Optimal Experimental Design for Systems with Bivariate Failures Under a Bivariate Weibull Function

结果概率

第二个组件	第一个组件
第二个组件	0（成功）	1（失败）
0（成功）	第页₀₀	第页₁₀	第页_·0
1（失败）	第页₀₁	第页₁₁	第页_·1
	第页_0·	第页_1·	1

表1。

结果概率

第二个组件	第一个组件
第二个组件	0（成功）	1（失败）
0（成功）	第页₀₀	第页₁₀	第页_·0
1（失败）	第页₀₁	第页₁₁	第页_·1
	第页_0·	第页_1·	1

让Y（Y）和Z分别表示组件1和组件2上的损坏量，并让（f）(年,z|x个,θ)是向量为米模型参数θ详见第节2.4现在假设失效（致命损伤）是由二分损伤测量定义的Y（Y）和Z:

\begin{matrix} U型 & = {\begin{matrix} 0 & （组件1无故障）, 如果 Y（Y） < γ_{1}, \\ 1 & （部件1故障）, 否则, \end{matrix} \\ 五 & = {\begin{matrix} 0 & （组件2无故障）, 如果 Z < γ_{2}, \\ 1 & （部件2故障）, 否则, \end{matrix} \end{matrix}

(1)

哪里 $γ_{1}$ 和 $γ_{2}$ 是预定的截止值。然后是表中的概率1是

\begin{matrix} {第页}_{00} = & \int_{0}^{γ_{1}} \int_{0}^{γ_{2}} （f） (年, z | x个, θ) d日 年 d日 z, \\ {第页}_{01} = & \int_{0}^{γ_{1}} \int_{γ_{2}}^{\infty} （f） (年, z | x个, θ) d日 z d日 年, \\ {第页}_{10} = & \int_{γ_{1}}^{\infty} \int_{0}^{γ_{2}} （f） (年, z | x个, θ) d日 z d日 年, \\ {第页}_{11} = & \int_{γ_{1}}^{\infty} \int_{γ_{2}}^{\infty} （f） (年, z | x个, θ) d日 年 d日 z . \end{matrix}

2.2. 局部最优设计与D-最优

两个组件出现故障的单个试验的可能性U型和五在压力下x个是

我 (θ | u个, v（v）; x个) = {第页}_{11}^{u个 v（v）} {第页}_{10}^{u个 (1 - v（v）)} {第页}_{01}^{(1 - u个) v（v）} {第页}_{00}^{(1 - u个) (1 - v（v）)} .

在标准规则条件下（参见Ferguson(1996)，第18章）米×米应力下单个观测值的信息矩阵x个是

μ (x个, θ) = E类 [(\frac{\partial}{\partial θ}, 日志, {我 (θ | u个, v（v）; x个)}) {(\frac{\partial}{\partial θ}, 日志, {我 (θ | u个, v（v）; x个)})}^{T型}],

其中“T”表示转置。

将设计表示为

ξ = {{x个}_{我}, {w个}_{我}}_{1}^{K（K）},

哪里

（a）
x个_我表示支撑点，
（b）
K（K）是中的支持点总数ξ,
（c）
n个_我表示支撑点测试的“样本量”x个_我,
（d）
$n个 = Σ_{我 = 1}^{K（K）} {n个}_{我}$ ⁠,
（e）
w个_我=n个_我/n个表示支撑点的试验比例x个_我称为设计重量，以及
（f）
${x个}_{我} \in X（X）$ ⁠，一个紧凑的示例空间。

设计中n个_我可以是任何实数，例如∑n个_我=n个称为连续设计。由于忽略了n个_我必须是整数简化了寻找最优设计的问题，本文中的理论假设ξ是一个连续的设计。因此，我们让w个_我∈[0,1]和∑w个_我= 1. 当然，为了实现连续设计n个_我必须由整数近似。设计的平均信息矩阵ξ是

M（M） (ξ, θ) = \sum_{我 = 1}^{K（K）} {w个}_{我} μ ({x个}_{我}, θ) .

(2)

最优设计用于以最小“方差”估计参数。与非最优设计相比，可以用较少的实验次数和较小的成本估计参数，但精度相同。引入了许多优化目标函数Ψ。然后局部最优设计定义为

ξ^{*} = 参数 \underset{ξ \in Ξ (X（X）)}{最小值} Ψ {M（M） (ξ, θ)},

哪里 $Ξ (X（X）)$ 是一组设计重量和支撑点的所有可能组合 $X（X）$ ⁠一个流行的标准是D类-最小化信息矩阵行列式逆的最优性。在本文中，我们使用D类-有利于估计所有参数的最优性： $Ψ {M（M） (ξ, θ)} = | M（M） (ξ, θ) |^{- 1}$ 其中|·|表示行列式。

机械系统测试会导致部件损坏和试验费用，这取决于所使用的应力水平。惩罚函数可用于在设计过程中考虑这些因素。如果部件昂贵，并且测试具有破坏性，则可能希望惩罚高应力水平。类似于德拉加林和费多罗夫(2006)，我们考虑惩罚函数

ϕ (x个, θ, {C类}_{1}, {C类}_{2}) = {(1 - {第页}_{1 \cdot})}^{- {C类}_{1}} {(1 - {第页}_{\cdot 1})}^{- {C类}_{2}} + c（c）,

(3)

哪里第页_1·和第页_·1是边际结果概率，C类₁>0, C类₂>0和c（c）是试用成本。该惩罚函数随组件故障的边际概率增加而增加。什么时候？C类₁=0，仅对部件2中失效概率高的应力试验增加惩罚，而如果C类₂=0，仅在部件1中失效概率高的应力下进行试验时，才增加罚款。为了避免无限惩罚，我们限制了惩罚函数，以便ϕ(x个,θ,C类₁,C类₂) ∈ [一,b条]其中一,b条∈R（右）⁺为了进行说明，请参见图。1我们假设最低罚款为一= 1; 最高罚款不应超过组件的总价格，即5。我们让试验费用c（c）= 0.2. 因此我们截断了方程(3)在5.2，因此当罚函数达到5.2时，它变为常数。

有界罚函数（x，θ，C1，C2）=（1−p1·）−C1（1−p·1）−C2+c，其中c=0.2和θ=（θ0=−2，θ1=4，θ2=5，θ3=2，τ=2，β1=0.1和β2=0.2）：•，C1=1和C2=1；▪,C1=0和C2=1；♦,C1=1和C2=0；▴,C1=0.5和C2=0.5；▾,C1=0.1和C2=0.1

图1。

有界惩罚函数 $ϕ (x个, θ, {C类}_{1}, {C类}_{2}) = {(1 - {第页}_{1 \cdot})}^{- {C类}_{1}} {(1 - {第页}_{\cdot 1})}^{- {C类}_{2}} + c（c）, 哪里 c（c） = 0.2 和 θ = (θ_{0} = - 2, θ_{1} = 4, θ_{2} = 5, θ_{三} = 2, τ = 2, β_{1} = 0.1 和 β_{2} = 0.2)$ ⁠: $•, {C类}_{1} = 1 和 {C类}_{2} = 1; ▪, {C类}_{1} = 0 和 {C类}_{2} = 1; ♦, {C类}_{1} = 1 和 {C类}_{2} = 0; ▴, {C类}_{1} = 0.5 和 {C类}_{2} = 0.5; ▾, {C类}_{1} = 0.1 和 {C类}_{2} = 0.1$

让 $Φ (ξ) = Σ_{我 = 1}^{K（K）} {w个}_{我} ϕ ({x个}_{我}, θ)$ 表示设计中的预期惩罚ξ如果总成本受到限制，即。n个Φ(ξ)<C类哪里C类是一个实验总“成本”的预定极限，那么惩罚的局部最优设计可以定义为

ξ^{*} = 参数 \underset{ξ \in Ξ (X（X）)}{最小值} Ψ {n个 M（M） (ξ, θ)}

(4)

在条件下

n个 Φ (ξ) < C类

（5）

（盖沃龙斯基和费多罗夫，1984; 库克和费多罗夫，1995). 如果设计是连续的，则条件（5）下的设计（4）等于

ξ^{*} = 参数 \underset{ξ \in Ξ (X（X）)}{最小值} Ψ {\frac{M（M） (ξ, θ)}{Φ (ξ)}} .

