弱Kannan映射的一种延拓方法

摘要

Granas给出了度量空间中压缩映射的第一种延拓方法。后来，Frigon将Granas定理推广到弱压缩映射类，最近Agarwal和O'Regan给出了一类包含Kannan型映射的拟压缩的相应结果。在本文中，我们引入了弱Kannan映射的概念，并给出了这类映射的一个不动点定理，然后给出了一个延拓方法。

1.简介

假设是一个公制空间是一张地图。我们这么说如果存在收缩这样的话为所有人众所周知的巴拿赫不动点定理表明有一个固定点，如果和已完成。1962年，拉科奇[1]得到了替换常数的Banach定理的一个推广通过以下函数,，前提是不增加，并且为所有人（有关此结果的最新改进，请参见[2]). Dugundji和Granas也考虑了收缩条件的类似推广[三]，将Banach定理推广到弱压缩映射类（即。，，使用为所有人).

不动点理论的另一个关注点是建立非自映射的不动点定理。在巴纳赫空间的背景下，盖蒂卡和柯克[4]证明如果具有收缩性一个开放的原产地附近，那么如果满足众所周知的Leray-Shauder条件，则具有不动点：

（LS）

最近，柯克[5]已将此结果扩展到某类度量空间的抽象设置：CAT（0）空间。在证明中，作者使用了由于Granas的同伦结果[6]它被称为压缩映射的延拓方法。事实上，从巴拿赫空间设置跳转到度量空间设置是Granas自己在年给出的[6]（有关此主题的更多信息，请参见，例如[7–9]). 继格拉纳斯之后，弗里冈[8]对弱压缩映射给出了类似的结果。

Kannan给出了Banach收缩原理的一个变体[10]，他证明了一张地图，其中是一个完备的度量空间，如果就是我们所说的坎南地图，也就是说，存在这样，对所有人来说,

(1.1)

在这张纸条中，遵循杜贡吉和格拉纳斯的模式[三]，我们将Kannan定理推广到弱Kannan映射类（即。，，使用为所有人). 这在第2节中完成。在第3节中，我们使用前面结果的局部版本来获得弱Kannan映射的延拓方法。

2.弱Kannan映射

在本节中，我们遵循Dugundji和Granas的模式[三]引入弱Kannan映射的概念。

定义2.1。

让是一个度量空间，、和.因此如果存在，则为弱Kannan映射，使用对于每个这样，对所有人来说,

（2.1）

备注2.2。

显然，任何弱Kannan映射最多有一个固定点：如果和，然后

(2.2)

备注2.3。

请注意，如果是弱Kannan映射，我们定义在作为

(2.3)

然后定义良好，取值范围为，满足为所有人（用于小于任何关联到)，也满足（2.1）替换为，对于所有人相反，如果定义为（2.3），并满足上述条件，则是一个弱Kannan映射，以这种方式为Kannan地图建立了一个等价的定义。

备注2.4。

尽管Kannan表明Kannan映射的概念独立于压缩映射的概念，Janos[11]观察到任何收缩图其Lipschitz常数定义为

(2.4)

小于是一张坎南地图。接下来，我们展示一个弱Kannan映射的示例，使用，它不是Kannan映射，因此显示常量Janos在上述结果中表现突出。

例2.5。

考虑度量空间使用通常的度量，并让是定义为.然后，和是弱坎南地图，但不是坎南地图。

平等根据以下事实为所有人与一起

(2.5)

我们也有不是坎南地图，因为

(2.6)

检查一下是弱Kannan映射，考虑函数由（2.3）给出。此函数定义良好，并且在自从接下来，假设让我们看看。要看到这一点，请注意作为，所以有这样的话为所有人。还要注意，限制到，是具有常量的Kannan映射，由于以下事实，用于在上连续可微和为所有人.我们拭目以待。要做到这一点，假设具有和然后，如果，使用还有那个以获得。否则，我们会然后.

虽然我们引入弱Kannan图概念的方式与Dugundji和Granas在[三]，我们想提及的是，此扩展可能以一些不同的方式进行。例如，Pathak等人[12，定理3.1]证明了以下结果。

定理2A。

让是一个完整的度量空间，假设是这样的地图

(2.7)

为所有人，其中。此外，如果存在序列在里面具有，然后在中有一个固定点.

注意，关系式（2.7）可以用以下更通用的形式书写：

(2.8)

为所有人，其中,，注意满足（2.8）的任何映射也满足与（2.1）的关系事实上，作者在定理A的证明中使用的论点对这类映射也是有效的。接下来，我们陈述这个稍微更一般的结果，并为了完整起见包括证明。然后，我们得到了弱Kannan映射的一个不动点定理。

定理2.6。

让是一个完整的度量空间，并假设是满足以下条件的有界函数：对于任何序列在里面和,

（x2a）

同时假设是这样的地图

(2.9)

为所有人.如果存在序列在里面具有，然后具有唯一的固定点在里面、和.

证明。

自有界，存在这样的话为所有人。假设是中的序列具有并使用（2.9）获得,

(2.10)

这意味着是一个柯西序列。自完成，序列是收敛的，比如说.然后因为因此，通过（*），.

那个是以下关系和事实的结果，然后

(2.11)

最后，是唯一的不动点因为如果:

(2.12)

推论2.7。

让是一个完整的度量空间，假设是弱Kannan映射。然后，具有唯一的固定点并且，对于任何，迭代序列收敛到.

证明。

自是弱Kannan映射，存在一个函数具有为所有人，所有人都满意（2.1）。因此，函数给定为是有界的并且满足条件（*）和（2.9）。

考虑任何并定义,我们可以假设因为否则我们就完了。我们将证明这一点因此，根据定理2.6，将收敛到一点它是唯一的不动点.

