无Bochner积分的非扩张半群的强收敛定理

摘要

我们通过Takahashi等人（2007）引入的新迭代方法证明了一个收敛定理。我们的结果没有使用Bochner积分，因此与Takahashi等人的结果不同。我们还修正了He和Chen（2007）最近证明的强收敛定理。

1.简介

让具有内积的实希尔伯特空间和规范.让是来自子集的映射族属于融入自身。我们称其为上的非扩张半群如果满足以下条件：

• (1) 为所有人;

• (2) 为所有人;

• (3) 对于每个映射是连续的；

• (4) 为所有人和.

受到铃木成绩的激励[1]和Nakajo-Takahashi的结果[2]、何和陈[三]最近在数学规划中用混合方法证明了Hilbert空间中非扩张半群的一个强收敛定理。然而，他们对主要结果的证明([三，定理2.3]）是非常值得怀疑的。事实上，子序列的存在这样（2.16）[三]也就是说，

(1.1)

需要精确证明。因此，本文的目的是修正He-Chen的结果，并利用Takahashi等人最近介绍的方法给出一个新的结果。

我们需要铃木证明的以下引理[4，引理1]。

引理1.1。

让成为一个真实的序列，让是一个实数。假设以下任一条件成立：

• （i） ，或

• （ii） .

然后是的群集点此外，对于,，存在这样的话对于每个整数具有.

2.结果

2.1. 收缩投影法

以下方法由Takahashi等人在[5]. 我们使用此方法来近似不含Bochner积分的非扩张半群的公共不动点，如[5，定理4.4]。

定理2.1。

让是实Hilbert空间的闭凸子集.让是上的非扩张半群具有非空公共不动点也就是说，。假设是由以下方案迭代生成的序列：

(2.1)

哪里,,、和.然后

证明。

众所周知是封闭和凸的。我们首先证明了迭代格式的定义。看看每个是非空的，这足以表明.通过归纳法进行证明。显然，。假设然后，对于,

(2.2)

那就是，根据需要。

请注意

(2.3)

是凸的，因为

(2.4)

这意味着每个子集是凸的。很明显已关闭。因此，第一个主张得到了证明。

接下来，我们证明有界。作为,

(2.5)

特别是，对于为所有人，序列是有界的，因此也是.

接下来，我们展示一下是一个柯西序列。作为和,

(2.6)

此外，由于序列有界，

(2.7)

请注意

(2.8)

特别是，因为为所有人,

(2.9)

然后，它是由那个是一个柯西序列。事实上，对于，存在一个自然数这样，对所有人来说,

(2.10)

哪里特别是，如果和，然后

(2.11)

此外，

(2.12)

我们现在假设对一些人来说。从现在起为所有人和,

(2.13)

最后一个收敛点来自（2.12）。我们选择一个序列正实数的

(2.14)

我们现在展示如何构造这样一个特殊的子序列。首先我们修复这样的话

(2.15)

从（2.13），存在这样的话为所有人.根据引理1.1，是的群集点特别是这样的话。接下来，我们选择这样的话为所有人再次通过引理1.1，是的群集点这意味着存在这样的话继续这样，我们得到了一个子序列属于令人满意的

(2.16)

因此，满足（2.14）。

我们接下来会展示。为了看到这一点，我们修复,

(2.17)

作为（2.14），我们有等等.

最后，我们证明.自和,

(2.18)

但是; 我们有

(2.19)

因此根据需要。这就完成了证明。

2.2. 混合方法

我们考虑使用混合方法（一些作者称之为CQ方法）进行迭代方案计算。He和Chen证明了以下结果[三]. 然而，证据的重要部分似乎被忽视了。这里我们给出了在参数的一些附加限制下的修正.

定理2.2。

让是实Hilbert空间的闭凸子集.让是上的非扩张半群具有非空公共不动点也就是说，。假设是由以下方案迭代生成的序列：

(2.20)

哪里,,、和.然后.

证明。

为了清晰起见，我们给出了整个草图的证明，即使证明的某些部分与[三]. 为了确保方案得到了很好的定义，只需表明和是封闭和凸的，并且为所有人从定义中很容易得出以下结论：和只是…的交叉点和半空间，

(2.21)

与前面定理的证明一样，我们有为所有人显然，。假设对一些人来说，我们有特别是，也就是说，根据归纳法为所有人这证明了这一说法。

我们接下来会展示为了看到这一点，我们首先证明

(2.22)

作为和,

(2.23)

对于固定。它源自为所有人那个

(2.24)

这意味着序列有界且

(2.25)

请注意

(2.26)

这意味着

(2.27)

然后根据那个因此

(2.28)

如定理2.1所示，我们可以选择子序列属于这样的话

(2.29)

因此，对于任何,

(2.30)

这意味着

(2.31)

根据Opial的情况，我们有为所有人也就是说，接下来，我们观察到

(2.32)

这意味着

(2.33)

因此，

(2.34)

因此，整个序列必须收敛到，根据需要。