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Crane：功能性、可折叠和可制造折纸产品的集成计算设计平台

作者:

文章编号：52页1-29

https://doi.org/10.1145/3576856

出版:2023年9月11日出版历史

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摘要

尽管最近人机交互（HCI）和数字制造领域出现了计算折纸的趋势，但设计师仍然很难利用计算折纸理论完成一系列对象的设计、模拟和制造。在本文中，我们提出了Crane，一个用Grasshopper实现的集成折纸设计平台。利用该平台，用户可以无缝地（1）设计2D和3D折痕图案，（2）模拟给定折痕图案的3D折叠转换，（3）在设计约束下反向找到新图案，（4）将2D图案加厚为3D体积，并为不同的制造方法提供合适的铰链结构，以及（5）可以选择将结果设计连接到其他犀牛或蚱蜢插件以进行后期处理。为了帮助理解如何使用我们的系统并证明其可行性，我们展示了三个使用我们系统设计的折纸产品的示例。我们还报告了研讨会的用户反馈作为评估。

1引言

折纸是一种在工业和学术领域实现机械功能结构的技术，例如：三浦折叠[34,35]卫星太阳能电池板可以在展开状态和紧凑折叠状态之间持续发展；吉村图案（也称为钻石图案）[57]可以提高饮料罐的硬度；医用支架的水桶图案[30]; 和被称为细胞材料的镶嵌功能结构[10]或机械超材料[31]. 在其他情况下，折纸术的转变正在机器人和数字制造领域引起最近的关注，如自动折叠[16]或4D打印[52]以2D表的形式分发或打印材料，然后通过刺激将其激活为3D结构。因此，在我们周围产品的设计和制造过程中使折纸机制民主化被认为是一个重要问题。

然而，对设计师来说，计算设计和制造折纸图案的产品仍然非常困难，因为这样的设计过程需要同时考虑不同的设计要求：即（1）功能产品（例如，适当的形状、比例和对称性），（2）可折叠性基于折纸几何（例如，可展性、平面可折叠性和刚性可折叠性，我们将在本文后面进行解释），以及（3）可制造性最终产品的厚度（例如，根据不同类型的制造工具，合适的铰链设计可以适应所用材料的厚度）。例如，当设计师仅考虑产品的功能,可折叠性和可制造性很容易丢失。因此，设计过程需要产品设计、计算折纸和制造方面的专业知识；即使对于具有此类技能的设计师来说，迭代改变形状和解决不同设计需求的过程也需要大量的努力。

在本文中，我们提出了Crane，这是一个集成平台，设计者可以在其中设计和制造基于折纸的产品功能性的,可折叠的、和可制造的产品概述如图所示1我们平台的核心部分是作为一个基于约束的系统提供的，设计者可以通过该系统交互式地探索结构的变化，并隐式地实现其设计要求，使新手用户能够设计基于折纸的产品，并帮助具有知识的设计师显著加快设计迭代。为了演示我们的系统，我们准备了用我们的系统设计和实现的三个折纸产品示例（桌子、灯罩和口罩）。我们还通过初步的用户研究和计算速度测量对我们的系统进行了评估。

我们的主要贡献如下：

(1)

实现无缝集成平台，用于设计和制造具有折纸结构的产品。

(2)

该可扩展系统作为几何约束组件的集合提供，供用户构建自己的新约束以实现其目标。

(3)

通过三个示例产品，我们演示了如何使用我们平台中实现的不同方法解决折纸产品中的实际设计问题。

(4)

来自车间的用户反馈以及对我们系统计算速度的讨论。

2相关工程

2.1 HCI和产品设计中的折纸

折纸结构已应用于HCI和数字制造领域的研究项目，用于多种目的。例如，激光折纸通过选择性加热扁平塑料板并用激光切割机弯曲铰链，实现了3D物体的快速原型制作[36]. An等人提出了一种自折叠方法，通过利用聚合物的残余应力将挤出的热塑性2D板材加热为预先设计的3D结构，以实现更快的制造和更小的存储[4,5]. 弹出式打印[37]三维打印对象处于折叠状态，然后展开，以便快速制作、减少支撑材料消耗和更好的存储。此外，还有几个其他项目将折纸结构用于交互式动画对象[38,39,42,45]，易于制造的3D电子设备[56]和可定制的触觉按钮[9].

此外，折纸结构可以在不同规模和用途的多种产品中看到。历史上，类似折纸的镶嵌几何结构被用来在织物上制作美丽的褶皱和烟熏图案[54]. 我们还观察到许多可折叠或折纸灵感产品，如可折叠包、可折叠杯子和折纸灵感椅子[12]. 最重要的是，自20世纪70年代以来，工业设计师开始将几种著名的折纸图案应用于他们的设计中，直到现在，这些图案在数学和力学领域都得到了深入的分析。最著名的例子是Ron Resch模式[43]、三浦褶皱[34,35]和水桶图案（在[18])，所有这些都是可开发的和可刚性折叠的（在后面的部分中解释），因此易于使用。这些著名的折纸图案在美学和功能上都被运用于折纸灵感灯罩、蒸汽拉伸服装的设计中[24]由ISSEY MIYAKE创作，阿联酋Al Bahr Towers的建筑立面，等等。

图1。

然而，由于难以设计出符合适当要求的全新折纸结构，上述几乎所有示例都局限于相对简单的折痕图案，这些折痕图案通常没有内部顶点，或者只使用著名的折叠图案功能,可折叠性、和可制造性同时。为了让用户（包括新手）能够轻松地设计和制造折纸结构，我们的动机是构建一个设计、模拟和制造的集成界面，该界面可以同时考虑折纸理论和实际使用。

2.2折纸设计软件

在过去的几十年里，人们开发了各种折纸计算软件系统来设计3D折纸结构。建设性方法启用折纸设计的参数化系列；例如，ORI-REVO[33]从给定的截面曲线构造旋转对称折纸，以参数化折纸艺术家的某种著名设计。可以从空间多边形曲线构造几种刚性折叠折纸[49]或从参数化横截面族[17]. 通过这些构造方法获得的设计受到假定对称性的强烈限制。特别是，不可能获得所需的3D形状。

另一方面基于优化的方法提出了解决在特定约束条件下从给定三维形状获取折纸图案的反问题。折纸机[48]创建从平面纸折叠的任意多面体曲面。其他方法使用折纸细分逼近任意曲面，同时解决细分的可展性，并通过优化方法将其拟合到目标曲面[14,19,51,58].

在这些基于优化的方法中，自由折纸[46]通过关注优化中的约束，进一步实现交互；该系统使设计者能够在可折叠性通过动态隐式求解约束。然而，该系统缺乏产品设计所必需的其他几何约束，例如OnGeometry上和对称我们在第节中描述的约束5.2.