基弗和沃尔福威茨(1960)等价定理，White将其扩展到涵盖非线性函数(1973)，用于在本地查找D类-最佳设计。它表示以下条件是等效的（参见Fedorov和Hackl(1997)其他标准的等效条件列表）。

（a）
$ξ^{*} (θ) = 参数 {最小值}_{ξ} {| M（M） (ξ, θ) |}^{- 1}$ ⁠.
（b）
ξ^*(θ)=arg最小值_ξ最大值 ${x个}_{我} \in X（X）$ d日(x个,ξ,θ)其中d日(x个,ξ,θ)=tr{μ(x个,θ)M（M）⁻¹(ξ,θ)}，tr（·）表示矩阵的迹。
（c）
d日(x个,ξ^*,θ)⩽米，对于所有人 ${x个}_{我} \in X（X）$ ⁠，其中米=尺寸(θ). 此外，d日(x个,ξ^*,θ)=米在的所有支撑点ξ^*.

如果惩罚函数包含在实验中，则以下条件是等效的。

（d）
$ξ^{*} (θ) = 参数 {最小值}_{ξ} {| M（M） (ξ, θ) / Φ (ξ, θ) |}^{- 1}$ ⁠.
（e）
ξ^*(θ)=参数pt（磅）最小值_ξ最大值 ${x个}_{我} \in X（X）$ [d日(x个,ξ,θ)−{ϕ(x个,θ)/Φ(ξ,θ)}米]其中d日(x个,ξ,θ)=tr{μ(x个,θ)×M（M）⁻¹(ξ,θ)}.
（f）
ϕ⁻¹(x个,θ)d日(x个,ξ^*,θ)⩽Φ(ξ^*,θ)米，对于所有人 ${x个}_{我} \in X（X）$ ⁠，其中米=尺寸(θ). 此外，ϕ⁻¹(x个,θ)×d日(x个,ξ^*,θ)=Φ(ξ^*,θ)米在优化设计的所有支持点。

2.3。二元指数模型

我们从本节中描述的双变量指数模型导出了双变量Weibull模型。对模型开发不感兴趣的读者可以跳到第节2.4.

让T型具有生存函数Pr的单变量指数密度(T型⩾t吨)=经验（−βt)用于0<t吨<∞。一元威布尔密度可以通过变换得到Y（Y）=T型^1/τ、和W公司=对数(βY^τ)遵循密度的标准极值分布（f）(w个)=经验{w个−经验(w个)}. 通过引入协变量作为−log，得到了一个通用的回归模型(β)=ϑ^T型（f）(x个)这意味着τ日志(Y（Y）)=ϑ^T型（f）(x个)+W公司（见Klein和Moeschberger(2003)，第39页）。该回归模型激发了第节中提出的双变量模型2.4.

我们从以下具有三个参数（Proschan和Sullo，1974):

（f） ({t吨}_{1}, {t吨}_{2}) = {\begin{matrix} β_{1} (β_{三} + β_{5}) 经验 {- (β_{三} + β_{5}) {t吨}_{2} - (β_{1} + β_{2} - β_{5}) {t吨}_{1}} & 对于 0 < {t吨}_{1} < {t吨}_{2} < \infty, \\ β_{2} (β_{三} + β_{4}) 经验 {- (β_{三} + β_{4}) {t吨}_{1} - (β_{1} + β_{2} - β_{4}) {t吨}_{2}} & 对于 0 < {t吨}_{2} < {t吨}_{1} < \infty, \\ β_{三} 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) {t吨}_{1}} & 对于 0 < {t吨}_{1} = {t吨}_{2} < \infty . \end{matrix}

(6)

注意，表达式（6）中的第一种情况是

\begin{array}{l} {β_{1} 经验 (- β_{1} {t吨}_{1}) 经验 (- β_{2} {t吨}_{1})} [β_{三} 经验 (- β_{三} {t吨}_{2}) 经验 {- β_{5} ({t吨}_{2} - {t吨}_{1})} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} + 经验 (- β_{三} {t吨}_{2}) β_{5} 经验 {- β_{5} ({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}] \end{array}

(7)

其中，括号组将事件的概率质量分开，直至并包括部件1在t吨₁从这次失败后事件的概率质量来看。具有速率的指数失效过程β₁操作第一个组件，直到其在T型₁=t吨₁，而指数过程（具有速率β₂)在0⩽中操作组件2不会失败T型₂⩽t吨₁.第三个指数失效过程同时作用于两个组件（速率β_三). 在这种情况下，组件2可能会因具体作用于它的过程而失败，也可能会因作用于这两个组件的过程而失效。因此，表达式（7）的第二组括号中出现了两个术语。在损失记忆假设下，表达式（7）表明组件2可能会在联合操作过程中以速率失败β_三而不是来自于专门操作组件2的过程（该过程的故障率从β₂到β₅组件1）或组件2的故障不是由联合过程破坏，而是由专门对其进行操作的过程破坏。

表达式（6）中的大小写，其中0<t吨₂<t吨₁<∞可以类推解释。当0<t吨₁=t吨₂<∞，概率质量因子为

经验 (- β_{1} {t吨}_{1}) 经验 (- β_{2} {t吨}_{1}) β_{三} 经验 (- β_{三} {t吨}_{1}),

通过以下方式反映组件特定过程的无故障t吨₁此时，过程共同作用，导致两个组件同时发生故障β_三注意，表达式（6）在t吨₁=t吨₂.

表达式（6）的边际生存函数可以写成加权单变量指数生存函数：

\begin{matrix} 公共关系 ({T型}_{1} ⩾ {t吨}_{1}) & = 一_{1} 经验 {- (β_{三} + β_{4}) {t吨}_{1}} + (1 - 一_{1}) 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) {t吨}_{1}}, \\ 公共关系 ({T型}_{2} ⩾ {t吨}_{2}) & = 一_{2} 经验 {- (β_{三} + β_{5}) {t吨}_{2}} + (1 - 一_{2}) 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) {t吨}_{2}} \end{matrix}

哪里一₁=β₂/(β₁+β₂−β₄)和一₂=β₁/(β₁+β₂−β₅). 如果β₁=β₄,β₂=β₅和β_三=0，则一₁=一₂=1和表达式（8）简化为两个独立的单变量指数生存函数。

2.4. 二元威布尔模型

哈纳格尔(2005)通过使用表达式（6）创建了一个双变量Weibull模型T型₁=Y（Y）^τ和T型₂=Z^τ,τ>0.Hanagal的模型是

（f） (年, z) = (\begin{matrix} β_{1} (β_{三} + β_{5}) τ^{2} {(年 z)}^{τ - 1} 经验 {- (β_{三} + β_{5}) z^{τ} - (β_{1} + β_{2} - β_{5}) 年^{τ}} & 对于 0 < 年 < z < \infty, \\ β_{2} (β_{三} + β_{4}) τ^{2} {(年 z)}^{τ - 1} 经验 {- (β_{三} + β_{4}) 年^{τ} - (β_{1} + β_{2} - β_{4}) z^{τ}} & 对于 0 < z < 年 < \infty, \\ β_{三} τ 年^{τ - 1} 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) 年^{τ}} & 对于 0 < 年 = z < \infty . \end{matrix})

(9)

二元威布尔密度（9）的边际生存函数是加权的单变量威布尔生存函数：

\begin{matrix} 公共关系 (Y（Y） ⩾ 年) = 一_{1} 经验 {- (β_{三} + β_{4}) 年^{τ}} + (1 - 一_{1}) 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) 年^{τ}}, \\ 公共关系 (Z ⩾ z) = 一_{2} 经验 {- (β_{三} + β_{5}) z^{τ}} + (1 - 一_{2}) 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) z^{τ}} . \end{matrix}

(10)

当τ= 1.

