赤平投影确定了两个球体之间的双投影，减去北极和南极的切面。这种对应导致了一个幺正对应的空格。这张图反过来导致了平面和球面上的连续小波变换形式。更准确地说，任何平面子波都可以通过逆赤平投影提升为球面上的子波。在这项工作中，我们将此过程应用于平面，得到球面上连续的局部支持正交小波基。作为应用程序，我们给出了三个示例。在前两个示例中，我们执行了一个奇点检测，包括其他现有球面小波基构造失败的检测。在第三个例子，我们通过比较我们的建设，说明了当地支持的重要性一种是基于球谐函数核的。
1.简介
在基于多分辨率分析概念的离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）这两种并行方法下，二维小波目前已成为图像处理的标准工具。虽然前者通常会产生小波基或框架，但为了数值实现，CWT必须离散化，并且通常只产生框架[1,2].
如今，许多情况产生了关于球形的曲面或闭合球形表面也就是说，通过平滑变形从球体上获得的表面，例如在地球和空间科学（地理学、大地测量学、气象学、天文学、宇宙学等）、结晶学（晶体的纹理分析）、医学（一些器官被视为球状表面）中，或者在计算机图形学中（将闭合曲面建模为球体上定义的函数的图形）。因此，人们需要一个合适的分析工具来分析这些数据。在平面情况下，傅里叶变换是一种标准工具，但它相当于球面谐波的扩展，其支持是整个球面。因此，对球体的傅里叶分析是全局的，而且很繁琐。因此，人们提出了许多不同的方法来用某种小波分析代替傅里叶分析。
此外，一些数据可能存在于更复杂的流形上，例如两片双曲面例如，在宇宙学中（宇宙的开放膨胀模型），或抛物面在光学中，这种流形上的数据对于通过折反射程序（例如，在机器人视觉中）处理全向图像至关重要。最后一个主题与工程目的特别相关，因为它在导航、监视和可视化方面有许多应用。在折反射图像处理中，传感器会俯视反射镜，反射镜的形状可以是球面、双曲线或抛物线。然而，与其将镜子中的数据投影到平面上，还不如直接在镜子上处理它们，因此需要在这种流形上使用小波[三]. 在这三种形状中，抛物线形是最常见的（想想汽车的前灯）。现在，这个案例让我们回到了本文的主题。事实上，它已经在[4]抛物面镜的正投影（即垂直投影）的重建可以计算为从像平面到单位球面的逆赤平投影，这正是我们在后续的球面上设计小波的工具。
为了对信号或图像（包括球体上的信号或图像）进行有效的小波分析，需要以下属性（有关此主题的详细讨论，请参阅[5]).
（i）依据。框架的冗余导致不均匀扩展。此外，球形框架的现有结构（参见例如[6,7])计算量很大，通常只适用于带限函数。特别是，对于大型数据集的压缩，必须使用小波基，而不是帧。（ii）正交性这是最经济的方法，因为它可以生成正交重建矩阵。例如，在数据压缩中，需要对这些矩阵进行反演，这种反演是微不足道的（逆矩阵等于伴随矩阵）。因此，正交基是压缩的理想选择，但这并不总是足够的：在大数据集的情况下，仍然需要稀疏的重建矩阵。我们还应该提到，小波基的正交性可以通过Gram-Schmidt过程轻松实现，但支持向量的局部性通常会丢失。（iii）本地支持。小波具有本地支持如果它在一个小区域外同样消失。它是本地化的如果它在一个小区域外可以忽略不计，那么它可能有（小但非零）“尾巴”。由于这些尾巴可能会在数据近似过程中扩散，并破坏其良好的局部化特性，因此绝对首选局部支持（参见图中的示例4). 更重要的是，在处理大型数据集时，本地支持至关重要，因为它会生成稀疏矩阵。（iv）连续性、平滑度这些属性在近似中总是可取的，但不容易实现。文献中有许多结构至少满足上述一个特性，因此我们必须限制自己，只提到其中的一部分。在[8——11]，通过不同的方法获得光滑的小波基。除了平滑外，在[11]获得当地支持。正交、光滑和局部化（但不受局部支持）小波是在[12]. 在[13——15]利用径向投影，可以得到连续的、半正交的、局部支持的小波基，也可以得到分段常数正交的局部支持小波基。
然而，到目前为止，这些方法都没有在球面上产生小波基同时连续（或更平滑）、正交和局部支持。本论文的目的正是为了填补这一空白。我们提出的方法是通过逆赤平投影将小波从切平面提升到球面。它同时产生平滑度、正交性、局部支持度和消失力矩。缺点是它可能会导致北极周围的扭曲当然，从数学上讲，这里给出的结构适用于尖球体（因此我们必须避免北极周围的数据)，但实际上这种情况是无害的。事实上，我们可以选择在没有相关数据的地区。举一个例子，欧洲气候学家通常将其球面网格的北极置于太平洋中部。实际上，大多数球面数据是在极坐标系中给出的，不包含极点的信息。
为了总结我们的工作，我们的目标是检测和量化地方的数据奇点，at小的规模。从实际角度来看，这是小波分析的主要目的。我们将在第节回到这一点5.