总的来说，这些基于优化和基于约束的方案的有效性仍然太有限，无法用于实际的产品设计，因为实际的设计问题是邪恶的在设计过程的迭代过程中，设计需求可能会发生巨大变化。因此，高度需要可扩展性，允许设计者动态定制自己的约束集。

我们提供了一个在基于节点的编程环境中实现的基于约束的交互式设计系统蚱蜢。我们通过将设计要求实现为几何约束的集合来实现可扩展性，每个几何约束都作为一个节点提供。我们借鉴了袋鼠的设计理念[40]，其中约束或目标对象作为连接到解算器的节点实现。

最后，值得注意的是，用户可用的现有系统都没有考虑制造材料的厚度（除了非常薄和理想的材料，如纸张）或由外部插件支持的后处理（例如，力学和建筑中使用的结构分析插件）。我们在Grasshopper上的实现还有另一个优点，即在模拟和成型后无缝连接这些后处理。

3系统概述

3.1目标用户

作为目标用户，我们假设计算折纸的专家和新手都是，他们主要从事产品设计、建筑、制造和数学领域，并渴望将计算折纸知识应用于这些领域。同时，我们还假设他们具有3D CAD设计的基本知识和专业知识，尤其是犀牛和蚱蜢，它们在这些领域得到了广泛的应用。因此，我们并不意味着我们的系统对每个人都非常有效，包括3D CAD设计新手。

3.2设计原理

为了让这些用户能够交互式地处理设计需求，我们考虑了两种类型的用户界面(用户界面)、基于文本的UI或基于图形的UI（例如，块[6]和节点[40]). 虽然基于文本的UI具有更容易访问低级函数的优点，但它不可避免地假设用户是程序员。另一方面，基于图形的UI对非程序员很有用，因为它们通过从调色板中选择组件来简化编程词汇表[6]并通过将代码分块为有意义的元素来减少认知负荷[6]. 特别是，基于节点的UI有助于可视化不同组件和“阶段”之间的连接，我们将在下一节中进行解释。最后，CAD工具上基于节点的UI（例如，Rhinoceros上的Grasshopper、Fusion 360上的Dynamo Studio）已在产品设计师中广泛使用，因此在这些工具上构建系统，而不是从头开始实现独立系统，将降低进入门槛。这也将允许用户无缝地从他们所使用的其他插件迁移到其他插件。

因此，我们选择这些标准作为我们的设计依据

(1)

系统应为基于图形的UI针对设计师和非程序员。

(2)

系统应为基于节点的UI使不同组件和阶段的连接可视化。

(3)

该系统应在流行的工具上实现以降低进入壁垒并重用其他插件。

3.3我们系统的三个阶段

图2显示了Crane的基本工作流程，包括以下三个阶段：

(1)

输入相位（图2（a））

用户可以输入初始折痕图案，该图案将在第（2）阶段进行交互操作。为了处理初始设计的多种方式，Crane允许（a）犀牛上的2D图案设计，（b）物理折纸折痕图案的图像识别，（c）从系统模板导入著名的折纸镶嵌（例如Miura折叠），（d）导入其他任意折纸图案（例如FOLD格式[13])和（e）构建适合给定网格的广义Ron Resch模式。

(2)

模拟和成型阶段（图2（b））

基于初始输入模式，我们的系统提供了一个交互式设计循环，用户可以在其中模拟折纸的变换，并探索几何约束下的形状变化。这个阶段的重点是用户可以添加从功能约束，同时保留特定于折纸的可折叠性约束（例如，可开发性、平面可折叠性），用户往往难以处理。两者的约束功能和可折叠性在Grasshopper中作为节点给出，它们连接到单个解算器。用户可以交互地迭代此过程，直到找到满足其需求的合适折叠模式。

(3)

制造阶段（图2（c））

在模拟和成型阶段后，Crane输出以下数据制作根据所需制造工具类型（例如激光切割机、3D打印机、数控铣床）的最终2D折痕图案进行加厚和修改。

图2。

我们将在第节中解释这三个阶段的技术细节4–6分别是。但在描述这些细节之前，我们首先介绍一个设计折纸椅的示例使用场景，以阐明设计师在实际情况中需要考虑和解决的各种需求。

3.4使用场景：椅子设计

在这里，让我们考虑一种情况，用户试图为一个人设计一把木制折纸椅，如图所示2请参阅补充视频，了解椅子设计中拟议接口的完整记录。

现在，用户对功能记住。例如：座椅应以一定的折叠角度水平放置；靠背应以这种折叠角度舒适倾斜；椅子底部的所有边缘应与地面完全接触，不得以这种折叠角度浮动；椅子的变换应在此折叠角度处受阻并保持稳定；为了美观，椅子应该是对称的。

另一方面，用户认为椅子展开时必须完全平放，以便更好地存放。然后，椅子必须是可展开的（即，可以从单个平板折叠）。这种情况属于可折叠性要求。

即使在正确设计椅子后功能和可折叠性需求，用户仍然需要关心可制造性例如：材料的厚度；需要什么类型的铰链结构来避免铰链周围两个相邻木板的自交联；以及铰链结构是否可以使用他们应该使用的制造工具。我们将解释用户如何在功能,可折叠性、和可制造性同时，通过参考图中椅子设计所用的草蜢图三.

图3。

3.4.1输入相位。

在这种情况下，用户采用图像识别作为输入。与第节中介绍的其他输入方法不同3.3，图像识别输入准备好了，允许用户使用物理纸张原型化初始设计。现在，用户实际播放并找到符合椅子要求的基本折痕图案（即带有座椅和靠背的结构），如图所示4然后，他们分别在山体褶皱、山谷褶皱和论文边界上绘制红色、蓝色和绿色线条，并使用系统的图像识别功能（详见后一节）进行CAD设计。

图4。

3.4.2模拟和成型阶段。

用户导入初始2D折痕图案后，可以模拟图案如何转换为3D结构（图2（b）左上角），点击解算器组件中的“折叠按钮”（图三). 然后，系统根据中提出的自动模拟方法自动折叠图案[46].

此外，用户可以使用一组功能约束，如图所示2（b）右上角。在这里，用户在解算器组件之前放置了五个组件，对应于五个功能约束条件：

(1)

平面上约束：将座椅的顶点固定到给定的水平面。

(2)

平面上约束：将椅子底部的顶点固定到给定的地平面。

(3)

FixFoldAngle约束：以给定角度固定靠背的顶点。

(4)

粘合顶点约束：迫使椅子后面的两条边在同一位置相互粘住。

(5)

镜像对称约束：使椅子两侧对称。

同样，用户可以简单地添加另一个组件来满足可折叠性约束条件：

(6)

可开发约束：使输入折纸图案可展开，即可从单个平板折叠。

图5可视化上述六个约束（=五种类型的组件）。将这些约束组件连接到解算器组件后，它会自动找到满足给定功能和可折叠性约束，单击“解算器组件”（图三).

