Functional Peaks-Over-Threshold Analysis

de Fondeville, Raphaël; Davison, Anthony C.

doi:10.1111/rssb.12498

摘要

使用广义帕累托分布的峰值-阈值分析广泛应用于单变量随机变量尾部建模，但当使用单变量结果研究复杂的极端事件时，可能会丢失许多信息。在本文中，我们将峰值-阈值分析扩展到函数数据的极值。使用函数定义的阈值超出第页由第页-Pareto过程，广义Pareto分布的泛函推广，涵盖尾部概率衰减的三种经典状态，这是唯一可能的连续极限第页-适当重标过程的超越。我们给出了泛化的构造规则、仿真算法和推理过程第页-帕累托过程，讨论模型验证，并将新方法应用于极端欧洲风暴和强空间降雨。

函数规则变化,峰值-阈值分析,降雨量,第页-帕累托过程,空间统计学,极值统计,风暴

1简介

极值理论为统计分布尾部的描述和建模提供了一个数学框架，可用于推断观测事件以外的情况。该理论已被广泛研究（Beirlant等人。，2004; 科尔斯·唐恩，1991; Embrechts等人。，1997; Fisher&Tippett，1928; 格内登科，1943; Heffernan&Tawn，2004; Pickands、，1975)广泛应用于各种应用中（科尔斯、，2001; 霍斯金和沃利斯，1987; Katz等人。，2002). 然而，许多复杂现象无法使用单变量或多变量方法建模，因此在过去十年中，人们探索了更丰富的高维数据分析方法。

最大稳定过程（德哈恩，1984; de Haan和Ferreira，2006，第9.2节）提供了经典极值分布的函数扩展，并已成功用于建模最大值，但难以适用于高维（Huser&Davison，2013). 此外，它们合并了单个极值事件，因此丢弃了信息，使得难以检测尾部行为混合等现象。例如，在一些地区，降雨事件要么是对流的，因此局部强度很高，要么是气旋的，具有较大的空间积水，但局部强度较低。虽然受不同天气模式的影响，但两者都可能导致洪水，如图所示1，它们尾巴的边缘分布及其时空结构可能有很大差异。尽管大型活动也可能具有很大的破坏性，但在关注最大值时，此类活动往往会被忽视。

2013-2018年苏黎世地区极端每小时降雨量事件，使用网格s上的雷达降雨量测量值X（s）（mm）进行计算。顶部：空间平均值|s |−1бSX（s，ds）和空间最大值∈SX，用红色阈值划分每种类型的最大11个事件。底线：对应于最大空间平均值（左）和最大空间最大值（右）的事件

图1

2013年至2018年苏黎世地区极端每小时降雨量事件，使用雷达降雨量测量进行计算X（X）(秒)（mm）网格上S公司顶部：空间平均值 ${| S公司 |}^{- 1} \int_{S公司} X（X） (秒) d日秒$ 和空间最大值 ${最大值}_{秒 \in S公司} X（X） (秒)$ ⁠红色阈值划分了每种类型中最大的11个事件。底线：对应于最大空间平均值（左）和最大空间最大值（右）的事件

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在一维情况下，阈值超标分析通常优于块极大值分析。该方法起源于水文学，以“峰值超过阈值”（POT）或“部分持续时间序列”分析（NERC，1975; 托多罗维奇和罗赛尔，1971; Todorovic和Zelenhasic，1970)，其目标是包括所有大型单个事件，从而访问比从块（通常是年度）最大值中提取的信息更多的信息。当数据有限且存在明显的季节性成分时，这种方法尤其有价值。Balkema和de Haan提供了阈值建模的概率基础(1974)、皮克兰德(1975)和Leadbetter(1991)统计方面由Davison开发(1984)，史密斯(1984)还有戴维森和史密斯(1990). 其基本思想是将广义帕累托分布拟合到某个变量（如河流流量或污染水平超过阈值）的超标值。大量文献建立在这一早期工作的基础上，该方法及其许多变体已应用于许多其他环境中。

在某些应用中，将多元数据简化为标量“结构变量”是有帮助的（Coles&Tawn，1994)可以使用POT或其他单变量方法进行分析，但这种方法无法洞察产生罕见事件的变量组合。此外，由于存在一些潜在物理过程等因素，不同结构变量的尾部行为可能会有很大差异。功能峰值-阈值分析修改了这种方法，以对依赖结构提供不同的观点，并通过定义针对特定类型事件的功能极值，为检测尾部行为的混合物提供了理论基础，如图所示1.

现有功能峰值-阈值程序依赖于特定类型的超越（费雷拉和德哈恩，2014)或仅限于数据必须具有无限支持且共享相同多项式类型尾部衰减的设置（Dombry&Ribate，2015). 可以将观测转换为具有共同的边缘分布，例如单位Fréchet（Coles&Tawn，1991第5节）或Pareto单元（Klüppelberg&Resnick，2008)，可以在这个转换的尺度上定义超越，但由于许多极端现象在原始数据的尺度上最自然地表现出来，使用转换可以权衡可解释性与数学正确性（例如，de Fondeville&Davison，2018). 在单变量极值理论中，广义帕累托分布提供了一个单一的框架，用于在任何经典威布尔、冈贝尔或弗雷切特制度中建模原始数据。本文在假设过程在其域内具有相同的尾部衰减率，且其极限尾部分布具有某种程度的依赖性的前提下，为函数峰值-阈值分析提供了类似的统一公式。需要尾部衰减限制来直接定义原始过程中的超越，否则尾部最重的区域或位置将主导极限分布，从而导致不切实际的模型。我们扩展了董布里和里巴特的工作(2015)通过引入第页-Pareto过程，允许对罕见事件进行更灵活的定义，并对尾部进行广义Pareto余量。概括的第页-帕累托过程是适当重标度过程的唯一连续极限。对于某些超标定义，它允许对具有固定强度的事件进行蒙特卡罗模拟，即风险水平具有规定回报水平的事件。这些结果依赖于一种特定类型的收敛，它排除了极限尾部分布的独立性；尽管我们的结果可以概括为处理这一问题，但我们将其留给未来的工作。

章节2回顾了经典的单变量结果，并介绍了函数峰值-阈值分析。我们导出了三种尾部衰减机制的收敛结果，定义并表征了广义的第页-Pareto过程，介绍了仿真算法并讨论了模型的范围。章节三介绍了函数超越的一般模型。在节中4，我们将讨论统计推断，并在第节5，我们描述了模型验证的方法。在节中6，我们利用我们的想法为欧洲的风暴开发了一个随机天气发生器7说明了研究苏黎世市潜在洪水时风险定义的重要性。技术细节、主要结果的证明和附加数字见补充的材料。

2超出建模阈值

2.1单变量超标

如果是标量随机变量X（X）具有分配功能F类并且存在常量序列 $一_{n个} > 0$ 和 ${b条}_{n个}$ 这样的话

n个 公共关系 (\frac{X（X） - {b条}_{n个}}{一_{n个}} > x个) \to - 日志 克 (x个), n个 \to \infty,

(1)

哪里克是非退化分布函数，则X（X）据说属于最大吸引域克（莱斯尼克，1987，第12页）。对于足够大的阈值u个<信息{x个:F类(x个)=1}和x个>0，的尾部行为X（X）可以使用广义帕累托分布进行描述，

Pr公司 (X（X） > x个 + u个 | X（X） > u个) \approx {H（H）}_{ξ, σ} (x个) = \{\begin{matrix} {(1 + ξ x个 / σ)}_{+}^{- 1 / ξ}, & ξ \neq 0, \\ 经验 (- x个 / σ), & ξ = 0, \end{matrix}

（2）

哪里σ=σ(u个)>0，此处和下方， $一_{+} = 最大值 (一, 0)$ 真的一.形状参数ξ也称为尾部索引。如果ξ则为负值X（X）−u个位于区间[0，−σ/ξ]，以及其他X（X）−u个可以取任何正值。随机变量X（X）据说属于威布尔、甘贝尔或弗雷切特吸引域，如果ξ分别为负、零或正。吸引条件的最大域是广泛的，但不是普遍满足的（例如，Beirlant等人。，2004第59、62、72页）。

戴维森和史密斯(1990)使用方程式（2）作为近似值的基础

F类 (x个) \approx 1 - ζ_{u个} {H（H）}_{ξ, σ} (x个 - u个), x个 > u个,

(3)

哪里 $ζ_{u个}$ 表示以下情况的概率X（X）超过阈值u个这为分布尾部提供了一个通用、灵活、统一和广泛应用的模型，该模型已扩展到多元设置（Rootzén&Tajvidi，2006; Rootzén等人。，2018年a,b条)以及连续过程（Dombry&Ribatet，2015; 费雷拉和德哈恩，2014).

2.2功能超越

让S公司是的紧子集 $对^{D类}$ ⁠，让 $F类$ 表示上实值连续函数的空间S公司配备标准‖·‖，并让 ${F类}_{+}$ 表示的子集 $F类$ 只包含不处处为零的非负函数；这排除了零函数，从而避免了在取极限时出现退化概率测度。

随机函数的超越X（X）= {X（X）(秒):秒∈S公司}可以使用风险函数和第页-超越。风险功能第页定义为连续映射 $F类$ 进入之内 $对$ 和一个第页-超越被定义为一种形式的事件{第页(X（X）) ≥u个}对一些人来说u个⩾0，即标量第页(X（X）)超过阈值u个此定义由Dombry和Ribate提出(2015)对于同质“成本函数” ${F类}_{+}$ ⁠，即存在的函数κ>0，这样 $第页 (一年) = 一^{κ} 第页 (年)$ 什么时候 $年 \in {F类}_{+}$ 和一> 0. Opitz早先使用了术语“径向聚集函数”(2013年b)，但我们认为“风险功能”一词更好地反映了第页(X（X）)衡量X（X）风险总结如下第页.

费雷拉和德哈恩(2014)用泛函方法研究连续过程的阈值超越 $第页 (X（X）) = {啜饮}_{秒 \in S公司} X（X） (秒)$ ⁠，但这仅将超过至少一个点的所有事件视为极端S公司科尔斯和唐恩(1996)通过大值的 $\int_{S公司} X（X） (秒) d日秒$ ⁠以及其他功能，如 $\int_{S公司} {X（X）}^{2} (秒) d日秒$ 代表气候系统内的能量（鲍威尔和莱因霍尔德，2007), $X（X） (秒_{0})$ 针对影响特定地点的风险 $秒_{0}$ ⁠等等，可能会出现在应用程序中。同样，可以将气候数据投影到特定天气模式的标量信号上，并检查其行为第页-超越。本文背后的动机是定义适合特定类型物理过程的风险泛函，这可能会根据不同的泛函产生不同的模型。如果需要一个融合了不同风险概念的单一模型，可以通过研究在我们的框架中加强定义之间的一致性

第页 (X（X）) = 最大值 \{{第页}_{1} (X（X）) - {u个}_{1}, \dots, {第页}_{M（M）} (X（X）) - {u个}_{M（M）}\},

(4)

哪里 ${第页}_{1}, \dots, {第页}_{M（M）}$ 是利益相关者 ${u个}_{1}, \dots, {u个}_{M（M）}$ 相应的阈值。

下面我们概括一下第页-在风险泛函的最小假设下的超越，并导出三种尾部衰减状态的极限分布。

2.3功能第页-超越

2.3.1符号、假设和收敛

让ξ是标量形状参数，并让一≡一(秒)>0和b条≡b条(秒)是为定义的连续函数秒∈S公司，其中≡表示等效符号。对于给定的ξ,一和b条，我们定义集合

{F类}^{ξ, 一, b条} = \{\begin{matrix} {F类}_{+} - (b条 - ξ^{- 1} 一), & ξ > 0, \\ F类, & ξ = 0, \\ (b条 - ξ^{- 1} 一) - {F类}_{+}, & ξ < 0 . \end{matrix}

（5）

什么时候？ξ≠0这是中的正象限 $F类$ ⁠，移位了b条−一/ξ，并且在ξ< 0. 图2说明了（5）三种可能的尾部状态： ${F类}^{ξ, 一, b条}$ 以下边界为 $b条 - ξ^{- 1} 一$ 什么时候ξ>0，在以下情况下是无界的ξ=0，且其上边界为 $b条 - ξ^{- 1} 一$ 什么时候ξ< 0.

