满足压缩映射的不动点理论-中的地图-度量空间

摘要

我们证明了自映射的一些不动点结果在一个完整的-度量空间在与非递减映射相关的一些收缩条件下具有为所有人此外，我们证明了这种不动点的唯一性，并研究了-这种不动点的连续性。

1.简介

度量空间中的不动点定理在构造数学方法以解决应用数学和科学问题方面发挥着重要作用。因此，度量空间对大量数学家的吸引力是可以理解的。一些作者提出了度量空间概念的一些推广。2006年，穆斯塔法与西姆斯合作引入了广义度量空间的新概念，称为-度量空间[1]. 事实上，Mustafa等人在-一定条件下的度量空间；参见[1–5]. 在目前的工作中，我们研究了完备自映射的一些不动点结果-度量空间在与非递减映射相关的一些收缩条件下具有为所有人.

2.基本概念

在本节中，我们将在-公制空间。

定义2.1（参见[1]).

让做一个非空的集合，让是满足以下属性的函数：

(1)    如果;

(2),  为所有人具有;

（3）  为所有人具有;

(4)，所有三个变量的对称性；

（5）  为所有人.

然后是函数称为广义度量，或者更具体地说，称为-上的公制和这对称为-公制空间。

定义2.2（参见[1]).

让成为-公制空间，并让是一系列的点，一分被认为是序列的极限，如果我们说序列是-收敛于或  -收敛到.

因此，在一个-度量空间如果有，存在这样的话为所有人.

提案2.3（参见[1]).

让成为-公制空间。那么以下是等效的。

(1)是-收敛于.

(2)作为.

（3）作为.

(4)作为.

定义2.4（参见[1]).

让成为-度量空间；一个序列被称为-Cauchy如果，有这样的话，对于所有人; 也就是说，作为

命题2.5（参见[三]).

让成为-公制空间。那么以下是等效的。

（1） 序列是-柯西。

（2） 对于每个，有这样的话，对于所有人.

定义2.6（参见[1]).

让和是-度量空间，并让是一个函数。然后据说是-在某一点上连续当且仅当，有这样的话和暗示.A函数是-连续时间为当且仅当它是-完全是连续的.

2.7号提案（见[1]).

让和是-公制空间。然后是-连续时间为当且仅当它是-顺序连续于; 也就是说，无论何时是-收敛于,是-收敛于.

主张2.8（参见[1]).

让成为-公制空间。然后是函数在所有三个变量中是联合连续的。

以下是以下示例-公制空间。

示例2.9（参见[1]).

让是常用的度量空间。定义通过

(2.1)

为所有人那么很明显是一个-度量空间。

示例2.10（参见[1]).

让.定义在通过

(2.2)

并延伸到通过使用变量的对称性。那么很明显是一个-公制空间。

定义2.11（参见[1]).

A类-度量空间被称为-如果每-柯西序列是-收敛于.

3.主要成果

跟随马特科夫斯基[6]，让是所有功能的集合这样的话是一个非递减函数为所有人.如果，然后被称为-地图。如果是-地图，那么很容易显示

(1)为所有人;

(2).

从现在起，除非另有说明，我们的意思是这个-地图。现在，我们介绍并证明了我们的第一个结果。

定理3.1。

让是一个完整的-公制空间。假设地图满足

（3.1）

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续时间为.

证明。

选择.让,.假设，每个.索赔是一个-Cauchy序列：用于，我们有

（3.2）

鉴于，自和，有一个整数这样的话

(3.3)

因此

(3.4)

对于具有，我们声称

(3.5)

我们通过对不等式（3.5）的归纳来证明不平等（3.5）适用于通过使用不等式（3.4）和以下事实.假设不等式（3.5）成立。对于，我们有

(3.6)

通过感应开启，我们得出结论，不平等（3.5）适用于所有人.所以是-柯西等人是-收敛到某些。对于，我们有

(3.7)

出租并利用以下事实变量是连续的，我们得到.因此.所以是的固定点现在，让我们是另一个固定点具有.自是一个-地图，我们有

（3.8）

这是一个矛盾。所以，因此有一个唯一的固定点。要显示是-连续时间为，让是任意序列这样的话是-收敛于。对于，我们有

(3.9)

出租，我们得到.因此是-收敛于.所以是-连续时间为u个.

作为定理3.1的应用，我们有以下结果。

推论3.2。

让是一个完整的-公制空间。假设地图满足:

(3.10)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如).

证明。

根据定理3.1，我们得出如下结论有一个独特的固定点说.自

(3.11)

我们有也是一个固定点.通过的唯一性，我们得到.

推论3.3。

让是一个完整的-公制空间。假设地图满足

(3.12)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续的.

证明。

根据定理3.1，取.

推论3.4。

让是一个完整的-公制空间。假设有这样地图满足

(3.13)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续时间为.

证明。

定义通过那么很明显是一个非递减函数为所有人.自

(3.14)

结果来自定理3.1。

上述推论已在[7，定理  5.1.7]，并通过不同的方式证明。

推论3.5。

让是一个完整的-公制空间。假设地图满足

(3.15)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续时间为.

证明。

定义通过那么很明显是一个非递减函数为所有人.自

(3.16)

结果来自定理3.1。

定理3.6。

让是一个完整的-公制空间。假设地图满足

(3.17)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续时间为.

证明。

选择.让,.假设，每个因此，我们有

(3.18)

如果

(3.19)

然后

(3.20)

这是不可能的。所以一定是这样的

(3.21)

因此

(3.22)

因此，对于，我们有

（3.23）

相同的论点与定理3.1的证明相似；可以证明这一点是一个-柯西序列。自是-完成，我们得出结论是-收敛到某些。对于，我们有

(3.24)

案例1。

(3.25)

那么我们有

(3.26)

出租，我们得出结论，因此.

案例2。

(3.27)

那么我们有

（3.28）

出租，我们得出结论，因此.

案例3。

(3.29)

那么我们有

(3.30)

出租，我们得出结论，因此在所有情况下，我们的结论是是的固定点.让是的任何其他固定点这样的话.然后

(3.31)

这是一个矛盾，因为因此，因此。为了证明这一点是-连续时间为，让是中的任意序列这样的话是-收敛于.然后

(3.32)

让，我们明白了是-收敛于.因此是-连续时间为.

作为定理3.6的应用，我们有以下结果。

推论3.7。

让是一个完整的-公制空间。假设有这样地图满足

(3.33)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续时间为.

证明。

定义通过那么很明显是一个非递减函数为所有人.自

(3.34)

为所有人结果来自定理3.6。

推论3.8。

让是一个完整的-公制空间。假设地图满足：

(3.35)

为所有人.然后有一个唯一的固定点（比如)和是-连续时间为.

证明。

它通过替换遵循定理3.6.