图5。

简而言之，用户需要做什么来解决这两个问题功能和可折叠性约束只是在解算器组件之前连接一个或多个约束组件并单击其上的按钮。同样重要的是，即使用户通过以下方式更改了三维模型上某些顶点的位置抓住（稍后将解释）在成型过程中，计算结果将实时更新，用户可以相应地获得新的2D折痕图案。

3.4.3制造阶段。

一旦用户对模拟和成型结果感到满意，他们接下来会处理可制造性要求。由于前一阶段的工作，现在折痕图案是可开发的，因此可以从单个平板上进行制造。此外，他们还放置了一个名为手指关节在Solver组件之后，使用木板厚度参数（图三)使用数控铣床作为制造工具。然后，系统自动加厚2D折痕图案并添加铰链结构，使产品可以避免由于厚度而导致两个相邻面之间的自相交，如图所示6此外，用户可以模拟加厚图案的折叠/展开变换，并可以直观地识别是否发生了自交切（图6（b））。现在，加厚的3D模型已最终确定，可用于个人制造或制造过程。

图6。

4输入模式

作为输入，我们的系统接受两种类型的数据结构：（1）一组山地褶皱线和山谷褶皱线用于2D折痕图案，或（2）一组3D网格、山地褶皱线、山谷褶皱线用作3D折痕图案。请注意，系统只接受直线，曲线图案超出了本文的范围。

为了获得这些输入数据，我们的系统允许五种类型的输入方法：（a）Rhinoceros上的2D图案设计，（b）从物理纸张上识别2D折痕图案，（c）从系统模板导入著名的折纸镶嵌（例如Miura折叠），（d）导入其他任意折痕图案（例如FOLD格式[13])和（e）构建适合给定网格的广义Ron Resch模式。在本节中，我们将详细描述（b）、（c）和（e），因为这三种方法对于专家和新手从头开始设计都特别有用。

4.1图像识别

当用户通过纸张原型确定他们将使用哪种类型的折痕图案作为初始图案时，他们在山形褶皱上绘制红线，在山谷褶皱上绘制蓝线，在纸张边界上绘制绿线，如图所示7然后，他们从纸的顶部拍摄折痕图案的照片，作为PNG文件。系统通过OpenCV识别每条线，并在犀牛上输出2D矢量图案。

图7。

我们注意到，我们要求用户不要在纸上连接每个彩色线段，以避免识别失败。在从照片中区分每个片段后，如果不同片段的两个节点之间的距离小于给定的阈值，则将其合并\（\varepsilon\）（见图7).

4.2模板镶嵌

作为模板镶嵌，我们目前提供三浦折叠[34]，吉村图案[57]，鸡丝图案[34]在与这些折叠模式相对应的每个组件中，用户可以选择所需的参数来构造它们，如图所示8我们注意到这里解释的所有图案都是可展开和刚性折叠的（关于刚性折叠，请参见附录一如果您感兴趣）。

图8。

除了模板的基本形状外，系统还可以自动修改一些模板细分，以便在给定的两个偏移NURBS曲面之间对齐，如图所示9。我们参考折叠映射中提出的方法实现了此功能[20]. 目前，该系统支持三浦折叠、吉村图案、鸡丝图案和水桶图案[58]作为输入。当用户想要获得曲面时，此功能非常有用。

图9。

我们注意到，在曲面之间对齐的细分结构通常不再可展。如果用户想从平板折叠此结构，只需使用可开发约束组件，如使用场景中所示（第节3.4.2). 然后，系统找到了一种适合曲面的新的可展形式。

4.3广义Ron-Rech模式

系统可以接受3D网格作为输入。在这种情况下，它根据中提出的方法在网格的两个面之间插入额外的折痕[51]并输出一个通用的Ron Resch模式，如图所示10此输入方法的优点是，与上述在曲面之间对齐的细分相比，用户可以在设计中以更高的自由度实现设计。类似地，用户可以添加可开发约束组件使图案可根据需要进行开发。

图10。

5模拟和成型

模拟和成型阶段基于称为桁架模型的折纸模拟模型[46]如图所示11在这里，我们用三角化的2流形网格定义折纸结构\（M=（V、E、F）\），其中\（V、E、F）分别是顶点、边和面的集合。我们注意到E类和F类不要与实际折纸图案的折痕和“面”完全对应，因为桁架模型中可能有一些展开的边（见图11). 现在我们将所有顶点的xyz坐标表示为向量\（\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{3|V|}\），其中\（|V|\）指的是顶点的数量。为了获得模拟结果，我们的目标是识别\（\mathbf{X}\）以满足连接到解算器的所有给定约束。

图11。

在本节中，我们首先解释求解约束方程的解算器算法。接下来，我们介绍并描述作为单个草蜢组件提供的几何约束，以表达用户的设计要求。我们注意到对称约束，几何约束的子集是新颖的，而其他约束要么是不言而喻的，要么是基于现有方法构建的。

5.1集成求解器

我们的求解器基于广义Newton–Raphson方法，其中每个步骤使用中提出的CGNR方法求解最小二乘最小范数解[46]. 给定约束向量函数\（\mathbf{C}:\mathbb{R}^{n}\longmapsto\mathbb{R}^{m}\）（其中\（n=3|V|\）和米是约束函数的数量），解算器求解约束方程\（\mathbf{C（\mathbf{X}）}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^m\），其中每行\（\mathbf｛C｝（\mathbf｛X｝）\）表示第节中提供的每个几何约束函数5.2注意\（\mathbf{C}（\mathbf{X}）=\mathbf{0}\）通常不是唯一的；在一定的解空间中，其上的所有点都满足约束方程。与试图基于势能求解唯一解的普通解算器相比[40]，此解算器对于此类欠约束情况非常有效。以下是我们的解算器的优点：

(1)

它可以处理约束多于变量的过约束系统。因为可折叠性约束条件下，约束方程的数量往往大于变量的数量。然而，约束方程往往退化，约束的实际DoF往往小于方程的数量[47]. 当多个约束冲突时，系统收敛于最小二乘解。

(2)

它在欠约束系统中计算接近初始形状的解，并允许在解空间中进行连续探索。此外，在解决方案收敛后，此解算器允许根据用户的附加操作动态探索解决方案空间。给定一个扰动矢量作为用户的输入，解在解空间中沿扰动向量变换。由于有了这个功能，我们实现了一个GUI，即使在有约束的表单查找过程中，用户也可以交互式地抓取和移动顶点（请参阅第节5.3更多细节）。

(3)

它接受任意可微函数作为约束。要处理功能,可折叠性、和可制造性要求，求解器在单个模块内同时处理不同类型的线性和非线性约束函数。

5.2几何约束组件

我们总共实现了14个几何约束作为Grasshopper组件。如下所述，它们由以下五部分组成：OnGeometry约束，三个对称约束，三个GlueGeometry约束，一个FixFoldAngle约束，一个扁平可折叠约束、和一个可开发约束所有这些组件都输出约束函数列表\（c_i（\mathbf{X}）\）及其雅可比矩阵\（\frac｛\partial c_i（\mathbf｛X｝）｝｛\partial \mathbf｛X｝｝），可以作为解算器组件的输入。在解算器组件中，这些约束函数逐行串联，以构造整体约束函数\（\mathbf{C}（\mathbf{X}）\）及其雅可比矩阵\（\mathbf{J}（\mathbf{X}）：=\frac{\partial\mathbf{C}（\tathbf{X{）}{\parial\mathbf2{X}}\）.