广义r-Pareto过程在S=[0，1]上的实现，位置函数b（重黑线）和Fξ，a，b（重灰线）的上下限b−ξ−1a。左：形状参数ξ>0且风险函数r（x）=sups∈Sx（s）的实现x。中间：ξ=0和风险函数r（x）=x（0.1）的实现，代表s=0.1（垂直线）的评估。右：实现x，ξ<0，风险函数r（x）=бs∈Sx（s）ds

图2

广义的实现第页-上的Pareto进程S公司=[0，1]，带定位功能b条（粗黑线）和下限/上限 $b条 - ξ^{- 1} 一$ 属于 ${F类}^{ξ, 一, b条}$ （灰色粗线）。左图：实现x个具有形状参数ξ>0和风险功能 $第页 (x个) = {啜饮}_{秒 \in S公司} x个 (秒)$ ⁠中间：实现ξ=0和风险函数第页(x个) =x个（0.1）表示在秒=0.1（垂直线）。右：实现x个具有ξ<0和风险功能 $第页 (x个) = \int_{秒 \in S公司} x个 (秒) d日秒$

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在本节中，X（X）表示具有样本路径的随机过程 $F类$ 存在实数的ξ和序列 ${一_{n个}}_{n个 = 1}^{\infty} > 0$ 和 ${{b条}_{n个}}_{n个 = 1}^{\infty}$ 连续函数的条件，使得每个函数都满足一元近似（2）的条件秒∈S公司，这是

\underset{n个 \to \infty}{林} n个 公共关系 \{\frac{X（X） (秒) - {b条}_{n个} (秒)}{一_{n个} (秒)} > x个\} = \{\begin{matrix} {(1 + ξ x个)}_{+}^{- 1 / ξ}, & ξ \neq 0, \\ 经验 (- x个), & ξ = 0 . \end{matrix}

(6)

在函数设置中，通过假设非负函数和非零函数空间上存在有界有限非零测度∧来扩展这一点是很自然的S公司这样的话

\begin{matrix} 林_{n个 \to \infty} n个 Pr公司 [{\{1 + ξ (\frac{X（X） - {b条}_{n个}}{一_{n个}})\}}_{+}^{1 / ξ} \in \cdot], & ξ \neq 0, \\ 林_{n个 \to \infty} n个 公共关系 \{经验 (\frac{X（X） - {b条}_{n个}}{一_{n个}}) \in \cdot\}, & ξ = 0, \end{matrix}\} = Λ (\cdot),

(7)

哪里 ${一}_{+} = 最大值 {一 (秒), 0}$ 是的函数秒.

假设（7）通常是弱的，任何使用近似（3）的函数模型都应与一些极限测度∧相关联。这里我们假设∧仅在连续函数集上是非零的 ${F类}_{+}$ ⁠，排除了某些类型的极端依赖性；参见第节2.4在这种情况下，方程式(7)涉及附录中描述的特定类型的收敛，并定义了函数正则变化的一般形式（Hult和Lindskog，2005)费雷拉和德哈恩介绍(2014); 我们写作 $X（X） \in GRV公司 (ξ, 一_{n个}, {b条}_{n个}, Λ)$ ⁠其中，GRV代表广义规则变化。极限测量∧是阶数-1的同质性： $Λ (t吨 A类) = {t吨}^{- 1} Λ (A类)$ 对于任何正标量t吨>0和Borel集合 $A类 \subset {F类}_{+}$ （Lindskog等人。，2014，定理3.1）。

方程式(7)要求ξ是恒定的S公司.由于我们希望直接根据X（X），只有当形状参数为常数时，才能获得有用的限制结果，如果ξ然后，这些位置的最大值为ξ或者具有最高上界的参数决定了渐近尾数行为，而极限相关性无法建模。对于环境应用，ξ可以认为是由物理过程引起的，例如对流降雨，其特征是第页.强制常数ξ可以通过转换数据以在整个过程中具有相同的尾部衰减率来避免S公司例如，通过研究极限第页-重标过程的超越 ${1 + ξ (X（X） - {b条}_{n个}) / 一_{n个}}_{+}^{1 / ξ}$ 具有ξ平稳变化的函数S公司如费雷拉和德哈恩(2014)但通常这会导致失去对原始数据风险的物理解释。

我们还假设存在一个实数序列 $一_{n个}^{'}$ 和一个连续的严格正函数A类在S公司这样的话

\underset{n个 \to \infty}{林} \underset{秒 \in S公司}{啜饮} |\frac{一_{n个} (秒)}{一_{n个}^{'}} - A类 (秒)| = 0,

(8)

所以 $一_{n个} (秒) \approx 一_{n个}^{'} A类 (秒)$ 对于大型n个Ferreira等人使用了类似的假设(2012)和Engelke等人(2019)并且在许多应用中似乎是合理的。例如，假设边际分布属于位置尺度族F类[{x个(秒) −B类(秒)}/A类(秒)]描述由风险功能表征的基础物理过程的行为第页表示两个通用的限制形状参数ξ我们可以选择 $一_{n个} (秒) = 一_{n个}^{'} A类 (秒)$ 和 ${b条}_{n个} (秒) = {b条}_{n个}^{'} A类 (秒) + B类 (秒)$ 使用实数序列 $一_{n个}^{'} > 0$ 和 ${b条}_{n个}^{'}$ ⁠。我们还假设X（X）在以下范围内ξ>0及以上ξ< 0.

风险功能 $第页 : F类 \to 对$ 据说对该过程有效 $X（X） \in GRV公司 (ξ, 一_{n个}, {b条}_{n个}, Λ)$ 如果设置第页-极限过程的超越具有正有限测度。所需的属性第页是否有效取决于风险是否根据原始流程直接定义X（X）或使用一些转换，例如 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 一_{n个}$ ⁠，具有缩放和定位功能 $一_{n个}$ 和 ${b条}_{n个}$ ⁠表达式（7）和（8）暗示任何风险函数第页应用于移位量和重缩放量 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 一_{n个}$ 如果满足条件，则有效

\begin{matrix} 如果 ξ > 0, 然后 第页 (- A类 ξ^{- 1}) < 0, \\ 如果 ξ ⩽ 0, 然后 第页 (x个) \to - \infty 作为 x个 \to - \infty ; \end{matrix}

(9)

通过此转换，函数A类一致等于1。如果我们进一步假设第页是单调的，并且存在一个正有限实标量α这样的话

\underset{n个 \to \infty}{林} \frac{第页 (一_{n个})}{一_{n个}^{'}} = α,

(10)

然后可以替换该函数 $一_{n个}$ 按标量 $第页 (一_{n个})$ ⁠，即应用第页到 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 第页 (一_{n个})$ ⁠在这种情况下，A类可能是非恒定的，我们可以重新销售 $一_{n个}^{'}$ 和A类以便α= 1; 然后 $一_{n个}^{'}$ 可以替换为 $第页 (一_{n个})$ 在方程式中(8)。我们将在下面进行此操作。例如，表达式（10）适用于1-齐次泛函，其中第页可以直接应用于 $X（X） - {b条}_{n个}$ ⁠对于线性泛函，当第页直接在原始过程上计算。

我们专注于第页-超出 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 第页 (一_{n个})$ ⁠最具技术性的案例；线性泛函在补充的材料。概述第页-超出 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 一_{n个}$ 通过替换获得 $第页 (一_{n个})$ 通过 $一_{n个}$ 和设置A类以下各处选1。最大值按点取 $x个 \in F类$ ⁠，我们让

⌊ x个 ⌋ = \{\begin{matrix} 最大值 (x个, - A类 ξ^{- 1}), & ξ > 0, \\ x个, & ξ \leq 0 . \end{matrix}

(11)

我们的第一个主要结果如下。

定理1
设X是一个随机过程，其样本路径是S上的连续函数.如果u≥ 0,风险函数r对 $X（X） \in GRV公司 (ξ, 一_{n个}, {b条}_{n个}, Λ)$ 和(8)–(10)等等，那么
$公共关系 [⌊\frac{X（X） - {b条}_{n个}}{第页 (一_{n个})}⌋ \in \cdot| 第页 \{\frac{X（X） - {b条}_{n个}}{第页 (一_{n个})}\} ⩾ u个] \to 公共关系 (P（P） \in \cdot), n个 \to \infty,$
(12)
其中P是广义r-带尾指数ξ的Pareto过程,刻度函数A,位置函数零点与测量Λ.

定理1概括了第页-帕累托过程，我们在第节中讨论2.3.2，显示为任何适当缩放的随机过程的极限X（X）在方程的意义上是有规律变化的(7)，条件是第页-超过 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 第页 (一_{n个})$ ⁠。这些超出值本身是否很大取决于缩放函数的选择 $一_{n个}$ 和 ${b条}_{n个}$ ⁠.对于线性风险泛函，满足第页(x个+年) =第页(x个) +第页(年)对于任何 $x个, 年 \in F类$ ⁠，方程式中的条件事件(12)简化为 $第页 (X（X）) ⩾ {u个}_{n个}$ 具有 ${u个}_{n个} = u个第页 (一_{n个}) + 第页 ({b条}_{n个})$ ⁠，这是概括的第页-Pareto过程似乎是越来越大的尾部极限过程第页-超出X（X）.

线性变换 $x个 \mapsto (x个 - {b条}_{n个}) / 第页 (一_{n个})$ 定理中要求的1在描述风险特征之前，与经典的边缘变换相比，风险更简单，更接近原始数据（Klüppelberg&Resnick，2008)，因为它不会改变尾部衰减机制。对于齐次泛函和ξ>0，我们可以选择 ${b条}_{n个} = 0$ ⁠; then定理1检索Dombry和Ribate的作品(2015)，它描述了X（X）对于越来越高的阈值第页(X（X）).

2.3.2概述第页-帕累托过程

我们现在描述泛化第页-Pareto过程，给出它们的属性，描述仿真算法并将它们与最大稳定过程联系起来。对于给定的形状参数 $ξ \in 对$ 和积极作用一≡一(秒)，让A类=一/第页(一)并定义正函数集

{A类}_{第页} = \{\begin{matrix} \{年 \in {F类}_{+} : 第页 (A类 \frac{年^{ξ} - 1}{ξ}) ⩾ 0\}, & ξ \neq 0, \\ \{年 \in {F类}_{+} : 第页 (A类 日志 年) ⩾ 0\}, & ξ = 0, \end{matrix}.

（13）

其中包含以下对象的可能示例路径P（P）在方程式中(12)转换成具有相同边际尾部分布的规模后。

定义1
让一>0和b条是连续函数S公司，让 $第页 : F类 \to 对$ 是一个有效的风险函数，且∧是一个（−1）-同质测度 ${F类}_{+}$ ⁠.概括第页-帕累托过程P（P）与测量∧和尾部指数相关 $ξ \in 对$ 随机过程是否取值 ${x个 \in {F类}^{ξ, 一, b条} : 第页 {(x个 - b条) / 第页 (一)} ⩾ 0}$ 并定义为
$P（P） = \{\begin{matrix} 一 (年_{第页}^{ξ} - 1) / ξ + b条, & ξ \neq 0, \\ 一日志年_{第页} + b条, & ξ = 0, \end{matrix}.$
(14)
哪里 $年_{第页}$ 随机过程是 ${A类}_{第页}$ 用概率测度 $Λ (\cdot) / Λ ({A类}_{第页})$ ⁠.

概括第页-因此，Pareto过程与随机过程密切相关 $年_{第页}$ ⁠依赖建模的一种标准方法是使用连接函数，它要求将随机向量的所有分量转换为服从均匀分布。同样，边际属性和相关性通常在极值建模中单独处理，边际变量标准化为单位帕累托分布。这里我们使用 $年_{第页}$ ⁠其边缘位于具有尾部指数的Fréchet吸引域ξ = 1，作为参考过程。其他标准化也是可能的，例如使用甘贝尔吸引域（例如，Rootzén等人。，2018年b)，但我们将重点放在弗雷切特案上，以保持阐述的简洁。

跟随Dombry和Ribate(2015)德丰德维尔和戴维森(2018)，存在极性分解

年_{第页} \overset{D类}{=} 对 W公司 |第页 [A类 ξ^{- 1} {{(对 W公司)}^{ξ} - 1}]. \geq 0,

(15)

哪里对和W公司是独立的，标量对是单位Pareto和W公司是一个具有状态空间的随机过程S公司并将价值观纳入 $S公司 = {年 \in {F类}_{+} : ‖ 年 ‖_{1} = 1}$ 用概率测度

σ_{0} (\cdot) = \frac{Λ \{年 \in {F类}_{+} : 年 / {‖ 年 ‖}_{1} \in \cdot, {‖ 年 ‖}_{1} \geq 1\}}{Λ \{年 \in {F类}_{+} : {‖ 年 ‖}_{1} \geq 1\}},

(16)

哪里 ${‖ \cdot ‖}_{1}$ 表示上的1-范数 ${F类}_{+}$ ⁠等式（15）适用于分配，表示为 $\overset{D类}{=}$ ⁠，非常方便，因为它允许对W公司某些常见模型的许多位置（Dombry等人。，2016; Thibaud和Opitz，2015).

