On Difference-Based Variance Estimation in Nonparametric Regression When the Covariate is High Dimensional

备注2。我们提到，对于合理的配置，一般认为0∈J型_我为所有人我=1,…,L（左），以及对_我将主要由集合组成 $\times_{k = 1}^{d日} {1, \dots, {n个}_{k}},$ ⁠，除了O（运行）(n个^d日−1)位于配置边缘的点，以便n个_对我=N个+O（运行）(n个^d日−1)=n个^d日+O（运行）(n个^d日−1). 此外，通常L（左）=d日虽然这并不总是我们将看到的最佳选择。

霍尔等. (1991)为显示d日=2在基于差分的估计类中，当局部残差在直线上且具有与d日=定理1中给出的1（或其断开的组合），即秒^(我)∈ ℤ²残差支持于

{J型}_{我} = {κ 秒^{(我)} : κ = 0, \dots, {第页}_{我}}, 我 = 1, \dots, L（左） .

(12)

类似的结果适用于d日=3，如我们将在定理3中所示。

3.2. 示例2（案例d日=3)

让n个₁=n个₂=n个_三=n个.我们根据J型_我={(0,0,0),(0,0,1),(0,0,−1),(0,1,0),(0,−1,0),(1,0,0),(−1,0,0)},对_我={(我₁,我₂,我_三):我₁,我₂,我_三=2,…,n个−1}和n个_对我=(n个−2)^三（图。2).

图2

示例2中描述的配置

定理3。让d日=1,2,3. 如果克∈唇[0,1]^d日,γ>d日/4，那么在条件（1）和（9）下，对于方程中定义的任何差分估计量，我们都有(11),

MSE公司 ({\hat{σ}}^{2}) = \frac{σ^{4}}{N个} {γ_{4} - 1 + 2 \sum_{k \neq 0} {(\sum_{我 = 1}^{L（左）} μ_{我} \sum_{j个} {d日}_{j个}^{(我)} {d日}_{j个 + k}^{(我)})}^{2}} + o个 ({N个}^{- 1}) .

(13)

定理3的一个变种与随机二次型deJong的中心极限定理(1987)也给出√N个-一致性 ${\hat{σ}}^{2}$ 只要d日 $⩽$ 3，即。 ${N个}^{1 / 2} ({\hat{σ}}^{2} - σ^{2})$ 是渐近中心法向，方差有限，如等式右侧所示(13).

然而，正如所指出的d日霍尔=2等. (1991)汤普森等. (1991)对于有限样本大小的直线上的配置，特别是当信号急剧波动时，偏置贡献可能会变得非常大。因此，在霍尔等. (1991)建议使用“紧凑”配置，而应避免使用“长线性”配置。这在下一个定理中得到了强调，该定理提供了 ${\hat{σ}}^{2}$ 对于任意d日∈ ℕ.

定理4。让d日∈ℕ并假设模型（1），这样克∈C类⁽²⁾[0,1]^d日此外，假设条件（8）-（10）成立。那么，对于任何基于差分的估计量 ${\hat{σ}}^{2}$ 在方程式中定义(11)索引集上有残差J型_我如方程式所示(12)，我们有

{偏差}^{2} ({\hat{σ}}^{2}) = {[\sum_{我 = 1}^{L（左）} {{n个}_{我}^{- 2} μ_{我} C类 ({第页}_{我}) {‖ 〈 \nabla 克, 秒^{(我)} 〉 ‖}_{2}^{2} + o个 ({n个}_{我}^{- 2})}]}^{2},

(14)

哪里 $C类 ({第页}_{我}) = {(Σ_{j个 = 0}^{{第页}_{我}} j个 {d日}_{j个}^{(我)})}^{2}$ ⁠, $\nabla 克 = {(\partial 克 / \partial {t吨}_{1}, \dots, \partial 克 / \partial {t吨}_{d日})}^{T型}$ 表示偏导数向量和范数 $‖ \cdot ‖_{2}^{2}$ 相对于设计密度 $Π_{k = 1}^{d日} {（f）}_{k}$ ⁠.如果n个₁=…=n个_d日=n个，这简化为

{偏差}^{2} ({\hat{σ}}^{2}) = {n个}^{- 4} {\sum_{我 = 1}^{L（左）} μ_{我} C类 ({第页}_{我}) {‖ 〈 \nabla 克, 秒^{(我)} 〉 ‖}_{2}^{2}}^{2} + o个 ({n个}^{- 4}) .

连同定义（12），定理4的证明遵循与Dette中的计算类似的路线等. (1998)，第755-756页。通过备注1，对于随机网格点的情况，可以得到类似的结果。

3.3. 示例3

在这种情况下d日=2，具有等距网格点(n个×n个)配置（用于L（左）=1)J型₁={κ(1,0):κ=−2，…，2}，以及配置（对于L（左）=2) ${\tilde{J型}}_{1} = {κ_{1} (1, 0) : κ_{1} = - 1, 0, 1}$ 和 ${\tilde{J型}}_{2} = {κ_{2} (0, 1) : κ_{2} = - 1, 0, 1}$ ⁠，将导致相同的渐进MSE， ${n个}^{- 2} σ^{4} (γ_{4} - 1 + \frac{1}{4}) + O（运行） ({n个}^{- 4})$ ⁠，但顺序的有限样本项O（运行）(n个⁻⁴)对于（长线性）配置J型₁是九倍大（这里第页=4）比（紧凑）配置的 ${\tilde{J型}}_{1}$ 和 ${\tilde{J型}}_{2}$ （此处第页=2），因为人们可以很容易地从定理4推导出。

如果d日增加时，偏差的一阶近似值变得更差，如下一示例所示。

3.4. 示例4

霍尔最优差分格式等. (1990)（适用于每个L（左）方向）我们获得C类(第页_我)=(2第页_我+1)(第页_我+1)/12. 作为一个例子，我们考虑广义von Neumann(1941)估计器（另见Rice(1984)),第页=1, ${d日}_{0}^{(我)} = - {d日}_{1}^{(我)} = 2^{- 1 / 2}$ 和L（左）=d日。这里是索引集J型_我={0,电子_我}，其中电子_我,我=1,…,d日，表示ℝ中的标准基础^d日.假设n个₁=…=n个_d日=n个,μ_我=d日⁻¹.然后定理4得出

{偏差}^{2} ({\hat{σ}}^{2}) = {n个}^{- 4} {(2 d日)}^{- 2} {(\sum_{我 = 1}^{d日} {‖ \frac{\partial 克}{\partial {t吨}_{我}} ‖}_{2}^{2})}^{2} + o个 ({n个}^{- 4}),

它的顺序并不比O（运行）(n个⁻⁴)，前提是克不是恒定的。然而，对于任何差分格式，对MSE的方差贡献都是网格点数的倒数，O（运行）(n个^−d日).

因此，从这个简单的例子可以看出，对于d日 $⩾$ 4，一般来说，与案例相比，偏倚将主导MSEd日 $⩽$ 3.这尤其意味着冯·诺依曼(1941)估计值不再√N个一致，如果d日 $⩾$ 4.为了纠正这种偏差，方程式中的多项式加权方案(7)将变得必要。

定理5。假设d日∈ℕ并假设克∈C类^(米)[0,1]^d日对于米=[d日/4]+1. （此处[x个]表示小于的最大整数x个∈ℝ.）在模型（1）和假设（9）下，基于多项式差分的估计量的加权方案（7）阶第页，因此第页 $⩾$ 米，MSE的渐近展开式（13）成立。此外，这些估计值为√N个一致。

我们已经看到，随着维度的增加d日偏差的控制成为基于差分估计的主要任务，特别是对于波动信号。这在定理4中得到了强调，在这些情况下，偏差的二阶项支配有限样本MSE。然而，如果信号只是缓慢波动，则一阶偏差项仍然是一个很好的近似值，对于以下情况，是否可以渐近地将MSE最小化可能是有意义的d日=1（定理1）。对于d日 $⩾$ 2由于差分方案的特殊配置（见定义2）可能会起作用，因此这项任务更为复杂。在下一个定理中，我们将确定使MSE渐近最小化的具体配置，前提是L（左）已修复。由于我们前面的讨论，有必要处理这些案例1 $⩽$ d日 $⩽$ 3和d日 $⩾$ 4分开。然而，事实证明，对于这两种情况，考虑集合就足以使MSE最小化J型_我,我=1,…,L（左），非平行直线，如方程式所示(12). 请注意，应用下一个定理时必须谨慎，因为它是基于一阶MSE的扩展，即渐近地有效，只要d日 $⩽$ 三。

定理6。让d日=2和d日=3，以及克∈唇[0,1]^d日，使用 $γ > \frac{1}{2}$ 和 $γ > \frac{三}{4}$ 分别是。假设模型（1）具有条件（9）和（10）。在定义2中的方差估计类中L（左）∈ ℕ,第页_我=#J型_我−1,我=1,…,L（左），以及 $第页 = Σ_{我 = 1}^{L（左）} {第页}_{我}$ ⁠，渐近最优MSE

MSE公司 ({\hat{σ}}_{选择, 第页}^{2}) = \frac{σ^{4}}{N个} (γ_{4} - 1 + \frac{1}{第页}) + o个 ({N个}^{- 1})

是针对差分估计器实现的 ${\hat{σ}}_{选择, 第页}^{2}$ 它有形状的重量μ_我=第页_我/第页,我=1,…,L（左）、和J型_我是非平行直线。广义差分格式 ${({d日}_{j个}^{(我)})}_{j个 \in {J型}_{我}}$ 与霍尔所描述的一维情况完全相同等. (1990)，即它们满足一维渐近最优性准则 $Σ_{j个 \in {J型}_{我} (k)} {d日}_{j个}^{(我)} {d日}_{j个 + k}^{(我)} = - 1 / 2 {第页}_{我}$ 如方程式所示(5)对于所有0≠k具有J型_我(k)={j个∈J型_我:我+k∈J型_我}≠∅.

我们提到这一点是为了d日 $⩾$ 4可以得到类似的结果，但是，差分估计的类必须限制为阶多项式的无偏估计米=[d日/4] +1（见Wagner(1999)). 最后一个定理可以通过下面的例子来说明。

3.5. 示例5

假设d日=2和等距设计。在图中。三在这种情况下，给出了一个特定配置的示例L（左）=4,第页₁=第页₂=4（水平线和垂直线）和第页_三=第页₄=2（对角线）。在广义差分估计类中实现渐近最小均方误差，其中第页=12,

MSE公司 ({\hat{σ}}_{选择, 12}^{2}) = \frac{σ^{4}}{N个} (γ_{4} - 1 + \frac{1}{12}) + o个 ({N个}^{- 1}),

图3

方差的差分格式估计的示例d日=2和L（左）=4

我们必须在第一步中根据定理6选择权重 $μ_{1} = μ_{2} = \frac{1}{三}$ 和 $μ_{三} = μ_{4} = \frac{1}{6}$ ⁠第二步，霍尔最优差分格式等。(1990)必须用于第页=4和第页=2.注意这里d日≠L（左）.

