有限族严格伪压缩映射公共不动点的松弛复合隐式迭代过程

摘要

我们提出了一个松弛复合隐式迭代过程，用于寻找Banach空间中有限族严格伪压缩映射的近似公共不动点。建立了该过程的几个收敛结果。

1.简介和序言

让成为一个真正的巴拿赫空间，让成为它的双重空间。表示方式归一化对偶映射进入之内由定义

(1.1)

哪里是广义对偶和.如果那么是光滑的在范数拓扑中是单值的和连续的到弱*拓扑.

地图使用域和范围在里面被称为-Browder和Petryshyn术语中的严格伪压缩[1]，如果存在常量这样的话

(1.2)

为所有人以及所有.在不失一般性的情况下，我们可以假设.如果表示恒等运算符，则（1.2）可以写成形式

(1.3)

为所有人以及所有在（1.2）和（1.3）中，正数被称为严格的伪收缩常数。

一些作者已经研究了严格伪压缩映射的类（参见例如[1——10]). 如所示[4]严格伪压缩映射是-利普希茨（即。，对一些人来说)。事实上，从（1.3）可以看出

(1.4)

因此哪里很明显，在Hilbert空间中，重要的一类非扩张映射（映射对于其中)是严格伪压缩映射类的一个子类。

让是的非空凸子集，并让是的非扩张自映射的有限族.英寸[11]Xu和Ori介绍了以下隐式迭代过程；对于任何首字母和，序列生成如下：

（1.5）

该方案以紧凑形式表示为

(1.6)

哪里此外，他们在Hilbert空间中证明了以下收敛定理。

定理1.1([11]).

让成为希尔伯特空间，让是的非空闭凸子集.让是的非扩张自映射这样的话哪里.让，并让成为一个序列，因此然后是序列由（1.6）隐式定义的映射弱收敛到公共不动点.

随后，Osilike[12]将其结果从非扩张映射推广到严格伪压缩映射，并在Hilbert和Banach空间中导出了以下收敛定理。

定理1.2([12])。

让成为一个真正的希尔伯特空间，让是的非空闭凸子集.让是严格伪压缩自映射这样的话，其中.让，并让成为一个序列这样的话然后是序列由（1.6）定义的弱收敛到映射的公共不动点.

定理1.3([12]).

让成为一个真正的巴拿赫空间，让是的非空闭凸子集.让是的严格伪压缩自映射这样的话，其中，并让是满足条件的实数序列：

（i）

（ii）;

（iii）.

让，并让由（1.6）定义。然后

（i）所有人都存在;

（ii）.

让是实Banach空间的非空闭凸子集最近，苏和李[13]为引入了一个新的隐式迭代过程严格伪压缩自映射属于:

(1.7)

也就是说，

(1.8)

哪里和首先，他们建立了以下收敛定理。

定理1.4([13，定理]).

让成为一个真正的巴拿赫空间，让是的非空闭凸子集.让是的严格伪压缩自映射这样的话，其中，并让是满足条件的两个实数序列：

（i）;

（ii）;

（iii）;

（iv），其中是常见的Lipschitz常数.

对于，让由（1.8）定义。然后

（i）所有人都存在;

（ii）.

其次，他们利用定理1.4得出了以下结果。

定理1.5([13，定理]).

让是实Banach空间的非空闭凸子集，让是的半紧严格伪压缩自映射这样的话，其中，并让是满足条件的实数序列：

（i）;

（ii）.

然后针对，序列由Mann迭代过程定义，

(1.9)

强收敛于的不动点.

另一方面，曾和姚[14]引入了一种新的带扰动映射的隐式迭代格式来逼近实Hilbert空间有限族非扩张自映射的公共不动点并建立了该隐式迭代格式的一些收敛定理。更具体地说，让是的非扩张自映射的有限族，并让是一个映射，对于某些常量是一个-利普希茨和-强单调映射。让和取一个固定的数字作者提出了以下带扰动映射的隐式迭代过程.

对于任意初始点，序列生成如下：

(1.10)

该方案以紧凑形式表示为

(1.11)

很明显，如果，则具有扰动映射的隐式迭代方案（1.11）简化为隐式迭代过程（1.6）。

定理1.6([14，定理]).

让成为一个真正的希尔伯特空间，让是一个映射，对于某些常量;是-利普希茨和-非常单调。让是的非扩张自映射这样的话.让，让,，并让满足条件：和，对于一些然后是序列由（1.11）定义的映射弱收敛到公共不动点.

上述定理1.6将定理1.1从隐式迭代过程（1.6）推广到带扰动映射的隐式迭代方案（1.11）。

让成为一个真正的巴拿赫空间，让是的非空凸子集回忆一下映射据说是-如果存在常数，则为强增生这样的话

(1.12)

为所有人以及所有.

提议1.7。

让成为一个真正的巴拿赫空间，让成为映射：

（i） 如果是-那么严格来说是伪收缩是具有常数的Lipschitz映射.