首先，注意不平等

(2.13)

为所有人保留事实上，它是以下一个结果的结果，这在（2.1）中是正确的：

(2.14)

从（2.13）中，我们得到序列没有增加，因为，然后收敛到实数

(2.15)

为了证明这一点，假设是这样并得出如下矛盾：使用

（2.16）

以及以获得为所有人这与（2.13）一起给出了

(2.17)

为所有人，这是不可能的，因为和.

备注2.8。

我们不知道定理A是否是定理2.6的特例，尽管如果函数满足附加假设。要看到这个，假设地图在定理A的条件下，即，满足某些给定函数的关系（2.7）,，还假设函数另外满足.定义作为，其中由提供

(2.18)

让我们看看这个函数,满足定理2.6的假设。的确，明确有界且满足（*）；如果是中的序列和，使用，然后

(2.19)

既然我们也有，我们得到.

最后，看看这个满足关系（2.9），使用关系（2.7），以及相同的相互转换角色的关系和以及以下事实，以获得

(2.20)

由此得出结果。

为了证明下一节的同伦结果，我们需要以下推论2.7的局部版本。

推论2.9。

假设是一个完整的度量空间，、和是具有相关函数的弱Kannan映射令人满意（2.1）。如果照常定义，并且

(2.21)

然后有一个固定点。

证明。

鉴于推论2.7，这足以表明闭合球在下是不变的。要证明这一点，请考虑并获得关系

(2.22)

从中，考虑到,

(2.23)

要结束证明，请获取通过上述不等式考虑两种情况：如果，然后因为。否则，我们会，因此，从中

（2.24）

3.同伦结果

1974年[13]引入了拟压缩的概念，并证明了以下不动点定理：假设是一个完整的度量空间，并且是准收缩，即存在这样，对所有人来说,

(3.1)

然后，在中有一个固定点.

观察任何压缩映射，以及任何Kannan映射，都是一个准压缩映射；因此，cir irić定理推广了Banach和Kannan的著名不动点定理。

另一方面，阿加瓦尔和奥里根[14]考虑了一类拟压缩：那些映射，其中是一个度量空间，存在这样，对所有人来说,

（Q）

并给出了以下同伦结果。

定理3 B。

让是一个完整的度量空间，的开放子集、和满足以下属性：

（i）为所有人以及所有,

（ii）存在这样所有人和我们有

(3.2)

（iii）在中连续，统一用于.

如果在中有一个固定点，然后也有一个固定点为所有人.

上述同伦结果包括这类Kannan映射的相应结果，在下面的定理中，我们证明了一个类似的结果对于更广泛的弱Kannan映象是正确的。

定理3.1。

让是一个完整的度量空间，的开放子集、和满足以下属性：

（第1页）为所有人以及所有,

（P2）存在这样所有人和一个有

(3.3)

和为所有人,

（P3）存在连续函数这样，对于每一个和,.

如果在中有一个固定点，然后也有一个固定点为所有人.

证明。

考虑非空集

(3.4)

我们将证明这一点为此，这足以表明在中既关闭又打开.

我们开始展示在中关闭：假设是中的序列汇聚到让我们展示一下.根据定义，存在一个序列在里面具有.我们将证明这一点收敛到一点具有，从而表明.

那个是Cauchy序列是以下关系的结果，其中我们使用了（P2），（P3），并且事实上:

(3.5)

写入让我们看看而且.那个是以下关系的结果：

(3.6)

还有那个直接来自（P1）。

接下来我们证明在中打开：假设让我们展示一下，对于一些.自，存在具有.考虑具有并使用以获得这样的话

(3.7)

为所有人.

现在显示任何也在，足以证明地图有一个固定点。根据推论2.9，这是正确的，因为

(3.8)

备注3.2。

仔细阅读证明表明，定理3.1中的假设（P3）可以很容易地替换为定理B中较弱的假设（iii）。

备注3.3。

Frigon证明了弱压缩映射的定理3.1[8]。在该结果中，我们假设用以下条件（H'）的等效公式代替我们的（3.3）：

（H）

注意，条件（H’）意味着所有地图,具有弱收缩性，且功能相同我们的情况（3.3）并不奇怪。这也意味着所有的地图为弱Kannan型，功能相同.

我们以同伦的例子结束这一节满足（P1）、（P2）和（P3），但不满足定理B的假设。实际上，函数将是弱Kannan类型，但不满足拟压缩性条件（Q）（因此，由于任何Kannan映射都满足（Q），因此它将不是Kannan型）。此外，不会是弱收缩型的。

例3.4。

考虑度量空间，其中和，然后让给出的地图是

(3.9)

首先，我们将看到地图不满足条件（Q）。定义，用于,

(3.10)

那么，对于，我们有，自因此，

(3.11)

表明没有可以发现满足（Q）。

其次，观察一下不是弱收缩的，因为任何弱收缩映射都是连续的。

接下来，让我们检查一下是弱Kannan映射。自有作为唯一的不动点，则函数由提供如果,，定义明确。我们必须检查一下只接受值还有那个为所有人事实上，如果我们能证明这一点，所有这些都将随之而来，因为,

(3.12)

因此，采取并假设，使用.如果有任何一点等于例如，然后使用和以获得

(3.13)

否则，我们就会这样在这种情况下，因为，那么我们可以另外假设我们声称

(3.14)

要确信这一点，请检查以下不平等链为所有人，那个，还有:

(3.15)

接下来，定义通过让我们看看满足（P1）、（P2）和（P3）。

很明显满足（P1）。要检查（P2），请注意

(3.16)

为所有人以及所有，因此，如果是前面定义的函数吗以及所有,

(3.17)

最后，（P3）对.