5.2.1 OnGeometry约束。

OnGeometry约束（图12)是将顶点位置固定到特定目标几何体的约束。我们提供以下五个蚱蜢组件：

—

OnPoint公司：将顶点固定到一个点；

—

OnPlane（飞机上）：将顶点固定到平面；

—

OnMesh公司：将顶点固定到网格；

—

OnCurve（启用曲线）：将顶点固定到NURBS曲线；

—

表面上：将顶点固定到NURBS曲面。

图12。

每个组件都以相同的方式实现：首先，对于受约束的顶点\（\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\），我们计算点的位置\（\mathbf{x}^{prime}\在\mathbb{R}^3\中）最接近的目标几何体\（\mathbf{x}\）然后，我们得到约束函数\（\mathbf{C}^\text{ongeo}\）作为：

\[\begin{eqnarray*}\mathbf{C}^{text{ongeo}}（\mathbf{X}）&#x0026；=\frac{1}{l_{text{ave}}

约束函数除以初始图案上所有边长的平均值，\（l_text{ave}\），使其具有规模依赖性。所有其他约束也以类似的方式进行了无量纲化。

5.2.2对称约束。

对称约束（图13)使所选顶点相对于给定顶点对称基础几何（即平面或轴）。我们新实现了三个对称约束，并提供了以下Grasshopper组件：

—

镜像对称性：平面的镜像对称（图13（a））。

—

旋转对称性：绕轴旋转对称（图13（b））。

—

平移对称性：关于常量向量的平移对称性，即每个顶点对之间的差异是一个常量向量（图13（c））。

为了实现这些目标，我们将其分解为以下两个约束：

(1)

对称位置上两个顶点的对应

表示刚体变换所表示的对称性\（\mathbf{T}\）（镜像反射、旋转或平移），我们考虑一对顶点\（\mathbf{x} 使用（_u），\mathbf{x} _v（_v）\在\mathbb{R}^3中）这应该是对称的。然后，它们之间的关系可以表示为\（\mathbf{T}（\mathbf{\mathbf{x} u（_u）})=\mathbf{x} _v（_v）\)为了使优化过程稳健，我们使用以下对称约束函数\（\mathbf{C}^\text{sym}\）:

\begin{等式*}\mathbf{C}^{\text{sym}}（\mathbf{X}）=\begin{bmatrix}\frac{1}{l_{text{ave}}}\left（\mathbf{x} _v（_v）-\mathbf{T}（\mathbf{x} u（_u）)\右）\\frac{1}{l{\text{ave}}}\左（\mathbf{x} u（_u）-\mathbf{T}^{-1}（\mathbf{x} _v（_v）)\右）\结束｛bmatrix｝。\非成员\非成员\结束｛方程式*｝

(2)

OnGeometry约束论基础几何

对于镜像对称或旋转对称，最初位于基础几何体上的顶点应固定在其上（见图13（a）（b））。为了考虑这个约束，我们应用OnGeometry约束对于位于某个阈值内的基础几何体上的顶点。

图13。

5.2.3胶合几何约束。

GlueGeometry约束（图14)强制选定的两个几何图形缝合在一起。与相比OnGeometry约束使顶点移动，而目标几何体是静态的，该组件使两个几何体都移动。我们提供以下三种蚱蜢组件：

—

胶凝率：缝合选定的一对顶点；

—

将顶点粘附到边：将选定顶点缝合到边；

—

粘合顶点到面：将选定顶点缝合到面。

鉴于\（\mathbf{x} u（_u），\mathbf{x} _v（_v），\mathbf{t} u（_u），\mathbf{t} _v（_v），\mathbf{n}\）如图所示14，约束函数\（\mathbf{C}^\text{glue}\）具体如下：

\[\begin{eqnarray*}\mathbf{C}^{text{glue}}（\mathbf{X}）={left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{1}{l_{text{ave}}{x} _1个-\mathbf{x} 2个)&#x0026；{\ldots\text{GlueVertices}}\nonnumber\nonumber\\\mathbf{t} _1个\次\mathbf{t} _2&#x0026；{\ldots\text{GlueVertexToEdge}}\nonumber\nonumber\\mathbf{t}\cdot\mathbf}n}&#x0026；{\ldots\text{GlueVertexToFacet}}\nonnumber\nonumber\end{array}\right.}。\结束{eqnarray*}\]

图14。

5.2.4固定折叠角度约束。

这个FixFoldAngle约束（图15)将选定边的折叠角度固定为预定义的目标值。给定选定边的折叠角度\（\rho\ in[-\pi，\pi]\）（山折痕、展开折痕和山谷折痕分别定义为负、零和正）和目标折叠角度值\（[-\pi，\pi]\中的\rho_0\），约束函数\（C^\text{ffa}\）定义如下：

\开始{方程式*}C^{\text{ffa}}（\mathbf{X}）=\rho-\rho_0。\非数字\非数字\结束{方程式*}

5.2.5扁平可折叠约束。

计算折纸术中的一个重要概念是平展折叠性这意味着折纸可以完全压平之后它是折叠的（见图16（a））。在产品设计中，平坦的折叠性对于保证产品的紧凑存储和方便运输非常重要。

图15。

图16。

为了解释平展的折叠性，让我们考虑图中所示的折痕图案16在下面的讨论中，如果我们说“顶点是平折叠的”，这意味着由入射到某个顶点的所有面组成的局部结构可以与一些折痕平折叠积极的，即折叠到\（\pi\）或\（-\pi\）通常，折痕图案有边界顶点（即边界上的顶点）和内部顶点（即不在边界上的点）。当忽略自相交时，边界顶点是平折叠的，但内部顶点并不总是这样。根据川崎定理[26]，如果某个顶点周围的面是可平折的，则从活动折痕生成的角度的交替总和必须为零。即图中所示的角度16（b）必须满足以下方程式：

\开始{等式*}\sum_{i=0}^{nv-1}（-1）^i\theta_i=0。\结束{方程式*}

这个扁平可折叠约束使所有内部顶点都可以展开。对于每个内部顶点v（v）被扇形天使包围\（θ_｛0，v｝，点，θ_｛n_v-1，v｝\）在活动折痕之间，约束函数\（c_v^\text{ff}\）定义如下：

\开始{等式*}c^{text{ff}}_v（\mathbf{X}）=\sum_{i=0}^{n_v-1}（-1）^i\theta_{i，v}。\结束{方程式*}

然而，注意川崎定理只是平坦可折叠的必要条件；也就是说，即使交替的角度之和变为零，选定顶点周围的面也不总是平坦的。为了使它们平折，（1）折痕图案必须满足前川定理[32]折痕图案必须避免自我交叉。前川定理声称，入射到顶点的山脉褶皱和山谷褶皱的数量之差必须为\（下午2点）（例如，在图16（b），$|1-3|=2$).

在当前的实现中，我们的系统要求用户仔细设计初始输入折痕模式的山谷分配，以满足Maekawa定理，前提是他们希望顶点可以平坦折叠。此外，我们的系统无法避免面之间的自我交互，因为判断扁平状态的自我交互是已知的NP完全性[7]. 因此，用户必须使用折叠模拟直观地识别折痕图案是否具有自相交性。

5.2.6可开发约束。

为了使制造过程更容易，需要使产品可制造且可折叠从一张扁平的床单。在折纸术中，这种情况被称为可展性。如果任何内部顶点周围的所有角度（例如16（b））添加到\（2\pi\）.对于每个内部顶点v（v）以及围绕顶点的角度\（θ{0，v}，点，θ{nv-1，v}\），约束函数\（c_v^\text{dev}\）描述如下：

\开始{等式*}c^{text{dev}}_v（\mathbf{X}）=2\pi-\sum_{i=0}^{n_v-1}\theta_{i，v}。\结束{方程式*}

请注意，可展性与平面可折叠性无关。有关更多详细信息，请参阅附录B类.