表中的结果概率1在二元威布尔模型下，可以根据表达式（9）来计算。例如，当 $γ_{1} > γ_{2}$ ⁠,

\begin{matrix} {第页}_{00} = & \int_{0}^{γ_{2}} \int_{0}^{z} β_{1} (β_{三} + β_{5}) τ^{2} {(年 z)}^{τ - 1} 经验 {- (β_{三} + β_{5}) z^{τ} - (β_{1} + β_{2} - β_{5}) 年^{τ}} d日 年 d日 z \\ + \int_{0}^{γ_{2}} \int_{z}^{γ_{1}} β_{2} (β_{三} + β_{4}) τ^{2} {(年 z)}^{τ - 1} 经验 {- (β_{三} + β_{4}) 年^{τ} - (β_{1} + β_{2} - β_{4}) z^{τ}} d日 年 d日 z \\ + \int_{0}^{γ_{2}} β_{三} τ 年^{τ - 1} 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) 年^{τ}} d日 年 . \end{matrix}

(11)

其他概率也可以类似地表示。我们所有的计算都假设 $γ_{1} > γ_{2}$ ⁠我们可以反过来。但是，如果我们标记组件以便 $γ_{1} > γ_{2}$ 是真的，我们不需要计算 $γ_{1} < γ_{2}$ ⁠.

应用于表达式（9）的总概率定律要求每种情况下的概率质量积分为常数，如下所示：

\begin{matrix} \begin{matrix} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{z} β_{1} (β_{三} + β_{5}) τ^{2} {(年 z)}^{τ - 1} 经验 {- (β_{三} + β_{5}) z^{τ} - (β_{1} + β_{2} - β_{5}) 年^{τ}} d日 年 d日 z \\ = \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2} + β_{三}} 对于 0 < 年 < z < \infty, \\ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{年} β_{2} (β_{三} + β_{4}) τ^{2} {(年 z)}^{τ - 1} 经验 {- (β_{三} + β_{4}) 年^{τ} - (β_{1} + β_{2} - β_{4}) z^{τ}} d日 z d日 年 \\ = \frac{β_{2}}{β_{1} + β_{2} + β_{三}} 对于 0 < z < 年 < \infty, \\ \int_{0}^{\infty} β_{三} τ 年^{τ - 1} 经验 {- (β_{1} + β_{2} + β_{三}) 年^{τ}} d日 年 = \frac{β_{三}}{β_{1} + β_{2} + β_{三}} 对于 0 < 年 = z < \infty . \end{matrix} \end{matrix}

(12)

这些条件意味着初始故障率β₁,β₂和β_三必须是积极的；失败后，费率β₄和β₅可以是否定的，但是β₄和β₅必须小于β_三因为威布尔密度（10）的尺度参数必须为正。

2.5. 一种新的二元Weibull回归模型

二元威布尔分布中的尺度参数可以写成回归参数的函数：

\begin{matrix} - 日志 (β_{三} + β_{5}) = η_{1} (x个; ϑ_{1}), \\ - 日志 (β_{三} + β_{4}) = η_{2} (x个; ϑ_{2}), \\ - 日志 (β_{1} + β_{2} + β_{三}) = η_{三} (x个; ϑ_{三}), \end{matrix}}

(13)

哪里η₁=η₁(x个;ϑ₁),η₂=η₂(x个;ϑ₂)和η_三=η_三(x个;ϑ_三)通常是非线性函数；ϑ₁,ϑ₂和ϑ_三可以是参数向量，以及x个可能是协变量的向量。

让θ={ϑ₁,ϑ₂,ϑ_三,τ,β₁,β₂}. 将回归系数（13）插入方程(11)产量

\begin{matrix} {第页}_{00} = & \frac{β_{1}}{经验 (- η_{三}) - 经验 (- η_{1})} [1 - 经验 {- 经验 (- η_{1}) γ_{2}^{τ}}] \\ - \frac{β_{2}}{经验 (- η_{三}) - 经验 (- η_{2})} (1 - 经验 [- {经验 (- η_{三}) - 经验 (- η_{2})} γ_{2}^{τ}]) 经验 {- 经验 (- η_{2}) γ_{1}^{τ}} \\ + \frac{经验 (- η_{三}) - 经验 (- η_{1}) - β_{1}}{经验 (- η_{三}) - 经验 (- η_{1})} [1 - 经验 {- 经验 (- η_{三}) γ_{2}^{τ}}] . \end{matrix}

表中显示的其他结果概率表达式1附录中给出了A类.因为β_三必须是正数，ϑ_三必须满足以下条件β_三=经验（−η_三)−β₁−β₂>0用于 ${x个}_{我} \in X（X）$ ⁠.

更换刻度参数(β_三+β₅,β_三+β₄和β₁+β₂+β_三)Weibull密度（10）的预测函数exp{−(θ₀+θ₁x个)}，经验{−(θ₀+θ₂x个)}和exp｛−(θ₀+θ_三x个)}分别是，β_三,β₄和β₅从结果概率表达式中删除，但β₁和β₂保持（见方程式(17)和附录B类). 这意味着θ₀和θ_三必须满足条件β_三=经验{−(θ₀+θ_三x个)}负极β₁−β₂>0用于 ${x个}_{我} \in X（X）$ ⁠.制造第页₀₀递减概率函数和第页₁₁递增概率函数为x个增加，θ₁,θ₂和θ_三必须为正数。总结上述条件x个∈[0,1]，我们要求

\begin{matrix} θ_{1}, θ_{2}, θ_{三}, β_{1}, β_{2} > 0, \\ 经验 {- (θ_{0} + θ_{三})} > β_{1} + β_{2} . \end{matrix}

2.6。信息矩阵

双元件失效单系统的对数似然函数U型和五处于压力下x个是

我 (θ | u个, v（v）; x个) = u个 v（v） 日志 ({第页}_{11}) + u个 (1 - v（v）) 日志 ({第页}_{10}) + (1 - u个) v（v） 日志 ({第页}_{01}) + (1 - u个) (1 - v（v）) 日志 ({第页}_{00}) .