2.前期工作
我们考虑单位球和尖头球体，使用参数化
让表示从北极的赤平投影然后让,定义为
分别是。之间的关系和是相反，
然后很容易证明以下关系，的面积元素、和，的面积元素以下为：
为了简单起见，我们写，自设置以来测量值为零）和.然后我们考虑地图由赤平投影引起，即，
和它的逆
众所周知是一个酉映射，因此
或者，同等地，
为所有人最后一个等式允许我们构造正交基从中的正交基开始更准确地说，我们将使用以下事实：是正交的，然后是函数和将正交于.
3.多分辨率分析（MRA）和小波基
为了固定我们的符号，我们将在本节中简要回顾平面情况下二维正交小波基的标准构造，从多分辨率分析（MRA）开始[1].
让成为具有性质的正则矩阵
（a），这相当于具有整数条目，（b）也就是说模量大于1。多分辨率分析关联到是闭合子空间的递增序列具有和，并满足以下条件：
(1)(2)存在一个函数这样的设置是的正交基.因此，是的正交基
对于每个，让我们定义空间作为的正交补码进入之内也就是说，二维小波是那些跨越.可以证明（参见[16])存在小波生成的正交基因此，是的正交基对于每个、和是的正交基
张量积小波是一种特殊的情况，对应于膨胀矩阵以及具有尺度函数和母小波的一维MRA在这种情况下，一个得到2D缩放函数和三个小波
如果一维函数和有紧密的支撑，很明显也有和这是众所周知的Daubechies小波的情况数据库我们将在续集中使用。
4.多分辨率分析和正交小波基
多分辨率分析和小波基的构造基于等式(2.10). 到每个功能，可以关联函数作为
特别是，如果函数是正交的，也是
然后，采取和，我们得到了球函数
对于我们定义了空间作为
使用(2.10)和地图的统一性，立即是的闭子空间因此是一个希尔伯特空间。此外，这些空间具有以下属性：
(1),(2)和,(3)成套设备是的正交基我们可以说具有上述属性构成多分辨率分析属于不同于中的结构[13]、功能这里考虑的是同一函数的缩放版本此外，在条件（3）中，我们得到了小波基的真正正交性，而不是在[13].
备注4.1。应该注意，在这里定义的球形MRA中，比例参数覆盖整个，而在通常的结构中,仅从0运行到这是由于赤平投影，它删除了一个极点，因此有效地是非紧的，因此现在允许任意膨胀（然而，请参阅第节5).
一旦确定了多分辨率分析，我们就构造小波空间以通常的方式。让表示粗空间的正交补在美好的空间里以便
每个人都可以很容易地证明,是一个正交基因此是的正交基.
分析结论可总结如下。
（i）如果具有紧凑的支持，然后有本地支持在（确实直径作为).（ii）安标准正交二维小波基导致正交法线球面小波基。（iii）平滑二维小波导致光滑的球面小波。（iv）特别是，平面张量积Daubechies小波导致局部支持小波和正交小波平面张量积Haar小波也是如此。（v）球面情况下所需的分解和重建矩阵与平面2D情况下相同，因此后者可以使用（与现有工具箱一起）。关系链接的面积元素和，共这意味着，在平面原点附近，对应于南极点，球面上和平面上的面积几乎相同，但在北极附近，面积比接近无穷大。在标准情况下，平面正交小波基的元素在整个平面上都具有相同大小的支撑。但是，这里获得的相应球面小波，当它们位于北极附近时，其支持度几乎消失，而北极与平面上远离原点的区域相对应。当整个球体上的信息几乎一致时，这显然会导致分析和数值问题，这里我们看到了我们的方法的局限性。正如我们在本节末尾所述1，我们必须避免北极周围的数据。更准确地说，我们的方法适用于除球冠外的整个球体。的值实际上可能取决于数据的类型。
我们强调，在实践中，小波变换主要用于地方的分析。因此，我们并不认为我们的方法对于所有类型的应用程序都是最佳的。实际上，正如我们在第节中提到的，球面小波的构造是不完美的1然而，我们声称，当处理大量数据时，我们的方法比大多数其他方法更有效，在所有必须进行分解和重建的应用中，这意味着要反转一个大矩阵。在Daubechies小波的情况下，该矩阵变得正交且稀疏。这里我们看到了能够使用Daubechies小波而不是其他2D小波的优点。
我们可以更精确地了解纬度效应，即极限值的选择.当我们将立体投影到平面上时球形数据位于球形帽外投影数据将位于正方形内，其中在张量积小波的情况下，平面网格具有维度并被视为
在这里是这样的也就是说，表1给出了平面网格的大小和（以及分解算法中使用的矩阵）的不同值例如，在下面的前两个示例中，我们将使用这些值和这样可以得到大小合理的矩阵，但效果良好。
6.示例
为了说明我们构造的优点，我们给出了三个示例。
在第一个例子中，我们取函数哪里
功能它的梯度是连续的，但关于在纬圈上有不连续性（见图1（a）). 正确检测这样的不连续性需要一个至少具有两个消失矩的小波，因此第节中提到的离散小波的现有构造都不存在1可以检测到这种不连续性。
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
（h）
（i）因此，遵循[6,17]，我们采用球面小波的离散化球面CWT，定义如下(4.1)，与平面小波相关
平面小波(6.2)具有高达3阶的消失矩（这里，具有较少消失矩的简单小波无法检测不连续性）。为了比较这两种方法，我们在图1功能分析对于三个不同的值（a）; （d）; （g）第二列在面板（b）、（e）、（h）中显示了与Daubechies小波相关的球面小波的分析结果数据库3.最后，面板（c）、（f）和（i）上的第三列对小波离散CWT方法的分析也进行了同样的操作.