5.3探索解决方案空间

一旦几何约束下的解收敛，用户可以通过（1）在图中所示的解算器组件上单击“Push Button to Fold/Unfold”来模拟自动折叠和展开变换，以交互方式探索可能的解空间三或者（2）交互式表单查找，用户可以拖动生成的3D形状的顶点，以进一步查找他们喜欢的新结构，同时保留约束。在本节中，我们将详细介绍这两种勘探方法。

为了简要解释模拟和交互式找形共享的背景理论，这里我们将初始找形的收敛值表示为\（\mathbf{X} 0\)当用户提供自动模拟或交互式成型的附加输入时，系统首先计算\（\mathbf{C}（\mathbf{X}）=\mathbf{0}\）在\（\mathbf{十} _0（0）\)，作为雅可比矩阵的核\（\mathbf{J}（\mathbf{X}）\）。给定这个切线空间，系统接下来会投影一个“扰动向量”\（\Delta\mathbf{X}^\prime_0\in\mathbb{R}^{3|V|}\）并获得投影向量\（\Delta\mathbf{X} 0\); 推导扰动向量的方法因两种输入方法而异。我们使用CGNR方法[25]将投影计算为

\开始{等式*}\Delta\mathbf{十} _0（0）=\left（\mathbf{I}-\mathbf{J}^+\mathbf1{J}\right）\Delta\mathbf2{X}^{\prime}_0，\end{方程*}

哪里\（\mathbf{J}^+\）是的Moore-Penrose广义逆\（\mathbf｛J｝\）最后，我们更新了位置\（\mathbf{十} _0（0）\leftarrow\mathbf{十} _0（0）+\增量\mathbf{十} _0（0）\)并应用广义Newton–Raphson方法。有关更多技术细节，请参阅[46]为了有设计变化，我们需要保持设计的自由度（DoF），即解空间的维数为正。计算DoF的组件详见附录C类.

5.3.1自动折叠和展开模拟。

当用户单击“按钮折叠”时，系统计算驱动力折痕周围\（\Delta\boldsymbol{\rho}\in\mathbb{R}^{k}\）(k个是折痕的数量），其我-第个元素\（（\Delta\boldsymbol｛\rho｝）_i\）包含：

\开始{等式*}（\Delta\boldsymbol{\rho}）_i={left\lbrace\begin{array}{ll}{-f}，&#x0026；\文本{如果折痕$i$是山形褶皱}\\{+f}，&#x0026；\文本{如果折痕$i$是山谷折叠}\end{array}\right。}\非数字\非数字，\结束{方程式*}

哪里（f）是一个常量值，展开模拟时符号为负值。我们转换\（\Delta\boldsymbol{\rho}\）到扰动向量\（\Delta\mathbf{X}^\prime_0\）通过以下等式：

\[\begin{eqnarray*}\Delta\mathbf{X}^{\prime}_0&#x0026；=\begin{bmatrix}\frac{\partial\boldsymbol{\rho}}{\parial\mathbf{X}}\\w\mathbf1{J}\end{bmarix}^+\begin\bmatrix}\Delta \boldsymbol{\rho{0}\end{bmatric}，\nonumber\nonumber \]

哪里\（第1页）是一个很大的值。

5.3.2基于抓取的交互式成型。

该系统还允许用户在犀牛GUI上抓取一个顶点并将其拖动到合适的位置，从而实现交互式表单查找。在这种情况下，我们只需映射拖动操作的方向（即\（\mathbb{R}^{3}\）)到扰动向量的对应行\（\Delta\mathbf{X}^\prime_0\in\mathbb{R}^{3|V|}\）.

5.4过度施工情况

在这里，我们简要解释一下在过度约束的情况下会发生什么。正如我们在第节中所解释的5.1，我们的系统收敛到最小残差范数的最小二乘解\（C（X）\）在过度约束的情况下，结果将是在多个相互矛盾的约束与非零残差之间进行权衡。在这种情况下，当求解器的输出“剩余”为非零时，用户可以识别它（图三). 我们还为每个约束组件提供了一个“强度”输入，以将每个约束函数乘以特定的权重（默认为=1）。一个典型的操作是增加用户想要优先处理的约束的“强度”值。

5.5刚性折纸模拟和刚性折叠

最后，我们的仿真和设计模型假设并依赖于刚性折纸理论，该理论处理的是一个折纸模型，其中每个面都是一个刚体。该理论主要包括（1）刚性折纸的运动学模拟（保持每个面刚性的约束）和（2）刚性折叠性（使形状不断变换的约束）。

这里我们不涉及刚性折纸的细节，因为我们的主要贡献是基于约束的折纸产品设计和制造集成平台。一旦正确设置了初始模式和约束，用户通常不需要知道其背后的理论。然而，了解计算运动学或保证刚性可折叠性所需的约束条件有助于我们掌握折纸的背景理论，并设计“良好”的折纸产品初始图案。因此，我们留下了两个关于刚性折叠的章节作为附录（附录一和D类)，以便观众在必要时可以参考。

6制造方法

为了支持各种制造方法，我们提供了五种铰链结构，如图所示17：（1）偏置铰链[50]（2）指关节[28]（3）锥形铰链[50]、（4）用于3D打印的单铰链和（5）用于3D打印机的双铰链。

图17。

为了帮助设计师为他们的设计选择合适的铰链，我们总结了每种结构的优缺点。首先，铰链结构（1）和（2）可以通过激光切割或2轴CNC布线进行制造，而（3）只能通过高端2.5D/3轴CNC路由器或3D打印机进行制造。制造完成后，（1）、（2）和（3）需要进行后处理，通过将所有面板粘贴在织物板上或使用商用钢琴铰链连接相邻面板来完成组装，如图所示18。粘贴织物的方法相对简单，用户可以使用所需的制作方法来制作刚性面板，布局面板，并用双面胶带将一块无纺布粘贴到面板上。如果用户喜欢耐久性更高的产品，他们应该选择钢琴铰链（图18（b））。要安装钢琴铰链，他们需要使用螺丝刀进行固定。

图18。

另一方面，铰链结构（4）和（5）不需要任何后处理来完成组装，而它们只能通过3D打印制造，因此主要适用于相对较小的物体。

此外，除（5）外，所有方法的铰链角都有限：（1）和（4）无法实现\（180圈）角度，（2）无法实现大于\（90圈）山谷褶皱，（3）无法实现\（180圈）山谷褶皱的角度。即使在（5）的情况下\（180圈）山间和山谷褶皱的角度，用（5）制作的折纸结构可能与仿真结果具有不同的运动学，如所示[29]，因为折痕不再是一条线，而是一个区域。

7设计示例

为了展示我们工作流程的可行性并举例说明如何使用我们的系统，我们展示了用我们的系统设计的三种折纸产品：桌子、灯罩和面罩。为了设计这些产品，我们考虑了一些特定的设计要求，这些要求来源于它们在日常生活中的实际使用。我们希望这一节能为如何选择满足设计者需求的合适的几何约束提供很好的参考。

图19。

7.1表格

图19显示了用我们的系统创建的折纸表。这张桌子不用时可以折叠成平板（即可折叠），因此具有很高的便携性和可存储性。如图所示1（d），这张桌子坚固耐用，适合实际使用。

为了设计这个桌子，我们首先用一张纸原型化了形状和运动，然后通过图像识别将其输入。然后我们考虑功能和可折叠性成型要求：桌面应与地面平行，桌腿应与地面完美接触，桌子应两侧对称以美观，桌子应可平放。为了满足这些要求，我们使用了以下约束组件：

(1)