(14)

分数函数可以写成三个矩阵的乘积：我(θ|u个,v（v）;x个)/∂θ=基础知识，其中

\begin{matrix} A类 = & (\begin{matrix} \frac{\partial η_{1}}{\partial ϑ_{1}} & \frac{\partial η_{2}}{\partial ϑ_{2}} & \frac{\partial η_{三}}{\partial ϑ_{三}} & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \times {J型}_{三 \times 1}, \\ \frac{\partial η_{j个}}{\partial ϑ_{j个}} = & (\begin{matrix} \frac{\partial η_{j个}}{\partial ϑ_{j个 1}} & \frac{\partial η_{j个}}{\partial ϑ_{j个 2}} & \dots & \frac{\partial η_{j个}}{\partial ϑ_{j个 米_{j个}}} \end{matrix}), j个 = 1, 2, 三, \end{matrix}

米_j个是中的参数数ϑ_j个和J型_一×b条是一个一×b条1s矩阵，

B类 = (\begin{matrix} \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial η_{1}} \times {J型}_{米_{1} \times 1} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial η_{1}} \times {J型}_{米_{1} \times 1} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial η_{1}} \times {J型}_{米_{1} \times 1} \\ \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial η_{2}} \times {J型}_{米_{2} \times 1} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial η_{2}} \times {J型}_{米_{2} \times 1} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial η_{2}} \times {J型}_{米_{2} \times 1} \\ \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial η_{三}} \times {J型}_{米_{三} \times 1} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial η_{三}} \times {J型}_{米_{三} \times 1} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial η_{三}} \times {J型}_{米_{三} \times 1} \\ \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial τ} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial τ} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial τ} \\ \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial β_{1}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial β_{1}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial β_{1}} \\ \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial β_{2}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial β_{2}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial β_{2}} \end{matrix}),

C类 = (\begin{matrix} \frac{u个 v（v）}{{第页}_{11}} - \frac{(1 - u个) (1 - v（v）)}{{第页}_{00}} \\ \frac{u个 (1 - v（v）)}{{第页}_{10}} - \frac{(1 - u个) (1 - v（v）)}{{第页}_{00}} \\ \frac{(1 - u个) v（v）}{{第页}_{01}} - \frac{(1 - u个) (1 - v（v）)}{{第页}_{00}} \end{matrix}) .

因此，信息矩阵可以写成

\begin{matrix} μ (x个, θ) = & E类 [(\frac{\partial 我 (θ | u个, v（v）; x个)}{\partial θ}) {(\frac{\partial 我 (θ | u个, v（v）; x个)}{\partial θ})}^{T型}] = E类 [(A类 B类 C类) {(A类 B类 C类)}^{T型}] \\ = E类 [A类 B类 C类 {C类}^{T型} {B类}^{T型} {A类}^{T型}] = A类 B类 (E类 [C类 {C类}^{T型}]) {B类}^{T型} {A类}^{T型} = A类 B类 D类 {B类}^{T型} {A类}^{T型} \end{matrix}

(15)

哪里D类=E类(科科斯群岛^T型). 自U型～伯努利(第页_1·)和五～伯努利(第页_·1)、和U型和五依赖，

E类 [C类 {C类}^{T型}] = 诊断 (\frac{1}{{第页}_{11}}, \frac{1}{{第页}_{10}}, \frac{1}{{第页}_{01}}) + (\frac{{J型}_{三 \times 三}}{{第页}_{00}}) .

3.示例：具有两个组件的系统

假设有一个由两个组件组成的系统。极端的力或应力可能会导致一个或两个部件损坏。给定压力有四种可能的结果（表1).

以碰撞试验为例，本文考虑了两个关键部件。将部件1设为人体部件（人体假人），将部件2设为机器部件（车辆）。我们假设两个组件的损伤量遵循只有一个协变量的双变量Weibull密度，即标准化速度：x个=（观察速度-最小速度）/（最大速度-最小转速）。我们将“最高速度”定为100英里/小时⁻¹1英里小时的“最低速度”⁻¹然后，通过方程式将损伤量二分法(1)。假设两个组件的预定致命损伤阈值为 $γ_{1}$ 和 $γ_{2}$ ⁠例如，人体假人颈部骨骼的严重裂纹（例如，这可能对人体致命）和前保险杠的不可修复损坏。我们设置了 $γ_{1} = 0.8$ 和 $γ_{2} = 0.7$ ⁠.让η_我=θ₀+θ_我x个，其中我= 1, 2, 3. 那么预测函数是

\begin{matrix} - 日志 (β_{三} + β_{5}) = θ_{0} + θ_{1} x个, \\ - 日志 (β_{三} + β_{4}) = θ_{0} + θ_{2} x个, \\ - 日志 (β_{1} + β_{2} + β_{三}) = θ_{0} + θ_{三} x个 . \end{matrix}}

(16)

什么时候？x个=0，两个组件没有受到任何损坏，这证明了相同的拦截是合理的θ₀.图。2显示了给定标准速度的部件1损伤量的选定条件边际密度函数。正如所期望的那样，在较高的速度下，发生严重损坏的可能性更大；在较低的速度下，发生轻微损坏的可能性更大。给定标准速度的部件2的损伤量的条件边际密度函数相似。

成分1（γ1=0.8）的应力水平条件下的边缘Weibull密度（θ0=−2，θ1=4，θ2=5，θ3=2，τ=2，β1=0.1和β2=0.2）：（a）f（y|x=0.3）；（b） f（y|x=0.5）；（c） f（y|x=0.7）；（d） f（y | x=0.9）

图2。

基于部件1应力水平的边际威布尔密度 $(γ_{1} = 0.8) (θ_{0} = - 2, θ_{1} = 4, θ_{2} = 5, θ_{三} = 2, τ = 2, β_{1} = 0.1 和 β_{2} = 0.2)$ ⁠：（a）（f）(年|x个= 0.3);（b）（f）(年|x个= 0.5);（c）（f）(年|x个= 0.7);（d）（f）(年|x个= 0.9)

将预测函数（16）插入表达式（11）中，得到

\begin{array}{l} {第页}_{00} = \frac{β_{1}}{经验 {- (θ_{0} + θ_{三} x个)} - 经验 {- (θ_{0} + θ_{1} x个)}} [1 - 经验 {- 经验 {- (θ_{0} + θ_{1} x个)} γ_{2}^{τ}}] \\ \begin{matrix}  \end{matrix} - \frac{β_{2}}{经验 {- (θ_{0} + θ_{三} x个)} - 经验 {- (θ_{0} + θ_{2} x个)}} {1 - 经验 (- [经验 {- (θ_{0} + θ_{三} x个)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} - 经验 {- (θ_{0} + θ_{2} x个)}] γ_{2}^{τ})} 经验 [- 经验 {- (θ_{0} + θ_{2} x个)} γ_{1}^{τ}] \\ \begin{matrix}  \end{matrix} + \frac{经验 {- (θ_{0} + θ_{三} x个)} - 经验 {- (θ_{0} + θ_{1} x个)} - β_{1}}{经验 {- (θ_{0} + θ_{三} x个)} - 经验 {- (θ_{0} + θ_{1} x个)}} (1 - 经验 [- 经验 {- (θ_{0} + θ_{三} x个)} γ_{2}^{τ}]) . \end{array}

(17)

附录中给出了具有预测函数（16）的其他结果概率的表达式B类.

所选结果概率与速度的函数关系图如图所示。三假设参数值θ₀= −2, θ₁= 4, θ₂= 5, θ_三= 2, τ= 2, β₁=0.1和β₂= 0.2. 概率第页₀₀=Pr（两个部件均无故障），第页_0·=Pr（组件1无故障）和第页_·0个=Pr（组件2无故障）都会随着x个（速度）增加；第页₁₁=Pr（两个组件的故障）随着x个（速度）增加。

结果和边际概率（θ0=-2，θ1=4，θ2=5，θ3=2，τ=2，β1=0.1和β2=0.2）：●，p00；■, p11基因；◆, p0；▲, 第0页；▼, 第10页；○, 第01页

图3。

结果和边际概率(θ₀= −2,θ₁= 4,θ₂＝5，θ_三= 2,τ= 2,β₁=0.1和β₂= 0.2): ●,第页₀₀; ■,第页₁₁; ◆,第页₀; ▲,第页_.0; ▼,第页₁₀; ○,第页₀₁

让θ={θ₀,θ₁,θ₂,θ_三,τ,β₁,β₂}. 假设简单线性预测η_我=θ₀+θ_我x个,我=1,2,3，信息矩阵（15）变为μ(x个,θ)=绿龙煤气^T型，其中G公司=AB公司和

{G公司}^{T型} = (\begin{matrix} \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial θ_{0}} & \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial θ_{1}} & \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial θ_{2}} & \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial θ_{三}} & \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial τ} & \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial β_{1}} & \frac{\partial {第页}_{11}}{\partial β_{2}} \\ \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial θ_{0}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial θ_{1}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial θ_{2}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial θ_{三}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial τ} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial β_{1}} & \frac{\partial {第页}_{10}}{\partial β_{2}} \\ \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial θ_{0}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial θ_{1}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial θ_{2}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial θ_{三}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial τ} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial β_{1}} & \frac{\partial {第页}_{01}}{\partial β_{2}} \end{matrix}) .