备注3。正如裁判所指出的，讨论L（左）在广义差分估计中。这在原则上非常困难，因为它不能与最佳长度问题分开第页_我沿每个方向我一个全面的答案超出了本文的范围，但可以通过定理4给出一个定性的答案，前提是可以认为展开式（14）足够准确，这是振荡信号不太强烈的情况。然后，当方向秒^(我)选择公式右侧的表达式(14)最小化。这是一个离散的最小化问题，并且可以达到最小值（如果克已知）通过选择L（左）=1和秒⁽¹⁾∈ ℤ^d日作为 ${‖ 〈 秒^{(1)}, \nabla 克 〉 ‖}_{2}^{2}$ ⁠然而，一般来说，偏倚扩展中的高阶项将涉及混合导数克，还有这里L（左）=1不一定是最佳选择。然而，定理4在一般配置中提供了理由，因此沿着下列方向计算残差：克很小。如果克在各个方向上剧烈波动，这只能通过少量的局部残差来实现第页_我但是很大L（左）.如果克沿特定方向的梯度较小，沿该方向的大量残差L（左）=1将给出一个好结果。这与汤普森的偏置微调算法一致等. (1991)（用于d日=2），因为这些算法在第一步中识别出了那些网格点，其中克预计将较大，并从进一步计算中排除这些因素。

最后，注意随着方差的增加σ²（噪声级）最佳估计值表现更好，因为偏差不取决于σ²（定理4）。然而，这一发现的实际优点是有限的，因为在这种情况下，估计值的整体质量会很差。

4.数值比较

4.1. 核估计量

在本节中，我们将基于差分的估计量与（渐近有效）d日-Hall和Marron的维数推广(1990)核估计和相应的局部线性估计。为了简洁起见，我们考虑产品内核 $K（K） (x个) = Π_{我 = 1}^{d日} {K（K）}_{1} ({x个}_{我})$ 订单的第页∈ℕ（此处x个=(x个₁,…,x个_d日)′ ∈ ℝ^d日)这样的话K（K）₁：ℝ→\8477»对称，支架紧凑。此外，

\int_{ℝ^{d日}} K（K） (x个) d日 x个 = 1,

\int_{ℝ^{d日}} {x个}_{我}^{我} {x个}_{j个}^{k} K（K） (x个) d日 x个 = 0, 我 \neq j个, 0 ⩽ 我, k < 第页,

\int_{ℝ^{d日}} {x个}_{我}^{第页} K（K） (x个) d日 x个 = μ_{第页} (K（K）) \neq 0, 我 = 1, \dots, d日 .

最后，假设带宽矩阵是对角的，H（H）=诊断(小时₁,…,小时_d日).

定理7。考虑非参数回归模型（1）克∈C类^(第页+1)[0,1]^d日和设计要点t吨_我∈ [0,1]^d日,我=1,…,N个，在上d日-维度网格，所以条件（9）成立。对角线带宽矩阵H（H）它认为小时_最小值：=最小值_k=1,…,d日(小时_k)>0, $N个 {小时}_{最小值}^{d日} \to \infty$ 和λ_k,N个:=小时_k/小时_最小值→λ_k∈ (0,∞),k=1,…,d日，作为N个→∞. 让K（K）成为d日-维序核第页然后，方差估计量的MSE

{\hat{σ}}_{K（K）}^{2} = \frac{1}{v（v）} \sum_{我 = 1}^{N个} {({Y（Y）}_{我} - \sum_{j个 = 1}^{N个} {w个}_{我 j个} {Y（Y）}_{j个})}^{2}

(15)

具有 $v（v） = N个 - 2 Σ_{我} {w个}_{我我} + Σ_{我, j个} {w个}_{我 j个}^{2}$ 和

{w个}_{我, j个} = K（K） {{H（H）}^{- 1} ({t吨}_{我} - {t吨}_{j个})} / \sum_{我 = 1}^{N个} K（K） {{H（H）}^{- 1} ({t吨}_{我} - {t吨}_{我})}

由提供

MSE公司 ({\hat{σ}}_{K（K）}^{2}) = \frac{1}{N个} (γ_{4} - 1) σ^{4} + {C类}_{1} {({N个}^{2} \prod_{k = 1}^{d日} {小时}_{k})}^{- 1} + {C类}_{2}^{2} {小时}_{{最小值}^{4 第页}} + o个 {{({N个}^{2} \prod_{k = 1}^{d日} {小时}_{k})}^{- 1} + {小时}_{{最小值}^{4 第页}}} .

在这里

\begin{matrix} {C类}_{1} = 2 σ^{4} \int_{ℝ^{d日}} {(K（K） * K（K）) (x个) - 2 K（K） (x个)}^{2} d日 x个, \\ {C类}_{2} = κ_{第页}^{2} \int_{ℝ^{d日}} {{(克 （f）)}^{(第页)} (x个) - 克 (x个) {（f）}^{(第页)} (x个)}^{2} （f） {(x个)}^{- 1} d日 x个, κ_{第页} = \frac{{(- 1)}^{第页}}{第页!} μ_{第页} (K（K）), \end{matrix}

函数的位置（f）∈C类^(第页)[0,1]^d日我们使用

{（f）}^{(第页)} (x个) = {\sum_{k = 1}^{d日} λ_{k}^{第页} \frac{\partial^{第页}}{{(\partial {t吨}_{k})}^{第页}} （f） (t吨) |}_{t吨 = x个} .

证据被省略，原则上遵循霍尔和马隆发现的一维情况的模式(1990). 注意，由于产品内核的特殊选择，不涉及混合衍生产品C类₂.

备注4。作为最后一个定理的副产品，我们得到了4第页>d日从 ${C类}_{2}^{2} {小时}^{4 第页} = {C类}_{1} {N个}^{- 2} {小时}^{- d日}$ 形式的最优对角带宽矩阵H（H）=小时我_d日，其渐近最小化MSE，作为

{小时}_{0} = {{C类}_{1} {({C类}_{2} N个)}^{- 2}}^{1 / (4 第页 + d日)} = O（运行） ({N个}^{- 2 / (4 第页 + d日)}) .

(16)

在这种情况下，使用小时₀在方程式中(16)，我们可以证明 $\sqrt N个 ({\hat{σ}}_{K（K）}^{2} - σ^{2})$ 具有方差的渐近中心正态(γ₄−1)σ⁴因此为√N个高效。

4.2. 模拟研究

在下文中，对这些案例进行了模拟研究d日=2,3,4将被呈现（见汤普森等. (1991)，或Dette等. (1998)，用于广泛的数值研究，当d日=1). 为此，我们假设了正态分布的误差；对于倾斜误差，也发现了类似的结果，但没有显示出来。考虑中的所有功能均在[0,1]中定义^d日，采用等间距设计。对于核估计量，我们选择了由Epanechnikov核生成的乘积核， ${K（K）}_{1} (x个) = \frac{三}{4} (1 - {x个}^{2}) 1 {| x个 | ⩽ 1}$ ⁠和带宽矩阵H（H）=小时我_d日除了核估计量（15）外，还研究了具有相同核的局部线性估计量（Wand和Jones，1995). 这些估计器所需的带宽是通过交叉验证获得的。最后，对于每个设置，计算“oracle”估计值，即当真回归函数为克已知（汤普森的“理想”估计等. (1991)). 这是最佳估计器的基准。在每个模拟场景中，执行500（或1000）次运行，其中使用了来自数值算法组C++的随机生成器g05ddc（数值算法组，1998).

4.2.1. 这个案子d日=2

根据我们之前的讨论，可以预计信号的振荡和平滑度克将显著影响权重方案的有效选择。因此，我们考虑了以下回归函数（图。4):

克_{1} (x个, 年) = 年 罪 (8 π x个)

（在x个-方向）；

克_{2} (x个, 年) = 年 罪 (2 π x个)

（在x个-方向）；

克_{三} (x个, 年) = 罪 {2 π (x个 + 年)}

（双向摆动）；

克_{4} (x个, 年) = 罪 {5 π (x个 + 年)}

（双向强烈振荡）；

克_{5} (x个, 年) = x个 年

（多项式函数）；

克_{6} (x个, 年) = 经验 {- (x个 + 年) / 2}

（单调函数）；

克_{7} (x个, 年) = 最大值 {克_{7 小时} (x个), 克_{7 小时} (年)} - 克_{7 小时} (x个) 克_{7 小时} (年)

（棋盘式功能）；

\begin{array}{l} 克_{7 小时} (x个) = {\begin{array}{l} 1, & \frac{1}{三} < x个 ⩽ \frac{2}{三}, \\ 0, & 否则； \end{array} \\ 克_{8} (x个, 年) = 最大值 {克_{8 小时} (x个), 克_{8 小时} (年)} \end{array}

(17)

（尖峰函数）；

克_{8 小时} (x个) = {\begin{array}{l} 1 / 8, & x个 = 0, \\ 5 / 8, & x个 = 0.5, \\ 2 / 8, & x个 = 1, \\ 0, & 否则。 \end{array}

(18)

函数（a）g3（x，y），（b）g7（x，y）（■，g7（x，y）=1）和（c）g8（x，y）

图4

功能（a）克_三(x个,年)，（b）克₇(x个,年) (■,克₇(x个,年)=1）和（c）克₈(x个,年)

考虑了以下差异估计值：

（a）
${\hat{σ}}_{S公司, 对}^{2}$ 残差如图所示。5（a），其中每行上都有多项式差分格式(d日₀,d日₁,d日₂)选择=（1，−2,1）/√6；
（b）
${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$ 残差如图所示。5（b）多项式差分格式，如（a）所示；
（c）
${\hat{σ}}_{2, 对}^{2}$ 残差如图所示。5（c）多项式差分格式，如（a）所示；
（d）
${\hat{σ}}_{x个 4, 对}^{2}$ 残差如图所示。5（d）和多项式差分格式(d日₀,d日₁,d日₂,d日_三,d日₄)=(1,−4,6,−4,1)/√70;
（e）
${\hat{σ}}_{2, 对}^{2}$ 残差如图所示。5（e）多项式差分格式，如（a）所示；
（f）
${\hat{σ}}_{年 4, 对}^{2}$ 残差如图所示。5（f）多项式差分格式，如（d）所示。

图5

各种差分估计器的剩余配置

此外，对于具有2阶最优差分格式的相同估计(d日₀,d日₁,d日₂)=（0.809，−0.5，−0.309），顺序为4(d日₀,d日₁,d日₂,d日_三,d日₄)=（0.2708，-0.0142，0.6909，-0.4858，-0.4617）（霍尔等。,1990). 结果估计值表示为 ${\hat{σ}}_{S公司, o个}^{2}, {\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}, \dots, {\hat{σ}}_{年 4, o个}^{2}$ ⁠。在下表中，我们使用符号4.22₂用于4.22×10⁻²等等。