泛化的一个可取特征第页-Pareto过程是针对每个 $秒_{0} \in S公司$ ⁠, $P（P） (秒_{0})$ 在适当的条件下具有广义帕累托分布：如果是阈值 ${u个}_{0} ⩾ 0$ 足够高t吨> 1,

x个 \in {A类}_{{u个}_{0}} \Rightarrow t吨 x个 \in {A类}_{{u个}_{0}},

哪里 ${A类}_{{u个}_{0}} = \{x个 \in {F类}^{ξ, 一, b条} : x个 (秒_{0}) \geq {u个}_{0}, 第页 {(x个 - b条) / 第页 (一)} ⩾ 0\}$ ⁠，然后

公共关系 \{P（P） (秒_{0}) > {x个}_{0} | P（P） (秒_{0}) > {u个}_{0}\} = {\{1 + ξ ({x个}_{0} - {u个}_{0}) / σ (秒_{0})\}}^{- 1 / ξ}, {x个}_{0} > {u个}_{0},

(17)

哪里 $σ (秒_{0}) = 第页 (一) A类 (秒_{0}) + ξ {{u个}_{0} - b条 (秒_{0})}$ ⁠不幸的是，没有简单的通用表达式来表示第页{(P（P）−b条)/第页(一)}，但如有必要，可以使用蒙特卡罗方法进行估算。如果风险函数是线性的，一般化的第页-Pareto过程也承认伪极分解和风险分布第页(P（P）)以上第页(b条)是广义Pareto，具有形状和比例参数ξ和第页(一); 请参阅补充的材料。在一元极值理论中，方程的边际假设(6)等价于重标块极大值向广义极值（GEV）分布的收敛。广义的第页-Pareto过程和GEV变量的函数扩展（称为最大稳定过程）在补充材料.

2.3.3仿真

伪极分解（15）是构造广义第页-帕累托过程及其模拟。从中提取样本的简单算法 $年_{第页}$ 可供风险职能人员使用，例如 ${第页}_{1} (x个) = {‖ x个 ‖}_{1}$ 或 ${第页}_{2} (x个) = {啜饮}_{秒 \in S公司} x个 (秒)$ ⁠; 参见Asadi等人(2015)例如。我们概括了德丰德维尔和戴维森的原则(2018，第2.3节），以开发通用的接受-拒绝算法第页-Pareto过程，当ξ≠0；修改ξ=0很简单。如果我们能找到一个阈值u个>0，这样

{A类}_{第页} \subset \{年 \in {F类}_{+} : {‖ 年 ‖}_{1} ⩾ u个\},

(18)

那么算法1可以模拟P（P）当算法用于 $年_{第页}$ 具有 $第页 (\cdot) = {‖ \cdot ‖}_{1}$ 可用。在该算法中，每个单位Pareto变量相互独立，具有分布函数1−1/v（v）对于v（v）≥ 1. 它的效率取决于找到最大可能的u个, ${u个}_{啜饮}$ ⁠例如，满足（18），其接受率是两组测量值在(18).模拟概括第页-图中显示了[0，1]上的Pareto进程2针对三种不同的风险职能：针对ξ>0，超标定义为 ${啜饮}_{秒 \in [0, 1]} x个 (秒) - b条 (秒)$ ⁠; 对于ξ=0，它们是在 $秒_{0} = 0.1$ ⁠; 对于负尾指数超数，是积分超过[0,1]的函数。当风险函数是线性的时补充的材料允许以预先确定的风险模拟此类过程第页(P（P）).

2.4渐近依赖机制的限制

上述推导假定方程中存在极限测度∧(7)在连续函数空间上具有非零质量。这排除了渐进独立性（Ledford&Tawn，1996)贯穿S公司，但在混合状态下，在大于某个有限半径的距离上，渐近独立性取代渐近依赖性是可能的。该方法可以扩展到整个过程中的渐近独立性S公司通过在更一般的函数空间上假设∧为正。例如，通过考虑将正质量放在仅在特定位置非零的函数集上的措施，可以涵盖渐近独立性。对这种函数空间的研究需要比Hult和Lindskog中更一般的收敛概念(2005)据我们所知，尚未进行。

∧的积极性 ${F类}_{+}$ 意味着阶数-1的同质性，即“低”强度水平的依赖性进一步外推到尾部。实际上，这意味着局部超过阈值的区域的平均大小与事件的强度无关。然而，在许多环境现象中观察到高强度依赖性降低，本文描述的渐近模型可能会高估高强度依赖。最近已经研究了具有递减相关性的亚渐近模型（Huser&Wadsworth，2019)，但它们对应于始终渐近独立的过程S公司因此，可能低估了在极端水平上的依赖性，尤其是在距离较近的地区。一般来说，渐进依赖机制的选择应取决于研究者的风险承受能力。与渐近模型相比，符合上述框架的渐近相关亚渐近模型可以提供更现实的替代方案，但据我们所知，目前尚不存在。当前的方法是目前规避风险的决策者唯一的功能方法：通用模拟第页-帕累托过程提供的场景的范围可能是悲观的，但可以将其输入影响模型，以评估基础设施受损的可能性。

华兹华斯和唐恩(2019)提出了一种既包含渐近独立性又包含渐近依赖性的方法，该方法可以应用于高维，并且涉及到过程在许多位置中的任何一个处是极值的条件，但它是基于Heffernan和Tawn(2004)因此不会为数据构建一个总体统计模型。

3功能峰值-超阈值建模

我们现在描述建模的一般方法第页-超过高阈值。定理1建议原则上风险函数的选择不应影响模型参数，但实际上，这种选择确实会影响被认为是极端的事件，尤其是当尾部行为混合时，见图1如果是这样，用户可以通过将特定领域的考虑因素纳入风险函数来关注混合物的一个成分，同时通过仅使用与所选事件类型最相关的数据拟合模型来改善亚渐近行为。

假设我们有一个有效的风险函数第页其超越发生在单一物理过程中，如气旋降雨，对于此类事件，使用统一的尾部指数是合理的ξ更具体地说，让 $X（X） \in GRV公司 (ξ, 一_{n个}, {b条}_{n个}, Λ)$ 假设X（X）(秒)形成具有连续正尺度函数的位置尺度族A类(秒)，连续真实位置函数B类(秒)、和分布函数F类满足方程式(1)具有实值序列 $一_{n个}^{'} > 0$ 和 ${b条}_{n个}^{'}$ ⁠如果是，则归一化函数 $一_{n个} (秒)$ 和 ${b条}_{n个} (秒)$ 对于X（X）(秒)满足

一_{n个} (秒) = A类 (秒) 一_{n个}^{'}, {b条}_{n个} (秒) = B类 (秒) + A类 (秒) {b条}_{n个}^{'}, 秒 \in S公司,

(19)

得出方程所隐含的渐近分解(8).

我们将参数结构强加于X（X）以及边际规模和区位函数A类和B类，假定它们属于参数函数族 ${A类}_{θ_{A类}}$ 和 ${B类}_{θ_{B类}}$ ⁠.限制措施 $Λ_{θ_{W公司}}$ 应通过以下分布参数化W公司，这取决于参数 $θ_{W公司}$ ⁠.

极限广义的相依性第页-帕累托过程由角度过程决定W公司，它接受值 $S公司 = {年 \in {F类}_{+} : ‖ 年 ‖_{1} = 1}$ ⁠为了描述和比较角度过程模型，我们需要一个相关性度量，但需要经典度量，如协方差函数或半变异函数

γ (小时) = \frac{1}{2} 无功功率，无功功率 {X（X） (秒^{'}) - X（X） (秒)}

依赖于力矩的存在，在我们的设置中可能是不确定的。更合适的依赖性度量是（de Fondeville&Davison，2018)

π_{第页} (秒^{'}, 秒) = \underset{q个 \to 1}{林} 公共关系 [X（X） (秒^{'}) > {u个}_{q个} (秒^{'}) | {X（X） (秒) > {u个}_{q个} (秒)} †=================================================================== {第页 (X（X）) ⩾ u个}], 秒, 秒^{'} \in S公司,

(20)

哪里 ${u个}_{q个} (秒)$ 表示q个分位数X（X）(秒)和u个≥ 0. 方程式(20)总结了二者之间的成对极值相关性X（X）(秒)和 $X（X） (秒^{'})$ ⁠; 它扩展了极值图（Davis和Mikosch，2009)至第页-极值相关系数的超越与推广χ（Ledford&Tawn，1996)到进程。表达式（20）与极值图匹配足够高q个，也就是说，如果风险第页(X（X）)为了所有这些X（X）对于其中 $X（X） (秒) > {u个}_{q个} (秒)$ 和 $X（X） (秒^{'}) > {u个}_{q个} (秒^{'})$ 也超过u个，然后是附加条件第页(X（X）) ⩾u个在方程式中(20)没有理论上的影响，但在实践中，它允许人们解开尾部混合物，从而确定尾部依赖机制中的任何差异。尽管存在其他依赖性度量（Cooley等人。，2006; 史密斯，1990)，我们更喜欢 $π_{第页}$ 因为它的可解释性。

关于最大稳定过程的文献提出了以下几个参数模型W公司高斯极值过程（Smith，1990)依赖于在空间中随机移动的确定性高斯核，由于其计算的可处理性和相对简单性而具有吸引力，但它会产生不切实际的随机场。在布朗和雷斯尼克的脚下(1977)模型，角度过程W公司是一个对数高斯随机函数，其基本高斯过程具有平稳增量和半变异函数γ，和（20）减少为

2 (1 - Φ [{γ (小时) / 2}^{1 / 2}]),

哪里 $小时 = 秒 - 秒^{'}$ Φ表示标准正态累积分布函数。Brown–Resnick模型特别有吸引力，因为许多标准半变异函数提供了极值依赖模型。的行为γ作为小时→ 0确定泛化的平滑度第页-Pareto过程及其行为小时→∞决定了极值依赖机制。实际上，如果半变异函数是有界的，就像严格平稳高斯过程那样，那么 $π_{第页} (小时) > 0$ 对于任何小时>0，而如果γ是无界的，然后我们获得了接近独立， $π_{第页} (小时) \to 0$ ⁠，对于大型小时; 参见图三.log-Gaussian的使用W公司意味着对于任何线性第页, $Λ (\partial {A类}_{第页}) = 0$ ⁠，其中 $\partial {A类}_{第页}$ 是集合的边界 ${A类}_{第页}$ 在方程式中定义（13）.

两个半变差函数γ（h）的r（X）=бSX（s）ds=100的模拟广义r-Pareto过程。左：有界幂指数半变异函数。右：无界功率变异函数

图3

模拟广义第页-Pareto进程 $第页 (X（X）) = \int_{S公司} X（X） (秒) d日秒 = 100$ 对于两个半变异函数γ(小时). 左：有界幂指数半变异函数。右：无界功率变异函数

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另一种模式 $Λ (\partial {A类}_{第页}) \neq 0$ ⁠，是极值-t吨过程（Opitz，2013年a)

W公司 (秒) \propto 最大值 {克 (秒), 0}^{ν}, 秒 \in S公司, ν > 0,

哪里克是一个具有相关函数的严格平稳高斯过程C类。此定义中的最大值在的边界上诱导非零测量 ${F类}^{ξ, 一, b条}$ ⁠，使模型在以下情况下不正确ξ<0，与Pr相同{X（X）(秒) = −∞} > 0. 它的极值图，

2 (1 - {t吨}_{ν + 1} [{(ν + 1)}^{1 / 2} {\{\frac{1 - C类 (小时)}{1 + C类 (小时)}\}}^{1 / 2}]),

必须超过 $2 [1 - {t吨}_{ν + 1} \{{(ν + 1)}^{1 / 2}\}]$ 对于正相关函数，则当ν低，模型只能产生很强的依赖性。随着ν增加，并接近Brown–Resnick模型。

在下一节中，我们将描述一种对完整参数向量进行联合推断的方法 $ϑ = (ξ, 一_{n个}^{'}, {b条}_{n个}^{'}, θ_{A类}, θ_{B类}, θ_{W公司})$ ⁠参数化模型可能出现的可识别性问题A类和B类例如，可以通过确保第页(A类)=1，对于线性泛函，第页(B类) = 0; 参见Engelke等人(2019)例如。

4统计推断

在本节中，为了简化说明，我们假设风险函数是线性的；一般风险泛函的推论本质上涉及到替换过程X（X）通过移动和缩放版本 $(X（X） - {b条}_{n个}) / 第页 (一_{n个})$ ⁠，还有一些额外的小改动。一般泛函可能出现的困难在补充的材料。

的统计推断第页-随机过程的超越 $X（X） \in GRV公司 (ξ, 一_{n个}, {b条}_{n个}, Λ)$ 基于近似值

\begin{matrix} Pr公司 (X（X） \in 对) & = 公共关系 \{第页 (X（X）) ⩾ {u个}_{n个}\} \times 公共关系 \{X（X） \in 对 | 第页 (X（X）) ⩾ {u个}_{n个}\}, \\ \approx 公共关系 \{第页 (X（X）) ⩾ {u个}_{n个}\} \times 公共关系 (P（P） \in 对), \end{matrix}

(21)

哪里 $对 \subset 对 ({u个}_{n个}) = {x个 \in {F类}^{ξ, 一_{n个}, {b条}_{n个}} : 第页 (x个) ⩾ {u个}_{n个}}$ 和 ${u个}_{n个} = 第页 ({b条}_{n个})$ 是的高分位数第页(X（X）).