的偏导数μ(x个,θ)=绿龙煤气^T型（即第页₁₁,第页₁₀和第页₀₁)关于θ可以使用Mathematica（Wolfram Research，2012).

要在本地查找D类-最优设计和惩罚D类-最优设计，使用交换算法中的方向导数（参见Fedorov和Hackl(1997)，第3章）。交换算法的简单步骤列于在线补充材料平均信息矩阵（2）必须是满秩的，才能估计所有模型参数，而具有线性预测函数（16）的平均信息矩阵要求至少有三个设计点为满秩。因此，所有局部最优设计都至少有三个设计点。图中的条形图。4代表分配给特定速度的试验的比例。被处罚者D类-图中的最优设计4（b）,4（c）和4（d）使用惩罚函数（3）(C类₁= 1,C类₂= 1),(C类₁= 0,C类₂=1）和(C类₁= 1,C类₂=0）。由于当一个或两个部件的故障概率都较高时，会有更大的惩罚，因此在惩罚的D类-最佳设计。与被处罚者相比D类-优化设计，局部D类-优化设计有更多的信息。表中列出了因惩罚高失效率的应力而导致的信息损失2通过比较局部最优设计的信息。定义

电子 (ξ_{1}, ξ_{2}, θ) = {(\frac{| M（M） (ξ_{1}, θ) |}{| M（M） (ξ_{2}, θ) |})}^{1 / 米}

成为设计的相对效率ξ₁到ξ₂在θ，其中米是参数的数量。

二元威布尔分布（τ=2；，特定速度下的分配比例）（θ0=−2，θ1=4，θ2=5，θ3=2，τ=2，β1=0.1，β2=0.2，且（x，θ）=（1−p1.）−C1（1−的p.1）−C2+0.2；∙，p00；▪,第11页，p0.05。；▴,第0页）：

图4。

本地D类-优化设计和惩罚D类-二元威布尔分布下线性预测函数的最优设计(τ= 2; 图解的，特定速度下的分配比例）(⁠ $θ_{0} = - 2, θ_{1} = 4, θ_{2} = 5, θ_{三} = 2, τ = 2, β_{1} = 0.1, β_{2} = 0.2 和 ϕ (x个, θ) = {(1 - {第页}_{1 .})}^{- {C类}_{1}} {(1 - {第页}_{. 1})}^{- {C类}_{2}} + 0.2; ∙, {第页}_{00}; ▪, {第页}_{11}; ⧫, {第页}_{0 .}; ▴, {第页}_{. 0}$ ⁠): 图解的

表2。

缺陷设计的效率

$电子 (ξ_{{局部放电}_{1}}, ξ_{D类}, θ)$	$电子 (ξ_{{局部放电}_{2}}, ξ_{D类}, θ)$	$电子 (ξ_{{局部放电}_{三}}, ξ_{D类}, θ)$
0.8089	0.9108	0.9172

表2。

缺陷设计的效率

$电子 (ξ_{{局部放电}_{1}}, ξ_{D类}, θ)$	$电子 (ξ_{{局部放电}_{2}}, ξ_{D类}, θ)$	$电子 (ξ_{{局部放电}_{三}}, ξ_{D类}, θ)$
0.8089	0.9108	0.9172

4.稳健性

与线性模型优化设计不同，非线性响应模型的优化设计取决于参数值，因为信息矩阵包含参数。在本节中，我们研究局部最优设计对模型错误指定的鲁棒性。在下一节中，我们将说明通过将总样本分成组并运行一系列从先前结果中学习的实验，可以大大改进设计。表三显示了用于评估稳健性的参数向量值。它们涵盖了广泛的可能值。表中不同模型参数选择的结果概率变化三如图所示S1（第一阶段）——第7页在线补充材料中。图S2系列和第3章补充材料显示θ₁和θ₂分别对第页₀₀,第页₁₁,第页_0·和第页_·0。的值第页₀₀,第页₁₁,第页_0·和第页_·0相对于θ₁和θ₂因为θ₁和θ₂仅出现在Z和Y（Y）分别；其他参数出现在两个边缘密度函数中。

表3。

用于评估稳健性的真实参数值†

$θ_{我}$	θ₀,θ₁,θ₂,θ_三, τ,β₁，β₂	局部优化设计
$θ_{1}$ （图。4（a）)	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{1}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1932, & 0.3859, & 0.4209 \end{matrix})$
$θ_{2}$ （图S1（a））	−3、4、5、2、2、0.1、0.2	$ξ_{θ_{2}} = (\begin{matrix} 0.17, & 0.51, & 1 \\ 0.1534, & 0.4187, & 0.4279 \end{matrix})$
$θ_{三}$ （图S1（c））	−1, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{三}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.30, & 1 \\ 0.2537, & 0.3512, & 0.3951 \end{matrix})$
$θ_{4}$ （图S2（a）	−2, 3, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{4}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 1 \\ 0.1972, & 0.2679, & 0.1159, & 0.4189 \end{matrix})$
$θ_{5}$ （图S2（c））	−2, 100, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{5}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.35, & 1 \\ 0.1936, & 0.3849, & 0.4215 \end{matrix})$
$θ_{6}$ （图S3（a））	−2, 4, 4, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{6}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 0.41, & 1 \\ 0.1985, & 0.0771, & 0.2806, & 0.0258, & 0.4180 \end{matrix})$
$θ_{7}$ （图S3（c））	−2, 4, 100, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{7}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.41, & 0.42, & 1 \\ 0.3709, & 0.1464, & 0.1057, & 0.3770 \end{matrix})$
$θ_{8}$ （图S4（a））	−2, 4, 5, 1, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{8}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.35, & 0.36, & 1 \\ 0.2073, & 0.3177, & 0.0517, & 0.4233 \end{matrix})$
$θ_{9}$ （图S4（c））	−2, 4, 5, 3, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{9}} = (\begin{matrix} 0.03, & 0.37, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.1987, & 0.0114, & 0.2103, & 0.1689, & 0.4106 \end{matrix})$
$θ_{10}$ （图S5（a））	−2, 4, 5, 2, 1, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{10}} = (\begin{matrix} 0.06, & 0.40, & 1 \\ 0.1845, & 0.3917, & 0.4238 \end{matrix})$
$θ_{11}$ （图S5（c））	−2, 4, 5, 2, 3, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{11}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.34, & 1 \\ 0.2105, & 0.3728, & 0.4166 \end{matrix})$
$θ_{12}$ （图S6（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.05, 0.2	$ξ_{θ_{12}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 0.37, & 1 \\ 0.1934, & 0.2920, & 0.0939, & 0.4207 \end{matrix})$
$θ_{13}$ （图S6（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.7, 0.2	$ξ_{θ_{13}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1928, & 0.3862, & 0.4210 \end{matrix})$
$θ_{14}$ （图S7（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.1	$ξ_{θ_{14}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1917, & 0.3871, & 0.4212 \end{matrix})$
$θ_{15}$ （图S7（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.8	$ξ_{θ_{15}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.2030, & 0.1573, & 0.2229, & 0.4169 \end{matrix})$
$θ_{16}$ （图。5（b）)	−1.5, 8, 10, 1.5, 1, 0.3, 0.4	$ξ_{θ_{16}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.18, & 1 \\ 0.2083, & 0.3671, & 0.4246 \end{matrix})$