在表中1，中强烈振荡信号的结果x个-方向(克₁)显示，其中σ²=0.25,0.5. 注意这里年-方向是线性的。从表1可以得出结论，对于较大的样本量，沿x个-正如预期的那样，轴方向导致的偏差比多项式估计值大得多。当然，如果在年-方向，所得估计器的性能优于多项式加权方案，特别是对于样本大小，其中n个₁,n个₂ $⩾$ 30.此外，在x个-当样本量增加时，方向导致MSE降低(n个₁=n个₂=100). 对于较小的样本大小(n个₁,n个₂ $⩽$ 30）未观察到这种情况。注意，这与我们在定理4中的理论发现一致，其中偏差随着第页增加。对于较大的样本量，在大多数情况下，方差在这种设置中占主导地位。然而，对于沿x个-方差由平方偏差控制。用于沿着x个-方向上，多项式差分格式的性能优于相应的最优差分格式。此外，根据表1显然，对于多项式加权方案第页=2在大多数情况下优于第页=4，这是由于方差较小。这符合霍尔的建议等。(1991)使用短而紧凑的配置。最后，我们提到这些发现与噪声水平无关；类似结果适用于σ²=1（未显示）。

表1

偏见²回归函数的方差克₁为了这个案子d日=2

σ²	(n个₁,n个₂)	方差估计量	多项式差分格式的结果				最佳差异的结果				甲骨文公司
			第页=2		第页=4		第页=2		第页=4
			${\hat{σ}}_{x个 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, o个}^{2}$
0.25	(10,10)	偏见²	2.49₁	1.43₅	6.60₁	3.69₅	4.51₂	1.21₄	7.38₂	5.97₄	9.13₆
		方差	1.77₂	2.78_三	4.44₂	4.95_三	4.75_三	1.81_三	7.23_三	2.32_三	1.12_三
	(10,25)	偏见²	2.34₁	5.44₆	6.21₁	1.09₂	4.13₂	4.74₆	6.72₂	1.97₅	3.51₇
		方差	7.44_三	1.09_三	1.86₂	3.13_三	1.85_三	6.39₄	2.73_三	6.80₄	4.84₄
	(25,10)	偏见²	1.02_三	1.30₈	1.60₅	5.19_三	2.92₂	6.18₅	5.97₂	4.56₄	1.29₇
		方差	1.08_三	1.15_三	1.52_三	1_三	1.44_三	7.53₄	2.29_三	9.61₄	5.02₄
	(30,30)	偏见²	2.29₄	2.90₇	1.57₆	3.75₇	1.54₂	1.66₆	4.91₂	9.43₆	5.77₇
		方差	2.96₄	2.74₄	4.03₄	3.99₄	3.13₄	1.81₄	5.55₄	1.77₄	1.40₄
	(100,100)	偏见²	1.60₉	2.18₈	1₉	5.23₈	1.68₄	<1.0₁₂	1.36_三	1.89₈	1.46₈
		方差	2.48₅	2.25₅	3.41₅	3.07₅	1.60₅	1.53₅	1.51₅	1.42₅	1.22₅
0.5	(10,10)	偏见²	2.44₁	3.90₆	6.49₁	1.03₅	4.47₂	1.04₄	7.30₂	5.46₄	1.18₅
		方差	4.24₂	1.15₂	1.01₁	1.85₂	1.34₂	7.50_三	1.84₂	9.07_三	5.25_三
	(10,25)	偏见²	2.35₁	8.53₆	6.22₁	4.21₂	4.30₂	4.80₆	7.01₂	1.52₅	4.24₆
		方差	1.60₂	4.51_三	3.91₂	1.32₂	5.23_三	2.71_三	7.22_三	2.59_三	1.90_三
	(25,10)	偏见²	1.05_三	2.22₅	1.87₅	2₂	2.94₂	1.21₄	5.89₂	6.18₄	1.52₅
		方差	4.35_三	4.43_三	5.94_三	3.56_三	4.52_三	3.04_三	6.22_三	3.77_三	2.27_三
	(30,30)	偏见²	1.50₄	6.24₇	4.04₆	1.71₆	1.49₂	1.79₇	4.80₂	9.73₈	2.55₆
		方差	1.15_三	1.11_三	1.65_三	1.64_三	1.06_三	7.66₄	1.60_三	7.20₄	5.86₄
	(100,100)	偏见²	3.50₉	2.03₇	1.31₈	2.87₇	1.76₄	3.24₈	1.37_三	6.79₈	2.50₉
		方差	1.01₄	9.36₅	1.40₄	1.31₄	5.96₅	6.04₅	5.51₅	5.45₅	4.61₅

σ²	(n个₁,n个₂)	方差估计量	多项式差分格式的结果				最佳差异的结果				甲骨文公司
			第页=2		第页=4		第页=2		第页=4
			${\hat{σ}}_{x个 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, o个}^{2}$
0.25	(10,10)	偏见²	2.49₁	1.43₅	6.60₁	3.69₅	4.51₂	1.21₄	7.38₂	5.97₄	9.13₆
		方差	1.77₂	2.78_三	4.44₂	4.95_三	4.75_三	1.81_三	7.23_三	2.32_三	1.12_三
	(10,25)	偏见²	2.34₁	5.44₆	6.21₁	1.09₂	4.13₂	4.74₆	6.72₂	1.97₅	3.51₇
		方差	7.44_三	1.09_三	1.86₂	3.13_三	1.85_三	6.39₄	2.73_三	6.80₄	4.84₄
	(25,10)	偏见²	1.02_三	1.30₈	1.60₅	5.19_三	2.92₂	6.18₅	5.97₂	4.56₄	1.29₇
		方差	1.08_三	1.15_三	1.52_三	1_三	1.44_三	7.53₄	2.29_三	9.61₄	5.02₄
	(30,30)	偏见²	2.29₄	2.90₇	1.57₆	3.75₇	1.54₂	1.66₆	4.91₂	9.43₆	5.77₇
		方差	2.96₄	2.74₄	4.03₄	3.99₄	3.13₄	1.81₄	5.55₄	1.77₄	1.40₄
	(100,100)	偏见²	1.60₉	2.18₈	1₉	5.23₈	1.68₄	<1.0₁₂	1.36_三	1.89₈	1.46₈
		方差	2.48₅	2.25₅	3.41₅	3.07₅	1.60₅	1.53₅	1.51₅	1.42₅	1.22₅
0.5	(10,10)	偏见²	2.44₁	3.90₆	6.49₁	1.03₅	4.47₂	1.04₄	7.30₂	5.46₄	1.18₅
		方差	4.24₂	1.15₂	1.01₁	1.85₂	1.34₂	7.50_三	1.84₂	9.07_三	5.25_三
	(10,25)	偏见²	2.35₁	8.53₆	6.22₁	4.21₂	4.30₂	4.80₆	7.01₂	1.52₅	4.24₆
		方差	1.60₂	4.51_三	3.91₂	1.32₂	5.23_三	2.71_三	7.22_三	2.59_三	1.90_三
	(25,10)	偏见²	1.05_三	2.22₅	1.87₅	2₂	2.94₂	1.21₄	5.89₂	6.18₄	1.52₅
		方差	4.35_三	4.43_三	5.94_三	3.56_三	4.52_三	3.04_三	6.22_三	3.77_三	2.27_三
	(30,30)	偏见²	1.50₄	6.24₇	4.04₆	1.71₆	1.49₂	1.79₇	4.80₂	9.73₈	2.55₆
		方差	1.15_三	1.11_三	1.65_三	1.64_三	1.06_三	7.66₄	1.60_三	7.20₄	5.86₄
	(100,100)	偏见²	3.50₉	2.03₇	1.31₈	2.87₇	1.76₄	3.24₈	1.37_三	6.79₈	2.50₉
		方差	1.01₄	9.36₅	1.40₄	1.31₄	5.96₅	6.04₅	5.51₅	5.45₅	4.61₅

表1

偏见²回归函数的方差克₁为了这个案子d日=2

σ²	(n个₁,n个₂)	方差估计量	多项式差分格式的结果				最佳差异的结果				甲骨文公司
			第页=2		第页=4		第页=2		第页=4
			${\hat{σ}}_{x个 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, o个}^{2}$
0.25	(10,10)	偏见²	2.49₁	1.43₅	6.60₁	3.69₅	4.51₂	1.21₄	7.38₂	5.97₄	9.13₆
		方差	1.77₂	2.78_三	4.44₂	4.95_三	4.75_三	1.81_三	7.23_三	2.32_三	1.12_三
	(10,25)	偏差²	2.34₁	5.44₆	6.21₁	1.09₂	4.13₂	4.74₆	6.72₂	1.97₅	3.51₇
		方差	7.44_三	1.09_三	1.86₂	3.13_三	1.85_三	6.39₄	2.73_三	6.80₄	4.84₄
	(25,10)	偏见²	1.02_三	1.30₈	1.60₅	5.19_三	2.92₂	6.18₅	5.97₂	4.56₄	1.29₇
		方差	1.08_三	1.15_三	1.52_三	1_三	1.44_三	7.53₄	2.29_三	9.61₄	5.02₄
	(30,30)	偏见²	2.29₄	2.90₇	1.57₆	3.75₇	1.54₂	1.66₆	4.91₂	9.43₆	5.77₇
		方差	2.96₄	2.74₄	4.03₄	3.99₄	3.13₄	1.81₄	5.55₄	1.77₄	1.40₄
	(100,100)	偏见²	1.60₉	2.18₈	1₉	5.23₈	1.68₄	<1.0₁₂	1.36_三	1.89₈	1.46₈
		方差	2.48₅	2.25₅	3.41₅	3.07₅	1.60₅	1.53₅	1.51₅	1.42₅	1.22₅
0.5	(10,10)	偏见²	2.44₁	3.90₆	6.49₁	1.03₅	4.47₂	1.04₄	7.30₂	5.46₄	1.18₅
		方差	4.24₂	1.15₂	1.01₁	1.85₂	1.34₂	7.50_三	1.84₂	9.07_三	5.25_三
	(10,25)	偏见²	2.35₁	8.53₆	6.22₁	4.21₂	4.30₂	4.80₆	7.01₂	1.52₅	4.24₆
		方差	1.60₂	4.51_三	3.91₂	1.32₂	5.23_三	2.71_三	7.22_三	2.59_三	1.90_三
	(25,10)	偏差²	1.05_三	2.22₅	1.87₅	2₂	2.94₂	1.21₄	5.89₂	6.18₄	1.52₅
		方差	4.35_三	4.43_三	5.94_三	3.56_三	4.52_三	3.04_三	6.22_三	3.77_三	2.27_三
	(30,30)	偏见²	1.50₄	6.24₇	4.04₆	1.71₆	1.49₂	1.79₇	4.80₂	9.73₈	2.55₆
		方差	1.15_三	1.11_三	1.65_三	1.64_三	1.06_三	7.66₄	1.60_三	7.20₄	5.86₄
	(100,100)	偏见²	3.50₉	2.03₇	1.31₈	2.87₇	1.76₄	3.24₈	1.37_三	6.79₈	2.50₉
		方差	1.01₄	9.36₅	1.40₄	1.31₄	5.96₅	6.04₅	5.51₅	5.45₅	4.61₅

