求解Hilbert空间中无限族非扩张映射的变分不等式问题和不动点问题的一般迭代方法

摘要

我们引入了一个迭代方案来寻找无穷非扩张映射族公共不动点集的公共元素，以及Hilbert空间中一个逆单调映射的变分不等式的解集。在适当的条件下，得到了逼近上述两个集合的公共元素的一些强收敛定理。作为应用，在本文的最后，我们利用我们的结果研究了寻找无穷非扩张映射族不动点集的公共元素和有限映射族不动点集的问题-严格伪压缩映射。本文中的结果改进了Qin和Cho（2008）的一些最新结果。

1.简介

在本文中，我们总是假设是具有内积的实希尔伯特空间和规范分别为，是的非空闭凸子集、和是的公制投影到上面在下面，我们用表示强收敛性和弱收敛。回想一下，映射称为非膨胀，如果

(1.1)

我们用表示的不动点集回忆一下映射据说是

（i） 单调if，对于所有人;

（ii）-如果存在常数，则为Lipschitz这样的话，对于所有人;

（iii）-逆单调[1,2]如果存在正实数这样的话

(1.2)

备注1.1。

很明显，任何-逆单调映射是单调的-Lipschitz连续。

让成为一个映射。经典的变分不等式问题是找到一个这样的话

(1.3)

变分不等式（1.3）的解集表示为变分不等式在文献中得到了广泛的研究；例如[三,4]以及其中的参考文献。

自我映射如果存在常数，则为收缩这样的话

(1.4)

非扩张映射的迭代方法最近被用于解决凸极小化问题；例如，请参见[5——8]以及其中的参考文献。凸极小化问题在几乎所有纯科学和应用科学分支的发展中都有很大的影响。一个典型的问题是最小化不动点集上的二次函数——真实希尔伯特空间上的非扩张映射：

(1.5)

哪里是线性有界算子，是非扩张映射的不动点集、和是中的给定点.让成为一个真正的希尔伯特空间。回想一下线性有界算子如果存在常数，则为强正具有属性

(1.6)

最近，Marino和Xu[9]基于穆达菲提出的粘度近似方法，介绍了以下通用迭代方案[10]:

(1.7)

哪里是上的强正有界线性算子他们证明如果序列参数满足适当条件，则序列由（1.7）生成的解强收敛于变分不等式的唯一解

(1.8)

这是最小化问题的最优性条件

(1.9)

哪里是的势函数（即。，对于).

另一方面，通常使用两个经典迭代过程来近似非扩张映射的不动点。第一个是由Mann介绍的[11]定义如下：

(1.10)

其中序列在间隔中.

第二个迭代过程称为石川迭代过程[12]由递归定义

(1.11)

哪里和是间隔中的序列然而，（1.16）和（1.11）通常只有弱收敛性（参见[13]例如）。最近，秦和赵[14]介绍了一种复合迭代算法定义如下：

(1.12)

哪里是收缩，是非扩展映射，并且是一个强正线性有界自共轭算子，证明了在某些适当的参数假设下，由（1.12）定义的强收敛到，它解决了一些变分不等式，也是最小化问题（1.9）的最优性条件。

另一方面，为了找到，假设集合是非空的、闭的和凸的，映射是非扩展的，是一个映射是-反调单调，高桥和丰田章男[15]引入了以下迭代方案：

(1.13)

哪里是中的序列、和是中的序列。他们证明，如果，然后是序列由（1.13）生成的弱收敛到最近，Iiduka和Takahashi[16]提出另一个迭代方案如下

(1.14)

哪里是一个-逆强单调映射，和满足一些参数控制条件。他们表明如果是非空的，那么序列由（1.14）生成的强收敛于.

许多作者已经考虑了非扩张映射有限族的公共不动点的存在性（参见[17——20]以及其中的参考）。著名的凸可行性问题归结为在非扩张映射族的不动点集的交点上找到一个点（参见[21,22]). 在非扩张映射族的公共不动点集上寻找使给定代价函数最小化的最优点的问题具有广泛的跨学科兴趣和实际意义（参见[18,23]). 非扩张映射族公共不动点集上二次函数极小化问题的简单算法解决方案在许多应用中都具有极值，包括集合论信号估计（参见[23,24]).

在本文中，我们研究了映射由定义

(1.15)

哪里是一个非负实数序列，对于所有人,，形成的无限非扩张映射族融入自身。每种材料的非膨胀性确保。这样是非扩展的到它被称为-映射生成者和.