让 ${x个}_{1}, \dots, {x个}_{n个} \in F类$ 广义正则变化随机过程的独立实现X（X）在各个位置观察到 $秒_{1}, \dots, 秒_{L（左）} \in S公司$ ⁠.等式的对数似然函数(21)基于第页-超过阈值 ${u个}_{n个}$ 在…之间 ${x个}_{1}, \dots, {x个}_{n个}$ 是

{L（左）}_{三个} (ϑ) = \sum_{j个 \in {K（K）}_{{u个}_{n个}}} 日志 公共关系 \{第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个} ; ϑ\} + \sum_{j个 \in {K（K）}_{{u个}_{n个}}} 日志 {（f）}^{第页} ({x个}_{j个} ; ϑ),

(22)

哪里 ${K（K）}_{{u个}_{n个}} = {j个 \in 1, \dots, n个 : 第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个}}$ 包含的索引 ${n个}_{{u个}_{n个}}$ 第页-超过 ${u个}_{n个}$ ⁠、和 ${（f）}^{第页}$ 表示广义的有限维密度函数第页-观察到的帕累托过程 $秒_{1}, \dots, 秒_{L（左）}$ ⁠即。，

\frac{λ_{θ_{W公司}} ({[1 + ξ {x个 (秒_{1 : L（左）}) - {b条}_{n个} (秒_{1 : L（左）})} / 一_{n个} (秒_{1 : L（左）})]}_{+}^{1 / ξ})}{Λ_{θ_{W公司}} \{{A类}_{第页}\}} \prod_{我 = 1}^{L（左）} 一_{n个} {(秒_{我})}^{- 1} {\{1 + ξ \frac{x个 (秒_{我}) - {b条}_{n个} (秒_{我})}{一_{n个} (秒_{我})}\}}_{+}^{1 / ξ - 1},

(23)

哪里 $x个 (秒_{1 : L（左）}) = {x个 (秒_{1}), \dots, x个 (秒_{L（左）})}$ ⁠、和L（左）-量纲强度函数 $λ_{θ_{W公司}}$ 由提供

Λ_{θ_{W公司}} {{A类}_{最大值} (z（z）)} = \int_{对^{L（左）} ∖ {(0, z（z）]}^{L（左）}} λ_{θ_{W公司}} (年) d日 年,

(24)

具有 ${A类}_{最大值} (z（z）) = {年 \in {A类}_{第页} : {最大值}_{我 = 1, \dots, L（左）} 年 (秒_{我}) / z（z） (秒_{我}) \geq 1}$ ⁠.第二任期(23)是从用于数据的广义Pareto尺度到定义依赖模型的单位Fréchet尺度的边际变换的Jacobian。

必须为以下概率指定模型： $第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个}$ ⁠在类似的情况下，沃兹沃思和塔恩(2014)和Engelke等人(2015)使用与块最大值的关系所建议的泊松分布，得出对数似然

{L（左）}_{波伊斯} (ϑ) = {n个}_{u个} 日志 Λ_{θ_{W公司}} ({A类}_{第页}) - Λ_{θ_{W公司}} ({A类}_{第页}) + \sum_{j个 \in {K（K）}_{{u个}_{n个}}} 日志 {（f）}^{第页} ({x个}_{j个} ; ϑ),

(25)

当超越事件的分布相同，但帕累托方法考虑到其他可能性时。蒂波德和奥皮茨(2015)例如，假设相应的随机变量 ${N个}_{u个}$ 是固定的，并使用二项式分布，这很容易与泊松点过程模型相联系。这种方法假定超越概率不依赖解释变量，但如果不依赖，则可以使用逻辑回归建模观察极端事件的概率；参见第节6.4.

方程（22）或（25）的最大化可能很困难，我们建议首先估计边际参数ξ, $一_{n个}^{'}$ ⁠,A类, ${b条}_{n个}^{'}$ 和B类然后通过在估计值上固定它们来拟合依赖模型。可以通过最大化独立对数似然来估计边际参数，

\begin{matrix} \sum_{j个 = 1}^{n个} \sum_{我 = 1}^{L（左）} 1 {{x个}_{j个} (秒_{我}) ⩾ {b条}_{n个} (秒_{我}), 第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个}} 日志 公共关系 {{x个}_{j个} (秒_{我}) ⩾ {b条}_{n个} (秒_{我})} \times \\ 日志 [\frac{1}{一_{n个} (秒_{我})} {\{1 + ξ \frac{{x个}_{j个} (秒_{我}) - {b条}_{n个} (秒_{我})}{一_{n个} (秒_{我})}\}}_{+}^{- 1 / ξ - 1}], \end{matrix}

（26）

在约束条件下 $第页 ({b条}_{n个}) = {u个}_{n个}$ ⁠，通过重采样评估参数不确定性 ${x个}_{j个}$ ⁠.任何其他推理程序，允许ξ可以使用。

估计相关性参数的一种方法是最小化函数

\sum_{我, 我^{'} = 1, ..., L（左）} {\{\hat{π} (秒_{我^{'}}, 秒_{我}) - π_{θ_{W公司}} (秒_{我^{'}}, 秒_{我})\}}^{2},

(27)

哪里 $\hat{π}$ 表示方程式的估计值(20)例如，将超越概率替换为相应的频率（Davis等人。，2013),

\hat{π} (秒_{我^{'}}, 秒_{我}) = \frac{\sum_{j个 = 1}^{n个} 1 {{x个}_{j个} (秒_{我^{'}}) ⩾ {b条}_{n个} (秒_{我^{'}}), {x个}_{j个} (秒_{我}) ⩾ {b条}_{n个} (秒_{我}), 第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个}}}{\sum_{j个 = 1}^{n个} 1 {{x个}_{j个} (秒_{我}) ⩾ {b条}_{n个} (秒_{我}), 第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个}}} .

这种方法是稳健的，可以根据当前的情况进行调整，例如通过加权总和来改进特定关注范围的空间预测，或在以下情况下减少计算负担L（左）非常大。该方法确保拟合模型具有相同的平均位置数，共同超过位置函数 ${b条}_{n个}$ 与数据中的情况一样，但结果估计的不确定性量化通常涉及重采样，并且可能很耗时，尽管这使得边际和相关性方面的不确定性很容易结合起来。

最大似然估计 $θ_{W公司}$ 已经针对特定风险泛函进行了研究，但由于对有限风险泛函的限制过程指定错误，因此可能表现不佳 ${u个}_{n个}$ （Engelke&Malinowski，2014; Huser等人。，2016). 替代方案包括审查低成分（例如，Wadsworth&Tawn，2014)，复合可能性（Castruccio等人。，2016; Huser&Davison，2013; Padoan等人。，2010)或使用两两尾部指数进行M估计（Einmahl等人。，2016年a,b条). 所有这些都对误定更为稳健，但只能用于特定风险泛函，并且在维数上受到了限制，或者是由于归一化常数的数值计算带来的计算负担 $Λ_{θ_{W公司}} ({A类}_{第页})$ 和审查，或者，对于成对程序，通过组合考虑。用于截尾似然的有效算法是可用的（de Fondeville，2016)并且易于控制L（左）对于Brown–Resnick和extremal，最高可达数百t吨模型。梯度得分（de Fondeville&Davison，2018)可以应用于一大类风险泛函，并避免计算 $Λ_{θ_{W公司}} ({A类}_{第页})$ ⁠，使推理易于处理L（左）以千计；对于log-Gaussian随机函数，其数值复杂性是矩阵求逆的复杂性。这些方法也可用于估计整个参数向量ϑ同时，从而允许不确定性的完全量化，例如通过重采样。有关更多详细信息，请参阅补充的材料。

5模型验证

假设我们有一个估计 $\hat{ϑ}$ 我们希望检查拟合模型的质量。

每个采样位置的边际尾部行为 $秒_{1}, \dots, 秒_{L（左）}$ 可以通过将观测值与拟合的边际模型进行比较来进行检查。如果 ${u个}_{q个} (秒_{我})$ 表示经验值q个的分位数第页-超过 $秒_{我}$ ⁠，仅使用观测值估计 ${x个}_{j个}$ 对于其中 $第页 ({x个}_{j个}) ⩾ {u个}_{n个}$ ⁠，其中q个已选择（17）适用，并且如果 ${n个}_{q个}$ 表示 ${x个}_{j个}$ 超过 ${u个}_{q个} (秒_{我})$ ⁠，然后我们可以使用近似值检查边缘拟合

公共关系 \{X（X） (秒_{我}) - {u个}_{q个} (秒_{我}) ⩾ x个 | X（X） (秒_{我}) ⩾ {u个}_{q个} (秒_{我})\} \approx {H（H）}_{\hat{ξ}, \hat{σ} (秒_{我})} (x个), x个 ⩾ 0,

具有 $\hat{σ} (秒_{我}) = \hat{一_{n个}} (秒_{我}) + \hat{ξ} {{u个}_{q个} (秒_{我}) - \hat{{b条}_{n个}} (秒_{我})}$ ⁠分位数图的逐点置信区间可以通过重采样获得：我们得出米大小的样品 ${n个}_{q个}$ ⁠, $({Z轴}_{1}^{1}, \dots, {Z轴}_{{n个}_{q个}}^{1})$ ⁠, $\dots, ({Z轴}_{1}^{米}, \dots, {Z轴}_{{n个}_{q个}}^{米})$ 从装配的分配和出租 ${Z轴}_{(j个)}^{1}, \dots, {Z轴}_{(j个)}^{米}$ 表示j个每个样本的第阶统计量。广义帕累托拟合的95%置信区间定义为 ${Z轴}_{(j个)}^{1}, \dots, {Z轴}_{(j个)}^{米}$ ⁠.当估计器用于获得 $\hat{ϑ}$ 是渐近正态的，通过绘制米不同广义Pareto分布的样本，其参数(ξ，日志σ)均数正态分布 $(\hat{ξ}, 日志 \hat{σ} (秒_{我}))$ 和对应于不确定性的协方差矩阵 $\hat{ϑ}$ ⁠当风险函数是线性的时，可以对超过第页(X（X）).