σ²	(n个₁,n个₂)	方差估计量	多项式差分格式的结果				最佳差异的结果				甲骨文公司
			第页=2		第页=4		第页=2		第页=4
			${\hat{σ}}_{x个 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 2, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{x个 4, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{年 4, o个}^{2}$
0.25	(10,10)	偏见²	2.49₁	1.43₅	6.60₁	3.69₅	4.51₂	1.21₄	7.38₂	5.97₄	9.13₆
		方差	1.77₂	2.78_三	4.44₂	4.95_三	4.75_三	1.81_三	7.23_三	2.32_三	1.12_三
	(10,25)	偏见²	2.34₁	5.44₆	6.21₁	1.09₂	4.13₂	4.74₆	6.72₂	1.97₅	3.51₇
		方差	7.44_三	1.09_三	1.86₂	3.13_三	1.85_三	6.39₄	2.73_三	6.80₄	4.84₄
	(25,10)	偏见²	1.02_三	1.30₈	1.60₅	5.19_三	2.92₂	6.18₅	5.97₂	4.56₄	1.29₇
		方差	1.08_三	1.15_三	1.52_三	1_三	1.44_三	7.53₄	2.29_三	9.61₄	5.02₄
	(30,30)	偏见²	2.29₄	2.90₇	1.57₆	3.75₇	1.54₂	1.66₆	4.91₂	9.43₆	5.77₇
		方差	2.96₄	2.74₄	4.03₄	3.99₄	3.13₄	1.81₄	5.55₄	1.77₄	1.40₄
	(100,100)	偏见²	1.60₉	2.18₈	1₉	5.23₈	1.68₄	<1.0₁₂	1.36_三	1.89₈	1.46₈
		方差	2.48₅	2.25₅	3.41₅	3.07₅	1.60₅	1.53₅	1.51₅	1.42₅	1.22₅
0.5	(10,10)	偏见²	2.44₁	3.90₆	6.49₁	1.03₅	4.47₂	1.04₄	7.30₂	5.46₄	1.18₅
		方差	4.24₂	1.15₂	1.01₁	1.85₂	1.34₂	7.50_三	1.84₂	9.07_三	5.25_三
	(10,25)	偏见²	2.35₁	8.53₆	6.22₁	4.21₂	4.30₂	4.80₆	7.01₂	1.52₅	4.24₆
		方差	1.60₂	4.51_三	3.91₂	1.32₂	5.23_三	2.71_三	7.22_三	2.59_三	1.90_三
	(25,10)	偏见²	1.05_三	2.22₅	1.87₅	2₂	2.94₂	1.21₄	5.89₂	6.18₄	1.52₅
		方差	4.35_三	4.43_三	5.94_三	3.56_三	4.52_三	3.04_三	6.22_三	3.77_三	2.27_三
	(30,30)	偏见²	1.50₄	6.24₇	4.04₆	1.71₆	1.49₂	1.79₇	4.80₂	9.73₈	2.55₆
		方差	1.15_三	1.11_三	1.65_三	1.64_三	1.06_三	7.66₄	1.60_三	7.20₄	5.86₄
	(100,100)	偏见²	3.50₉	2.03₇	1.31₈	2.87₇	1.76₄	3.24₈	1.37_三	6.79₈	2.50₉
		方差	1.01₄	9.36₅	1.40₄	1.31₄	5.96₅	6.04₅	5.51₅	5.45₅	4.61₅

在表中2比较了各种回归函数。这里只有残差的短而紧凑的配置，如图5（a）以及5（b）已考虑。在大多数情况下，除了强振荡信号外，方差主导平方偏差(克₄). 表2每一行的差异大多具有可比性。对于振荡和非平滑信号，多项式加权方案产生的偏差小于最佳加权方案，尤其是对于较大的样本量。很明显，对于基于差分的估计量，对于振荡不太强烈的光滑函数，星形配置往往优于十字配置。这是由于第一名估计员考虑的残差数量较多，导致方差减少。就MSE而言，多项式加权方案往往优于振荡函数的最优加权方案(克_三和克₄)和棋盘型函数克₇一般来说，核估计量和局部线性估计量与基于差分的估计量相比具有可比性，甚至效率更高，但强振荡信号除外，其中应使用多项式差分估计量(克₈). 然而，必须考虑到，由于带宽的交叉验证，核和局部线性估计器的计算时间远高于基于差分的估计器。例如，对于n个₁,n个₂=30在具有512 MB随机访问内存和1.8 GHz差分估计器的奔腾4计算机上，单个估计器需要15 ms，而核估计器大约需要15 s（1000倍）。

表2

偏见²和方差σ²=0.5（对于这种情况）d日=2

(n个₁,n个₂)	回归函数	方差估计器	${\hat{σ}}_{S公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{S公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(10,10)	克₂	偏见²	7.49₅	1.74₅	3.60_三	2.08_三	1.72₄	1.07₄	4.76₆
		方差	8.52_三	1.02₂	7.37_三	7.60_三	6.64_三	6.77_三	4.99_三
	克_三	偏见²	3.94_三	2.09₄	9.21₂	6.96₂	1.97_三	1.31_三	2.39₅
		方差	8.48_三	9.48_三	1.18₂	1.14₂	7.24_三	8.29_三	4.63_三
	克₄	偏见²	2.87₁	2.08₁	2.80₁	6.23₁	2.48₁	2.63₁	4.89₈
		方差	2.56₂	2.47₂	2.24₂	4.26₂	1.62₂	1.66₂	4.77_三
	克₅	偏见²	6.10₇	6.13₆	6.93₅	5.16₅	5.43₅	3.27₅	2.73₈
		方差	9.53_三	1.15₂	7.36_三	8.32_三	5.52_三	5.44_三	5_三
	克₆	偏见²	1.04₆	1.76₇	4.79₆	2.59₈	6.45₅	2.02₅	7.93₆
		方差	1.01₂	1.23₂	7.87_三	8.63_三	5.78_三	5.49_三	4.85_三
	克₇	偏见²	1.67₂	8.20_三	4.36₂	3.74₂	7.70_三	8.48_三	1.29₅
		方差	1.34₂	1.59₂	1.31₂	1.40₂	8.69_三	9.22_三	5.38_三
	克₈	偏见²	4.20_三	2.28_三	3.70_三	1.80_三	1.71_三	1.82_三	8.90₇
		方差	1.19₂	1.23₂	8.41_三	8.52_三	6.63_三	7.68_三	4.99_三
(30,30)	克₂	偏见²	3.59₇	1₈	4.67₅	2.10₅	1.84₅	2.73₅	1.12₈
		方差	6.89₄	9.01₄	5.85₄	6.23₄	5.20₄	5.87₄	5.10₄
	克_三	偏见²	1.35_三	6.22₄	5.63_三	3_三	2.11_三	2.16_三	7.10₇
		方差	8.41₄	8.86₄	8.15₄	8.16₄	8.21₄	7.82₄	6₄
	克₄	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄
	克₅	偏见²	1.82₆	1.76₆	4.86₇	1.01₆	6.37₈	2.80₉	6.03₇
		方差	7.67₄	9.43₄	6.56₄	6.90₄	5.82₄	5.59₄	5.87₄
	克₆	偏见²	5.48₈	1.37₈	1₁₀	2.22₈	4.88₈	3.53₇	1.17₇
		方差	7.80₄	9.47₄	7.01₄	7.36₄	6.28₄	5.41₄	5.70₄
	克₇	偏见²	5.68₆	6.56₆	1.97_三	9.61₄	9.24₅	7.19₅	1.92₆
		方差	7.50₄	8.91₄	6.66₄	7.14₄	6.20₄	6.65₄	5.51₄
	克₈	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄

(n个₁,n个₂)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{S公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{S公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(10,10)	克₂	偏见²	7.49₅	1.74₅	3.60_三	2.08_三	1.72₄	1.07₄	4.76₆
		方差	8.52_三	1.02₂	7.37_三	7.60_三	6.64_三	6.77_三	4.99_三
	克_三	偏见²	3.94_三	2.09₄	9.21₂	6.96₂	1.97_三	1.31_三	2.39₅
		方差	8.48_三	9.48_三	1.18₂	1.14₂	7.24_三	8.29_三	4.63_三
	克₄	偏见²	2.87₁	2.08₁	2.80₁	6.23₁	2.48₁	2.63₁	4.89₈
		方差	2.56₂	2.47₂	2.24₂	4.26₂	1.62₂	1.66₂	4.77_三
	克₅	偏见²	6.10₇	6.13₆	6.93₅	5.16₅	5.43₅	3.27₅	2.73₈
		方差	9.53_三	1.15₂	7.36_三	8.32_三	5.52_三	5.44_三	5_三
	克₆	偏见²	1.04₆	1.76₇	4.79₆	2.59₈	6.45₅	2.02₅	7.93₆
		方差	1.01₂	1.23₂	7.87_三	8.63_三	5.78_三	5.49_三	4.85_三
	克₇	偏见²	1.67₂	8.20_三	4.36₂	3.74₂	7.70_三	8.48_三	1.29₅
		方差	1.34₂	1.59₂	1.31₂	1.40₂	8.69_三	9.22_三	5.38_三
	克₈	偏见²	4.20_三	2.28_三	3.70_三	1.80_三	1.71_三	1.82_三	8.90₇
		方差	1.19₂	1.23₂	8.41_三	8.52_三	6.63_三	7.68_三	4.99_三
(30,30)	克₂	偏见²	3.59₇	1₈	4.67₅	2.10₅	1.84₅	2.73₅	1.12₈
		方差	6.89₄	9.01₄	5.85₄	6.23₄	5.20₄	5.87₄	5.10₄
	克_三	偏见²	1.35_三	6.22₄	5.63_三	3_三	2.11_三	2.16_三	7.10₇
		方差	8.41₄	8.86₄	8.15₄	8.16₄	8.21₄	7.82₄	6₄
	克₄	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄
	克₅	偏见²	1.82₆	1.76₆	4.86₇	1.01₆	6.37₈	2.80₉	6.03₇
		方差	7.67₄	9.43₄	6.56₄	6.90₄	5.82₄	5.59₄	5.87₄
	克₆	偏见²	5.48₈	1.37₈	1₁₀	2.22₈	4.88₈	3.53₇	1.17₇
		方差	7.80₄	9.47₄	7.01₄	7.36₄	6.28₄	5.41₄	5.70₄
	克₇	偏见²	5.68₆	6.56₆	1.97_三	9.61₄	9.24₅	7.19₅	1.92₆
		方差	7.50₄	8.91₄	6.66₄	7.14₄	6.20₄	6.65₄	5.51₄
	克₈	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄

表2

偏见²和方差σ²=0.5（对于这种情况）d日=2

(n个₁,n个₂)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{S公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{S公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{本地林}^{2}$	甲骨文公司
(10,10)	克₂	偏见²	7.49₅	1.74₅	3.60_三	2.08_三	1.72₄	1.07₄	4.76₆
		方差	8.52_三	1.02₂	7.37_三	7.60_三	6.64_三	6.77_三	4.99_三
	克_三	偏见²	3.94_三	2.09₄	9.21₂	6.96₂	1.97_三	1.31_三	2.39₅
		方差	8.48_三	9.48_三	1.18₂	1.14₂	7.24_三	8.29_三	4.63_三
	克₄	偏见²	2.87₁	2.08₁	2.80₁	6.23₁	2.48₁	2.63₁	4.89₈
		方差	2.56₂	2.47₂	2.24₂	4.26₂	1.62₂	1.66₂	4.77_三
	克₅	偏见²	6.10₇	6.13₆	6.93₅	5.16₅	5.43₅	3.27₅	2.73₈
		方差	9.53_三	1.15₂	7.36_三	8.32_三	5.52_三	5.44_三	5_三
	克₆	偏见²	1.04₆	1.76₇	4.79₆	2.59₈	6.45₅	2.02₅	7.93₆
		方差	1.01₂	1.23₂	7.87_三	8.63_三	5.78_三	5.49_三	4.85_三
	克₇	偏见²	1.67₂	8.20_三	4.36₂	3.74₂	7.70_三	8.48_三	1.29₅
		方差	1.34₂	1.59₂	1.31₂	1.40₂	8.69_三	9.22_三	5.38_三
	克₈	偏见²	4.20_三	2.28_三	3.70_三	1.80_三	1.71_三	1.82_三	8.90₇
		方差	1.19₂	1.23₂	8.41_三	8.52_三	6.63_三	7.68_三	4.99_三
(30,30)	克₂	偏见²	3.59₇	1₈	4.67₅	2.10₅	1.84₅	2.73₅	1.12₈
		方差	6.89₄	9.01₄	5.85₄	6.23₄	5.20₄	5.87₄	5.10₄
	克_三	偏见²	1.35_三	6.22₄	5.63_三	3_三	2.11_三	2.16_三	7.10₇
		方差	8.41₄	8.86₄	8.15₄	8.16₄	8.21₄	7.82₄	6₄
	克₄	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄
	克₅	偏见²	1.82₆	1.76₆	4.86₇	1.01₆	6.37₈	2.80₉	6.03₇
		方差	7.67₄	9.43₄	6.56₄	6.90₄	5.82₄	5.59₄	5.87₄
	克₆	偏见²	5.48₈	1.37₈	1₁₀	2.22₈	4.88₈	3.53₇	1.17₇
		方差	7.80₄	9.47₄	7.01₄	7.36₄	6.28₄	5.41₄	5.70₄
	克₇	偏见²	5.68₆	6.56₆	1.97_三	9.61₄	9.24₅	7.19₅	1.92₆
		方差	7.50₄	8.91₄	6.66₄	7.14₄	6.20₄	6.65₄	5.51₄
	克₈	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄

(n个₁,n个₂)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{S公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{S公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(10,10)	克₂	偏见²	7.49₅	1.74₅	3.60_三	2.08_三	1.72₄	1.07₄	4.76₆
		方差	8.52_三	1.02₂	7.37_三	7.60_三	6.64_三	6.77_三	4.99_三
	克_三	偏见²	3.94_三	2.09₄	9.21₂	6.96₂	1.97_三	1.31_三	2.39₅
		方差	8.48_三	9.48_三	1.18₂	1.14₂	7.24_三	8.29_三	4.63_三
	克₄	偏见²	2.87₁	2.08₁	2.80₁	6.23₁	2.48₁	2.63₁	4.89₈
		方差	2.56₂	2.47₂	2.24₂	4.26₂	1.62₂	1.66₂	4.77_三
	克₅	偏见²	6.10₇	6.13₆	6.93₅	5.16₅	5.43₅	3.27₅	2.73₈
		方差	9.53_三	1.15₂	7.36_三	8.32_三	5.52_三	5.44_三	5_三
	克₆	偏见²	1.04₆	1.76₇	4.79₆	2.59₈	6.45₅	2.02₅	7.93₆
		方差	1.01₂	1.23₂	7.87_三	8.63_三	5.78_三	5.49_三	4.85_三
	克₇	偏见²	1.67₂	8.20_三	4.36₂	3.74₂	7.70_三	8.48_三	1.29₅
		方差	1.34₂	1.59₂	1.31₂	1.40₂	8.69_三	9.22_三	5.38_三
	克₈	偏见²	4.20_三	2.28_三	3.70_三	1.80_三	1.71_三	1.82_三	8.90₇
		方差	1.19₂	1.23₂	8.41_三	8.52_三	6.63_三	7.68_三	4.99_三
(30,30)	克₂	偏见²	3.59₇	1₈	4.67₅	2.10₅	1.84₅	2.73₅	1.12₈
		方差	6.89₄	9.01₄	5.85₄	6.23₄	5.20₄	5.87₄	5.10₄
	克_三	偏见²	1.35_三	6.22₄	5.63_三	3_三	2.11_三	2.16_三	7.10₇
		方差	8.41₄	8.86₄	8.15₄	8.16₄	8.21₄	7.82₄	6₄
	克₄	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄
	克₅	偏见²	1.82₆	1.76₆	4.86₇	1.01₆	6.37₈	2.80₉	6.03₇
		方差	7.67₄	9.43₄	6.56₄	6.90₄	5.82₄	5.59₄	5.87₄
	克₆	偏见²	5.48₈	1.37₈	1₁₀	2.22₈	4.88₈	3.53₇	1.17₇
		方差	7.80₄	9.47₄	7.01₄	7.36₄	6.28₄	5.41₄	5.70₄
	克₇	偏见²	5.68₆	6.56₆	1.97_三	9.61₄	9.24₅	7.19₅	1.92₆
		方差	7.50₄	8.91₄	6.66₄	7.14₄	6.20₄	6.65₄	5.51₄
	克₈	偏见²	7.98₄	6.70₅	4.71₂	2.90₂	1.12_三	9.62₄	1.67₆
		方差	8.41₄	9.75₄	9.24₄	9.06₄	1.06_三	9.93₄	6₄

4.2.2. 这个案子d日=3

在下面的内容中，我们简要地考虑一下这个案例d日=3，使用回归函数

克_{1} (x个, 年, z（z）) = 罪 {2 π (x个 + 年 + z（z）)},

克_{2} (x个, 年, z（z）) = 罪 {5 π (x个 + 年 + z（z）)},

克_{三} (x个, 年, z（z）) = 最大值 {克_{7 小时} (x个), 克_{7 小时} (年), 克_{7 小时} (z（z）)} - 克_{7 小时} (x个) 克_{7 小时} (年) 克_{7 小时} (z（z）)

具有克_7小时根据方程式(17),

克_{4} (x个, 年, z（z）) = 最大值 {克_{8 小时} (x个), 克_{8 小时} (年), 克_{8 小时} (z（z）)},

具有克_8小时根据方程式(18)，和基于“星形”差分的阶估计第页=2,

{\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2} : = \frac{1}{26} \sum_{第页, 秒, t吨 = - 1}^{1} \frac{1}{{n个}_{对}} \sum_{j个 \in 对} {({d日}_{0} {Y（Y）}_{j个 - {(第页, 秒, t吨)}^{'}} + {d日}_{1} {Y（Y）}_{j个} + {d日}_{2} {Y（Y）}_{j个 + {(第页, 秒, t吨)}^{'}})}^{2}

采用多项式差分格式。使用最优差分方案的相同估计器称为 ${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$ ⁠.基数 $对 : = \times_{k = 1}^{三} {2, \dots, {n个}_{k} - 1}$ 是n个_对:=#对此外，我们研究了“十字形”估计量

{\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2} : = \frac{1}{三} \sum_{我 = 1}^{三} \frac{1}{{n个}_{对_{我}}} \sum_{j个 \in 对_{我}} {({d日}_{0} {Y（Y）}_{j个 - 1_{我}} + {d日}_{1} {Y（Y）}_{j个} + {d日}_{2} {Y（Y）}_{j个 + 1_{我}})}^{2}

用多项式差分格式及其对应项 ${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$ 具有最优差分方案。基数 $对_{我} : = {j个 = {({j个}_{1}, {j个}_{2}, {j个}_{三})}^{'} \in \times_{k = 1}^{三} {1, \dots, {n个}_{k}} : {j个}_{我} \in {2, \dots, {n个}_{我} - 1}}$ 是n个_对我:=#对_我对于我=1,2,3.

在表格中三和4为选择的结果d日显示=3。可以看出，对于振荡信号，多项式加权方案的性能大多优于最佳加权方案，并且十字形估值器 ${\hat{σ}}_{K（K）, *}^{2}$ 往往优于相应的星形估值器 ${\hat{σ}}_{W公司, *}^{2} (* \equiv 对, o个)$ ⁠在大多数情况下，平方偏差主导估计值的方差。有趣的是，这对于棋盘型函数来说是不成立的克_三随着样本量的增加，采用多项式加权方案。同样，核估计量和局部线性估计量对所考虑的样本大小产生了可比较的结果，并且对于非强烈振荡信号，其性能优于基于差分的估计量，而估计量 ${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$ 产生振荡信号的最佳结果，特别是对于较大的样本大小。请注意，例如，对于n个₁,n个₂,n个_三=10，核估计量的计算时间约为差分估计量的1300倍。对于较大的样本量（50,50,50）和（100100100），最优加权差分估计量总是优于偏减多项式加权估计量。这里很明显d日则偏置越成为MSE的主导项。