本文受Su等人的启发和启发[25]、马里诺和徐[9]、高桥和丰田章男[15]还有Iiduka和Takahashi[16]，我们将引入一个新的迭代方案：

(1.16)

哪里是由（1.15）定义的映射，是收缩，是强正线性有界自共轭算子，是一个-逆强单调，我们证明了在某些适当的序列假设下,,、和，序列由（1.16）定义的强收敛于以及逆强单调映射的变分不等式的解集，它解决了一些变分不等式，也是最小化问题（1.9）的最优性条件。

2.准备工作

让成为一个真正的希尔伯特空间。众所周知，对于任何

(2.1)

让是的非空闭凸子集.对于每一点，中存在唯一的最近点，表示为，因此

(2.2)

称为公制投影到上面众所周知是的非扩展映射到上面并满足

(2.3)

对于每个此外，具有以下特性：和

(2.4)

为所有人不难看出，以下是正确的：

(2.5)

巴纳赫空间据说满足Opial条件，如果对于每个序列在里面弱收敛到一点我们有

（2.6）

众所周知，每个希尔伯特空间都满足Opial条件。

集值映射被称为单调,和意味着.单调映射是最大的，如果属于不正确地包含在任何其他单调映射的图中。众所周知，单调映射是最大的当且仅当,对于每个暗示.让是…的单调映射进入之内然后让是正常的圆锥体在也就是说，并定义

(2.7)

然后是最大单调的并且当且仅当; 参见[26].

现在我们收集了一些有用的引理来证明本文的收敛结果。

引理2.1。

在希尔伯特空间。那么以下不等式成立

(2.8)

引理2.2（参见[27]).

让和Banach空间中的有界序列然后让成为一个序列具有假设对于所有整数和然后，

引理2.3（参见[28]).

假设是一个非负实数序列，如下所示

(2.9)

哪里是中的序列和是中的序列这样的话

(1)

(2)或

然后

引理2.4（参见[9]).

假设是Hilbert空间上的强正线性有界自共轭算子带系数和.然后.

在本文中，我们假设，对于所有人.关于由（1.15）定义，我们有以下引理，这些引理对证明我们的主要结果很重要。

引理2.5（参见[29]).

让是Hilbert空间的非空闭凸子集，让是无穷非扩张映射族，并让是一个真实的序列，这样，对于所有人.然后

(1)是非扩展的，并且对于每个;

（2） 对于每个对于每个正整数，限制存在；

（3） 映射定义依据

(2.10)

是满足要求的非扩张映射它被称为-映射生成者和

引理2.6（参见[30]).

让是Hilbert空间的非空闭凸子集，让是一类无限非扩张映射，并让是一个真实的序列，对于所有人.如果是的任何有界子集，然后

(2.11)

3.主要成果

现在我们可以陈述并证明本文的主要结果。

定理3.1。

让是实Hilbert空间的闭凸子集，让是…的缩写进入自身，让成为-逆强单调映射进入之内，并让是一类无限非扩张映射.让是系数为的强正线性有界自共轭算子这样的话.假设.让,,、和在中包含序列满足以下条件：

（C1）

（C2）

（C3）

（C4）

（C5）.

然后是序列由（1.16）定义的强收敛于，其中它解决了以下变分不等式：

(3.1)

证明。

自作为根据条件（C1），我们可以假定，在不失一般性的情况下为所有人首先，我们将展示是非扩展性的。的确，对所有人来说和,

（3.2）

这意味着是非扩展性的。注意到了是线性有界自共轭算子

(3.3)

观察到这一点

我们获得是积极的。由此可见

接下来，我们观察到有界。事实上，pick并注意到

(3.4)

由此可见

(3.5)

通过简单的归纳，我们得到

(3.6)

这就是顺序是有界的，也是有界的和.

接下来，我们声称

(3.7)

自和是非扩张性的，我们有

(3.8)

哪里是一个常数，因此同样，也存在这样的话.

观察到这一点

(3.9)

我们得到了

(3.10)

由此可见

(3.11)

注意到了

(3.12)

我们获得

(3.13)

由此可见

(3.14)

将（3.11）替换为（3.14），我们得到

(3.15)

哪里是一个适当的常数，以便

(3.16)

放，我们得到，.

