多值算子的Reich不动点定理理论

摘要

本文的目的是从不动点、严格不动点，多值弱Picard算子，多值Picard运算符，不动点集的数据依赖性，多值算子序列和不动点等方面提出多值算子的Reich不动点定理的理论，多值不动点方程的Ulam-Hyers稳定性，不动点问题的适定性，以及生成的分形算子。

1.简介

让是一个度量空间，并考虑以下子集族我们还考虑以下（广义）泛函：

(1.1)

称为间隙函数和特别是，如果然后:

(1.2)

称为（广义）过剩泛函：

(1.3)

是（广义）Pompeiu-Hausdorff泛函。

众所周知，如果是一个完整的度量空间，那么对是一个完备的广义度量空间。（请参见[1,2]).

定义1.1。

如果是度量空间，然后是多值运算符被称为帝国型多值-收缩当且仅当存在具有这样的话

(1.4)

Reich证明了任何Reich类型的多值-完备度量空间上的收缩至少有一个不动点（参见[三]).

在最近的一篇论文中，Petrušel和Rus引入了“度量不动点定理理论”的概念，并将该理论用于多值压缩的情况（参见[4])。有关单值情况，请参见[5].

本文的目的是将这种方法扩展到Reich型多值的情况-收缩。我们将从以下方面讨论Reich的不动点定理

（i） 不动点和严格不动点，

（ii）多值弱Picard算子，

（iii）多值Picard算子，

（iv）不动点集的数据相关性，

（v） 多值运算符和不动点序列，

（vi）多值不动点方程的Ulam-Hyers稳定性，

（vii）不动点问题的适定性；

（viii）分形算子。

还要注意，多值算子的不动点和严格不动点理论与数学经济学中的一些重要模型密切相关，例如最优偏好、博弈论和抽象经济的均衡。请参见[6]进行一次很好的调查。

2.符号和基本概念

在本文中，使用了非线性分析中的标准符号和术语（参见柯克和西姆斯的论文[7]格拉纳斯和杜贡吉[8]胡锦涛和帕帕乔治奥[2]，Rus等人[9]彼得鲁塞尔[10]和Rus[11]).

让做一个非空的集合。然后我们表示。

(2.1)

让是一个度量空间。然后和

(2.2)

让是一个多值运算符。然后是操作员，由定义

(2.3)

称为分形算子，由有关分形理论的详细介绍，请参阅巴恩斯利的论文[12]、哈钦森[13]，Yamaguti等人[14].

众所周知，如果是公制空间，并且，则以下陈述成立：

（a） 如果是上半连续的，那么，每;

（b） 的连续性意味着.

的所有非空不变子集的集合表示为也就是说，

(2.4)

连续逼近的序列从开始是一个序列中元素的具有，用于.

如果然后表示的不动点集和表示的严格不动点集.签署人

(2.5)

我们表示多值算子的图.

如果，然后表示的迭代运算符.

定义2.1（参见[15]).

让是一个度量空间。然后，称为多值弱Picard算子（简称MWP算子）和每个存在一个序列在里面这样的话

（i）和;

（ii）为所有人;

（iii）顺序是收敛的，其极限是.

关于以下概念，请参阅Rus等人的论文[15]彼得鲁塞尔[10]，Petruşel和Rus[16]和Rus等人[9].

定义2.2。

让是一个度量空间，让成为MWP操作员。多值运算符由公式定义存在一系列连续的近似值从开始收敛到.

定义2.3。

让是一个度量空间，并且MWP操作员。然后据说是一个-多值弱Picard算子（简略-MWP操作员）当且仅当存在选择时属于这样的话为所有人.

我们现在回顾多值Picard算子的概念。

定义2.4。

让是一个度量空间，并且根据定义，当且仅当

（i）;

（ii）作为，每个.

在[10]给出了关于MWP操作员的其他结果。有关相关概念和结果，请参见，例如[1,17–23].

3.Reich不动点原理理论

我们回顾了单值Reich型算子的不动点定理，这是证明第一个主要结果所必需的。

定理3.1（参见[三]).

让是一个完整的度量空间，并且让成为帝国式的单值-收缩，也就是说，存在具有这样的话

(3.1)

然后是Picard运算符，也就是说，我们有：

（i）;

（ii）每个顺序收敛于到

我们关于Reich不动点定理的主要结果如下。

定理3.2。

让是一个完整的度量空间，并且让成为帝国式多值-收缩。让。然后有以下内容

（i）;

（ii）是一个-多值弱Picard算子；

（iii）出租成为帝国式多值-收缩和这样的话对于每个，然后

（iv）出租()是Reich型多值序列-收缩，这样统一为然后，作为.