平面上约束：将桌面的顶点固定到给定的水平面（图20（a））；

(2)

平面上约束：将腿的顶点固定到给定的地平面（图20（a））；

(3)

扁平可折叠约束：使整个结构平面可折叠（图20（b））；

(4)

镜像对称约束（图20（c））。

图20。

在制造阶段，我们选择手指关节，并使用EMARF切割木板[23]（在第节中解释8.2). 面板切割后，我们用钢琴铰链组装它们（图1（c））。

7.2灯罩

图21显示了用我们的系统创建的灯罩。作为输入模式，我们使用了水桶细分[58]在两个偏移曲面之间对齐（如第节所述4.2)形成灯罩的曲线形状（图21（a））。为了确保灯罩可以从一张纸上折叠，我们使用可开发约束组件。此外，遵循之前的折纸灯罩（如[55])，我们使用旋转对称约束使用镜像对称约束组件（图21（b））。一旦设计了灯的第一个版本，我们就可以交互修改偏移曲面的控制点，以尝试和错误的方式测试不同的折纸形状。

在制造阶段，我们使用未加厚的原始折痕图案，并将其导入平板切割绘图仪。绘图仪按下折痕线并切割纸张边界后，我们用手折叠所有折痕。

图21。

7.3面罩

图22显示了形状复杂、表面积较大的面罩。虽然这款口罩很美观，但其设计也适合用户的3D扫描面部数据。

对于初始设计模式，我们首先创建了一个网格，覆盖用户的3D扫描面部数据（图22左）。在模拟和成型阶段，我们接下来使用OnMesh约束组件并生成广义Ron Resch模式（如第节所述4.3)适合给定网格（图22中心）。此外，我们可以通过抓取网格顶点来更改给定网格的形状，使遮罩紧密贴合鼻子。与灯罩相同，我们使用了可开发约束组件，使口罩可以用一张纸制作。

图22：。

8其他插件的后期处理

在本节中，我们介绍了两个使用外部蚱蜢插件用我们的系统设计的后处理3D模型的示例。由于犀牛和蚱蜢被广泛使用，特别是在建筑和产品设计领域，我们可以利用网上的许多有用资源。

8.1卡拉姆巴

Karamba3D公司[41]是一个用于有限元结构分析的蚱蜢插件。在工业设计中，设计师经常检查他们制造的产品的机械完整性。例如，我们将折纸椅的3D模型连接到此插件，以检查椅子上施加的应力是否可以接受。图23将施加在椅子上的拉伸应力和压缩应力视为“利用率”，定义为施加的应力与最大允许应力的比率。

图23。

8.2电子射频

EMARF公司[23]是一项在线制造服务，根据数据设计者的准备，切割并发送木板。EMARF蚱蜢插件通过计算所用数控铣床的刀具路径来修改输入的3D模型，并输出可直接发送给制造商的最终数据格式。作为概念验证，我们实现了椅子（图18)和表格（图19)通过此插件。

9用户研究

9.1概述

为了获得用户对我们软件的设计和制造过程的反馈，我们举行了一次物理研讨会，作为初步的用户研究，并在之后要求进行问卷调查。为了招募参与者，我们使用了FabCafe（位于东京的一种FabLabs）的网站，对我们的系统感兴趣的人也应用到了研讨会上。在该网站上，我们要求参与者具备犀牛和蚱蜢的基本知识和经验。因此，14名参与者（11名男性和3名女性）聚集在研讨会上。根据关于其专业知识的调查问卷，12名参与者使用犀牛和蚱蜢每天，一名参与者有使用它们的经验，而一名参与者从未使用过它们；四名参与者产品设计每天，九名参与者都有这种经历，一名参与者没有这种经历；两名参与者通过计算设计他们自己的折纸图案之前，有7名参与者有过折叠计算设计的折纸图案的经验，5名参与者没有计算折纸的经验。如前所述，我们的目标用户既是产品设计领域的计算折纸术专家，也是新手，这大致符合这些参与者的归因。同时，我们还假设了犀牛和蚱蜢的基本经验，以避免因对它们的不成熟操作而产生的偏见，因此我们从研究结果中删除了一名没有犀牛和草蜢经验的参与者。最后，来自13名参与者（10名男性和3名女性，24-38岁，平均=32岁）的反馈用于本节的结果。每个参与者为他们在研讨会中使用的材料和工具（例如，中密度纤维板（MDF）、无纺布、双面胶带和激光切割机的租赁费）支付了大约20美元，并签署了用户研究的同意书。

为了应对新冠肺炎疫情，我们确认参与者的体温低于37.0\（^\circ\）C、房间通风良好，所有设备都事先消毒。我们要求参与者用乙醇溶液洗手，在整个用户研究过程中戴口罩，并与其他人保持距离。

9.2工艺

研讨会进行了7个小时，分为上午2小时和下午5小时，如图所示24:

(1)

在上午的课程中，我们进行了2小时的讲座（图24（a））使用第节中描述的椅子设计示例解释我们系统的动机和基本功能3.4.

(2)

在下午会议的前一部分，每位参与者被要求用一张纸（图24（b）（c）），然后继续使用我们的系统进行折叠图案的设计过程（图24（d））。他们被允许使用模拟和成型，直到找到功能和合适的设计。

(3)

在下午课程的后半部分，参与者用手指关节加厚他们的2D图案，用激光将MDF切割成碎片，并用大的双面胶带将其粘贴在无纺布上（图24（e））。数字24（e） –（h）展示三个由参与者设计和制造的椅子示例。

(4)

最后，参与者被要求填写关于他们使用我们系统的经验的问卷。

问卷共有七个问题。答案按照利克特5分量表（1。不，一点也不。两者都不是。是的，非常喜欢）。图中总结了问题和答案25。我们还要求他们有选择地就得分的原因以及每个问题的系统可能改进发表评论。

图24。

图25。

9.3结果和处方

这里我们描述了问卷调查结果和相应的处方[44]（即，反映反馈的相对较小且具体的技术修改）。根据问卷调查结果（如图所示25（b）），参与者得分为正(\（\页\）平均4.0），除第4季度[工作流程]和第7季度[非专家使用]外的大多数问题。

前三个问题Q1[设计]、Q2[模拟]和Q3[制造]的平均得分分别为4.15、4.62和4.54。例如，P8评论道，“作为产品设计的一个过程，真实世界中纸面原型的输入、虚拟世界中的模拟和设计迭代以及真实世界中的输出都是直观的。”对于模拟，P1还表示，与袋鼠相比，转换感觉更稳定，蚱蜢的传统仿真工具。P2在使用抓取功能进行表格填充时指出，“在满足约束的情况下手动探索形状是很好的。”另一方面，P9和P12很难选择合适的折痕和顶点作为约束组件的输入，因为他们需要手动向系统输入索引号。考虑到这一点，我们在用户研究后改进了输入方法，以便用户可以在当前实现中直接在GUI上选择折痕和顶点。

第四季度[工作流程]，参与者的平均得分相对较低，为3.85分。这种分数的一个重要原因被认为是系统从一个阶段转移到另一个阶段时的意外行为。例如，第12页发现了一个问题，即当他们同时尝试定形和加厚2D图案时，系统变得无法控制。P12建议，如果当用户连接制造部件时，找形过程自动关闭，从找形阶段到制造阶段的无缝过渡将非常好。我们注意到，我们在研究后修改的实现允许用户模拟加厚图案的变换，尽管加厚图案仍无法实现成形。

