序 程序中描述 1 ，包含在算子系数中的多重维纳积分的“均方阶”的最小值 和 分别是。 均方根 多重维纳积分 按时间间隔 上述定义为 .然后 保持，其中 因此，程序提供的随机数值格式的全局误差阶 1 和 2 等于 .
作为以后讨论的准备，我们回顾了我们的方案的一些例子和中给出的全局错误顺序[ 6 ].
例2.3。 假设一个截断的向量场 在过程中 1 由给定 我们进一步确定 和 在程序分解中 2 并假设得到了它们的两个指数映射的显式形式。 然后，数值方案( 2.11 )可以采用以下形式。
方案1。 一个有 在这种情况下， , 和 分别等于1、2和1，因此上述定理提供了Scheme的全局顺序 1 作为1。
例2.4。 对于 在示例中 2.3 ，我们设置 = + 和 ，其中 和 。我们假设 得到了它们的两个指数映射的显式。 然后，数值方案( 2.11 )可以用以下形式表示。
方案2。 一个有 在这种情况下， 和 均等于1； 因此方案的全局顺序( 2.10 )对于上述内容 和 变为0.5。 注意，这个阶数与随机数值中最著名的SDE格式Euler-Maruyama格式的阶数相等。
备注2.5。 通过进一步操作BCH公式以消除高阶项，我们可以获得各种方案，这些方案可以为指数映射提供高阶近似。 例如，确定性数值分析中众所周知的“蛙跳”对应的方案如下所示 在某种程度上类似于( 2.11 )，我们定义了一个随机蛙跳方案，如下所示： 然后，使用BCH公式，我们可以生成比格式具有更好误差阶的数值格式( 2.11 ). 详见备注 和示例 英寸[ 6 ].
3.随机哈密顿动力系统的辛积分器 现在，我们继续用前面提到的合成方法导出随机哈密顿动力系统的辛积分器。 我们从中定义的随机哈密顿动力学系统的定义开始[ 三 ]. 考虑以下2 -一维维纳过程随机动力系统： 哪里 和 分别是。 在( 3.1 ), 是光滑标量函数 从形式上讲，可以将其视为哈密顿动力学系统 具有“随机”哈密顿量 由提供 哪里 是一维高斯白噪声。 因此，我们呼吁( 3.1 )和 一个( -尺寸） 随机哈密顿动力学系统 和 哈密顿量 分别是。 在下面，为了简单起见，我们设置 并表示 和 通过 和 ，即，我们处理以下随机哈密顿动力学系统：
让 成为 时间间隔均匀离散化中的第个步点 具有步长 对于固定自然数 。假设 是由上述时间离散化的一些数值格式导出的上述哈密顿系统的一系列数值解。 与确定性哈密顿系统数值格式的情况相同，我们将随机哈密顿动力系统的数值格式称为“辛”，它可以产生满足以下条件的数值解 在任何步进点 考虑到对一般确定性系统使用辛格式的优点，我们还可以期望通过使用这些格式获得比使用普通数值格式（例如Euler格式）更稳定的数值轨道。
现在，我们使用第节中提到的合成方法生成辛格式 2 首先，以scheme为基础的辛格式为例 1 ，我们可以提供以下方案。
方案3。 一个有 其中，截断向量场 由显示( 2.14 )和分裂向量场 和 由提供 分别是。
很容易看出，上述合成方案是辛的，因为对于每个固定的随机参数 , 、和 是具有哈密顿量的哈密顿向量场 和 按时间间隔 因此，它们的指数映射的组成是辛的（McLachlan和Quispel[ 5 ]). 此外，如第节所述 2 ，该方案的全局误差阶为1。
接下来，我们在scheme的基础上给出了辛格式的一个例子 2 .
方案4。 一个有 其中对于相同的截断向量场 作为方案 三 ，我们选择 和 如下： 在条件下 和 . 我们还可以证明这个方案是辛的，因为对于每个固定的随机参数 , 、和 也是具有哈密顿量的哈密顿向量场 和 按时间间隔 我们注意到，如第节所述，该方案的全局误差阶数为0.5 2 .
备注3.1。 如果是具体的哈密顿量 和 也可以检查条件( 3.5 )通过直接计算得出上述每个方案。
4.示例 在本节中，作为方案的示例 三 和 4 ，我们将用辛格式给出随机谐振子系统的数值解，并将其与欧拉格式的数值结果进行比较。
让我们考虑以下随机哈密顿动力学系统( 3.4 )用哈密顿量 和 : 哪里 是一个常量。 显然，这是一个具有“守恒量”的随机系统 [ 三 , 6 ]； 也就是说，解决方案 在由确定的圆上随机移动 在 - 平面。 我们称这种系统为随机谐振子系统。
现在，为了研究辛格式的优点，我们将用新的格式和“欧拉格式”给出这个系统的数值解[ 11 —— 13 ]. 然后，通过直接计算方案的定义和指数映射( 2.5 )、欧拉方案、方案 三 和 4 设置不足 , , 、和 作为 和 对于该系统，如下所示。
欧拉方案： 方案5（方案 三 的( 4.1 ))。 一个有 方案6（方案 4 的( 4.1 ))。 一个有 哪里 这里我们注意到我们可以直接检查辛条件( 3.5 )适用于方案 5 和 6 上述内容。
在这些方案中， 根据独立的 随机数 作为[ 12 ] 此外，我们设置 , 、和 作为 , 、和 ，然后我们选择 和 作为 和 分别是。
图 1 表示“ “根据这些方案和数字 2（a） —— 2（c） 显示Euler格式和Schemes中数值解的样本路径 6 和 5 分别是。 这里，如前所述，应该记住，原始随机系统的精确解应该在圆上运行 ，即上的单位圆 - 平面。 数字 1 和 2（a） 然而，表明欧拉格式的一系列数值解逐渐远离圆。 相比之下，图 1 , 2（b） 、和 2（c） 证明了辛格式的数值解 5 和 6 围绕圆圈平稳移动，尤其是Scheme的一系列解决方案 5 完全沿着圆圈跑。 因此，与确定性情形一样，新的随机辛格式也在数值上保持了哈密顿动力学结构； 这就是新随机方案相对于普通随机方案的优越性。
最后，我们对我们的方法做了一些总结。 (1) 本文用一维维纳过程处理随机哈密顿动力系统。 然而，如果有多个维纳过程，通常会发生数值方法的误差阶崩溃的情况。 因此，在具有“多维维纳过程”的随机哈密顿动力系统的情况下，研究我们的格式的误差阶是非常重要的。因此，我们应该能够改进我们的合成方法，并为具有多维维纳进程的SDE提供新的高阶格式。 (2) 此外，到目前为止，我们只提到SDE的单一合成方法。 似乎可以很容易地将该方法扩展到多组分方法，因为这些组分是通过单个组分的迭代获得的。 利用多组分，我们可以很容易地为更复杂的随机哈密顿系统生成辛格式。
在以后的论文中，将报告上述主题。
确认 这项工作得到了日本科学促进会科学研究资助项目（编号：18540134和21540140）的支持。