此外，如果对于每个，则另一个具有：

• （v） （包裹体的乌拉姆-霍尔斯稳定性)让和是这样的那么就有了这样的话;

（vi）,是一组对一组-收缩和（因此）;

（vii）作为，每个;

（viii）和紧凑；

（ix）对于每个.

证明。

• （i） 让和被任意选择。然后，对于每个任意存在这样的话.因此

  

  (3.2)

因此

(3.3)

表示通过归纳过程，我们得到了从开始这样，对于每个，我们有然后

(3.4)

如果我们选择，然后通过（3.4）我们得到序列Cauchy，因此收敛于给一些人

请注意，通过，我们得到

(3.5)

因此.

• （ii） 让在（3.4）中。那么我们明白了

  

  (3.6)

对于我们得到

(3.7)

然后

(3.8)

让在（3.8）中，则

（3.9）

因此是一个-多值弱Picard算子。

• （iii） 让被任意选择。然后，通过（ii），我们得到了

  

  (3.10)

让做一个武断的人。然后，存在这样的话

（3.11）

以类似的方式，我们可以证明对于每个存在这样的话

(3.12)

因此，（3.11）和（3.12）一起意味着对于每个.让我们得到了期望的结论。

• （iv） 紧接着（iii）。

• （v） 让和是这样的然后，因为紧凑，存在这样的话根据（i）的证明，我们得到了

  

  （3.13）

自，我们明白了.

• （vi） 我们会证明一切那个

  

  (3.14)

为此，让然后让。然后，存在这样的话.由于设置紧凑，存在这样的话

(3.15)

从（3.15）我们可以得到.因此

(3.16)

以类似的方式，我们得到了

（3.17）

因此，（3.16）和（3.17）一起意味着

(3.18)

因此，是帝国式单值-完备度量空间上的收缩根据定理3.1，我们得出

（a）和

（b）作为，每个.

• （vii） 从（vi）-（b）我们可以得到作为，每个.

（viii）-（ix）出租做一个武断的人。然后因此，每个此外，从（vii）中，我们立即了解到.因此。证据完整。

Reich型多值的第二个结果-收缩公式如下。

定理3.3。

让是一个完整的度量空间，并且a Reich型多值-收缩然后，以下断言成立：

• （x） ;

• （十一） （不动点问题相对于[24])如果是中的序列这样的话作为，然后作为;

• （十二） （不动点问题相对于[24])如果是中的序列这样的话作为，然后作为.

证明。

• （x） 让。请注意的确，如果，然后.因此.

现在让我们展示一下。假设然后，.因此.因此.自，我们明白了.

• （十一） 让成为一个序列这样的话作为然后，。那么作为.

• （十二） 后跟（xi），因为作为.

以下情况的第三个结果-收缩如下。

定理3.4。

让是一个完整的度量空间，并且让成为帝国式多值-收缩，从而.然后有一个

（十三）作为，每个;

（十四）对于每个;

（xv）如果是这样一个序列作为和是-那么是连续的作为.

证明。

• （十三） 事实上和定理3.2（vi）结论由定理3.2（vii）得出。

• （十四） 让做一个武断的人。然后，因此另一方面.因此，每个.

• （xv） 让是这样的序列作为.那么，我们有作为。证据完整。

对于紧度量空间，我们得到了以下结果。

定理3.5。

让是一个紧度量空间，并且让成为-连续Reich型多值-收缩。然后

• （十六） 如果是这样的作为，则存在子序列属于这样的话作为关于不动点问题的广义适定性[24,25]).

证明。

• （十六） 让成为一个序列这样的话作为.让是…的子序列这样的话作为。然后，存在，因此作为。那么.因此

  

  (3.19)

作为因此.

备注3.6。

对于我们得到了[4]. 另一方面，我们的结果统一并推广了[12,13,17,26–34]. 请注意，如果操作员是单值的，那么我们得到了在[35].

备注3.7。

一个悬而未决的问题是提出一个关于奇irić型多值压缩定理的理论（参见[36])。有关其他类广义收缩的一些问题，请参见示例[17,21,27,34,37].