比较第二列和第三列，可以清楚地看出Daubechies小波数据库3通过(4.1)优于小波上述内容。从检测到的奇异曲线在所有三个纬度上的宽度都较窄的意义上说，精度要好得多。使用这两种方法，在非常接近北极的地方检测仍然是有效的，但使用提升的数据库3然后，小波需要考虑大维矩阵，如表所示1.
第三列建议通过选择较小的尺度来提高CWT方法的分辨率。为了测试这种效果，我们在图中显示2功能的系统分析用小波离散CWT方法面板（a）、（b）、（c）和（d）以越来越小的比例呈现球形CWT，和分别是。离散化网格是指[6]. 从面板（a）-（c）可以看出，沿赤道的不连续性被正确检测到，精度随着刻度的减小而增加。然而，有一个限制：当刻度如下所示，不再检测到奇异性。例如，对于（见面板（d）），小波变得太窄，“落在”离散化点之间，出现“波纹”[17]. 同样，球形Daubechies小波表现得更好。
下一个要研究的问题是，对于一个在围绕北极旋转时不再保持不变的信号，其纬度可能会发生畸变-轴。因此，在第二个示例中，我们使用函数
然后，从中获取的函数通过绕轴旋转以一个角度。我们将张量积Haar小波变换应用于，用于让我们分两步进行。首先，在相切平面（计算小波变换的位置）很好地检测到不连续性，如图所示3（a）由于赤平投影的共形特征，它确实是一个强度均匀的圆。然而，当它被抬回到球体上时，会出现一些伪影，如图所示3（b）也就是说，与远离北极的部分相比，靠近北极的不连续部分不太明显，并且存在一些间隙。这是由于不可避免的事实，即平面和球体上的网格从不匹配，反向投影不保留面积，因此在提升过程中会丢失一些点。
另一方面，用离散化球面CWT在尽可能小的尺度上分析同一函数，没有显示这种效果，如图所示3（c）但在这里，奇异性是由离散小波变换以更好的精度检测的。注意，在CWT情况下，可以使用具有较少消失矩的更简单的平面小波，但结果是相同的。还可以尝试分析从通过绕轴旋转，但我们预计与当前示例不会有太大差异。
在第三个例子中，我们考虑了来自晶体纹理分析的数据集；参见图4（b）。它包括对球体的测量，其主要特征是球体上的值是恒定的，除了一些峰值。图4（c）显示了使用构造于[7]，已本地化，但不受本地支持。图中给出了这种内核的示例4（a）.图4（d）显示了使用与数据库2.我们可以很容易地看到，我们的小波在逼近给定数据集方面更有效，而且算法比球面谐波的算法快得多。
7.结论
我们提出了一种构造球面小波的新方法。与大多数现有方法相比，它的优点是可以生成局部支持的正交基，这在面对非常大的数据集时至关重要。要付出的代价是，人们必须避开北极周围的一个小区域，该区域的大小可能取决于数据。在该区域内，可能会发生严重的扭曲。然而，上面给出的示例表明，这个“禁止”区域可能非常小：尽管我们使用了或，可以选择更高的值而不会造成损坏。因此，我们认为这一限制并不妨碍将该方法应用于实际情况。在任何情况下，如果数据足够本地化，人们总是可以进行旋转，使其围绕南极，正如我们在引言中已经提到的那样。毕竟，人们应该记住，小波分析主要是一种地方的分析。
我们还可以提到，通过选择合适的平面小波，本文描述的方法可以检测任意高阶的奇异点。相比之下，其他现有的球面小波没有足够的消失矩，因此无法检测此类不连续性。
最后，我们可以指出，该方法适用于任何在固定平面上具有双向正交投影的流形，因为后者在各自的流形之间诱导了一个酉映射空格。例如，这是两片双曲面的上片投影到平面上或抛物面使用相同的投影（此外，我们在第节中看到1后一种情况也可以通过球面赤平投影来处理）。它也可以扩展到更一般流形的局部分析。在我们最近的工作中可以找到系统的讨论[18].
确认
作者感谢其中一位评委，他们的建设性批评大大提高了论文的可读性。