通过比较拟合的极值图和经验公式，可以评估相关性模型(20)。如果模型是平稳的和各向同性的，则π只取决于距离小时两个位置之间，以及π可以绘制成距离的函数，也可能是位置对的方向。对于各向异性模型，最好绘制依赖关系随空间坐标变化的情况。基于加总的更一般的依赖性度量（Engelke等人。，2019)可以考虑。

可以使用Akaike或复合似然信息标准（Davison&Gholamrezaee，2012)嵌套模型的形式比较可以基于评分规则（Dawid等人。，2016; de Fondeville和Davison，2018). 相对均方根误差或连续排列的概率分数（Gneiting&Raftery，2007)可以用来评估模型的预测性能。如果S公司具有时间成分，则可以根据当前可用的观测值，在未来时间从拟合模型进行模拟，从而获得经验概率预测。当角度过程是对数高斯过程时，这相当于高斯过程的条件模拟，然后是边缘变换。

我们将在接下来的两个部分中描述这些想法的应用。

6模拟欧洲极端风暴

6.1动机

1990年1月25日，达里亚风暴袭击了联合王国，这是迄今为止观察到的最严重的热带外气旋之一。当天和次日，共有97人死亡，损失约82亿美元。测得的最强阵风为 $47.2 {毫秒}^{- 1}$ ⁠，相当于一级飓风。图4显示了风暴在英国达到顶峰的24小时内，阵风持续至少3秒的3小时间隔内的最大速度。为了了解这场风暴的严重程度，破坏性风速被认为始于 $25 {毫秒}^{- 1}$ （罗伯茨等人。，2014). 大约十年后的1999年12月26日，风暴洛萨席卷西欧和中欧。风速为 $46.9 {毫秒}^{- 1}$ 在巴黎有记录，瑞士“拉多尔”山顶的气象站记录到最大阵风为 $55.9 {毫秒}^{- 1}$ ⁠洛萨相当于二级飓风，造成80亿美元的损失，100多人死亡。

1990年1月席卷欧洲的Daria风暴高峰期间，ERA-Interim再分析显示，过去3小时阵风持续至少3秒的最大风速（ms−1）

图4

最大速度(⁠ ${毫秒}^{- 1}$ ⁠)1990年1月席卷欧洲的达里亚风暴高峰期，ERA-Interim再分析显示，过去3小时内，狂风持续至少3秒

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这两件事说明了为什么近几十年来，估算与此类自然灾害相关的风险已成为一个主要问题，尤其是由于全球变暖对这些灾害可能产生的影响尚不清楚。

6.2极端风暴风险评估

极端风暴的风险评估通常仅限于使用历史事件目录来测试基础设施的恢复能力（Haylock，2011; Pinto等人。，2012)但不幸的是，这种风暴很少见，而且目录通常只持续几十年。可以通过风场强度、形状和位置的统计扰动来生成进一步的事件（Hall&Jewson，2008)或通过在多个数值气候输出中检测风暴（Della-Marta等人。，2010). 在这两种情况下，相同的风暴可能会重新循环，但由于模型所使用的假设和近似值不同，因此具有不同的气候指数。Yiou先生(2014)建议通过基于空间类比重新排序时间步长，从历史目录中创建新风暴。与所有这些方法相关的不确定性和偏差可能很大，难以估计，气候预测研究强调了它们无法准确再现极端事件（例如，Weller等人。，2013). 所有这些方法都会产生风暴，其尾部行为无法推断为更罕见的事件。

Della Marta和Mathis将极值理论应用于该问题(2008)Mornet等人(2017)他对描述极端风暴的单变量总结进行了POT分析，但没有建立空间相关性模型。费雷拉和德哈恩(2014)建议如何使用帕累托过程将历史风暴记录升级到更高的强度，但他们的方法不能产生新的风暴。Economou和David(2014)使用了热带外气旋的贝叶斯层次模型，但包括使用平均海平面气压等协变量的依赖性，这限制了模型生成新模式和强度的能力。与我们最接近的现有工作由Sharkey等人完成(2020)他们使用拉格朗日方法模拟欧洲风暴的轨迹和严重程度。他们的风暴路径模型比我们的模型更详细，但他们的依赖结构使用了非极值模型，忽略了时间元素。

我们提出了一种基于第页-Pareto过程，扩展了Della Marta和Mathis(2008)这种方法不仅可以进行局部风险评估，还可以生成时空一致的新极端风暴。

6.4数据集和研究区域

为了构建我们的随机天气生成器，我们遵循极端风暴（XWS）目录的方法（Roberts等人。，2014)提供了1979年至2014年冬季欧洲50次最极端风暴的历史记录；更准确地说，它包含北欧72小时最大阵风的地图。在本目录中，“极端风暴”被选为重点关注对基础设施有高度影响的事件；事实上，最大风速最高的风暴可能不会造成最大的整体破坏，除非它们穿过居民区。为了应用我们的方法，我们必须定义描述最具破坏性事件的单变量总结。

XWS目录在ERA-Interim再分析中跟踪风暴（Dee等人。，2011)这是一个实时气候模型，其记录始于1979年，为许多气候指标提供了时间序列。该模型每6小时在网格上运行一次，网格的单元是正方形，可以在其中选择边 $三^{\circ}$ 和 $0 . 125^{\circ}$ ⁠; 本机大小为 $0 . 75^{\circ}$ 其他分辨率通过插值获得。除了通过数据同化获得的6小时字段（将网格值限制为台站测量值）之外，每天在00UTC和12UTC生成256小时的预测。这些预测可以与同化数据相结合，以获得持续至少3s的阵风最大风速的每三小时数据库，如图所示4。大多数欧洲冬季风暴发展迅速，只持续一天左右，因此需要精细的时间分辨率。再分析输出与台站测量之间的联系尚不清楚，因此为了简单起见，我们将观测值视为瞬时值而非时间聚集值。

我们的研究重点是有色区域E类在图的左侧面板中5众所周知，再分析模型存在系统偏差，并且在高度变化迅速的地区具有不同的依赖机制（Donat等人。，2011)，所以我们排除了比利牛斯山和阿尔卑斯山等山区，根据原始分辨率，留下605个单元 $0 . 75^{\circ}$ ⁠与XWS目录方法类似，我们将再分析中持续至少3s的最大阵风与预测相结合，以获得三小时的空间时间序列。欧洲的热带外风暴只发生在冬季，所以我们选取了研究时段T型1979年至2014年的10月至3月。

左图：研究区域E（彩色单元格），用于模拟欧洲的极端风暴。山区被删除，以避免再分析模型的系统偏差。绿色单元格显示包含阿姆斯特丹、布鲁塞尔、伦敦和巴黎的EABLP区域。广义r-Pareto过程的估计位置和尺度函数bn（中间）和a（右侧）（均以ms−1为单位）

图5

左：研究区域E类（彩色单元格）模拟欧洲极端风暴。山区被删除，以避免再分析模型的系统偏差。绿色单元格显示区域 ${E类}_{ABLP公司}$ 包含阿姆斯特丹、布鲁塞尔、伦敦和巴黎。估计位置和规模功能 ${b条}_{n个}$ （中间）和 $一_{n个}$ （右）（均在 ${毫秒}^{- 1}$ ⁠)广义的第页-帕累托过程

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6.5风暴定义和超越概率建模

根据Roberts等人（2014）和Vautard等人(2019)，我们考虑了在一个基础设施非常密集的地区，24小时内超过空间平均值的风暴。对于此应用程序，我们编写S公司=E类×[0,24]，带 $E类 \subset 对^{2}$ 表示所考虑的欧洲地区。时空过程X（X）(秒,t吨)表示位置处的风场秒∈E类和时间t吨∈T型.我们承担风险职能第页时间t吨为观测风场的空间平均值x个(秒,t吨),

第页 (x个) (t吨) = | {E类}_{ABLP公司} |^{- 1} \int_{{E类}_{ABLP公司}} x个 (秒, t吨) d日 秒, t吨 \in T型,

哪里 ${E类}_{ABLP公司}$ ⁠，绿色区域如图所示5包括阿姆斯特丹、布鲁塞尔、伦敦和巴黎第页(x个)(t吨)，我们将时间框架集中在每个事件的最大空间平均值上，并且只保留间隔至少48小时的事件，从而得出n个=1561个观察值。达里亚风暴的最大强度为 $第页 (x个) = 32.1 {毫秒}^{- 1}$ ⁠.去簇算法的选择会影响事件的分布，必须在建模和估计过程中加以考虑；在本工作中，第节中描述的模型5和6不允许依赖结构的时间变化，但确保无偏估计。

近似值（21）需要以下概率的模型 $第页 (X（X）) ⩾ {u个}_{n个}$ ⁠，用于利润，包括尾部指数ξ和功能 $一_{n个}$ 和 ${b条}_{n个}$ ⁠，对于广义的依赖性结构第页-帕累托过程P（P）.

自然选择 ${u个}_{n个} = 第页 ({b条}_{n个})$ 是观测值的高分位数第页(x个). 为了将大多数XWS风暴包括在我们的超标集合中，我们取 ${u个}_{n个} = {q个}_{0.96} {第页 (x个)} = 24 {毫秒}^{- 1}$ ⁠在研究期间发生了63起事件。值0.96位于一个分位数范围内，在此范围内第页(x个)是稳定的。风险功能，第页-超越和XWS风暴（图1补充材料）显示，63个选定事件与XWS目录中的大多数风暴一致，因此超标 $第页 (x个) \geq {u个}_{n个}$ 很好地描述了袭击的极端风暴 ${E类}_{ABLP公司}$ ⁠.

所选事件的时间分布是非平稳的。Donat等人(2010)和Pfahl(2014)已确定气候环流模式，如北大西洋涛动指数（NAO）影响风暴，我们使用逻辑回归对此进行建模。我们从ERA–中期再分析中提取了3小时平均海平面压力，并使用经验正交函数（EOF）的定义计算了NAO（Blessing等人。，2005)，作为给定时间平均海平面气压异常的第一特征值t吨我们同样计算了南极涛动指数（AAO），并创建了温度异常指数。时间也作为一个潜在的协变量被包括在内。偏差分析表明，NAO指数和温度异常的第一和第三特征值在0.1%显著性水平上影响冬季风暴的发生；请参见图2–6补充材料。

6.6边际模型

拟合边际模型涉及尾部指数的估计ξ和功能 $一_{n个}$ 和 ${b条}_{n个}$ 根据第节的假设三通常，参数化模型用于 $一_{n个}$ 和 ${b条}_{n个}$ 可能是必要的，如Engelke等人(2019)，但为了简单起见，我们在这里设置 $一_{n个} (秒_{我}) = 一_{我} > 0$ 和 ${b条}_{n个} (秒_{我}) = {b条}_{我} \in 对$ 对于每个L（左）=605个位置 $秒_{我}$ ⁠.

使用第节中描述的风暴发生概率模型4，参数 ${b条}_{n个}^{'} = 第页 ({b条}_{n个})$ 固定为观测值的经验0.96分位数第页(x个). 广义帕累托分布的阈值稳定性不允许我们识别函数 ${b条}_{n个}$ 没有进一步的假设，所以我们选择 ${b条}_{我}$ 等于经验值 ${q个}^{'}$ 分位数 ${u个}_{{q个}^{'}} {x个 (秒_{我})}$ 的第页-超出阈值 ${u个}_{n个}$ 在该地点 $秒_{我}$ ⁠，使用 ${q个}^{'}$ 选择此选项，以便 $第页 ({b条}_{n个}) = {b条}_{n个}^{'}$ ⁠。我们获得 ${q个}^{'} = 0.675$ ⁠，得出184个边际超额和估计的位置函数 ${\hat{b条}}_{n个}$ 如图的中央面板所示5.

对于牵引性，我们首先拟合边际模型，估计尾部指数ξ和正比例参数 $一_{1}, \dots, 一_{L（左）}$ 通过最大化独立对数似然（26）。对于给定的尾部索引ξ，超出阈值的可能性 ${b条}_{我}$ 针对每个位置进行独立优化 $秒_{我}$ ⁠。我们将风暴视为独立事件，并通过将每一个对数概率贡献与风暴的超限数量成反比来说明每个风暴的强烈时间依赖性，从而使每个风暴对估算的影响大致相等。这产生了最大独立可能性估计 $\hat{ξ} = - 0 . 15_{0.01}$ ⁠，接近局部估计尾部指数的平均值；相应的估计尺度函数 ${\hat{一}}_{n个}$ 如图的右侧面板所示5。的标准错误 ${\hat{b条}}_{n个}$ ⁠, ${\hat{一}}_{n个}$ 和 $\hat{ξ}$ 通过重采样获得。估计A类和B类然后可以用公式推导(19)具有 $一_{n个}^{'} = 第页 (一)$ ⁠.

边际模型的整体拟合令人信服第页(x个)高于阈值 ${u个}_{n个}$ 似乎足够了；参见图7补充材料。

6.7依赖模型

以下公式(21)，我们通过概括第页-具有状态空间的Pareto过程S公司=E类×[0,24]，并且必须指定其依赖结构。对于角分量W公司，我们选择了一个具有对数高斯随机函数和Whittle–Matérn（Matern，1960; 惠特尔，1954,1963)半变异函数

γ (秒, 秒^{'}, t吨, {t吨}^{'}) = κ \{1 - {‖ 小时 ‖}^{ν} {K（K）}_{ν} (‖ 小时 ‖)\}, κ, ν > 0,

(28)

哪里 ${K（K）}_{ν}$ 是第二类阶的修正贝塞尔函数ν和（Gelfand等人。，2010第428、432页）

‖ 小时 ‖ = ‖ 小时 (秒, 秒^{'}, t吨, {t吨}^{'}) ‖ = {\{{|\frac{Ω (秒^{'} - 秒) - V（V） ({t吨}^{'} - t吨)}{τ_{秒}}|}_{2}^{2} + {|\frac{{t吨}^{'} - t吨}{τ_{t吨}}|}^{2}\}}^{1 / 2},

(29)

对于 $秒, 秒^{'} \in E类$ 和 $t吨, {t吨}^{'} \in [0, 24]$ ⁠，具有正比例参数 $τ_{秒}$ 和 $τ_{t吨}$ 对于空间和时间相关性，风矢量 $V（V） \in 对^{2}$ 它模拟了风暴在3小时内的平均位移和各向异性矩阵

Ω = [\begin{matrix} 余弦 η & - 罪 η \\ 一 罪 η & 一 余弦 η \end{matrix}], η \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}], 一 > 0,

允许方程式中的空间相关性(29)在由角度决定的方向上更快地减小η.估算ν众所周知很难，所以我们设置ν=1，预示着我们计划使用更灵活的非平稳模型，如Fuglstad等人(2015). 事实上，进一步的探索性分析表明，依赖性随着空间的变化而变化，因此理想情况下会考虑更复杂的模型。

半变异函数（28）是由一个探索性分析驱动的，其中时空极值图

π ({小时}_{秒}, {小时}_{t吨}) = 公共关系 {X（X） (秒^{'}, {t吨}^{'}) ⩾ {u个}^{'} | X（X） (秒, t吨) ⩾ u个}, {小时}_{秒} = 秒^{'} - 秒, {小时}_{t吨} = {t吨}^{'} - t吨,

具有阈值u个, ${u个}^{'}$ 在集合的局部0.675经验分位数处第页-超出，按第节所述进行估算4.