对于Q5[集成]，参与者平均得分为4.38，他们渴望将我们的软件连接到后处理，如结构分析（如Karamba）（P3，P11）和制造服务（如EMARF）（P2），正如我们在第节中已经介绍的那样8此外，P9评论道，“它也将适用于制作时装设计图案。”相反，P4和P12希望在现有的优化工作流（如加拉帕戈斯）下运行我们的系统[2]和Colibri[1]，这在我们当前的系统中没有实现，因为我们的系统更关注用户的交互输入。

Q6[用户界面]的平均得分为4.00。尤其是P2和P3在成型阶段高度评价了抓取功能。此外，P4和P11对山体褶皱、山谷褶皱和边界的简单输入感到满意，可以在我们的系统中使用许多功能。另一方面，P1发现Solver组件上的按钮输入（如图中的“Push button to Fold”三)有时压力很大（第1页：“如果我们可以将ON/OFF值更改为Solver组件中的输入参数，那将很好。目前，每次我重新打开文件时，所有参数都会自动设置为默认值。此外，我们有时还想设置触发器并控制Solver组件上的按钮输入。”）。P10还建议，如果用户尝试从头开始使用我们的系统，请准备一些教程。

Q7（非专家使用）的平均得分为3.46，是所有问题中最低的。为了帮助产品设计或折纸的新手用户，他们提供了未来改进的反馈。其中，P4、P10、P11特别建议系统应该有尽可能多的形状模板（如椅子、桌子等）和简单的功能结构。事实上，参与者成功地将最初的椅子设计修改为不同的版本（图24（f） –（h））五小时内。这意味着从与目标对象类似的模板开始将降低新手用户的障碍，这是我们未来的工作。

9.4分析和设计含义

9.4.1无缝设计和制造的再现性。

在研讨会中，除了犀牛和蚱蜢的新手外，所有参与者都成功地完成了三个阶段（即输入阶段、模拟和成型阶段以及图中所示的制造阶段）2)并制作自己的椅子或其他产品，如图所示24（f） –（h）。这意味着，至少对于熟悉CAD工具的用户来说，折纸设计和制造的集成无缝环境的想法是可行的。

9.4.2两相之间的向后过渡。

另一方面，参与者在从制造阶段到模拟和成型阶段的“向后”过渡中遇到了最大的挑战。当他们试图修改已经加厚的模型的形状时，系统为模拟中所有更新的图案计算加厚的形状，因此，系统变得很慢。

为了避免此问题，最好在解算器组件的输出处设置“数据坝”作为默认选项，这样可以阻止模拟图案向后续制造组件的连续流动，除非用户明确允许。一般来说，我们应该让用户在不同阶段的“接缝”之外隐式地理解适当的数据流，并限制某种设计自由，即使在“无缝”系统中也是如此。

9.4.3多个折叠状态的可视化。

最后，P10对可视化提出了一个重要建议：“在设计过程中，我们需要同时关注折叠形状和展开形状。[……]因此，如果系统允许在多个状态下进行修改，这将是很好的。”尽管我们当前的系统已经可视化了折叠和展开状态，该评论进一步暗示，两种以上状态的可视化将有助于愿意在转换期间精确设计折纸形状的用户。

10讨论、限制和未来工作

10.1讨论：计算速度

与折纸模拟器中使用的粗糙但简单的基于GPU的并行算法相比[21]，我们的系统的计算速度相对较慢，因为它在CPU上计算所用牛顿-拉夫逊方法的每次迭代时的线性系统。

为了评估系统的计算速度，我们测量了掩模的广义Ron-Resch模式的模拟速度（如图所示22)内部顶点数不同，直接影响计算速度。我们使用了一台带有6核处理器的笔记本电脑（英特尔酷睿i7-9750H 4.50 GHz）。

图26显示了两个指标的结果：Newton-Raphson方法每次迭代的平均时间和总收敛时间（即计算仿真结果的总时间）。我们定义了当残差值小于$10^{-12}$.结果与\（0.047n^{1.25}\）每次迭代的ms，以及\（0.97n^{1.22}\）ms表示总收敛，其中n个是内部顶点的数量。这表明收敛所需的平均迭代次数为18。

虽然总收敛速度对于获得可制造折纸图案的精确形状很重要，但每次迭代的速度对于实现交互式系统以更新图形和接受额外用户输入至关重要。在这里，我们假设基于模型人工处理器，系统的交互反应时间最多为240 ms（约4.2 fps）[8]. 然后，我们的测量结果表明，如果内部顶点的数量小于\（\模拟\）900.我们认为，在实际设计过程中，这个数字足以满足许多折纸图案的需求，不会产生刺激。另一方面，具有大量内部顶点的图案($10^4$或更多）将花费1秒以上。

图26。

10.2限制：非刚性可折叠图案

如第节所述5.5，我们系统中的模拟和成型都基于刚性折纸，假设面板是理想的刚性，折痕像理想的铰链一样旋转。这意味着许多经典的折纸图案（例如，传统的纸鹤）依赖于折叠过程中面板的变形，这超出了本文的范围。

那些希望模拟非刚性折叠图案的折叠过程的人应该参考其他方法，如折纸模拟器[15,21]. 据我们所知；然而，目前还没有一项工作能够同时实现面变形和基于约束的成形。

10.3限制：不能保证平面可折叠性

正如我们在第节中所解释的5.2.5,扁平可折叠约束是平坦可折叠的必要条件（即川崎定理）。在未来的实现中，我们可以通过自动计算山体和山谷褶皱的数量来突出不合适的边缘，从而帮助他们满足Maekawa定理。

10.4未来工作：更大的形状模板和铰链结构库

我们在第节中提到的形状模板（例如椅子、桌子）9将允许用户修改为其他目标形状，这将有助于计算折纸或产品设计的新手用户探索具有折纸功能的不同形状。我们将增加模板作为未来的工作。

此外，当前铰链库中的铰链都不能达到180\（^\circ\）以与模拟结果相同的运动学进行折叠。对于图中所示的四个铰链结构17（a） –（d），不可能达到180\（^\circ\）折叠。对于图中的双铰链结构17（e），无法保证折纸结构是否能以与模型相同的方式折叠，因为铰链具有一定的宽度，不再被视为模拟结构。

未来，我们计划在我们的图书馆中增加更多种类的铰链结构。例如[29]确保以与理想模型相同的方式存在折叠状态，这将有助于实现平坦可折叠的厚结构。我们还计划包括采用重复狭缝图案制成的柔顺铰链，以有效处理金属和塑料板等材料[27,53].

11结论

在本文中，我们提出了一个集成计算平台，允许用户设计和实现折纸产品。核心思想是基于约束的系统，用户可以在功能,可折叠性、和可制造性通过将多个约束组件连接到求解器组件进行设计、模拟、成型和制造。此外，在Grasshopper上的实现允许将结果结构无缝连接到其他插件。

最后，我们的系统在GitHub上可用¹和Food4Rhino。²我们相信，我们的软件将成为HCI、数字制造和普适计算领域的研究人员学习计算折纸术的良好起点。最重要的是，我们希望我们的系统和这篇论文将使更多具有不同专业知识的人能够以有用和令人惊叹的方式将计算折纸知识应用于他们的领域，如建筑、产品设计、制造、数学等。

致谢

作者还要感谢设计折纸椅基本图案的Yuta Shimoda，向我们提供有用反馈的研讨会参与者，以及副编辑和审稿人的评论和建议。

脚注

https://github.com/KaiSut0/Crane.

https://www.food4rhino.com/en/app/crane.