表3

偏见²和方差σ²=0.25（对于这种情况）d日=3

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(5,5,5)	克₁	偏差²	2.58₁	2.68₁	1.18₁	5.69₁	2.48₁	2.41₁	3.50₆
		方差	1.48₂	9.81_三	4.20_三	1.05₂	5.73_三	5.82_三	1.01_三
	克₂	偏见²	2.99₁	2.55₁	9.64₁	4.57₁	2.56₁	2.57₁	7.25₈
		方差	1.94₂	1.08₂	1.99₂	1.04₂	5.21_三	5.29_三	1.01_三
	克_三	偏见²	5.27₂	5.24₂	5.08₂	5.14₂	1.72₂	2.32₂	2.42₆
		方差	9.73_三	5.21_三	4.09_三	3.25_三	2.79_三	2.89_三	9.73₄
	克₄	偏见²	6.68_三	3.07_三	3.32_三	2.10_三	1.46_三	2.03_三	3.51₆
		方差	6.08_三	2.80_三	2.25_三	1.61_三	1.84_三	1.83_三	1.02_三
(10,10,10)	克₁	偏见²	1.40₂	1.14₁	3.51₄	6.99₂	1.73_三	1.53_三	1.76₈
		方差	2.95₄	5.30₄	1.66₄	3.09₄	1.56₄	1.95₄	1.15₄
	克₂	偏见²	2.57₁	2.72₁	2.11₁	6.03₁	2.49₁	2.50₁	1₉
		方差	1.04_三	8.90₄	6.11₄	1.31_三	7.06₄	6.37₄	1.21₄
	克_三	偏见²	8.76_三	2.38₂	2.41_三	1.21₂	1.73_三	1.79_三	2.04₇
		方差	3.52₄	3.50₄	1.98₄	2.15₄	2.09₄	2.20₄	1.22₄
	克₄	偏见²	4.99_三	4.93_三	1.06_三	1.10_三	9.52₄	1.17_三	1.06₇
		方差	4.28₄	2.98₄	2.24₄	1.69₄	2.88₄	3.41₄	1.25₄

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(5,5,5)	克₁	偏见²	2.58₁	2.68₁	1.18₁	5.69₁	2.48₁	2.41₁	3.50₆
		方差	1.48₂	9.81_三	4.20_三	1.05₂	5.73_三	5.82_三	1.01_三
	克₂	偏见²	2.99₁	2.55₁	9.64₁	4.57₁	2.56₁	2.57₁	7.25₈
		方差	1.94₂	1.08₂	1.99₂	1.04₂	5.21_三	5.29_三	1.01_三
	克_三	偏见²	5.27₂	5.24₂	5.08₂	5.14₂	1.72₂	2.32₂	2.42₆
		方差	9.73_三	5.21_三	4.09_三	3.25_三	2.79_三	2.89_三	9.73₄
	克₄	偏见²	6.68_三	3.07_三	3.32_三	2.10_三	1.46_三	2.03_三	3.51₆
		方差	6.08_三	2.80_三	2.25_三	1.61_三	1.84_三	1.83_三	1.02_三
(10,10,10)	克₁	偏见²	1.40₂	1.14₁	3.51₄	6.99₂	1.73_三	1.53_三	1.76₈
		方差	2.95₄	5.30₄	1.66₄	3.09₄	1.56₄	1.95₄	1.15₄
	克₂	偏差²	2.57₁	2.72₁	2.11₁	6.03₁	2.49₁	2.50₁	1₉
		方差	1.04_三	8.90₄	6.11₄	1.31_三	7.06₄	6.37₄	1.21₄
	克_三	偏见²	8.76_三	2.38₂	2.41_三	1.21₂	1.73_三	1.79_三	2.04₇
		方差	3.52₄	3.50₄	1.98₄	2.15₄	2.09₄	2.20₄	1.22₄
	克₄	偏见²	4.99_三	4.93_三	1.06_三	1.10_三	9.52₄	1.17_三	1.06₇
		方差	4.28₄	2.98₄	2.24₄	1.69₄	2.88₄	3.41₄	1.25₄

表3

偏差²和方差σ²=0.25（对于这种情况）d日=3

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(5,5,5)	克₁	偏见²	2.58₁	2.68₁	1.18₁	5.69₁	2.48₁	2.41₁	3.50₆
		方差	1.48₂	9.81_三	4.20_三	1.05₂	5.73_三	5.82_三	1.01_三
	克₂	偏见²	2.99₁	2.55₁	9.64₁	4.57₁	2.56₁	2.57₁	7.25₈
		方差	1.94₂	1.08₂	1.99₂	1.04₂	5.21_三	5.29_三	1.01_三
	克_三	偏见²	5.27₂	5.24₂	5.08₂	5.14₂	1.72₂	2.32₂	2.42₆
		方差	9.73_三	5.21_三	4.09_三	3.25_三	2.79_三	2.89_三	9.73₄
	克₄	偏见²	6.68_三	3.07_三	3.32_三	2.10_三	1.46_三	2.03_三	3.51₆
		方差	6.08_三	2.80_三	2.25_三	1.61_三	1.84_三	1.83_三	1.02_三
(10,10,10)	克₁	偏见²	1.40₂	1.14₁	3.51₄	6.99₂	1.73_三	1.53_三	1.76₈
		方差	2.95₄	5.30₄	1.66₄	3.09₄	1.56₄	1.95₄	1.15₄
	克₂	偏见²	2.57₁	2.72₁	2.11₁	6.03₁	2.49₁	2.50₁	1₉
		方差	1.04_三	8.90₄	6.11₄	1.31_三	7.06₄	6.37₄	1.21₄
	克_三	偏见²	8.76_三	2.38₂	2.41_三	1.21₂	1.73_三	1.79_三	2.04₇
		方差	3.52₄	3.50₄	1.98₄	2.15₄	2.09₄	2.20₄	1.22₄
	克₄	偏见²	4.99_三	4.93_三	1.06_三	1.10_三	9.52₄	1.17_三	1.06₇
		方差	4.28₄	2.98₄	2.24₄	1.69₄	2.88₄	3.41₄	1.25₄

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
(5,5,5)	克₁	偏见²	2.58₁	2.68₁	1.18₁	5.69₁	2.48₁	2.41₁	3.50₆
		方差	1.48₂	9.81_三	4.20_三	1.05₂	5.73_三	5.82_三	1.01_三
	克₂	偏见²	2.99₁	2.55₁	9.64₁	4.57₁	2.56₁	2.57₁	7.25₈
		方差	1.94₂	1.08₂	1.99₂	1.04₂	5.21_三	5.29_三	1.01_三
	克_三	偏见²	5.27₂	5.24₂	5.08₂	5.14₂	1.72₂	2.32₂	2.42₆
		方差	9.73_三	5.21_三	4.09_三	3.25_三	2.79_三	2.89_三	9.73₄
	克₄	偏见²	6.68_三	3.07_三	3.32_三	2.10_三	1.46_三	2.03_三	3.51₆
		方差	6.08_三	2.80_三	2.25_三	1.61_三	1.84_三	1.83_三	1.02_三
(10,10,10)	克₁	偏见²	1.40₂	1.14₁	3.51₄	6.99₂	1.73_三	1.53_三	1.76₈
		方差	2.95₄	5.30₄	1.66₄	3.09₄	1.56₄	1.95₄	1.15₄
	克₂	偏见²	2.57₁	2.72₁	2.11₁	6.03₁	2.49₁	2.50₁	1₉
		方差	1.04_三	8.90₄	6.11₄	1.31_三	7.06₄	6.37₄	1.21₄
	克_三	偏见²	8.76_三	2.38₂	2.41_三	1.21₂	1.73_三	1.79_三	2.04₇
		方差	3.52₄	3.50₄	1.98₄	2.15₄	2.09₄	2.20₄	1.22₄
	克₄	偏见²	4.99_三	4.93_三	1.06_三	1.10_三	9.52₄	1.17_三	1.06₇
		方差	4.28₄	2.98₄	2.24₄	1.69₄	2.88₄	3.41₄	1.25₄

表4

偏见²和方差σ²=0.25（对于这种情况）d日=3

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(50,50,50)	克₁	偏见²	2.57₄	1.19_三	6.18₅	3.12₄	4₁₀
		方差	1.31₆	1.29₆	1.40₆	1.18₆	1.03₆
	克₂	偏见²	2.57₄	2.61₄	5.98₅	6.23₅	2₁₀
		方差	1.45₆	1.25₆	1.45₆	1.16₆	1.02₆
	克_三	偏见²	5.39₈	4.34₄	2.20₉	1.05₄	<1.0₁₂
		方差	1.19₆	1.11₆	1.36₆	1.13₆	1.02₆
	克₄	偏见²	6.60₅	1.34₂	7.46₇	3.89_三	<1.0₁₂
		方差	1.26₆	1.42₆	1.41₆	1.22₆	1.04₆
(100,100,100)	克₁	偏见²	6.12₅	2.97₄	1.44₅	7.28₅	1₁₀
		方差	1.53₇	1.49₇	1.73₇	1.47₇	1.31₇
	克₂	偏见²	6.87₅	7.37₅	1.55₅	1.57₅	2₁₀
		方差	1.48₇	1.36₇	1.62₇	1.33₇	1.19₇
	克_三	偏见²	2₁₀	2.69₅	1₁₀	6.25₆	<1.0₁₂
		方差	1.38₇	1.30₇	1.62₇	1.34₇	1.24₇
	克₄	偏见²	2.85₇	9.94₄	3.80₉	2.44₄	<1.0₁₂
		方差	1.37₇	1.30₇	1.65₇	1.33₇	1.19₇

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(50,50,50)	克₁	偏见²	2.57₄	1.19_三	6.18₅	3.12₄	4₁₀
		方差	1.31₆	1.29₆	1.40₆	1.18₆	1.03₆
	克₂	偏见²	2.57₄	2.61₄	5.98₅	6.23₅	2₁₀
		方差	1.45₆	1.25₆	1.45₆	1.16₆	1.02₆
	克_三	偏见²	5.39₈	4.34₄	2.20₉	1.05₄	<1.0₁₂
		方差	1.19₆	1.11₆	1.36₆	1.13₆	1.02₆
	克₄	偏见²	6.60₅	1.34₂	7.46₇	3.89_三	<1.0₁₂
		方差	1.26₆	1.42₆	1.41₆	1.22₆	1.04₆
(100,100,100)	克₁	偏见²	6.12₅	2.97₄	1.44₅	7.28₅	1₁₀
		方差	1.53₇	1.49₇	1.73₇	1.47₇	1.31₇
	克₂	偏见²	6.87₅	7.37₅	1.55₅	1.57₅	2₁₀
		方差	1.48₇	1.36₇	1.62₇	1.33₇	1.19₇
	克_三	偏见²	2₁₀	2.69₅	1₁₀	6.25₆	<1.0₁₂
		方差	1.38₇	1.30₇	1.62₇	1.34₇	1.24₇
	克₄	偏见²	2.85₇	9.94₄	3.80₉	2.44₄	<1.0₁₂
		方差	1.37₇	1.30₇	1.65₇	1.33₇	1.19₇