我们使用最小二乘法和梯度计分程序来估计方程的参数(28)后者使用包含100个随机子集和每个风暴50个相同位置的组合方法，因为我们发现这比包含所有位置更稳健。通常，我们建议使用大小大致等于所选事件数的子集。

表1和图6总结得出的拟合结果，这些拟合结果与长距离依赖强度一致，总体上与经验值一致，但各向异性不同：最小二乘法选择了长程东北各向异性，而梯度分数拟合捕捉了短程东南各向异性。我们过于简单的模型无法捕捉到方向上的这种变化。估计的风矢量 $\hat{V（V）}$ 因为这两次发作是相似的，并且与大西洋上空产生的风暴的观测结果一致，风暴通常以东-北-东方向向北海移动。拟合看起来是合理的，尽管评分方法可能略微低估了时间相关性。

作为距离（km）函数的极值图：经验估计值（左）、使用最小二乘参数（中）和梯度评分估计值（右）获得的拟合值。每行代表一个3小时的时间步长

图6

作为距离（km）函数的极值：经验估计（左），使用最小二乘（中）和梯度评分（右）估计的参数获得的拟合值。每行代表一个3小时的时间步长

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表1

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通过最小化（27）和使用梯度得分获得的半方差图参数估计。标准误差（下标）是使用块折刀获得的

	κ	$τ_{秒}$ （公里）	$τ_{t吨}$ （h）	一	$η (^{\circ})$	${V（V）}_{1} {（公里小时）}^{- 1}$	${V（V）}_{2} ({公里小时}^{- 1})$
最小二乘法	3.5	614	23.8	1.41	−4.12	51.3	14.4
梯度得分	$2 . 85_{0.01}$	$337_{11.6}$	$9 . 6_{2.8}$	$1 . 32_{0.01}$	$21 . 2_{0.1}$	$50 . 4_{2.9}$	$12 . 5_{1.7}$

	κ	$τ_{秒}$ （公里）	$τ_{t吨}$ （h）	一	$η (^{\circ})$	${V（V）}_{1} {（公里小时）}^{- 1}$	${V（V）}_{2} ({公里小时}^{- 1})$
最小二乘法	3.5	614	23.8	1.41	−4.12	51.3	14.4
梯度得分	$2 . 85_{0.01}$	$337_{11.6}$	$9 . 6_{2.8}$	$1 . 32_{0.01}$	$21 . 2_{0.1}$	$50 . 4_{2.9}$	$12 . 5_{1.7}$

表1

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通过最小化（27）和使用梯度得分获得的半方差图参数估计。标准误差（下标）是使用块顶刀获得的

	κ	$τ_{秒}$ （公里）	$τ_{t吨}$ （h）	一	$η (^{\circ})$	${V（V）}_{1} {（公里小时）}^{- 1}$	${V（V）}_{2} ({公里小时}^{- 1})$
最小二乘法	3.5	614	23.8	1.41	−4.12	51.3	14.4
梯度得分	$2 . 85_{0.01}$	$337_{11.6}$	$9 . 6_{2.8}$	$1 . 32_{0.01}$	$21 . 2_{0.1}$	$50 . 4_{2.9}$	$12 . 5_{1.7}$

	κ	$τ_{秒}$ （公里）	$τ_{t吨}$ （h）	一	$η (^{\circ})$	${V（V）}_{1} {（公里小时）}^{- 1}$	${V（V）}_{2} ({公里小时}^{- 1})$
最小二乘法	3.5	614	23.8	1.41	−4.12	51.3	14.4
梯度分数	$2 . 85_{0.01}$	$337_{11.6}$	$9 . 6_{2.8}$	$1 . 32_{0.01}$	$21 . 2_{0.1}$	$50 . 4_{2.9}$	$12 . 5_{1.7}$

6.8模拟

我们模型的有用性可以通过模拟极端风暴来检验，使用修改后的算法1版本，以确保最大空间平均值发生在t吨=12小时，符合我们对极端风暴的定义。我们首先模拟空间过程的角度分量t吨=12，然后通过有时连续生成空间过程来模拟剩余的时间步长t吨=9、6、3、0、15、18、24，条件为已经模拟的变量。如果新时间步长产生的空间平均值大于其时间值t吨=12，样品被拒绝，重复该程序，直到找到合适的候选人。

对于具有对数高斯随机函数的角度过程，这种模拟算法等价于多元高斯随机向量的条件模拟。图8补充材料中显示了强度为的模拟风暴 $第页 (x个) = 29.1 {毫秒}^{- 1}$ ⁠与Daria相似。图像比图中的图像更粗糙4但尽管如此，海上风速越高，空间相关性的总体尺度和方向性似乎可信。

7洪水风险评估

7.1动机

2005年8月，苏黎世市遭遇严重洪水，估计造成约30亿瑞士法郎的财产损失，6人死亡（Bezzola&Hegg，2007). 苏黎世特别容易发生风险，因为它位于湖底，有几条河流穿过，其中包括流经城市主要火车站的Sihl河。尽管2005年的事件不是由Sihl的异常高水平引起的（Jaun等人。，2008)这引发了对该市洪水风险的全面评估。这条河的极端流量可能会破坏基础设施，并阻止50万通勤者出行，从而造成数亿法郎的损失。因此，在考虑潜在的缓解措施时，对高水平Sihl相关风险的良好理解至关重要。下面，我们利用我们的想法在锡尔河流域构建了一个极端降雨的随机生成器，以创建一个事件目录，供水文模型输入。Cloke和Pappenberger(2009)回顾基于气候模型的类似方法。

7.2数据集和研究区域

图7显示了研究区域，苏黎世西南部的一个矩形区域，包括Sihl河流域。预计任何落在绿化区的雨水都会从苏黎世主站下流出。降雨是各种物理过程的结果，包括气旋和对流状态，通常只能使用雷达测量等高分辨率数据来区分。在本研究中，我们使用了MeteoSwiss（Gabella等人。，2017; Panziera等人。，2018; Sideris等人。，2014)它估计了2013年至2018年瑞士电网的每小时累积降雨量。由于2013年的变化，早期的测量结果与最近的数据不一致，但即使在缩短的时间内，数据集也包括n个=52 413个雷达图像。Sihl河流域地形均匀，与雷达距离合理，因此估计的降雨场相当可靠。CombiPreci提供了后处理产生的雨水累积的离散测量值，这种特殊性需要特殊处理，例如使用离散广义Pareto分布（Anderson，1970; Krishna&Singh Pundir，2009; Prieto等人。，2014). 在这里，我们旨在说明函数峰值-阈值分析的灵活性和优势，因此我们将离散性留给未来的工作。为了确保基于等级的程序的良好性能，例如经验极值图的计算，原始的离散测量值通过添加小噪声而抖动。

图7

Sihl河流域（绿色）和研究区域（红色）

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7.3风险定义和模型制定

跟随de Fondeville和Davison(2018)，我们对局部强降雨和大量空间降雨累积进行了建模，但并没有使用基于标准化数据的非自然风险函数，而是首先根据抖动测量值定义风险 ${x个}_{1}, \dots, {x个}_{n个}$ 通过工作人员

{第页}_{1} (x个) = {| S公司 |}^{- 1} \int_{S公司} x个 (秒) d日 秒, {第页}_{2} (x个) = \underset{秒 \in S公司}{最大值} x个 (秒),

哪里 ${第页}_{1}$ 表示水量，因此具有直接的水文解释。为了使用 ${第页}_{1}$ 和 ${第页}_{2}$ 要完全区分这些不同类型的事件，我们必须选择阈值 ${u个}_{1}, {u个}_{2} > 0$ 如此之高，以至于只有11个最激烈的事件被用于推断；参见图1为了使用更多的事件并说明函数POT方法的灵活性，我们研究了一个改进的空间平均风险函数，

{第页}_{1}^{'} (x个) = {| S公司 |}^{- 1} \int_{S公司} x个 (秒) d日 秒 \times \frac{‖ {\hat{x个}}_{1} ‖}{‖ \hat{x个} ‖},

哪里 $‖ \hat{x个} ‖$ 表示二维离散傅里叶变换的范数x个和 $‖ {\hat{x个}}_{1} ‖$ 表示其第一个分量的范数。这将风险集中在空间上分布广泛且具有较大空间平均降雨量的事件上，并放弃了“混合”事件：更深入的探索性分析表明，该地区会遇到两种以上类型的降雨。

这个 ${第页}_{1}^{'} ({x个}_{我})$ 与 ${第页}_{1} ({x个}_{我})$ ⁠，尤其是在尾部，但使用 ${第页}_{1}^{'} ({x个}_{我})$ 允许我们将阈值降低到足以保留132个事件；参见图9补充材料。它还说明了具有非线性部分的风险函数的使用，并表明图像处理思想可以帮助描述极端降雨类型。区分极端类型的另一种方法是将数据库投影到通过EOF分析获得的特定天气状况上（Braud等人。，1993)或通过为极端情况量身定制的方法（Cooley&Thibaud，2019)这可能有助于研究北美冬季偶极子等天气模式（Wang等人。，2015).

在建立降雨模型时，能够处理干网格单元非常重要，因为x个(秒) = 0. 下面我们使用log-Gaussian泛化第页-帕累托过程，如第节所示三，但模型必须包含零。在我们的地区，我们可以将干细胞的分布视为均匀的，因此我们假设零降雨量对应于该过程的负值，我们将其视为零左旋。允许干细胞分布变化的一个简单修改是构建一个新的数据集 ${x个}^{'}$ 通过添加正函数c（c）≡c（c）(秒)原始数据x个，治疗 ${x个}^{'} (秒)$ 如果相等，则为左偏c（c）(秒)，并让c（c）(秒)随着干旱事件的频率增加。这不会影响模型拟合，因为 ${x个}^{'} - {b条}_{n个}^{'} = x个 - {b条}_{n个}$ 如果 ${b条}_{n个}$ 和 ${b条}_{n个}^{'}$ 是局部经验分位数x个和 ${x个}^{'}$ ⁠，尽管必须考虑审查。

图8

修正后的空间平均值（顶部）和空间最大值（底部）的极值拟合模型。左：估计尾部指数和拟合极值图。中心：观察到的最大事件。右：模拟事件

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为了拟合模型，我们首先估计边际尾部行为，然后估计相关性模型。对于利润，我们按照第节进行处理5: $\hat{{b条}_{n个}^{1}}$ 和 $\hat{{b条}_{n个}^{2}}$ 为定义 ${第页}_{1}$ 和 ${第页}_{2}$ 分别作为这些风险泛函超越的局部经验分位数，选择的水平如下 ${第页}_{1}^{'} ({b条}_{n个}^{1}) = {u个}_{1}$ 和 ${第页}_{2} ({b条}_{n个}^{2}) = {u个}_{2}$ ⁠然后使用独立似然估计相应的尾部指数和尺度参数（26）。

我们考虑了马特恩和伯恩斯坦（Schlather&Moreva，2017)相关性的半变差函数模型。Matérn半变异函数在上面有界，而Bernstein模型在图中所示的两种状态之间架起了桥梁三.在空间最大功能的情况下 ${第页}_{2}$ ⁠，我们使用带阈值的截尾似然估计 $\hat{{b条}_{n个}^{1}} > c（c）$ ⁠.对于空间平均函数 ${第页}_{1}^{'}$ ⁠在132个事件中，没有观察到任何一个干细胞产生超标，我们可以使用梯度得分方法来估计不受干细胞影响的依赖模型。在这两种情况下，我们都发现复合方法更稳定，因此我们使用1000个随机集（30个位置）对 ${第页}_{1}^{'}$ 和100个10个位置的随机集 ${第页}_{2}$ ⁠为便于牵引，减少了子集的数量。我们再次观察到，大小子集大致相同的复合程序n个给出了相当稳定的估计。