现在，我们计算.观察

(3.17)

由（3.15）可知

（3.18）

由此可见

(3.19)

观察条件（C1）和（C4），并将上限作为，我们得到

(3.20)

我们可以获得很容易通过引理2.2，因为

(3.21)

我们得出（3.7）成立。设置，我们有

(3.22)

观察到这一点

(3.23)

我们到达

(3.24)

这意味着

(3.25)

从（3.7）和（C1）我们可以得到

(3.26)

接下来，我们将展示作为对于任何请注意

(3.27)

哪里

(3.28)

这意味着

(3.29)

自从（3.7）中，我们得到

(3.30)

从（2.3）中，我们得到

(3.31)

因此，我们得到

(3.32)

由此可见

(3.33)

这意味着

(3.34)

应用（3.7）、（3.30）和对于最后一个不等式，我们得到

(3.35)

由（3.26）和（3.35）可知

(3.36)

另一方面，其中一个

(3.37)

这意味着

（3.38）

根据条件（C3），可以得出以下结论

(3.39)

应用引理2.6和（3.39），我们得到

(3.40)

由（3.26）和（3.40）可知

(3.41)

我们观察到是一种收缩。的确，对所有人来说，我们有

（3.42）

巴纳赫的收缩映射原理保证了有一个独特的固定点也就是说，.

接下来，我们声称

(3.43)

事实上，我们选择了一个子序列属于这样的话

(3.44)

自有界，则存在子序列属于弱收敛到.在不失一般性的情况下，我们可以假设.来自我们获得因此，我们有

(3.45)

接下来我们要证明.

首先，我们证明.

假设相反，也就是说，.自根据Opial的情况和（3.41），我们有

(3.46)

这是一个矛盾，表明.

接下来，我们证明为此，让是由（2.7）定义的最大单调映射：

(3.47)

对于任何给定的，因此.自我们有

(3.48)

另一方面，来自，我们有

(3.49)

也就是说，

(3.50)

因此，我们obtian

(3.51)

注意到作为和Lipschitz是连续的，因此从（3.18）可以得到

(3.52)

自是最大单调的，我们有，因此.

结论已被证明。

因此，通过（3.45），我们得到

(3.53)

自，由（3.39）、（3.41）和（3.53）可知

(3.54)

因此（3.43）成立。使用（3.26）和（3.54），我们有

(3.55)

现在，从引理2.1可以看出

(3.56)

自,、和有界，我们可以取一个常数这样的话

(3.57)

为所有人。接下来是

(3.58)

哪里

(3.59)

使用（C1）、（3.54）和（3.55），我们得到现在将引理2.3应用于（3.58），我们得出结论这就完成了证明。

备注3.2。

定理3.1主要改进了Qin和Cho的结果[14]从单个非扩张映射到无限族非扩张映射。

4.应用

在本节中，我们通过使用所提方法的一个特例获得了两个结果。

定理4.1。

让做一个真正的希尔伯特空间成为-上的逆强单调映射，让是一类无限非扩张映射.让有系数的收缩，并让是上的强正有界线性算子带系数和.假设序列,、和由生成

(4.1)

哪里,,、和序列在中吗满足以下条件：

（C1）

（C2）

（C3）

（C4）

（C5）.

然后,、和强烈收敛于它解决了变分不等式：

(4.2)

证明。

我们有和应用定理3.1，我们得到了期望的结果。

接下来，我们将把主要结果应用于寻找无穷非扩张映射族的不动点集和-严格伪压缩映射。

定义4.2。

A映射据说是一个-如果存在严格伪压缩映射这样的话

(4.3)

以下引理可以从[31Acedo和Xu提出的2.6]命题。

引理4.3。

让成为希尔伯特空间是的闭凸子集。对于任何整数，假设每个是一个-一些严格伪压缩映射.假设是一个正序列，因此.然后是一个-严格伪压缩映射.

引理4.4。

让和如引理4.3所示。假设在中有一个公共固定点.然后.

让成为-一些严格伪压缩映射。我们定义映射，其中是一个正序列，因此，然后是一个-逆单调映射事实上，根据引理4.3，我们有

(4.4)

那就是，

(4.5)

另一方面

(4.6)

因此，我们

(4.7)

这表明是-反调单调。

定理4.5。

让是实Hilbert空间的闭凸子集。对于任何整数，假设每个是一个-一些严格伪压缩映射.让是一类无限非扩张映射.让系数收缩然后让是具有系数的强正有界线性算子和.让序列,、和由生成

(4.8)

哪里,,、和序列在吗满足以下条件：

（C1）

（C2）

（C3）

（C4）

（C5）

然后,、和强烈收敛于它解决了变分不等式：

(4.9)

证明。

拿，我们知道是-逆强单调因此，是单调的-Lipschitz连续映射从引理4.4，我们知道是一个-严格伪压缩映射然后作者：Chang[30，建议1.3.5]。请注意

(4.10)

定理4.5的结论可以从定理3.1得到。

备注4.6。

定理4.5是秦和赵定理的推广和改进[14]Iiduka和Takahashi[16，Thorem 3.1]，以及高桥和丰田章男[15].