（ii）如果两者都是-严格伪收缩和-与强增生，然后是非扩展性的。

证明。

很容易看出，这句话（i）紧接着是严格伪收缩的定义。现在利用严格伪收缩和强增生的定义，我们得到

(1.13)

自,

(1.14)

因此是非扩张性的。

让成为一个真正的巴拿赫空间，让是的非空凸子集这样的话.让是的严格伪压缩自映射，并让是一个扰动映射，它是-强增生和-严格伪收缩在本文中，我们介绍了一个一般的隐式迭代过程，如下所示：

(1.15)

哪里、和特别是，无论何时不难看出，（1.15）降为（1.8）。

让表示通用Lipschitz常数严格伪压缩自映射属于.自是的非空凸子集这样的话，每个，操作员

(1.16)

地图融入自身。

利用1.7号提案，我们

(1.17)

为所有人因此，强假收缩，如果对于每个.自也是Lipschitz映射，它来自[12,15,16]那个具有唯一的固定点也就是说，对于每个

(1.18)

因此，如果，则可以使用带扰动映射的复合隐式迭代过程（1.15）来逼近严格伪压缩自映射.

本文的目的是通过这个一般的隐式迭代过程（1.15）来研究任意实Banach空间中Browder-Petryshyn的严格伪压缩映射的公共不动点的逼近问题。为此，我们需要以下引理和定义。

引理1.8([8]).

让、和满足不等式的非负实数be序列

(1.19)

如果

(1.20)

然后存在。

例如，可以在中找到以下定义[13].

定义1.9。

让是实Banach空间的闭子集，并让成为一个映射。对于任何有界序列，称为半紧在里面这样的话，必须存在子序列这样的话.

2.主要成果

我们现在能够在本文中证明我们的主要结果。

定理2.1。

让成为一个真正的巴拿赫空间，让是的非空闭凸子集这样的话.让是一个扰动映射，它是-强增生和-严格伪收缩.让是严格伪压缩自映射这样的话，其中，并让、和是三个实数序列满足条件：

（i）;

（ii）;

（iii）;

（iv）;

（v），其中是的通用Lipschitz常数.

对于，让由定义

(2.1)

哪里，然后

（i）所有人都存在;

（ii）.

证明。

首先，由于每个严格伪压缩映射都是一个Lipschitz映射，因此存在一个常量这样的话

（2.2）

它现在已广为人知（例如，请参见[15])那个

(2.3)

为所有人以及所有.接受任意地。从（2.1）可知

(2.4)

利用（2.3），我们得到

(2.5)

自每个，是严格的伪压缩，存在这样的话

(2.6)

因此，利用命题1.7（ii），我们从（2.5）中知道

(2.7)

从（2.1）中，我们还可以得到

(2.8)

自是具有常数的Lipschitz映射，我们有

(2.9)

将（2.8）和（2.9）代入（2.7），我们推断

(2.10)

因此

(2.11)

设置

(2.12)

我们从（2.11）中得出结论：

(2.13)

因此

(2.14)

自

(2.15)

和，我们得到

(2.16)

设置，根据条件（ii）所以一定存在一个自然数这样所有人,

(2.17)

因此，由（2.14）可知

(2.18)

为了考虑（2.18）右侧的第二项，我们将证明有界。事实上，利用（2.8）和（2.9）并简化这些不等式，我们已经

（2.19）

因此

(2.20)

这意味着

(2.21)

现在，我们考虑（2.21）右侧的第二项。自，我们有

(2.22)

自，存在一个自然数这样所有人,

(2.23)

同样，它遵循条件那个

(2.24)

因此，由（2.21）可知

(2.25)

根据条件（ii）-（iv），我们可以很容易地看到

(2.26)

因此，根据引理1.8，我们推断存在，因此有界。

现在，我们考虑（2.18）右侧的第二项。自有界，并且，存在一个常量和一个自然数这样所有人,

(2.27)

因此，从（2.18）可以得出

(2.28)

自有界，存在一个常数这样的话由（2.28）可知

(2.29)

因此

(2.30)

利用条件（ii）–（iv），我们从（2.30）得知

(2.31)

自，我们有

(2.32)

这就完成了定理2.1的证明。

迭代方案（1.15）成为如下显式版本，只要:

(2.33)

在以下情况下，（2.33）是曼恩迭代过程，如下所示：

(2.34)

定理2.1的结论对于迭代过程（2.33）和（2.34）仍然有效。此外，我们得到了以下结果。

定理2.2。

让成为一个真正的巴拿赫空间，让是的非空闭凸子集这样的话.让是一个扰动映射，它是-强增生和-严格伪收缩.让是的半紧严格伪压缩自映射这样的话，其中，并让和是中的两个实数序列满足条件：

（i）;

（ii）;

（iii）.

然后Mann迭代过程（2.34）强烈收敛到.

证明。

自

(2.35)

存在一个子序列属于这样的话

(2.36)

由于，必须存在子序列属于这样的话

(2.37)

由（2.36）可知，因此.自存在，我们有

(2.38)

这就完成了定理2.2的证明。