7.4估算模型

使用QQ图检查了两种风险函数的边际模型拟合情况，发现其在所有地方都很好。估计模型，如图所示8，具有不同的尾部行为。与以下各项的超标相对应的事件 ${第页}_{1}^{'}$ 有估计的尾部指数 $\hat{ξ_{1}} = - 0 . 2_{0.04}$ ⁠，以及用于 ${第页}_{2}$ 有 $\hat{ξ_{2}} = 0 . 02_{0.02}$ ⁠; 通过重采样获得了下标形式的粗糙标准误差。这些估计表明，上述降雨在空间上的广泛累积是有界的，而局部暴雨的尾部衰减估计值位于弗雷切特地区，该地区没有给出上限。虽然有人会认为 ${第页}_{2}$ -超限将在极限中占主导地位，但其他类型的事件仍然令人感兴趣，特别是如果我们考虑更复杂的极值定义。在该应用中，Sihl河流域出现了大范围降雨的最坏情况，可用于推导缓解程序，在此情况下，我们只需关注局部强降雨事件。

对于 ${第页}_{1}^{'}$ 用Matérn模型得出的分数较低，而Bernstein半变异函数给出的可能性较高 ${第页}_{2}$ -超越。拟合模型显示，对于 ${第页}_{2}$ ⁠，而理论极值图不低于0.7 ${第页}_{1}^{'}$ ⁠强调适当定义风险的重要性。图中的说明性模拟8看起来与数据一致。模型估计 ${第页}_{2}$ 与数据相比，似乎过高估计了极值相关性：随着阈值的增加，估计的极值图减少。我们的模型无法适应这种高度依赖性的降低。Huser等人(2017)还有Huser和Wadsworth(2019)提出了依赖性降低的空间模型，可以扩展到我们的环境中。

8讨论

峰值-阈值方法广泛用于建模单变量分布的尾部，但需要更通用的方法来利用复杂数据。本文将峰值阈值分析推广到连续随机过程。超标是根据实际价值函数定义的第页，并使用第页-Pareto过程，它显示为第页-适当重标过程的超越，是广义帕累托变量的泛函推广。我们推导了此类过程的构造规则，给出了仿真算法，强调了它们与最大稳定过程的联系，并提出了推理和模型验证程序。这些想法通过对风暴和空间降雨的应用来说明。

条件收敛性的最小假设第页-超越性很弱：如果假设边际分布具有广义帕累托尾部，则自然应考虑非零联合极限的存在。如果这些假设不现实，那么对功能模型的需求可能会受到质疑。如果假设这样的极限是一个连续函数，那么推广第页-帕累托过程自然产生。结果是这里给出的收敛结果不允许在整个过程中渐近独立S公司这将涉及极限中不连续函数的出现。需要更通用的收敛概念（尚未开发）来为函数提供完全统一的峰值过阈值分析。

第节中获得的随机风暴发生器6产生与历史记录一致的事件。模拟风暴的峰值位于24小时时间窗口的中心，但在估算过程中没有考虑到这一点；Coles等人的想法(1994)或Smith等人(1997)此外，基础模型没有捕捉到极端风暴时空结构的全部复杂性，其依赖性随空间而变化。Oesting等人(2017)表明非平稳性的潜在类型有限，但具有不同局部各向异性的模型，如Fuglstad等人(2015)或Fouedjio等人(2016)，将是一个自然的延伸。使用Lindgren等人的方法可以提高模拟风暴的真实性(2011)例如，使用扩散方程来构建物理激励的非平稳时空依赖结构，这在计算上是高效的，而且可能更现实。我们的风暴模型引入了非国家性，允许风暴发生的概率取决于解释变量，但条件分布第页-超出值没有变化，这可能限制太多。该方法足够灵活，允许解释变量影响第页-如有必要，进行Pareto过程。

第节中的降雨应用7通过说明风险如何影响所选事件的尾部行为，并展示如何，强调适当定义风险的重要性第页-超越使人能够解开极端的混合。例如，如果边缘形状参数估计值在区域内变化很大，并且与风险函数的估计值不一致，则渐近框架提供的近似值将有问题。因此，极值依赖性随强度降低的亚症状模型更可取，因为这种现象通常在降雨中观察到。

另一个极端复杂性的概念与复合事件有关。让 $({X（X）}^{1}, {X（X）}^{2})$ 是一个二元连续随机过程 ${第页}^{1}$ 和 ${第页}^{2}$ 成为合适的风险管理人员。然后在与上述条件类似的情况下

第页 ({X（X）}^{1}, {X（X）}^{2}) = 最小值 \{{第页}^{1} ({X（X）}^{1}) - {u个}^{1}, {第页}^{2} ({X（X）}^{2}) - {u个}^{2}\}

可用于描述这两种类型的极端情况，并可用于研究易受不同风险源影响的基础设施。这与（4）不同，后者涉及单个流程的多个风险。

确认

我们感谢瑞士国家科学基金会的财政支持，感谢评论员的特别有用的评论。亚历克西斯·伯尔尼（Alexis Berne）和乔纳塔·吉吉（Gionata Ghiggi）亲切地为我们提供了瑞士雷达雨量数据，这些数据最初是由气象卫星公司（Meteoswis）提供的。

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S.G.公司。

&

Tawn公司

,

J.A.公司。

(

1996

)

模拟区域降雨过程的极值

.

英国皇家统计学会杂志。B系列（方法学）

,

58

(

2

),

329

–

347

.

谷歌学者

交叉参考

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科尔斯

,

S.G.公司。

,

Tawn公司

,

J.A.公司。

&

史密斯

,

相对湿度。

(

1994

).

极端低温的季节马尔可夫模型

.

环境计量学

,

5

,

221

–

239

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

库利

,

D。

&

蒂博

,

E.公司。

(

2019

)

高维极值的依赖性分解

.

生物特征

,

106

(

三

),

1

–

18

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

库利

,

D。

,

纳沃

,

第页。

&

蓬塞特

,

第页。

(

2006

)最大稳定随机场的变异函数。在

贝塔利

,

第页。

,

杜康

,

第页。

&

苏利耶

,

第页。

（编辑）

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,

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:

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，页。

373

–

390

.

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,

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&

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,

T。

(

2009

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极值图：极端事件的相关图

.

伯努利

,

15

(

4

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977

–

1009

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

戴维斯

,

注册会计师。

,

米科斯

,

T。

&

赵

,

年。

(

2013

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序列极值依赖性的测度及其估计

.

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,

123

(

7

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2575

–

2602

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

戴维森

,

交流。

(

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,

J.T.公司。

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,

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，页。

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482

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戴维森

,

交流。

&

古拉姆雷泽

,

医学硕士。

(

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极端地质统计学

.

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,

468

(

2138

),

581

–

608

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

戴维森

,

交流。

&

史密斯

,

相对湿度。

(

1990

)

超出高阈值的模型（含讨论）

.

英国皇家统计学会杂志。B系列（方法学）

,

52

(

三

),

393

–

442

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

私人助理。

,

穆西奥

,

M。

&

文丘拉

,

L。

(

2016

)

最小评分规则推断

.

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,

43

(

1

),

123

–

138

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

迪伊

,

D.P.公司。

,

乌帕拉

,

S.M.公司。

,

西蒙斯

,

A.J.公司。

,

贝里斯福德

,

第页。

,

波利

,

第页。

,

小林寺

,

美国。

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2011

).

ERA-Interim再分析：数据同化系统的配置和性能

.

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,

137

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553

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597

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谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

R。

(

2016

)

mvPot-R包版本0.1.1

.

德丰德维尔

,

R。

&

戴维森

,

交流。

(

2018

)

高维峰值-阈值推断

.

生物特征

,

105

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三

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575

–

592

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

L。

(

1984

)

最大稳定过程的谱表示

.

概率年鉴

,

12

(

4

),

1194

–

1204

.

谷歌学者

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书目数据库

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,

L。

&

费雷拉

,

A。

(

2006

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极值理论简介

.

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H。

(

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29

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三

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437

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459

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谷歌学者

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书目数据库

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,

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,

利尼格尔

,

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D.N.公司。

,

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,

第页。

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,

五、。

(

2010

)

使用气候模型数据改进对欧洲冬季风暴气候和再保险损失风险的估计

.

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,

49

(

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),

2092

–

2120

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

C、。

&

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,

M。

(

2015

)

函数规则变化、帕累托过程和超过阈值的峰值

.

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8

(

1

),

9

–

17

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

Dombry公司

,

C、。

,

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,

美国。

&

Oesting（测试）

,

M。

(

2016

)

最大稳定过程的精确模拟

.

生物特征

,

103

(

2

),

303

–

317

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

M。

,

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,

G.公司。

,

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,

J。

&

阿尔布里奇

,

美国。

(

2010

)

欧洲风暴和相关环流天气类型：从GCM模拟的多模式集合推断出的未来变化

.

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,

42

(

1

),

27

–

43

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

多纳

,

M.G.公司。

,

莱克布施

,

总承包商。

,

野生

,

美国。

&

阿尔布里奇

,

美国。

(

2011

)

根据GCM和RCM多模型模拟推断的欧洲冬季风暴损失和极端风速的未来变化

.

自然灾害与地球系统科学

,

11

(

5

),

1351

–

1370

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

埃科诺穆

,

T。

&

大卫

,

B。

(

2014

)

极端风暴的时空模拟

.

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,

8

(

4

),

2223

–

2246

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

艾因马尔

,

J·H·J。

,

基里略克

,

A。

,

克拉伊纳

,

A。

&

塞格斯

,

J.J.公司。

(

2016年a

)

空间尾部相关性的M估计

.

英国皇家统计学会杂志。B系列（统计方法）

,

78

(

1

),

275

–

298

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

艾因马尔

,

J·H·J。

,

基里略克

,

A。

&

塞格斯

,

J。

(

2016年b

)

高维尾部相关性的连续更新加权最小二乘估计

.

统计规划与推断杂志

,

169

(

12

),

22

–

33

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

拥抱

,

第页。

,

克鲁珀伯格

,

C、。

&

米科什

,

T。

(

1997

)

保险和金融极端事件建模

.

柏林

:

Springer-Verlag公司

.

恩格尔克

,

美国。

&

马林诺夫斯基

,

A。

(

2014

)

极端事件条件下最大稳定过程的统计推断

.

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,

46

(

2

),

478

–

495

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

恩格尔克

,

美国。

,

马林诺夫斯基

,

A。

,

卡布卢奇科

,

Z.公司。

&

施莱特

,

M。

(

2015

)

Hüsler–Reiss分布和Brown–Resnick过程的估计

.

英国皇家统计学会杂志。B系列（统计方法）

,

77

(

1

),

239

–

265

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

恩格尔克

,

美国。

,

德丰德维尔

,

R。

&

Oesting（测试）

,

M。

(

2019

)

聚合数据的极端行为与应用程序降级

.

生物特征

,

106

(

1

),

127

–

144

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

费雷拉

,

A。

&

德哈恩

,

L。

(

2014

)

广义Pareto过程；着眼于应用和模拟

.

伯努利

,

20

(

4

),

1717

–

1737

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

费雷拉

,

A。

,

德汉

,

L。

&

周

,

C、。

(

2012

)

随机过程积分的超越概率

.

多元分析杂志

,

105

(

1

),

241

–

257

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

费希尔

,

注册会计师。

&

蒂佩特

,

低压断路器。

(

1928

)

样本最大或最小成员频率分布的限制形式

.

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,

24

(

2

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180

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190

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

Fouedjio公司

,

F、。

,

德萨西斯

,

N。

&

里沃拉德

,

J。

(

2016

)

非平稳随机函数的广义卷积模型及估计

.

空间统计

,

16

(

1

),

35

–

52

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

富尔斯塔德

,

总会计师。

,

辛普森

,

D。

,

林格伦

,

F、。

&

Rue街

,

H。

(

2015

)

非平稳空间数据总是需要非平稳随机域吗？

空间统计

,

14

(

1

),

505

–

531

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

加贝拉

,

M。

,

斯皮尔斯

,

第页。

,

哈曼

,

美国。

,

德国

,

美国。

&

伯尔尼

,

A。

(

2017

)

使用双极化c波段地基雷达、GPM星载Ku-band雷达和雨量计测量阿尔卑斯山的降雨量

.

遥感

,

9

(

11

),

1147

–

1166

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

盖尔芬德

,

阿联酋。

,

挖掘

,

P.J.公司。

,

富恩特斯

,

M。

&

古托普

,

第页。

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)

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.

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.

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,

B。

(

1943

)

最大条件下的苏拉分布界限

.

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(

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423

–

453

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

格奈廷

,

T。

&

拉夫特里

,

阿联酋。

(

2007

)

严格正确的评分规则、预测和评估

.