补充材料

起重机_TOCHI （crane_tochi.mp4）

补充视频

下载
184.58 MB

补充_Crane_TOCHI_chair_design_workflow （补充_等级_ tochi _头发_设计_工作流.mp4）

补充视频

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28.44 MB

刚性可折叠性

刚性可折叠性，即判断给定图案是否刚性可折叠，尚未表征，已知至少为NP-hard[三]. 为了设计刚性折叠模式，我们在这里展示了两种方法：（1）基于计算约束数的启发式方法和（2）基于对称性的充分条件。

为了大致判断模式是否可以严格折叠，我们可以计算约束函数的数量\（\mathbf｛C｝^\text｛rigid｝\）和\（\mathbf{C}^\text{fp}\）并将其与变量的数量进行比较。这与计数刚性折叠运动的DoF，不包括刚体变换，如下所示：

\开始{方程式*}\text{DoF}^{prime}=3|V|-|E|-|E_text{fp}|-6，结束{方程式*1}

哪里\（E_\text{fp}\）表示展开边集（见图11)在平板上。为了使该等式更易于使用，可以使用欧拉公式重写，如下所示：

\开始{方程式*}\text{DoF}^{prime}=|E_\text{bound}|-|E_\text{fp}|-3，结束{方程式*1}

哪里\（E_\text{绑定}\）表示边界边集。因此，一种启发式方法是调整边界边和多边形的数量，以便计算的DoF是所需的数量。如果计数的DoF为正数，那么在许多情况下，图案是可以严格折叠的。我们在图中显示了两个1-DoF刚性折叠模式的示例27.

图27：。

请注意，此公式并不总是成立，因为约束方程\（\mathbf{C}^\text{rigid}\）和\（\mathbf{C}^\text{fp}\）可能退化。例如，尽管三浦折叠的计数DoF为负值，但由于对称性，它是一个1-DoF刚性折叠模式。

通过使用镜像对称约束，我们可以找到具有刚性可折叠性的退化情况；在折纸设计中，镜面对称不仅对美观有用，而且对刚性折叠也有用（图28). 例如，尽管图中计算了整个模式的DoF28左边是$-1$（因此看起来是不可移动的），镜对称的性质使运动学归结为它的一半（图28右），即1-DoF。因此，如果用户想从头开始设计可折叠结构，镜像对称约束组件可能有助于实际增加计算的DoF，以实现刚性折叠。

图28：。

B可展开性和平面可折叠性

“可展性”和“平展可折叠性”这两个术语在折纸文献中已有明确规定，但有时会混淆：

—

可显影性：一种可以从平板上“折叠”的图案；

—

平面可折叠性：可以折叠成平面的图案。

我们注意到这两个属性是独立的；折痕图案可能是可展开的，而不是可折叠的，反之亦然（参见[22]图7）。

C类国防部计算

为了向用户提供当前解决方案空间的信息并帮助他们进行设计迭代，我们提供了解决方案空间DOF组件。连接到解算器组件后，该组件使用以下公式计算解决方案空间的维数：

\开始{方程式*}3|V|-\mathrm{rank}\left（\frac{\partial\mathbf{C}}{\parial\mathbf{X}}\right），结束{方程式}

哪里\（\mathrm{rank}\（\frac{\partial\mathbf{C}}{\parial\mathbf{X}}）\）可以通过应用奇异值分解来实现。

三维刚性折纸模拟

刚性折纸是一种折纸模型，其中每个面都没有变形，并在整个转换过程中作为刚体处理。如果折纸允许在这样的限制下进行转换，我们说结构是刚性折叠的。当我们想要实现大规模折纸结构（如由厚板制成的建筑或产品）时，刚性折叠性对于厚板应用非常重要。

为了使用基于桁架的模型模拟刚性折纸，我们考虑了两个约束；一个是边长度约束，实现为刚性边模式另一个是实现为平板模式.

D.1刚性边缘模式

为了表示刚性折叠模拟中面的刚性，我们在整个折叠模拟过程中将边长度限制为一个恒定值，该值由激活刚性边模式.对于每个边缘e（电子），我们使用有限应变 \（\epsilon_e（\mathbf{X}）\）作为约束函数：

\开始{等式*}c^{text{rigid}}_{e}（\mathbf{X}）=\epsilon_e（\mathbf{X{）：=\frac{1}{2}\left（\frac}|\mathbf{x} u（_u）-\mathbf{x} _v（_v）||^2} {l_e^2}-1\右），\结束{方程式*}

哪里\（\mathbf{x} u（_u）\),\（\mathbf{x} _v（_v）\)是边的端点e（电子）和\（l_e\）是的初始长度e（电子）.

D.2平板模式

刚性折叠模拟的另一个约束是平板约束。折纸结构通常包含非三角形面，如四边形、五边形、六边形等。然而，我们用于折纸模拟的桁架模型[46]是三角形的，因此在非三角形面内有展开的边（见图11). 为了消除围绕这些边旋转的自由度，我们将围绕这些展开边的二面角固定为零（即完全平坦，请参见\（\rho\）在图中15). 为了进行稳健的仿真，我们使用了六次四面体的有符号体积 \（S_e（\mathbf{X}）\）由两个由边连接的三角形组成e（电子）定义为

\开始{等式*}S_e（\mathbf{X}）：=（\mathbf{x} （p）-\马特布夫{x} u（_u）)\cdot（\mathbf{x} _v（_v）-\马特布夫{x} u（_u）)\次（\mathbf{x} （_q）-\数学BF{x} u（_u）)，\结束{方程式*}

哪里\（\mathbf{x} u（_u）\)和\（\mathbf{x} _v（_v）\)是边的端点e（电子）、和\（\mathbf{x} （p）\)和\（\mathbf{x} （_q）\)是入射三角形对的相对顶点。约束函数由下式给出

\开始{等式*}c^\text{fp}_e（\mathbf｛X｝）=\frac｛S_e（\mathbf｛X｝）｝｛l_e^3｝。\结束{方程式*}

事先发布政策

Crane的整个身体或一部分尚未在其他地方作为学术论文发表。然而，这与我们在“相关工程”一节中提到的前两项工程有关系。首先，我们在之前的工作中提出了从给定的3D形状优化折纸图案的想法，例如折纸机[48]. 然而，该软件缺乏交互性，因为用户无法操作输出的2D或3D图案。第二，我们之前的作品自由折纸[46]通过关注优化中的约束来实现交互性，使设计者能够在可折叠性通过动态隐式求解约束。然而该软件不考虑其他约束（即。，功能约束和可制造性约束）在实际设计和制造过程中非常重要。此外，自由形式折纸不允许与其他预处理或后处理无缝连接，因为它是一个独立的软件。本文提出的Crane软件通过一个基于约束的无缝平台解决了上述问题，该平台可用于交互式设计和制造体验。

工具书类

[1]

2017科利布里。2021年8月11日检索自http://core.thorntontomasetti.com/colibri发布/.

摘要

1引言