$θ_{我}$	θ₀,θ₁，θ₂,θ_三, τ,β₁,β₂	局部优化设计
$θ_{1}$ （图。4（a）)	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{1}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1932, & 0.3859, & 0.4209 \end{matrix})$
$θ_{2}$ （图S1（a））	−3, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{2}} = (\begin{matrix} 0.17, & 0.51, & 1 \\ 0.1534, & 0.4187, & 0.4279 \end{matrix})$
$θ_{三}$ （图S1（c））	−1, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{三}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.30, & 1 \\ 0.2537, & 0.3512, & 0.3951 \end{matrix})$
$θ_{4}$ （图S2（a）	−2、3、5、2、2、0.1、0.2	$ξ_{θ_{4}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 1 \\ 0.1972, & 0.2679, & 0.1159, & 0.4189 \end{matrix})$
$θ_{5}$ （图S2（c））	−2、100、5、2、2、0.1、0.2	$ξ_{θ_{5}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.35, & 1 \\ 0.1936, & 0.3849, & 0.4215 \end{matrix})$
$θ_{6}$ （图S3（a））	−2, 4, 4, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{6}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 0.41, & 1 \\ 0.1985, & 0.0771, & 0.2806, & 0.0258, & 0.4180 \end{matrix})$
$θ_{7}$ （图S3（c））	−2, 4, 100, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{7}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.41, & 0.42, & 1 \\ 0.3709, & 0.1464, & 0.1057, & 0.3770 \end{matrix})$
$θ_{8}$ （图S4（a））	−2, 4, 5, 1, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{8}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.35, & 0.36, & 1 \\ 0.2073, & 0.3177, & 0.0517, & 0.4233 \end{matrix})$
$θ_{9}$ （图S4（c））	−2, 4, 5, 3, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{9}} = (\begin{matrix} 0.03, & 0.37, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.1987, & 0.0114, & 0.2103, & 0.1689, & 0.4106 \end{matrix})$
$θ_{10}$ （图S5（a））	−2, 4, 5, 2, 1, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{10}} = (\begin{matrix} 0.06, & 0.40, & 1 \\ 0.1845, & 0.3917, & 0.4238 \end{matrix})$
$θ_{11}$ （图S5（c））	−2, 4, 5, 2, 3, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{11}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.34, & 1 \\ 0.2105, & 0.3728, & 0.4166 \end{matrix})$
$θ_{12}$ （图S6（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.05, 0.2	$ξ_{θ_{12}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 0.37, & 1 \\ 0.1934, & 0.2920, & 0.0939, & 0.4207 \end{matrix})$
$θ_{13}$ （图S6（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.7, 0.2	$ξ_{θ_{13}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1928, & 0.3862, & 0.4210 \end{matrix})$
$θ_{14}$ （图S7（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.1	$ξ_{θ_{14}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1917, & 0.3871, & 0.4212 \end{matrix})$
$θ_{15}$ （图S7（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.8	$ξ_{θ_{15}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.2030, & 0.1573, & 0.2229, & 0.4169 \end{matrix})$
$θ_{16}$ （图。5（b）)	−1.5, 8, 10, 1.5, 1, 0.3, 0.4	$ξ_{θ_{16}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.18, & 1 \\ 0.2083, & 0.3671, & 0.4246 \end{matrix})$

†

$θ_{1}$ 具有与图1-4中使用的参数值相同的参数值。参数向量 $θ_{2} - θ_{15}$ 通过改变一个单独的参数值来获得 $θ_{1}$ ⁠。第二列中斜体的值表示操作参数值。在 $θ_{16}$ ⁠，所有参数值都从 $θ_{1}$ ⁠.

表3。

用于评估稳健性的真实参数值†

$θ_{我}$	θ₀，θ₁,θ₂,θ_三, τ,β₁,β₂	局部优化设计
$θ_{1}$ （图。4（a）)	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{1}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1932, & 0.3859, & 0.4209 \end{matrix})$
$θ_{2}$ （图S1（a））	−3、4、5、2、2、0.1、0.2	$ξ_{θ_{2}} = (\begin{matrix} 0.17, & 0.51, & 1 \\ 0.1534, & 0.4187, & 0.4279 \end{matrix})$
$θ_{三}$ （图S1（c））	−1, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{三}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.30, & 1 \\ 0.2537, & 0.3512, & 0.3951 \end{matrix})$
$θ_{4}$ （图S2（a）	−2, 3, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{4}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 1 \\ 0.1972, & 0.2679, & 0.1159, & 0.4189 \end{matrix})$
$θ_{5}$ （图S2（c））	−2, 100, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{5}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.35, & 1 \\ 0.1936, & 0.3849, & 0.4215 \end{matrix})$
$θ_{6}$ （图S3（a））	−2, 4, 4, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{6}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 0.41, & 1 \\ 0.1985, & 0.0771, & 0.2806, & 0.0258, & 0.4180 \end{matrix})$
$θ_{7}$ （图S3（c））	−2, 4, 100, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{7}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.41, & 0.42, & 1 \\ 0.3709, & 0.1464, & 0.1057, & 0.3770 \end{matrix})$
$θ_{8}$ （图S4（a））	−2, 4, 5, 1, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{8}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.35, & 0.36, & 1 \\ 0.2073, & 0.3177, & 0.0517, & 0.4233 \end{matrix})$
$θ_{9}$ （图S4（c））	−2, 4, 5, 3, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{9}} = (\begin{matrix} 0.03, & 0.37, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.1987, & 0.0114, & 0.2103, & 0.1689, & 0.4106 \end{matrix})$
$θ_{10}$ （图S5（a））	−2, 4, 5, 2, 1, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{10}} = (\begin{matrix} 0.06, & 0.40, & 1 \\ 0.1845, & 0.3917, & 0.4238 \end{matrix})$
$θ_{11}$ （图S5（c））	−2, 4, 5, 2, 3, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{11}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.34, & 1 \\ 0.2105, & 0.3728, & 0.4166 \end{matrix})$
$θ_{12}$ （图S6（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.05, 0.2	$ξ_{θ_{12}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 0.37, & 1 \\ 0.1934, & 0.2920, & 0.0939, & 0.4207 \end{matrix})$
$θ_{13}$ （图S6（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.7, 0.2	$ξ_{θ_{13}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1928, & 0.3862, & 0.4210 \end{matrix})$
$θ_{14}$ （图S7（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.1	$ξ_{θ_{14}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1917, & 0.3871, & 0.4212 \end{matrix})$
$θ_{15}$ （图S7（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.8	$ξ_{θ_{15}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.2030, & 0.1573, & 0.2229, & 0.4169 \end{matrix})$
$θ_{16}$ （图。5（b）)	−1.5, 8, 10, 1.5, 1, 0.3, 0.4	$ξ_{θ_{16}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.18, & 1 \\ 0.2083, & 0.3671, & 0.4246 \end{matrix})$