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,

102

(

477

),

359

–

378

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

霍尔

,

总经理。

&

杰森

,

美国。

(

2008

)

热带气旋登陆风险评估的局地和盆地方法比较

.

应用气象学和气候学杂志

,

47

(

2

),

361

–

367

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

M。

(

2011

)

动态缩小全球气候模型的多模型集合对欧洲热带外风暴损害的风险

.

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,

11

(

10

),

2847

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2857

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

J.E.公司。

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Tawn公司

,

J.A.公司。

(

2004

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.

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,

66

,

497

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546

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

J.R.M.公司。

&

沃利斯

,

J.R.公司。

(

1987

)

广义Pareto分布的参数和分位数估计

.

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,

29

(

三

),

339

–

349

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

H。

&

林德斯科格

,

F、。

(

2005

)

规则变化随机过程的极值行为

.

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,

115

(

2

),

249

–

274

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

胡塞尔

,

R。

&

戴维森

,

交流。

(

2013

)

Brown–Resnick过程的复合似然估计

.

生物特征

,

100

(

2

),

511

–

518

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

胡塞尔

,

R。

&

华兹华斯

,

法学博士。

(

2019

)

具有未知极值依赖类的空间过程建模

.

美国统计协会杂志

,

114

(

525

),

434

–

444

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

胡塞尔

,

R。

,

戴维森

,

交流。

&

让东

,

M.G.公司。

(

2016

)

多元极值的似然估计

.

极端

,

19

(

1

),

79

–

103

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

胡塞尔

,

R。

,

奥皮茨

,

吨。

&

蒂博

,

E.公司。

(

2017

)

使用高斯尺度混合桥接空间极值的渐近独立性和依赖性

.

空间统计

,

21

(

1

),

166

–

186

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

Jaun先生

,

美国。

,

阿伦斯

,

B。

,

瓦尔泽

,

A。

,

埃文

,

T。

&

施瓦尔

,

C、。

(

2008

)

2005年8月莱茵河上游流域洪水的概率观点

.

自然灾害与地球系统科学

,

8

(

1

),

281

–

291

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

卡茨

,

相对湿度。

,

帕朗热

,

医学学士。

&

纳沃

,

第页。

(

2002

)

气候学中的极值统计

.

水资源进展

,

25

(

8-12

),

1287

–

1304

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

Klüppelberg公司

,

C、。

&

雷斯尼克

,

S.I.公司。

(

2008

)

Pareto copula、风险聚合和皇帝的袜子

.

应用概率杂志

,

45

(

1

),

67

–

84

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

克里希纳

,

H。

&

辛格·蓬迪尔

,

第页。

(

2009

)

离散Burr分布和离散Pareto分布

.

统计方法

,

6

(

2

),

177

–

188

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

利德比特

,

M.R.公司。

(

1991

)

基于“峰值超过阈值”建模

.

统计与概率信件

,

12

,

357

–

362

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

莱德福德

,

A.W.公司。

&

Tawn公司

,

J.A.公司。

(

1996

)

多元极值的近似独立性统计

.

生物特征

,

83

(

1

),

169

–

187

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

林格伦

,

F、。

,

Rue街

,

H。

&

林德斯特伦

,

J。

(

2011

)

高斯场和高斯-马尔可夫随机场之间的明确联系：随机偏微分方程方法（附讨论）

.

英国皇家统计学会杂志。B系列（统计方法）

,

73

(

4

),

423

–

498

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

林德斯科格

,

F、。

,

雷斯尼克

,

S.I.公司。

&

罗伊

,

J。

(

2014

)

度量空间上的正则变分测度：隐正则变分和隐跳跃

.

概率调查

,

11

(

1

),

270

–

314

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

马特伦

,

B。

(

1960

)

空间变异

.

纽约

:

施普林格

.

莫内

,

A。

,

奥皮茨

,

T。

,

卢齐

,

M。

,

洛伊塞尔

,

美国。

&

Bailleul公司

,

B。

(

2017

)

风暴风险管理：重现期计算的敏感性和地区范围

.

随机环境研究与风险评估

,

31

(

8

),

1977

–

1995

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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. (

1975

)

洪水研究报告

伦敦自然环境研究委员会。

Oesting（测试）

,

M。

,

施莱特

,

M。

&

弗里德里希斯

,

第页。

(

2017

)

使用双变量Brown–Resnick过程对极端天气预报进行统计后处理，并应用于阵风

.

极端

,

20

(

2

),

309

–

332

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

奥皮茨

,

T。

(

2013年a

)

极端t吨-过程：椭圆吸引域和谱表示

.

多元分析杂志

,

122

(

1

),

409

–

413

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

奥皮茨

,

吨。

(

2013年b

).

外部多变量与空间：近似谱与模态椭圆

蒙彼利埃第二大学博士论文。

帕多安

,

南非。

,

里巴特

,

M。

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西森

,

南非。

(

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.

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,

105

(

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),

263

–

277

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

潘齐耶拉

,

L。

,

加贝拉

,

M。

,

德国

,

美国。

&

马蒂乌斯

,

O。

(

2018

)

瑞士阿尔卑斯山每日和次每日极端降水的12年雷达气候研究

.

国际气候学杂志

,

38

(

10

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3749

–

3769

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

普法尔

,

美国。

(

2014

)

描述欧洲极端天气与天气环流特征之间的关系

.

自然灾害与地球系统科学

,

14

(

6

),

1461

–

1475

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

皮克兰德

,

J。

(

1975

)

利用极值顺序统计进行统计推断

.

统计年刊

,

三

,

119

–

131

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

别针（Pinto）

,

J。

,

Karremann公司

,

M。

,

出生

,

英国。

,

德尔拉·马尔塔

,

第页。

&

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,

M。

(

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未来气候条件下与欧洲风暴相关的潜在损失

.

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,

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1

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1

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20

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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,

医学博士。

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,

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(

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综合动能对热带气旋的破坏潜力

.

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,

88

(

1

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513

–

526

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

普列托

,

F、。

,

戈梅兹·德尼兹

,

E.公司。

&

萨拉维亚

,

J.M.公司。

(

2014

)

用离散广义Pareto分布模拟道路事故黑点数据

.

事故分析与预防

,

71

(

1

),

38

–

49

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

雷斯尼克

,

S.I.公司。

(

1987

)

极值、规则变化和点过程

.

美国纽约

:

Springer-Verlag公司

.

罗伯茨

,

J英尺。

,

冠军

,

A.J.公司。

,

道金斯

,

有限责任公司。

,

霍奇斯

,

肯尼亚。

,

沙弗里

,

有限责任公司。

,

斯蒂芬森

,

D.B.公司。

等(

2014

)

1979年至2012年XWS开放获取的欧洲极端风暴目录

.

自然灾害与地球系统科学

,

14

(

9

),

2487

–

2501

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

罗茨根

,

H。

&

塔伊维迪

,

N。

(

2006

)

多元广义Pareto分布

.

伯努利

,

12

(

5

),

917

–

930

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

罗茨根

,

H。

,

塞格斯

,

J.J.公司。

&

华兹华斯

,

法学博士。

(

2018年a

)

多元广义Pareto分布：参数化、表示与性质

.

多元分析杂志

,

165

(

1

),

117

–

131

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

罗茨根

,

H。

,

塞格斯

,

J。

&

华兹华斯

,

法学博士。

(

2018年b

)

多元峰值-阈值模型

.

极端

,

21

(

1

),

115

–

145

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

施莱特

,

M。

&

莫雷瓦

,

O。

(

2017

)

连接有界变差函数和无界变差函数的参数模型

.

统计

,

6

(

1

),

47

–

52

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

沙基

,

第页。

,

Tawn公司

,

J.A.公司。

&

棕色

,

S.J.公司。

(

2020

).

模拟欧洲极端风暴的空间范围和严重程度

.

应用统计学

,

69

,

223

–

250

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

西德里斯

,

I.V.公司。

,

加贝拉

,

M。

,

埃尔丁

,

R。

&

德国

,

美国。

(

2014

)

瑞士阿尔卑斯山地形中利用时空协同克立格法与外部漂移进行实时雷达雨量融合

.

英国皇家气象学会季刊

,

140

(

680

),

1097

–

1111

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

史密斯

,

相对湿度。

(

1984

)样本极值的阈值方法。在：

J.T.公司。

德奥利维拉

，（编辑）

统计极值和应用

,

多德雷赫特

:

雷德尔

，页。

621

–

638

.

史密斯

,

相对湿度。

(

1990

)

最大稳定过程和空间极值

萨里大学技术报告。

史密斯

,

相对湿度。

,

Tawn公司

,

J.A.公司。

&

科尔斯

,

S.G.公司。

(

1997

)

阈值超标的马尔可夫链模型

.

生物特征

,

84

,

249

–

268

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

蒂博

,

E.公司。

&

奥皮茨

,

T。

(

2015

)

椭圆Pareto过程的有效推理与仿真

.

生物特征

,

102

(

4

),

855

–

870

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

托多罗维奇

,

第页。

&

鲁塞尔

,

J。

(

1971

)

洪水分析的几个问题

.

水资源研究

,

7

,

1144

–

1150

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

托多罗维奇

,

第页。

&

Zelenhasic公司

,

E.公司。

(

1970

)

洪水分析的随机模型

.

水资源研究

,

6

,

1641

–

1648

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

沃塔德

,

R。

,

范·奥尔登堡

,

G.J.（通用）。

,

奥托

,

F.E.L.公司。

Yiou先生

,

第页。

,

德弗里斯

,

H。

,

范·梅加德

,

E.公司。

等(

2019

)

人类对欧洲冬季风暴的影响，如2018年1月的风暴

.

地球系统动力学

,

10

(

2

),

271

–

286

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

华兹华斯

,

法学博士。

&

Tawn公司

,

J.A.公司。

(

2014

)

对数高斯随机函数空间极值过程的有效推断

.

生物特征

,

101

(

1

),

1

–

15

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

华兹华斯

,

法学博士。

&

Tawn公司

,

J。

(

2019

)

通过单场地调节实现高维空间极值

.arXiv:1912.06560。

王

,

S.Y.S.公司。

,

黄

,

W.R.公司。

&

Yoon公司

,

J.H.公司。

(

2015

)

北美冬季“偶极子”和极端活动：CMIP5评估

.

大气科学快报

,

16

(

三

),

338

–

345

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

韦勒

,

通用电气公司。

,

库利

,

D。

,

赛因

,

S.R.公司。

,

布科夫斯基

,

医学硕士。

&

梅恩斯

,

有限责任公司。

(

2013

)

NARCCAP降水极值的两个案例研究

.

地球物理研究大气杂志

,

118

(

18

),

10475

–

10489

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

惠特尔

,

第页。

(

1954

)

关于平面内的平稳过程

.

生物特征

,

41

(

三

),

434

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449

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

惠特尔

,

第页。

(

1963

)

多维随机过程

.

国际统计学会公报

,

40

(

2

),

974

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994

.

谷歌学者

OpenURL占位符文本

书目数据库

Yiou先生

,

第页。

(

2014

)

AnaWEGE：基于大气环流模拟的天气发生器

.

地球科学模型开发

,

7

(

2

),

531

–

543

.

谷歌学者

交叉参考

书目数据库

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2024年5月	102
2024年6月	14

文章内容

函数峰值-阈值分析

摘要

1简介

2超出建模阈值

2.1单变量超标

2.2功能超越

2.3功能第页-超越

2.3.1符号、假设和收敛

2.3.2概述第页-帕累托过程

2.3.3仿真

2.4渐近依赖机制的限制

3功能峰值-超阈值建模

4统计推断

5模型验证

6模拟欧洲极端风暴

6.1动机

6.2极端风暴风险评估

6.4数据集和研究区域

6.5风暴定义和超越概率建模

6.6边际模型

6.7依赖模型

6.8模拟

7洪水风险评估

7.1动机

7.2数据集和研究区域

7.3风险定义和模型制定

7.4估算模型

8讨论

确认

参考文献

补充数据

引文

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函数峰值-阈值分析

摘要

1简介

2超出建模阈值

2.1单变量超标

2.2功能超越

2.3功能第页-超越

2.3.1符号、假设和收敛

2.3.2概述第页-帕累托过程

2.3.3仿真

2.4渐近依赖机制的限制

3功能峰值-超阈值建模

4统计推断

5模型验证

6模拟欧洲极端风暴

6.1动机

6.2极端风暴风险评估

6.4数据集和研究区域

6.5风暴定义和超越概率建模

6.6边际模型

6.7依赖模型

6.8模拟

7洪水风险评估

7.1动机

7.2数据集和研究区域

7.3风险定义和模型制定

7.4估算模型

8讨论

确认

参考文献

补充数据

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