表4

偏差²和方差σ²=0.25（对于这种情况）d日=3

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(50,50,50)	克₁	偏见²	2.57₄	1.19_三	6.18₅	3.12₄	4₁₀
		方差	1.31₆	1.29₆	1.40₆	1.18₆	1.03₆
	克₂	偏差²	2.57₄	2.61₄	5.98₅	6.23₅	2₁₀
		方差	1.45₆	1.25₆	1.45₆	1.16₆	1.02₆
	克_三	偏见²	5.39₈	4.34₄	2.20₉	1.05₄	<1.0₁₂
		方差	1.19₆	1.11₆	1.36₆	1.13₆	1.02₆
	克₄	偏见²	6.60₅	1.34₂	7.46₇	3.89_三	<1.0₁₂
		方差	1.26₆	1.42₆	1.41₆	1.22₆	1.04₆
(100,100,100)	克₁	偏差²	6.12₅	2.97₄	1.44₅	7.28₅	1₁₀
		方差	1.53₇	1.49₇	1.73₇	1.47₇	1.31₇
	克₂	偏见²	6.87₅	7.37₅	1.55₅	1.57₅	2₁₀
		方差	1.48₇	1.36₇	1.62₇	1.33₇	1.19₇
	克_三	偏见²	2₁₀	2.69₅	1₁₀	6.25₆	<1.0₁₂
		方差	1.38₇	1.30₇	1.62₇	1.34₇	1.24₇
	克₄	偏见²	2.85₇	9.94₄	3.80₉	2.44₄	<1.0₁₂
		方差	1.37₇	1.30₇	1.65₇	1.33₇	1.19₇

(n个₁,n个₂,n个_三)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(50,50,50)	克₁	偏见²	2.57₄	1.19_三	6.18₅	3.12₄	4₁₀
		方差	1.31₆	1.29₆	1.40₆	1.18₆	1.03₆
	克₂	偏见²	2.57₄	2.61₄	5.98₅	6.23₅	2₁₀
		方差	1.45₆	1.25₆	1.45₆	1.16₆	1.02₆
	克_三	偏见²	5.39₈	4.34₄	2.20₉	1.05₄	<1.0₁₂
		方差	1.19₆	1.11₆	1.36₆	1.13₆	1.02₆
	克₄	偏见²	6.60₅	1.34₂	7.46₇	3.89_三	<1.0₁₂
		方差	1.26₆	1.42₆	1.41₆	1.22₆	1.04₆
(100,100,100)	克₁	偏见²	6.12₅	2.97₄	1.44₅	7.28₅	1₁₀
		方差	1.53₇	1.49₇	1.73₇	1.47₇	1.31₇
	克₂	偏见²	6.87₅	7.37₅	1.55₅	1.57₅	2₁₀
		方差	1.48₇	1.36₇	1.62₇	1.33₇	1.19₇
	克_三	偏见²	2₁₀	2.69₅	1₁₀	6.25₆	<1.0₁₂
		方差	1.38₇	1.30₇	1.62₇	1.34₇	1.24₇
	克₄	偏见²	2.85₇	9.94₄	3.80₉	2.44₄	<1.0₁₂
		方差	1.37₇	1.30₇	1.65₇	1.33₇	1.19₇

4.2.3. 这个案子d日=4

对于本案d日=4我们考虑了回归函数

克_{1} (x个, 年, z（z）, 秒) = 罪 {π (x个 + 年 + z（z） + 秒)},

\begin{matrix} 克_{2} (x个, 年, z（z）, 秒) = 罪 {2 π (x个 + 年 + z（z） + 秒)}, \\ 克_{三} (x个, 年, z（z）, 秒) = \underset{_{t吨 \in {x个, 年, z（z）, 秒}}}{最大值} {克_{7 小时} (t吨)} - 克_{7 小时} (x个) 克_{7 小时} (年) 克_{7 小时} (z（z）) 克_{7 小时} (秒) \end{matrix}

具有克_7小时根据方程式(17),

克_{4} (x个, 年, z（z）, 秒) = 最大值 {克_{8 小时} (x个), 克_{8 小时} (年), 克_{8 小时} (z（z）), 克_{8 小时} (秒)}

具有克_8小时根据方程式(18)，以及与案例类似的基于差分的估计d日=3.表格5和6显示我们模拟研究的选定结果。我们提到，核和局部多项式估值器仅在小样本情况下计算可行，例如n个_我=5,我=1，…，4，由于交叉验证程序。在这种情况下，核估计量的计算需要13 s，对于n个_我=6需要54秒n个_我=7超过3分钟。

表5

偏见²和方差(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)=（5、5、5和5）d日=4

σ²	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{本地林}^{2}$	甲骨文公司
0.25	克₁	偏见²	5.04₂	1.62₁	8.46₄	1.05₁	3.57_三	3.08_三	7.64₇
		方差	2.22_三	1.77_三	2.86₄	6.23₄	3.14₄	2.89₄	2.02₄
	克₂	偏见²	2.46₁	2.53₁	1.13₁	5.63₁	2.51₁	2.47₁	1.02₆
		方差	5.20_三	2.88_三	8.43₄	2.22_三	1.06_三	1.03_三	2.17₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.85₂	3.06₂	3.05₂	8.63_三	9.98_三	4.05₇
		方差	2.28_三	1.09_三	5.94₄	4.77₄	3.83₄	4.41₄	1.94₄
	克₄	偏见²	3.55_三	1.72_三	1.53_三	1.04_三	1.01_三	1.21_三	1.41₇
		方差	1.46_三	6.29₄	3.40₄	2.75₄	3.40₄	3.82₄	1.93₄
0.5	克₁	偏差²	5.06₂	1.60₁	9.63₄	1.05₁	4.62_三	4.44_三	5.18₆
		方差	6.89_三	5.21_三	1.13_三	1.94_三	1.44_三	1.41_三	7.95₄
	克₂	偏见²	2.42₁	2.50₁	1.11₁	5.55₁	2.48₁	2.50₁	4.89₇
		方差	1.09₂	5.91_三	1.88_三	4.82_三	2.53_三	2.35_三	8.83₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.83₂	3.04₂	3.06₂	1.03₂	1.17₂	1.77₆
		方差	6.67_三	3.56_三	1.87_三	1.63_三	1.45_三	1.52_三	8.17₄
	克₄	偏见²	3.63_三	1.60_三	1.32_三	8.92₄	1.52_三	1.51_三	4.11₆
		方差	4.50_三	2.07_三	1.27_三	1_三	1.16_三	1.05_三	8.13₄

σ²	回归函数	方差估计器	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
0.25	克₁	偏见²	5.04₂	1.62₁	8.46₄	1.05₁	3.57_三	3.08_三	7.64₇
		方差	2.22_三	1.77_三	2.86₄	6.23₄	3.14₄	2.89₄	2.02₄
	克₂	偏见²	2.46₁	2.53₁	1.13₁	5.63₁	2.51₁	2.47₁	1.02₆
		方差	5.20_三	2.88_三	8.43₄	2.22_三	1.06_三	1.03_三	2.17₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.85₂	3.06₂	3.05₂	8.63_三	9.98_三	4.05₇
		方差	2.28_三	1.09_三	5.94₄	4.77₄	3.83₄	4.41₄	1.94₄
	克₄	偏见²	3.55_三	1.72_三	1.53_三	1.04_三	1.01_三	1.21_三	1.41₇
		方差	1.46_三	6.29₄	3.40₄	2.75₄	3.40₄	3.82₄	1.93₄
0.5	克₁	偏见²	5.06₂	1.60₁	9.63₄	1.05₁	4.62_三	4.44_三	5.18₆
		方差	6.89_三	5.21_三	1.13_三	1.94_三	1.44_三	1.41_三	7.95₄
	克₂	偏见²	2.42₁	2.50₁	1.11₁	5.55₁	2.48₁	2.50₁	4.89₇
		方差	1.09₂	5.91_三	1.88_三	4.82_三	2.53_三	2.35_三	8.83₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.83₂	3.04₂	3.06₂	1.03₂	1.17₂	1.77₆
		方差	6.67_三	3.56_三	1.87_三	1.63_三	1.45_三	1.52_三	8.17₄
	克₄	偏见²	3.63_三	1.60_三	1.32_三	8.92₄	1.52_三	1.51_三	4.11₆
		方差	4.50_三	2.07_三	1.27_三	1_三	1.16_三	1.05_三	8.13₄

表5

偏见²和的方差(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)=（5、5、5和5）d日=4

σ²	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
0.25	克₁	偏见²	5.04₂	1.62₁	8.46₄	1.05₁	3.57_三	3.08_三	7.64₇
		方差	2.22_三	1.77_三	2.86₄	6.23₄	3.14₄	2.89₄	2.02₄
	克₂	偏见²	2.46₁	2.53₁	1.13₁	5.63₁	2.51₁	2.47₁	1.02₆
		方差	5.20_三	2.88_三	8.43₄	2.22_三	1.06_三	1.03_三	2.17₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.85₂	3.06₂	3.05₂	8.63_三	9.98_三	4.05₇
		方差	2.28_三	1.09_三	5.94₄	4.77₄	3.83₄	4.41₄	1.94₄
	克₄	偏见²	3.55_三	1.72_三	1.53_三	1.04_三	1.01_三	1.21_三	1.41₇
		方差	1.46_三	6.29₄	3.40₄	2.75₄	3.40₄	3.82₄	1.93₄
0.5	克₁	偏见²	5.06₂	1.60₁	9.63₄	1.05₁	4.62_三	4.44_三	5.18₆
		方差	6.89_三	5.21_三	1.13_三	1.94_三	1.44_三	1.41_三	7.95₄
	克₂	偏见²	2.42₁	2.50₁	1.11₁	5.55₁	2.48₁	2.50₁	4.89₇
		方差	1.09₂	5.91_三	1.88_三	4.82_三	2.53_三	2.35_三	8.83₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.83₂	3.04₂	3.06₂	1.03₂	1.17₂	1.77₆
		方差	6.67_三	3.56_三	1.87_三	1.63_三	1.45_三	1.52_三	8.17₄
	克₄	偏见²	3.63_三	1.60_三	1.32_三	8.92₄	1.52_三	1.51_三	4.11₆
		方差	4.50_三	2.07_三	1.27_三	1_三	1.16_三	1.05_三	8.13₄

σ²	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{科恩}^{2}$	${\hat{σ}}_{locLin公司}^{2}$	甲骨文公司
0.25	克₁	偏差²	5.04₂	1.62₁	8.46₄	1.05₁	3.57_三	3.08_三	7.64₇
		方差	2.22_三	1.77_三	2.86₄	6.23₄	3.14₄	2.89₄	2.02₄
	克₂	偏见²	2.46₁	2.53₁	1.13₁	5.63₁	2.51₁	2.47₁	1.02₆
		方差	5.20_三	2.88_三	8.43₄	2.22_三	1.06_三	1.03_三	2.17₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.85₂	3.06₂	3.05₂	8.63_三	9.98_三	4.05₇
		方差	2.28_三	1.09_三	5.94₄	4.77₄	3.83₄	4.41₄	1.94₄
	克₄	偏见²	3.55_三	1.72_三	1.53_三	1.04_三	1.01_三	1.21_三	1.41₇
		方差	1.46_三	6.29₄	3.40₄	2.75₄	3.40₄	3.82₄	1.93₄
0.5	克₁	偏见²	5.06₂	1.60₁	9.63₄	1.05₁	4.62_三	4.44_三	5.18₆
		方差	6.89_三	5.21_三	1.13_三	1.94_三	1.44_三	1.41_三	7.95₄
	克₂	偏见²	2.42₁	2.50₁	1.11₁	5.55₁	2.48₁	2.50₁	4.89₇
		方差	1.09₂	5.91_三	1.88_三	4.82_三	2.53_三	2.35_三	8.83₄
	克_三	偏见²	2.85₂	2.83₂	3.04₂	3.06₂	1.03₂	1.17₂	1.77₆
		方差	6.67_三	3.56_三	1.87_三	1.63_三	1.45_三	1.52_三	8.17₄
	克₄	偏见²	3.63_三	1.60_三	1.32_三	8.92₄	1.52_三	1.51_三	4.11₆
		方差	4.50_三	2.07_三	1.27_三	1_三	1.16_三	1.05_三	8.13₄