$θ_{我}$	θ₀,θ₁,θ₂,θ_三, τ,β₁,β₂	局部优化设计
$θ_{1}$ （图。4（a）)	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{1}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1932, & 0.3859, & 0.4209 \end{matrix})$
$θ_{2}$ （图S1（a））	−3, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{2}} = (\begin{matrix} 0.17, & 0.51, & 1 \\ 0.1534, & 0.4187, & 0.4279 \end{matrix})$
$θ_{三}$ （图S1（c））	−1, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{三}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.30, & 1 \\ 0.2537, & 0.3512, & 0.3951 \end{matrix})$
$θ_{4}$ （图S2（a）	−2, 3, 5, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{4}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 1 \\ 0.1972, & 0.2679, & 0.1159, & 0.4189 \end{matrix})$
$θ_{5}$ （图S2（c））	−2、100、5、2、2、0.1、0.2	$ξ_{θ_{5}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.35, & 1 \\ 0.1936, & 0.3849, & 0.4215 \end{matrix})$
$θ_{6}$ （图S3（a））	−2, 4, 4, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{6}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.39, & 0.40, & 0.41, & 1 \\ 0.1985, & 0.0771, & 0.2806, & 0.0258, & 0.4180 \end{matrix})$
$θ_{7}$ （图S3（c））	−2, 4, 100, 2, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{7}} = (\begin{matrix} 0.02, & 0.41, & 0.42, & 1 \\ 0.3709, & 0.1464, & 0.1057, & 0.3770 \end{matrix})$
$θ_{8}$ （图S4（a））	−2、4、5、1、2、0.1、0.2	$ξ_{θ_{8}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.35, & 0.36, & 1 \\ 0.2073, & 0.3177, & 0.0517, & 0.4233 \end{matrix})$
$θ_{9}$ （图S4（c））	−2, 4, 5, 3, 2, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{9}} = (\begin{matrix} 0.03, & 0.37, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.1987, & 0.0114, & 0.2103, & 0.1689, & 0.4106 \end{matrix})$
$θ_{10}$ （图S5（a））	−2, 4, 5, 2, 1, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{10}} = (\begin{matrix} 0.06, & 0.40, & 1 \\ 0.1845, & 0.3917, & 0.4238 \end{matrix})$
$θ_{11}$ （图S5（c））	−2, 4, 5, 2, 3, 0.1, 0.2	$ξ_{θ_{11}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.34, & 1 \\ 0.2105, & 0.3728, & 0.4166 \end{matrix})$
$θ_{12}$ （图S6（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.05, 0.2	$ξ_{θ_{12}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 0.37, & 1 \\ 0.1934, & 0.2920, & 0.0939, & 0.4207 \end{matrix})$
$θ_{13}$ （图S6（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.7, 0.2	$ξ_{θ_{13}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1928, & 0.3862, & 0.4210 \end{matrix})$
$θ_{14}$ （图S7（a））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.1	$ξ_{θ_{14}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.36, & 1 \\ 0.1917, & 0.3871, & 0.4212 \end{matrix})$
$θ_{15}$ （图S7（c））	−2, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.8	$ξ_{θ_{15}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.38, & 0.39, & 1 \\ 0.2030, & 0.1573, & 0.2229, & 0.4169 \end{matrix})$
$θ_{16}$ （图。5（b）)	−1.5、8、10、1.5、1、0.3、0.4	$ξ_{θ_{16}} = (\begin{matrix} 0.01, & 0.18, & 1 \\ 0.2083, & 0.3671, & 0.4246 \end{matrix})$

†

$θ_{1}$ 与图1-4中使用的参数值相同。参数向量 $θ_{2} - θ_{15}$ 通过改变一个单独的参数值来获得 $θ_{1}$ ⁠。第二列中斜体的值表示操作参数值。在 $θ_{16}$ ⁠，所有参数值都从 $θ_{1}$ ⁠.

表4包含效率D类-与参数向量值相对应的最优设计θ在表中三。位于我第行和j个表的第几列4是信息矩阵行列式的比率： $电子 (ξ_{θ_{j个}}, ξ_{θ_{我}}, θ_{我})$ ⁠，其中我,j个= 1,2,…,16. 例如，假设 $θ_{2}$ 是一个真实参数，是表第二行和第十六列中的最低效率值（0.27）4告诉我们，如果真参数 $θ_{2}$ 被错误指定为 $θ_{16}$ ⁠，需要3.7（1/0.27=3.70）倍的样本才能通过使用 $ξ_{θ_{16}}$ 而不是 $ξ_{θ_{2}}$ ⁠值得注意的是，对于如此复杂的模型，对于广泛的参数值，局部优化设计具有很高的效率。大多数被评估的病例至少有90%的效率。然而，当θ₀指定错误。表第二行和第1-15列的条目4表明当θ₀另外一个参数值指定错误。尤其值得注意的是，效率对θ₀例如，当 $θ_{2}$ 被错误指定为 $θ_{1}$ (θ₀增加1），效率为0.71。什么时候？ $θ_{2}$ 被错误指定为 $θ_{三}$ (θ₀增加2），效率低得多（0.57）。

表4。

本地的效率D类-参数取值可变的优化设计†

$θ_{我}$	$ξ_{θ_{我}}$ 对于i的以下值：
$θ_{我}$	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1		‡														§
2	§		§§	§	§	§	§	§§	§	‡	§§	§	§	§	§	§§
三		§§								‡
4																§
5		§§							‡	§§						§
6		‡														§
7	‡	§§	‡	‡		‡		‡	‡	§§	‡	‡	‡	‡	‡	§
8		§														§
9		‡														§
10		‡														§§
11		§														‡
12		‡														§
13		‡														§
14		‡														§
15		‡														§
16	§§	§§	‡	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§§	§§

$θ_{我}$	$ξ_{θ_{我}}$ 对于i的以下值：
$θ_{我}$	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1		‡														§
2	§		§§	§	§	§	§	§§	§	‡	§§	§	§	§	§	§§
三		§§								‡
4																§
5		§§							‡	§§						§
6		‡														§
7	‡	§§	‡	‡		‡		‡	‡	§§	‡	‡	‡	‡	‡	§
8		§														§
9		‡														§
10		‡														§§
11		§														‡
12		‡														§
13		‡														§
14		‡														§
15		‡														§
16	§§	§§	‡	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§§	§§

†

效率= $电子 (ξ_{θ_{j个}}, ξ_{θ_{我}}, θ_{我})$ ⁠,我,j个= 1,2,…,16. 对于空区，0.90<效率⩽1.00。

‡

0.80<效率⩽0.90。

§

0.70<效率0.80。

§§

效率⩽0.70。

表4。

本地的效率D类-参数取值可变的优化设计†

$θ_{我}$	$ξ_{θ_{我}}$ 对于i的以下值：
$θ_{我}$	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1		‡														§
2	§		§§	§	§	§	§	§§	§	‡	§§	§	§	§	§	§§
三		§§								‡
4																§
5		§§							‡	§§						§
6		‡														§
7	‡	§§	‡	‡		‡		‡	‡	§§	‡	‡	‡	‡	‡	§
8		§														§
9		‡														§
10		‡														§§
11		§														‡
12		‡														§
13		‡														§
14		‡														§
15		‡														§
16	§§	§§	‡	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§§	§§

$θ_{我}$	$ξ_{θ_{我}}$ 对于i的以下值：
$θ_{我}$	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1		‡														§
2	§		§§	§	§	§	§	§§	§	‡	§§	§	§	§	§	§§
三		§§								‡
4																§
5		§§							‡	§§						§
6		‡														§
7	‡	§§	‡	‡		‡		‡	‡	§§	‡	‡	‡	‡	‡	§
8		§														§
9		‡														§
10		‡														§§
11		§														‡
12		‡														§
13		‡														§
14		‡														§
15		‡														§
16	§§	§§	‡	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§	§§	§§	§§	§§

†

效率= $电子 (ξ_{θ_{j个}}, ξ_{θ_{我}}, θ_{我})$ ⁠,我,j个= 1,2,…,16. 对于空区，0.90<效率⩽1.00。

‡

0.80<效率⩽0.90。

§

0.70<效率0.80。

§§

效率⩽0.70。

5.自适应优化设计

为了弥补最初对参数的错误规定，一些研究人员（包括Box和Hunter(1965)费多罗夫(1972)和白色(1975))提出了顺序估计最优设计。福特和西尔维(1980)结果表明，对于一个简单的非线性函数，具有两个支撑点的顺序构造设计在理论和经验上收敛于最优设计。阿特金森等. (2007)第17章，提出了非线性模型的序贯程序，该程序从参数值的初始猜测开始，然后依次找到线性化模型的最优设计，直到新的参数估计足够准确。费多罗夫和吴(2007)，德拉加林等. (2008年b)和其他人使用两阶段设计进行两个相关反应的剂量发现研究。德特等. (2013)比较了两阶段自适应最优设计与固定设计的渐近效率。