表6

偏见²和方差σ²=0.25（对于这种情况）d日=4

(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(10,10,10,10)	克₁	偏见²	3.64₄	2.65₂	1.21₆	5.39_三	5.40₉
		方差	2.72₅	3.34₅	1.64₅	1.56₅	1.15₅
	克₂	偏见²	2.93₂	1.36₁	3.38₄	7.05₂	1.50₈
		方差	3.74₅	6.07₅	1.64₅	2.92₅	1.21₅
	克_三	偏见²	4.13_三	1.06₂	9.48₄	4.80_三	4.70₉
		方差	4.10₅	3.65₅	1.76₅	1.68₅	1.16₅
	克₄	偏见²	5.67_三	5.20_三	6.95₄	6.98₄	1.26₈
		方差	4.89₅	3.34₅	1.94₅	1.48₅	1.19₅
(50,50,50,50)	克₁	偏见²	3₁₀	4.71₅	1₁₀	6.48₆	1₁₀
		方差	2.30₈	2.19₈	2.55₈	2.15₈	1.98₈
	克₂	偏见²	1.72₇	7.21₄	5₁₀	1.04₄	<1.0₁₂
		方差	2.07₈	1.99₈	2.33₈	2₈	1.86₈
	克_三	偏见²	1.56₄	7.04₄	2.33₅	1.18₄	<1.0₁₂
		方差	2.44₈	2.43₈	2.59₈	2.18₈	1.96₈
	克₄	偏见²	4.11₄	4.15₄	5.69₅	5.89₅	<1.0₁₂
		方差	2.76₈	2.50₈	2.65₈	2.15₈	1.98₈

(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(10,10,10,10)	克₁	偏见²	3.64₄	2.65₂	1.21₆	5.39_三	5.40₉
		方差	2.72₅	3.34₅	1.64₅	1.56₅	1.15₅
	克₂	偏见²	2.93₂	1.36₁	3.38₄	7.05₂	1.50₈
		方差	3.74₅	6.07₅	1.64₅	2.92₅	1.21₅
	克_三	偏见²	4.13_三	1.06₂	9.48₄	4.80_三	4.70₉
		方差	4.10₅	3.65₅	1.76₅	1.68₅	1.16₅
	克₄	偏见²	5.67_三	5.20_三	6.95₄	6.98₄	1.26₈
		方差	4.89₅	3.34₅	1.94₅	1.48₅	1.19₅
(50,50,50,50)	克₁	偏差²	3₁₀	4.71₅	1₁₀	6.48₆	1₁₀
		方差	2.30₈	2.19₈	2.55₈	2.15₈	1.98₈
	克₂	偏见²	1.72₇	7.21₄	5₁₀	1.04₄	<1.0₁₂
		方差	2.07₈	1.99₈	2.33₈	2₈	1.86₈
	克_三	偏见²	1.56₄	7.04₄	2.33₅	1.18₄	<1.0₁₂
		方差	2.44₈	2.43₈	2.59₈	2.18₈	1.96₈
	克₄	偏见²	4.11₄	4.15₄	5.69₅	5.89₅	<1.0₁₂
		方差	2.76₈	2.50₈	2.65₈	2.15₈	1.98₈

表6

偏见²和方差σ²=0.25（对于这种情况）d日=4

(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(10,10,10,10)	克₁	偏见²	3.64₄	2.65₂	1.21₆	5.39_三	5.40₉
		方差	2.72₅	3.34₅	1.64₅	1.56₅	1.15₅
	克₂	偏见²	2.93₂	1.36₁	3.38₄	7.05₂	1.50₈
		方差	3.74₅	6.07₅	1.64₅	2.92₅	1.21₅
	克_三	偏见²	4.13_三	1.06₂	9.48₄	4.80_三	4.70₉
		方差	4.10₅	3.65₅	1.76₅	1.68₅	1.16₅
	克₄	偏见²	5.67_三	5.20_三	6.95₄	6.98₄	1.26₈
		方差	4.89₅	3.34₅	1.94₅	1.48₅	1.19₅
(50,50,50,50)	克₁	偏见²	3₁₀	4.71₅	1₁₀	6.48₆	1₁₀
		方差	2.30₈	2.19₈	2.55₈	2.15₈	1.98₈
	克₂	偏见²	1.72₇	7.21₄	5₁₀	1.04₄	<1.0₁₂
		方差	2.07₈	1.99₈	2.33₈	2₈	1.86₈
	克_三	偏见²	1.56₄	7.04₄	2.33₅	1.18₄	<1.0₁₂
		方差	2.44₈	2.43₈	2.59₈	2.18₈	1.96₈
	克₄	偏差²	4.11₄	4.15₄	5.69₅	5.89₅	<1.0₁₂
		方差	2.76₈	2.50₈	2.65₈	2.15₈	1.98₈

(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)	回归函数	方差估计量	${\hat{σ}}_{W公司, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{W公司, o个}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$	${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$	甲骨文公司
(10,10,10,10)	克₁	偏见²	3.64₄	2.65₂	1.21₆	5.39_三	5.40₉
		方差	2.72₅	3.34₅	1.64₅	1.56₅	1.15₅
	克₂	偏见²	2.93₂	1.36₁	3.38₄	7.05₂	1.50₈
		方差	3.74₅	6.07₅	1.64₅	2.92₅	1.21₅
	克_三	偏见²	4.13_三	1.06₂	9.48₄	4.80_三	4.70₉
		方差	4.10₅	3.65₅	1.76₅	1.68₅	1.16₅
	克₄	偏见²	5.67_三	5.20_三	6.95₄	6.98₄	1.26₈
		方差	4.89₅	3.34₅	1.94₅	1.48₅	1.19₅
(50,50,50,50)	克₁	偏见²	3₁₀	4.71₅	1₁₀	6.48₆	1₁₀
		方差	2.30₈	2.19₈	2.55₈	2.15₈	1.98₈
	克₂	偏见²	1.72₇	7.21₄	5₁₀	1.04₄	<1.0₁₂
		方差	2.07₈	1.99₈	2.33₈	2₈	1.86₈
	克_三	偏见²	1.56₄	7.04₄	2.33₅	1.18₄	<1.0₁₂
		方差	2.44₈	2.43₈	2.59₈	2.18₈	1.96₈
	克₄	偏见²	4.11₄	4.15₄	5.69₅	5.89₅	<1.0₁₂
		方差	2.76₈	2.50₈	2.65₈	2.15₈	1.98₈

再说一遍，至于d日=3，估计量 ${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$ 在基于差分的估计器中几乎总是表现得最好。从表6我们发现，根据定理4和5，随着样本量的增加，多项式加权方案的使用纠正了偏差，而广义冯·诺依曼(1941)估计器完全失败克₁−克_三。注意克₄接近常量函数。

4.2.4. 尺寸之间的比较

为了说明最优加权方案估计器（包括von Neumann(1941)对于增加维数（参见示例4），我们考虑了函数

{\tilde{克}}_{d日} (x个) : = 2^{1 / 2} π^{- 1} 罪 (π \sum_{我 = 1}^{d日} {x个}_{我}), 的 d日 =2,3,4.

请注意 ${‖ \partial 克 / \partial {t吨}_{我} ‖}_{2}^{2} = 1$ ⁠,我=1,…,d日，以使函数具有可比性。

图。6表明偏差（用√归一化N个源于中心极限定理；见下面的注释定理3）随着d日除了多项式加权方案估值器。相比之下，方差只起到很小的作用（图。7).

√N偏差依赖于N（--，d=2；--，d=3；····，d=4）：（a）冯·诺依曼估计量（r=1）；（b） σ^K，o2（r=2）；（c） σ^K，p2（r=2）

图6

√N个依赖性偏差N个(——,d日=2; - - - - - -,d日=3; · · · · · ·,d日=4）：（a）冯·诺依曼估算师(第页=1); （b） ${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$ (第页=2); （c） ${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$ (第页=2)

√（N方差）依赖于N（--，d=2；---，d=3；····，d=4）：（a）von Neu-mann估计量（r=1）；（b） σ^K，o2（r=2）；（c） σ^K，p2（r=2）

图7

√(N个方差）依赖于N个(——,d日=2; - - - - - -,d日=3; · · · · · ·,d日=4）：（a）冯·诺伊曼估计量(第页=1); （b） ${\hat{σ}}_{K（K）, o个}^{2}$ (第页=2); （c） ${\hat{σ}}_{K（K）, 对}^{2}$ (第页=2)

5.结论

总之，我们发现具有“紧凑”配置且局部残差长度不太大的多项式差分估计量(第页 $⩽$ 4在我们考虑的所有设置中都足够）对于小样本和中等样本大小表现良好，前提是不能排除波动信号先验的多项式差分估计量计算简单，√N个在回归空间的任意维度上一致。如果已知信号缓慢振荡，则由于其优越的效率，使用核型估计器是可行的。然而，这里需要一个比交叉验证更具计算可行性的带宽选择（参见Herrmann等。(1995)). 我们在本文中没有探讨这个主题。未发现局部线性估计与核估计存在显著差异。这可能是因为，当方差为常数时，边界效应与当σ²是一个函数（参见Ruppert等。(1997)). 因此，可以使用更简单的核估计器来代替，而不会显著降低性能。然而，请注意，与差分估计器相比，这些估计器的计算时间随着维度的增加而急剧增加。这会产生相当大的实际负担，例如在通常需要实时计算的图像分析中。对于d日>2，根本不推荐使用最优差分格式，包括冯·诺依曼的推广(1941)估计器。请注意，这些估计值甚至不能是√N个如果回归空间的维数大于3，则一致。

致谢

作者们感谢德国论坛（DFG Mu1230/8-1）的支持。我们感谢L.Boysen和H.Dette的宝贵意见。本文的部分内容可以在Wagner中找到(1999). 作者感谢两位审稿人和一位副主编的评论，这些评论使本文的表述得到了很大改进。

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