让 $θ_{0}$ 是真参数的初始猜测θ在两阶段自适应优化设计中，首先n个₀局部最优设计的观察结果 $ξ_{θ_{0}}$ ⁠; 然后估计 $θ_{0}$ 采用最大似然法。让 ${\hat{θ}}_{0}$ 是对…的估计 $θ_{0}$ 从第一阶段开始，让 $ξ_{{\hat{θ}}_{0}}$ 是基于的局部优化设计 ${\hat{θ}}_{0}$ ⁠.接受n个₁局部最优设计的观察结果 $ξ_{{\hat{θ}}_{0}}$ ⁠.然后 $\hat{θ}$ 是所有观测值的最大似然估计值n个=n个₀+n个₁.

为了帮助选择n个₀普伦扎托和帕兹曼(2013)第8.5节指出n个₀与√成正比n个.车道等. (2014)表明使用n个₀= √n个不一定是最优的，但我们选择n个₀最接近√的整数n个为了简单起见。我们建议感兴趣的读者查看选择程序n个₀Lane推荐的等. (2014).

现在我们考虑两种可能的情况。在第一种情况下， $θ_{0}$ 是一个非常低效的选择。表中的参数三, $θ_{16}$ 如果真参数为 $θ_{2}$ ⁠.效率ξ₁₆关于ξ₂, $电子 (ξ_{θ_{16}}, ξ_{θ_{2}}, θ_{2})$ ⁠，为0.2707。我们假设θ₂是真正的参数，并已使用θ₁₆作为两阶段设计第一阶段的初始参数。局部最优设计和概率分布 $θ_{2}$ 和 $θ_{16}$ 在表中三和图。5.图。6（a）显示了不同样本大小的两阶段自适应优化设计的效率。仿真细节见附录C类与初始局部优化设计（折线）的效率相比，两阶段自适应优化设计具有更多的真实参数信息。它清楚地表明，可以使用两阶段自适应优化设计来补偿初始错误指定的参数。

（a）θ2={−3,4,5,2,2,0.1,0.2}，（b）θ16={–1.5,8,10,1,1.5,1,0.3,0.4}和（c）θ10={-2,4,5,1,0.1，0.2}:∙，p00的概率分布和D-最优设计；▪,第11页，p0.05。；▴,第0页

图5。

概率分布和D类-具有（a）的最优设计 $θ_{2} = {- 三, 4, 5, 2, 2, 0.1, 0.2}$ ⁠，（b） $θ_{16} = {- 1.5, 8, 10, 1.5, 1, 0.3, 0.4}$ 和（c） $θ_{10} = {- 2, 4, 5, 2, 1, 0.1, 0.2}$ ⁠: $∙, {第页}_{00}; ▪, {第页}_{11}; ⧫, {第页}_{0 .}; ▴, {第页}_{. 0}$

两阶段自适应优化设计相对于初始局部最优设计ξθ0的效率的箱线图；对每个n）（––，局部最优设计ξθ0（用于自适应过程的第一阶段）的效率）进行了100次实验：（a）情况1；（b）案例2

图6。

两阶段自适应优化设计相对于初始局部优化设计的效率箱线图 $ξ_{θ_{0}}$ (⁠ $ξ_{{\hat{θ}}_{0}}$ 表示基于第一阶段设计参数估计的局部最优设计 $ξ_{θ_{0}}; 效率 = {(\frac{{第页}_{0} | M（M） (ξ_{θ_{0}}, θ) | + (1 - {第页}_{0}) | M（M） (ξ_{{\hat{θ}}_{0}}, θ) |}{| M（M） (ξ_{θ}, θ) |})}^{1 / 米}$ 哪里第页₀= √n个/n个; 每个都进行了100次实验n个)（–––，局部优化设计的效率 $ξ_{θ_{0}}$ （用于自适应程序的第一阶段）：（a）情况1；（b）案例2

在第二种情况下， $θ_{0}$ 效率很高。我们再次使用 $θ_{2}$ 作为true参数，我们使用 $θ_{10}$ 作为在两阶段设计的阶段1中使用的初始参数。表中的参数三, $θ_{10}$ 如果真参数为 $θ_{2}$ ⁠局部最优设计和概率分布 $θ_{10}$ 也可以在表中找到三和图。5.效率ξ₁₀关于 $ξ_{2}, 电子 (ξ_{θ_{10}}, ξ_{θ_{2}}, θ_{2})$ ⁠，为0.8436。图。6（b）向我们表明，尽管在效率方面的增益空间较小，但两阶段自适应最优设计仍然极有可能比初始局部最优设计具有更多的信息。总之，与单阶段设计相比，强烈建议采用两阶段自适应优化设计。

6.结论

我们提出了在二元威布尔回归模型下的最优实验设计。双变量威布尔模型对于物理测量的双系统实验是合理的，因为物理测量是正的。这与Gumbel模型、双变量二元Cox模型和双变量probit模型形成了对比，在这些模型中，结果测量可以在整个实线上进行。例如，本文讨论的结果是损害的数量。我们可以考虑其他测量，例如机器部件的寿命或生产量。

阳性反应不仅出现在工程研究中，也出现在生物学和药学研究中。例如，Dragalin等. (2008年a)在剂量发现研究中使用双变量probit模型，获得了具有两个二元二分反应的局部最优设计：疗效和毒性。费多罗夫和吴(2007)比较了来自二元probit模型的局部最优设计。双变量观测值是通过对双变量正态分布的响应进行二分得到的。他们记录了从二分法随机变量中获得的信息与从原始连续随机变量中获取的信息的损失。然而，在这两种情况下，他们都假设响应范围从−∞到∞。如果我们测量药效和毒性的物理量，双变量威布尔模型比其他模型更自然。

在本文中，为了简单起见，我们假设了两个组件失效。然后在给定压力水平的二元威布尔函数下计算四种结果概率。利用参数的非线性函数对二元威布尔分布中的尺度参数进行了展开，得到了信息矩阵的一般形式。

我们的激励应用程序涉及碰撞测试中的两个关键系统组件：人组件和机器组件。我们假设两个组件的损伤量遵循只有一个协变量（标准化速度）的双变量威布尔密度。我们演示了如何惩罚D类-优化设计，保护组件免受更高应力水平的影响。当地D类-优化设计和惩罚D类-根据不同的参数值对优化设计进行了比较。正如预期的那样，当地D类-优化设计比惩罚设计具有更多的信息D类-最佳设计。

设计效率在广泛的错误参数范围内表现出令人惊讶的稳健。然而，当θ₀指定错误。

为了提高对错误参数值进行优化设计的效率，我们建议采用两阶段自适应优化设计。在模拟研究中，两阶段自适应优化设计比单阶段设计具有更高的概率，即使是从有效设计开始，也具有更多的信息。

由于第二阶段设计是第一阶段最大似然估计值的函数（这是第一阶段充分统计值的函数），因此第二阶段的数据取决于第一阶段的数据。然而，如果两个阶段的样本量足够大，则在最大似然估计中可以忽略阶段之间的相关性（Pronzato和Pázman，2013). 如果第一阶段样本量较小，我们预计最大似然估计的分布是正态分布的比例混合（正如Lane和Flournoy的简单模型所发现的那样(2012)).

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